Allgemeine Optik I

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Allgemeine Optik I

Allgemeine Optik I
Geometrische Optik - Basisoptik
Studiengang Optometrie 2007-2010
Wintersemester 2007 / 2008
Skriptum für den Unterricht an der FHNW
Fachbereich Optometrie
erstellt von
Dr. R. E. Joos
Skriptum Allgemeine Optik I - Basisoptik
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Allgemeine Optik I – Basisoptik
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1 Grundlagen der geometrischen Optik
In diesem ersten Abschnitt wollen wir die Grundlagen und Grundbegriffe
der allgemeinen Optik zusammenstellen. Diese Zusammenstellung hat provisorischen Charakter; demzufolge wollen wir nicht allzusehr in die Details gehen.
Eine ausführlichere Behandlung wird sich im Rahmen der Physikalischen Optik
ergeben.
Die Begriffe und Gesetze werden hier so genau wie für eine Anwendung
in der geometrischen Optik nötig dargestellt.
1.1 Selbst- und Nichtselbstleuchter
Wir unterscheiden selbstleuchtende und nichtselbstleuchtende Lichtquellen. Als Beispiele für selbstleuchtende Lichtquellen sind zu nennen:
Glühlampe
Leuchtstoffröhre
Dampfdrucklampen
Kerze
Sonne
Fixsterne
Im Gegensatz dazu sind die meisten Gegenstände unserer Umwelt nichtselbstleuchtend. Sie werden nur sichtbar, weil sie das Licht von selbstleuchtenden
Lichtquellen reflektieren. Beispiele:
Wandtafel
Leinwand
Haus
Mond
Planeten
1.2 Temperatur- und Entladungsstrahler
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Berühren wir eine Glühlampe, so stellen wir fest, dass diese unter Umständen sehr heiss sein kann. Im Gegensatz dazu können wir eine Leuchtstoffröhre ("Neonröhre") ohne weiteres anfassen. Diese bleiben normalerweise im
Betrieb kalt (erst wenn eine Leuchtstoffröhre defekt ist wird sie im Betrieb allenfalls warm).
Grundsätzlich unterscheidet man zwei Arten von Lichtquellen:
Temperaturstrahler
Bei diesen Lichtquellen ist die hohe Temperatur des Stoffes die Ursache für die
Lichterzeugung.
Beispiele:
Glühlampe
Halogenlampe
Dampfdrucklampe
Kerzenflamme
Sonne, Sterne
Entladungsstrahler
Entladungsstrahler heissen alle Lichtquellen, deren Ursache für die Lichterzeugung nicht in der hohen Temperatur eines Körpers oder einer Substanz
begründet liegt. I.a. spielen sich elektrische Prozesse in solchen Lichtquellen ab.
Bei Leuchtstoffröhren z.B. bewegen sich Elektronen und Ionen durch eine teilvakuumisierte edelgashaltige Röhre und regen dabei die Atome oder Moleküle
zu einer Lichtausstrahlung an.
1.3 Geradlinige Ausbreitung des Lichtes
Eine wichtige Annahme für die geometrische Optik besteht in der geradlinigen
Ausbreitung des Lichtes. Wir kennen viele Beispiele aus dem Alltag, die den
Schluss nahelegen, das Licht bewege sich geradlinig. Allerdings muss man vorbeugend bemerken, dass es durchaus auch Situationen gibt, in denen sich das
Licht auf gekrümmten Wegen bewegt.
Beispiele für die geradlinige Ausbreitung des Lichtes:
Sonnenstrahlen beim Aufreissen einer Wolkendecke
Strahl einer Taschenlampe
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Geradliniger Schattenwurf von Gegenständen
Laserstrahl
All diese "Belege" haben zu der für die geometrische Optik wichtigsten
Arbeitshypothese geführt:
In homogenen Medien bewegt sich das Licht geradlinig.
Damit ist bereits angedeutet, dass in inhomogenen Medien das Licht keineswegs
eine geradlinige Ausbreitung aufzuweisen braucht. Beispiele für eine nichtgeradlinige Lichtausbreitung:
Licht der Sonne in der Atmosphäre, speziell bei Sonnenaufgang und Sonnenuntergang
Reflexion und Brechung des Lichtes
Beugung des Lichtes an Hindernissen
Fata Morgana etc.
1.4 Lichtstrahlen, - büschel und -bündel
Wir wissen aus der physikalischen Optik, dass Licht in der Elektronenhülle von
Atomen oder Molekülen erzeugt wird. Die kleinste Lichtquelle hat also die
Ausdehnung eines Atomes. Für die geometrische Optik ist es jedoch zweckmässig sich vorzustellen, es gebe unendlich kleine Lichtquellen oder anders ausgedrückt: jeder Punkt (eines Gegenstandes) sende Licht aus. Man spricht deshalb
von sogenannten
Punktlichtquellen
Man stellt sich i.a. vor, dass Punktlichtquellen ihr Licht in alle Raumrichtungen
gleichmässig aussenden. D.h. in alle Richtungen des Raumes werden gleich viele Lichtstrahlen ausgesandt. Lichtstrahlen sind eindimensionale Gebilde. Lichtbüschel enthalten alle von einem Punkt ausgehenden Lichtstrahlen in einer Ebene (innerhalb eines Kegels); es sind also zweidimensionale Gebilde. Lichtbündel enthalten alle von einem Punkt ausgehenden Strahlen innerhalb eines
definierten Kegels. Es handelt sich bei einem Strahlenbündel also um ein dreidimensionales Gebilde. Je nach Verlauf der Strahlen unterscheidet man divergente, parallele und konvergente Strahlenbüschel oder -bündel. Der Winkel, den
die beiden (äussersten) Randstrahlen einschliessen, heisst Öffnungswinkel eines Strahlenbüschels bzw. -bündels.
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1.5 Lichtgeschwindigkeit
Ältere Theorien des Lichts gingen davon aus, dass das Licht eine unendlich grosse Ausbreitungsgeschwindigkeit aufweise. Beobachtungen und Experimente führten jedoch schon recht früh zu einer Korrektur dieser Annahme.
Erkenntnisse aus der Elektrodynamik und der Physik allgemein zeigen, dass in
der Natur keine unendlich grossen Geschwindigkeiten auftreten können; dies
wäre nämlich mit unendlich grossen Energien verbunden; letztere sind aber immer endlich (oder die Menschheit wäre viele ihrer Probleme mit einem Schlag
plötzlich los). Heute ist die Lichtgeschwindigkeit eine der am genauesten bestimmten Naturkonstanten. Ihr Wert beträgt:
c = 2.99792458 ⋅ 108
m
s
Für praktische Berechnungen reicht es aus, einen Wert von
c = 3 ⋅ 108
m
s
anzunehmen.
1.5.1 Messung der Lichtgeschwindigkeit nach Olaf
Römer
Olaf Römer (1644 -1710) beobachtete, dass die Dauer, während der die
Monde des Jupiters im Schatten ihres Planeten verschwanden, scheinbar veränderlich war. Er vermutete, dass diese Beobachtung darauf beruhte, dass das
Licht von diesen Monden unterschiedlich lange brauchten um zur Erde zu gelangen - je nach Stellung der Erde und des Jupiters. In der untenstehenden Skizze sind die beiden Extrempositionen dargestellt. Aus dem Durchmesser der
Erdbahn um die Sonne (300 Mio km) und der beobachteten Verzögerung des
Lichtes von ca.1000s ergibt sich ziemlich genau der Wert von ca. 300'000 km/s
für die Lichtgeschwindigkeit.
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Sonne
Jupiter
Sonne
Jupiter
Erde
Erde
Konjunktion
Opposition
1.5.2 Messung der Lichtgeschwindigkeit nach Fizeau
Fizeau war der erste Physiker, der die Lichtgeschwindigkeit mit einer
speziell hergerichteten physikalischen Anordnung zu messen versuchte. Seine
Idee beruhte darauf, die (sehr kurze) Laufzeit zu messen, die das Licht benötigt,
um eine bestimmte Strecke (einige km) zurückzulegen. Konkret bestand sein
Experiment aus einer Lichtquelle, einem halb durchlässigen Spiegel, einem
rasch rotierenden Zahnrad (daher spricht man vom fizeauschen Zahnradversuch) und einem voll reflektierenden Spiegel. Der Versuchsaufbau ist in der untenstehenden Skizze dargestellt.
StrahlBeobachter teiler
Lichtquelle
Zahnrad
Spiegel
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1.5.3 Lichtgeschwindigkeit in optischen Medien
In optischen Medien bewegt sich das Licht stets langsamer oder bestenfalls gleich schnell wie im Vakuum. Ein Medium, in dem sich das Licht langsam ausbreitet, bezeichnet man als optisch dichtes Medium. Im Gegensatz nennt
man ein Medium, in dem sich das Licht schneller bewegt (als in einem Vergleichsmedium) als optisch dünneres oder weniger dichtes Medium. Für die Berechnung der Lichtgeschwindigkeit in einem Medium kann der Zusammenhang
c Medium =
cVakuum
n Medium
verwendet werden. Mit nMedium bezeichnet man die Brechzahl des Materials.
Letztere ist eindeutig bestimmt für ein Material und Licht einer bestimmten
Wellenlänge (vgl. Ausführungen weiter unten!).
1.6 Die Natur des Lichtes
Dem Licht kommt eine Doppelnatur zu (Dualismus Teilchen Welle). Gewisse Eigenschaften des Lichtes können besser erklärt werden, wenn man annimmt, Licht sei eine Welle. Einige wenige (aber wichtige) Erscheinungen können hingegen nur erklärt werden, wenn man annimmt, Licht bestehe aus einem
Strom kleinster Teilchen, den sogenannten Lichtquanten oder Photonen. In jedem Modell jedoch ist mit Licht der Transport von Energie verbunden.
1.6.1 Wellenmodell des Lichtes Elektromagnetisches Spektrum
Licht kann als Welle aufgefasst werden. Dabei kommen dem Licht Eigenschaften zu, die jeder Welle anhaften. Mit dem Wellenmodell des Lichtes
können Phänomene wie Reflexion und Brechung des Lichtes erklärt werden.
Wichtige Grössen bei einer Welle sind:
Wellenlänge λ
=
Abstand zweier Wellenberge oder
Wellentäler
Frequenz ν
=
Anzahl Schwingungen pro Sekunde, die ein einzelnes Element einer
Welle ausführt.
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Ausbreitungsgeschwindigkeit c =
Geschwindigkeit, mit der sich ein
Wellenberg vorwärts bewegt.
Amplitude A
=
Stärke, Grösse der Schwingung eines einzelnen Elementes
der Welle. Energie der Welle.
Zusammenhang zwischen Ausbreitungsgeschwindigkeit, Frequenz und
Wellenlänge des Lichtes:
c = λ ⋅ν
Gelangt eine Welle vom Vakuum in ein Medium, so ändern sich die Ausbreitungsgeschwindigkeit c und die Wellenlänge in diesem Medium, nicht
aber die Frequenz des Lichtes. Die Brechzahl gibt somit an, in welchem
Verhältnis die Wellenlänge in einem Medium abnimmt. Die Wellenlänge
von kurzwelligem Licht wird i.a. in einem Medium stärker reduziert als
diejenige von langwelligem Licht.
Die Abhängigkeit der Lichtgeschwindigkeit in einem Medium von der
Wellen- länge (im Vakuum) heisst Dispersion.
Licht ist eine sogenannte elektromagnetische Welle. Dies besagt, dass
elektrische und magnetische Felder in rascher Folge auf- und abgebaut
werden, d.h. schwingen.
Im Gegensatz zu Lichtwellen gibt es noch viele mechanische Wellen wie
Schallwellen, Wasserwellen etc. Bei solchen Wellen schwingen kleine
Massestücke um einen definierten Punkt.
Es gibt ein ganzes Spektrum elektromagnetischer Wellen - je nach
Wellenlänge im Vakuum. Als Licht im eigentlichen Sinne bezeichnet man
jedoch nur elektromagnetische Wellen im (Vakuum-) Lichtwellenbereich
von ca. 400nm bis 750 nm.
Wellen, die von einem Punkt ausgehen, bilden konzentrische Kreise. Diese Kreise nennt man Wellenfronten. Die Ausbreitungsrichtung der
Wellen ist i.a. senkrecht zu den Wellenfronten (Ausnahme: Doppelbrechung).
Ein sehr wichtiges Prinzip in der Wellenoptik besagt, dass jeder
Punkt einer Wellenfront wieder Ausgangspunkt einer neuen Welle sein
kann. Eine Welle kann als Überlagerung vieler solcher Sekundärwellen betrachtet werden. Dies nennt man das Prinzip von Huygens.
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1.6.2 Korpuskularmodell des Lichtes
Bereits weiter oben wurde behauptet, Licht stelle in jedem Falle ein Energiestrom dar. Der Zusammenhang zwischen Licht und seiner Eigenschaft als
Energieträger wird durch das Korpuskularmodell des Lichtes erhellt. Das Korpuskularmodell des Lichtes geht davon aus, dass das Licht aus kleinsten Bestandteilen aufgebaut ist, d.h. aus den sogenannten Photonen oder Lichtquanten.
Am besten stellt man sich einen Lichtstrahl als Strom von sehr vielen äusserst
kleinen Bällen (Photonen) vor. Jedes dieser Photonen besitzt - je nach Wellenlänge - einen bestimmten Betrag an Energie. Man kann sich auch gut vorstellen,
dass diese Photonen an Hindernissen abprallen (Reflexion, Reflexionsgesetz,
analog der Reflexion eines Tennisballes oder dergleichen), hingegen hat man
Mühe, mit diesem Modell z.B. das Brechungsgesetz zu erklären. Nach der Korpuskulartheorie des Lichtes besteht ein Zusammenhang zwischen Wellenlänge
und Energie des Lichtes:
E = h ⋅ν =
h⋅c
λ
h ist eine universelle Naturkonstante. Man bezeichnet sie als sogenanntes
Plancksches Wirkungsquantum oder als Plancksche Konstante. Ihr Wert beträgt
h = 6.63 ⋅ 10 −34 Js
1.7 Verhalten eines Körpers beim Bestrahlen
mit Licht
Wir unterscheiden lichtdurchlässige und lichtundurchlässige Körper. Fällt
Licht auf einen undurchsichtigen Körper, so wird ein Teil des Lichtes absorbiert, ein Teil reflektiert. Wird viel Licht absorbiert, so spricht man von einem
dunklen Körper, im Gegenteil von einem hellen Körper. Die Absorption von
Licht ist i.a. mit dem Erzeugen von Wärme (Energieumwandlung) verbunden.
Lichtdurchlässige Körper können klar oder trüb sein. Besipiele: Fensterglas,
Milchglas. Der Unterschied besteht darin, dass das Licht beim Durchgang durch
einen trüben Körper zumindest teilweise seine ursprüngliche Richtung verliert.
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1.7.1 Diffuse und gerichtete Reflexion
Weiter unterscheiden wir diffuse und gerichtete Reflexion. Erstere tritt an
glatten Oberflächen auf: Alles Licht, das aus einer bestimmten Richtung auf die
Oberfläche trifft, verlässt diese (nach dem Reflexionsgesetz) in einer bestimmten Richtung (sofern nicht alles Licht absorbiert wird). Im Gegensatz dazu tritt
diffuse Reflexion an matten, unpolierten und unregelmässigen Oberflächen auf.
Licht, dass aus einer bestimmten Richtung auf die Oberfläche auftrifft, wird
nicht einheitlich in die gleiche Ricchtung reflektiert - je nach Auftreffort auf der
Oberfläche.
1.7.2 Reflexion - Absorption - Transmission
Trifft Licht auf eine (teildurchsichtige) Schicht, so kann ein Teil reflektiert, ein weiterer Teil absorbiert und der Rest transmittiert (=durchgelassen)
werden. Man spricht deshalb von Reflexion, Absorption und Transmission. Die
drei Grössen Reflexionsgrad ρ, Absorptiongrad α und Transmissionsgrad τ geben an, wie gross der Anteil der reflektierten, absorbierten und transmittierten
Lichtes ist. Da bei den Prozessen der Reflexion, Absorption und Transmission
insgesamt keine Energie verloren gehen darf, gilt der Zusammenhang
ρ +α +τ = 1
Dieser Zusammenhang ist in den untenstehenden Karikaturen sinngemäss dargestellt.
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2 Reflexion an ebenen Spiegeln
- Reflexionsgesetz
Trifft ein Lichtstrahl auf eine ebene, glatte Oberfläche, wird ein je nach
Beschaffenheit der Oberfläche mehr oder weniger grosser Teil dieses Lichtes
reflektiert. Die Reflexion des Lichtes gehorcht dem Reflexionsgesetz. Wir erläutern in einem ersten Abschnitt das Reflexionsgesetz, besprechen in diesem
Zusammenhang die Konvention für die Winkelvorzeichen und schliessen dann
eine Herleitung des Reflexionsgesetzes an. Darauf folgen verschiedene Anwendungen des Reflexionsgesetzes wie der Dreh- und Winkelspiegel.
2.1 Reflexionsgesetz
In der Optik werden zum Teil verschiedene Vorzeichenregeln verwendet. Strittig ist sicher die Frage, ob es sich überhaupt lohnt, optische Grössen wie Strecken, Abstände und Winkel mit Vorzeichen zu versehen. Im allgemeinen kann
man behaupten, dass Vorzeichen Rechnungen erleichtern, dafür die praktische
Anwendung von Formeln etc. erschweren. Wir werden hier vorerst einmal alle
Grössen mit Vorzeichen versehen; gerade bei Winkeln empfiehlt es sich jedoch,
mit Plausibilitätbetrachtungen die Resultate zu überprüfen - gelegentlich sogar
auf die Vorzeichen zu verzichten.
Winkel sind positiv wenn sie im mathematisch positiven Sinne, d.h. im
Gegenuhrzeigersinn verlaufen. In den untenstehenden Skizzen ist je ein Beispiel
für mathematisch positive und mathematisch negative Winkel angeführt.
α
positiver Winkel
α
negativer Winkel
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Wie ist nun die Orientierung der Winkel in der Optik zu wählen? Wenn irgend
zwei Strahlen gegeben sind, kann man willkürlich festlegen, von welchem
Strahl aus der Winkel zu zeichnen ist. In zwei sehr häufigen Fällen jedoch hat
man festgelegt, von welcher Grösse aus Winkel zu messen sind:
Der Winkel zwischen einem Strahl und einem Lot wird immer vom Lot aus
gemessen.
Der Winkel zwischen einem Strahl und der optischen Achse wird immer vom
Strahl aus gemessen.
Die oben erwähnte Art, Winkel zu definieren, entspricht der sogenannten
Abbeschen Zählweise. Sie wurde während Jahrzehnten in der deutschen und
auch in der angelsächsischen Optik-Literatur verwendet. Sie entspricht auch den
DIN-Normen. Leider kann man aber heute in der englischsprachigen OptikLiteratur einen Wechsel in der Handhabung der Vorzeichen der Winkel zwischen Strahl und optischer Achse feststellen. Bevor also aus irgendeinem Fachbuch über Optik eine Formel oder ein Resultat übernommen wird, muss also
festgestellt werden, wie die Vorzeichen bei Winkeln definiert sind.
Für die weiter oben erwähnten beiden Fälle fügen wir untenstehend einige Beispiele an:
ε
ε '
ε
Um das Reflexionsgesetz formulieren zu können, definieren wir vorerst
den Einfalls- und den Ausfallwinkel:
Einfallswinkel = Winkel zwischen Lot und Einfallsstrahl.
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Ausfallwinkel = Winkel zwischen Lot und Ausfallstrahl.
Mit diesen Definitionen lautet das Reflexionsgesetz:
Der Ausfallwinkel ist gleich dem negativen Einfallswinkel.
Oder:
Einfalls- und Ausfallwinkel sind betragsmässig gleich gross, weisen
jedoch unterschiedliche Vorzeichen auf.
Wenn wir die Bezeichnungen für den Einfalls- und für den Ausfallwinkel verwenden, so lautet das Reflexionsgesetz als formelmässige Beziehung:
ε' = ε
Die Situation ist in der untenstehenden Skizze dargestellt.
