Algebra

Formelsammlung Algebra
Inhaltsverzeichnis
FormelSammlung
Algebra
1. Allgemein...................................................................................................... 2
2. Matrizen........................................................................................................ 6
3. Folgen......................................................................................................... 10
4. Reihen........................................................................................................ 12
5. Potenzreihen............................................................................................... 13
6. Differentialrechnen...................................................................................... 15
7.10 Numerische Integration........................................................................... 20
8. Partialbruch zerlegung (PBZ)...................................................................... 23
9. Partielle Differentation................................................................................ 24
10. Komplexe Zahlen...................................................................................... 26
11. Differentialgleichungen............................................................................. 28
15. Fourier reihen........................................................................................... 33
16. Laplacetransformation.............................................................................. 36
17. Z-Transformation...................................................................................... 38
51. Eigenschaften von Vektoren..................................................................... 40
53. Trigonometrische Funktionen................................................................... 41
54. Sinussatz und Cosinussatz....................................................................... 43
55. Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen.............................. 44
56. Gleichungen der Geraden......................................................................... 45
57. Die Gleichungen der Ebene...................................................................... 46
58. Das Scalare Produkt zweier Vektoren...................................................... 47
59. Zueinander normale Geraden und Ebenen.............................................. 48
60. Kreis und Kugel........................................................................................ 49
61. Das Vektorprodukt oder Kreuzprodukt...................................................... 51
62. Das Spatprodukt....................................................................................... 52
98. Spezielle Gleichungen.............................................................................. 54
99. Boolesche Algebra.................................................................................... 55
Autor: Drifte Marcel
Datum: 19. Nov. 2006
Dokumentname: Algebra.sxw (openoffice.org)
Dokument zu finden unter: www.formelsammlung.telabo.ch
Autor: M.Drifte
Seite: 1/55
19. Nov. 2006
Formelsammlung Algebra
1.2 Grundlagen
1. Allgemein
n! =
1.1 Mengenlehre
Leere Menge
Menge der natürlichen Zahlen
Menge der nat. Zahlen ohne 0
Menge der ganzen Zahlen
Menge der rationalen Zahlen
Dies gilt für
(n≥1)
Per Definition:
0! = 1
Fakultät
{}
{ 0,1,2,3,4,... }
{ 1,2,3,4,... }
{ ...,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,... }
{
n
∏
k= 1
k = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4⋅ ...⋅ n
( n + 1) ! = ( n + 1) n !
Binominalkoeffizenten
n!
 n =
 k  k !( n − k ) !
p
x I x = q ; p ∈ Z; q ∈ N * }
 n  =  n
 n − k  k
 n + 1 =  n  +  n
 k   k − 1  k 
Das kann durch das Pascalische Dreieck dargestellt werden
k=0
n=0
=1
=2
=3
=4
=5
=6
=7
=8
=9 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
8
9
4
6
7
3
10
21
10
35
84
15
70
=5
1
6
21
56
126
=4
1
5
35
126
=3
1
4
20
56
=2
1
6
15
28
36
2
3
5
=1
1
7
28
84
=6
1
=7
1
8
36
=8
1
9
=9
1
Funktion beim HP48GX
[MTH][PROB][COMB]
Daraus folgt:
( a + b) n =
n
∑
k= 0
Autor: M.Drifte
Seite: 2/55
 n a k b n − k
 k
19. Nov. 2006
Formelsammlung Algebra
1.2.1 Betrag
1.2.2 Logarithmen
Im Taschenrechner unter ABS(x)
Regel:
Stöcker S.50f
Allgemein:
a
a = 
− a
(a>0)
ax = b
x = log a b
(a ≥ 0)
(a < 0)
manchmal auch als a log
Allgemeine Rechenregel:
a = a ⋅ sgn(a )
a
a
=
b
b
log a ( y ) = log a ( x ) ⇔ y = x
log( y ) < log( x ) ⇔ y < x
Summe:
log a (b1b2 ) = log a (b1 ) + log a (b2 )
Differenz:
u
log a ( ) = log a (u) − log a (v )
v
Für reele Zahlen gilt
x2 = x2
sgn(ab) = sgn(a ) ⋅ sgn(b)
Potenz:
log a (b n ) = n × log a (b)
Dreiecksungleichung:
a+ b ≤ a + b
G(ln)
Umformungsregeln
− a = a
ab = a ⋅ b
b geschrieben
Wurzel:
a x = e x ln( a )
1
log a n u =
log a ( u n ) =
1
× log a ( u)
n
Wechseln der Basis
log b x =
Autor: M.Drifte
Seite: 3/55
log a x
lg( x ) ln( x )
=
=
log a b
lg(b) ln(b)
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1.3 Polynome
1.3.1 Horner-Schema
•
1.4 Hyperbolische Funktionen
1.4.1 Definition
Das Hornerschema hilft einem bei der Berechnung von Funktionswerten einer ganzrationalen
Funktion sowie das schrittweise reduzieren einer Polynom Funktion(abspalten einer
Nullstelle).
sinh( x) =
ex − e− x
2
cosh( x) =
ex + e− x
2
tanh( x) =
sinh( x)
cosh( x)
coth( x) =
cosh( x)
sinh( x)
P(x)=a0 + a1x + a2x2 + a3x3
a3
x0
a3
•
a2
a3x0
a2+a3a0
a1
(a2+a3x0)x0
a1+a2x0+a3x20
a0
(a1+a2x0+a3+x20)x0
a0+a1x0+a2x20+a3a30
Das Hornerschema kann verwendet werden um zB. den wert des Polynoms P(x) an der
Stelle x0 zu berechnen.
Mit dem HP GX48
Für konstante Koeffizienten kann
[SOLVE-POLY] Verwendet werden
Die Koeffizienten werden in [ ... a3 a2 a1 a0] angegeben.
1.3.2 Nullstelle aus einer quadratischen Funktion
ax2 + bx + c = 0
− b ± b 2 − 4ac
x1,2 =
2a
Stöcker s 60.
1.3.3 Lösungsmenge
D:
D = b 2 − 4ac
Diskriminate
D=0
D>1
D<0
Diskriminate
Lösungen
Gibt es nur eine reelle Lösung
Gibt es zwei reelle Lösungen
Komplexe Lösungen
1.4.2 Eigenschaften
cosh 2 ( x) − sinh2 ( x) = 1
1.3.4 Satz von Vieta im Stöcker p.60
sinh( x + y) = sinh( x) cosh( y) + cosh( x) sinh( y)
c
a
− b
x1 + x 2 =
a
x1 ⋅ x 2 =
cosh( x + y) = cos( x) cosh( y) + sinh( x) sinh( y)
sinh( − x) = − sinh( x)
“ungerade Funktion“
cosh( − x) = cosh( x)
“gerade Funktion“
Mit dem HP GX48
[VAR] [ALGE] [Q.GLEI]
Autor: M.Drifte
Seite: 4/55
19. Nov. 2006
Formelsammlung Algebra
1.4 Area Funktionen
1.4.1 Definition
(
x2 + 1
(
x2 − 1
arsinh( x) = ln x +
arcosh( x) = ln x ±
)
)
 1+ x 

arctanh( x) = ln
 1− x 
arctan h( x) =
1  1 + x
ln

2  1 − x

arccoth( x) = ln

arc coth( x) =
Autor: M.Drifte
x + 1

x − 1
1  x + 1
ln

2  x − 1
Seite: 5/55
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2. Matrizen
2.3 Die Transponierte einer Matrix
2.1 Was sind Matrizen?
 a11
a
21
A =  a 31

 :
 a n1
a12
q 22
a 32
:
a n2
a1m− 1 a1m 
a 2m− 1 a 2m 

a 3m− 1 a 3m 
:
: 
a nm− 1 a nm 
..
..
..
.
..

a13 a14 1 0 0 0

a 23 a 24 0 1 0 0
a 33 a 34 0 0 1 0

a 43 a 44 0 0 0 1

Einheitsmatrix
a 42
Die Matrix muss gleich viel Spalten
wie Zeilen haben.
Nach Gaus-Jordan
An die Bestehende Matrix wird eine
Einheitsmatrix angehängt.
0 0 1
X
X
X
X
A =  ac db 


Rechenregeln
A− 1 ⋅ A = 1
( A ⋅ B) − 1 =
1 ist die Einheitsmatrix
Mit dem HP [MTH][MATR][MAKE][TRN] für
Numerische und
[LIBRARY][ALG][ATRN] für Symbolische
Matrizen.
Nur Invertierbar wenn (ad-bc) ≠ 0
Falls A-1 existiert gilt:
(A )
T −1
( )
= A− 1
T
Num: [ [ 1 2 ] [3 4] ]
Sym: {{ 1 2 } {3 4}}
B
A C
Bem:
Matrizen können nicht Dividiert
werden!
a11 a12
a 21 a 22
Allgemein
c xy =
Num: [ [ 1 2 ] [3 4] ]
Sym: {{ 1 2 } {3 4}}
Der Rang einer Matrize sind die Anzahl nicht
verschwindene Zeilen nach dem man sie auf
Dreiecks oder Trapezform gebracht hat.
Die Dreiecks oder Trapezform erhält man zb.
durch den Gausalgorytmus.
Anwendungen:
Über den Rang kann bei einem
Gleichungssystem die Lösungsmenge
bestimmt werden.
2.5 Multiplikation
Multiplikation nach dem Falkscheme (Stöcker
408)
C=AB
B − 1 ⋅ A− 1
Mit dem HP [1/x] für Numerische und
[LIBRARY][ALG][AINV] für Symbolische Matrizen.
Autor: M.Drifte
( A ⋅ B) T = B T ⋅ A T
( A ⋅ B ⋅ C) T = C T ⋅ B T ⋅ AT
Mit dem HP 48 MTH][[MATR][NORM][RANK]
1  d − b


ad − bc  − c a 
A ⋅ A− 1 = 1
a 41 

a 42 
Bei Zeilenumformungen ändert sich der Rang
nicht.
X
X
X
X
Schnelle 2x2 Matrixinverse
A− 1 =
a 31
a 32
r = Rg ( A)
Die Inverse ist somit
X
X
X
X
a 21
a 22
2.4 Rang einer Matrize
X X X X

X X X X
X X X X

X X X X
0 0 0
1 0 0
0 1 0
X

A− 1 =  X
X
X
a
A T =  11
 a 12
=>
Dann mittels Gausselimination die Matrix in folgende
Form bringen
1

0
A= 
0

0
a 12 
a 22 

a 32 
a 42 
Rechenregel
Vorgehen:
a12
a 22
a 32
 a 11
a
A =  21
 a 31
 a 41
Matrizen sind in Spalten und Zeilen aufgeteilt:
Wobei m der Spaltenindex und n der
Zeilenindex ist
2.2 Inverse einer Matrix

 a11

 a 21
A= 
a
 31
 a 41

Matrix an der Haupt diagonale Kippen
Vorgehen:
Regeln
Seite: 6/55
l
∑
k= 1
a xk ⋅ b ky
b11
b21
c11
c21
b12
b22
c12
c22
Matrix B muss gleich viel Zeilen haben wie A
Spalten hat.
c11 = a 11b11 + a 12 b 21
c12 = a 11b12 + a 12 b 22
c 21 = a 21b11 + a 22 b 21
c 22 = a 21b12 + a 22 b 22
A ⋅ B ≠ B⋅ A
19. Nov. 2006
Formelsammlung Algebra
Allgemeine Regeln:
2.6 Determinanten
Man Schreibt:
Haupt diagonale
Neben diagonale
 a11 a12
a
a 22
det(A) =  21
:
:

 a n1 a n2
... a 1n 
a 11 a12
... a 2n  a 21 a 22
 =
: 
:
:
... a nn  a n1 a n2
... a 1n
... a 2n = a
ik
:
... a nn
Eine Determinante ist eine
Abbildung die eine
Quadratische Matrix A
eindeutig eine reelle
(komplexe) Zahl zuordnet.
Man liest „Determinante von
A“ Dabei ist n die Ordnung
der Determinante
2x2-Matrix
a 12 
a
det  11
 = a 11a 22 − a 12 a 21
 a 21 a 22 
3x3-Matrix
 a11 a12
det  a21 a22

 a31 a32
.. a1n 
.. a 2n 

. : 
.. a nn 
c λd
6.
a b
c d
a b
c d
=
a ( b + α ⋅ a)
c ( d + α ⋅ c)
= 0
Sind die Zeilen(Spalten) eine Matrix liniear
abhängig so verschwindet die
Determinante
Wenn man die Determinante eines Produkts
betrachtet gilt folgendes:
A⋅ B = A ⋅ B
det(A) = a11 ⋅ a 22 ⋅ ⋅ a 33 ⋅ ....⋅ a nn
Mit dem HP [MTH][MATR][NORM]DET] für Numerische und
[LIBRARY][ALG][ADET] für Symbolische Matrizen.
Rechenregeln:
Folgerung:
Num: [ [ 1 2 ] [3 4] ]
Sym: {{ 1 2 } {3 4}}
[ A ] = [ A1 ]
−1
Oder auch mit dem Entwicklungssatz nach Laplace STÖCKER P415,416
A− 1 =
a11 a12
0 a22
8.
:
:
0
0
1
A
.. a1n
.. a2 n = a ⋅ a ⋅ a ⋅ ...⋅ a
11
22
33
nn
.
:
.. ann
A1 0
9. det( A ) = 0 A k
0
0
Autor: M.Drifte
Addiert man ein Vielfaches einer Spalte(Zeile)
zu einer anderen Spalte(Zeile) dann ändert sich
die Determinate nicht!
wenn a + b= α ( c + d)
oder a + c= α ( b + d)
7. det( A ⋅ B) = det ( A ) ⋅ det ( B)
Danach nach folgender Formel
Die Determinanten der Transponierten Matrix
ist gleich der Determinanten der Matrix
3. Alles was für Spalten gilt, gilt auch für Zeilen.
Bsp Es ändert sich das Vorzeichen der Determinante
wenn man zwei Spalten vertauscht
Multipliziert man eine Spalte(Zeile) mit einem
a b a λb
Faktor λ, dann ändert sich die Determinante
4. λ ⋅
=
um den selben Faktor.
5.
Mittels
Gauseleminationsverfahren
die Matrix in 3-Eckform
bringen so wie unten.
nxn Matrix
[ A ⋅ B ] = [ A] ⋅ [ B ]
( )
det A T = det( A )
2.
= a11a22 a33 + a12 a23a31 + a13a21a32
− a13a22 a31 − a11a23a32 − a12 a21a33
Vertauschen von zwei Spalten führt zu
Änderung des Vorzeichens der Determinante
 a b
 b a
det 
 = − det 

 c d
 d c
c d
a13  a11 a12
a23  a21 a22

a33  a31 a32
 a 11 a12

A =  0 a 22
:
 :
0
 0
1. Vertauschen von Spalten
Seite: 7/55
0
0 = A 1 ⋅ A 2 ⋅ ...⋅ A n
An
Determinanten einer
Dreiecksmatrix berechnet
sich aus den Produkten
der Diagonalelemente
Bei Speziellen Formen:
Wobei:
 a 11
Ak = 
 a 1n
a n1 

a nn 
19. Nov. 2006
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2.7 Lösung von Gleichungssysteme mittels Determinante(Carmen-Reg)
a1 x + b1 y + c1 z = d1
Gleichungssystem mit 3 Unbekannten
a 2 x + b2 y + c2 z = d 2
a 3 x + b3 y + c3 z = d 3
Mittels Determinaten kann folgendermassen nach x,y und z aufgelöst werden:
Vektorschreibweise
Ausgeschrieben:
d1 b1 c1
Für x: Spalte 1 ist durch d ersetzt
 
