Konstruktion kubischer Wurzeln mittels Origami

Julius-Maximilians-Universität Würzburg
Fakultät für Mathematik und Informatik
Institut für Mathematik
Wissenschaftliche Arbeit zur Erlangung des
akademischen Grades eines
BACHELOR OF SCIENCE
Konstruktion kubischer Wurzeln mittels
Origami
eingereicht von:
Lena Lorang ‹[email protected]›
eingereicht am:
10. September 2014
Betreuer:
Herr Prof. Dr. Jörn Steuding
Inhaltsverzeichnis
1
Geschichtliche Hintergründe
2
Konstruktion von
2.1
2.2
3
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Alperins Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lills Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Lills Methode zum Lösen kubischer Gleichungen . . . . .
3.2.2 Lills Methode mittels Origami . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Ein Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.4 Fragestellung: Ist es möglich, am Koeffizientenpfad die Anzahl der rellen Lösungen zu erkennen? . . . . . . . . . . .
Ausblick: Falten von Wurzeln höheren Grades
4.1
5
7
. 8
. 8
. 10
. 11
. 13
Lösen allgemeiner kubischer Gleichungen mittels Papierfaltung
3.1
3.2
4
√3
2 mittels Papierfaltung
Margharita Belochs Beweis . . . . . .
2.1.1 Die Beloch-Faltung . . . . . .
2.1.2 Das Beloch-Quadrat
√3 . . .2 . .
2.1.3 Konstruktion von 2 im R .
Ein weiterer Beweis . . . . . . . . . .
5
15
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15
18
18
22
23
. 26
29
Falten biquadratischer Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Fazit
31
Literaturverzeichnis
33
Erklärung
35
3
1 Geschichtliche Hintergründe
Die Ursprünge des Origami sind alles andere als klar. Oft wird vermutet, dass die
Idee, Papier zu grazilen Figuren zu falten, bereits mit der Erfindung des Papiers –
und somit ebenfalls in China – geboren wurde (cf. [9]).
Auch die Wurzeln des Einfalls, Papierfaltung als ein Werkzeug für geometrische
Konstruktionen zu nutzen, sind unbekannt. In Japan wurden alte Sangakus – Tafeln
mit mathematischen Problemen, ca. 1600-1890 – gefunden, auf denen geometrische Papierfaltungs-Probleme dargestellt sind. Dies könnte als Anhaltspunkt dafür
gelten, dass es eine japanische Origami-Tradition gibt.
Die erste bekannte mathematische Abhandlung über Konstruktionen durch Faltung
ist aber T. Sundara Rows Buch Geometric Exercises in Paper Folding, das im Jahr
1893 erstmals veröffentlicht wurde. Dieses Buch trug anscheinend ausschlaggebend
dazu bei, dass Papierfaltungsgeometrie in dieser Zeit populärer wurde (cf. [6]).
Allerdings definiert Row in seinem Werk nicht die grundlegenden Origami-Axiome,
sondern nutzt nur sehr vage Faltungen, die beispielsweise verwendet werden, um
Punkte und Linien auf bereits konstruierten Punkten und Linien zu platzieren.
Eine Vorgehensweise in der Art der Beloch-Faltung
√3 fehlt noch gänzlich, und so behauptet Row irrtümlich, dass es unmöglich sei, 2 mittels Papierfaltung exakt zu
konstruieren [10, S.55]. In der Folgezeit – dem frühen zwanzigsten Jahrhundert –
scheint Rows Werk ein großes Interesse an Origami geweckt zu haben, denn es erschienen einige Artikel, die sich darauf konzentrierten, die Lösungen quadratischer
Gleichungen möglichst elegant zu konstruieren. Die Autoren dieser Abhandlungen
zitieren samt und sonders Row als Hauptquelle.
Ein im Jahr 1930 erschienener Artikel von Giovanni Vacca mit dem Titel Della
piegatura della carta applicata alla geometria (Über die Anwendung der Papierfaltung in der Geometrie) [11], der Rows These, man könne kubische Wurzeln nicht
falten, weder bestätigte noch widerlegte, inspirierte nun offenbar Margharita Piazolla Beloch. Sie war geboren im Jahr 1879 und die Tochter des an der Universität
von Rom tätigen, renommierten Historikers Karl Julius Beloch. Später arbeitete sie
als algebraische Geometerin an der Universität von Ferrara.
Im Jahr 1936 veröffentlichte sie Sul metodo del ripiegamento della carta per la risoluzione dei proglemi geometrici (Über die Methode der Papierfaltung zur Lösung
geometrischer Probleme) [2] in der Zeitschrift Periodico di Matematiche. Dieser Artikel scheint – zusammen mit Vaccas Arbeit von 1930 – der Beweis dafür zu sein,
dass Beloch als Erste herausfand, dass es möglich ist, mittels Origami gemeinsa5
1 Geschichtliche Hintergründe
me Tangenten an zwei Parabeln zu finden und demgemäß kubische Gleichungen zu
lösen.