ε '
ε
2.2 Herleitung des Reflexionsgesetzes
Das Reflexionsgesetz kann mit Hilfe der Welleneigenschaften als auch
mit dem Korpuskularmodell des Lichtes hergeleitet werden. Wir zeigen vorerst,
wie man das Reflexionsgesetz mit Hilfe der Wellennatur des Lichtes begründen
kann. Dazu betrachten wir die untenstehende Skizze. Eine ebene Wellenfront
trifft zuerst auf den Punkt A. Erst einige Wellenlängen später erreicht die gleiche Wellenfront den Punkt B. Die von A ausgehende Elementarwelle hat zu
diesem Zeitpunkt die gleiche Anzahl Wellenlängen zurückgelegt. Ähnliche Überlegungen kann man für die zwischen A und B liegenden Punkte anstellen.
Die von all diesen Punkten ausgehenden Wellenfronten ergeben (durch Überlagerung) die resultierende Wellenfront. Da die Strecken CB und AD gleich gross
sind und die Ausbreitungsrichtung der Welle senkrecht zu den Wellenfronten
steht, folgt daraus unmittelbar das Reflexionsgesetz.
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Auch mit dem Korpuskularmodell des Lichtes kann man das Reflexionsgesetz herleiten. In der Mechanik kann man zeigen, dass ein Ball, der an einer
Wand reflektiert wird, dem Reflexionsgesetz gehorcht. Stellt man sich das Licht
als Photonenstrom (Teilchenstrom) vor, so ist klar, dass es ebenfalls das Reflexionsgesetz erfüllen muss.
2.3 Bilderzeugung mit Hilfe optischer Spiegel
Wir stellen uns einen Punkt P und einen Spiegel S vor. Vom Punkt P gehen Lichtstrahlen aus - diese werden unter Einhaltung des Reflexionsgesetzes
am Spiegel reflektiert. Verlängert man diese reflektierten Strahlen rückwärts
(virtuell), so schneiden sie sich alle in einem Punkt P'. Die reflektierten Strahlen
scheinen von diesem (virtuellen) Punkt auszugehen. Da wir es mit divergierenden Strahlen zu tun haben, ist dieser Bildpunkt virtuell. Ein planer Spiegel erzeugt ein aberrationsfreises virtuelles Bild. Dieser Bildpunkt kann auch mit einer verkürzten Konstruktion gefunden werden (vgl. Ähnlichkeit der Dreiecke
etc.).
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2.4 Bildkonstruktion beim Planspiegel
Die virtuellen Bilder, die ein Spiegel von Gegenständen bildet, können
verkürzt konstruiert werden; dazu bildet man ein Lot von dem zu spiegelnden
Punkt auf den Spiegel. Das Spiegelbild ist gleich weit vom Spiegel entfernt wie
der Ausgangspunkt. Es ist zu bemerken, dass diese Konstruktion auch dann
funktioniert und sinnvolle Resultate liefert, wenn der in Wirklichkeit gegebene
Spiegel am Fusspunkt des Lotes gar nicht vorhanden ist. Zur Veranschaulichung der verkürzten Konstruktion dient die nachfolgende Skizze.
P
Spiegel
P'
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2.5 Der Winkelspiegel
Ein Winkelspiegel ist ein Gebilde, das aus zwei Spiegeln mit einer gemeinsamen Kante besteht. Beim Winkelspiegel interessieren vor allem zwei
Fragen:
1. Wieviele Spiegelbilder sind sichtbar?
2.
Welche Strahlablenkung erfährt ein Strahl, der an beiden Spiegeln
genau einmal reflektiert wird?
Diese beiden Fragen beantworten wir nun in derselben Reihenfolge:
2.5.1 Anzahl der Spiegelbilder
Es kann keine einfache allgemeingültige Regel für die Berechnung der Anzahl
der Spiegelbilder bei einem Winkelspiegel angegeben werden. Im konkreten
Fall bestimmt man die Anzahl der möglichen Spiegelbilder durch Konstruktion.
Dazu geht man wie folgt vor:
1.
2.
3.
4.
5.
Man zeichne die beiden Spiegel und deren Verlängerung.
Punkt, dessen Spiegelbilder bestimmt werden sollen, einzeichnen.
Punkt abwechslungsweise an beiden Spiegeln spiegeln.
Ein Spiegelbild besitzt keine weiteren Spiegelbilder, wenn es zwischen die beiden Verlängerungen der Spiegel zu liegen kommt.
Anzahl der so konstruierten Spiegelbilder feststellen.
Für den Fall, dass der Objektpunkt auf der Winkelhalbierenden des Winkelspiegels liegt, kann die Anzahl der Spiegelbilder berechnet werden. Man hat
zu unterscheiden, ob der volle Winkel (360°) durch den Winkel ϕ des Winkelspiegels ohne Rest dividiert werden kann, oder nicht. Falls der volle Winkel
(360°) durch den Winkel des Winkelspiegels ohne Rest dividiert werden kann,
gilt für die Anzahl n der Spiegelbilder:
n =
360°
ϕ
−1
Für den anderen Fall, d.h. 360° können nicht mit Rest Null durch den
Winkel ϕ geteilt werden, gilt für die Anzahl n der Spiegelbilder:
n ist die nächst höhere ganze und gerade Zahl zu der gebrochenen Zahl z,
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z=
360°
ϕ
−1
Beispiel: ϕ = 35.5°, z = 9.14, n = 10
2.5.2 Strahlablenkung bei zweimaliger Reflexion am
Winkelspiegel
Wir betrachten als Vorstudie den Drehspiegel. Darunter ist folgendes zu
verstehen:
Ein Lichtstrahl trifft auf einen Spiegel und wird von diesem in eine bestimmte Richtung reflektiert. Nun wird der Spiegel um einen Winkel ϕ gedreht;
damit erhält auch der reflektierte Strahl eine neue Richtung.
Wir wollen feststellen, wie gross der zwischen den beiden reflektierten
Strahlen eingeschlossene Winkel ist. Dazu betrachten wir die untenstehende
Skizze und folgern:
δ = 2 ⋅ϕ
Diese Einsicht können wir nun auf die zweimalige Reflexion am Winkelspiegel übertragen. Es bedarf dazu eines einfachen gedanklichen Trickes. Der
Lichtstrahl wird am ersten Spiegel reflektiert und trifft dann im Punkt X auf den
zweiten Spiegel. Wir denken uns nun vorerst diesen zweiten Spiegel parallel
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zum ersten Spiegel. Wäre dies der Fall, so würde der Strahl nach der zweiten
Reflexion parallel zum in den Winkelspiegel einfallenden Strahl verlaufen, wäre
also gar nicht abgelenkt. Nun drehen wir den zweiten Spiegel um den Winkel ϕ.
Damit dreht sich der reflektierte Strahl um .
Die Ablenkung beim Winkelspiegel (bei zweimaliger Reflexion) ist also
gleich dem doppelten Betrag des von den beiden Spiegeln eingeschlossenen
Winkels.
2.6 Tripelspiegel - Reflektor
Die wohl häufigste Anwendung dieser Gesetzmässigkeit besteht im 90°Winkelspiegel. Der in diesen Doppelspiegel einfallende Lichtstrahl wird immer
zurückgeworfen. Damit dies auch im dreidimensionalen Raum funktioniert,
werden drei Spiegel wie die Flächen eines Würfels (um eine Ecke) angeordnet.
Jeder Spiegel weist zu beiden anderen Spiegeln einen Winkel von 90° auf. Eine
solche Anordnung ist ein perfekter Reflektor. Gelegentlich nennt man ihn auch
Tripelspiegel. Er wird z.B. für LASER-Distanzmessungen verwendet. Die untenstehende Figur verdeutlicht diesen Zusammenhang.
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3 Brechung an planen Flächen Brechungsgesetz
In diesem Kapitel behandeln wir das Brechungsgesetz und dessen Anwendungen.
3.1 Brechungsgesetz
3.1.1 Formulierung des Brechungsgesetzes
Mit den im vorhergehenden Kapitel besprochenen Konventionen für die
Vorzeichen der Winkel in der Optik können wir das Brechungsgesetz wie folgt
formulieren:
Bei einer Grenzfläche ist das Produkt von Brechzahl und Sinus des Winkels
zur Flächennormalen konstant.
Für eine formelmässige Darstellung des Brechungsgesetzes nehmen wir
Bezug auf die untenstehende Skizze. Mit den in dieser Skizze verwendeten Bezeichnungen lautet das Brechungsgesetz:
n ⋅ sin ε = n'⋅ sin ε'
3.1.2 Herleitung des Brechungsgesetzes
Zur Herleitung des Brechungsgesetzes müssen wir die Welleneigenschaft
des Lichtes verwenden. Wie schon bei der Herleitung des Reflexionsgesetzes
nehmen wir an, eine ebene Welle (ebene Wellenfronten) treffe unter einem
Winkel ε (Einfallswinkel) auf eine plane Grenzfläche, welche die Medien mit
Brechungsindizes n und n' trennt. Die Wellenfront treffe zuerst bei A ein und
muss noch x Wellenlängen zurücklegen, um zum Punkt B zu gelangen. Die
Welle, die nach dem Prinzip von Huygens im Medium mit Brechzahl n' ausgeht,
wird in diesem Medium ebenfalls x Wellenlängen zurücklegen, bis die einfallende Welle den Punkt B erreicht hat; der Unterschied besteht einzig und allein
darin, dass die Wellenlängen in den beiden Medien unterschiedlich sind. Entsprechendes gilt für die zwischen A und B liegenden Punkte, die natürlich ebenfalls Ausgangspunkte von Sekundärwellen sind.
Zur formelmässigen Herleitung des Brechungsgesetzes beziehen wir uns
auf die in der Skizze dargestellten rechtwinkligen Dreiecke ABC und ABD.
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N
Nach dem eben Geschilderten haben diese beiden Dreiecke eine gemeinsame
Hypothenuse AB. Bei der Ecke A des Dreieckes ABC erkennen wir den Winkel
, bei der Ecke B des Dreieckes ABD liegt der Winkel ε’. Die Gegenkatheten BC
= a bzw. AD = b haben die Längen
a = x⋅λ
Für die Sinus des Winkels ε gilt demnach:
b = x ⋅ λ'
sin ε =
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x ⋅ λ Vakuum
a
x⋅λ
=
=
AB
AB
AB ⋅ n
d.h.
n ⋅ sin ε =
x ⋅ λ Vakuum
AB
.
(1)
In gleicher Weise erhalten wir für den Sinus des Winkels ε’:
n'⋅ sin ε' = n'⋅
x ⋅ λ Vakuum
x ⋅ λ Vakuum
b
x ⋅ λ'
=
= n'⋅
= n'⋅
AB
AB
AB ⋅ n'
AB
.
(2)
Die beiden rechten Seiten der Gleichungen (1) und (2) sind identisch - mithin
auch die beiden linken Seiten. Dies ist nichts anderes als das oben formulierte
Brechungsgesetz. Q.e.d.
3.1.3 Das Zweikreisverfahren
Zur Konstruktion der Brechung an einer ebenen Grenzfläche wendet man
das sogenannte „Zweikreisverfahren“ an. Das Zweikreisverfahren ist anhand
der untenstehenden Konstruktion dargestellt. Wir fassen das Zweikreisverfahren
rezeptartig zusammen:
1.
Beim Auftreffpunkt A des Lichtstrahles auf die Grenzfläche ein
Lot zeichnen.
2.
Zwei Kreise mit Mittelpunkt A zeichnen. Die Radien dieser Kreise
müssen das gleiche Vielfache der beiden Brechzahlen sein
( x ⋅ n bzw. x ⋅ n' ).
3.
Die Verlängerung des einfallenden Strahles ist mit dem ersten der
beiden Kreise zu schneiden. Es resultiert der Schnittpunkt S.
4.
Parallel zum Lot ist durch S eine Gerade zu zeichnen. Der Schnittpunkt dieser Geraden mit dem zweiten Hilfskreis heisst S'.
5.
Der gebrochene Strahl ergibt sich als Verbindungsgerade AS'.
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3.1.3.1 Begründung des Zweikreisverfahrens
Zur Begründung des Zweikreisverfahrens betrachten wir die untenstehende Zeichnung.
Darin erkennt man zwei rechtwinklige Dreiecke mit den Winkeln ε und ε’ und
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gleich grossen Gegenkatheten zu diesen Winkeln. Die Hypothenusen dieser
Dreiecke haben die Längen r = x ⋅ n und r' = x ⋅ n' . Aus der Definition für die
Winkelfunktion folgen
sin ε =
h
h
=
r
x⋅n
sin ε' =
h
h
=
r'
x ⋅ n' .
Multiplizieren wir diese Gleichungen mit n bzw. n', so erhalten wir
n ⋅ sin ε =
h
n⋅h
=
x⋅n
x
n'⋅ sin ε' =
h
n'⋅h
=
x ⋅ n'
x.
Die beiden rechten Seiten dieser Gleichungen sind identisch, also auch die beiden linken Seiten, d.h. die Konstruktion erfüllt das Brechungsgesetz. Q.e.d.
3.2 Abbildende Eigenschaften der planen
Grenzfläche
Eine plane Grenzfläche besitzt abbildenden Charakter - eine Tatsache, die
man oft vergisst. Erstaunlicherweise tritt bei einer planen Fläche sogar sphärische Aberration auf - obwohl keinerlei sphärische Formen oder Oberflächen
vorhanden sind.
Um die abbildenden Eigenschaften einer ebenen Fläche verstehen zu
können, stellen wir uns vorerst einen Punkt vor, der in einem Medium mit
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Brechzahl n liegt, z.B. in Wasser. Von diesem Punkt gehen Lichtstrahlen in alle
Richtungen weg. Einige davon treffen auf die ebene Grenzfläche und werden
nach der Brechung an dieser Fläche von einem Beobachter wahrgenommen. Für
diesen Beobachter scheinen die Strahlen nicht aus dem Punkt P zu kommen,
sondern aus dem Punkt P' - wie unten dargestellt. Dies bedeutet, dass eine ebene
Grenzfläche zwischen zwei unterschiedlichen Medien ein virtuelles Bild eines
Objektpunktes erzeugt (da die Strahlen nach wie vor divergieren ist der Bildpunkt virtuell). Diese Tatsache ist in der obenstehenden Figur dargestellt.
Die eben beschriebene Abbildungseigenschaft ebener Grenzflächen ist
nicht frei von Abbildungsfehlern:
Gemäss Figur gehen vom Punkt P Strahlen mit unterschiedlichen Winkeln zur
optischen Achse aus. Diese Strahlen werden je nach Neigung zur optischen
Achse mehr oder weniger stark gebrochen; solche mit grossem Neigungswinkel
zur optischen Achse werden stärker gebrochen als solche mit geringem Neigungswinkel. Dies führt dazu, dass genau genommen für jeden Strahl ein Bildpunkt entsteht. Diese Art von Abbildungsfehler bei optischen Elementen nennt
man sphärische Aberration.
Bei Mikroskopobjekten, die sich unter einem Deckglas befinden, spielt
diese Art von Abbildungsfehler eine wichtige Rolle. Da der Betrag der sphäri-
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schen Aberration erheblich ist, muss letztere in der Mikroskopoptik korrigiert
werden. Leider kommt noch hinzu, dass die sphärische Aberration i.a. von der
Dicke des Deckglases abhängig ist. Somit muss die korrigierende Mikroskopoptik auf die Dicke des Deckglases abgestimmt werden. Dies hat dazu geführt,
dass die Dicken der Deckgläser vereinheitlicht wurden.
Berechnung des Längsversatzes
Für Strahlen mit geringen Neigungen zur optischen Achse kann die Lage
des Bildpunktes und damit der Längsversatz berechnet werden. Dazu nehmen
wir an, dass nur kleine Winkel auftreten, so dass die Näherungen
sin ε ≈ tan ε ≈ ε
(ε im „Bogenmass“) verwendet werden können. Die Entfernung des Objektpunktes P von der Grenzfläche bezeichnen wir mit a, diejenige des Bildpunktes
mit a' (a und a' sind beide negativ, Abbesche Zählweise vorweggenommen). Für
die Höhe h des Auftreffpunktes auf der Grenzfläche gilt
h = a ⋅ tan ε ≈ a ⋅ sin ε .
Für die Bildweite a' und den Winkel gilt gleichermassen der Zusammenhang
h = a'⋅ tan ε' ≈ a'⋅ sin ε' .
Aus diesen beiden Gleichungen folgt
a'⋅ sin ε' = a ⋅ sin ε .
Nun setzen wir das nach sinε’ aufgelöste Brechungsgesetz
sin ε' =
n
⋅ sin ε
n'
,
ein und erhalten
a'⋅
n
sin ε = a ⋅ sin ε
n'
oder nach Herauskürzen des gemeinsamen Faktors sinε :
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a'⋅
n
= a
n'
.
Aufgelöst nach a' lautet dies:
a' =
n'
a
n .
In den folgenden Kapiteln über die brechende Kugelfläche, Linsen etc.
werden wir die Gauss- oder BAD-Formel benützen. Wir zeigen, dass die oben
hergeleitete Gleichung ein Spezialfall dieser Gauss-Formel ist. Dazu definieren
wir die Vergenzen A und A' der Gegenstands- und Bildweiten wie folgt:
A =
n
a
A' =
n'
a'
Formen wir die obenstehende Abbildungsgleichung (für die ebene Grenzfläche)
um, so erhalten wir
d.h.
A' = A.
Nehmen wir für D Null an, so könnte man schreiben:
A' = A+D.
Dies ist nichts anderes als die altbekannte Gauss- oder BAD-Formel.
Neben dem Längsversatz haben ebene Grenzflächen noch weitere
abbildende Eigenschaften; so kommt ihnen i.a. auch noch die Eigenschaft des
Drehens des Beobachtungswinkels zu. Dazu kann man jedoch keine einfache
Formel zur Berechnung angeben. Man muss sich von Fall zu Fall mit der Anwendung des Brechungsgesetzes durchschlagen. Die Situation ist in der untenstehenden Figur dargestellt.
Seite 28
3.3 Das Prinzip von Fermat
Die Grundgesetze der Optik könnten grundsätzlich auch aus dem Prinzip von
Fermat hergeleitet werden. Dazu müssten aber Methoden der höheren Mathematik vorausgesetzt werden können. Deshalb müssen wir an dieser Stelle auf eine
ausführliche Diskussion dieses Prinzips verzichten. Anstelle dessen beschreiben
wir kurz, welches die wesentlichen Züge des Prinzips von Fermat sind. Dies
besonders deshalb, weil an höheren Fachprüfungen immer wieder vereinzelte
Fragen zu diesem Thema auftauchen.
Grundsätzliche Betrachtungsweise
Nehmen wir an, wir haben zwei Punkte A und B im Raum. Ein Lichtstrahl gehe von A aus und komme auf irgendeinem Weg zu B. Man stellt sich
nun die Frage, ob jeder Weg möglich wäre oder ob nur ganz bestimmte Wege
für das Licht möglich sind. Um dies plausibel zu machen, betrachten wir den
einfachsten Fall, der überhaupt möglich ist: Die zwei Punkte befinden sich innerhalb eines homogenen Mediums (beide im gleichen Medium). Es ist klar,
dass das Licht den Weg auf der Verbindungsstrecke der beiden Punkte wählen
muss - jeder andere Weg wäre länger. Man sagt, das Licht wähle den kürzesten
Lichtweg. Unter Lichtweg versteht man das Produkt von Brechzahl eines Mediums und der vom Licht in diesem Medium zurückgelegten geometrischen Strecke:
l = n•s
Der Vollständigkeit halber ist diese eben geschilderte einfachste Situation
in der untenstehenden Figur dargestellt.
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Etwas interessanter wird das Prinzip von Fermat bei der Brechung an einer ebenen Grenzfläche, d.h. im Zusammenhang mit dem Brechungsgesetz. Gegeben
seien nun wiederum zwei Punkte A und B, die nun aber nicht mehr im gleichen
Medium liegen. Die beiden Medien werden durch eine plane Grenzfläche separiert. Die Situation ist untenstehend skizziert. Welchen Weg muss das Licht,
von A ausgehend, einschlagen, damit es zum Punkt B gelangt ? Das Prinzip von
Fermat besagt nun, dass das Licht genau jenen Weg wählt, auf dem der Lichtweg
l = n1 s1 + n2 s2
minimal ist. Man kann nun zeigen, dass dies genau dann der Fall ist, wenn der
von A ausgehende Strahl und der bei B ankommende Strahl das Brechungsgesetz erfüllen. Wir beschreiten hier den umgekehrten Weg und nehmen an, dass
zwei Punkte A und B auf Strahlen liegen, die das Brechungsgesetz erfüllen. Wir
zeigen dann für einige ausgewählte Paare von Strahlen, dass für diese der
Lichtweg grösser ist.