x=
Für y:
[ d ,b ,c ]
[ a ,b ,c ]
Spalte 2 ist durch d ersetzt
y=
[
[
  
a ,d ,c
  
a ,b ,c
]
]
Für z: Spalte 3 ist durch
z=
[
[
x=
  
a ,b ,d
  
a ,b ,c
]
]
y=
d ersetzt
z=
d2
d3
b2
b3
c2
c3
a1
a2
a3
b1
b2
b3
c1
c2
c3
a1
a2
a3
d1
d2
d3
c1
c2
c3
a1 b1
a2 b2
a3 b3
c1
c2
c3
a1
a2
a3
b1
b2
b3
d1
d2
d3
a1 b1
a2 b2
a 3 b3
c1
c2
c3
Bemerkung:
Es können beliebige (Singuläre ) Gleichungen mit n Gleichungen und n Unbekannten gelöst
werden. Es wird hierbei wie oben für die erste Unbekannte(x) bei der Det() im Nenner die
1.Spalte durch die Letzte Spalte (d) ersetzt, für die
2. Unbekannte (y) die 2. Spalte durch die Letzte ersetzt usw.
Autor: M.Drifte
Seite: 8/55
19. Nov. 2006
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2.7 Das Simplex-Verfahren
Vorgehen:
4. Pivozeile berechnen
Pivozeile[x]= -PivozeileAlt[x]/PivoAlt
Vorher(Alt)
1. Bestimmung des Pivoelements
1. Das Pivoelement muss negativ sein
2. Das Pivoelement muss oberhalb von eines positiven z-Elements liegen
3. Kleinstes Element suchen außer in der [1] (pivo) Spalte.
Element[Pivospalte][y]
Element[Letzten(Konstanten)Spalte][y]
y1
y2
z
y1
y2
z
2.Beschriftung
x2
1
x1
y2
z
Nachher
y1
Pivo
x2
y1
y2
z
Autor: M.Drifte
1
4
7
0
x1
y2
z
x1
-5
-1
4
x2
-6
-2
15
1
4
7
0
x1
y2
z
y1
-1/5
1
Pivospalte[y]=PivospalteAlt[y]/PivoAlt
Vorher(Alt)
y1
y2
z
x2
-6/5
1
4/5
x2
-6/5
-4/5
51/5
1
4/5
31/5
16/5
x1
-5
-1
4
x2
-6
-2
15
1
4
7
0
Nachher(Neu)
x1
y2
z
y1
-1/5
1/5
-4/5
x2
-6/5
-4/5
51/5
1
4/5
31/5
16/5
Ausführen bis alle Elemente in der Zeile ohne die [1] Spalte kleiner als 0 sind
-Kehrwert des Pivo Element Pivo = 1/PivoAlt
Vorher(Alt)
x2
-6
-2
15
Nachher(Neu)
y1
-1/5
6.Pivospalte berechnen
3. Pivoelement berechnen
x1
-5
-1
4
1
4
7
0
Eintrag[x][y]=PivospalteNeu[x]*PivoZeileAlt[y] + EintragAlt[x][y]
Vorher(Alt)
Nachher(Neu)
Beschriftung Pivospalte mit Pivozeile vertauschen
Vorher
x1
Pivo
x2
-6
-2
15
5. Restliche (ohne Pivospalte) berechnen
Der negativste Quotient von oben ist das gesuchte Pivoelement
y1
y2
z
x1
-5
-1
4
Nachher
x1
y2
z
y1
-1/5
x2
1
Seite: 9/55
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Formelsammlung Algebra
3. Folgen
3.3 Alternierende Folge
( an ) = (1,− 1,1,− 1,1,− 1,1,− 1,...)
3.1 Allgemein
( an ) = ( a1 , a2 , a3 , a4 ,...)
( cn ) = ( cn ) ∞n
Eine Folge ist eine Anordnung von unendlichen
vielen Elementen.
Zwei Folgen sind nur dann gleich wenn alle ihre
Glieder übereinstimmen.
3.4 Differenzfolge
bk = a k + 1 − a k
3.2 Rechenregeln
Addition:
Eine Alternierendefolge ist eine Folge bei der
aufeinaderfolgende Glieder unterschiedliche
Vorzeichen haben.
(k=1,2,3,...)
( cn ) = ( an ) + ( bn )
BSP:
Gegebene Folge
( a k ) = ( 1,4,9,25,36,49,...)
1.Differenzfolge
, ,...)
( bk ) = ( 3,5,7,9,1113
ck = a k + bk
Multiplikation mit einer reellen Zahl
3.5 Arithmetische Folgen (AF)
(cn ) = λ (an )
a k = a1 + ( k − 1) d
ck = λ a k
Recht schieben um m Stellen
d: Differenz zum nächsten Glied
Es werden 0-en voran geschoben.
(bn ) = ( a n − m )
Links schieben um m Stellen:
d=
Es werden die ersten m stellen gelöscht.
a k − ai
k− i
a1 = a k − ( k − 1) d
(bn ) = ( an + m )
n = (0,0,0,0,....,0)
oder
, ∀ k ≥ n0
Eine Nullfolge ist eine Folge deren Glieder alle
Null sind oder gegen Null streben.
Eine Folge wird Nullfolge genannt, falls
∀ ε > 0 ein n0 ∈ IN existiert
n
 a + a1 
ak =  n
n

2 
k= 1
∑
a k + 1 − a k ist bei arithmetischen
Glieder
Folgen konstant, dh. unabhängig von k
BSP:
, ,...) ist eine
( a k ) = ( 1,3,5,7,9,1113
arithmetische Folge.
n
1 n n2
k 2 = n( + +
)
6 2 3
k= 1
∑
n
n
ln(ε )
ln( q )
∑
d (n − 1) 


ak = n a1 +

2 
k= 1
∑
HARMONISCHE FOLGE
1
k
q k für k >
Spezialfälle:
oder
Verschiedene Nullfolgen
Jede Geometrische Folge für IqI < 1
k= 1
k3 =
n 2 ( n + 1) 2
4
3.5.2 Aritmetische Folgen höherer Ordnung
BSP:
k
2
k −1
Gegebene Folge
Grundsatz
Es kann gesagt werden, dass eine Folgen die kleiner oder gleich einer Nullfolge ist, auch
Nullfolgen ist.
Autor: M.Drifte
Die Differenz zweier aufeinander folgenden
3.5.1 Summe einer AF
3.2 Nullfolge(NF)
ak < ε
(k=1,2,3,...)
1.Differenzfolge
2.Differenzfolge
Seite: 10/55
n 2 = ( 1,4,9,25,36,49,...)
= ( 3,5,7,9,1113
, ,...)
Die zweite Differenzfolge ist eine
Konstantefolge !
Man sagt dann (n2) ist eine AF 2. Ordnung
= ( 2,2,2,2,2,2,2,...)
19. Nov. 2006
Formelsammlung Algebra
3.6 Geometrische Folgen (GF)
( an ) =
(a1 , a 2 , a 3 , a4 ,...)
a k = a1q k − 1
(k=1,2,3,...)
ak + 1
ak
(k=1,2,3,...)
q=
3.7 Zinsrechnen
Eine Folge bei der die Quotienten zweier
aufeinander folgender Glieder immer gleich
gross sind, d.h. konstant.
Zinseszinsrechnung
q:
Für Stetige verzinsung nach n Jahren gilt
quotient zweier aufeinander folgende
Glieder =konst
3.6.1 Summer einer GF
n
p 

Kn =  1 +
 K0

100 
Kn = q n K 0 + R
s = a1 + a1q + a1q 2 + a1q 3 + ......+ a1q n − 1
n
Kn = q n K0 + R
∞
∑
ak =
k= 1
Autor: M.Drifte
a1
1− q
Vorschüssige Einzahlung
Für
n− 1
Nachrate (Sie wird am ende einer
Zinsperiode einbezahlt)
Quotent der GF (q=1+p)
∑
q=
qk
k= 1
Die Summe der Glieder einer endlichen GF
Die Summe der Glieder einer unendlichen
GF
R=
 n⋅ p 


Nachschüssige Einzahlungen
∑
=Kapital nach n Jahren
=Prozentsatz
=Anfangskapital
Kn = e  100  ⋅ K0
Definition
1 − qn
(q ≠ 1)
s=
a k = a1
1− q
k=1
Kn
p
K0
n → ∞ und q < 1 gilt:
n
Kn = q K 0 + R
( q < 1)
Seite: 11/55
(n=0,1,2,3,4...)
1− qn
1− q
(
q 1− qn
1− q
)
19. Nov. 2006
Formelsammlung Algebra
4. Reihen
4.1.1 Konvergenz Kriterien
1. Konvergenztest
Die Reihe divergiert wenn
4.1 Unendliche Reihen
∞
∑
a k = a1 + a 2 + a 3 + a 4 + ...
Das Problem ist wie addiert man unendlich
viele Glieder?
Für die Summe
∑
Sn =
ak
k= 1
gilt dann
∑
∑
Die Reihe ∑
Die Reihe
oder Konvergieren.
k= 1
Geeignet wenn ak Fakultät von k oder k-te
Potenz enthält.
konvergiert für
δ <1
ak eine Reihe mit pos. Gliedern
ak + 1
ak
1
k
1
k
2
konvergiert.
∑
Geeignet wenn ak k-te Potenz enthält.
ak eine Reihe mit pos. Gliedern
konvergiert für
δ = lim ak
k
divergiert für
k→ ∞
divergiert
1
k 1+ e
4. Majoranten und Minoranten Krieterium
Falls
konvergiert für alle e>0
∑
a k und
Gilt
∑
bk zwei Reihen mit pos.
a k ≤ bk , ∀ k
konvergiert
divergiert
∑
∑
a k => divergiert
Die Reihe
∑
k= 1
δ < 0
δ >1
Beide Reihen dürfen nur positive Glieder
aufweisen. Dieser Test bedarf einer gewissen
erfahrung und sollte deshalb erst am schluss
angewendet werden.
∑a.
∑b.
bk => konvergiert
k
k
5. Leibniz-Kriterium
∞
δ >1
divergiert für
3. Wurzelkriterium
Satz
Die Reihe
∑
k→ ∞
n→ ∞
∑
lim ak = 0 kann die Reihe divergieren
k→ ∞
ak
2. Quotientenkrieterium
δ = lim
lim S n = S
S=
k→ ∞
Man Betrachtet eine Teilsumme und prüft ob
diese gegen ein bestimmten
wert strebt.(konvergiert)
n
∞
lim a k ≠ 0
k= 1
Falls
( − 1) k + 1 a k ( ak > 0 ∀ k )
Kann für alternierende Reihen verwendet
werden.
konvergiert wenn:
1.) (ak) monoton fallend ist
2.)
Autor: M.Drifte
Seite: 12/55
lim ak = 0
k→ ∞
(NF) ist.
19. Nov. 2006
Formelsammlung Algebra
5. Potenzreihen
5.2 Approximation von Funktionen
Ziel ist es eine gegebene Funktion f(x) in der Umgebung eines Punktes a durch ein
Polynom
Pn(x) n-ten Grades zu approximieren.
5.1 Definition
Eine Potenzreihe in Potenzen von (x - x0) ist ein Reihe der
Form:
∞
∑
k= 0
a k ( x − x 0 ) k = a 0 + a1 ( x − x 0 ) + a 2 ( x − x 0 ) 2 + ...
STÖCKER p.511,513
5.2.1 MacLaurin Polynom (punkt a=0)
ak:
x0:
Das n-te MacLaurin Polynom lautet
x:
n− 1
∑
Sn ( x) =
a k ( x − x0 ) k
k= 0
Koeffizienten
Zentrum oder
Entwicklungspunkt
Variablen
n
Pn ( x ) =
Potenzreihe
∑
a k ( x − x0 )
k
k= 0
x − x0
<R
x − x0
>R
x − x0
Lösungsansätze ohne die Ableitungen zu berechnen.
• Parzialbruchzerlegung 8.1
• Summe einer unendlichen Geometrischen Folge 3.6.1
5.2.2 Taylor Polynom (punkt a!=0)
n
Pn ( x ) =
a
R = lim k
k → ∞ ak + 1
Wurzelkriterium
a k 

