Sudoku vs. Graphenfärbung

Sudoku vs. Graphenfärbung
Wenn alles verschieden sein muss
Timo Berthold
Zuse Institut Berlin
DFG-Forschungszentrum MATHEON
Mathematik für Schlüsseltechnologien
Berlin, 14.06.2008
Geschichtliches
Verschiedene Zahlenquadrate
Sudoku vs. Graphenfärbung
2 / 16
Geschichtliches
Verschiedene Zahlenquadrate
. Magische Quadrate: Summe der
Zeilen-, Spalten-, Diagonaleinträge konstant
Sudoku vs. Graphenfärbung
2 / 16
Geschichtliches
Verschiedene Zahlenquadrate
. Magische Quadrate: Summe der
Zeilen-, Spalten-, Diagonaleinträge konstant
. Lateinische Quadrate: Jede Zahl
nur einmal pro Spalte und Zeile
Sudoku vs. Graphenfärbung
2 / 16
Geschichtliches
Verschiedene Zahlenquadrate
. Magische Quadrate: Summe der
Zeilen-, Spalten-, Diagonaleinträge konstant
. Lateinische Quadrate: Jede Zahl
nur einmal pro Spalte und Zeile
. Sudoku: Größe 9x9,
Unterquadrate
Sudoku vs. Graphenfärbung
2 / 16
Sudoku
Die Regeln
. pro Feld:
Genau eine Zahl
Sudoku vs. Graphenfärbung
7
9
3 8 2
4
9 8 2
3 6
2
7
3 8
5
4
5 8 3
6
7
1
1
8 6 3
3 / 16
Sudoku
Die Regeln
. pro Feld:
. pro Zeile:
Genau eine Zahl
Jede Zahl genau einmal
Sudoku vs. Graphenfärbung
7
9
3 8 2
4
9 8 2
3 6
2
7
3 8
5
4
5 8 3
6
7
1
1
8 6 3
3 / 16
Sudoku
Die Regeln
. pro Feld: Genau eine Zahl
. pro Zeile: Jede Zahl genau einmal
. pro Spalte: Jede Zahl genau einmal
Sudoku vs. Graphenfärbung
7
9
3 8 2
4
9 8 2
3 6
2
7
3 8
5
4
5 8 3
6
7
1
1
8 6 3
3 / 16
Sudoku
Die Regeln
.
.
.
.
pro
pro
pro
pro
Feld:
Zeile:
Spalte:
Block:
Genau eine Zahl
Jede Zahl genau einmal
Jede Zahl genau einmal
Jede Zahl genau einmal
Sudoku vs. Graphenfärbung
7
9
3 8 2
4
9 8 2
3 6
2
7
3 8
5
4
5 8 3
6
7
1
1
8 6 3
3 / 16
Sudoku
Die Regeln
.
.
.
.
.
pro Feld: Genau eine Zahl
pro Zeile: Jede Zahl genau einmal
pro Spalte: Jede Zahl genau einmal
pro Block: Jede Zahl genau einmal
am Anfang:Zahlen vorgegeben
Sudoku vs. Graphenfärbung
7
9
3 8 2
4
9 8 2
3 6
2
7
3 8
5
4
5 8 3
6
7
1
1
8 6 3
3 / 16
Sudoku
Die Regeln
.
.
.
.
.
pro Feld: Genau eine Zahl
pro Zeile: Jede Zahl genau einmal
pro Spalte: Jede Zahl genau einmal
pro Block: Jede Zahl genau einmal
am Anfang:Zahlen vorgegeben
Sudoku vs. Graphenfärbung
7
9
3 8 2
4
9 8 2
3 6
2
7
3 8
5
4
5 8 3
6
7
1
1
8 6 3
3 / 16
Sudoku
Die Regeln
.
.
.
.