6
√
3
2 Konstruktion von 2 mittels
Papierfaltung
Genau wie Konstruktionen mit Zirkel und Lineal lassen sich Konstruktionen durch
Papierfaltung mithilfe weniger simpler Axiome beschreiben. Diese grundlegenden
Axiome leiten zu verschiedenen Möglichkeiten an, bereits vorhandene Punkte auf
einem Blatt Papier durch gerade Falze miteinander in Zusammenhang zu bringen.
Die bekanntesten Axiome sind in diesem Zusammenhang wohl die sechs als HuzitaAxiome bekannten Regeln 1 , die im Jahr 1989 eingeführt wurden.
Beispielsweise wird hier die Methode definiert, mithilfe einer einzigen geraden Faltung zwei vorgegebene Punkte P1 und P2 aufeinander zu platzieren. Ein anderes
grundlegendes Beispiel bildet die Möglichkeit, zwei vorgegebene Punkte P1 und P2
mittels einer gefalteten Linie zu verbinden.
Das sechste Axiom ist die sogenannte Beloch-Faltung, auf die im Folgenden näher
eingegangen wird. Dabei sollte bereits im Voraus erwähnt werden, dass diese Faltung nicht überall in die Fachliteratur Eingang fand. In einigen Artikeln, und auch
Sundara Rows Geometric Exercises in Paper Folding [10], gilt diese besondere Faltung als nicht zugelassen, und somit das Lösen kubischer Gleichungen wie auch
x3 − 2 = 0 als nicht möglich.
√3 Behauptung:
2 ist durch Origami konstruierbar.
1
Die sechs Huzita-Axiome (cf. [8]):
1. Zwei beliebige Punkte in der Ebene können durch eine einzige Falz verbunden werden.
2. Seien P1 und P2 zwei beliebige Punkte in der Ebene. Dann kann P1 auf P2 gefaltet werden.
3. Seien zwei Linien in der Ebene gegeben. Dann kann man die eine Linie auf die andere falten.
4. Seien ein Punkt P und eine Linie in der Ebene gegeben. Dann kann man eine Linie falten,
die senkrecht auf der gegebenen Linie steht, und durch den Punkt P geht.
5. Seien P1 und P2 zwei Punkte in der Ebene, und l eine Linie, dann gibt es eine Faltung, die
P1 auf l platziert, sodass die Falz durch P2 geht.
6. Seien P1 und P2 zwei Punkte und l1 und l2 zwei Linien in der Ebene, dann gibt es eine
Faltung, die P1 auf l1 und P2 auf l2 plaziert. Dieses Axiom ist auch bekannt als BelochFaltung.
7
2 Konstruktion von
√3
2 mittels Papierfaltung
2.1 Margharita Belochs Beweis
2.1.1 Die Beloch-Faltung
Die erste Person, die erkannte, dass Origami nicht nur schön auszusehen sondern
tatsächlich sogar wichtige mathematische Kostruktionsprobleme zu lösen vermag
und in der Hinsicht sogar probater ist als die Konstruktion mit Zirkel und Lineal2 ,
war im Jahr 1936 eine italienische Mathematikerin namens Margharita Piazolla Beloch. Sie entwickelte die nach ihr benannte Beloch-Faltung [6], die eigentlich für
sich genommen schon die Lösungen kubischer Gleichungen erlaubt:
Man kann, wenn man zwei Punkte P1 und P2 und zwei Linien l1 und l2 gegeben hat,
mit einem einzigen Falz simultan P1 auf l1 und P2 auf l2 legen.
Abb. 2.1: Die Beloch-Faltung (aus [6])
Wie nun ist es möglich, mit dieser einen Faltung eine kubische Gleichung zu lösen?
Wenn man einen Punkt P auf eine vorgegebene Linie l faltet, ist der resultierende
Falz die Tangente einer Parabel mit Brennpunkt P und Leitgerade l. Einen Punkt
auf eine Linie zu falten ist demnach dasselbe wie einen Punkt auf einer bestimmten Parabel festzulegen, was wiederum äquivalent zum Lösen einer quadratischen
Gleichung ist.
2
8
√3
2 ist mit Zirkel und Lineal nicht konstruierbar:
Jede mit Zirkel und Lineal aus der Streckenlänge 1 konstruierbare
Strecke z liegt in einer nor√3
malen Körpererweiterung L/Q vom Grad 2n . Für a = 2 ist aber [Q(a) : Q] = 3, und darum ist
a in keinem Körper vom Grad 2n über Q enthalten (cf. [13])
2.1 Margharita Belochs Beweis
Abb. 2.2: Konstruieren einer Tangente an eine Parabel (aus [6])
Die Beloch-Faltung kann demnach wie folgt interpretiert werden:
P1 auf l1 zu falten ergibt eine Tangente an die Parabel mit Brennpunkt P1 und Leitgerade l1 , P2 auf l2 liefert dementsprechend eine Tangente an die Parabel mit Scheitel P2 und Leitgerade l2 . Diese Faltung findet also eine gemeinsame Tangente an die
beiden Parabeln.