k= 0
(k )
(a )
( x − a) k
k!
Das Taylor Polynom n-ten Grades einer
Funktion f(x) an der stelle a.
Falls die Funktion in einer Umgebung der Stelle
x=a und n+1 mal differenzierbar ist und
dasTaylor-Polynom von f an dieser Stelle ist
Fehler an der Stelle x
R n ( x) = f ( x) − Pn ( x)
Konvergieren oder Divergieren
Es sind weitere Untersuchungen nötig
Der Konvergenzradius falls der Grenzwert
existiert
oder
bezw. dieser Grenzwert existiert
5.2.4 Binominialreihe
f ( n + 1) ( c)
R n ( x) =
( x − a) n + 1
( n + 1)!
wobei c zwischen x und a liegt.
−1
α
(1 + x) =
5.1.2 Konvergenzbereich
( x0 − R, x0 + R)
Autor: M.Drifte
f
∑
5.2.3 Restglied nach Lagrange
Divergiert
=R
k
Für den Fehler siehe 5.2.3
Konvergiert
Quotienten Kriterium
R =  lim
 k→ ∞
Für jede Potenzreihe in (x - x0) gibt es eine
reelle Zahl R ≥ 0, genannt Konvergenzradius
so, dass die Potenzreihe:
f (0) = Pn (0)
f '(0) = Pn '(0)
f ''(0) = Pn '' (0)
...
...
f (0) ( k ) = Pn ( k ) (0)
(0) k
x
k!
k= 0
Will man ein Potenzreihe untersuchen dann
empfiehlt es sich , die Partialsumme zu
untersuchen zu betrachten (Summe der
Erstenglieder): (Siehe unter anderem auch in
4.)
5.1.1 Konvergenzradius
∞
f
∑
Es soll gelten:
(k )
∞
∑
k= 0
x
oder
x0-R
x0+R
x0
Menge aller x ∈ R(oder C) für die die Reihe
konvergiert
(1 + x) α = 1 + α x +
Seite: 13/55
 α  x k
 k
für ( -1 < x < 1 )
α (α − 1) 2 α (α − 1)(α − 2) 3
x +
x + ...
2!
3!
 α  = α (α − 1)...(α ( n − 1))
 k
1 ⋅ 2⋅....⋅ n
x kann substituiert werden. dh.
vor x kann ein Faktor stehen.
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Formelsammlung Algebra
5.3 Approximationspolynom nach Newton
Lineare Interpolation
P1 ( x) = y 0 + ( x − x 0 ) ⋅ y[ x 0 ,x1 ]
y[ x 0 , x1 ] =
y n = y[ x n ]
y1 − y 0
x1 − x 0
Quadratische Interpolation
P2 ( x ) = y0 + ( x − x0 ) ⋅ y[ x0 , x1] + ( x − x0 )( x − x1 ) ⋅ y[ x0 , x1 , x2 ]
y[ x 0 , x1 , x 2 ] =
y[ x1 , x 2 ] − y[ x 0 , x1 ]
x2 − x0
Approximation höhere Ordnung
y[ x 0 , x1 ,..., x k ] =
Autor: M.Drifte
y[ x1 , x 2 ,..., x k ] − y[ x 0 , x1 ,..., x k − 1 ]
x k − x0
Seite: 14/55
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Formelsammlung Algebra
6. Differentialrechnen
6.1.3 Stetige Funktionen
Definition
Man nennt eine Funktion f stetig im Punkt c, falls gilt
6.1 Grenzwerte
• Man kann ihren Graphen ohne abzusetzen zeichnen.
• f(c) ist definiert
Linksseitiger Grenzwert
lim f ( x) = L1
lim f (c) existiert
x→ c
lim
• x → c f ( c) = f ( c)
x → x 0−
•
x<x0
f(x)
f(x0)
x
x
x0
Eine Funktion, die in jedem Punkt ihres Definitionsbereichs stetig ist, nennt man eine stetige
Funktion.
Rechtsseitiger Grenzwert
lim f ( x) = L2
• Polynome
• Sinus,Cosinus,hyperbolikusfunktion
x → x 0+
f(x0)
x0
• Exponentialfunktion y = e , Logarithmus
x
f(x)
x
x
6.1.4 Funktion bleiben unter folgenden Regeln stetig
6.1.1 Rationale Funktion
Definition
a x n + a x n − 1 + ...+ a 1x + a 0
r ( x) = n m n − 1 m − 1
b m x + b m − 1x + b1x + b 0
Summation
Sind f und g stetig (in C)
Multiplikation
Sind f und g stetig (in C)
Division
Sind f und g stetig (in C) und g nicht 0
f± g
a k , b k ∈ R und
bm ≠ 0 , a n ≠ 0
f⋅g
f
g
Die Pole einer Rationalenfunktion
Die Rationale Funktion r(x) hat an der Stelle x0 einen Pol k-ter Ordnung falls x0 eine k-fache
Nullstelle des Nennerpolynoms hat.
6.1.2 Regeln
6.1.5 Hilfsfunktionen zum berechnen trigonometrischer Grenzwerte
Summation
lim[ f ( x) ± g( x)] = lim f ( x) ± lim g( x)
Wenn der Grenzwert von g
und f existiert
Multiplikation
Wenn der Grenzwert von g
und f existiert
Division
Falls lim g(x) != 0
lim[ f ( x) ⋅ g( x)] = lim f ( x) ⋅ lim g( x)
lim
cos( x) ≈ 1 −
x2
2
Nur für sehr kleine x (x ≈ 0)
sin( x) ≈ x
f(x) lim f ( x)
=
g(x) lim g( x)
Multiplikation mit einer Konstanten
c eine Reele Zahl
Wurzel
f(x) > 0
lim[ c ⋅ f ( x)] = c lim f ( x)
lim f(x) =
n
Autor: M.Drifte
n
lim f ( x)
Seite: 15/55
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Formelsammlung Algebra
6.2 Differential
c f ( x)
[ c f ( x)]' = c f ( x) (c ∈ R)
Ableitung von α f ( x) + β g( x) (α , β ∈ R)
[α f ( x) + β g( x)]' = α f '( x) + β g'( x)
Ableitung von f ( x) + g( x)
[ f ( x) + g( x)]' = f '( x) + g'( x)
Ableitung von f ( x) ⋅ g( x)
Definition
Berechnung der Steigung einer beliebigen Funktion im Punkte x
Differenzenquotienten von f an der Stelle x
lim
∆ x→ 0
Ableitung von
∆y
f ( x + ∆ x) − f ( x)
= lim
∆
x
→
0
∆x
∆x
Steigung der Sekante
∆y
tan(α ) =
∆x
f ( x + ∆ x ) − f ( x)
∆y
= lim
∆ x→ 0
∆ x→ 0 ∆ x
∆x
d
= f’’(x) =
f ( x)
dx
Unter der Ableitung (Differentialquotient)
der funktion f im Punkt x versteht man
diesen Grenzwert
lim
∆ x→ 0
Ableitung von Polynomen
P( x) = a 0 + a 1x + a 2 x2 + ...+ a n x n
⇒ P( x)' = a1 + 2a 2 x + 3a 3x2 + ...+ na n x n − 1
f ( x + ∆ x) − f ( x )
∆x
Kettenregel
[ f ( g( x) )]' = f '( g( x) ) ⋅ g'( x)
f ( x + ∆ x) − f ( x)
f '( x ) = lim−
∆ x→ 0
∆x
−
6.3.1 Ableitung Elementarer Funktionen sofern g’(x) und f’(x) existiert
x n (n ∈ R)
( x n )' = nx n − 1
[
[
]
]
'
1
a + bx
=
( a + bx ) 2
'
=
b
( a + bx ) 2
1
a − bx
Autor: M.Drifte
−b
[ x]
Anwendung bei komplizierten
Ausdrücken hilfreich
Ableitung der trigonometrischen Funktionen
Linksseitige Ableitung
Ableitung von
Divisionsregel
f ( x)
g ( x)
'
f ( x + ∆ x) − f ( x)
∆ x→ 0
∆x
f '( x + ) = lim+
Ableitung von
 f ( x) 
f ( x)'⋅ g( x) − f ( x) ⋅ g( x)'
 g ( x)  =
[ g( x)]2


f '( x) = lim
Rechtsseitige Ableitung
Produktregel
[ f ( x) ⋅ g( x)]' = f '( x) ⋅ g( x) + g'( x) ⋅ f ( x)
6.3 Ableitung im Punkte x
oder
Summenregel
'
[ ]
1
= x2
[
[
'
=
1
( a + bx ) n
1
( a + bx ) n
1
2 x
]=n
]=n
'
'
d
dx
[sin x] = cos x
d
dx
[cos x] = − sin x
d
dx
[tan x] =
d
dx
[cot x] = −
'
1
 1
 x  = − x 2
−b
( a + bx ) n+ 1
1
= 1 + tan 2 ( x)
cos2 ( x)
1
= − 1 − cot 2 ( x)
sin 2 ( x)
Ableitung der Umkehrfunktion
[f
b
( a + bx ) n+ 1
Seite: 16/55
−1
]
1
'
( x) =
f '( f
−1
( x ))
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Formelsammlung Algebra
6.3.2 Ableitung der zyklonischen Funktionen
[ arcsin( x)]
'
[ arccos( x)]
1
=
'
1− x
1
2
= −
'
Definitionsbereich
[ -1,1 ]
Definitionsbereich
[ -∞,∞ ]
=
d
dx
[a ] =
a x ⋅ ln a
d
dx
αx
αx
Autor: M.Drifte
x
x
=
sinh 2 ( x )
d
dx
1
[ arsinh( x)] =
d
dx
[ arcosh( x)] =
±
d
dx
[ artanh( x)] =
1
1 − x2
,x < 1
d
dx
[ arcoth( x)] =
1
1 − x2
,x > 1
Spezialfall:
x +1
2
1
x2 − 1
ex = ex
6.3.5 Ableitung des Betrags
[ x] =
−1
d
dx
1
x
6.3.4 Ableitung Exponentialfunktion
d
dx
[ coth( x)] =
f ' ( x)
f ( x)
[ln( f ( x ))] =
[e ] = α e
d
dx
1
cosh 2 ( x)
6.3.7 Ableitung der Areafunktionen
dx [ ln x] =
x
[ tanh( x)] =
[ -∞,∞ ]
6.3.3 Ableitung der Logarithmusfunktion
Spezialfall:
1
1
d
log a x ] = log a e =
dx [
x
x ln(a )
d
d
dx
d
dx
[ -∞,∞ ]
Definitionsbereich
Definitionsbereich
d
dx
[ sinh( x)] = cosh( x)
[ cosh( x)] = sinh( x)
d
dx
1 − x2
1
1 + x2
1
[ arc cot( x)] ' = − 1 + x2
[ arctan( x)]
6.3.6 Ableitung der hyperbolischen Funktionen
x
x
Seite: 17/55
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Formelsammlung Algebra
6.7 Das Newton verfahren mittels differentieren
6.4 Implizites Differenzieren
Für jeden Iterationsschritt gilt:
Die Funktion ist in Impliziterform gegeben
f ( x, y) = 0
xk = xk − 1 −
Vielfach ist es möglich diese nach y’ aufzulösen aber nicht immer.
zb. Kreis, Ellipse.
f(x0)
f (xk − 1)
f '( x k − 1 )
f’(x0)
Steig.
7y4 + x3y + x = 4
Es wird dabei y=f(x) angenommen damit ergibt sich
7 ⋅ f ( x) 4 + x 3 ⋅ f ( x) + x = 4
Nullstelle [x0+1]
Diese kann man nun auf beiden Seiten differenzieren
d
dx
7 ⋅ f ( x) 4 + x 3 ⋅ f ( x) + x =
d
dx
x0
4
Dabei erhält man
28[ y( x)]3 ⋅ y'( x) + 3x 2 ⋅ y( x) + x 3 ⋅ y'( x) + 1 = 0
Nun setzt man für y(x)=y und für y’(x)=y’ ein und löst diese nach y’ auf
1 + 3x 2 y
y' = −
28y3 + x 3
y hängt nun von x,y ab. Setzt man nun einen Punkt, der auf der Kurve liegt ein erhält
man die Steigung y’
6.8 Das Differential
6.8.1 Linearisieren einer Funktion
Linearisieren einer Funktion bedeutet das „ersetzen
einer Fkt. durch eine möglichst gute lineare Fkt. in der
Umgebung von x0
In der Nähe von x0 gilt:
f ( x) ≈ f ( x0 ) + f '( x0 )( x − x 0 )
x0
6.5 Ableitung höhere Ordnung
6.8.2 Definition des Differentials
Mehrfaches Ableiten einer Funktion.
d
dx
[ f] =
d
dx
d2
dx 2
f = f"
df = f '( x 0 ) dx
6.6 Logarithmisches Ableiten einer Funktion f(x)
d
dx
[ ln( f ( x))] =
f '( x)
f ( x)
Oder
f '( x) = f ( x) ⋅
Autor: M.Drifte
d
dx
dx = ∆ x
Eine weiter möglichkeit eine Funktion
Abzuleiten ist diese
Logaritmisch abzuleiten. Es gilt:
dy ≈ ∆ y fuer kleine dx
∆ y=df
x0
∆ x=dx
[ ln( f ( x))]
Seite: 18/55
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Formelsammlung Algebra
6.9 Regel von Bernulli d’Hospital
6.11 Kurvendiskusion
Grenzwert
0
0
Für Ausdrücke der Form
 f ( x) 
 f '( x) 
Lim
= Lim


 g ( x) 
 g' ( x ) 
oder
∞
∞
Wenn der Grenzwert bei der ersten Ableitung
nicht existiert dann gegeben falls mehrmals
ableiten
Ziel:
Wesentliche Eigenschaften einer gegebenen Funktion qualitativ ermitteln damit zb. der
Graph gezeichnet werden kann.
Vorgehen:
n Definitions und Wertebereich
n
Symetrie / Periodizität
f ist gerade wenn f(-x)=f(x)
f ist ungerade wenn
f(-x)=-f(x)
f ist periodisch wenn
f(x+T)=f(x)
für alle x aus D(f)
∆α
n
Stetigkeit / Unstetigkeitsstellen
In welchen Intervallen ist f(x) stetig?
Wo hat f(x) Pole,Lücken, Sprungstellen?
∆s
n
Nullstellen
n
Asymtotisches verhalten
Für x → ± ∞
6.10 Krümmung von Kurven
Allgemein
v2
∆α
κ = lim
∆ s→ 0 ∆ s
Krümmung einer Funktion f(x)
κ ( x0 ) =
v1
f ' ' (x0 )
(1 + [ f ' ( x 0 )] )
2
3
2
Krümmungsradius
R=
1
κ ( x0 )
Für
Krümmung in Parameterform
y
x = x( t )
y = y( t )
κ (t) =
t
 − yx

xy
3
2
( x + y 2 ) 2
Mittelpunkt des Krümmungskreises
n In koordinaten Darstellung
y ( t )( x 2 + y 2 )
x m ( t ) = x( t ) −
 − yx

xy
x ( t )( x + y )
 − yx

xy
2
y m ( t ) = y( t ) +
n
f(t)
2
Evolute(Siehe Stöcker)
Die Kurve aller
Krümmungsmittelpunkte der
ursprünglichen Kurve.
Evolvente
Die ursprüngliche Kurve
f ( x) → ± ∞
n
Extremalstellen(lokale / Globale)
n
Wendepunkte
n
Monotonie verhalten
f ist monoton wachsend falls f’(x)>0 und fallend falls f’(x)<0 im
betrachteten Interval
n
Krümungsverhalten
f’’(x)≥ 0
f’’(x)≤ 0
Konvex
Konkav
In Parameter Darstellung
x(t)=t
y(t)=f(t)
Autor: M.Drifte
Seite: 19/55
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Formelsammlung Algebra
7.10 Numerische Integration
7.11.1 Uneigentliche Integrale 2. Art
7.10.1 Trapezregel
b
∫ f ( x)dx =
a
∆x=
b
∫ f ( x)dx =
∆x
( y + 2 y1 + 2 y 2 + ...+ 2y n− 1 + y n )
2 0
b− a
n
b
lim ∫ f ( x)dx
R→ a +
a
R
yk = f (xk ) k =1,2,...
7.11.2 Uneigentliche Integrale mit einem pol
7.10.2 Fehlerabschätzen bei der Trapezregel
εT ≤
(b − a) k
12 n 2
k = max f ' ' ( x)
u− ε
b
∫ f ( x)dx =
Falls f ’’ steig ist in [a,b] und
3
x ∈ [ a , b]
a
∫
lim
ε → 0+
b
f ( x)dx + lim
~
ε→ 0
a
Louch-Hauptwert
 u− ε
 ∫ f ( x)dx +
∫a f ( x)dx = lim
ε→ 0
 a
b
7.10.3 Simpsonregel
b
∫ f ( x)dx ≈
a
∆x
y + 4 y1 + 2 y 2 + 4 y 3 + ... + 4 y n− 1 + y n
3 0
(
b− a
yk
n
n: muss gerade sein.
∆x=
∫ f ( x)dx
u + ~ε
)

f
(
x
)
dx

∫
u+ ε

b
7.12 Gammafunktion
= f (xk ) k =1,2,...
Definition
∞
T(n + 1) =
Die Simpsonregel ist genau bis und mit 3- Grades
∫xe
n −n
dx ( n ∈ R +)
Die Gammefunktion ist eine erweiterung
der Fakultät
T(n + 1) = n !
0
Stirling-Formel
7.10.4 Fehlerabschätzen bei der Simponregel
εS
( b − a)5 k
≤
180n 4
Falls f
(4)
n! ≈
stetig ist in [b,a] und
k = max f ( 4 ) ( x)
(x = [b,a])
2π n (
∫ f ( x)dx =
0
Autor: M.Drifte
Siehe dazu in Kapitel 16. weiter vorne
∞
L{f ( t )} =
R
∫ f ( t )e
− s⋅ t
dt
0
lim ∫ f ( x)dx
R→ ∞
)
7.13 Laplacetransformation
7.11 Uneingentliche Integrale 1.Art (Stöcker P.524ff)
∞
Gilt nur für sehr grosses n.
n n
e
0
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Formelsammlung Algebra
7.14 Flächen unter Kurven
7.14.1Fläche unter einer Kurve
7.15 Rotationskörpern
7.15.1 Volumen von Rotationskörpern
b
b
A=
∫
V = π ∫ [ f ( x)] dx
f ( x)dx
a
a
7.14.2 Flächen in Polarkoordinaten
ϕ2
A=
∫ [ r (ϕ )]
1
2
2
7.15.2 Oberfläche von Rotationskörpern
b
A = 2 π ∫ f ( x) 1 + [ f ' ( x)] dx
dϕ
ϕ1
ϕ2
A=
1
2
∫ ( x( t ) y ( t ) − x ( t ) y( t )) dt
7.15.3 Schwerpunkt eines Rotationskörpers
Für zwei Massen
xs =
ϕ1
∫