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Seite 31
3.4 Planparallele Platte
Als nächstes untersuchen wir die Verhältnisse bei einer planparallelen
Platte. Wir diskutieren als erstes den Strahlendurchgang durch eine solche Platte, wobei wir zwei Fälle zu unterscheiden haben:
Fall A
Medien auf beiden Seiten der planparallelen Platte gleich
Dieser Fall wird als Spezialfall von Fall B diskutiert.
Fall B
Medien auf beiden Seiten der planparallelen Platte unterschiedlich
Die entsprechende Situation ist mit den Bezeichnungen in der untenstehenden
Figur skizziert. Der Lichtstrahl gelangt durch das Medium mit Brechzahl n1 auf
die erste Fläche der PPP (= Abkürzung für planparallele Platte). Das Medium
der PPP selber hat die Brechzahl n2 . Das Medium hinter der Platte schliesslich
hat die Brechzahl n3. Die Situation, dass die beiden an die PPP angrenzenden
Medien unterschiedlich sind, liegt z.B. bei einer Glaswanne vor (Wasser - Glas Luft). Den Einfallswinkel auf die erste Fläche der PPP bezeichnen wir mit ε1 ,
denjenigen, mit dem der Strahl die erste Fläche verlässt, mit ε '1 , den Einfallswinkel auf die zweite Fläche mit ε2 und den Ausfallwinkel bei der zweiten Fläche der PPP mit ε ' 2 .
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Für die Berechnung des Winkels verwenden wir das Brechungsgesetz:
n1 ⋅ sin ε1 = n2 ⋅ sin ε'1
(1)
Gleichermassen besteht zwischen und der Zusammenhang:
n2 ⋅ sin ε 2 = n3 ⋅ sin ε' 2
(2)
Nun erkennen wir anhand der Skizze, dass ε '1 und ε2 identisch sind. Für
ε2 in Gleichung (2) können wir deshalb ε '1 schreiben. Damit erhalten wir für
Gleichung (2):
n2 ⋅ sin ε'1 = n3 ⋅ sin ε' 2
(2a)
In der linken Seite der Gleichung (2a) erkennen wir die rechte Seite der Gleichung (1), wir können also zusammenfassen (linke Seite von Gleichung (1) einsetzen):
n1 ⋅ sin ε 1 = n3 ⋅ sin ε' 2 .
Daraus folgern wir, dass das Licht an einer PPP so gebrochen wird, als
wenn es auf eine plane Grenzfläche träfe, die Gebiete mit Brechungsindizes n1
und n3 trennt. Dies stimmt allerdings nur dann, wenn an keiner der Übergänge
Totalreflexion auftritt (vgl. weiter unten !).
Der Fall A ist nun rasch besprochen. Wir verwenden einfach, dass n1 = n3
ist. Somit folgt:
ε' 2 = ε 1 .
Dies bedeutet, dass ein Lichtstrahl ohne Richtungsänderung durch eine
planparallele Platte geht, die beidseitig von gleichem Material umgeben ist.
3.4.1 Abbildende Eigenschaften der planparallelen
Platte
Eine planparallele Platte führt i.a. zu einem virtuellen Bild eines gegebenen Gegenstandspunktes. Wir unterscheiden zwischen Längs- und Querversatz.
Längsversatz
In den untenstehenden Figuren (folgende Seite) ist skizziert, wie ein Längsversatz bei einer PPP zustande kommen kann - und zwar sowohl wenn beidseitig
der PPP gleiche Medien als auch wenn beidseitig der PPP unterschiedliche Medien vorhanden sind.
Berechnung des Längsversatzes für kleine Öffnungswinkel
Wir berechnen den Längsversatz für den Spezialfall, dass ein Gegenstand
vor einer PPP liegt (Gegenstandsweite a1), die beidseitig von gleichen Medien
umgeben ist oder auch von verschiedenen Medien.
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Wir berechnen die auf die zweite Fläche der PPP bezogene Bildweite a'2 sowie
den Längsversatz Δa. Die Dicke der PPP sei mit d bezeichnet. Mit der GaussFormel-Methode lautet die Abbildung an der ersten Fläche der PPP
A’1 = A1 ,
d.h.
a'1 =
n2
a.
n1 1
Nun bestimmen wir mit a’1 und der Dicke d der PPP die Gegenstandsweite des
Zwischenbildes bezogen auf die zweite Fläche. Für diese gilt:
a 2 = a'1 −d .
Durch Einsetzen der Gleichung für a’1 wird daraus:
a2 =
n2
a −d
n1 1
Für die Abbildung an der zweiten Fläche gilt wiederum der Zusammenhang:
a' 2 =
n3
a .
n2 2
In diese Gleichung setzen wir den oben hergeleiteten Ausdruck für a2 ein:
a' 2 =
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⎞
n ⎛n
n3
a 2 = 3 ⎜ 2 a1 − d⎟ .
n2 ⎝ n1
n2
⎠
In dieser Gleichung multiplizieren wir den Faktor vor der Klammer aus und erhalten dann:
a' 2 =
n3
n n
n
n
n
a 2 = 3 2 a1 − 3 d = 3 a1 − 3 d .
n2
n2 n1
n2
n1
n2
Nun berechnen wir den Längsversatz Δa. Der Skizze entnehmen wir:
⎛n
⎞
⎛ n ⎞
Δa = a' 2 +d − a1 = ⎜ 3 − 1⎟ ⋅ a1 + ⎜ 1− 3 ⎟ ⋅ d
⎝ n1 ⎠
⎝ n2 ⎠
Den ersten Term in der rechten Seite der obenstehenden Gleichung muss
man wie folgt interpretieren:
Die planparallele Platte wirkt ähnlich wie eine ebene Grenzfläche.
Der zweite Term entspricht der Dicke der planparallelen Platte. Wenn wir
den Gegenstand ganz nahe an die PPP heranführen (a1=0), haben wir wiederum
den Längsversatz, diesmal allerdings für die ebene Grenzfläche zwischen den
Medien mit Brechzahlen n2 und n3.
Besonderes Interesse verdient der Spezialfall n1 = n3, d.h. der Fall, dass
die PPP beidseitig von gleichen Medien umgeben ist. Aus der oben stehenden
Gleichung erhalten wir dann:
⎛ n ⎞
Δa = ⎜1 − 3 ⎟ ⋅ d
⎝ n2 ⎠
Dies bedeutet, dass der PPP eine um so grössere optische Wirkung zukommt je grösser deren Dicke ist. Im Spezialfall einer sehr dünnen PPP ist ,
d.h. die PPP hat keine optische Wirkung.
Querversatz
Die Verhältnisse und Bezeichnungen beim Querversatz sind in der untenstehenden Figur dargestellt. Die PPP entwirft ein virtuelles Bild von Gegenständen. Die Distanz zwischen Dingpunkt und Bildpunkt senkrecht zur Strahlausbreitung gemessen heisst Querversatz. Wir wollen sie mit Hilfe der Dicke d
der PPP und der Brechzahl berechnen. Als gegeben betrachten wir weiter den
Einfallswinkel ε zwischen der optischen Achse (Strahlausbreitung) und den
brechenden Flächen.
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Vorerst einmal entnehmen wir der Zeichnung, dass die Strecke z, die der
Lichtstrahl innerhalb der PPP zurücklegt durch
z =
d
cos ε'
gegeben ist. Diese Strecke z ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreieckes,
von dem die Gegenkathete q gesucht ist und dessen Winkel (ε-ε’) ist. Somit
bestimmen wir den Querversatz mit dem Sinus des Winkels (ε-ε’):
q = − z ⋅ sin( ε − ε') = z ⋅ sin( ε'− ε ) = d ⋅
sin(ε'− ε )
.
cos ε'
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3.5 Kontinuierliche Brechung
In einigen Situationen hat man Medien, bei denen die Brechzahl stetig zu
oder abnimmt. Beispiele dafür sind z.B. das Meerwasser in der Nähe der Oberfläche (Salzkonzentration nimmt nach unten zu), wo die Brechzahl nach unten
zunimmt oder auch die Erdatmosphäre, in der die Dichte und damit die Brechzahl nach oben abnimmt. Man kann sich mit dieser Situation zurechtfinden, indem man annimmt, es seien eine Vielzahl von planparallelen Platten aneinandergereiht. Wie wir wissen, ist für die Berechnung des Ausfallwinkels bei einer
PPP nur das erste und letzte Medium entscheidend sind. Eine Skizze (allerdings
stark übertrieben) für die Strahlablenkung in der Erdatmosphäre findet sich
nachfolgend.
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3.6 Totalreflexion
Trifft ein Lichtstrahl auf eine Grenzfläche zweier Medien, so gelangt ein
Teil des Lichtes vom einen Medium in das andere, wird also transmittiert, der
Rest des Lichtes wird in das erste Medium zurück reflektiert. Der Reflexionskoeffizient - wie bereits erwähnt - gibt an, wie gross der Bruchteil des reflektierten
Lichtes ist. Trifft Licht senkrecht auf die Grenzfläche, so lässt sich der Reflexionskoeffizient mit einer Formel einfach berechnen:
⎛ n'−n⎞
ρ = ⎜
⎟
⎝ n'+n⎠
2
Bei einer Grenzfläche zwischen Luft und Glas (n≈1.5) z.B. ergibt
sich nach dieser Formel ein Reflexionskoeffizient von 4%.
Wie gross ist der Anteil des reflektierten Lichtes, wenn der Lichteinfall
nicht senkrecht erfolgt ? I.a. kann man sagen, dass der Reflexionskoeffizient um
so grösser ist, desto grösser der Einfallswinkel ist. Hingegen kann man ohne
Kenntnis des Polarisationsgrades des einfallenden Lichtes diese Frage nicht allgemein mit einer Formel erfassen und beantworten. Wir nehmen in der Folge
an, das Licht sei vollständig unpolarisiert, d.h. alle Polarisationsrichtungen seien
gleich häufig vertreten. Unter diesen Bedingungen kann man den Reflexionskoeffizienten mit einer Formel berechnen. Das Ergebnis dieser Berechnungen ist
in den beiden nachfolgenden Figuren dargestellt.
Die erste Figur beschreibt den Übergang von einem optisch dünnen in ein
optisch dichteres Medium, z.B. von Luft in Glas. Wie schon vorhin erwähnt ist
der Reflexionskoeffizient für senkrechten Lichteinfall (ε=0) gerade 0.04 oder
4%. Bei grösserem Einfallswinkel wird mehr Licht reflektiert, so z.B. bei 43°
5% und bei 65° 12%. Selbst bei einem Einfallswinkel von 85° wird noch ca.
40% des Lichtes in das andere Medium gelangen.
Findet umgekehrt der Übergang vom optisch dichteren in das optisch
dünnere Medium statt, so erkennen wir, dass ab einem Einfallswinkel von ca.
42° alles Licht reflektiert wird. Charakteristisch ist allerdings, dass ein grosser
Teil des Kurvenverlaufs sehr ähnlich zum Übergang "optisch dünneres zu optisch dichterem Medium" ist. Insbesondere ist der Reflexionskoeffizient für
senkrechten Lichteinfall für beide Durchgangsrichtungen des Lichtes gleich. Da
das Licht beim Übergang von einem optisch dichten zu einem optisch dünneren
Medium vom Lot weg gebrochen wird, liegt die Vermutung nahe, dass bei einem Einfallswinkel von ca. 42° ein Ausfallwinkel von 90° für die Brechung
resultiert. Tatsächlich finden wir, wenn wir das Brechungsgesetz anwenden und
voraussetzen, dass
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n > n'
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und
n ⋅ sin ε = n'⋅ sin ε '
gilt:
sin ε =
n'
sin ε'
n
.
Da ε’ nicht mehr als 90° betragen kann und weiterhin sin(90°)=1 gilt,
schliessen wir, dass der Einfallswinkel nicht grösser als ein bestimmter Grenzwinkel εG sein kann:
sin ε G =
n'
n.
Diesen Grenzwinkel εG bezeichnet man als den Grenzwinkel der Totalreflexion. Man beachte, dass der Grenzwinkel der Totalreflexion von den beteiligten Medien abhängig ist und dass wegen der Dispersion ( = Abhängigkeit des
Brechungsindizes von der Wellenlänge) auch der Grenzwinkel der Totalreflexion wellenlängenabhängig ist. In der Regel ist für kurzwelliges Licht (blau) der
Grenzwinkel der Totalreflexion früher erreicht als für langwelliges Licht (rot),
d.h. der Grenzwinkel ist i.a. für kurzwelliges Licht kleiner.
Der Totalreflexion kommen in optischer Hinsicht recht gute Eigenschaften zu; so ist eine total reflektierende Glasfläche um einiges besser als ein rückflächenverspiegeltes Glas oder ein schlecht gemachter Oberflächenspiegel. Dazu kommt, dass die total reflektierenden Oberflächen in optischen Instrumenten
recht gut geschützt werden können. Bekannt sind viele Typen von total reflektierenden Prismen für die Bildumkehr in optischen Instrumenten; wir erwähnen
hier stellvertretend für viele die Porroprismen, Geradsichtprismen und Dachkantprismen (Schmidt-Pechan und Uppendahl).
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3.7 Prisma und Keil
3.7.1 Beliebiger Einfallswinkel
Mit dem Brechungsgesetz kann man die Verhältnisse beim Prisma und
beim Keil untersuchen und verstehen. Dies wollen wir in diesem Abschnitt tun.
Es interessiert vor allem die Frage, wie gross die Strahlablenkung bei einem gegebenen Einfallswinkel des Lichtes auf die erste Fläche des Prismas ist. Dabei
wollen wir vereinfachend annehmen, dass es sich um ein Prisma handelt, das
allseits von Luft umgeben ist und zwei unendlich lange Schenkel aufweist. Weiter sei der von den beiden Schenkeln des Prismas eingeschlossene Winkel ϕ gegeben.
Die Verhältnisse und Winkelbezeichnungen beim Prisma entnehme man
der untenstehenden Figur.
Seite 46
Der Figur entnehmen wir, dass der Winkel zwischen den beiden Loten
gerade gleich dem brechenden Winkel ϕ des Prismas ist. Wir untersuchen nun
das Dreieck, das von den beiden Loten und dem durch das Prisma gehenden
Lichtstrahl gebildet wird. Dem Winkelsatz bei Dreiecken (Summe aller Winkel
= 180°) entnehmen wir:
ε '1 − ε 2 = ϕ .
Um den Ablenkwinkel δ zu bestimmen, betrachten wir das Dreick, das
von den Verlängerungen des einfallenden Lichtstrahles und des Lichtstrahles,
der das Prisma verlässt, sowie dem durch das Prisma gehenden Lichtstrahl gebildet wird. Wir bestimmen vorerst die Winkel α1 und α2 dieses Dreieckes.
α 1 = ε 1 − ε '1
α 2 = ε' 2 − ε 2 .
Da negativ ist, bestimmen wir dieses zu
δ = α 2 − α1
d.h.
δ = ( ε ' 2 − ε 2 ) − ( ε 1 − ε '1 ) = ε ' 2 − ε 2 − ε 1 + ε '1 = ϕ + ε ' 2 − ε 1
.
Die Berechnung des Ablenkwinkels kann nun schrittweise vollzogen werden:
A Berechnen des Winkels ε’1 mit dem Brechungsgesetz.
B Berechnen des Winkels ε2 mit dem Zusammenhang
ε 2 = ε '1 − ϕ
C Berechnen des Winkels ε’2 mit dem Brechungsgesetz.
D Berechnen des Ablenkwinkels δ mit dem Zusammenhang
δ = ϕ + ε' 2 − ε 1
In den folgenden Graphiken sind für einige Brechzahlen die Ablenkwinkel für
sämtliche mögliche Einfallswinkel dargestellt.
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3.7.2 Symmetrischer Strahlengang beim Prisma
Wir wollen noch die Berechnung des minimalen Ablenkwinkels bei symmetrischem Strahlengang herleiten. Wir beziehen uns auf die untenstehende Skizze
(bitte ergänzen!):
Wir bemerken vorerst, dass ε '1 und ε 2 durch den brechenden Winkel ϕ gegeben
sind:
ε '1 = − ε 2 =
ϕ
2
Daraus ergeben sich (mittels Brechungsgesetz) unmittelbar ε1 und ε ' 2 :
⎛ n2
⎛ ϕ ⎞⎞
⋅ sin⎜ ⎟ ⎟
⎝ 2 ⎠⎠
⎝ n1
ε1 = − ε ' 2 = arcsin⎜
Die Strahlablenkung erfolgt ebenfalls symmetrisch verteilt auf die die beiden Flächen:
⎛ϕ
⎛n
⎛ ϕ ⎞⎞⎞
δ = δ1 + δ2 = (ε '1 −ε1 ) + (ε ' 2 −ε2 ) = 2 ⋅ (ε '1 −ε1 ) = 2 ⋅ ⎜ − arcsin⎜ 2 ⋅ sin⎜ ⎟ ⎟ ⎟
⎝ 2 ⎠⎠⎠
⎝ n1
⎝2
d.h.:
⎛ϕ
⎛n
⎛n
⎛ ϕ ⎞⎞⎞
⎛ ϕ ⎞⎞
− arcsin⎜ 2 ⋅ sin⎜ ⎟ ⎟ ⎟ = ϕ − 2 ⋅ arcsin⎜ 2 ⋅ sin⎜ ⎟ ⎟
⎝ 2 ⎠⎠⎠
⎝ 2 ⎠⎠
⎝ n1
⎝ n1
⎝2
δ = 2⋅⎜
Vielfach will man den Brechungsindex eines Prismas aus dem minimalen Ablenkwinkel und
dem brechenden Winkel des Prismas bestimmen. Dazu löst man die oben stehende Formel
nach n auf:
ϕ −δ
sin
2
n2 = n1
ϕ .
sin
2
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3.7.3 Näherung für den Keil
Besonders einfach werden die Verhältnisse, wenn man für sin und arcsin
die Kleinwinkelnäherung verwenden kann:
sin ε ≈ tan ε ≈ ε .
Aus
⎛ n2
⎛ ϕ ⎞⎞
⋅ sin⎜ ⎟ ⎟
⎝ 2 ⎠⎠
⎝ n1
δ = ϕ − 2 ⋅ arcsin⎜
errechnet man für die Strahlablenkung beim Prisma:
⎛
δ ≈ ⎜1 −
⎝
n2 ⎞
⎟ ⋅ϕ
n1 ⎠
3.8 Regenbogen
In diesem Absatz wollen wir die Gesetzmässigkeiten und Zusammenhänge beim Regenbogen erklären. Dazu nehmen wir vorerst einmal einen kugelförmigen Tropfen aus Wasser an. Ein Lichtstrahl treffe in einem Abstand r von
der optischen Achse auf den Regentropfen. Wir verfolgen den Lichtstrahl, der
durch Brechung in das Innere des Tropfens gelangt.
Wir stellen vorerst einmal fest, dass ein Teil des Lichtstrahles beim Auftreffen auf der "hinteren" Seite des Regentropfens durch Brechung austreten
kann. Der andere Teil wird reflektiert. Dieser reflektierte Teil des Strahls trifft
nun auf die "vordere" Fläche des Prismas auf, wo wieder ein Teil des Strahls
durch Brechung austreten kann und ein Teil durch Reflexion im Inneren des
Tropfens bleibt. Diese Überlegung kann nun fortgesetzt werden; bei jeder Reflexion im Innern des Tropfens kann ein Teil des Lichtes durch Brechung aus
dem Tropfen heraustreten.
Um den Regenbogen wirklich verstehen zu können, kommen wir nicht
darum herum, den eben beschriebenen Gang des Lichtes bei einem Regentropfen mathematisch zu beschreiben. Was unmittelbar hergeleitet werden soll ist
ein Zusammenhang zwischen der Strecke h (=Entfernung des einfallenden
Strahles von der optischen Achse des Regentropfens) und dem totalen Ablenkwinkel von einem Lichtstrahl, der im Innern des Tropfens einmal reflektiert
wird.
Seite 54
Unsere Betrachtungen beziehen sich auf die Skizze auf der folgenden Seite. Dieser Skizze entnehmen wir:
sin ε =
h
R
wobei wir mit R den Radius des Wassertröpfchens bezeichnen.