Abb. 2.3: Zwei Parabeln haben höchstens drei gemeinsame Tangenten (aus [6])
Man stelle sich die beiden Parabeln
p1 : (y − n)2 = 2a(x − m)
und
p2 : x2 = 2by
vor [4]. Nun sei
t : y = cx + d
eine gemeinsame Tangente an diese beiden Parabeln. Man nehme nun an, dass
P1 (x1 , y1 ) der Punkt ist, in dem t p1 tangiert. Dann kann man t auch mithilfe der
Gleichung
(y − n)(y1 − n) = a(x − m) + a(x1 − m)
9
2 Konstruktion von
√3
2 mittels Papierfaltung
beschreiben, also
y=
ax1 − 2am
a
x+n+
.
y1 − n
y1 − n
Dann ist c = y1a−n und d = n + axy11−2am
−n
d−n
und deshalb y1 = a+nc
,
x
=
+
2m
1
c
c
und
(y1 − n)2 = 2a(x1 − m)
!
d−n
a2
+m
⇒ 2 = 2a
c
c
⇒ a = 2c(d − n + cm).
Ebenso sei P2 (x2 , y2 ) der Punkt, in dem t p2 tangiert. Dann ist t auch durch die
Gleichung
x2
y = x − y2
b
repräsentiert, was wiederum zu
bc2
d=−
2
führt.
Indem man nun für d substituiert, erhält man
!
bc2
a = 2c −
− n + cm
2
⇔ bc3 − 2mc2 + 2nc + a = 0
2m 2 2n
a
c + c + = 0.
b
b
b
Also ist die Steigung der gemeinsamen Tangente eine Lösung c der kubischen Gleichung
a
2m 2 2n
c3 −
c + c + = 0.
b
b
b
Demnach ist die Beloch-Faltung äquivalent zur Lösung einer kubischen Gleichung.
⇔ c3 −
2.1.2 Das Beloch-Quadrat
√3
Einen weiteren wichtigen Schritt zur Konstruktion von 2 bietet das sogenannte
Beloch-Quadrat:
Dazu seien zwei Punkte A und B und zwei Linien r und s in der Ebene gegeben. Man
konstruiere nun ein Quadrat WXYZ, mit zwei gegenüber- und auf r und s liegenden
Ecken X und Y. Außerdem sollen die Seiten WX und YZ oder deren Verlängerungen
durch die Punkte A und B verlaufen.
10
2.1 Margharita Belochs Beweis
Abb. 2.4: Das Beloch-Quadrat (aus [6])
Zur Konstruktion dieses Quadrats benötigt man die zwei gegebenen Punkte A und
B und die beiden Linien r und s. Nun verdoppele man den Abstand von A und r
und konstruiere eine neue Linie r0 , die parallel zu r sei, so dass r zwischen A und
r0 liege. Ebenso verfahre man mit B und s und erzeuge die Linie s0 . Diese beiden
Linien können leicht unter Zuhilfenahme der oben erwähnten Axiome konstruiert
werden.
Anschließend folgt die Beloch-Faltung:
Man falte simultan A auf r0 und B auf s0 und erhalte die Punkte A0 und B0 . Der so
erzeugte Falz halbiert außerdem als Lot die Strecken AA0 und BB0 . Seien nun X und
Y genau die Mittelpunkte dieser Strecken, so liegt X auf r und Y auf s.
Abb. 2.5: Konstruktion des Beloch-Quadrats (aus [6])
Die Strecke XY kann demnach eine Seite des Beloch-Quadrats sein, und da AX und
BY senkrecht auf XY stehen, liegen A und B auf gegenüberliegenden Seiten – oder
deren Verlängerungen – dieses Beloch-Qadrats.
2.1.3 Konstruktion von
√3
2 im R2
Mithilfe des Beloch-Quadrats lässt sich nun
√3
2 plausibel konstruieren.
11
2 Konstruktion von
√3
2 mittels Papierfaltung
Hierfür nehme man s als x-Achse und r als y-Achse, A sei der Punkt (−1, 0) und B
sei der Punkt (0, −2). Nun konstruiere man die Linien r0 mit Gleichung x = 1 und
s0 mit Gleichung y = 2.
Wenn man anschließend mithilfe der Beloch-Faltung A auf r0 und B auf s0 faltet,
erhält man einen Falz, der r im Punkt X und s im Punkt Y schneidet.
Abb. 2.6: Konstruktion von
√3
2 mithilfe des Beloch-Qadrats (aus [6])
Sei nun O der Ursprung, so sind 4OAX, 4OXY und 4OBY ähnliche Dreiecke, da
XY senkrecht auf AA0 und BB0 steht (cf. [2]).
Deshalb gilt
|OX| : |OA| = |OY| : |OX| = |OB| : |OY|.
Es ist |OA| = 1, und damit |OB| = 2. Es ergibt sich
|OX| = |OY| : |OX| = 2 : |OY|.