.
pro Feld: Genau eine Zahl
pro Zeile: Jede Zahl genau einmal
pro Spalte: Jede Zahl genau einmal
pro Block: Jede Zahl genau einmal
am Anfang:Zahlen vorgegeben
Sudoku vs. Graphenfärbung
7
9
3 8 2
4
9 8 2
3 6
2
7
3 8
5
4
5 8 3
6
7
1
1
8 6 3
3 / 16
Sudoku
Die Regeln
.
.
.
.
.
pro Feld: Genau eine Zahl
pro Zeile: Jede Zahl genau einmal
pro Spalte: Jede Zahl genau einmal
pro Block: Jede Zahl genau einmal
am Anfang:Zahlen vorgegeben
Sudoku vs. Graphenfärbung
7
9
3 8 2
4
9 8 2
3 6
2
7
3 8
5
4
5 8 3
6
7
1
1
8 6 3
2
3 / 16
Sudoku
Die Regeln
.
.
.
.
.
pro Feld: Genau eine Zahl
pro Zeile: Jede Zahl genau einmal
pro Spalte: Jede Zahl genau einmal
pro Block: Jede Zahl genau einmal
am Anfang:Zahlen vorgegeben
Sudoku vs. Graphenfärbung
7
9
3 8 2
4
9 8 2
3 6
2
7
3 8
5
4
5 8 3
6
7
1
1
8 6 3
2
3 / 16
Sudoku
Die Regeln
.
.
.
.
.
pro Feld: Genau eine Zahl
pro Zeile: Jede Zahl genau einmal
pro Spalte: Jede Zahl genau einmal
pro Block: Jede Zahl genau einmal
am Anfang:Zahlen vorgegeben
Sudoku vs. Graphenfärbung
7
9
3 8 2
4
9 8 2
3 6
2
7
3 8
5
4
5 8 3
6
7
1
1
8 6 3
2
3 / 16
Sudoku
Die Regeln
.
.
.
.
.
pro Feld: Genau eine Zahl
pro Zeile: Jede Zahl genau einmal
pro Spalte: Jede Zahl genau einmal
pro Block: Jede Zahl genau einmal
am Anfang:Zahlen vorgegeben
Sudoku vs. Graphenfärbung
7
9
3 8 2
4
9 8 2
3 6
2
7
3 8
5
4
5 8 3
6
7
8 1
1
8 6 3
2
3 / 16
Modellierungsansatz
Modell mit Gleichungen
7
9
3 8 2
4
9 8 2
3 6
2
7
3 8
5
4
5 8 3
6
7
1
1
8 6 3
Sudoku vs. Graphenfärbung
4 / 16
Modellierungsansatz
Modell mit Gleichungen
1
. Neun 0-1-Variablen pro Feld:
x1,1,1 ,
Sudoku vs. Graphenfärbung
7
9
3 8 2
4
9 8 2
3 6
2
7
3 8
5
4
5 8 3
6
7
1
1
8 6 3
4 / 16
Modellierungsansatz
Modell mit Gleichungen
12
. Neun 0-1-Variablen pro Feld:
x1,1,1 , x1,1,2 ,
Sudoku vs. Graphenfärbung
7
9
3 8 2
4
9 8 2
3 6
2
7
3 8
5
4
5 8 3
6
7
1
1
8 6 3
4 / 16
Modellierungsansatz
Modell mit Gleichungen
123
. Neun 0-1-Variablen pro Feld:
x1,1,1 , x1,1,2 , x1,1,3 ,
Sudoku vs. Graphenfärbung
7
9
3 8 2
4
9 8 2
3 6
2
7
3 8
5
4
5 8 3
6
7
1
1
8 6 3
4 / 16
Modellierungsansatz
Modell mit Gleichungen
123
4
. Neun 0-1-Variablen pro Feld:
x1,1,1 , x1,1,2 , x1,1,3 , x1,1,4 ,
Sudoku vs. Graphenfärbung
7
9
3 8 2