Aus dem Brechungsgesetz folgt:
Seite 55
h
R
n'⋅ sin ε ' = sin ε =
(mit n’ ist die Brechzahl des Wassers bezeichnet), also:
sin ε ' =
1 h
⋅
n' R
Nun ergibt sich die Strahlablenkung infolge der Brechung beim Eintritt in das
Innere des Regentropfens wie folgt:
⎛ h ⎞
⎛ h⎞
⎟ − arcsin⎜ ⎟
⎝ n'⋅R ⎠
⎝ R⎠
δ1 = arcsin⎜
Betrachten wir den weiteren Verlauf des Strahles im Innern des Tropfens, so
stellen wir fest, dass der Einfallswinkel bei der Reflexion betragsmässig gleich
dem Winkel ε ' ist (Grund: gleichschenkliges Dreieck, gebildet von zwei Radien und dem Lichtstrahl im Innern des Tropfens). Daraus ergibt sich eine
Strahlablenkung von:
⎛ h ⎞
⎟ − 180°
⎝ n'⋅R ⎠
δ2 = 2 ⋅ ε '−180° = 2 ⋅ arcsin⎜
Beim Austritt aus dem Regentropfen ergibt sich wiederum die Ablenkung infolge Brechung (man beachte die Symmetrie des Strahlenganges!); damit können wir zusammenfassen:
δ = 2 ⋅ δ1 + δ2
d.h.:
⎧
⎛ h ⎞
⎛ h ⎞
⎛ h ⎞⎫
⎟ − 180°
⎟ − arcsin⎜ ⎟ ⎬ + 2 ⋅ arcsin⎜
⎝ n'⋅R ⎠
⎝ n'⋅R ⎠
⎝ R⎠ ⎭
δ2 = 2 ⎨arcsin⎜
⎩
Durch Zusammenfassen der zusammengehörenden Teile erhält man:
⎛ h ⎞
⎛ h⎞
⎟ − 2 arcsin⎜ ⎟ − 180°
⎝ n'⋅ R ⎠
⎝ R⎠
δ = 4 arcsin⎜
Der Vollständigkeit halber wollen wir auch noch die Strahlablenkung bei zweimaliger Reflexion im Innern des Tropfens angeben. wegen der zweifachen Reflexion im Innern ergibt sich:
δ = 2 ⋅ δ1 + 2 ⋅ δ2
Daraus ergibt sich:
⎛ h ⎞
⎛ h⎞
⎟ − 2 arcsin⎜ ⎟ − 180°
⎝ n'⋅R ⎠
⎝ R⎠
δ = 6 arcsin⎜
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Damit sind die wesentlichen mathematischen Herleitungen getätigt. Wir
stellen fest, dass die Strahlablenkung offensichtlich vom Verhältnis
h
und von
R
der Brechzahl n’ abhängig ist. Die Ablenkung als Funktion von h/R ist in den
vier Figuren auf den beiden folgenden Seiten dargestellt (betragsmässig). Wir
erkennen, dass in beiden Fällen (Haupt- und Nebenregenbogen) ein Minimum
der Strahlablenkung vorhanden ist. Der grösste Anteil des Lichtes, das den Regentropfen verlässt, weist diese Strahlablenkung auf; beim Hauptregenbogen
sind dies ca. 138° und beim Nebenregenbogen 232°. Wir nehmen den Hauptregenbogen also unter einem Winkel von 180°-138° = 42° und den Nebenregenbogen unter einem Winkel von 232° - 180° = 52°, bezogen auf die Achse Sonne
- Beobachter, wahr. Dabei hat der Beobachter die Sonne im Rücken. Die oben
hergeleitete Formel hat die Brechzahl als Parameter. D.h. die Strahlablenkung
unterliegt der Dispersion. bei den erwähnten Figuren ist die Strahlablenkung für
Rot gepunktet, für Gelb ausgezogen und für Blau gestrichelt gezeichnet. Wir
stellen also fest, dass beim Hauptregenbogen von Innen nach aussen das Spektrum von Blau bis Rot, beim Nebenregenbogen gerade umgekehrt verläuft.
Dies ist die sogenannte Descart'sche Theorie des Regenbogens; sie erklärt
im Wesentlichen den Haupt- und Nebenregenbogen. Damit sind aber längst
nicht alle Phänomene im Zusammenhang mit dem Regenbogen erklärt. So versagt die das eben besprochene Modell bei der Vorhersage der Intensitäten der
verschiedenen Farben, die auch von Fall zu Fall verschieden sein können, wie
Beobachtungen zeigen. Schliesslich gibt es auch noch sogenannte Sekundärregenbogen, die - auch wieder von Fall zu Fall - sogar intensiver als Haupt- und
Nebenregenbogen sein können. Diese können mit dem Descart'schen Modell
überhaupt nicht erklärt werden.
Nach dem Modell von Airy liegen dem Regenbogen komplizierte Beugungserscheinungen zugrunde. Airy hat berechnet, wie die Intensitätsverteilung
beim Regenbogen infolge Beugung mit anschliessender Interferenz aussieht;
seine Berechnungen kommen den Beobachtungen im Zusammenhang mit dem
Regenbogen schon sehr nahe.
Noch neuere Untersuchungen erklären den Regenbogen als Phänomen,.
das durch die Streuung von Lichtteilchen (Photonen) an Regentropfen zustande
kommt. Die Ergebnisse dieser Berechnungen sind noch genauer als die Theorie
von Airy; zudem kann erklärt werden, weshalb vielfach im Zusammenhang mit
dem Regenbogen Polarisationseffekte zu beobachten sind. Betrachtet man nämlich den Regenbogen durch ein Polarisationsfilter oder eine Polaroidsonnenbrille, so verschwindet ein Teil des Regenbogens.
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Seite 59
4 Brechende Kugelfläche (Diopter)
Die brechende Kugelfläche hat für uns aus mindestens zwei Gründen eine
grosse Bedeutung:
1)
Sie stellt die Grundlage für die Optik der dünnen und dicken Linsen sowie der Linsensysteme dar. Anwendungen finden sich z.B. gerade in der
Kontaktlinsenoptik. Einfache Lupen können ebenfalls als brechende Kugelflächen aufgefasst werden.
2)
Das Listing-Modell, das am häufigsten verwendete Augenmodell, besteht
aus nichts anderem als aus einer brechenden Kugelfläche.
4.1 Gauss-Formel (BAD-Formel)
Wir wollen nun kurz die wesentlichen Eigenschaften der brechenden Kugelfläche herleiten und sie dann in
einer übersichtlichen Form zusammenfassen.
Zur Herleitung beziehen wir uns auf die untenstehende Skizze einer brechenden Kugelfläche, die Medien mit Brechzahlen n und n' trennt. Ein Punkt P befindet sich in einer Entfernung a (in der Darstellung negativ) vor der Kugelfläche. Dieser Punkt und der Mittelpunkt C der Kugel legen die optische Achse fest. Die Tangentialebene, die die Kugel berührt und senkrecht zur optischen Achse steht, ist die Scheitelebene. Alle Strecken werden bei der brechenden Kugelfläche von der Scheitelebene aus gemessen. In Lichtrichtung verlaufende
Strecken sind positiv, gegen das Licht laufende Strecken sind negativ. Die Strecke von der Scheitelebene bis
zum Mittelpunkt der Kugel ist der Krümmungs-radius. Letzterer kann nach dem eben Gesagten ebenfalls positiv oder negativ sein.
Lichtstrahlen, die vom Punkt P ausgehen, treffen auf die Kugelfläche und werden an dieser Grenzfläche entsprechend dem Brechungsgesetz in ihrer Richtung abgelenkt. In unserer Skizze werden die Strahlen zur
optischen Achse hin gebrochen. Wir untersuchen einen Strahl, der vom Punkt P ausgeht und den Winkel Ψ zur
optischen Achse aufweist. Der Punkt, bei dem dieser Strahl die Kugelfläche trifft, liegt dicht bei der Scheitel-
Seite 60
ebene (sofern der Winkel Ψ genügend klein ist) und hat die Höhe h. Den Winkel des einfallenden Strahles zum
Lot benennen wir nach wie vor mit ε. Der gebrochene Strahl wird einen Winkel ε' zum Lot aufweisen. Die
Neigung des gebrochenen Strahles zur optischen Achse bezeichnen wir mit χ, diejenige des Lotes zur optischen
Achse mit ϕ. Die Winkel ε, ε', Ψ, χ und ϕ sollen alle so klein sein, dass die Kleinwinkelnäherung angewendet
werden kann:
sin ε ≈ tan ε ≈ arc ε ≈ ε
Wir entnehmen der Skizze folgende Zusammenhänge:
ε=ϕ+ψ
und
h
r
h
ψ ≈ tan ψ =
−a
ϕ ≈ tan ϕ =
Daraus folgt:
ε=Ψ+ϕ≈
Das Brechungsgesetz
h
h
+
−a r .
n ⋅ sin ε = n' ⋅ sin ε '
lautet in der Kleinwinkelnäherung:
n ⋅ ε = n' ⋅ε '
Der Winkel ε' berechnet sich damit wie folgt:
ε' =
Weiter lesen wir aus der Skizze:
n
n ⎛h h ⎞
⋅ε = ⋅⎜ +
⎟
n'
n' ⎝ r − a ⎠
ϕ = ε' + χ
also
χ = ϕ − ε' =
h n ⎛ h h⎞
− ⋅⎜
+ ⎟
r n' ⎝ − a r ⎠ .
Für den Winkel χ wiederum stellen wir fest:
χ ≈ tan χ =
h
a' .
Daraus ergibt sich die Gleichung:
h h n ⎛ h
h⎞
= − ⋅⎜
+ ⎟
a' r n' ⎝ − a r ⎠ .
Aus dieser Gleichung kann die Grösse h gekürzt werden:
1 1 n ⎛ 1
1⎞
= − ⋅⎜
+ ⎟
a' r n' ⎝ − a r ⎠ .
Damit diese Gleichung etwas übersichtlicher wird, multiplizieren wir sie mit n':
n' n'
1⎞
⎛ 1
= − n⋅ ⎜
+ ⎟
⎝ − a r⎠
a' r
oder nach einer geringfügigen Umformung:
Seite 61
n' n n' −n
= +
r
a' a
Dies ist nichts anderes als die BAD-Formel, wenn man
A=
n
a
A' =
n'
a'
und
D=
n' − n
r
definiert. Der Name BAD-Formel rührt daher, dass früher anstelle von A' das Symbol B verwendet wurde.
4.2 Bildgrössenformel
Wir leiten nun noch die Bildgrössenformel her. Dazu betrachten wir die untenstehende Skizze. Ein Gegenstand
y befindet sich in der Entfernung a vor dem Scheitel der brechenden Kugelfläche. Wir verfolgen den vom Endpunkt P des Gegenstandes y ausgehenden Strahl, der durch den Mittelpunkt der Kugelfläche geht. Dieser Strahl
ist ungebrochen, d.h. er behält als einziger seine Richtung bei. Mit Hilfe der Strahlensätze können wir nun den
Zusammenhang
y
y'
=
r − a a'−r
erkennen. Definieren wir den Abbildungsmaßstab ß' mit
β' =
y'
y
so erhalten wir:
n'
−r
y ' a'−r a '−r A'
β '= =−
=
=
y
r−a a−r n −r
A
Seite 62
Erweitern des letzten Bruches auf der rechten Seite ergibt:
β '=
A(n'− A' r ) A(n'− [A + D ]r ) A(n'− Ar − Dr )
=
=
A' (n − Ar )
A' (n − Ar )
A' (n − Ar )
Verwenden wir für D
D=
so erkennen wir, dass
n'− n
r
Dr =n'−n
gilt. Dies setzen wir oben ein und erhalten:
β '=
A(n'− Ar − Dr ) A(n'− Ar − (n'−n )) A(n'− Ar − n'+ n ) A(n − Ar ) A
=
=
=
=
A' (n − Ar )
A' (n − Ar )
A' (n − Ar )
A' (n − Ar ) A'
D.h. der Abbildungsmaßstab ß' ist durch
y' A
β' =
=
y A'
gegeben. Vielfach wird dies auch in der Form
y ⋅ A= y '⋅ A'
dargestellt. Letztere bezeichnet man als Bildgrössenformel.
Oben haben wir die Bildgrössenformel für einen bestimmten Strahl, nämlich den Mittelpunktstrahl,
bewiesen. Als nächstes wollen wir zeigen, dass die gleiche Bildgrössenformel auch zustandekommt, wenn man
einen anderen Strahl verwendet. Damit zeigen wir auch, dass die Bildgrössenformel allgemein für die Abbildung paraxialer Strahlen gilt.
Wir betrachten die untenstehende Skizze und verfolgen den Scheitelpunktstrahl. Entgegen unserer
ersten Vermutung ist dieser Strahl in seinem Verlauf nicht ungebrochen. Stellen wir uns den Bereich um den
Scheitel der Kugelfläche stark vergrössert vor, so erkennen wir, dass der Scheitelstrahl praktisch an einer senkrechten ebenen Grenzfläche gebrochen wird. Die Strahlablenkung erfolgt also nach dem Brechungsgesetz:
n ⋅ sin ε =n'⋅ sin ε '
Da wir vorausgesetzt haben, dass nur kleine Winkel ε und ε' auftreten dürfen, können wir die Kleinwinkelnäherung verwenden:
n ⋅ ε =n'⋅ε '
Seite 63
Der Skizze entnehmen wir
y
−a
y'
.
tan ε '≈ε '≈
− a'
tan ε ≈ε ≈
Setzen wir diese beiden Beziehungen in die obenstehende Näherung für das Brechungsgesetz ein, so erhalten
wir
⎛ y ⎞ ⎛ y' ⎞
n ⋅ ⎜ − ⎟=n'⋅⎜ − ⎟
⎝ a ⎠ ⎝ a' ⎠
oder
⎛ n ⎞ ⎛ n' ⎞
y ⋅ ⎜ − ⎟= y '⋅⎜ − ⎟
⎝ a ⎠ ⎝ a' ⎠
was vereinfacht mit
y ⋅ A= y '⋅ A'
dargestellt werden kann.
Dies ist die allgemeine Form der Bildgrössenformel, die wir noch in anderen Situationen vorfinden werden. Wir
tun gut daran, uns diese Formel für die Berechnung der Bildgrössen zu merken. Insbesondere ist die aus früheren Zeiten vielleicht bekannte Formel
y '= y ⋅
a'
a
falsch. Sie gilt nur für dünne Linsen in Luft. Lösen wir die Bildgrössenformel nach y' auf, so erhalten wir nämlich
n
A
n a'
y '= y ⋅ = y ⋅ a = y ⋅ ⋅
n'
A'
n' a
a'
Die in früheren Zeiten auswendig gelernte Formel berücksichtigt also die Brechungsindizes der beteiligten
Medien nicht.
Seite 64
4.3 Konstruktionen bei der brechenden Kugelfläche
In diesem Abschnitt wollen wir der Frage nachgehen, welche Konstruktionsmethoden anzuwenden sind, um bei einer brechenden Kugelfläche Strahlen abzubilden.
In den beiden vorangehenden Abschnitten haben wir zur Herleitung der
Gauss- und der Bildgrössenformel jeweils die Kleinwinkelnäherung für sin und
tan anwenden müssen. Dies deutet darauf hin, dass die so herausgefundenen
Formeln nicht für beliebige Strahlen gelten, sondern nur für Strahlen, deren
Neigung zur optischen Achse genügend klein (typischerweise 5° bis 10°) sind.
Man spricht in diesem Zusammenhang von der sogenannten paraxialen Näherung oder von Strahlen, die sich im Gausschen Raum befinden. Die Berechnung
der Abbildung der Strahlen im paraxialen Raum ist besonders einfach (im Vergleich mit der exakten Abbildung). Man spricht deshalb von der idealen Abbildung.
Dementsprechend werden wir nun in diesem Abschnitt Konstruktionsmethoden kennenlernen, die sowohl die idealen als auch die realen Eigenschaften
des Lichtes wiedergeben.
4.3.1 Normales Zweikreisverfahren
Nach dem bisher Besprochenen ist das normale Zweikreisverfahren am einfachsten zu verstehen. Es erlaubt die exakte Bestimmung der Brechung an einer
Kugelfläche, gibt also das reale Verhalten der Strahlen wieder (nicht die idealen
Eigenschaften). In den beiden Konstruktionen auf der folgenden Seite ist der
Verlauf zweier Strahlen wiedergegeben. Wir erkennen, dass die Lage des Bildpunktes abhängig ist von der Einfallshöhe der Strahlen.
Wir stellen fest, dass das normale Zweikreisverfahren bei einer brechenden Kugelfläche recht aufwendig ist. Als einfachere Konstruktionsmethode für
die reale Abbildung bei der brechenden Kugelfläche bietet sich deshalb das Verfahren von Weierstrass-Reusch an.
4.3.2 Konstruktion nach Weierstrass-Reusch
Im deutschen Sprachraum ordnet man diese Konstruktionsmethode in der
Regel den beiden Mathematikern Weierstrass-Reusch zu. Ob diese beiden das
Verfahren wirklich als erste herausgefunden haben, ist zumindest fraglich; so ist
man z.B. im angloamerikanischen Sprachraum der Überzeugung, dass der englische Physiker Young diese Methode entwickelte. Dort wird sie deshalb als die
Methode nach Young bezeichnet. Die beiden Kreise, die zur Konstruktion verwendet werden, heissen deshalb Young'sche Kreise.
Seite 65
Seite 66
Im folgenden beschreiben wir die Konstruktionsmethode rezeptartig:
1.
Zwei Kreise mit Zentrum C = Zentrum der brechenden Kugelfläche
konstruieren. Die Radien dieser beiden Hilfskreise sind wie folgt zu berechnen:
r1 = r
n'
n
r2 = r
n
n'
2.
Die Verlängerung des beim Punkt A auf die Kugelfläche einfallenden
Strahles bis zum Kreis mit Radius r1 ergibt den Schnittpunkt S1 .
3.
Vom Zentrum C zum Punkt S einen Strahl zeichnen. Der Schnittpunkt
dieses Strahles mit dem zweiten Hilfskreis (mit Radius r2 ) ergibt den
Schnittpunkt S2 .
4.
Der Schnittpunkt S2 (zusammen mit dem Punkt A) legt den gebrochenen Strahl fest.
Zum Beweis verwenden wir den Sinus-Satz aus der Mathematik:
a : b : c = sin α : sin β : sin γ
Das Dreieck ΔACS1 hat bei A den Winkel ε. Dagegen finden wir im Dreieck ΔACS 2 bei A den Winkel ε'.
Die beiden Dreiecke sind einander ähnlich; sie haben einen Winkel ϕ gemeinsam und die beiden kürzeren Seiten dieser Dreiecke weisen das gleiche Verhältnis auf:
ΔACS1:
n'
CS1 r1 r n n'
= =
=
r
n
AC r
AC
r
r
n'
= =
=
CS2 r2 r n n
n'
Damit muss der verbleibende Winkel des Dreiecks ΔACS1 = ε' und der verbleibende Winkel des Dreiecks
ΔACS 2 = ε sein. Betrachten wir nun z.B. das Dreieck ΔACS 2 so folgt mit dem Sinus-Satz:
sin ε : sin ε ' = r : r2
ΔACS2 :
d.h.
sin ε
r
r
n'
= =
=
sin ε ' r2
n n
r
n'
Nach Multiplizieren beider Seiten mit n ⋅ sin ε ' folgt daraus das Brechungsgesetz:
n ⋅ sin ε = n' ⋅ sin ε '
d.h. die Konstruktion erfüllt das Brechungsgesetz genau.
Seite 67
Wählen wir eine Anzahl beliebiger Strahlen, die von P ausgehen und an der
Kugelfläche gebrochen werden, so erkennen wir, dass der Bildpunkt P' um so
näher zur Kugelfläche heranrückt, desto grösser die Neigung des von P ausgehenden Strahles zur optischen Achse ist. Wir stellen also auch mit der Konstruktion von Weierstrass-Reusch die realen Eigenschaften der Kugelfläche fest. Der
Seite 68
so beobachtete Abbildungsfehler ist allgemein als sphärische Aberration bekannt.
Wir können weiter feststellen, dass Strahlen, die auf einen Punkt auf dem
Kreis mit Radius r zulaufen (virtueller Dingpunkt P), aberrationsfrei in einen
einzigen Bildpunkt P' abgebildet werden. Solche Punktepaare wie P und P'
nennt man aberrationsfreie Punktepaare oder aplanatische Punktepaare.
