1. Zahlen 2. Rechengesetze und Rechenregeln
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1. Zahlen 2. Rechengesetze und Rechenregeln
Grundwissen und -fertigkeiten Mathematik Jahrgangsstufe 6 1/3 1. Zahlen Rationale Zahlen: Beispiele: Umwandlungen: Q enthält die ganzen Zahlen Z und zusätzlich die Bruchzahlen bzw. endliche, periodische und gemischt periodische Dezimalzahlen. 7 2 9 (echter Bruch); 1 (gemischte Zahl) = (unechter Bruch) 8 7 7 3,14 (endlicherDezimalzahl); 1,4343... = 1, 43 (periodische Dezimalzahl) 1,4333... = 1,43 (gemischt periodische Dezimalzahl) 37 5 8 = 8 : 15 = 0,53 ; 0,37 = ; 0, 5 = 100 9 15 2. Rechengesetze und Rechenregeln a) Rechnen mit Brüchen Addieren/Subtrahieren Bei gleichnamigen Brüchen werden die Zähler addiert /subtrahiert und die Nenner beibehalten.Ungleichnamige Brüche müssen erst gleichnamig gemacht werden. Beispiele: 1 7 1 5 2 3 1 4 1 3 1 9 2 7 7 7 + = = ; − = − = ; 1 − 3 = − 3 − 1 = − 3 − 1 = −2 3 15 8 8 8 2 4 6 12 12 12 15 15 15 15 3 Multiplizieren Die Zähler und Nenner werden jeweils miteinander multipliziert. Gemischte Zahlen müssen in unechte Brüche umgewandelt werden. Vor dem Ausmultiplizieren sollte gekürzt werden. 1 1 7 1 7 1 Beispiel: 2 ⋅ = ⋅ = = 1 3 2 3 2 6 6 Dividieren Durch einen Bruch wird dividiert, indem man mit dem Kehrbruch multipliziert. 9 3 9 2 9 ⋅ 2 3 ⋅1 3 1 = = =1 Beispiel: : = ⋅ = 4 2 4 3 4 ⋅ 3 2 ⋅1 2 2 b) Rechnen mit Dezimalzahlen Addieren/Subtrahieren: Rechne wie mit ganzen Zahlen mit Berücksichtigung des Kommas. Multiplizieren: Dividieren WGG Neumarkt Beipiel: 1,43 + 2,5 = 3,93; 1 - 2,6 = - 1,6 Rechne zunächst ohne Rücksicht auf´s Komma; das Ergebnis erhält so viele Nachkommastellen, wie die Faktoren zusammen haben. Beispiel: 0,03 . 2,5 = 0,075 Verschiebe das Komma bei Dividend und Divisor um gleich viele Stellen nach rechts, damit der Divisor kommafrei ist. Beim Überschreiten des Kommas im Dividenden wird das Komma gesetzt. Beispiel: 0,015 : 0,75 = 1,5 : 75 = 0,02 Grundwissen und -fertigkeiten Mathematik Jahrgangsstufe 6 2/3 3. Prozentrechnung: Prozente geben Bruchteile an. Prozent bedeutet Hundertstel. 17 34 5 = = 34% ; 0,076 = 7,6% ; = 0,7142... ≈ 71,4% Beispiele: 50 100 7 Prozentsatz, Grundwert, Prozentwert Es gilt: p 100 p% von G = P p% = Beispiele: Gesucht: Prozentsatz p%: p% = Prozentsatz G = Grundwert P = Prozentwert Dem Grundwert werden immer 100 % zugeordnet. Wie viel Prozent sind 7 von 35? 7 1 2 = = = 20% p% = 35 5 10 Gesucht: Prozentwert P: Wie viel sind 20 % von 75 €? 20 % von 75 € = 0,20 ⋅ 75 € = 15€ Gesucht: Grundwert G: 25 % vom Grundwert sind 45 € 5 % vom Grundwert sind 9€ 100 % vom Grundwert sind 20 ⋅ 9 € = 180€ 4. Relative Häufigkeit bei Zufallsexperimenten Beispiele: 1. Es wird 200 mal gewürfelt. Dabei kommt die Augenzahl 6 40 mal vor. Die relative Häufigkeit für die 40 1 = = 20% Augenzahl 6 ist dann: 200 5 2. Bei einer Geschwindigkeitskontrolle wurden 300 Autos, darunter 50 mit roter Farbe überprüft. 120 Autos fuhren zu schnell, darunter waren 20 rote Autos. Erstelle eine Vierfeldertafel und gib an: a) die relative Häufigkeit der zu schnellen roten Autos, b) wie viel Prozent der nicht roten Autos zu schnell fuhren. zu schnell nicht zu schnell a) rot 20 30 50 nicht rot 100 150 250 120 180 300 20 2 = 6 % ≈ 6,7% 300 3 b) Anteil der nicht roten Autos die zu schnell waren: 150 = 60% 250 5. Geometrie a) Körpernetze und Schrägbilder Um sich einen Körper besser vorstellen zu können, zeichnet von ihm ein Schrägbild. Wird die Oberfläche eines Körpers längs geeigneter Kanten aufgeschnitten, so erhält man ein Netz des Körpers. Der Oberflächeninhalt eines Körpers ist gleich dem Flächeninhalt seines Netzes. WGG Neumarkt Grundwissen und -fertigkeiten Mathematik Jahrgangsstufe 6 3/4 b) Flächeninhalte Dreieck Trapez Parallelogramm c Höhe h Höhe h Höhe h Mittellinie m A= 1 2 Grundseite g a Grundseite g ⋅g⋅h A = m⋅h = 1 2 ⋅ (a + c ) ⋅ h A = g⋅h Beispiel: A = ATrapez + ADreieck = 12 ⋅ (12m+15m) ⋅ 7m+ 2 2 1 2 3m = = ⋅ 15m ⋅ 3m 15m 7m 2 = 94,5m + 22,5m = 117m 12m c) Rauminhalte Die Größe des Raumes, die ein Körper einnimmt, nennt man Rauminhalt (Volumen). V = 5 cm 3 bedeutet: Der Körper hat das fünffache Volumen eines Zentimeterwürfels. 1cm 1cm V = 5cm3 1cm Die Umrechnungszahl für Volumeneinheiten ist 1000. 1 m3 = 1000 dm3 1 dm3 = 1000 cm3 1 cm3 = 1000 mm3 1 hl 1 l 1 ml außerdem: = 100 l = 1 dm3 = 1 cm3 Formeln: Das Volumen des Quaders berechnet sich durch Länge mal Breite mal Höhe (Achtung: gleiche Einheiten verwenden!). Quader V h b l V=l⋅b⋅h Beispiel: Würfel a 2m 9m V a 4m a V=a⋅a⋅a=a 8m 3 V = VQuader + VPrisma = = 8cm ⋅ 4cm ⋅ 2cm+ 12 ⋅ 8cm ⋅ 7cm ⋅ 4cm = = 64cm2 + 112cm2 = 176cm2 WGG Neumarkt