xs =
1 + [ f ' ( x)] dx
2
n

xs =
7.14.4 Länge einer Kurve aus Parameterdarstellung
Lγ =
∫
2
2
xs =
dt
Xs
x2
x
k= 1
n

mk x k
∑
mk
∫ [ r (ϕ )] + [ (r ϕ )]
a
b
∫ [ f ( x) − g( x)] dx
ys =
2
∫ [ [ f ( x )] − [ g ( x )]
b
7.14.5 Länge einer Kurve aus polarkoordinaten
2
∫ x ⋅ [ f ( x) − g ( x)] dx
a
a
dϕ
2
a
2
] dx
b
2
∫ [ f ( x) − g( x)] dx
a
α
Autor: M.Drifte
x1
b
∫ [ x ( t )] + [ y ( t )]
β
m1
Schwerpunkt einer Fläche

x ( t ) dt
b
Lγ =
∑
k= 1
a
Lγ =
1


m1x1 + m2 x 2 )
(
m1 + m2
y
Allgemein
a
b
1
( m x + m2 x 2 )
m1 + m2 1 1
Als Vektor
7.14.3 Länge einer Kurve
b
2
a
7.14.2.1Leibz’sche Sektorformel
Lγ =
2
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Formelsammlung Algebra
Schwerpunkt eines Rotationskörpers
b
∫ x ⋅ [ f (x)]
xs =
2
dx
a
b
∫ [ f (x)]
2
dx
a
Bei einer diskreten Massenverteilung
n

xs =
∑
i= 1
n

mi x i
∑
mi
i= 1
im Grenzfall
b
∫ ρ ( x)[ f ( x)]
⋅ x dx
2
xs =
a
b
∫ ρ ( x)[ f ( x)]
2
dx
a
7.15.4 Trägkeitsmoment (Stöcker S.554)
Allgemein
E Kin =
1
2
mv 2
E Kin =
1
2
Jω
J=
R 2i ∆ mi
∑
i
2
Trägheitsmoment eines Kreisringes
J Kreisring = 2 π R 3 ρ 0 A = R 2 m
Trägheitsmoment einer Kreisscheibe
J Kreisscheibe =
Autor: M.Drifte
1
2
R2 m
R
m
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Formelsammlung Algebra
8. Partialbruch zerlegung (PBZ)
8.1 Vorbereitung (Polynom Division)
r(x) =
Ausdruck
P(x),Q(x) Polynome
P( x )
Q( x )
P( x )
ist keine echt gebrochene
Q( x )
Dh. Grad(P(x)) > Grad(Q(x)),
Zahl.
P(x) : Q(X) =
Zähler ( x )
N
(
x) +

Nenner ( x )
Polynom 
Dies wird durch Polynom division erreicht.
Echtgebrochen
8.1.1 Mit HP (Polynom Division)
Programm
HOME\ALGE\POLY\PDIV
Parameter:
{ Faktoren P(x) } = {... p3 p2 p1 }
{ Faktoren Q(x) }= {... q3 q2 q1 }
Resultat:
{ Faktoren neues Polynom N(x) }
{ Rest Polynom Zähler(x) }
{ Rest Polynom Nenner(x) }
=>
Achtung: 0xn nicht vergessen
Zähler ( x )
Nenner ( x )
N ( x) +
Das Polynom N(x) kann problemlos integriert werden. Für den Restbruch verwende nun PBZ.
8.2 Parzialbruchzerlegung
Beschreibung im Stöcker 206,207
8.2.1 Parzialbruchzerlegung mit dem HP
Programm:
HOME\ALGE\POLY\PBZL
Parameter im Menü :
{ Faktoren Zähler(x) }= { ... Zähler2 Zähler1 }
{ Faktoren Nenner(x) }
Resultat:
Lesen mit HOME\ALGE\POLY\LESE
Liste aus Summen
{ A1 { ... a13 a12 a11 } p1 }
{ A2 { ... a23 a21 a21 } p2 }
{..{...}...}
Bedeutung:
Zähler ( x )
A1
=
Nenner ( x )
...+ a13 x 2 + a12 x + a11
(
Autor: M.Drifte
)
p1
+
( ...+ a
A2
23 x
2
+ a22 x + a21
)
p2
+
...
...
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9. Partielle Differentation
9.6 Gradienten
∂f
 f x1 ( x 0 )   ∂ x1 x 0 



 f x 2 ( x 0 )  ∂∂xf2 x 0 

∇ f ( x0 ) = 
= 
........   ....... 


 f x n ( x 0 )  ∂∂xfn x 
0
9.1 Schreibformen von Funktionen
z = f ( x, y)
Explizite Schreibform
z − f ( x, y) = 0
Implizite Schreibform
9.2 Grenzwert
L=
lim
γ
Dies muss für alle Kurven durch (x0,y0) gelten.
f ( x, y)
( x,y) → ( x0 ,y0 )
•
•
•
Der Gradient zeigt immer in die
Richtung mit der grössten
Steigung.
Der Gradient steht senkrecht auf
der Niveau Linie.
Der Gradient steht bei 3
Parametern senkrecht auf
der Tangentialebene.
Verschwindet der Gradient so ist
dieser Punkt ein Extrema.
9.7 Linearisierung
Im punkt x0 kann die Kurve ein stückweit durch ein Gerade
ersetzt werden.
9.3 Richtungsableitung



f ( x 0 + te) − f ( x 0 )

D e f ( x 0 ) = lim+
t→ 0
t
 


D e f ( x 0 ) = ∇ f ( x 0 ) • e
oder
•
Der Gradient ist ein Vektor.
Ableitung in eine bestimmte

Richtung e .
Der

x


  
 
f ( x) = f ( x 0 ) + f ( x 0 ) ( x− x 0 ) + o( x − x 0 )

x0
x→ x 0

e Vektor hat die länge 1.
o:

∆x
klein Lamdau (nur eine Hilfsvariable)
9.8 Extrema
Siehe Stöcker
9.4 Partielle Ableitung
Bei der partiellen Ableitung wird nach allen k
variablen abgeleitet. Die nicht verwendeten
Variablen, bei jener Ableitung, werden als
konstant betrachtet.
∂f
f ( x1 + ∆ x,..., x n + ∆ x) − f ( x1 ,... x n )
= f x k = lim+
∆ x→ 0
∂ xk
∆x
Das ∂ Zeichen steht für partielle Ableitung.
9.8.1 Extrema mit Nebenbedingung, Prinzipal - Funktion
Für eine Nebenbedingung g(x,y):
Φ ( x, y, λ ) = f ( x , y ) + λ g ( x, y)
Für beliebige Nebenbedingungen gk(x,y):
Φ ( x1 ,..., x n , λ 1 ,..., λ n ) = f ( x1 ,..., x n )
für die obige Gleichung muss gelten
+ λ 1 ( x1 ,..., x n )
...
+ λ n ( x1 ,..., x n )

∇Φ = 0
und die Funktion g muss als
g ( x, y) = 0
bedingungen wie links.
gegeben sein.
Der Lagrange Multiplikator(en) verschwinded
am ende wieder.
9.5 Differenzierbarkeit

y = f ( x) ist differenzierbar in x0 falls:
Eine Funktion

n
n

∇ f ( x) existiert

f lässt sich in der Umgebung x 0 linearisieren
Autor: M.Drifte
Seite: 24/55
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9.9 Kettenregel
z = f(x;y) sei eine Funktion der beiden unabhängigen
Variablen x und y, diese wiederum sind von einem
Parameter t abhängig:
x = x(t), y = y(t)
Dann ist die durch Einsetzen dieser ParameterGleichung in die Funktionsgleichung z = f(x;y)
erhaltene Funktion
z = f(x(t) ; y(t)) = F(t)
eine zusammengesetzte, verkettete Funktion dieses
Parameters, deren Ableitung nach folgenden
Kettenregel gebildet wird:
Allgemein
df  