Damit folgt nun endlich
|OY| 2
=2
|OX|3 = |OX| |OX|
|OY|
und schließlich
√3
X = (0, 2).
12
2.2 Ein weiterer Beweis
2.2 Ein weiterer Beweis
√3
Eine weitere - und auch simplere - Art, 2 zu falten, demonstriert folgender Beweis
[8]:
Man beginne mit einem quadratischen Blatt Papier. Dies habe Kantenlänge 1, und
sei in drei gleich große Rechtecke unterteilt 3 .
Abb. 2.7: Konstruktion von
√3
2 durch Faltung (nach [8])
Auch hier wird die Beloch-Faltung genutzt, um einen Falz zu erzeugen, der den
Punkt P1 auf die Linie L1 , und den Punkt P2 auf die Linie L2 legt. Die Behauptung
sei nun, dass das Bild von P√1 die linke Papierkante in zwei Abschnitte unterteile,
3
deren Längen im Verhältnis 2 zueinander stünden.
√3
x
= 2 gilt.
Es muss also bewiesen werden, dass in der Abbildung 1−x
Die beiden mittelgrau unterlegten Dreiecke sind ähnlich, und daraus folgt:
3x − 1 =
x−
1
3
1
3
=
1−z
1
=
,
z
z−1
beziehungsweise 3xz = 1 oder 3x(2z) = 2.
Für das größere dieser beiden Dreiecke gilt jedoch nach Pythagoras:
(1 − x)2 + (1 − z)2 = z2 oder
2z = (1 − x)2 + 1.
Also ist
3x[(1 − x)2 + 1] = 2, beziehungsweise x3 = 2(1 − x)3
3
Dies ist ebenfalls mithilfe von Origami möglich, siehe [8, S. 11 ff.]
13
2 Konstruktion von
√3
2 mittels Papierfaltung
und somit ergibt sich als reelle Lösung
√3
x
= 2,
1−x
wie behauptet.
Also ist
√3
1
− 1,
1−x
und diese Länge lässt sich leicht auf einem Papier abtragen.
2=
14
3 Lösen allgemeiner kubischer
Gleichungen mittels Papierfaltung
√3
Dass 2 – und damit die reelle Lösung der kubischen Gleichung x3 = 2 – durch
Faltung von Papier konstruierbar ist, ist damit gezeigt.
Wie sieht es jedoch mit den Lösungen beliebiger kubischer Gleichungen mit rationalen Koeffizienten aus?
Es sei vorweg behauptet, dass es möglich ist, diese ebenfalls auf die beschriebene
Art und Weise zu konstruieren. Im Folgenden werden zwei unterschiedliche Verfahren skizziert, die diese Behauptung rechtfertigen.
Die erste, technisch korrekte, jedoch weniger elegante Methode ist die von Roger
C. Alperin [1].
3.1 Alperins Methode
Alperins Ansatz stützt sich in erste Linie darauf, dass sich rationale Zahlen der Form
a
(a ∈ Z, b ∈ N) mittels Origami konstruieren lassen. Die folgende Methode, die
b
Bezug nimmt auf Masamichi Noma, funktioniert wie folgt (cf. [8]):
Lemma (Nomas Methode)
Rationale Zahlen der Form ab , a ∈ Z, b ∈ N sind faltbar.
Beweis
Man definiere p als die größte Potenz von 2, die kleiner als b ist. Anschließend
konstruiere man die Brüche w = b/2p und x = b/2p entlang der linken und der
oberen Kante. Nun falte man Punkt w auf x und erhält einen Falz entlang der linken
Kante mit Höhe y = p/b. Schließlich konstruiere man relativ zu diesem Abschnitt
den Bruch a/p; als Ergebnis erhält man den gewünschte Bruch a/b.
15
3 Lösen allgemeiner kubischer Gleichungen mittels Papierfaltung
Abb. 3.1: Nomas Methode (aus [8])
Nun sei eine beliebige kubische Gleichung der Form x3 + ax2 + bx + c = 0 mit
rationalen Koeffizienten gegeben. Der quadratische Term lässt sich nun leicht eliminieren, indem man mit z = x − 13 a substituiert.
Das ergibt dann
9ab − 27c − 2a3
3b − a2
3
z−
= 0.
z +
3
27
Demnach kann man eine allgemeine kubische Gleichung der Form x3 + ax + b =
0 voraussetzen, wobei a und b rationale Koeffizienten und folglich konstruierbar
durch Papierfaltung sind.
Man stelle nun die beiden quadratischen Gleichungen
2
y − 12 a = 2bx und y = 12 x2
in den Fokus. Da a und b durch Origami konstruierbar sind, können auch die Koeffizienten dieser beiden Gleichungen gefaltet werden, und dementsprechend auch
die Brennpunkte und Leitgeraden der beiden Parabeln.
Die erste Parabel hat folglich Brennpunkt (b/2, a/2) und Leitgerade x = − 2b , die
zweite Brennpunkt (0, 1/2) und Leitgerade y = − 12 .
