zahlen auf einem papyrusfetzen in der osloer

zahlen auf einem papyrusfetzen in der osloer

The Hindu astronomer Varâhamihira (505 A. D) has given a 4-square
with total 18, and has called it sarvatobhadra
("magic in all respects").
This square is continuous according to the definition of Paul Carus. 1
In a Jaina inscription found among the ruins of the ancient town of
Khajuraho occurs a 4-square with total 34. This belongs to the eleventh
century. In the Tijapapahutta stotra we find another 4-square with total 170.
T h e date of this is uncertain, but it can not be later than the fourteenth
century.
A complete theory of the construction of magic squares is found in
the Ganita-kaumudî, a work on arithmetic and mensuration, by the Hindu
mathematician Nârâyana who flourished in the 14th century. It is probably
the first work that contains a mathematical treatment of the subject. It is
here that we find for the first time a classification of squares into An, An+ 2,
An+\
types. Nârâyana gives methods for the construction of An and
An±\
squares by the method of superposition of two squares. The method of
superposition was discovered in the west by de la Hire (1705) and forms
the basis of most of the work that was subsequently done on the subject.
Nârâyana gives also the method of the knight's move for the construction
of 4/2-squares and the well known method of constructing odd squares by
filling parallel to the diagonal. He attributes these methods to previous
authors.
A number of interesting squares constructed by novel methods have
been found in the writings of the Jaina monks Dharamânanda 2 and Sundarasurî 3 both of whom lived in the fifteenth century. T w o of the methods
have been discovered recently by Schubert and Andrews respectively.
ZAHLEN AUF EINEM P A P Y R U S F E T Z E N
IN DER OSLOER-PAPYRUSSAMMLUNG
Von
POUL HEEGAARD, Oslo.
In der Papyrussammlung der Universitätsbibliothek zu Oslo befindet
sich ein kleines unregelmäßiges Stück, ungefähr 4 . 3 x 1 . 4 cm. groß (P. Oslo
inv. 1336). Es stammt von Tebtunis in Fay um und ist wahrscheinlich aus
dem 2. bis 4. Jahrhundert nach Chr. Die zwei Zeichen in der 7. Zeile
haben eine so große Ähnlichkeit mit den Ziffern 2 und 3, daß man bei
1
W . S. A n d r e w s , Magic
2
Catuhsasti-yogini-mandal
3
T h e squares occur in a stotra
276
squares and cubes, Chicago, 1908, p. 125.
stuti of Dharmânanda.
by Sundarasun.
einer ersten ganz oberflächlichen Betrachtung sich fragen könnte,
ob hier indischer Einfluß sich äußert. Das ist aber schon wegen
des Zeitpunkts ganz unwahrscheinlich. Außerdem befinden sich
solche Zahlzeichen, die Ähnlichkeit mit 2 und 3 haben, auch
unter den alten hieratischen und demotischen Zahlzeichen.
Mehrere von den Zeichen sind übrigens ähnlich solchen Zeichen,
z. B. das in Zeile i ( = 5), das rechts in Zeile 2 und das links in
Zeile 5. Ich bin nicht sachkundig und deshalb wage ich nicht,
Vermutungen über die anderen Zeichen — ob sie Zahlen oder
W o r t e bedeuten — zu äußern. Die Absicht dieser wenigen
Worte ist nur die Sachkundigen auf dieses Stückchen Papyrus
aufmerksam zu machen. Ich überschätze seine Bedeutung nicht. Das Material
von altägyptischen Zahlzeichen ist aber so spärlich daß man jedes Vorkommen sorgfältig rubrizieren soll.
Professor O. NEUGEBAUER bemerkt hierzu : Soweit ich sehe, lassen sich
sämtliche Zeichen ganz ungezwungen im Rahmen des üblichen spätägyptischen Schriftsystems deuten. Z. B. sieht die Präposition m wie eine 3 aus
(Zeile 2 links), in Zeile 3 links steht ein Ackermaß (— A r u r e ) , in Zeile 6
zwei Zeichen für Hohlmasse (— und — Scheffel).
Die Linierung ist in
dieser Zeit ganz üblich, der Vertikalstrich könnte eine Kolumnentrennung
sein. Ich wTürde das Bruchstück als einem eine landwirtschaftliche Abrechnung enthaltenden hieratischen Papyrus angehörig ansehen.
B E M E R K U N G E N ZUM
DER B A B Y L O N I S C H E N
Von
NACHLEBEN
MATHEMATIK
K U R T VOGEL, München.
Herr NEUGEBAUER hat in seinem Vortrag am 16. Juli einem größeren, nicht
ausschließlich historisch interessierten Kreis einen Überblick gegeben über
die Zusammenhänge der babylonischen mit der griechischen Mathematik.
In Ergänzung hiezu sollte vor der historischen Sektion die Bedeutung der
babylonischen Tradition an zwei konkreten Einzelbeispielen hervorgehoben
und insbesondere auch gezeigt werden, daß tatsächlich von einem bereits
algebraischen Charakter der babylonischen Mathematik gesprochen werden muß.
Das erste behandelte Problem war das der quadratischen und biquadratischen „Gleichungen". Die Verwandtschaft zwischen babylonischer
und griechischer Mathematik tritt hier klar zu Tage und zwar nicht nur
in der Art der Aufgabenstellung und der systematischen, vom Einfachen
277