1. Zahlen 2. Rechengesetze und Rechenregeln

Grundwissen und -fertigkeiten Mathematik Jahrgangsstufe 6
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1. Zahlen
Rationale Zahlen:
Beispiele:
Umwandlungen:
Q enthält die ganzen Zahlen Z und zusätzlich die Bruchzahlen bzw. endliche,
periodische und gemischt periodische Dezimalzahlen.
7
2
9
(echter Bruch); 1 (gemischte Zahl) = (unechter Bruch)
8
7
7
3,14 (endlicherDezimalzahl); 1,4343... = 1, 43 (periodische Dezimalzahl)
1,4333... = 1,43 (gemischt periodische Dezimalzahl)
37
5
8
= 8 : 15 = 0,53 ; 0,37 =
;
0, 5 =
100
9
15
2. Rechengesetze und Rechenregeln
a) Rechnen mit Brüchen
Addieren/Subtrahieren
Bei gleichnamigen Brüchen werden die Zähler addiert /subtrahiert und die Nenner
beibehalten.Ungleichnamige Brüche müssen erst gleichnamig gemacht werden.
Beispiele:
1
7
1
5
2
3 1 4 1 3 1 9
2
7
 7
 7
+ = = ; − =
−
=
; 1 − 3 = − 3 − 1  = − 3 − 1  = −2
3
15
8 8 8 2 4 6 12 12 12
15
 15 15 
 15 3 
Multiplizieren
Die Zähler und Nenner werden jeweils miteinander multipliziert. Gemischte Zahlen müssen in
unechte Brüche umgewandelt werden. Vor dem Ausmultiplizieren sollte gekürzt werden.
1 1 7 1 7
1
Beispiel: 2 ⋅ = ⋅ = = 1
3 2 3 2 6
6
Dividieren
Durch einen Bruch wird dividiert, indem man mit dem Kehrbruch multipliziert.
9 3 9 2 9 ⋅ 2 3 ⋅1 3
1
=
= =1
Beispiel: : = ⋅ =
4 2 4 3 4 ⋅ 3 2 ⋅1 2
2
b) Rechnen mit Dezimalzahlen
Addieren/Subtrahieren: Rechne wie mit ganzen Zahlen mit Berücksichtigung des Kommas.
Multiplizieren:
Dividieren
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Beipiel: 1,43 + 2,5 = 3,93; 1 - 2,6 = - 1,6
Rechne zunächst ohne Rücksicht auf´s Komma; das Ergebnis erhält so
viele Nachkommastellen, wie die Faktoren zusammen haben.
Beispiel: 0,03 . 2,5 = 0,075
Verschiebe das Komma bei Dividend und Divisor um gleich viele
Stellen nach rechts, damit der Divisor kommafrei ist.
Beim Überschreiten des Kommas im Dividenden wird das Komma
gesetzt.
Beispiel: 0,015 : 0,75 = 1,5 : 75 = 0,02
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3. Prozentrechnung:
Prozente geben Bruchteile an. Prozent bedeutet Hundertstel.
17
34
5
=
= 34% ; 0,076 = 7,6% ;
= 0,7142... ≈ 71,4%
Beispiele:
50 100
7
Prozentsatz, Grundwert, Prozentwert
Es gilt:
p
100
p% von G = P
p% =
Beispiele:
Gesucht: Prozentsatz p%:
p% = Prozentsatz
G = Grundwert
P = Prozentwert
Dem Grundwert werden immer 100 %
zugeordnet.
Wie viel Prozent sind 7 von 35?
7 1 2
= =
= 20%
p% =
35 5 10
Gesucht: Prozentwert P:
Wie viel sind 20 % von 75 €?
20 % von 75 € = 0,20 ⋅ 75 € = 15€
Gesucht: Grundwert G:
25 % vom Grundwert sind
45 €
5 % vom Grundwert sind
9€
100 % vom Grundwert sind 20 ⋅ 9 € = 180€
4. Relative Häufigkeit bei Zufallsexperimenten
Beispiele:
1. Es wird 200 mal gewürfelt. Dabei kommt die Augenzahl 6 40 mal vor. Die relative Häufigkeit für die
40 1
= = 20%
Augenzahl 6 ist dann:
200 5
2. Bei einer Geschwindigkeitskontrolle wurden 300 Autos, darunter 50 mit roter Farbe überprüft.
120 Autos fuhren zu schnell, darunter waren 20 rote Autos. Erstelle eine Vierfeldertafel und gib an:
a) die relative Häufigkeit der zu schnellen roten Autos,
b) wie viel Prozent der nicht roten Autos zu schnell fuhren.
zu schnell
nicht zu schnell
a)
rot
20
30
50
nicht rot
100
150
250
120
180
300
20
2
= 6 % ≈ 6,7%
300
3
b) Anteil der nicht roten Autos die zu schnell waren:
150
= 60%
250
5. Geometrie
a) Körpernetze und Schrägbilder
Um sich einen Körper besser vorstellen zu können,
zeichnet von ihm ein Schrägbild.
Wird die Oberfläche eines Körpers längs geeigneter
Kanten aufgeschnitten, so erhält man ein Netz des
Körpers.
Der Oberflächeninhalt eines Körpers ist gleich dem
Flächeninhalt seines Netzes.
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b) Flächeninhalte
Dreieck
Trapez
Parallelogramm
c
Höhe h
Höhe h
Höhe
h
Mittellinie m
A=
1
2
Grundseite g
a
Grundseite g
⋅g⋅h
A = m⋅h =
1
2
⋅ (a + c ) ⋅ h
A = g⋅h
Beispiel:
A = ATrapez + ADreieck
= 12 ⋅ (12m+15m) ⋅ 7m+
2
2
1
2
3m
=
=
⋅ 15m ⋅ 3m
15m
7m
2
= 94,5m + 22,5m = 117m
12m
c) Rauminhalte
Die Größe des Raumes, die ein Körper einnimmt, nennt
man Rauminhalt (Volumen).
V = 5 cm 3 bedeutet: Der Körper hat das fünffache
Volumen eines Zentimeterwürfels.
1cm
1cm
V = 5cm3
1cm
Die Umrechnungszahl für Volumeneinheiten ist 1000.
1 m3 = 1000 dm3
1 dm3 = 1000 cm3
1 cm3 = 1000 mm3
1 hl
1 l
1 ml
außerdem:
= 100 l
= 1 dm3
= 1 cm3
Formeln:
Das Volumen des Quaders berechnet sich durch Länge mal Breite mal Höhe (Achtung: gleiche
Einheiten verwenden!).
Quader
V
h
b
l
V=l⋅b⋅h
Beispiel:
Würfel
a
2m
9m
V
a
4m
a
V=a⋅a⋅a=a
8m
3
V = VQuader + VPrisma =
= 8cm ⋅ 4cm ⋅ 2cm+ 12 ⋅ 8cm ⋅ 7cm ⋅ 4cm =
= 64cm2 + 112cm2 = 176cm2
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