= ∇ f ( x( t )) • x ( t )
dt
dz ∂ z dx ∂ z dy
=
⋅
+
⋅
dt ∂ x dt ∂ y dt
9.10 Totale Differential
Dies ist die Änderung von f wenn sich die
Argumente xk (k=0,1,...,n) nur kleine grössen
dxk k=0,1,...,n) ändern.
df =
∂ f ⋅ dx k
∂ xk
k= 1
n
∑
9.11 Ableitung höherer Ordnung
Satz von Schwarz
Existieren die partiellen Ableitungen
fx,fy,fxy,fyx
und sind stetig, so gilt
fxy = fyx
9.12 Gewöhnliche Differentialgleichungen
9.12.1 Differentialgleichungen mit trennbaren Variablen
DG 1 Ordnung gegeben
dy
= y' = f ( x) ⋅ g( y) ( g(y) != 0 )
dx
kann duch umformen in (trennen der Variablen nach links und rechts)
dy
= f ( x) ⋅ dx
g( y)
umgeformt werden. Daraus erhält man.
dy
∫ g( y) = ∫ f ( x) ⋅ dx
Autor: M.Drifte
Seite: 25/55
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Formelsammlung Algebra
10. Komplexe Zahlen
Polarekoordinaten r,ϕ
z = r ⋅ cis( ϕ
Beim HP48GX als (x,y) oder (x y) eingeben.
Allgemein
j= − 1
⇔
Kartesischen Koordinaten
z = x + yj
j2 = − 1
r = x + jy
Polarkoordinaten
z = r ⋅ e jϕ
tan( ϕ ) =
(− j) 2 = 1
e jϕ = 1
)
oder
y
z
z = r ⋅ e jϕ
y
Nach Euler
r
ϕ
e jϕ = cos( ϕ ) + j sin( ϕ ) , ∀ ϕ
x
x
Hilfreich:
sin(ϕ + π2 ) = cos(ϕ )
y
x
Addition
z1 + z2 = ( x1 + y1 j) + ( x 2 + y 2 j)
Division
z1 ( x1 +
=
z2 ( x 2 +
z1 ( x1 +
=
z2 ( x2 +
y1 j)
y 2 j)
y1 j)( x 2 − y 2 j)
y 2 j)( x 2 − y 2 j)
=
=
x1 + x 2 + ( y1 + y 2 ) j
Tabelle von jx
j0
j1
j2
j3
j4
j5
j6
j7
x1 x 2 − x1 y 2 j + x 2 y1 j + y1 y 2
x 22 + y 22
Multiplikation
z1 ⋅ z 2 = ( x1 + jy1 )( x 2 + jy 2 )
Potenzieren
[
z n = r ⋅ e jϕ
]
n
für
z oder z*
Wenn z = a + bj
Konjugiertkomplex
so ist
= x1 x 2 + x1 y 2 j + x 2 y1 j − y1 y 2
= r n ⋅ e jnϕ
z = r ⋅ e j( ϕ + k ⋅ 2 π ) gilt:
ln( z) = ln( r ) + j(ϕ + k ⋅ 2 π )
Logarithmus
=1
=j
= -1
= -j
=1
=j
= -1
= -j
z = a − bj
Mit HP [MATH][CMPL][CONJ]
(0 ≤ ϕ < 2π , k ∉ Z)
k = ±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ....
somit unendlich viel Lösungen
( z) n
=
zn
z1 ⋅ z2
=
z1z2
z1 + z2 = z1 + z2
Zeiger z
Wird ein komplexe zahl als z geschrieben so ist sie als Zeiger gemeint.
Autor: M.Drifte
Seite: 26/55
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Ortskurven
z = z (t ) = x ( t ) + j ⋅ y ( t )
Inversion der Ortskurve (Inversion einer komplexen Zahl in der komplexen Ebene)
Hinweis:
1.Der Punkt mit dem kleinsten Abstand (Betrag) vom Nullpunkt führt zu dem
Bildpunkt mit dem grössten Abstand (Betrag) und umgekehrt.
2.Ein Punkt oberhalb der reellen Achse führt zu einem Bildpunkt unterhalb der
reellen Achse und umgekehrt
w=
1
z
Inversionsregel: Geraden und Kreise werden durch die
Inversion w = 1 z nach folgenden Regeln abgebildet:
z-Ebene
w-Ebene
Gerade durch den Nullpunkt
Gerade die nicht durch den
Nullpunkt verläuft
Mittelpunktskreis
Kreis duch den Nullpunkt
Gerade durch den Nullpunkt
Kreis durch den Nullpunkt
Kreis, der nicht durch den
Nullpunkt verläuft
Mittelpunktskreis
Gerade die nicht durch den
Nullpunkt verläuft
Kreis, der nicht durch den
Nullpunkt verläuft
Berechnung eines Wechselstromkreises mit Hilfe von Widerstands und
Leitwertoperatoren
Symbol
Schaltelement
Widerstandsoperator
Leitwertoperator
Ohmscher Widerstand
Kapazität C
Autor: M.Drifte
1
R
− j ω1C
jω C
jω L
Induktivität L
Impedanz Z=R+jX
R
(Widerstand)
Admidanz Y=1/Z
− j ω1L
(Widerstand)
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Formelsammlung Algebra
11. Differentialgleichungen
11.3 Exakte Differentialgleichung
Typische Form
11.1 Separierbare Differentialgleichung
Typische Form
Bemerkungen:
g
: hängt nur von x ab
h
: hängt nur von y ab
y ' = g ( x ) ⋅ h ( y)
dy
dx
dy
P( x, y) + Q( x, y) dx = 0
oder
= g( x ) ⋅ h ( y )
Die Lösung erhält man durch Separieren
= g( x) dx
h( y )
dy
Als erster Schritt müssen die Variablen
Separierte werden. d.h alle x auf eine
Seite und alle y auf die andere.
und Integrieren
∫
1
h( y)
dy =
∫ g( x) dx + C
C
Siehe auch Stöcker p.609
y' =
Eine Funktion ist homogen wenn gilt.
Substitution durch
f ( λ ⋅ x, λ ⋅ y ) = λ ⋅ f ( x, y)
y = v⋅ x
Fx ( x, y) = P( x, y)
F( x, y) =
Möglicherweise mit einem Integrierenden
Faktor M exakt machen.
M=M(x) oder M(y).
M ⋅ Pdx + M ⋅ Qdy = 0
d.h.
P Integrieren über x ergibt:
(3)
Bemerkung:
h und g sind homogene Funktionen
gleichen Grades
g ( x, y )
h ( x, y )
(1)
Py ( x, y) = Q x ( x, y)
∫ P( x, y)dx + φ ( y)
∂
∂y
( MP) =
∂
∂x
( MQ)
Die Integrationskonstante φ(y) erhält man durch
Integration von (3)
11.2 Substitution zB. mit y=v⋅x
Gegebene Form
Lösungsweg:
(2)
:Integrationskonstante
P( x, y)dx + Q( x, y)dy = 0
Herausfinden ob Exakt:
= Q( x , y ) −
∂
∂y
∫ P( x, y)dx
Diese wird dann in (2) eingesetzt und man erhält
dann (4)
Die Lösungsform ist
(4)
n
dφ
dy
F( x, y) = C
C : Integrationskonstante
Siehe auch Stöcker p.609
und die Ableitung davon
y' = v'⋅ x + v =
dv
dx
x+ v
Für die Rechte Seite erhält man
g( x, y)
h( x, y)
=
=
g( x, v ⋅ x) x n g( 1, v)
=
h( x, v ⋅ x) x n h( 1, v)
g( 1, v)
h( 1, v)
Somit:
dv
dx
x+ v =
Durch die Substitution wird führt man die
Homogene DG in eine Separierbare über.
Siehe auch Stöcker p.609
g( 1, v)
h( 1, v)
Nach dem Auflösen nach v und x muss man noch
Rücksubstituieren.
Autor: M.Drifte
Seite: 28/55
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Formelsammlung Algebra
11.4 Lineare Differentialgleichungen 1 Ordnung
11.5 Lineare Differentialgleichung 2. Ordnung
Lineare DG 1. Ordnung
Typische Form
•
p und q sind nur von x abhängig.
dy
dx
•
q wird Inhomogenität, Störung,
oder quellterm genannt.
+ p ( x) ⋅ y = q ( x )
Sie ist homogen wenn
q ( x) = 0
Reduktion der Ordnung
Aus
y' ' = f ( x, y, y' )
erhalten wir zwei DG 1. Ordnung
z = y'
Siehe auch Stöcker p.610
Lösung:
1
y ( x) =
δ ( x)
=> y’ = z
z' = y''
[ ∫ p(x) ⋅ q(x)dx + c]
z' = f ( x , y , z)
11.6 Superpositionsprinzip
δ ( x) = e ∫ p ( x ) dx
11.4.1 Methoden der „Variablen Konstanten“
Für homogene Lineare DG, beliebiger
Ordnung, gilt: Sind y1 und y2 zwei Lösungen der
DG, dann ist auch
y = α 1 y1 + α 2 y 2
eine Lösung der DG
1.Schritt
Löse die Homogene DG:
y '+ p ( x ) ⋅ y = 0
Bemerkung
Man kann jede DG höherer Ordnung in ein
System vom DG 1. Ordnung überführen.
Diese kann dann mit einer der bekannten
Methoden gelöst werden.
Siehe auch Stöcker p.610
Bemerkungen
yh: Allgem. Lösung der zugehörigen
homogenen DG
yp: Partikulare Lösung.
Kann oft erraten werden wegen
Abhängigkeit von r(x)
Für inhomogene Lineare DG
y' ' + p ( x ) ⋅ y' + q ( x ) ⋅ y = r ( x)
Diese ist separierbar.
Allgem. Lösung:
gilt:
y h ( x) = C ⋅ e − ∫ p ( x ) dc
y( x ) = y h ( x ) + y p ( x )
2.Schritt
Berechne eine partikuläre Lösung:
y '+ p ( x ) ⋅ y = q ( x )
in dem wir C=C(x) auffassen (variieren).
Wir nehmen an:
y p ( x) = c( x) ⋅ e − ∫ p ( x ) dx
Einsetzen in DG
y' p + p( x) ⋅ y p = q ( x)
Einsetzen und auflösen erhält man:
y p ( x) = e − ∫ p ( x ) dx
[ ∫ q ( x) ⋅ e
∫ p ( x ) dx
dx
]
3. Schritt
Die allgem. Lösung ist nun:
y ( x) = y h ( x) + y p ( x)
Autor: M.Drifte
Seite: 29/55
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11.7 Lineare DG mit konstanten Koeffizienten 2. Ordnung
Typische Form
Bemerkungen
Lösungsweg in 4 Schritten
1.Schritt:
Lösung der zugehörigen homogenen DG
Siehe auch Stöcker p.612
y' '+ ay'+ by = r ( x)
2.Schritt
Berechnen einer Partikulären Lösung der inhomogenen Gleichung:
(a , b ∈ R )
y''+ ay'+ by = 0
1.
Wähle unten, anhand von r(x) , den Ansatz. Wenn der Ansatz bereits eine Lösung der
homogenen DG ist, verwende Modifizierungsregel.
2.
Bestimme die Konstanten des Ansatzes,durch einsetzen in die DG.
y p = Ansatz
y p ' = ...
Erstelle charakteristische Gleichung
..
λ 2 + aλ + b = 0
y p ( n ) = ...
(Die Exponenten entsprechen dem Grad der Ableitung.)
in DG einsetzen.
y p ''+ a ⋅ y p '+ b ⋅ y p = r
Lösungen aus der char. Gleichung:
λ 1=λ 2
y h ( x) = (C1 + C2 ) ⋅ e λ x
C1,C2 nicht zusammenfassen!
λ 1≠λ 2 (λ∈R)
y h ( x) = C1 ⋅ e λ 1 x + C2 ⋅ e λ 2 x
λ 1,2= -a/2±jω
y h ( x) = e
−
ax
2
−
ax
2
(C ⋅ e
1
jω x
(C1,C2∈R)
+ C2 ⋅ e
− jω x
ω =
b−
2
a
4
Ansatz:
Störung r(x) ‘rechts der Gleichung’
(k
)
= e A ⋅ cos(ω t + ϕ ) (A , ϕ ∈ R )
ax ~
~
= e − 2 ( C1 cos(ω x) + C2 sin(ω x))
Wobei
a,b sind die Koeffizienten der DG , r ist die Störung der DG
Danach bestimme Cn (ev. ω) durch koeffizientenvergleich. (Das linke muss das Rechte
ergeben)
+ k 1 x + k 2 x + ... k n x ) e
2
0
n
k ⋅ x n ( n = 0,1,...)
k cos(ω x)
oder
k sin(ω x)
Ansatz für yp
γx
(C
0
+ C1 x + C2 x 2 + ... Cn x n ) e γ ⋅ x
C 0 + C1x + C 2 x 2 + ...+ C n x n
C1 cos(ω x) + C 2 sin(ω x)
Falls r(x) eine der Funktionen in der linken Spalte der Tabelle ist, so verwendet
man die entsprechende Funktion in der Rechten Spalte im Ansatz für die
partikuläre Lösung yp.
Modifizierungs- Die Grundregel wird modifiziert, falls ein Ansatz für yp genommen werden
müsste, der gleich einer der Lösungen der zugehörigen homogenen Gleichung
regel:
ist. In diesem Fall nehme man des x-fache des ersten Vorschlages, bzw. das
x2-fache, falls die charakteristische Gleichung eine reelle Doppellösung hat.
Besteht die Störung aus einer Summe der Einträge in der linken Spalte, so
verwende man im Ansatz für yp die entsprechende Summe der Rechten Spalte.
3.Schritt:
Bestimme die allgemeine Lösung der DG.
yh enthält noch C1..Cn
y( x ) = y ( x ) + y ( x )
Grundregel:
h
p
4.Schritt:
Bestimme eine Spezielle Lösung mit den Anfangsbedingungen.
y(x) aus Schritt 3 mehrmals ableiten. Dann x mit den Anfangsbedingungen setzen.
Dies für auf ein Gleichungssystem mit den Variablen C1...CN nach den aufgelöst werden
muss.
Autor: M.Drifte
Seite: 30/55
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Formelsammlung Algebra
11.7.1 Lösen linearer DG’s mit konstanten Koeffizienten höhere Ordnung
Gegeben DG folgender Form
y
(r)
+ a r − 1y
( r − 1)
+ ... a 1y'+ a 0 y = g( x)
1. Lösung der homogenen Gleichung
Die charakteristische Gleichung
λ + a r − 1λ
r
r− 1
+ ... a1λ + a 0 = 0
mit den Nullstellen
λ1, λ2, λ3, λ4, ....λn
Für die doppelten und vielfachen reelen Nullstellen gilt:
y h ( x) = ( C
10 + C
11x + C12 x +


2
1.Nullst.
dop.Nullst .
y=y(x)
ax
g(x)
Koeffizienten
Störung
λ=λ(x)
ax
λk
Koeffizienten
Nullstellen
11.9 Systeme von Differentialgleichungen
Aus einem System von zwei DG’s 1. Ordnung erzeugt man eine DG 2. Ordnung.
BSP:
x=x(t) , y=y(t)
x'− 3x + 2 y = te 3t + 1
y '− x = 0
==>
x'− 3x + 2 y = te3t + 1
x' = y' '
λ 1x
...
 ) e + ....
usw.
fuer jede
weitere
vielfache
nullstelle
x = y'
y' '− 3y'+ 2 y = te 3t + 1
2. Lösen der Inhomogenen Gleichung
Siehe weiter vorne
man erhält eine DG 2. Ordnung
Nun weiter wie in „Lineare DG mit konstanten Koeffizienten“ beschrieben.
Lösungsform:
11.8 Wronski-Determinante
y1 y 2
= y1 y 2 ' − y1 ' y 2
y1 ' y 2 '
x’ und x in 1. Gleichung einsetzen
==>
und für die Komplexen vielfachen Nullstellen gilt siehe Stöcker
W( y 1 , y 2 ) =
zwei DG 1. Ordnung
Die Wronski-Determinante ist ein
Hilfsmittel. Mit ihr kann überprüft werden
ob zwei Lösungen Linear unabhängig
sind.
Zwei Lösungen einer DG sind dann lin.
unabhängig wenn W(x) ≠ 0 für wenigstens
ein x.
x(t) = ....
y(t) = ....
11.10 Lösen linearer DG’s mit konstanten Koeffizienten höhere Ordnung
Gegeben DG folgender Form
y
(r)
+ a r − 1y
( r − 1)
+ ... a 1y'+ a 0 y = g( x)
1. Lösung der homogenen Gleichung
Die charakteristische Gleichung
λ r + a r − 1λ r − 1 + ... a1λ + a 0 = 0
mit den Nullstellen
λ1, λ2, λ3, λ4, ....λn
Für die doppelten und vielfachen reellen Nullstellen gilt:
y h ( x) = ( C10 + C11x + C12 x 2 +


1.Nullst.
dop .Nullst .
y=y(x)
ax
g(x)
Koeffizienten
Störung
λ=λ(x)
ax
λk
Koeffizienten
Nullstellen
λ 1x
...
 ) e + ....
usw.
fuer jede
weitere
vielfache
nullstelle
und für die Komplexen vielfachen Nullstellen gilt
2. Lösen der Inhomogenen Gleichung
Siehe weiter vorne
Autor: M.Drifte
Seite: 31/55
19. Nov. 2006
Formelsammlung Algebra
11.11 Elektronische Schwingkreise
Spannungen:
R
U L = L dtdi
UR = R ⋅ i
UC =
i=
1
C
Ua
Q
UL
U a = Li + R ⋅ i +
U a = Li + R ⋅ i +
dQ
dt
Q
Autor: M.Drifte
UR
C
: Ladung
L
UC
1
C
Q
1
C
i=
dU a
dt
[C]
Seite: 32/55
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Formelsammlung Algebra
15. Fourier reihen
15.3 Energiesatz
T  a2
E = ∫ [ f ( x) ] dt =  0 +
2 2
0
T
15.1 T-Periodische Funktionen
2
ak,bk sind die
gesuchten Fourier
Koeffizienten
Die Fourier reihe ist definiert
a
f ( x) = 0 +
2
∞
∑
k= 1
[ a cos( kω x) + b sin( kω x) ]
k
0
k
a0 =
bk =
e jkx + e − jkx
2
Die Fourierreihe ist definiert
2
f ( x) dx
T ∫T
∞
∑
f ( x) =
Die totale Energie einer Welle ist
gleich der Summe der Energien der
einzelnen Fourierkomponenten.
−∞
e jkx − e − jkx
cos( kx) =
2j
k=-∞....∞
c k e jkω 0 x
Die Fourierkoeffizenten
für k=1,2,3,....
Die Fourier koeffizenten bk
2
k
15. 4 Komplexe Fourier reihe
sin( kx) =
2
f ( x) ⋅ cos( kω 0 x) dx
T ∫T
2
k
Definition
für k=0,1,2,3,....
Die Fourier koeffizenten ak
ak =
0

∑k = 1 ( a + b ) 

∞
2
f ( x) ⋅ sin( kω 0 x) dx
T ∫T
1
f ( x) ⋅e − jω 0 kx dx
T ∫T
ck =
15.4.1 Umwandlungen
15.2 Spezielle Eigenschaften gerader und ungerader Funktionen
Eine gerade Funktion enthält nur
Gerade Funktion f ( − x) = f ( x)
a0
+
2
f ( x) =
ak =
k= 1
k
⋅ cos( kω 0 x)
)
f ( x) =
x) = − f ( x )
∞
∑ (b
k= 1
k
⋅ sin( kω 0 x)
)
f(x)
x
ck =
1
2
c− k =
1
2
x
+ jb k )
= 2 Re(c k )
b k = j(c k − c − k ) = j(c k − c k )
= − 2 Im(c k )
15.5 Fourier reihe als beste Approximation
cos( kπ ) = ( − 1) k
a0
+
2
∞
∑ [a
k= 1
k
cos( kω 0 x) + b k sin( kω 0 x)
T
sin( kπ ) = 0
ε =
∫
]
Die Fourreihe ist die beste
approximation der Funktion f(x)
Fehler entstande Fehler bei der
FT
Fehler:
2π
T
Autor: M.Drifte
k
− jb k )
a k = ck + c− k = ck + ck
T(x) =
cos( − x) = cos( x)
k
a 0 = 2 c0
f(x)
2
f ( x) sin( kω 0 x) dx
T ∫T
sin( x) = − sin( x)
(a
(a
Real->complex
Eine ungerade Funktion enthält nur
Sinusanteile
15.2.1 Tipps
ω =
a0
2
c0 =
Cosinusanteile
2
f ( x) cos( kω 0 x) dx
T ∫T
Ungerade Funktion f ( −
bk =
∞
∑ (a
Komplex-> real
2
T(x) − f ( x) dx
0
Seite: 33/55
19. Nov. 2006
Formelsammlung Algebra
15.6 Diskrete Fouriertransformation
Gegeben: eine 2 π periodische Funktion durch N Messwerte .
Gesucht: eine trig. Polynom der Form:
(
) (
)
(
T(x) = c 0 + c1e jx + c 2 ⋅ e 2 jx + ...+ c N − 1 ⋅ e ( n − 1) jx
)
C0...Cn-1 sind die zu bestimmenden koeffizenten.
N ist ein vielfaches von 2.
Die Koeefizenten sind durch Folgendes Gleichungssystems
bestimmt: (Schema)
1
1
 C0 
1
 C 
− j

 1 
1 1
−1
 C2  =
...
...