4.3.3 Paraxiales Zweikreisverfahren
Bisher haben wir noch kein konstruktives Verfahren kennengelernt, das
die idealen Eigenschaften der brechenden Kugelfläche beschreibt. Das paraxiale
Zweikreisverfahren, das diese Aufgabe erfüllt, hat zudem den Vorteil, dass man
keinen Zirkel benötigt. Wir geben vorerst eine rezeptartige Beschreibung des
paraxialen Zweikreisverfahrens:
1.
Parallel zur Scheitelebene und im Abstand von x ⋅ n bzw. x ⋅ n' sind zwei
Geraden zu zeichnen. Die Strecke x ist beliebig wählbar. n und n' bezeichnen die Brechzahlen der beiden Medien, die von der Kugelfläche getrennt werden.
2.
Der auf die Kugelfläche einfallende Strahl schneidet die Scheitelebene
bei A. Der einfallende Strahl ist zu verlängern bis er die Gerade x ⋅ n
schneidet. Den Schnittpunkt bezeichnen wir mit S1
3.
Vom Mittelpunkt C der Kugelfläche ist ein "Lot" zum Punkt A zu zeichnen.
4.
Dieses Lot ist parallel zu verschieben in den Punkt S1 . Der Schnittpunkt
mit dem parallel verschobenen Lot heisst S2 .
5.
Der gebrochene Strahl ist festgelegt durch den Punkt A und den Schnittpunkt S2 .
Seite 69
Wir können ohne grösseren Aufwand die Verwandtschaft der beiden eben beschriebenen Verfahren
(Konstruktion nach Weierstrass-Reusch und paraxiales Zweikreisverfahren) erkennen. Wir wollen aber trotzdem einen vollständigen Beweis für das paraxiale Zweikreisverfahren anbringen. Dazu betrachten wir die untenstehende Skizze, in dem die Winkel wie bei der Herleitung der Gauss-Formel bezeichnet sind.
Seite 70
Wir ergänzen die Konstruktion durch zwei zu der optischen Achse parallele Geraden
durch die Punkte A und S 2 . Deren Schnittpunkte mit den Geraden x ⋅ n bzw. x ⋅ n ' bezeichnen wir mit C bzw. B. Wir berechnen nun die Strecke BS1 auf zwei verschiedene Arten:
BC + CS1 = BS1 .
Mit den Winkeln ψ, ϕ und χ und den Strecken x⋅n, x⋅n' und x⋅(n'-n) erhalten wir folgende
Ausdrücke:
BS1 = x ⋅ ( n'−n) ⋅ tanϕ
BC = x ⋅ n' ⋅ tan χ
und
CS1 = x ⋅ n ⋅ tan ψ .
Damit wird aus der obenstehenden Gleichung für diese Strecken
x ⋅ n'⋅ tan χ + x ⋅ n ⋅ tan ψ = x ⋅ ( n'−n) ⋅ tan ϕ .
Wie bei der Herleitung der Gauss-Formel können wir für tanϕ etc. einsetzen:
h
h
h
tan ϕ = , tan ψ = − , tan χ = .
r
a
a'
Damit erhalten wir
x ⋅ n'⋅
h
h
h
+ x⋅n⋅
= x ⋅ ( n'−n) ⋅ .
−a
r
a'
Kürzen mit dem Faktor x⋅h ergibt:
( n'−n)
n'
n
+
=
,
r
a' − a
d.h.
n'
n ( n'−n)
=
+
.
r
a'
a
Dies bedeutet, dass die Konstruktion die Gauss-Formel exakt erfüllt, also ohne Näherung. In der Tat können wir uns anhand eines Beispiels davon überzeugen, dass der Punkt P
durch Strahlen unterschiedlicher Neigung zur optischen Achse immer in den gleichen Bildpunkt P' abgebildet wird. Dies ist in der Figur auf der folgenden Seite dargestellt.
Seite 71
Seite 72
4.3.4 Kardinalpunkte und -ebenen
Für die Konstruktion bei brechenden Kugelflächen gibt es eine Reihe von
Kardinalpunkten und -ebenen, die einem eine Vereinfachung der Vorgehensweise erlauben. Wäre dies nicht so, dann müsste für die Abbildung eines Punktes folgender Weg eingeschlagen werden:
1.
Zwei beliebige Strahlen wählen, die durch den Gegenstandspunkt P gehen.
2.
Diese beiden Strahlen mit dem paraxialen Zweikreisverfahren abbilden.
Daraus resultieren zwei "Bildgeraden".
3.
Der Schnittpunkt der beiden Bildgeraden ist der Bildpunkt P'.
Strahlen, die vom unendlich fernen Achsendingpunkt P herkommen, fallen achsenparallel und damit senkrecht zur Scheitelebene auf die Kugelfläche
ein. Sie werden in den bildseitigen Brennpunkt F' abgebildet.
Strahlen, die parallel zueinander verlaufen vor der Brechung an der Kugelfläche, verlaufen nach der Brechung so, dass sie sich in einem Punkt in der
bildseitigen Brennebene schneiden.
Strahlen, die vom dingseitigen Brennpunkt F herkommen, verlassen die
brechende Kugelfläche parallel zur optischen Achse. Strahlen, die von ein und
demselben Punkt aus der dingseitigen Brennebene herrühren, verlassen die brechende Kugelfläche parallel zueinander.
Strahlen, die die Kugelfläche beim Scheitel S berühren, verlaufen nicht
ungebrochen. Für sie muss entweder das Zweikreisverfahren angewendet werden oder ein Hilfsstrahl zur Konstruktion beigezogen werden.
Strahlen, die auf den Mittelpunkt C der brechenden Kugelfläche zulaufen, verlaufen ungebrochen.
Die Strecke zwischen der Scheitelebene und der dingseitigen Brennebene
ist die Objektbrennweite oder Dingbrennweite f . Ebenso wird die Strecke zwischen Scheitelebene und bildseitiger Brennebene als bildseitige Brennweite f'
bezeichnet.
Aus der Gauss-Formel entnehmen wir für die dingseitige Brennweite
f ( a ' = ∞) :
f =a=
n
n
n
n
n
n
=
=
=
.
=
=
A A ' −D n' − D n' − D 0 − D −D
a'
∞
Auf die gleiche Weise können wir f' berechnen (a'=∞):
f ' = a' =
n'
n'
n'
n'
n'
n'
=
=
=
=
= .
A' A + D n + D n + D 0 + D D
∞
a
Schliesslich finden wir, dass
f' + f =
Seite 73
n' n
n' − n
n' − n
=r
−
=
=
n' − n
D D
D
r
,
d.h.
f + f' = r
gilt.
4.4 Abbildung von und nach Unendlich
Ist die Gegenstandsweite a sehr gross, was für praktische Belange bedeutet, dass die Gegenstandsweite mehr als 3 bis 4 mal die Dingbrennweite beträgt,
so findet die Abbildung praktisch in die Bildbrennebene F' statt. Unter diesen
Umständen kann eine vereinfachte Konstruktion durchgeführt werden. Dazu
zeichnet man die Bildbrennebene und verwendet einen Dingbrennstrahl oder
einen Mittelpunktstrahl.
Für weit entfernte Gegenstände kann man in der Regel nur angeben, unter
welchem Winkel sie einem erscheinen. Für Berechnungszwecke kann man damit die Bildgrössenformel ebenfalls vereinfachen:
y
y n
y n
y
tan σ =− =− ⋅ =− ⋅ =− ⋅ A ,
a
a n
n a
n
also
y ⋅ A= − n ⋅ tan σ .
Es folgt aus
y'⋅A' = y⋅A
nun
y' =
y⋅A
y⋅A
a'
f'
= y⋅A⋅
≈ y⋅A⋅
=
n'
A'
n'
n'
a'
.
Setzen wir
f' =
n'
D
ein, so erhalten wir:
n'
f'
1
y' = y ⋅ A ⋅
= y⋅A⋅ D = y⋅A⋅
n'
n'
D.
Hier setzen wir nun die Gleichung (*) ein und erhalten:
y '= y ⋅ A ⋅
1
1
= − n ⋅ tan σ ⋅ .
D
D
(*)
Seite 74
Stellen wir
f =−
n
D
um, so erkennen wir, dass
f
1
=−
D
n
gilt. Wir erhalten also für y':
⎛ f ⎞
y '=− n ⋅ tan σ ⋅ ⎜⎜ − ⎟⎟= f ⋅ tan σ .
⎝ n⎠
Entsprechend könnten wir herleiten, unter welchem Winkel ein Bild im Unendlichen erscheint, falls sich ein Gegenstand in der Dingbrennweite befindet. Wir
finden als Resultat:
y = f '⋅ tan σ ' .
Für die Konstruktion dieses Sehwinkels können wir entweder den Mittelpunktstrahl oder den Achsenparallelstrahl verwenden.
4.5 Newton-Gleichungen
Häufig werden anstelle der Gauss-Formel und der Bildgrössenformel
zwei andere Gleichungen verwendet, die sogenannten Newton-Formeln. Diese
Formeln werden sich insbesondere in der Instrumentenkunde als praktisch erweisen. Wir leiten diese Formeln her und erläutern sie anhand einer Skizze.
In der untenstehenden Skizze entnehmen wir die Bezeichnungen x und x':
x:
Abstand vom Objekt-Brennpunkt F zum Dingpunkt P.
x = FP
x':
Abstand vom bildseitigen Brennpunkt F' zum Bildpunkt P'.
x' = F' P'
Wir erkennen anhand der untenstehenden Skizze die Zusammenhänge
x = a− f ,
d.h.
a = x+ f .
Ebenso gilt
x' = a' - f',
d.h.
a' = x' + f'.
Seite 75
S
P
F
x
C
F'
x'
f'
f
P'
a'
a
Zur Herleitung der Newton-Formeln gehen wir von der Gauss-Formel aus:
A' = A + D,
also
n' n
= +D ,
a' a
d.h.
n'
n
=
+D .
x'+ f ' x + f
(
)
(
)
Diese Gleichung erweitern wir mit x + f ⋅ ( x' + f ') :
(
)
n'⋅ x + f = n ⋅ ( x'+ f ')+ D ⋅ x + f ⋅ ( x'+ f ') .
Nun müssen sämtliche Klammern ausmultipliziert werden:
(
)
n'⋅ x+n'⋅ f = n ⋅ x'+n ⋅ f '+ D ⋅ x ⋅ x'+ x ⋅ f '+ x'⋅ f + f ⋅ f ' .
Bevor die letzte Klammer ausmultipliziert werden kann, setzen wir
D = −
n
f
und
D =
n'
f'
ein. Damit wird diese Gleichung zu
n' x+n' f = nx'+nf '−
n
n'
n
n'
xx'+ xf '− x' f + f f ' ,
f'
f'
f
f
d.h.
n' x'+n' f = nx'+nf '−
n
xx'+ n' x − nx'+ n' f .
f
Nun können gleiche Ausdrücke durch Subtraktion auf beiden Seiten oder weil sie sich zu Null ergänzen weggebracht werden:
0 = nf '−
Erweitert man diese Gleichung mit 1/n, so ergibt dies
n
xx' .
f
Seite 76
xx ' = f f ' .
Den Abbildungsmaßstab ß' bestimmen wir ebenfalls über die im Zusammenhang mit der Gauss-Formel gefundene Bildgrössenformel
n
n ⋅ ( x '+ f ')
y'
A
n⋅a'
=
= a =
=
β' =
.
n'
y
A'
n⋅a
n⋅ x + f
a'
(
)
In diese Gleichung können wir mit der oben hergeleiteten Newton-Formel
x'=
f f'
x
x=
f f'
x'
oder
einsetzen. Dies ergibt im ersten Falle
⎛ ff'
+f
n⋅⎜
x
n ⋅ ( x '+ f ')
⎝
=
β' =
n '⋅ x + f
n '⋅ x + f
(
)
(
)
⎞
⎛ f
⎞
⎛ f
⎞
' ⎟ n ⋅ f ' ⎜ + 1 ⎟ n ⋅ f ' ⎜ + 1⎟ ⋅ x
⎠ =
⎝x ⎠ =
⎝ x ⎠ = n⋅ f ' f + x = n⋅ f ' .
n '⋅ x
n '⋅ x + f
n '⋅ x + f ⋅ x
n '⋅ x + f ⋅ x
(
)
(
)
(
(
)
)
Erweitern des zweiten Bruches mit x' ergibt:
β' =
n ⋅ ( x '+ f ')
(
n '⋅ x + f
)
=
n ⋅ ( x '+ f ')
⎛ff'
n '⋅ ⎜
+
⎝ x'
⎞
f⎟
⎠
=
n ⋅ ( x '+ 1)
n ⋅ ( x '+ f ') ⋅ x '
n ⋅ f ' ( x '+ f ') ⋅ x '
n⋅ x' .
=
=
=
⎛f' ⎞
⎛f' ⎞
n '⋅ f ⋅ ( x + f ')
n '⋅ f
n '⋅ f ⎜ + 1⎟ n '⋅ f ⋅ ⎜ + 1⎟ ⋅ x '
⎝ x' ⎠
⎝ x' ⎠
Wir können hier als letztes die Beziehung zwischen den Brennweiten
D =−
n n'
=
f f'
verwenden und erhalten:
β '=−
f
x
β '=−
x'
f'
In gleicher Weise können wir die Beziehung
herleiten.
.
Seite 77
4.6 Die Lagrange-Gleichung
Aus der Gauss- und aus der Bildgrössenformel lässt sich eine einfache Formel
herleiten, die einen Zusammenhang zwischen Objekt- und Bildgrösse, objektseitigem und bildseitigem Öffnungswinkel und objekt- und bildseitiger Brechzahl beschreibt. Um diesen Zusammenhang zu verstehen, betrachten wir in der
untenstehenden Skizze den Gegenstand y, der von einer brechenden Kugelfläche abgebildet werde.
Die brechende Kugelfläche trenne Medien mit den Brechzahlen n und n'. Vom
Fusspunkt des Objektes (auf der optischen Achse) gehe ein Lichtstrahl auf die
Kugelfläche zu. Den Winkel zwischen diesem Strahl und der optischen Achse,
den Öffnungswinkel, nennen wir u. Dieser Strahl treffe die Kugelfläche in einer
Entfernung (höhe) h von der optischen Achse. Für die folgende Beweisführung
sind auch noch die Objekt- und die Bildweite (a und a') eingezeichnet.
Die Lagrange-Gleichung lautet:
n ⋅ u ⋅ y = n' ⋅u' ⋅y '
Der Beweis dieses Zusammenhanges ist einfach, wenn man von der Bildgrössenformel ausgeht:
A ⋅ y = A ' ⋅y '
Nun setzen wir A =
n'
n
und A' = ein und multiplizieren die ganze Gleichung mit h. Daraus ergibt sich:
a'
a
h
h
n y = n' y '
a
a'
Im Verhältnis h/a erkennen wir den Tangens des Winkels u (tan(u)), den wir in der paraxialen Näherung mit
dem Winkel u im Bogenmass gleichsetzen. Ebenso ersetzen wir das Verhältnis h/a' durch den Winkel u'. Damit
ergibt sich unmittelbar der Zusammenhang nuy = n'u'y', was zu zeigen war.
Der Zusammenhang wurde für eine einzelne brechende Kugelfläche hergeleitet; es liegt aber auf der
Hand, dass dieser auch für eine ganze Folge von brechenden Kugelflächen gilt; er beschreibt somit einen Zu-
Seite 78
sammenhang zwischen Objektgrösse, objektseitigem Öffnungswinkel und objektseitiger Brechzahl sowie den
zugehörigen bildseitigen Grössen.
Die Lagrange-Gleichung wird vielerorts Hilfsmittel für die sogenannte paraxiale Strahldurchrechnung
(ray-tracing) verwendet. Unter Strahldurchrechnung versteht man denjenigen Vorgang, bei dem objektseitig ein
bestimmter Strahl angenommen wird (indem z.B. der Öffnungswinkel u und die Einfallshöhe h auf der ersten
Kugelfläche festgelegt werden) und dann dessen Verlauf durch ein ganzes System hindurch berechnet wird. Hat
man nun den Verlauf eines solchen Strahles im Bildraum (u'), so ergibt sich automatisch die Bildgrösse (y').
Dies verkürzt den Arbeitsaufwand um einen Faktor 2.
Die Lagrange-Formel ist Ausdruck der Energieerhaltung. So kann man sagen: Bei der absorptionsfreien optischen Abbildung im paraxialen Raum bleibt die Lichtmenge erhalten. In der Photometrie werden wir
zeigen, dass bei der paraxialen Abbildung die Leuchtdichte und der Lichtstrom erhalten bleiben. Um dies herzuleiten, nimmt man die (paraxiale) Lagrange-Gleichung als Ausgangspunkt.
4.7 Gaussformel und Länge des Lichtweges
Im folgenden Abschnitt wollen wir noch kurz die Funktionsweise von brechenden Kugelflächen, Linsen etc. erläutern. Dazu untersuchen wir die Länge des
optischen Lichtweges bei der Abbildung eines Achsenobjektpunktes mittels verschiedener Strahlen. Dazu rufen wir uns in Erinnerung, was unter dem Begriff
"optischer Lichtweg" (im Gegensatz zum "geometrischen Lichtweg") zu verstehen ist:
l =
∑ n Δs
i
i
i
Dabei bezeichnet man mit Δsi die verschiedenen geometrischen Streckenabschnitte, die das Licht auf seinem Weg zurücklegt und mit ni die auf diesem
Weg wirksamen Brechzahlen. Eine brauchbare optische Abbildung des Achsenobjektpunktes P kommt nur dann zustande, wenn der Lichtweg verschiedener
Strahlen gleich gross ist; ansonsten würde sich im Punkt P' eine Abschwächung
ergeben.
Im Zusammenhang mit den Abbildungsfehlern spricht man gelegentlich auch vom sogenannten " λ / 4 -Kriterium nach Rayleigh". Ist der Wegunterschied bei der Abbildung verschiedener Strahlen an optischen Flächen nicht grösser als eine Viertelwellenlänge, so kann sie als optisch "gut" bezeichnet werden. Ist dies gewährleistet, so ist die optische Abbildung so gut, dass nur noch Beugungseffekte die Abbildungsqualität beeinflussen. Man spricht dann von sogenannter beugungsbegrenzter Optik.
Die Funktionsweise einer brechenden Kugelfläche im Zusammenhang mit der Länge des
Lichtweges ist in der folgenden Graphik dargestellt:
Seite 79
Der Vollständigkeit halber fügen wir noch eine Herleitung der Gauss-Formel aus der Bedingung gleicher
Lichtwege an. Dazu verwenden wir immer wieder eine mathematische Näherungsformel:
1+ x ≈ 1 +
1
x
2
x << 1
Diese Näherung gilt nur, falls x betragsmässig sehr viel kleiner als 1 ist. Die Näherung ist umso genauer, desto
kleiner |x| ist.
Daraus ergibt sich als erstes ein vereinfachter Zusammenhang zwischen Zonenhöhe h und Sehnenabschnitt x bei einer Kugelfläche (vgl. untenstehende Skizze !):
⎛ h2 ⎞
⎛ 1 h2 ⎞ 1 h2
h2
x = r − r 2 − h 2 = r − r 2 ⎜1 − 2 ⎟ = r − r 1 − 2 ≈ r − r ⎜1 −
⎟=
r ⎠
r
⎝
⎝ 2 r2 ⎠ 2 r
Für die allererste Beziehung wurde der Satz von Pythagoras angewendet. Nun betrachten wir die Abbildung an
der brechenden Kugelfläche. Die Verhältnisse und die Bezeichnungen sind aus der untenstehenden Figur ersichtlich. Der Lichtweg des Strahles, der entlang der optischen Achse verläuft, ist:
l = n'a' - na.
Seite 80
Entsprechend ist der Lichtweg des gebrochenen Lichtstrahles:
~:
Nun entwickeln wir a
%l = n' a% − na% .