Man falte mithilfe der Beloch-Faltung (b/2, a/2) auf x = − b2 und (0, 1/2) auf
y = − 12 . Dadurch erhält man einen Falz, der Tangente an diese beiden Parabeln
ist.
Sei m die Steigung jener Falzlinie.
Behauptung:
m ist eine Wurzel von x3 + ax + b = 0
Beweis:
Sei (x0 , y0 ) der Berührungspunkt der Tangente mit der ersten Parabel und (x1 , y1 )
derjenige mit der zweiten Parabel. Es lassen sich die beiden Parabelgleichungen
ableiten und die Berührungspunkte sowie m einsetzen, um erneut Gleichungen zu
16
3.1 Alperins Methode
erhalten.
Die erste Gleichung hat zum Resultat
b
∆y
=
,
∆x→0 ∆x
y − a/2
lim
also
m=
b
.
y0 − a/2
Mit der zweiten erhält man m = x1 und demgemäß y1 = (1/2)m2 . Desweiteren
ergibt sich, wenn man (x0 , y0 ) in die erste Parabelgleichung einsetzt,
b
(y0 − a/2)2
=
.
x0 =
2b
2m2
Nun kann nach m aufgelöst werden:
2
m
− 2a − mb
y1 − y0
2
m=
=
.
x1 − x0
m − 2mb 2
Simplifiziert erhält man letztlich m3 + am + b = 0.
17
3 Lösen allgemeiner kubischer Gleichungen mittels Papierfaltung
3.2 Lills Methode
Eine weitere – und anschaulichere – Methode zur Konstruktion der reellen Lösungen von Gleichungen dritten Grades, die auch mit Origami kombinierbar ist, ist die
des österreichischen Ingenieurs Eduard Lill von 1867 (cf. [5]).
3.2.1 Lills Methode zum Lösen kubischer Gleichungen
Es sei eine beliebige Gleichung der Form
ax3 + bx2 + cx + d = 0
mit reellen Koeffizienten gegeben. Zum Finden einer reellen Lösung dieser Gleichung geht Lill geometrisch vor: Seine Methode kreiert einen Pfad in der Ebene,
der auf den Koeffizienten der Gleichung basiert:
Abb. 3.2: Lills Methode (nach [5])
Man starte am Ursprung, dem Punkt O, und zeichne eine Strecke der Länge a entlang der positiven x-Achse. Anschließend drehe man sich um 90◦ im Uhrzeigersinn
und zeichne eine Strecke der Länge b ab. Dieses Verfahren wiederhole man für die
Koeffizienten c und d und ende schließlich am Punkt T . Zu beachten ist, dass, wenn
einer der Koeffizienten negativ ist, man sich zwar um 90◦ im Uhrzeigersinn drehe,
jedoch die Strecke rückwärts gehe, also in die entgegengesetzte Richtung abtrage.
Wenn ein Koeffizient gleich Null ist, drehe man sich zwar, zeichne aber keine Strecke.
18
3.2 Lills Methode
Nun stelle man sich vor, man stehe am Punkt O und versuche, den Punkt T mit einer
Kugel zu erschießen1 , die von dem Koeffizientenpfad oder von den Verlängerungen
der Strecken in einem rechten Winkel abpralle (siehe Abbildung).
Satz (Lills Theorem):
Wenn der Punkt T von diesem Kugelweg erfolgreich getroffen wird, und θ der Winkel ist, den dieser Weg im Punkt O mit der x-Achse einschließt, dann ist
x = − tan θ
eine reelle Wurzel der kubischen Gleichung.
Beweis:
Für den Beweis [5] ist es wichtig, zu erkennen, dass alle Dreiecke in der Figur
ähnlich sind, dass also
θ = ∠q1 Op1 = ∠q2 q1 p2 = ∠T q2 p3
gilt.
Jedes dieser Dreiecke kann demnach genutzt werden, um tan θ zu kalkulieren.
Man starte mit 4Op1 q1 . dann erhält man
−x = tan θ =
|p1 q1 | b − |q1 p2 |
=
a
a
⇒ |q1 p2 | = ax + b.
Nun betrachte man 4q1 p2 q2 .
−x = tan θ =
|p2 q2 | c − |p3 q2 |
=
|q1 p2 |
ax + b
⇒ |p3 q2 | = x(ax + b) + c.
Schließlich erhält man, 4q2 p3 T betrachtend,
−x = tan θ =
d
d
=
|p3 q2 | x(ax + b) + c
⇒ 0 = x(x(ax + b) + c) + d = ax3 + bx2 + cx + d
Also ist x = − tan θ eine Wurzel der betrachteten kubischen Gleichung.
1
An diesem Punkt sei angemerkt, dass Lill auch Offizier war, was vielleicht die etwas martialische
Vorstellung des “Erschießens” von T erklärt.
19
3 Lösen allgemeiner kubischer Gleichungen mittels Papierfaltung
Bei diesem Beweis wurde jedoch von der Voraussetzung ausgegangen, dass alle
Koeffizienten der kubischen Gleichung positiv sind.