 N 1
 1 − jk
 Ck 

N− 1
 CN− 1
1 − j
1
−1
j
...
− jk + 1
− jN
...
1
...
− jk
...
− jk + 1
...
...
...
− jk + k
− jN + 1 − jN + 1+ k
f(1)
f(0)
1 
− jN − 1 

− jN 
... 
1 

... 
f(x)
f(2)
Definition
f(x)
0
0
2π
1
/N
 f ( 0) 
 f (1) 


⋅  f ( 2) 
 f ...
(k) 


 f ( N − 1)
15.7 Diskrete FT mit dem HP 48
Programm
[MATH][FFT][FFT]
Parameter
[ f0 f1 f2 f3 ... fN-1 ]
Resultat
[c0 c1 c2 c3 ... cN-1 ]
15.8 Fourier integral & Fouriertransformation
15.8.1 Fouriertransformation
4π
/N
2
6π
/N
N-1 N
2π
Transformation
f ist ein genügend anständiger, nicht
notwendigerweise periodische, Funktion.
∞
1
F{ f ( x)} = F(ω ) =
2π
∫ f ( x) ⋅ e
− jω x
dx
−∞
15.8.2 Fourier Rücktransformation
Definition
Eine Funktion F(ω) im Frequenzraum
Transformieren in eine Funktion f(t) im
Zeitraum.
F − 1 { F(ω )} = f ( t )
Transformation
F
−1
{ F(ω )} =
∞
f ( t) =
∫ F(ω ) ⋅ e
+ jω x
dω
−∞
N ist ein vielfaches von 2
15.8.3 Diverser FT f(t) àF(ω)
{
f(t) = F(ω)
}
F δ (t − t 0 )
15.7.1 Diskrete inverse FT mit dem HP 48
Programm
[MATH][FFT][IFFT]
Parameter
[c0 c1 c2 c3 ... cN-1 ]
Resultat
[ f0 f1 f2 f3 ... fN-1 ]
Eine Funktion f(t) im Zeitraum
transformieren in eine Funktion F(ω) im
Frequenzraum.
F { f (t )} = F (ω )
{ }
e
1
2π
e − jω t 0
t
= ( 1+ ω1 2 ) π
− at 2
e 4a
2 aπ
F e−
N ist ein vielfaches von 2
=
=
−
ω2
(a!=0)
Siehe Stöcker Seite 668 und folgende
Wenn die rechte Seite f(t) dann verwende Transformationspaar regel weiter vorne.
Autor: M.Drifte
Seite: 34/55
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Formelsammlung Algebra
15.9 Regeln
15.10 Deltafunktion
Linearität der FT
Definition
F{ µ ⋅ f ( t ) + ν ⋅ g( t )} = µ ⋅ F{ f ( t )} + ν ⋅ F{ g( t )}
Transformationspaar
f ( t ) → F(ω ) ist ein Transformationspaar
dann gilt auch die linke Formel
Zum Beispiel aus dem Stöcker s.668
f eine anständiger Funktion.
1
f (− ω )
2π
F( t ) →
FT eines Differential
{ dfdt } =
F
jω F{ f ( t )}
dn
dt n
1.)
N→ ∞
{ } = ( jω ) F{ f ( t)}
F
n
ω
∫ δ (ω~ − ω
( )→
t
b
F( bω )
2π
Frequenzverschiebung:
f ( t )e
jω 0 t
(
→ Fω −ω
∫
2
f ( t ) dt =
−∞
∞
∫
−∞
~ =  0, ω < ω 0 = H (ω − ω )
0
 1, ω > ω 0
∫ f (ω ) ⋅ δ ( ω − ω
0 ) dω
= f (ω 0 )
−∞
15.10.2 Heavieside Funktion (Sprungfunktion)
Definition
0
)
15.9.1 Satz von Parcel
∞
)
π (ω 0 − ω )
∞
f ( t − t 0 ) → F(ω ) ⋅ e − jω t 0
1
f
b
(
sin ( ω 0 − ω ) N
3.)
Zeitverschiebung:
Frequenzskalierung:
ω
0 ) dω
−∞
( ωa )
1
F
a
ω0
2.) Heavisidefunktion
Zeitskalierung:
f (a ⋅ t ) →
y
15.10.1 Eigenschaften der Deltafunktion
δ (ω 0 − ω ) = lim
oder allgemein
1
 0, ω ≠ ω
δ (ω − ω 0 ) =  ∞ , ω = ω 0
0

F( ω ) dω
2
 0,
H(ω − ω 0 ) =  1,

y
ω < ω0
ω > ω0
ω
ω0
siehe auch Deltafunktion
Bemerkung
Mit der Heavieside Funktion können auch komplexere Funktion zusammen gebaut werden.
Wie Impuls oder Treppen. (* , +/- )
15.11 Faltung zweier Funktionen
Die Faltung zweier Funktionen f(t) und g(t) ist definiert durch:
∞
∫ f (τ ) ⋅ g(t − τ )dτ
( f ∗ g)( t ) =
−∞
∞
∫ f ( t − τ ) ⋅ g(τ )dτ
=
−∞
15.11.1 Faltungssatz
{
}
{
}
F ( f ∗ g)( t ) = 2π ⋅ F{ f ( t )} ⋅ F g( t )
Autor: M.Drifte
Seite: 35/55
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Formelsammlung Algebra
16. Laplacetransformation
16.4 Sätze
Transformationssatz
L{a ⋅ f ( t ) + b ⋅ f ( t )} = a ⋅ F(s) + b ⋅ F(s)
Die Laplacetransformation wird verwendet um Differentialgleichungen und entsprechende
Anfangs- und Randwertprobleme zu losen. Die Lösung einer solchen DG wird in 3 Schritten
erhalten:
f(t) darf nicht schnelle als
irgendeine Exponentialfunktion
wachsen.
M und γ sind Konstanten
Existenzsatz
f ( t) ≤ M ⋅ eγ ⋅ t
1. Die DG wird in eine einfache algebraische Gleichung transformiert.
2. Die einfache Gleichung wird mit Methoden der Algebra gelöst.
,∀
t≥ 0
Ableitungsregel
L{ f ' ( t )} = s ⋅ F(s) − f (0)
3. Die Lösung der einfachen Gleichung wird zurück transformiert; als Resultat
erhält man die Lösung der DG
L{ f ' ' ( t )} = s2 ⋅ F(s) − s ⋅ f (0) − f ' (0)
{
16.1 Lapcacetransformation
Transformation vom t Raum in den s Raum
∞
F(s) = L{f ( t )} =
∫e
− st
⋅ f ( t )dt
Die Umformung nach dieser Formel ist nicht
immer nötig. Siehe dazu die Regeln weiter
hinten.
Allgemein:
Die Rücktransformation ist etwas aufwendiger.
Integralregel
0
Im Stöcker p. 701 hat es bereits bekannte
Transformationspaare.
}
 t
 F(s)
L f ( x)dx  =
s
 0

∫
Die direkte Rücktransformation kennen wir noch nicht. Wir
verwenden ein anders Vorgehen:
• F(s) durch (PBZ) parzialbruchzerlegung in Parzialbruche
zerlegen.
Siehe auch PBZ weiter
vorne oder im
Stöcker p.692f
Dann Anhand der Transformationspaare im Stöcker p.701
zurück transformieren.
Verwende auch die Nachfolgenden Sätze und Regeln
s
1
s2
1
s+ a
1
s2 + a 2
s
s2 + a 2
{
1
s2 − a 2
s
s2 − a 2
cos( a ⋅ t )
1
a
sinh( a ⋅ t )
cosh( a ⋅ t )
∫ f ( x) ⋅ dx
0
}
L− 1 { F(s − a )} = e at ⋅ f ( t )
Verschiebung auf der t-Achse
L{ f ( t − a ) ⋅ h( t − a )} = e
{
− as
⋅ F(s)
}
L− 1 e − as F(s) = f ( t − a ) ⋅ h( t − a )
Verschiebung nach rechts
( a>0 )
h(t-a) ist eine Sicherheitsmassnahme und meistens nicht nötig
Merkmal:
e-as
16.5 Ableitung der Transformierten
e − at
sin( a ⋅ t )
F(s) 
L 
 =
 s 
L e at ⋅ f ( t ) = F(s − a )
t und t ⋅ h( t )
1
a
t
− 1
Verschiebung auf der s-Achse
16.3 Ein kleiner Ausschnitt aus dem Stöcker p. 701
F(s)
f(t)
1
δ (t)
1
1 und h( t )
Autor: M.Drifte
{
n
n− 1
n− 1
L f ( ) ( t ) = s n ⋅ F(s) − s( ) ⋅ f (0) − .....− f ( ) (0)
16.2 Rücktransformation
•
}
L f 3 ( t ) = s3 ⋅ F(s) − s2 ⋅ f ( 0) − s ⋅ f ' (0) − f ' ' (0)
a!=0
L{ t ⋅ f ( t )} = − F' (s)
Vereinbarung:
Alle unsere Funktionen seine 0 für t < 0
16.6 Integration der Transformierten
a!=0
 f (t) 
L
 =
 t 
a!=0
a!=0
Seite: 36/55
∞
∫ F( r ) ⋅ dr
s
19. Nov. 2006
Formelsammlung Algebra
16.7 Übertragungsfunktion
16.10 Grenzwertsätze
lim f ( t ) = lim [ s ⋅ F(s)]
Die Übertragungsfunktion erhält man durch eine Impulsantwort mit der δ - Funktion
oder der Ableitung davon h(t)-Funktion (Heaviside)
t → 0+
lim f ( t ) = lim[ s ⋅ F(s)]
Die Übertragungsfunktion ist eine von der Eingangsfunktion unabhängige
Funktion und man erhält sie durch umformen der Transformierten DG.
Impulsanwort=Gewichtsfunktion
Die Übertragungsfunktion enthält alles über
die Physik des Systems.
U a ( s) = G ( s) ⋅ U e ( s)
Ue
Ue
G ( s) = G1 ( s) ⋅ G2 ( s)
G(s)
Ue
G1 ( s)
G ( s) =
1 − [ G1 ( s) ⋅ G2 ( s)]
Endwert
Nur wenn die Grenzwerte existieren
Ua
G1(s)
Ue
Rückkopplung:
s→ 0
Anfangswert
: Übertragungsfunktion (Laplace-Tra.)
: Ausgangssignal (LT)
: Eingangssignal (LT)
G ( s) ⋅ U e ( s) entspricht der Faltung
( g∗ ue )(t )
Zusammensetzung von 2 Systemen
Reihenschaltung:
t→ ∞
g( t ) = L− 1 { G (s)}
G(s)
Ua(s)
Ue(s)
s→ ∞
+
G2(s)
G(s)
G1(s)
Ua
Ua
Ua
G2(s)
16.8 Faltung der Transformierten
( f ∗ g)( t ) =
t
∫ f ( x) ⋅ g( t − x) ⋅ dx
0
( f ∗ g)( t ) =
t
∫ f ( t − x) ⋅ g( x) ⋅ dx
0
{
}
L ( f ∗ g)( t ) = F(s) ⋅ G (s)
Duhamelsche Formel:
 (g∗ u e )( t )

u a ( t ) =  ( u a δ ∗ u e )( t )
 ( u a ' h ∗ u e )( t )
16.9 f ist T - periodisch
1
L{ f (t )} =
1 − e − Ts
Autor: M.Drifte
Stöcker s. 690
T
∫e
− st
⋅ f (t ) ⋅ dt
0
Seite: 37/55
19. Nov. 2006
Formelsammlung Algebra
17. Z-Transformation
17.1 Z-Transformation einer Zahlenfolge
Z{ f } = F( z) =
∞
∑
= 0
f z − 
Vielfach auch so geschrieben
Z{f}=Z{yk}
17.4 Formeln Z-Transformation
Linearität
Z{ ∇ f k } = ( 1 − z − 1 ) F( z)
T ist die Abtastrate
2
Z{ ∇ n f k } = ( 1 − z − 1 ) F( z)
n
Ähnlich wie bei der Laplace Transformation
Siehe mehr 17.5
Summationssatz ( Integration )
 k 
z
Z ∑ f  =
Z{ f k }
 = 0  z − 1
17.3 Eigenschaften von Folgen
Rechtsverschieben um m Stellen
Ähnlichkeitssatz
f k − m = ( 0
,
0,...
 , f0 , f1 ,...)
Z{ γ
m − Glieder

Z{ f k + m } = z m  F( z) −

f = fk + 1 − f k
∆ k
f k = 0 ( ∀ k < 0)
•
Z{ k ⋅ f k } = − z
•
Z{fk } = F( z)
dF ( z )
dz
m
Faltung
( f ∗ g)
fk={1,1,1,1,1,1} = hk (Heaviside)
k
=
k
∑
= 0
=
k
∑
= 0
Autor: M.Drifte
∑
Z{fk } = F( z)
In einigen fällen ist Summe 0 da das
Signal erst nach m Schritten am
Ausgang erscheint.
Z{ k m ⋅ f k } = ( − z dzd ) ⋅ F( z)
Aufzeichnen der ersten paar Glieder
Manchmal hilfreich
jω kT
− e − jω kT
Sinus in e
umwandeln
2j

f z −  
= 0

m− 1
Ableitung der Bildfunktion
17.3.1 Tip
•
Z{fk } = F( z)
Linksverschiebung
Vorwärts Differenzenfolge
f = fk − fk − 1
⋅ f k } = F( γ ⋅ z)
Z{ f k − m } = z − m ⋅ F( z)
f k + m = ( f m , f m+ 1 ,...)
∇ k
−k
Rechtsverschiebung
Linksverschieben um m Stellen
Rückwärts Differenzenfolge
Z{fk } = F( z)
Z{ ∇ 2 f k } = ( 1 − z − 1 ) F( z)
17.2 Rücktransformation (Definition)
f k = Z − 1 { F( z)}
Z{ α ⋅ f k + β ⋅ g k } = α ⋅ Z{ f k } + β ⋅ Z{ g k }
Rückwärtsdifferenzenfolge
17.1.1 Diskretisieren einer Funktion
f k = f ( kT)
Tabelle auf Seite 714 im Stöcker
Seite: 38/55
f ⋅ g k − 
Z{ f k ∗ g k } = F( z) ⋅ G( z)
fk −  ⋅ g 
19. Nov. 2006
Formelsammlung Algebra
z
Z{ f k } =
z
m
m− 1
m
∑
−1
Dämpfung
= 0
f z − 1
Lineares System
uk ⋅ xk = uk ⋅ yk
()
Z{β k ⋅ f k } = F
17.7 Anwendung
17.7.1Definitionen
fk=fk+m
m-Periodische Folge
ersetze z durch z / β
z
β
Gilt nur wenn der Grenzwert existiert
Anfangswertsatz
f0 = lim F( z)
z→ ∞
lim f k = lim [ ( z − 1) ⋅ F( z)]
k→ ∞
:Eingangssignal
:Ausgangssignal
:Faktoren
Zeitinvariantes System
Ein um m verzögertes Eingangssignal
liefert ein um m verzögertes
Ausgabgssignal
Diskretes System
Eingangs- und Ausgangsignal können
durch eine Zahlenfolge dargestellt werden.
17.7.2 Symbole
Gilt nur wenn beide Grenzwerte
existieren
Endwertsatz
xk
yk
uk
Siehe auch Laplace
Addierer
z→ 1+
ak
+
17.5 Rücktransformation
bk
Tips.
• Funktion mit helfe einfacher Funktionen darstellen.
• Parzialbruch Zerlegung 8.0 PBZ
Mit hilfe des Anfangswert satzes
f0 = lim F( z)
z→ ∞
z→ ∞
Multiplizierer
Rekursives ermitteln der einzelnen
Werte. Ist mühsam
[
f1 = lim z ⋅ ( F( z) − f0 )
]
z→ ∞
3
3
z→ ∞
0
ak
Verzögerungsglied um eine Abtastperiode
Rückkopplung
y = yx + xα
y=
)]
[ (
f = lim[ z ⋅ ( F( z) − f − − ) ]
f2 = lim z ⋅ F( z) − f0 −
2
f1
z
f1
z
x
+
yk=α ⋅ ak
T
yk=ak-1
α
y
x⋅ α
1− α
Abtastfrequenz
2
f=
f k = usw.
Mit Hilfe der Laurent-Reihe (Potenzreihe)
1 d k F ( y)
fk =
⋅
k ! dy k y = 0
ak
α
17.8 Bemerkungen
f2
z
yk=ak+bk
F ( y) = F( 1y ) = F( z)
Ersetze z durch 1/y (subst.)
y=0 nach dem ableiten einsetzen!
T ist die Abtastrate
1
T
Umwandlung Laplace - Z - Transformation
Die Umwandlung erfolgt über die inverse
Laplacetransformation. Die erhalten Funktion muss dann
diskretisiert werden(17.1.1) . Durch das Diskreteren erhält
man die yk welche dann Z-Transformiert werden müssen.
Tabellenbuch
Stöcker p.714
17.6 Übertragungsfunktion/Gewichtsfunktion/Impulsantwort
Siehe dazu 16.7 Laplace diese Regeln gelten
auch für die Z-Transformation
Autor: M.Drifte
Seite: 39/55
19. Nov. 2006
Formelsammlung Algebra
51. Eigenschaften von Vektoren
- Zwei Vektoren sind gleich , wenn sie gleiche
Länge und gleiche Richtung haben.