1h
⎛ a'⎞
a~ = (a '− x ) 2 + h 2 ≈ a ' 2 −2a ' x + h 2 ≈ a ' 2 −2a '
+ h 2 = a' 2 +h 2 ⎜1 − ⎟
⎝
r⎠
2 r
2
⎡ h 2 ⎛ a' ⎞ ⎤
⎡ 1 h 2 ⎛ a'⎞ ⎤
⎛ a' ⎞
a~ ≈ a ' 2 + h 2 ⎜ 1 − ⎟ = a ' 2 ⎢1 + 2 ⎜ 1 − ⎟ ⎥ ≈ a ' ⎢1 +
⎟
2 ⎜1 −
⎝
r⎠
r ⎠⎦
r ⎠ ⎥⎦
⎣ a' ⎝
⎣ 2 a' ⎝
⎡ 1 h 2 ⎛ a'⎞ ⎤
1 h2 1 h2
1
=
+
−
a~ ≈ a ' ⎢1 +
−
a
'
⎜
⎟
2
2 a' 2 r
r ⎠ ⎥⎦
⎣ 2 a' ⎝
Verlangen wir gleiche Lichtwege, so ergibt sich:
%l = n' a% − na% = n' a' − na = l
also
n'( a% ' − a') = n( a% − a)
~ können wir nun die linke Seite dieser Gleichung wie folgt darstellen:
Aus der eben hergeleiteten Formel für a
⎛⎡
⎞ 1 ⎛ n' n' ⎞
1 h2 1 h2 ⎤
n' (a~ '− a ') = n' ⎜ ⎢a '+
−
− a '⎟ = h 2 ⎜ − ⎟
⎥
2 a' 2 r ⎦
⎝⎣
⎠ 2 ⎝ a' r ⎠
Auf die gleiche Weise leiten wir die rechte Seite der Gleichung her. Dies ergibt:
1 ⎛ n n⎞
n(a~ − a ) = h 2 ⎜ − ⎟
2 ⎝a r⎠
Setzen wir die ursprüngliche Gleichung nun zusammen, so ergibt sich nach streichen des gemeinsamen Faktors
1 2:
h
2
n' n'
n n
−
=
−
a' r
a r
Nach Umstellen dieser Formel folgt daraus
n'
n n' − n ,
= +
r
a'
a
d.h. die Gauss-Formel, qed.
Seite 81
4.8 Zusammenfassung brechende Kugelfläche
Gauss-Formel:
Formeln:
A' = A + D
A =
Bildgrössenformel:
n
a
A' =
n'
a'
D =
n' − n
r
y·A = y'·A'
Newton-Formeln:
x·x' = f ⋅ f '
Brennweitenbeziehungen:
f' + f = r
Abbildung von ∞:
y ' = f ⋅ tan σ
Abbildung nach ∞:
y = f ' ⋅ tan σ '
f
x
n
f = −
D
β' = −
β' = −
f' =
x'
f'
n'
D
Konstruktionen:
objektseitiger Brennpunktstrahl → bildseitiger Achsenparallelstrahl
Mittelpunktstrahl → Mittelpunktstrahl
objektseitiger Achsenparallelstrahl → bildseitiger Brennpunktstrahl
Objektseitig parallele Strahlen schneiden sich nach der Brechung in der Brennebene
Nach der Brechung parallel verlaufende Strahlen gehen objektseitig aus ein und
demselben Punkt in der Brennebene hervor.
Seite 82
5 Abbildungsfälle
In diesem Abschnitt werden alle Abbildungsfälle, sowohl für Plus- wie auch für
Minusflächen, systematisch betrachtet und untersucht. Das Vervollständigen
dieses Teils des Skripts ist als Übung gedacht.
5.1 Plusflächen
a=3f :
S
F
a’ = . . . . . .
F'
C
β' = . . . . . . . .
a=2f :
S
F
a’ = . . . . . .
F'
C
β' = . . . . . . . .
a = 1.5 f :
S
F
a’ = . . . . . .
C
β' = . . . . . . . .
F'
Seite 83
a= f :
S
F
a’ = . . . . . .
F'
C
β' = . . . . . . . .
a = 0.5 f :
S
F
a’ = . . . . . .
F'
C
β' = . . . . . . . .
a = 0:
S
F
a’ = . . . . . .
C
β' = . . . . . . . .
F'
Seite 84
a = -0.5 f :
S
F
a’ = . . . . . .
F'
C
β' = . . . . . . . .
a=-f :
S
F
a’ = . . . . . .
F'
C
β' = . . . . . . . .
a = -2 f :
S
F
a’ = . . . . . .
C
β' = . . . . . . . .
F'
Seite 85
a = ∞:
S
F
a’ = . . . . . .
C
F'
β' = . . . . . . . .
5.1.1 Tabelle Abbildungsfälle Plusflächen
Abbildungsfall
Bild aufrecht /
verkehrt
Bild reell /
virtuell
Abbildungsmassstab
a=3f
a=2f
a = 1.5 f
a= f
a = 0.5 f
a=0
a = -0.5 f
a=-f
a = -2 f
a= ∞
5.1.2 Skizze Abbildungsfälle Plusflächen
Seite 86
5.2 Abbildungsfälle bei Minusflächen
a = -3 f :
S
F'
a’ = . . . . . .
F
C
β' = . . . . . . . .
a = -2 f :
S
F'
a’ = . . . . . .
F
C
β' = . . . . . . . .
a=-f :
S
F'
a’ = . . . . . .
C
β' = . . . . . . . .
F
Seite 87
a = -0.5 f :
S
F'
a’ = . . . . . .
F
C
β' = . . . . . . . .
a = 0:
S
F'
a’ = . . . . . .
F
C
β' = . . . . . . . .
a = 0.5 f :
S
F'
a’ = . . . . . .
C
β' = . . . . . . . .
F
Seite 88
a= f :
S
F'
a’ = . . . . . .
F
C
β' = . . . . . . . .
a = 1.5 f :
S
F'
a’ = . . . . . .
F
C
β' = . . . . . . . .
a=2f :
S
F'
a’ = . . . . . .
C
β' = . . . . . . . .
F
Seite 89
a=3f :
S
F'
a’ = . . . . . .
F
C
β' = . . . . . . . .
a = ∞:
S
F'
a’ = . . . . . .
C
F
β' = . . . . . . . .
5.2.1 Tabelle Abbildungsfälle Minusflächen
Abbildungsfall
a = -3 f
a = -2 f
a=-f
a = -0.5 f
a=0
a = 0.5 f
a= f
a = 1.5 f
a=2f
a=3f
a= ∞
Bild aufrecht /
verkehrt
Bild reell /
virtuell
Abbildungsmassstab
Seite 90
5.2.2 Skizze Abbildungsfälle bei Minusflächen
6 Dicke Linsen
Linsen weisen zwei Kugelflächen auf. Deshalb liegt es nahe, Linsen als
Kombination von sphärischen Flächen aufzufassen. Es wird sich als ein gangbarer Weg erweisen, dies tatsächlich zu tun. Allerdings ist es umständlich, immer
zwei Abbildungen an den beiden Kugelflächen zu konstruieren oder zu errechnen. Deshalb werden wir bald das Konzept der Systemhauptebenen und der
Systembrennpunkte einführen. In diesem Zusammenhang erweist sich die
Gullstrandformel als wichtigstes Instrument. Wir geben dann einen Überblick
über den Einfluss der Form einer Linse auf die Lage der Hauptebenen und diskutieren schliesslich das Konzept der "dünnen Linsen".
6.1 Abbildung von oder nach Unendlich bei dicken Linsen
Bei der brechenden Kugelfläche haben wir für die Abbildung von -∞ folgenden
Zusammenhang gefunden:
y ' = f ⋅ tan σ .
Ebenso gilt zwischen der Gegenstandsgrösse y, der bildseitigen Brennweite f' und dem Winkel σ, unter welchem die Strahlen die brechende Kugelfläche verlassen, der Zusammenhang:
y = f '⋅ tan σ ' .
Die entscheidende Idee bei der Behandlung der dicken Linsen besteht nun
darin, diese Formeln auf das aus zwei oder mehreren Kugelflächen bestehende
System auszudehnen. y' ist dann das Systembild und f ist dann die dingseitige
Systembrennweite. Anschaulich können wir uns die Angelegenheit anhand der
Seite 91
untenstehenden Skizze vorstellen.
Ein weit entfernter Gegenstand erscheint unter einem Winkel σ. Wir verfolgen den dingseitigen Brennstrahl und Mittelpunktstrahl bei der ersten Kugelfläche. Das Bild, das die erste Kugelfläche entwirft, entsteht in der bildseitigen
Brennebene der ersten Kugelfläche. Es dient als reeller oder meist virtueller Gegenstand für die zweite Kugelfläche. Verfolgen wir den Achsenparallelstrahl,
der aus dem dingseitigen Brennstrahl hervorging, so bemerken wir, dass dieser
durch die Brechung an der zweiten Kugelfläche in den bildseitigen Brennstrahl
übergeht. Es ist nur noch der Verlauf des an der ersten Fläche ungebrochenen
Mittelpunktstrahles zu bestimmen.
Für die Berechnung können wir verwenden, dass
y 2 = y1' = f1 ⋅ tanσ
gilt. Fassen wir das Bild y' als Gegenstand für die Abbildung an der zweiten Kugelfläche auf, so finden wir:
a2 = f1 ' − d .
Daraus berechnen wir A2 :
A2 =
Die Gauss-Formel ergibt:
A 2 ' = A 2 + D2 =
n2
n2
=
a2
f1' − d .
D 2 ( f1'−d)
n2 + D 2 ( f1'−d)
n2
+
=
f1'−d
f1'−d
f1'−d
.
Die Bildgrössenformel, angewandt auf die zweite Fläche, ergibt:
n2
A
f1'−d
n2
y2 ' = y2 2 = y2
= y2
A2'
n2 + D 2 ( f1'−d)
n2 + D 2 ( f1'−d)
f1'−d
.
D.h.
y2 ' = y2
1
⎛f' d⎞
1+ D2 ⎜ 1 − ⎟
⎝ n2 n2 ⎠
Nun setzen wir in obige Gleichung y2 = y1 ' = f 1 tan σ ein:
Seite 92
y' = y 2 ' = f1
1
tan σ
⎛ f1' d ⎞
1+ D 2 ⎜ − ⎟
⎝ n2 n2 ⎠
.
Fassen wir die beiden Kugelflächen als System auf, so muss gelten:
y' = f ⋅ tan σ .
Damit dies erfüllt ist, müssen wir
f = f1
1
⎛f' d⎞
1+ D2 ⎜ 1 − ⎟
⎝ n2 n2 ⎠
setzen. Damit erhalten wir für den Brechwert D des Systems:
D = −
n
= −
f
f1
⎛ f ' d ⎞ ⎪⎫
n
n ⎪⎧
= − 1 ⎨1 + D2 ⎜ 1 − ⎟ ⎬
1
f1 ⎩⎪
⎝ n2 n2 ⎠ ⎭⎪
⎛ f ' d ⎞
1 + D2 ⎜ 1 − ⎟
⎝ n2 n2 ⎠
Verwenden wir die Zusammenhänge
D1 = −
n1
n
= 2
f1' ,
f1
so wird daraus
D = −
⎧
⎛ 1
⎛ f1' d ⎞ ⎫
n1 ⎧
d ⎞⎫
⎨1 + D 2 ⎜ − ⎟ ⎬ = D1 ⎨1 + D 2 ⎜ − ⎟ ⎬
⎝ D1 n2 ⎠ ⎭
⎝ n2 n2 ⎠ ⎭
f1 ⎩
⎩
und nach Ausmultiplizieren der runden und der geschweiften Klammer:
⎧
⎛ 1
d ⎞⎫
d
D = D1 ⎨1 + D 2 ⎜ − ⎟ ⎬ = D1 + D 2 −
DD
n2 1 2
⎝ D1 n2 ⎠ ⎭
⎩
.
Mit der Definition der reduzierten Mittendicke
δ =
d
n2
ergibt sich damit die bekannte Gullstrand-Formel:
D = D1 + D 2 −
d
D1D 2 = D1 + D 2 − δ ⋅ D1D 2
n2
.
Diese Gullstrand-Formel macht natürlich nur dann Sinn, wenn der umgekehrte Weg der Herleitung, nämlich
über die Beziehung
y = f '⋅ tan σ '
auch möglich ist und das gleiche Resultat ergibt. Dies wollen wir als nächstes tun. Wir überlegen uns, dass für
Gegenstände, die vom System nach Unendlich abgebildet werden, die Beziehung
y2 = f 2 '⋅ tan σ '
gilt. Die Gegenstandsweite a2 ist gleich der dingseitigen Brennweite f 2
tenstehenden Skizze entnehmen wir:
a1 ' = d + f 2 .
der zweiten Kugelfläche. Der un-
Seite 93
Nun müssen wir die Gauss-Formel rückwärts anwenden
A1 = A1 ' − D1 ,
was
A1 =
D1 (d + f 2 )
n2
n2
n2
− D1 =
− D1 =
−
a1 '
d + f2
d + f2
d + f2
ergibt. Die Bildgrössenformel
y1 A1 = y1 ' A1 '
muss nach a1 aufgelöst werden:
y1 = y1 '
n2
d + f2
A1 '
= y1 '
A1
n2 − D1 d + f 2
(
= y1 '
)
n2
(
n2 − D1 d + f 2
)
.
d + f2
Nun setzen wir
y1 ' = y2 = f 2 ' tan σ '
ein
y1 = y1 '
n2
n2 − D1 (d + f 2 )
und verwenden, dass
= f2 '
n2
n2 − D1 (d + f 2 )
tan σ '
y = y1 = f '⋅ tan σ '
gelten muss. Damit erhalten wir für f':
f ' = f2 '
n2
n2 − D1 (d + f 2 )
und daraus über
D =
n
n'
= 3 =
f'
f'
f2 '
n3
n2
(
n2 − D1 d + f 2
=
)
(
Der erste Faktor ist gleich D2 . Den zweiten Faktor kürzen wir mit n2 und erhalten
⎛
⎧d
f ⎫⎞
D = D2 ⎜ 1 − D1 ⎨ + 2 ⎬⎟ .
⎝
⎩ n2 n2 ⎭⎠
Wieder müssen wir ausmultiplizieren
)
n3 n2 − D1 d + f 2
.
⋅
f2 '
n2
Seite 94
⎛
⎧d
f ⎫⎞
d
1
D = D2 ⎜ 1 − D1 ⎨ + 2 ⎬⎟ = D2 − D1 D2
,
+ D2 D1
n2
D2
⎝
⎩ n2 n2 ⎭⎠
d.h.
D = D1 + D2 − δ ⋅ D1 D2 . Q.e.d.
Die Lage der Hauptebenen ergibt sich durch eine einfache Rechnung. Die bildseitige Brennebene liegt
dort, wo das Bild y' bei der Abbildung von Unendlich liegt. Dies haben wir weiter oben schon beinahe fertig
berechnet:
A2 ' =
d.h.
a2 ' =
n2 + D2 ( f 1 '− d )
,
f 1 '− d
n3 ( f 1 '− d )
n3
.
=
A2 '
n2 + D2 ( f 1 '− d )
Dies kann man noch etwas eleganter darstellen, wenn man den Bruch auf der rechten Seite mit n2 kürzt und
anschliessend mit
D1 erweitert:
a2 ' = a ' =
2
n3 ( f 1 '− d )
n2 + D2 ( f 1 '− d )
⎛ 1
⎞
⎛f ' d⎞
n3 ⎜
−δ⎟
n3 ⎜ 1 − ⎟
⎝ D1
⎠
⎝ n2 n2 ⎠
,
=
=
⎞
⎛ 1
⎛ f1 ' d ⎞
1 + D2 ⎜ − ⎟
1 + D2 ⎜
−δ⎟
⎠
⎝ D1
⎝ n2 n2 ⎠
d.h.
⎛ 1
⎞
− δ⎟
n3 ⎜
n3 (1 − δ ⋅ D1 )
n3 (1 − δ ⋅ D1 )
⎝ D1
⎠
=
=
a2 ' =
.
D1 + D2 − δ ⋅ D1 D2
D
⎛ 1
⎞
1 + D2 ⎜
− δ⎟
⎝ D1
⎠
Davon müssen wir f' subtrahieren, um die Strecke von der zweiten Scheitelebene S2 bis zur Hauptebene H' zu
erhalten:
h' = a2 ' − f ' =
n3 (1− δ ⋅ D1) n3
n3 (1− δ ⋅ D1) − n3
− n3δ ⋅ D1
−
=
=
D
D
D
D
,
d.h.
h' = − n3δ
D1
D
Auf die gleiche Weise überlegen wir uns, dass
h = n1δ
gilt.
D2
D
.
Seite 95
6.2 Zusammenstellung "Dicke Linsen"
Im folgenden Abschnitt geben wir eine Zusammenstellung der wichtigsten Eigenschaften dicker Linsen und deren Berechnung.
A Bezeichnungen "Dicke Linse"
Die folgenden Bezeichnungen beziehen sich auf die Darstellung auf der folgenden Seite.
n1, n2 , n3 :
Brechzahlen der Medien vor der Linse, der Linse, hinter der Linse
r1, r2 :
objekt-, bildseitiger Krümmungsradius der Linse
S1, S2 :
objekt-, bildseitiger Scheitelpunkt (Scheitelebene) der Linse
d:
Mittendicke der Linse
F, F ':
objekt-, bildseitiger Brennpunkt (Brennebene)
f , f ':
objekt-, bildseitige Brennweite
H,H':
objekt-, bildseitige Hauptebene (Hauptpunkt)
h:
Abstand objektseitige Scheitelebene - objektseitige Hauptebene
h':
Abstand bildseitige Scheitelebene - bildseitige Hauptebene
ha :
Hauptebenenabstand
s,s':
objektseitige, bildseitige fokale Schnittweite
K,K':
objekt-, bildseitiger Knotenpunkt
k:
Abstand objektseitiger Hauptpunkt - objektseitiger Knotenpunkt
k':
Abstand bildseitiger Hauptpunkt - bildseitiger Hauptpunkt.
B Gesamtbrechwert aus den Flächenbrechwerten
Es gilt die "berühmte" Gullstrandformel:
D = D1 + D 2 − δ ⋅ D1D 2
mit folgenden Bedeutungen:
D1 , D2 :
Flächenbrechwerte der 1. und 2. brechenden Kugelfläche.
δ=
d
:
n2
reduzierte Mittendicke (=Abstand der beiden Scheitelpunkte dividiert durch die Brechzahl des Linsenmaterials).
d:
Mittendicke der Linse = Abstand der beiden Scheitelpunkte
Seite 96
Seite 97
C Flächenbrechwerte
D1 =
n1 :
n2
r1 :
Brechzahl des Mediums vor der ersten Fläche.
Brechzahl des Linsenmediums.
Krümmungsradius der ersten Kugelfläche.
D2 =
n3 :
r2 :
n2 − n1
r1
n3 − n2
r2
Brechzahl des Mediums nach der zweiten Fläche.
Krümmungsradius der zweiten Kugelfläche.
D Brennweiten
f = −
n1
n
= −
D
D
f' =
n3
n'
=
D
D
E Hauptebenenlage (Abstände von den Scheitelpunkten)
h = n1δ
h:
h':
D2
D
h' = − n 3 δ
Abstand der objektseitigen Hauptebene H von der objektseitigen
Scheitelebene S1
Abstand der bildseitigen Hauptebene H' von der bildseitigen Scheitelebene S 2
F Hauptebenenabstand
ha = d + h' - h
ha :
D1
D
Abstand der beiden Hauptebenen HH' .
G Lage der Knotenpunkte
Seite 98
k = k' = f + f'
k:
k':
Abstand des objektseitigen Knotenpunktes K von der Hauptebene
H.
Abstand des bildseitigen Knotenpunktes K' von der Hauptebene
H'.
H Fokale Schnittweiten und Scheitelbrechwerte
Es ist zu beachten, dass die Scheitelbrechwerte nicht in allen Lehrbüchern
gleich definiert sind. Wir wählen hier diejenige Definition, die für Linsen mit
positivem Gesamtbrechwert auch einen positiven Scheitelbrechwert ergibt.
s = h+f
S = −
s,s':
S,S':
n1
n
= −
s
s
s ' = h' + f ' .
S' =
n3
n'
=
.
s'
s'
Objekt-, bildseitige fokale Schnittweite.
Objekt-, bildseitiger Scheitelbrechwert.
Die Definition von S ist, wie bereits erwähnt, nicht in allen Büchern gleich
{z.B. Roth}. Nehmen wir eine Linse in Luft mit D=10dpt und h=3mm, so haben
wir f = -10cm und S = +10.3 dpt, also einen objektseitigen Scheitelbrechwert,
der das gleiche Vorzeichen wie der Gesamtbrechwert aufweist. Würde man statt
dessen wie in anderen Büchern S = n /s definieren, so hätte man S = -10.3 dpt,
also einen negativen objektseitigen Scheitelbrechwert.