Der Pfad sähe allerdings ganz anders aus, wenn Koeffizienten negativ oder Null
wären.
Beispielsweise könnte der Koeffizient des x-Terms negativ, alle anderen Koeffizienten aber positiv sein. Die kubische Gleichung habe also die Form
ax3 + bx2 − cx + d = 0
mit positiven a, b, c, d. Dann stellt sich der Koeffizienten- und der Kugelpfad qualitativ wie in der folgenden Abbildung dar:
Abb. 3.3: Koeffizientenpfad mit einem negativen Koeffizienten (aus [6])
Der Beweis funktioniert analog:
Für 4Op1 q1 gilt
−x = tan θ =
|p1 q1 | b + |q1 p2 |
=
a
a
⇒ |q1 p2 | = −ax − b.
Für 4q1 p2 q2 gilt
−x = tan θ =
|p2 q2 | c + |p3 q2 |
=
|q1 p2 |
−ax − b
⇒ |p3 q2 | = −x(−ax − b) − c.
20
3.2 Lills Methode
Für 4q2 p3 T gilt schließlich
−x = tan θ =
d
d
=
−c
|p3 q2 | −x(−ax − b
⇒ −ax3 − bx2 + cx = d ⇒ ax3 + bx2 − cx + d = 0.
Die anderen Fälle können ähnlich bewiesen werden.
21
3 Lösen allgemeiner kubischer Gleichungen mittels Papierfaltung
3.2.2 Lills Methode mittels Origami
Margharita Beloch erkannte, dass Lills Methode im kubischen Fall identisch mit
einer Variante ihrer Quadrat-Konstruktion war. Der Pfad hat also - wie in den obigen
Abbildungen - vier Seiten, und der Kugelpfad drei Seiten [6].
Nun stelle man sich O als den Punkt A vor, T als den Punkt B und die verlängerten
b- und c-Seiten als die Linien r und s.
Dann liefert ein Beloch-Quadrat mit entgegengesetzten Ecken auf den Linien r und
s, dessen Seiten bzw. deren Verlängerungen durch O und T gehen, den gesuchten
Kugelpfad:
Abb. 3.4: Das Beloch-Quadrat in Lills Pfadmethode (aus [6])
Demnach kann Origami genutzt werden, um Lills Methode im kubischen Fall zu
vollziehen und beliebige Gleichungen dritten Grades zu lösen, auch für die anderen
Vorzeichen-Kombinationen
22
3.2 Lills Methode
3.2.3 Ein Beispiel
Im Folgenden wird an einem Beispiel gezeigt [5], wie Lills Methode genutzt werden
kann, um die Wurzeln einer kubischen Gleichung per Origami zu finden.
Gegeben sei
x3 − 7x − 6 = 0.
Nun benötigt man ein quadratisches Stück Papier und stelle sich vor, es erstrecke
sich über −4 ≤ x ≤ 12 und −8 ≤ y ≤ 8 in der xy-Ebene.
Zuerst muss das Koordinatensystem und der Koeffizientenpfad vorbereitet werden:
Man halbiere das Papier der Länge nach, um die x-Achse zu konstruieren. Nun
halbiere man es der Breite nach bei x = 4 und falte anschließend die y-Achse und
eine Linie bei x = 8.
23
3 Lösen allgemeiner kubischer Gleichungen mittels Papierfaltung
Als nächstes falte man die Linien bei x = 2 und bei x = 1 und halbiere die negative
y-Achse sowie die Parallele der positiven y-Achse bei x = 8.
Nun falte man die Linie bei y = −6 und den Punkt (8, 6) und nenne diesen Punkt T ,
den Punkt (0, 0) nenne man O und die Linien bei y = −6 und x = 2 L1 und L2 .
24
3.2 Lills Methode
An dieser Stelle kommt Lills Methode zum Einsatz:
Man falte den Punkt O auf die Linie L1 und simultan den Punkt T auf die Linie L2 .
Dafür gibt es in diesem Beispiel drei Möglichkeiten. Es gibt also drei relle Lösungen
der kubischen Gleichung x3 − 7x − 6 = 0.
25
3 Lösen allgemeiner kubischer Gleichungen mittels Papierfaltung
3.2.4 Fragestellung: Ist es möglich, am Koeffizientenpfad die
Anzahl der rellen Lösungen zu erkennen?
Die kubische Gleichung im vorangegangenen Beispiel hatte drei reelle Lösungen.
Jedoch existieren auch Gleichungen mit nur einer reellen Lösung. Woran liegt es
aber, dass eine Gleichung drei, eine andere dagegen nur eine reelle Wurzel besitzt,
und kann man eventuell sogar schon am Koeffizientenpfad erkennen, ob eine Gleichung zu einer oder drei Lösungen führt?
Man gehe aus von einer reduzierten kubischen Gleichung der Form
x3 + px + q = 0
mit p, q ∈ Q. Der Koeffizientenpfad geht also in jedem Fall zuerst vom Ursprung
aus um eins nach rechts, dreht sich anschließend um 180◦ gegen den Uhrzeigersinn,
bewegt sich dann entweder vorwärts oder rückwärts um p auf der x-Achse, dreht
sich um 90◦ gegen den Uhrzeigersinn, um schließlich parallel zur y-Achse q nach
oben oder unten zu verlaufen.