- Die Summe zweier Vektoren a und b ist der

Vektor, der der Zusammensetzung der zu a und

b gehörenden Translationen entspricht.
- Assoziatives Gesetz


- Der Kehrvektor von a ist − a
- Zwei Vektoren heissen kollinear, wenn sie zu
einer einzigen Geraden parallel sind (dabei wird
der Nullvektor als zu jeder Geraden parallel
betrachtet).
 
xa + yb = 0
( x, y ∈ R x ≠ 0 ∧ y ≠ 0)
 
a= b

a

b

b

a
  
c=a+b
( a + b) + c = a + ( b + c)



a

-a

a

b
- Drei Vektoren heissen komplanar, wenn sie zu
einer einzigen Ebene parallel sind (dabei ist der
Nullvektor als zu jeder Ebene parallel zu
betrachten).
  
xa + yb + zc = 0 ( x,y,z ∈ R x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ z ≠ 0)
- Vektoren heissen linear unabhängig, wenn
keiner von ihnen eine Linearkombination der
andern ist(d.h. eine Summe von Vielfachen der
andern) ist, sonst sind sie linear abhängig.
Drei Vektoren in einer Ebene und vier Vektoren im
Raum sind stets linear abhängig.
*Die Determinante verschwindet wenn sie linear
abhängig sind.*
Autor: M.Drifte
Seite: 40/55
19. Nov. 2006
Formelsammlung Algebra
53. Trigonometrische Funktionen
53.3 Grafiken der Verschiedenen Trigonometrischen Funktionen
G1(x)=sin(x)
53.1 Definition
sin( ϕ ) =
y
r
tan( ϕ ) =
y
x
tan( ϕ ) =
sin(ϕ )
cos(ϕ )
y
II
P

Für einen beliebigen Vektor a
sin( ϕ ) =
cos( ϕ ) =
tan( ϕ ) =
I

r
a 
=  1
 a2 
ϕ
x
a2
a
a1
a
a2
a1
y
III
x
0
IV
( )
x = r ⋅ cos ϕ
y = r ⋅ sin( ϕ
G2(x)=cos(x)
)
53.2 Grundbeziehungen
sin 2 ( ϕ ) + cos2 ( ϕ ) = 1
( )
tan ϕ =
P’(x’/y’)
P(x/y)
( )
( )
sin ϕ
cos ϕ
G3(x)=tan(x)
Quadrantenrelation
α
sin( − α ) = − sin( α )
cos( − α ) = cos( α )
tan( − α ) = − tan( α )
cot( − α ) = − cot( α )
Umwandlung Polar in rechtw. Koord.
x = r cos( ϕ
y=
y
)
r sin( ϕ )
P’’(x’’/y’’)
x
P’’’(x’’’/y’’’)
Umw. rechtw. In Polare Koord.
r=
x2 + y2
()
ϕ = arctan
Autor: M.Drifte
y
x
Seite: 41/55
19. Nov. 2006
Formelsammlung Algebra
53.4 Sin , Cos , Tan Tabelle
Winkel
°
Winkel
rad
sin
cos
tan
0°
0
0
1
0
/6 π
½
3
30°
1
45°
¼π
60°
1
/3 π
3
90°
½π
/3 π
120°
2
135°
¾π
150°
5
1
0
±∞
3
-½
2
- 3
-1
2
-
2
2
π
0
/6 π
-½
1
225°
5
/4 π
-
240°
4
/3 π
-
270°
3
/2 π
300°
5
/3 π
315°
7
330°
11
360°
1
½
7
/4 π
-
3
1
-
3
-1
2
2
-
3
1
3
0
1
2
1
3
1
2
-½
3
-1
0
±∞
3
½
2
- 3
-1
2
-
1
2
2
1
/6 π
-½
3
2π
0
1
Autor: M.Drifte
1
2
3
1
210°
3
½
2
/6 π
180°
1
2
1
2
1
3
0
Seite: 42/55
19. Nov. 2006
Formelsammlung Algebra
54. Sinussatz und Cosinussatz
WSW
Sinussatz
SSW
Sinussatz
C
Sinussatz:
sin( α ) :sin( β ) :sin( γ ) = a: b:c
a
sin( α
=
)
b
c
=
sin( β ) sin( γ
)
γ
= 2r
Cosinussatz
A
c = a + b − 2ab cos( γ )
2
2
a
b
2
α
c
β
B
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos( α )
C
SWS
b 2 = c 2 + a 2 − 2ac cos( β )
b
Cossinussatz
a
Harmonische Schwingungen
a 2 = a sin( ϕ ) = a sin(ϕ t + α )
A
Periode:
P=
B
Cossinussatz
α
ϖ
t1 = −
Frequenz:
f=
SSS
2π
ω
c
a2
a
α
ω
ϖ
2π
: Elongation
: Amplitude
: Phasenkonstante (Verschiebung)
: Kreisfrequenz
Superposition zweier harmonischer
Schwingungen
Bemerkung:
Die Superposition zweier harmonischer
Schwingungen mit ungleicher Frequenz ist keine
harmonische Schwingung mehr.
Superposition von A’ und B’
c 2 = c sin( ϖ t + γ
oder wegen
)
c2 = a 2 + b2
c 2 = a sin( ϖ t + α ) + b sin( ϖ t + β
)
Amplitude
a 2 + b 2 + 2ab cos( α − β
c=
Phasenkonstante zur Zeit t=0
( )
tan γ =
c2
c1
=
a2 + b2
a 1 + b1
=
)
( ) = x'
( ) = y'
a sin( α ) + b sin β
a cos( α ) + b cos β
Anwendungen bei schiefen Dreiecken
Gegeben
Autor: M.Drifte
Figur
Satz
Seite: 43/55
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Formelsammlung Algebra
55. Additionstheoreme der
trigonometrischen Funktionen
55.1 Die trigonom. Funktion der Summe und Differenz zweier Winkel
sin( α + β ) = sin( α ) cos( β ) + cos( α ) sin( β
)
cos( α + β ) = cos( α ) cos( β ) − sin( α ) sin( β )
sin( α − β ) = sin( α ) cos( β ) − cos( α ) sin( β )
cos( α − β ) = cos( α ) cos( β ) + sin( α ) sin( β )
(Siehe auch Stöcker
letzte Seite)
) sin( α ) cos( β ) ± cos( α ) sin( β )
) = cos( α ) cos( β )  sin( α ) sin( β )
tan( α ) ± tan( β )
tan( α ± β ) = 1 tan( α ) tan( β )
(
)
tan α ± β =
(
(
sin α ± β
cos α ± β
55.2 Die trigonom. Funktion des doppelten und des halben Winkels
sin( 2α ) = 2 sin( α
cos( 2α ) = cos
tan( 2α ) =
2
) cos( α )
( α ) − sin 2 ( α )
2 tan( α )
1− tan 2 ( α )
1− cos( α
)
( α2 ) = ± 2
1+ cos( α )
cos( α2 ) = ±
2
sin( )
α
tan( 2 ) =
= ±
cos( )
sin
= 2 cos2 ( α ) − 1
α
2
α
2
1− cos( α
1+ cos( α
)
1− cos( α )
) = sin( α )
55.3 Trigonometrische Gleichungen
tan( α ) + tan( β ) + tan( γ ) = tan( α ) tan( β ) tan( γ
tan( 3α ) =
3 tan( α ) − tan 3 ( α
1− 3 tan 2 ( α )
)
)
55.4 Quadrantenrelation zusatz
sin( x ) = cos( x −
)
cos( x ) = sin( x + π 2 )
Autor: M.Drifte
π
2
Seite: 44/55
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Formelsammlung Algebra
56. Gleichungen der Geraden
Winkel zwischen zwei Geraden
ϕ1+ ϕ = ϕ2
Parametergleichung
 

r = r0 + ta
Komponentengleichung



x = x 0 + ta x



y = y 0 + ta y



z = z 0 + ta z
Spurpunkte:
tan ϕ = tan(ϕ
tan ϕ =
Die Spurpunkte sind die Schnittpunkte S1,S2,S3
der XY-,YZ- und der ZX-Ebene. Es gilt S1=(x,y,0),
S2=(0,y,z), S3=(x,0,z).
2
− ϕ 1)
tan ϕ 2 − tan ϕ 1
m − m1
= 2
1 + tan ϕ 2 tan ϕ 1 1 + m2 m1
Normale einer Geraden(Senkrechte)
Gilt bei der Punktrichtungs form m als Steigung so
ist die Normale der negative Kehrwert.
Koordinatengleichung der Ebene
mN = −
Aus dem Gleichungssystem den Parameter t entfernen

x=

y=

x0

y0
+
+

ta x

ta y
dann erhält man eine lin.Gleichung der Form:
Ax + Bz + C = 0
1
m
m= −
y
g
1
mN
x
gN
wobei A,B u. C scalare Faktoren sind.
Möchte man einen Punkt auf der Geraden bestimmen so muss man die
gleichung nur nach x oder y auflösen und dann einen wert einsetzen.
Punkt-Richtungsform der Ebene
Aus dem Gleichungssystem den Parameter t entfernen



x = x 0 + ta x



y = y 0 + ta y
dann erhält man eine Gleichung der Form:
ay
y − y0 =
( x − x0 )
ax
wobei
m:
m = tan ϕ =
ay
ax
Normalform der Geradengleichung
Bezeichnet man den Punkt wo die gerade die y-Achse
schneidet mit Q(0,q) so lautet die Gleichung
Steigung
Es gilt:
m = 0 (ϕ=0) parallel zur x-Achse
m > 0 (0<ϕ<90) steigend
m < 0 (90<ϕ<180) fallend
y − q = m( x − 0)
daraus folgt
y = mx + q
Autor: M.Drifte
Seite: 45/55
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Formelsammlung Algebra
57. Die Gleichungen der Ebene
57.3 Schnitt von Geraden und Ebenen
Zwei sich schneidende Ebenen sind durch Ihre Koordinatengleichnung gegeben.
1. z=t;
57.1 Die Parametergleichung der Ebene



P
P
=
ua
+
vb

0
 

r − r0 = ua + vb
Gleich 1:
A1 x + B1 y + C1t + D1 = 0
Gleich 2:
A2 x + B2 y + C2 t + D2 = 0
2. Gleichungssystem nach x und y auflösen;
x = E + Ft
y = G + Ht
z= t

 

r = r0 + ua + vb
3. Als Parametergleichung




x  E 
 F
y =  G + t  H 

 1
z  0 
57.4 Umwandlung Koordinatengleichung in Parametergleichung
In einer gegebenen Koordinatengleichung
Ax + By + Cz + D = 0
57.2 Koordinatengleichnung der Ebene
werden
Ax + By + Cz + D = 0
x= u
y= v
− d − uA − vB
z=
C
Umwandlung von Parametergleichung in Koordinatengleichung durch schrittweises Eliminieren
von u und v
BSP
x =
3 + 3u -5v
y =
- 6u -4v
z =
6 -10u -2v
y-2z = -12 +14u
2x -5z = -24 +56u
-2x+4y -3z = -24
2x+4y+3z-24 =
0
Autor: M.Drifte
gesetzt
Dabei ergibt sich folgende Parametergleichnung ?




Seite: 46/55
x  0 
 1
 0
y =  0  + u 0 + v  1

 ?
 ?
z  − d
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Formelsammlung Algebra
58. Das Scalare Produkt zweier
Vektoren
58.3 die vektorellen Komponenten
58.1 Allgemein
HP48G: [MTH][VECTOR][DOT]
Das Scalare Produkt ist kein Vektor sondern eine Zahl
Unter der vektorellen Komponenten


von b in Richtung von a versteht man
 
0 B = ba
die Projektion von b auf die Gerade

von a .
ba = cosγ

 
a • b = a1b1 + a 2 b2 + a 3b3
 
ba = ea • b
 
a • b = ab ⋅ cos(γ )
 
a• b
cos(γ ) =
ab
a= a =

a

ea = 
a
  Räumlicher Pythagoras

  
ba = (ea • b )ea
a + a + a a = a• a
2
2
2
1
2
3
Bem:
Das Scalare Produkt zweier zueinander Senkrecht stehenden Vektoren ist 0



Projektion von b auf a in Richtung von a


a  
ba =  a • b
a
58.1 Zwischenwinkel
Als Zwischenwinkel bezeichnet man den Winkel zwischen einem Vektor und
den Koordinatenachsen.
 a1  1
 a 2 •  0
   
 a 3  0 a1
cosα =
=
,
a⋅1
a
Beachte:
(γ >
cos β =
a2
,
a
cosγ =
π
2



) ba zeigt in Richtung von a und nicht − a
a3
a

cos α,cos β und cos γ heissen die Richtungscosinus von a
Kommutativgesetz:
   
a• b = b• a
Distributivgesetz:
  
   
a • (b + c ) = a • b + a • c
 
 
xa • yb = xy (a • b )
Autor: M.Drifte
Seite: 47/55
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Formelsammlung Algebra
59. Zueinander normale Geraden und
Ebenen
Es gilt:
y
 