Setzt man f = −
n1
D
und h = n1δ 2 in den Ausdruck für s bzw. S und entspreD
D
chend für s' und S' ein, so erhält man:
s = −
S =
n1
(1 − δ ⋅ D 2 )
D
D
1 − δ ⋅ D2
s' =
n3
( 1 − δ ⋅ D1 )
D
S' =
D
1 − δ ⋅ D1
Seite 99
6.3 Spezialfälle (Aufgaben)
1.
Symmetrische Dicke Linse in einheitlichem Medium:
Man berechne algebraisch den Gesamtbrechwert, Brennweiten, Hauptebenenlagen
(inkl. Abstand) und Knotenpunkte einer symmetrischen dicken Linse, die sich in einem einheitlichen Medium (vor und hinter der Linse das gleiche Medium) befindet.
Man verwende dabei folgende Abkürzungen:
nu : Brechzahl des umbegenden Mediums.
nL : Brechungsindex des Linsenmaterials.
r: Krümmungsradius der vorderen Fläche (r1 = −r2 = r ).
Veranschaulichen Sie das Ergebnis Ihrer Berechnungen mit einer Prinzipskizze, die
die wesentlichen Resultate enthält. Man zeige auch, dass für Linsen, deren Mittendicke wesentlich geringer als der Krümmungsradius ist, der Hauptebenenabstand ein
Drittel der Mittendicke beträgt.
2.
Konkavkonvexe Linse mit gleichen Krümmungsradien
Man berechne algebraisch den Gesamtbrechwert, Brennweiten, Hauptebenenlagen
(inkl. Abstand) und Knotenpunkte einer konkavkonvexen dicken Linse, die sich in
einem einheitlichen Medium (vor und hinter der Linse das gleiche Medium) befindet. Man verwende dabei folgende Abkürzungen:
nu : Brechzahl des umbegenden Mediums.
nL : Brechungsindex des Linsenmaterials.
r: Krümmungsradius der vorderen Fläche (r1 = r2 = r ).
die wesentlichen Resultate wiedergibt.
3.
Vollkugel in einheitlichem Medium
Mit den Ergebnissen der Aufgabe 1 berechne man die Eigenschaften einer Vollkugel
in einheitlichem Umgebungsmedium.
die wesentlichen Resultate veranschaulicht.
4.
Vollkugel in verschiedenen Medien
Man zeige algebraisch, dass die Hauptebenen einer Vollkugel immer den Abstand 0
aufweisen.
5.
Konzentrische Linse
Bestimmen Sie die Gesamtbrechwert D, die Brennweiten f und f', die Hauptebenenlage h und h' einer konzentrischen Linse in einheitlichem Umgebungsmedium. Verwenden Sie folgende Vereinfachungen:
Mittendicke: d,
r1 = r + d, r2 = r , n1 = n3 = nU , n2 = nL
6.
Afokale Linse in einheitlichem Umgebungsmedium
Eine Linse in einheitlichem Umgebungsmedium soll afokal sein. Bestimmen Sie, welche Bedingungen die Radien r1 , r2 und die Mittendicke d erfüllen müssen.
Seite 100
6.4 Aufgaben "dicke Linsen ff"
1.
Von einer dicken Linse sind folgende Daten bekannt:
r1 = 8.757cm, r2 = -8.757cm n1 = n3 = 1.0, n2 = 1.9, d = 1.0cm.
Berechnen Sie D1,D 2 ,D, h, h' und ha .
2.
r1 = 5.181cm, r2 = -31.089cm n1 = n3 = 1.0, n2 = 1.9, d = 1.0cm.
3.
r1 = 6.588cm, r2 = -13.176cm n1 = n3 = 1.0, n2 = 1.9, d = 1.0cm.
4.
r1 = 4.5cm, r2 = ∞, n1 = n3 = 1.0, n2 = 1.9, d = 1.0cm.
5.
r1 = 2.652cm, r2 = 5.304cm n1 = n3 = 1.0, n2 = 1.9, d = 1.0cm.
6.
Zeichnen Sie die Linsen der Aufgaben 1 bis 5 im Maßstab 1:1 auf ein A4-Blatt untereinander. Die
Zeichnung ist so anzufertigen, dass die Scheitelebenen direkt untereinander liegen. Im weiteren sind
die Hauptebenen und die Systembrennpunkte einzuzeichnen. Welche Schlussfolgerungen ergeben
sich?
7.
r1 = -9.231cm, r2 = 9.231cm n1 = n3 = 1.0, n2 = 1.9, d = 1.0cm.
8.
r1 = -6.904cm, r2 = 13.809cm n1 = n3 = 1.0, n2 = 1.9, d = 1.0cm.
9.
r1 = -4.5cm, r2 = ∞, n1 = n3 = 1.0, n2 = 1.9, d = 1.0cm.
10.
r1 = -1.572cm, r2 = -3.144cm n1 = n3 = 1.0, n2 = 1.9, d = 1.0cm.
11.
Zeichnen Sie die Linsen der Aufgaben 7 bis 10 im Maßstab 1:1 auf ein A4-Blatt untereinander. Die
Zeichnung ist so anzufertigen, dass die Scheitelebenen direkt untereinander liegen. Im Weiteren sind
die Hauptebenen und die Systembrennpunkte einzuzeichnen. Welche Schlussfolgerungen ergeben
sich?
6.5 Aufgaben "dicke Linsen fff"
In den folgenden Zeichnungen ist die Lage der Hauptebenen zu skizzieren:
Seite 101
Seite 102
6.6 Konstruktionsprinzipien bei dicken Linsen
und Linsensystemen
Bei allen Konstruktionen werden grundsätzlich zwei Prinzipien ausgenutzt:
Strahlen, die vor der Brechung an einer Linse parallel zueinander verlaufen, schneiden sich nach der Brechung an der Linse in einem Punkt
in der Brennebene.
Strahlen, die durch einen Punkt in der Brennebene gehen, verlaufen
nach der Brechung durch die Linse parallel zueinander.
Wir können noch zwei Spezialfälle der oben beschriebenen allgemeinen Prinzipien erwähnen:
Achsenparallele Strahlen schneiden sich nach der Brechung an der
Linse im Brennpunkt.
Strahlen, die durch den Brennpunkt gehen, verlaufen nach der Brechung an der Linse achsenparallel.
Seite 103
Bei den in der Optik anfallenden Konstruktionen können wir grundsätzlich zwei
verschiedene Typen von Aufgaben unterscheiden, wobei jeder Typ grundsätzlich auf den anderen Typ zurückgeführt werden kann.
Wir besprechen nun der Reihe nach diese Grundkonstruktionsaufgaben und geben dazu je mindestens ein Konstruktionsbeispiel.
6.6.1 Konstruktionsaufgabe Typ 1
Ein Punkt, der nicht auf der optischen Achse liegt, ist abzubilden.
Zur Konstruktion können wir nun drei Strahlen verwenden. Wir geben in der
folgenden Zusammenstellung an, wie die Strahlen benannt werden und in welchen Strahl sie durch die Brechung übergeführt werden:
Achsenparallelstrahl
→
durch den Objektpunkt
Brennpunktstrahl durch den
Bildpunkt
Brennpunktstrahl
→
durch den Bildpunkt
Knotenpunktstrahl
→
Knotenpunktstrahl
durch den Bildpunkt
Bei dicken Linsen oder Linsensystemen müssen wir berücksichtigen, dass alle
Lichtstrahlen zwischen den beiden Hauptebenen parallel zur optischen Achse
verlaufen. Im übrigen verläuft aber die Konstruktion genau gleich wie im Falle
dünner Linsen.
I.a. verwenden wir alle drei Strahlen zur Konstruktion, damit wir bei jedem
Konstruktionsschritt eine Kontrolle haben.
Die Konstruktionsaufgabe vom Typ 1 kann durch die freie Annahme zweier beliebiger Strahlen, die durch den abzubildenden Punkt verlaufen, auf die Konstruktionsaufgabe vom Typ 2 zurückgeführt werden.
Seite 104
Seite 105
Seite 106
6.6.2 Konstruktionsaufgabe Typ 2
Bei der Konstruktionsaufgabe vom Typ 2 ist ein Strahl abzubilden.
Hier nützen wir die anfangs erwähnten Prinzipien direkt aus. Wir betrachten zwei spezielle Strahlen, die zum abzubildenden Strahl parallel verlaufen:
a) paralleler Brennpunktstrahl
→
b) paralleler KnotenpunktstrahlL
→
Knotenpunktstrahl
Der abzubildende Strahl, der Achsenparallelstrahl und der Knotenpunktstrahl
schneiden sich in einem Punkt in der (Bild-) Brennebene.
Wir können uns auch vorstellen, der abzubildende Strahl gehe aus einem
Punkt aus der (Ding-) Brennebene hervor. Von diesem Schnittpunkt des abzubildenden Strahles mit der (Ding-) Brennebene können wir zwei spezielle Strahlen ziehen, die nach der Brechung an der Linse parallel zum abgebildeten Strahl
verlaufen:
a) Achsenparallelstrahl →
b) Knotenpunktstrahl
→
Brennpunktstrahl
Knotenpunktstrahl
Seite 107
Es ist zu beachten, dass zumindest bei Streulinsen die zweite Variante mit
speziellen Strahlen, die aus einem Punkt der Brennebene hervorgehen, zu sehr
unübersichtlichen Lösungen führt, wie man auch anhand der beigefügten Konstruktionbeispiele erkennen kann.
Auch hier müssen wir berücksichtigen, dass bei dicken Linsen und Linsensystemen sämtliche Strahlen zwischen den beiden Hauptebenen parallel zur
optischen Achse verlaufen.
Die Konstruktionsaufgabe vom Typ 2 kann auf die Konstruktionsaufgabe
vom Typ 1 zurückgeführt werden, indem ein beliebiger Punkt auf dem Strahl
abgebildet wird.
Seite 108
Spezielle Punkte und Strahlen
Müssen Punkte, die auf der optischen Achse liegen, abgebildet werden, so
muss die Konstruktionsaufgabe vom Typ 1 auf eine Konstruktionsaufgabe vom
Typ 2 zurückgeführt werden, wobei man zweckmässigerweise die optische Achse als eine der beiden abzubildenden Strahlen wählt (das Bild eines Objektpunktes auf der optischen Achse kommt durch die Abbildung wiederum auf die optische Achse zu liegen).
Eine weitere Möglichkeit für die Abbildung von Punkten, die auf der optischen Achse liegen, ist dadurch gegeben, dass man einen Punkt wählt, der in
der gleichen Entfernung von der Systemhauptebene liegt wie der abzubildende
Punkt. Das Bild dieses Punktes liegt in der gleichen Entfernung von der anderen
Hauptebene wie das Bild des abzubildenden Punktes.
Im Gegensatz zu den speziellen Punkten sind spezielle Strahlen nicht
komplizierter, sonder einfacher in der Handhabung: Sie können in der Regel
direkt abgebildet werden.
Seite 109
7 "Linsensysteme" - "Kombination von dicken Linsen"
In diesem Abschnitt fertigen wir eine Zusammenstellung der wichtigsten Formeln für die Berechnung der Eigenschaften einer Linsenkombination an. Wir
betrachten die drei grundsätzlich möglichen Fälle von Linsenkombinationen
und diskutieren den resultierenden Gesamtbrechwert und die Lage der Hauptebenen in Abhängigkeit des "Abstandes" der beiden Linsen (der Begriff "Abstand" wird noch näher diskutiert und erläutert).
Wir betrachten die Kombination zweier gleicher Pluslinsen in Luft und
die Bezeichnungen (die auch für die Kombinationen anderer Linsen gelten) zu
definieren (untenstehende Figur):
Seite 110
Gesamtbrechwert aus den Einzelbrechwerten
Es gilt - wie bei den dicken Linsen - die "berühmte" Gullstrandformel:
D=D1+D2 −δ ⋅ D1 ⋅ D2
mit folgenden Bedeutungen:
D1 ,D2 :
δ:
Brechwerte der 1. und 2. Linse.
reduzierter Abstand der beiden Linsen (=Abstand der bildseitigen
Hauptebene der ersten Linse und objektseitiger Hauptebene der
zweiten Linse, dividiert durch die Brechzahl des zwischen den Linsen liegenden Materials {n2 }). Es gilt also:
δ =
d
n2
Brennweiten
Die Brennweiten werden von den Hauptebenen der theoretischen Ersatzlinse
aus gemessen. n = n1 bezeichnet den Brechwert des Mediums vor der ersten
Linse, n' = n3 den Brechwert des Mediums hinter der zweiten Linse.
f = −
n
n
= − 1
D
D
f' =
n'
n
= 3
D
D
Lage der Hauptebenen
h wird von der objektseitigen Hauptebene H der ersten Linse, h' von der bildseitigen Hauptebene H' aus gemessen:
h = n1δ
D2
D
h' = − n 3 δ
D1
D
Abstand der Hauptebenen
ha = d + ha1 + ha2 + h' − h
Lage der Knotenpunkte
Seite 111
k = k' = f + f'
k:
k':
Abstand des objektseitigen Knotenpunktes von der Hauptebene H.
Abstand des bildseitigen Knotenpunktes von derHauptebene H' .
Bemerkung zu den Bezeichnungen:
Gelegentlich werden die Indizes 1, 2 angebracht, um anzudeuten, dass es sich
um Elemente der theoretischen Ersatzlinse handelt. So schreibt man z.B. D1,2 für
den Gesamtbrechwert einer Kombination von zwei Linsen. Diese Handhabung
wird sich aber spätestens bei der Kombination von drei oder sogar noch mehr
Elementen als unpraktisch erweisen. Wir verzichten deshalb auf diese eher umständliche Notation.
7.1 Spezialfälle und Aufgaben
Wir betrachten die drei möglichen Kombinationen von Linsen.
7.1.1 Kombination zweier positiver Linsen
Aufgabe A1:
Zwei identische Linsen mit Brechwerten von je 10 dpt, Mittendicken von 3 cm und Hauptebenenabständen von je 1 cm weisen einen Abstand d von 10 cm auf. vor der ersten und hinter der zweiten Linse befinde sich Luft, dazwischen Wasser.
Berechnen Sie den Gesamtbrechwert, die Lage der beiden Hauptebenen und den Hauptebenenabstand. Konstruieren Sie die berechneten Grössen und bestimmen Sie die Lage der Knotenpunkte.
Aufgabe A2:
Die Linsen aus Aufgabe A1 weisen nun einen Abstand d von 4.5 cm auf. Es sind die gleichen
Berechnungen und Konstruktionen anzustellen.
Aufgabe A3:
Genau gleich wie Aufgabe A2 aber zwischen den beiden Linsen befindet sich Luft. Es sind
wiederum die gleichen Berechnungen und Konstruktionen durchzuführen.
Aufgabe A4:
In Aufgabe A3 wird der Abstand d auf 10 cm vergrössert. Berechnen und konstruieren Sie
die gleichen Grössen wie in Aufgabe A3.
Aufgabe A5:
Wir untersuchen nun systematisch, wie sich der Gesamtbrechwert des Systems, das aus einer
Kombination zweier Pluslinsen besteht, als Funktion des Abstandes d verhält. Wiruntersuchen die Funktion D = D(d). Wir treffen vereinfachend die Annahmen, dass als Medium zwischen, vor und hinter den Linsen Luft liegt und dass der Hauptebenenabstand der einzelnen
Seite 112
Linsen je ein Drittel der Linsendicke betrage. Für die Berechnungen nehmen wir weiter an,
die einzelnen Linsen seien je +10 dpt und 3cm dick.
A5.1: Berechnen Sie, unter welchen Bedingungen, d.h. in welchem Abstand, der grösste
Brechwert realisiert werden kann. Wie gross ist diese dann ? Wie gross ist der Hauptebenenabstand h ?
A5.2: Drücken Sie D als Funktion von d aus. Skizzieren Sie den Verlauf der Funktion. Um
welchen (mathematischen) Funktionstyp handelt es sich ?
A5.3: Drücken Sie h als Funktion von d aus. Berechnen Sie die Funktion für d mit folgenden
Werten:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 18, 19.5, 20, 21, 22 cm
23, 24, 25, 30, 40, 50, 70, 100, 100000, ∞ cm
Stellen Sie die Funktion in einem Koordinatensystem graphisch dar.
A5.4: Berechnen Sie algebraisch den Hauptebenenabstand ha als Funktion des Abstandes d.
Berechnen Sie damit den Abstand h für die gleichen Werte von d wie in Aufgabe A5.3 und
stellen Sie ihn in einem Koordinatensystem graphisch dar.
A5.5: In der gleichen Weise wie in der Aufgabe A5.3 sind die Grössen D, h, h' und ha in
Abhängigkeit von d zu berechnen und graphisch darzustellen für D = 10 dpt, D = 5 dpt.
7.1.2 Kombination einer Plus- und einer Minuslinse
Die Situation ist beispielartig in der folgenden Skizze dargestellt:
Seite 113
Wir treffen folgende Annahmen für die untenstehenden Aufgaben: Der Brechwert der Pluslinse betrage +10 dpt, derjenige der Minuslinse -10 dpt. Alle Medien (vor, zwischen und hinter den Linsen) seien Luft. Die Mittendicken der beiden Linsen seien je 3 cm und jede Linse
habe einen Hauptebenenabstand ha1 = ha2 = 1 cm.
Aufgabe B1:
Man berechne den Gesamtbrechwert des Linsensystems, wenn der Abstand d = 10cm beträgt.
Man berechne auch die Hauptebenenlage und den Abstand ha der Hauptebenen. Die berechneten Grössen sind auch zu konstruieren.
Aufgabe B2:
Wie B1 aber mit n2 =
4
.
3
Aufgabe B3:
Man nehme allgemein D1 = − D2 und n1 = n2 = n3 = 1 an und berechne damit h, h' und ha .
(Vorgängig auch D).
Was erreicht man durch Verändern des Abstandes d ? Wie sehen die Funktionen D = D(d), h
= h(d) etc. aus ?
B4: Wie B3 aber D2 = − 2 ⋅ D1 ( D1 = 5 dpt, D2 = -10 dpt ).
1
B5: Wie B3 aber D2 = − D1 ( D1 = 10 dpt, D2 = -5 dpt ).
2
7.1.3 C Kombination zweier Minuslinsen
Wir können uns die Situation anhand der folgenden Skizze veranschaulichen:
Seite 114
Aufgabe C1:
Zwei Linsen von je -10 dpt, von 3 cm Mittendicke, (Hauptebenenabstand je 1 cm) im Abstand von 10 cm befinden sich in Luft.
Berechnen Sie D, h, h' , und ha . Führen Sie die entsprechenden Konstruktionen durch.
Aufgabe C2:
Überlegen Sie, was mit dem Brechwert D, den Hauptebenenlagen h, h'und dem Hauptebenenabstand ha geschieht, wenn der Mittenabstand d verändert wird.
7.2 Newton-Form der Gullstrand-Formel
In diesem Abschnitt besprechen wir eine interessante Alternative zu der
Gullstrand-Formel. Wir beziehen uns auf die untenstehende Skizze und entnehmen aus ihr für den Abstand Δ zwischen dem bildseitigen Brennpunkt F1 '
des ersten Teilsystems und dem objektseitigen Brennpunkt F 2 des zweiten Teilsystems:
d = f1 ' + Δ − f 2
Diesen Ausdruck für d setzen wir in die Gullstrand-Formel ein:
D = D1 + D2 − δ ⋅ D1 ⋅ D2
also:
D = D1 + D 2 −
(
)
1
f ' + Δ − f 2 ⋅ D1 ⋅ D 2
n2 1
Beim Ausmultiplizieren der Klammer in dieser Gleichung entstehen drei Terme. Beim ersten Term ersetzen wir
D1 durch
n2
n2
, beim dritten D2 durch −
:
f1 '
f2
D = D1 + D 2 −
1
1
1
f1 ' ⋅D1 ⋅ D 2 −
f 2 ⋅ D1 ⋅ D 2
Δ ⋅ D1 ⋅ D 2 +
n2
n2
n2
D = D1 + D 2 −
Seite 115
n
1
1
1
⎛ n ⎞
f1'⋅ 2 ⋅ D 2 −
f 2 ⋅ D1 ⋅ ⎜ − 2 ⎟
Δ ⋅ D1 ⋅ D 2 +
⎝ f2 ⎠
n2
f1'
n2
n2
Daraus folgt:
D=−
Δ
D ⋅D
n2 1 2
Nun leiten wir daraus die Ausdrücke für die objektseitige und die bildseitige Brennweite her:
n
n1 ⋅ n2
n1 ⋅ n2
f1 ⋅ f 2
f=− 1=−
=
=
Δ
D
− Δ ⋅ D1 ⋅ D 2
⎛ n⎞ ⎛ n ⎞
Δ ⋅ ⎜− 1⎟ ⋅ ⎜− 2 ⎟
⎝ f1 ⎠ ⎝ f 2 ⎠
also
f1 ⋅ f 2
f=
Δ
f' =
n3
n2 ⋅ n3
=
=
D − Δ ⋅ D1 ⋅ D 2
f '⋅f '
n1 ⋅ n2
=− 1 2
Δ
⎛ n2 ⎞ ⎛ n3 ⎞
− Δ ⋅⎜ ⎟ ⋅⎜ ⎟
⎝ f2 ' ⎠ ⎝ f3 ' ⎠
f1 ' ⋅f2 '
Δ
f' = −
Wir stellen fest, dass das System offensichtlich dann afokal wird, wenn der
Abstand Δ gleich Null ist.