4
9 8 2
3 6
2
7
3 8
5
4
5 8 3
6
7
1
1
8 6 3
4 / 16
Modellierungsansatz
Modell mit Gleichungen
. Neun 0-1-Variablen pro Feld:
x1,1,1 , x1,1,2 , x1,1,3 , x1,1,4 , . . . ,x1,1,9
123
456
789
7
9
3 8 2
4
9 8 2
3 6
2
7
3 8
5
4
5 8 3
6
7
1
1
8 6 3
729 Variablen,
Sudoku vs. Graphenfärbung
4 / 16
Modellierungsansatz
Modell mit Gleichungen
. Neun 0-1-Variablen pro Feld:
x1,1,1 , x1,1,2 , x1,1,3 , x1,1,4 , . . . ,x1,1,9
Genau eine Zahl
. pro Feld:
7
9
3 8 2
4
9 8 2
3 6
2
7
3 8
5
4
5 8 3
6
7
1
1
8 6 3
729 Variablen,
Sudoku vs. Graphenfärbung
4 / 16
Modellierungsansatz
Modell mit Gleichungen
. Neun 0-1-Variablen pro Feld:
x1,1,1 , x1,1,2 , x1,1,3 , x1,1,4 , . . . ,x1,1,9
x1,1,1 +. . . +x1,1,9 = 1
. pro Feld:
7
9
3 8 2
4
9 8 2
3 6
2
7
3 8
5
4
5 8 3
6
7
1
1
8 6 3
729 Variablen,
Sudoku vs. Graphenfärbung
4 / 16
Modellierungsansatz
Modell mit Gleichungen
. Neun 0-1-Variablen pro Feld:
x1,1,1 , x1,1,2 , x1,1,3 , x1,1,4 , . . . ,x1,1,9
x1,1,1 +. . . +x1,1,9 = 1
. pro Feld:
. pro Zeile: Jede Zahl genau einmal
729 Variablen,
Sudoku vs. Graphenfärbung
7
9
3 8 2
4
9 8 2
3 6
2
7
3 8
5
4
5 8 3
6
7
1
1
8 6 3
Gleichungen
4 / 16
Modellierungsansatz
Modell mit Gleichungen
. Neun 0-1-Variablen pro Feld:
x1,1,1 , x1,1,2 , x1,1,3 , x1,1,4 , . . . ,x1,1,9
x1,1,1 +. . . +x1,1,9 = 1
. pro Feld:
. pro Zeile: x1,1,3 +. . . +x1,9,3 = 1
7
9
3 8 2
4
9 8 2
3 6
2
7
3 8
5
4
5 8 3
6
7
1
1
8 6 3
729 Variablen, 81 Gleichungen
Sudoku vs. Graphenfärbung
4 / 16
Modellierungsansatz
Modell mit Gleichungen
. Neun 0-1-Variablen pro Feld:
x1,1,1 , x1,1,2 , x1,1,3 , x1,1,4 , . . . ,x1,1,9
x1,1,1 +. . . +x1,1,9 = 1
. pro Feld:
. pro Zeile: x1,1,3 +. . . +x1,9,3 = 1
. pro Spalte: Jede Zahl genau einmal
7
9
3 8 2
4
9 8 2
3 6
2
7
3 8
5
4
5 8 3
6
7
1
1
8 6 3
729 Variablen, 81 Gleichungen
Sudoku vs. Graphenfärbung
4 / 16
Modellierungsansatz
Modell mit Gleichungen
. Neun 0-1-Variablen pro Feld:
x1,1,1 , x1,1,2 , x1,1,3 , x1,1,4 , . . . ,x1,1,9
x1,1,1 +. . . +x1,1,9 = 1
. pro Feld:
. pro Zeile: x1,1,3 +. . . +x1,9,3 = 1
. pro Spalte: x1,1,3 +. . . +x9,1,3 = 1
7
9
3 8 2
4
9 8 2
3 6
2
7
3 8
5
4
5 8 3
6
7
1
1
8 6 3
729 Variablen, 162 Gleichungen
Sudoku vs. Graphenfärbung
4 / 16
Modellierungsansatz