( x − x0 ) • n = 0
A2 + B2
+
By
C
+
A2 + B 2
A2 + B 2
1
2
A + B


2
A2 + B 2

x
Ax + By + C
2
A + B
2
± d=
Ax + By + Cz + D

x1
A
B
g
x
w1:
HNF1 ( P) = + HNF2 ( P)
w2:
HNF1 ( P) = − HNF2 ( P)
+
A2 + B 2 + C 2
+
C
A2 + B 2 + C 2
D
+
P
 A
 B
A 2 + B 2 + C 2  C



x p ' = x p − 2 HNFε ( P) n
1
Für die Geradengleichung gilt:
D
A2 + B 2 + C 2
Für d gilt:
(d>0) Dann liegt der Ursprung in der
entgegengengesetzten Richtung wie der
Normalvector zeigt.
Autor: M.Drifte
(d>0)
Positive halbebene
P
A2 + B 2
Für die Ebenengleichung gilt:
d=

n
d
1

n
ϕ

x0
g
p
p’
p’
ε
xp ist der Ortsvektor vom Punkt P
Ax+By+Cz+D=0 ist die
Ebenengleichung
Spiegelpunkt an der Normalen auf einer Ebene


  
x2 = x1 − 2n ( n • x1 )
X0
p

n
Ax p + By p + Cz p + D  A


 B
xp ' = xp − 2
 C
A2 + B 2 + C 2
y

d = cos(γ ) x 0
C
d’=-HNF1 (P’)
Berechnung eines Spiegelpunkts an einer
Ebene
Es gilt für den Abstand vom Ursprung:
d=
d’=-HNF2 (P’)
d=HNF1 (P)
= 0
A2 + B 2 + C 2
Der Normalvector der Ebene lautet (länge 1)

n=
g1
d=HNF2 (P)
By
A2 + B 2 + C 2
w2
g2
Für die Ebenengleichung gilt:
Ax
A2 + B 2 + C 2
Der Punkt ist dabei x,y(,z)
Ist (d>0) dann liegt der Punkt in Richtung des Normalenvektors
Winkelhalbierende
P0
Der Normalvector lautet (länge 1)

n=
Ax + By + C
± d=

n
P
= 0
0=
Bestimme Abstand eines Punktes von der Geraden oder Ebene
Für die Geradengleichung von g gilt:
Ax
59.1 Hessische Normalform (HNF)
Hessische Normalform (HNF)

n

n = 1

x2 γ

x1
γ
ε
x
Neigungswinkel zwischen einer Geraden und
einer Ebene bzw. Normalen

n•
cos(γ ) = 
n⋅
Seite: 48/55

a

a

a

n
γ
α
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Formelsammlung Algebra
60. Kreis und Kugel
60.6 Tangente/(Tangentialebene)
Punkt in Form P0(px,py,pz) gegeben.
60.1 Gleichung des Kreises
Kreis in Form
( x − rmx ) 2 + ( y − rmy ) 2 − R 2 = 0
oder
2
2
r
ro
y
gegeben.
allgemein der Form

 
r2 + p• r + q = 0
M

rm
ausgeschrieben
R
x + y + p1 x + p2 y + q = 0
x,y Punkt des Mittelpunkts
p1,2 Punkt P
rm
P0
R
M
rm
x
Es gilt:
P

r
2
und
 
 
( ro − rm ) • ( r − r0 ) = 0
 
 
( r0 − rm ) • ( r − rm ) = R 2
oder
60.2 Gleichung des Kugel
  1   
( r0 • r ) +  p • ( r0 + r )  + q = 0
2

x 2 + y 2 + z 2 + p1 x + p2 y + p3 z + q = 0
Die dazugehörige Tangentengleichung ist:
60.3 Zusammenhänge
Für eine Kugel/Kreis gilt:
p2
− q> 0
4
2
Ax + By + Cz + Dx + Ey + Fz + q = 0

  
r 2 − 2rm • r + rm2 − R 2 = 0
2
Pp


p
rm = −
2
R=
Axp x + Byp y + Czp z +
p2
− q
4
(
)
D
E
F
x + px ) +
y + py + ( z + pz ) + q = 0
(
2
2
2
60.4 Schnittpunkt Kreis - Gerade
Die Geradengleichung nach x (oder y) auflösen und in der Kreisgleichung
einsetzen. Dann quad.gleich. nach y1,2 auflösen und mit diesen Resultaten
x1,x2 berechnen.
Gerade :
x 2 + y 2 + p1 x + p2 y + q = 0
Ax + By + C = 0
mit x:
( − By − C ) 2 + y 2 + p1 (-By-C) + p2 y + q = 0
Kreis:
60.5 Durchstosspunkte der Kugel mit einer Geraden in Parameterform
( (x =
x0 + ta1 ) − rmx
Autor: M.Drifte
) 2 + ( (y =
y0 + ta2 ) − rmy
) + ( (z = z
2
0
+ ta3 ) − rmz
)2 =
R2
Seite: 49/55
19. Nov. 2006
Formelsammlung Algebra
60.7 Polare/(Polarebene)§
60.7.2 Gesucht der Pol
x2 + y2 + z2 + Ux + Vy + Wz + q = 0
Ax + By + Cz + D = 0
Pol P0(px/py/pz)
Gegeben Kreis(Kugel)
Gegeben Gerade(Ebene)
Gesucht
Die Verhältnisgleichungen lauten:
U

 px + 

2
V

 py + 

2
W

 pz +


2
1. Setzt man den Punkt P0 in die Tangentengleichung ein so erhält man die
Polare (Polareben).
2. Setzt man diese wieder um in die Kreisgleichung ein erhält man die Punkte
P1,P2
3. Diese eingesetzt in die Tangentengleichung ergeben Tangente 1 und 2.
60.7.1 Eigenschaften der Polare (Polarebene)
   
( r0 − rm )( r − rm ) − R 2
= 0
 
r0 − rm
− R2
− R2
± d' =   =
d
r0 − rm
d '⋅ d = R 2
:
:
:
V

 py + 

2
W

 pz +


2
 Up x + Vp y + Wp z + 2q 




2
A
: B
=
B
: C
=
C
: D
Diese 3 Gleichungen nach Px,Py und Pz auflösen
60.8 Potenz eines Punktes bezüglich eines Kreises oder einer Kugel
Die Potenzgerade(Potenzebene) erhält
man in dem sich 2 Kreise (Kugeln)
schneiden.
I : x12 + y12 + Cx1 + Dy1 + q 1 = 0
II : x 2 + y 2 + Cx 2 + Dy 2 + q 2 = 0
Die Potengerade(-ebene) erhält man in
dem die I -II rechnet so dass x2 und y2
verschwinden.
2
Autor: M.Drifte
=
Seite: 50/55
2
Potenzgerade
19. Nov. 2006
Formelsammlung Algebra
61. Das Vektorprodukt oder
Kreuzprodukt
HP48 =[MTH][VECT][CROSS]
Siehe Algebra
Flächenprodukt
Das Flächenprodukt ist gleich dem positiven

oder negativem Flächeninhalt des von a

und b aufgespannten Parallelogramms
Zwei Vektoren sind kollinear wenn:
[ a , b] = 0
Die Fläche eines Dreiecks:
F = 21 ab sin( γ )
Das Flächenprodukt ist somit:

[ a , b] = a ⊥ • b
Das Vektor Produkt wird wie Folgt
gerechnet
 a1   b1 
 a  ×  b  Wird geschrieben zu
 2  2
 a 3   b3 
 a1 a 2 a 3 a1 a 2
 b1 b2 b3 b1 b2
 a2 ⋅ b3
= >  a3 ⋅ b1

 a1 ⋅ b2
−
−
−
a 3 ⋅ b2 
a1 ⋅ b3 

a 2 ⋅ b1 
Gesetze:
1. Das kommutativ Gesetz
2. Das assoziative Gesetz
3. Sind x, y reelle Zahlen
Autor: M.Drifte
[ b , a] = − [ a, b ]


[ a, b + c] = [ a, b ] + [ a, c]


[ xa, yb ] = xy[ a, b ]


Seite: 51/55
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Formelsammlung Algebra
62. Das Spatprodukt
Cramersche Regel zur Lösung eines Gleichungssystem mit
3 Gleichungen und 3 Unbekannten
HP48=[MTH][MATR][NORM][DET]
Siehe auch „Berechnung der Determinate“ in Algebra
 
a× b
Definition:
Unter einem Spatprodukt von drei
Vektoren versteht man das positive oder
negative Volumen des von diesen
Vektoren aufgespannten Spats(Je nach
links oder rechtssystem).
  
  
a × b • c = a,b , c
(
[
)
b
(Für Bestimmung Rechts- oder Linkssystem
Schraubenregel verwenden)
Gesetze
1.
2

a


(


)
a1
a2
a3
b1
b2
b3
c1
c2
c3
[ a, b , c] =
4.
[
  
  
xa , yb , zc = xyz a , b , c
5.
[
  
   
  
a + b ,c,d = a,c,d + b ,c,d

]
] [
[
[
[
]
]
c1z =
c2 z =
c3 z =
  
yb + zc = d
  
a,b , d
z=   
a ,b , c
[
[
Eine sog. 3-gliedrige Determinante
so das gilt:

1.Abstand eines Punktes
P1 von einer

 

Ebene r = r0 + ua + vb
   
a , b , r1 − r0
  
d=
P0 P1 = r1 − r0
 
a× b
[
P1
]
2. Abstand eines Punktes von einer
 

Geraden r = r0 + ta im Raum
  
  
a × ( r1 − r0 )
P0 P1 = r1 − r0
d=
a
Berechnung des Fusspunktes F
  
a • ( r1 − r0 ) 
F = P0 +
a
a2
]
] [
]
]
d1
d 2 kann als Vektorgleichung
d3
F

b P
0
  
± V = F ⋅ c cos γ = a × b • c
3.
]
]
+
+
+
Abstandsprobleme
[ a, b , c] = [ b , c, a] = [ c, a, b ] = − [ c, b , a] = − [ b , a, c] = − [ a, c, b ]

b1 y
b2 y
b3 y

xa +
geschrieben werden
  
  
d ,b , c
a,d ,c
x=    , y=    ,
a ,b , c
a,b , c
[
[

γ c 
]
a1 x +
Die Gleichung a2 x +
a3 x +
]

a

a
P0
F
d
P1
3. Abstand zweier windschiefer

 

 
Geraden r = r0 + ta und r = r1 + tb
[ a, b , r − r ]

d=
Autor: M.Drifte
Seite: 52/55
1

a× b
0
19. Nov. 2006
Formelsammlung Algebra
Geometrische Probleme
1. Volumen eines Tetraeaders
  
V = 16 AB, AC , AD
[
]
Problem Flugverkehr auf
der Erde
( Achtung bei Flug von Nordhalbkugel
zur Südhalbkugel )
Mehrfachprodukt
1. Dreifachprodukt
  
     
a× b × c = a• b b − a• b c
(
) (
) (
)
2. Vierfachprodukt
 
 
   
   
a × b • c × d = ( a • c) b • d − a • d b • c
(
(
) (
)(
)
) [
(
] [
) (
)(
]
   
       
a × b c × d = a ,b , d c − a,b , c d
)
Wann wird welcher Satz verwendet
Sinussatz
β
a
SS
α
3. Beweis der Hauptformeln der
sphärischen Trigonometrie
Seiten-Cosinussatz
cos( a ) = cos( b) cos( c) + sin( b) sin( c) cos( α
Drei der roten Stücke müssen gegeben sein,
dann kann man mit dem Sinussatz das vierte
berechnen.
b
)
a,b,c in Bogenmass
Sinussatz
sin( b) sin( α ) = sin( a ) sin( β )
  
sin(α ) sin(b) sin(c) = [ r A , rB , rC ]
Seiten Cosinussatz
SKS
Winkel Cosinussatz
WKS
a
γ
c
b
β
γ
c
α
Rote Stücke gegeben, eines der blauen
gesucht und das andere ebenfalls gegeben,
dann kann das gesuchte Stück mit dem SKS
berechnet werden.
Rote Stücke gegeben, eines der blauen
gesucht und das andere ebenfalls gegeben,
dann kann man das gesuchte Stück mit dem
WKS berechnet werden.
Fläche eines Sphärischen Dreiecks
In einem Sphärischen Dreieck gelten die Ungleichungen:
π < α + β + γ ≤ 3π
+ zyklisches Vertauschen
Winkel-Cosinussatz
cos( α ) = − cos( β ) cos( γ ) + sin( β ) sin( γ ) cos( a )
und " zyklischevertauschung"
a + b + c ≤ 2π (a,b,c in Bogenmass [ a = a ' r ] )
Der Exzess eines Kugeldreieck ist Def.
ε = α + β +γ −π
Daraus ergibt sich die Fläche:
0<
A = ε ⋅ r2
Autor: M.Drifte
Seite: 53/55
19. Nov. 2006
Formelsammlung Algebra
98. Spezielle Gleichungen
98.1 Grundmenge G Lösungsmenge L
Identität,tantalogie oder kantalogie Gleichung
L= G
L= φ
Kontradiktion oder kontradiktorrisch Gleichung
φ ≤ L≤ G
Bedingungsgleichung
98.5 Lösungsmenge mittels des Rang Kriterium
Gleichung der Form
a11 x1 + a12 x 2 + a13 x 3 = b1
a 21 x1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b2
zb.
a 31 x1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = b3
Koeffizienten nxm Matrix
zb von oben.
98.2 Ungleichungen
98.2.1 Einige Regeln
(iii)
(iv)
Falls
c>0:
c<0:
Falls
(v)
Falls
a<b , dann gilt für
ac < bc
ac > bc
a<b und c<d, dann gilt
a+c < b+d
a>0 und b>0
a12
a 22
a 32
a13 
a 23 

a 33 
Erweiterte Koeffizientenmatrix nx(m+1)
 a11 a12 a13 b1 


A' =  a 21 a 22 a 23 b2 
zb. von oben
 a 31 a 32 a 33 b3 
oder
a<0 und b<0, dann folg
1 1
a< b⇒
>
a b
aus
 a11
A =  a 21

 a 31
Die Lösungsmenge ist nach folgender Tabelle definiert
n<m
n=m
Rg(A)<Rg(A’)
98.3 Lösen von Wurzelgleichungen
Rg(A)=Rg(A’)
Wurzelgleichungen werden gelöst in dem man alle ausdrücke mit der Wurzel auf eine Seite
bringt.
Dann wird durch quadrieren die Wurzelausdrücke eliminiert.
Rg(A’)<n
Keine Lös.
Unendl.Lös
.
Rg(A’)=n
Keine Lös.
Unendl.Lös
.
Rg(A’)<n
Keine Lös.
Unendl.Lös
.
Rg(A’)=n
Keine Lös.
Eine Lös.
n>m
Rg(A’)<n
Keine Lös.
Rg(A’)>n
Keine Lös.
Methode der
kleinsen Quadr.
Achtung!
Es können neue Lösungen entstehen. D.h es muss kontrolliert werden ob jede Lösung eine
gültige Lösung ist.
98.4 Lösen von Exponentialgleichungen
Den Ausdruck mit dem x im Exponenten in Faktoren umformen
oder
a x ⋅ c = bz ⋅ d
a x = bz
Dann auf beiden Seiten den Logarithmus ziehen. (Regeln siehe Logarithmen)
x ln(a ) = z ln(b)
x=
z ln(b)
ln(a )
Autor: M.Drifte
Seite: 54/55
19. Nov. 2006
Formelsammlung Algebra
99. Boolesche Algebra
A + (B C) = ( A + B) ⋅ ( A + C)
10.)
Boolesche Verknüpfung
Bezeichung
Negation
Konjuction
Notation
NOT, x
AND, ∧ , ·
Disjunktion
OR,∨, +
Verwendete Symbole
NOT
A
AND
1
A
A
AB
B
OR
&
A
B
≥ 1
A+B
AB = B + A
A + B = B⋅ A
Bemerkung
Auf das · kann verzichtet
werden
A
A
0
1
1
0
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
AB
0
0
0
1
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
A+B
0
1
1
1
Prioritäten
1. NOT
2. AND
3. OR
Rechenregeln
1.)
2.)
3.)
4.)
5.)
6.)
7.)
8.)
9.)
0= 1; 1= 0 ; A= A
A+ 0= A ; A⋅0= 0
A + 1= 1 ; A⋅1= A
A + A = A ; A⋅ A = A
A+ A = 1
A⋅ A = 0
A ⋅ B = B⋅ A
A + B= B+ A
(A + B) + C = (A + B) + A
(A ⋅ B) ⋅ C = (A ⋅ B) ⋅ A
A ⋅ (B + C) = AB + AC
Autor: M.Drifte
Tautologi
Kontra...
Kommotativgesetz
Assoziativgesetz
Distributivgsetz
Seite: 55/55
19. Nov. 2006