Der Pfad wird also immer ähnlich aussehen. Gleichwohl stellt sich die Frage, wovon
es abhängig ist, ob er drei Lösungen impliziert oder nur eine.
Das Lösungsverhalten der kubischen Gleichung hängt entscheidend von der ihrer
Diskriminante ab [14]. Die Diskriminante der reduzierten kubischen Gleichung ist
D = 4p3 + 27q2 .
Gilt nun D > 0, so gibt es genau eine reelle Lösung und zwei echt komplexe.
Bei D = 0 gibt es entweder eine doppelte und eine einfach reelle Lösung oder eine
dreifache reelle Lösung.
Ist D < 0, so gibt es drei verschiedene reelle Lösungen.
Wenn also
4p3 + 27q2 > 0,
beziehungsweise
q2 > −
gilt, dann existiert nur eine reelle Lösung.
26
4 3
p
27
3.2 Lills Methode
Abb. 3.5: Pfad mit einer reellen Lösung
Hier gibt es offensichtlich nur eine reelle Lösung, nämlich diejenige, die den bereits
vorhandenen rechten Winkel nutzt.
Wenn andererseits gilt
4p3 + 27q2 < 0
27 2
q,
4
dann existieren drei verschiedene reelle Lösungen. In diesem Fall ist p zwingend
negativ.
p3 < −
Abb. 3.6: Pfad mit drei reellen Lösungen
27
3 Lösen allgemeiner kubischer Gleichungen mittels Papierfaltung
Hier kann man – wie im Beispiel – drei reelle Lösungen falten. Anhand dieser
Gleichungen kann man zwar nicht definitiv auf den ersten Blick auf den Koeffizientenpfad entscheiden, ob dieser eine oder drei reelle Wurzeln besitzt, jedoch kann
man es anhand des Größenunterschieds grob einschätzen. Damit es drei reelle Lösungen geben kann, muss p negativ sein. Ist p positiv oder gleich 0, so kann es nur
eine reelle Wurzel geben (außer es gilt D = 0; dieser Fall wird hier außer Acht
gelassen).
Die Frage, ob man schon an der ursprünglichen nicht reduzierten kubischen Gleichung die Anzahl der reellen Nullstellen ablesen kann, ist weitaus komplizierter zu
beantworten. Man gehe von einer normierten kubischen Gleichung der Form
x3 + bx2 + cx + d = 0
aus, da jede kubische Gleichung leicht auf diese Form zu bringen ist.
Nun substituiere man mit x = y − b3 und erhält
y3 + py + q = 0
mit
1
p = c − b2
3
und
2 3 1
b − bc,
27
3
also wieder die reduzierte kubische Gleichung mit Diskriminante D = 4p3 + 27q2 ,
nämlich
!2
!3
1 2
2 3 1
D = 4 c − b + 27 d + b − bc .
3
27
3
q=d+
Um letztlich herauszufinden, für welche Koeffizienten die Diskriminante größer
oder kleiner Null wird, müssen zahlreiche Fallunterscheidungen gemacht werden.
Dies wird hier außer Acht gelassen, und lediglich die nachgewiesene Tatsache festgehalten, dass man der reduzierten kubischen Gleichung direkt die Anzahl ihrer
reellen Lösungen abzulesen vermag.
28
4 Ausblick: Falten von Wurzeln
höheren Grades
Nachdem im vorangegangenen Kapitel das Problem der Faltung kubischer Wurzeln
gelöst werden konnte, liegt nichts näher als die Frage:
Lassen sich auch die reellen Lösungen von Gleichungen höheren Grades mithilfe
von Origami finden?
4.1 Falten biquadratischer Wurzeln
Die Antwort darauf ist im Falle biquadratischer Gleichungen verhältnismäßig simpel.
Diese lassen sich nämlich auf quadratische und kubische Gleichungen reduzieren,
und demzufolge ihre reellen Wurzeln falten, indem die gemeinsamen Tangenten
von Parabeln gefunden werden.
Zu diesem Zweck ist es beispielsweise sinnvoll, sich an Descartes’ Anleitung von
1637 zu orientieren (cf. [7]).
Man gehe im Folgenden immer von einer biquadratischen Gleichung der Form
x4 + ax2 + bx + c = 0
aus. Diese faktorisiere man nun in ein Produkt zweier quadratischer Gleichungen. Da die Gleichung keinen kubischen Faktor besitzt, müssen die linearen Faktoren der beiden quadratischen Gleichungen gleich in ihrer Mächtigkeit sein, aber
verschiedene Vorzeichen haben. Die gesuchte Faktorisierung soll also die Form
(x2 + ux + v)(x2 − ux + w) haben. Mit der ursprünglichen biquadratischen Gleichung
erhält man
v + w − u2 = a
wu − vu = b
vw = c.