Es ist weiterhin interessant zu wissen, wo die Brennebenen des Systems
liegen. Die Kenntnis dieser Ebenen und der Brennweiten ergibt dann automatisch auch die Lage der Hauptebenen. Um dies zu berechnen, drücken wir vorerst h und h' mit Δ aus:
h = n1 ⋅
( f '+ Δ − f ) D
2
1
n2
(
2
D
h = n1 ⋅ f1'+ Δ − f 2
= n1 ⋅
( f '+ Δ − f )
n2
) − Δn⋅ D
2
D2
2
1
−
Δ
⋅D ⋅D
n2 1 2
(
= n1 ⋅ f1'+ Δ − f 2
)
1
(
h = f1'+ Δ − f 2
11
( f '+ Δ − f )
2
1
n2
(
n2
− Δ ⋅ D1
)
1
f1
= f1'+ Δ − f 2
Δ
⎛ n⎞
− Δ ⋅ ⎜− 1⎟
⎝ f1 ⎠
) fΔ = f Δf ' + f
1
= n1 ⋅
1
−
f 1f 2
Δ
Im letzten Ausdruck erkennen wir ganz rechts die objektseitige Systembrennweite. Damit erhalten wir für h:
(
h = f1' + Δ − f 2
) fΔ = f Δf ' + f
1
11
1
−f
Seite 116
Nun bezeichnen wir mit g die gerichtete Strecke vom objektseitigen Brennpunkt
des ersten Teilsystems bis zum objektseitigen Brennpunkt des Systems.
Der Skizze entnehmen wir:
g = h + f − f 1.
Verwenden wir den eben hergeleiteten Ausdruck für h, so wird daraus für g:
g =
f 1f1 '
f 1f 2
f 1f1 ' f 1 f 2
+ f1 −
+ f − f1 =
−
+f
Δ
Δ
Δ
Δ
Im mittleren Ausdruck auf der rechten Seite erkennen wir wieder die objektseitige Systembrennweite. Damit
erhalten wir für g:
g=
f 1 f1 '
Δ
Definieren wir in analoger Weise die Strecke g' als gerichtete Strecke vom bildseitigen Brennpunkt des zweiten Elementes bis zum bildseitigen Brennpunktes
des Systems, so erhalten wir:
g '= −
f 2 f2 '
Δ
Seite 117
7.3 Übersicht Newtonform der Gullstrandformel
7.3.1 Kombination von 2 Elementen
(Δ=F ' F )
2
1
f 1f 2
f=
Δ
f1' f2 '
f' = −
Δ
f 1f1 '
g=
Δ
f 2 f2 '
g' = −
Δ
7.3.2 Kombination von 3 Elementen
(Δ =F ' F ,Δ =F ' F )
1
f=
2
1
f 1f 2 f 3
Δ 1Δ 2 + f 2 f2 '
g = Δ2
2
f' =
f 1f1 '
Δ 1Δ 2 + f 2 f2 '
(g = F F ,
1
3
2
f1' f2 ' f3 '
Δ 1Δ 2 + f 2 f2 '
g' = − Δ 1
g ' = F '3 F '
)
f 3 f3 '
Δ 1Δ 2 + f 2 f2 '
Seite 118
8 Sphärische Spiegel
8.1 Grundsätzliches über sphärische Spiegel
Wir wollen in diesem Kapitel eine Zusammenstellung der Eigenschaften sphärischer Spiegel geben. Da vorgängig die brechenden Kugelflächen, dicke Linsen
und Linsensysteme behandelt wurden, können wir uns im wesentlichen darauf
beschränken, die wichtigsten Eigenschaften herzuleiten und anschliessend eine
Zusammenfassung zu geben.
8.1.1 Krümmungsradius und Brennweiten
Wir betrachten die geometrischen Verhältnisse anhand der untenstehenden Zeichnung.
Wir haben vorerst einmal den Spiegel, der eine sphärische Fläche mit
Krümmungsmittelpunkt in M darstellt. Grundsätzlich kommt jede Gerade, die
durch den Krümmungsmittelpunkt M geht, als optische Achse in Frage. (In diesem Fall wurde eine horizontale Gerade als optische Achse gewählt). Wir betrachten nun einen Strahl, der parallel zur optischen Achse in nicht zu grosser
Seite 119
Entfernung von dieser auf den Spiegel zuläuft. Am Auftreffpunkt wird der
Strahl reflektiert. Die Flächennormale bei diesem Punkt ist eine Gerade, die
durch den Krümmungsmittelpunkt M geht (Radius). Den Winkel zwischen dem
einfallenden Strahl und dem Lot nennen wir ε. Der reflektierte Strahl und das
Lot schliessen den Winkel ε' ein. Nach dem Reflexionsgesetz gilt:
ε' = − ε .
Der Winkel zwischen dem Lot (im Auftreffpunkt) und der optischen Achse ist ebenfalls ε (parallele Geraden werden von einer dritten Geraden unter dem
gleichen Winkel geschnitten). Also ist das aus Auftreffpunkt A, Krümmungsmittelpunkt M und Punkt F gebildete Dreieck gleischschenklig. D.h. die beiden
Schenkel s sind gleich lang. Lässt man nur achsennahe Strahlen zu (paraxiale
Näherung, ε≈5°), so gilt
t ≈ s =−
r
2
(r ist in der Zeichnung negativ). Beachtet man die Vorzeichenkonvention, d.h.
die Abmachung, dass bei reflektiertem Licht die Strecken mit anderen Vorzeichen zu versehen sind, so kann festhalten:
Achsennahe achsenparallele Strahlen werden in einen Punkt
reflektiert, der sich in der halben negativen Entfernung vom
Spiegel befindet wie der Krümmungsmittelpunkt.
Oder mit Formeln ausgedrückt:
f=
r
2
f '=−
r
2
D=−
2
r
und
k=r
bzw.
k' = -r.
Paradoxerweise gelten aber
F = F'
und
K = K'.
Seite 120
8.1.2 Konstruktionsprinzipien
Die Konstruktionsprinzipien beim sphärischen Spiegel untersuchen wir
am besten anhand eines konkreten Beispiels. Man vergleiche dazu die untenstehende Skizze:
Ein Gegenstand y befindet sich in einer bestimmten Entfernung vom
Spiegel, von dem der Krümmungsmittelpunkt M gegeben ist und dadurch unmittelbar F, F', K und K'. Wir können nun folgende Konstruktionsstrahlen verwenden:
a) Achsenparallelstrahl
Dieser Strahl wird nach der Reflexion am Spiegel zum Brennpunktstrahl,
d.h. er geht durch F'.
b) Brennpunktstrahl
Der Strahl der durch den dingseitigen Brennpunkt F geht, verlässt den
Spiegel nach der Reflexion als achsenparalleler Strahl.
c) Knotenpunktstrahl
Ein Strahl, der durch den Krümmungsmittelpunkt M=K geht, trifft senkrecht auf den Spiegel. Er muss also „in sich selbst reflektiert“ werden.
d) Scheitelpunktstrahl
Ein Strahl, der im Scheitelpunkt auf den Spiegel trifft, verlässt den Spiegel
unter dem gleichen Winkel zur optischen Achse wie beim Auftreffen.
Seite 121
8.1.3 Zusammenfassung
Bei der Reflexion des Lichtes am Spiegel wechselt die Lichtrichtung
(Vorzeichenregel!)
Der Krümmungsmittelpunkt des sphärischen Spiegels hat die Funktion
des ding- und bildseitigen Knotenpunktes.
Objekt- und bildseitiger Brennpunkt befinden sich in der halben Entfernung des Krümmungsmittelpunktes von der Scheitelebene des Spiegels. (f =
r/2).
Die Scheitelebene des Spiegels hat die Funktion von objekt- und bildseitiger Hauptebene.
Beim sphärischen Spiegel ist der Hauptpunktstrahl = Scheitelpunktstrahl
speziell einfach zu konstruieren.
8.2 Fixpunkte bei der Abbildung an sphärischen Spiegeln
Bereits aufgrund der Konstruktionsprinzipien ist klar, dass ein sphärischer
Spiegel durch die Scheitelebene und den Krümmungsradius (zumindest paraxial) vollständig festgelegt ist. Bei der optischen Abbildung kommt dem Scheitelpunkt und dem Krümmungsmittelpunkt auch eine besondere Bedeutung zu; es
sind dies die Punkte, die bei der Abbildung am sphärischen Spiegel in sich selber abgebildet werden. Man nennt sie deshalb die Fixpunkte des Spiegels. Dieser Name rührt offensichtlich daher, weil diese Punkte bei der Abbildung am
gleichen Ort, also "fix" bleiben. Diese Eigenschaft der sphärischen Spiegel wird
u.a. zum Messen des Krümmungsradius beim Radiuskop ausgenützt (vgl. Teil
Refraktionsinstrumente !). Aus dem eben gesagten können wir schliessen:
Ein sphärischer Spiegel ist durch die Fixpunkte C und S eindeutig bestimmt.
8.3 Kombination "Linse und sphärischer Spiegel" – „Dicker Spiegel“
Was geschieht nun, wenn eine (dünne oder dicke) Linse mit einem sphärischen Spiegel kombiniert wird?
Bei der Analyse dieser Frage wird man vorerst einmal feststellen, dass es
sich bei genauerer Betrachtung nicht um die Kombination von zwei optischen
Elementen, sondern von drei optischen Elementen geht. Dadurch scheint es,
dass die eingangs gestellte Frage noch schwieriger zu beantworten sei.
Seite 122
Wir können feststellen, dass ein Lichtstrahl, der durch das System gelangt, zweimal eine Linse passiert und einmal reflektiert wird. Daraus folgern
wir: Die Kombination von einer Lise und einem Spiegel verhält sich insgesamt
wie ein Spiegel.
Nun müssten wir lediglich die Fixpunkte des neuen Spiegels, d.h. des
Äquivalentspiegels oder des theoretischen Ersatzspiegels kennen; damit wäre
die Aufgabe bereits gelöst. Problematisch erscheint im ersten Moment eigentlich nur das Bestimmen dieser Fixpunkte. Dazu betrachten wir die untenstehende Skizze:
Spiegel
Linse
FL
F'L
C
S
Wir verfolgen einen Strahl, der kurz vor dem objektseitigen Brennpunkt F
der Linse aufsteigend die optische Achse schneidet. Dieser Strahl wird an der
Linse gebrochen, so dass er nach der Brechung auf den Scheitelpunkt S des
Spiegels zuläuft. Dort wird er nach dem Reflexionsgesetz abgebildet und läuft
zurück in Richtung der Linse. An der Linse wird dieser Strahl erneut gebrochen;
er schneidet nun die optische Achse am selben Ort, an dem er sie schon vor dem
Eintreten in das System „Linse - Spiegel“ geschnitten hatte.
Dasselbe gilt für den Strahl, der nach der Brechung durch den Krümmungsmittelpunkt des Spiegels verläuft. Auch dieser Strahl wird am Spiegel
reflektiert, nun allerdings in sich selber. Damit verläuft er nach der (zweiten)
Brechung an der Linse in der genau gleichen Richtung wie vor dem Eintreten in
das System „Linse - Spiegel“, aber in umgekehrter Richtung. Damit können wir
schliessen:
Die (zur Linse) objektseitigen Schnittpunkte der Strahlen, die bildseitig
Seite 123
durch den Scheitel- bzw. Krümmungsmittelpunkt des Spiegels verlaufen, zeigen
ein Verhalten wie der Scheitel- bzw. Krümmungsmittelpunktes eines Spiegels.
Wir können uns diese Punkte als die Fixpunkte eines Ersatzspiegels vorstellen.
Wir ergänzen die obenstehende Skizze also wie folgt:
Spiegel
Linse
'C=
CE
'S=
SE F
L
F'L
C
S
Im Folgenden bezeichnen wir die Fixpunkte des ursprünglichen Spiegels
mit C und S. Als nächstes bestimmen wir 'S und 'C:
'S: dingseitiges Bild des Punktes S (Rückwärtsabbildung an der Linse)
'C: dingseitiges Bild des Punktes C (ebenfalls Rückwärtsabbildung an der Linse).
Nun nehmen wir die Punkte 'S und 'C als gegeben an und verfolgen sie bei der
Abbildung durch das System:
1. Abbildung an der Linse (1. Abbildung an der Linse):
'S → S
'C → C
2. Abbildung am Spiegel:
S→S
C→C
3. Abbildung an der Linse (2. Abbildung an der Linse):
S → 'S
Seite 124
C → 'C
Es folgt also daraus, dass die Punkte 'S und 'C bei der sukzessiven Abbildung an
Linse, Spiegel und Linse in sich selber abgebildet werden. 'S und 'C sind also
die gesuchten Fixpunkte, die den Ersatzspiegel oder Äquivalentspiegel, auch
„dicker Spiegel“ genannt, festlegen.
Zur Berechnung der Fixpunkte des Ersatzspiegels können verschiedene
Wege beschritten werden. Am einfachsten ist es vielleicht, C und S des Spiegels
als Bilder von ´C und ´S aufzufassen. Die Lichtrichtung verläuft also von links
nach rechts. In der folgenden Skizze sind Objekt- und Bildweiten mit Vorzeichen eingezeichnet.
Spiegel
Linse
Lichtrichtung für Berechnung
des Ersatzspiegels
'C=
CE
'S=
SE F
L
F'L
C
S
a'C
aC
aS
a'S
Der Zusammenhang zwischen Objekt- und Bildweite vermittelt natürlich
die Gaussformel.
Leider sind die Verhältnisse meist etwas komplizierter; deshalb fügen wir
noch (ohne weiteren Kommentar) Skizzen an, bei denen S und C eines Spiegels
etwas weniger „praktisch“ angeordnet sind.
Seite 125
Spiegel
Linse
C
FL
S
'S=
SE
F'L
'C=
CE
Spiegel
Linse
Lichtrichtung für Berechnung
des Ersatzspiegels
C
S
FL
'C=
CE
aC
a'C
a'S
aS
'S=
SE
F'L
Seite 126
Inhaltsverzeichnis
1
GRUNDLAGEN DER GEOMETRISCHEN OPTIK
3
1.1
Selbst- und Nichtselbstleuchter
3
1.2
Temperatur- und Entladungsstrahler
3
1.3
Geradlinige Ausbreitung des Lichtes
4
1.4
Lichtstrahlen, - büschel und -bündel
5
1.5
Lichtgeschwindigkeit
1.5.1
Messung der Lichtgeschwindigkeit nach Olaf Römer
1.5.2
Messung der Lichtgeschwindigkeit nach Fizeau
1.5.3
Lichtgeschwindigkeit in optischen Medien
1.6
Die Natur des Lichtes
1.6.1
Wellenmodell des Lichtes 1.6.2
Korpuskularmodell des Lichtes
8
8
10
1.7
Verhalten eines Körpers beim Bestrahlen mit Licht
1.7.1
Diffuse und gerichtete Reflexion
1.7.2
Reflexion - Absorption - Transmission
10
11
11
2
REFLEXION AN EBENEN SPIEGELN
12
2.1
Reflexionsgesetz
12
2.2
Herleitung des Reflexionsgesetzes
14
2.3
Bilderzeugung mit Hilfe optischer Spiegel
15
2.4
Bildkonstruktion beim Planspiegel
16
2.5
Der Winkelspiegel
2.5.1
Anzahl der Spiegelbilder
2.5.2
Strahlablenkung bei zweimaliger Reflexion am Winkelspiegel
2.6
Tripelspiegel - Reflektor
3
BRECHUNG AN PLANEN FLÄCHEN -
6
6
7
8
17
17
18
19
20
Brechungsgesetz
20
3.1
20
20
20
22
Brechungsgesetz
3.1.1
Formulierung des Brechungsgesetzes
3.1.2
Herleitung des Brechungsgesetzes
3.1.3
Das Zweikreisverfahren
3.2
Abbildende Eigenschaften der planen Grenzfläche
24
3.3
Das Prinzip von Fermat
28
3.4
Planparallele Platte
3.4.1
Abbildende Eigenschaften der planparallelen Platte
Seite 127
31
32
3.5
Kontinuierliche Brechung
36
3.6
Totalreflexion
37
3.7
Prisma und Keil
3.7.1
Beliebiger Einfallswinkel
3.7.2
Symmetrischer Strahlengang beim Prisma
3.7.3
Näherung für den Keil
45
45
52
53
3.8
Regenbogen
4
BRECHENDE KUGELFLÄCHE (DIOPTER)
4.1
Gauss-Formel (BAD-Formel)
59
4.2
Bildgrössenformel
61
4.3
Konstruktionen bei der brechenden Kugelfläche
4.3.1
Normales Zweikreisverfahren
4.3.2
Konstruktion nach Weierstrass-Reusch
4.3.3
Paraxiales Zweikreisverfahren
4.3.4
Kardinalpunkte und -ebenen
53
59
64
64
64
68
72
4.4
Abbildung von und nach Unendlich
73
4.5
Newton-Gleichungen
74
4.6
Die Lagrange-Gleichung
77
4.7
Gaussformel und Länge des Lichtweges
78
4.8
Zusammenfassung brechende Kugelfläche
81
5
ABBILDUNGSFÄLLE
82
5.1
Plusflächen
5.1.1
Tabelle Abbildungsfälle Plusflächen
5.1.2
Skizze Abbildungsfälle Plusflächen
82
85
85
5.2
Abbildungsfälle bei Minusflächen
5.2.1
Tabelle Abbildungsfälle Minusflächen
5.2.2
Skizze Abbildungsfälle bei Minusflächen
86
89
90
6
DICKE LINSEN
90
6.1
Abbildung von oder nach Unendlich bei dicken Linsen
90
6.2
Zusammenstellung "Dicke Linsen"
95
6.3
Spezialfälle (Aufgaben)
99
6.4
Aufgaben "dicke Linsen ff"
100
6.5
6.6
7
7.1
7.2
7.3
8
8.1
Aufgaben "dicke Linsen fff"
Konstruktionsprinzipien bei dicken Linsen und Linsensystemen
6.6.1
Konstruktionsaufgabe Typ 1
6.6.2
Konstruktionsaufgabe Typ 2
"LINSENSYSTEME" - "KOMBINATION VON DICKEN LINSEN"
Spezialfälle und Aufgaben
7.1.1
Kombination zweier positiver Linsen
7.1.2
Kombination einer Plus- und einer Minuslinse
7.1.3
C Kombination zweier Minuslinsen
Newton-Form der Gullstrand-Formel
Übersicht Newtonform der Gullstrandformel
7.3.1
Kombination von 2 Elementen
7.3.2
Kombination von 3 Elementen
SPHÄRISCHE SPIEGEL
Grundsätzliches über sphärische Spiegel
8.1.1
Krümmungsradius und Brennweiten
8.1.2
Konstruktionsprinzipien
8.1.3
Zusammenfassung
Seite 128
101
102
103
106
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117
117
117
118
118
118
120
121
8.2
Fixpunkte bei der Abbildung an sphärischen Spiegeln
121
8.3
Kombination "Linse und sphärischer Spiegel" – „Dicker Spiegel“
121

Allgemeine Optik I

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