Die beiden ersten Gleichungen lassen sich nun schreiben als
v + w = a + u2
b
v−w=− .
u
29
4 Ausblick: Falten von Wurzeln höheren Grades
v und w können also durch u ausgedrückt werden. Eingesetzt führt das zu
u6 + 2au4 + (a2 − 4c)u2 − b2 = 0,
einer kubischen Gleichung in u2 . Diese ist wiederum durch Origami lösbar.
30
5 Fazit
Resümierend lässt sich sagen, dass Origami wohl eine Kunstform ist, die in ihren
Ausdrucks- und Anwendungsmöglichkeiten weit über das hinaus geht, was wahrscheinlich die meisten Menschen damit verbinden. Das Papierfalten erweist sich bei
naher Betrachtung als ein mächtiges Werkzeug der Mathematik, das sehr lange Zeit
unterschätzt und erst gegen Ende des 19. Jahrhunderts überhaupt als ebendieses erkannt wurde.
Allerdings sollte man bei aller abstrakten Beschäftigung mit Gleichungen, die sich
mithilfe der Papierfaltung als lösbar erweisen, nicht das Bestreben vergessen, aus
welchem heraus Menschen vermutlich überhaupt erst anfingen, Papier zu falten:
Origami ist unbestritten eine Kunst, die sowohl dem Geist als auch der Seele Flügel
zu verleihen in der Lage ist. Deshalb folgt abschließend – als Anregung zur Zerstreuung und Kontemplation – die Anleitung für einen Kranich (nach [12]).
Zum Falten eines Kranichs benötigt man ein quadratisches Stück Papier.
Zuerst falte man die Diagonalen des Papiers. Anschließend drehe man es um und
halbiere es auf beide Arten. Danach falte man die drei oberen Ecken auf die untere
– die Falze benutzend, die man bereits gemacht hat.
Nun halbiere man die beiden Winkel am offenen Ende und falte den oberen Abschnitt nach unten. Diese Schritte müssen als nächstes wieder entfaltet werden. Im
nächsten Schritt benutze man die bereits vorhandenen Falze, um den unteren Teil
nach oben zu heben, und die Seiten in die Mitte zu falten.
31
5 Fazit
Anschließend drehe man das Papier um und wiederhole das Ganze.
Diese Form wird die Vogel-Basis genannt.
Jetzt halbiere man wieder die beiden Winkel am offenen Ende, drehe das Papier um
und wiederhole diesen Schritt.
Nun falte man die beiden offenen Enden schräg nach oben, entfalte wieder und benutze die Falze, um die Enden nun nach innen und schräg oben zu falten.
Zum Schluss falte man nur noch eines der Enden nach innen und schräg unten – als
Kopf – und die Flügel etwas nach unten.
Fertig ist der Kranich.
32
Literaturverzeichnis
[1]
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S. 104 - 108.
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[5]
Hull, Thomas C.: “Project Origami: activities for exploring mathematics,”
zweite Ausgabe, CRC Press, 2013.
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Hull, Thomas C.: “Solving Cubics with Creases,” The Mathematical Association of America, 118, April 2011, S. 307 - 315
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Lang, Robert J.: “Origami and
http://www.langorigami.com, 2010.
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Smith, John S.: “Notes on the History of Origami,” Preface to the second
edtition, April 1996.
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Sundara Row, T.: “Geometric Exercises in Paper Folding,” dritte Ausgabe,
Open Court Publishing Company, 1917.
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Vacca, Giovanni: “Della piegatura della carta applicata alla geometria,” Periodico di matematiche, 10, 1930, S. 43 - 50.
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http://wallpirate.com/pretty-origami-crane-instruction-wallpapers-forandroid/
[13]
Wolfart, Jürgen: “Einführung in die Zahlentheorie und Algebra,” Vieweg,
1996.
Geometric
Constructions,”
33
Literaturverzeichnis
[14]
34
Zeidler, Eberhard (Hrsg.): “Springer-Taschenbuch der Mathematik,” 3.
Auflage, Springer Spektrum, 2013.
Erklärung zur wissenschaftlichen
Redlichkeit
Hiermit versichere ich, dass die vorliegende Arbeit von mir selbstständig verfasst
wurde und dass keine anderen als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel benutzt
wurden. Diese Erklärung erstreckt sich auch auf in der Arbeit enthaltene Grafiken
und bildliche Darstellungen.
Ich versichere, dass ich die vorliegende Arbeit bisher oder gleichzeitig keiner anderen Prüfungsbehörde mit der Folge der Verleihung eines akademischen Grades
vorgelegt habe.
Ich versichere, dass ich diese Arbeit niemandem überlassen werde, der die Absicht
hat, diese anderen gegenüber ganz oder teilweise als seine eigene auszugeben.
Ich versichere, dass die eingereichte schriftliche Fassung der auf dem beigefügten
Medium gespeicherten Fassung entspricht.
Würzburg, den 10.09.2014
(Lena Lorang)
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