Modell mit Gleichungen
. Neun 0-1-Variablen pro Feld:
x1,1,1 , x1,1,2 , x1,1,3 , x1,1,4 , . . . ,x1,1,9
x1,1,1 +. . . +x1,1,9 = 1
. pro Feld:
. pro Zeile: x1,1,3 +. . . +x1,9,3 = 1
. pro Spalte: x1,1,3 +. . . +x9,1,3 = 1
. pro Block: Jede Zahl genau einmal
7
9
3 8 2
4
9 8 2
3 6
2
7
3 8
5
4
5 8 3
6
7
1
1
8 6 3
729 Variablen, 162 Gleichungen
Sudoku vs. Graphenfärbung
4 / 16
Modellierungsansatz
Modell mit Gleichungen
. Neun 0-1-Variablen pro Feld:
x1,1,1 , x1,1,2 , x1,1,3 , x1,1,4 , . . . ,x1,1,9
x1,1,1 +. . . +x1,1,9 = 1
. pro Feld:
. pro Zeile: x1,1,3 +. . . +x1,9,3 = 1
. pro Spalte: x1,1,3 +. . . +x9,1,3 = 1
. pro Block: x1,1,3 +. . . +x3,3,3 = 1
7
9
3 8 2
4
9 8 2
3 6
2
7
3 8
5
4
5 8 3
6
7
1
1
8 6 3
729 Variablen, 243 Gleichungen
Sudoku vs. Graphenfärbung
4 / 16
Modellierungsansatz
Modell mit Gleichungen
. Neun 0-1-Variablen pro Feld:
x1,1,1 , x1,1,2 , x1,1,3 , x1,1,4 , . . . ,x1,1,9
. pro Feld:
x1,1,1 +. . . +x1,1,9 = 1
. pro Zeile: x1,1,3 +. . . +x1,9,3 = 1
. pro Spalte: x1,1,3 +. . . +x9,1,3 = 1
. pro Block: x1,1,3 +. . . +x3,3,3 = 1
Vorgegebene Zahlen
. Fixieren:
7
9
3 8 2
4
9 8 2
3 6
2
7
3 8
5
4
5 8 3
6
7
1
1
8 6 3
729 Variablen, 243 Gleichungen
Sudoku vs. Graphenfärbung
4 / 16
Modellierungsansatz
Modell mit Gleichungen
. Neun 0-1-Variablen pro Feld:
x1,1,1 , x1,1,2 , x1,1,3 , x1,1,4 , . . . ,x1,1,9
x1,1,1 +. . . +x1,1,9 = 1
. pro Feld:
. pro Zeile: x1,1,3 +. . . +x1,9,3 = 1
. pro Spalte: x1,1,3 +. . . +x9,1,3 = 1
. pro Block: x1,1,3 +. . . +x3,3,3 = 1
. Fixieren:
x2,2,3 = 1,. . .
7
9
3 8 2
4
9 8 2
3 6
2
7
3 8
5
4
5 8 3
6
7
1
8 6 3
1
729 Variablen, 324 Gleichungen
Sudoku vs. Graphenfärbung
4 / 16
Varianten
Andere Zahlenrätsel
. X-Sudoku
Sudoku vs. Graphenfärbung
5 / 16
Varianten
Andere Zahlenrätsel
. X-Sudoku
. 16x16-Sudoku
Sudoku vs. Graphenfärbung
5 / 16
Varianten
Andere Zahlenrätsel
. X-Sudoku
. 16x16-Sudoku
. 3D-Sudoku
Sudoku vs. Graphenfärbung
5 / 16
Varianten
Andere Zahlenrätsel
.
.
.
.
X-Sudoku
16x16-Sudoku
3D-Sudoku
Kakuro
Sudoku vs. Graphenfärbung
5 / 16
Varianten
Andere Zahlenrätsel
.
.
.
.
.
X-Sudoku
16x16-Sudoku
3D-Sudoku
Kakuro
Killer-Sudoku
Sudoku vs. Graphenfärbung
5 / 16
Varianten
Andere Zahlenrätsel
.
.
.
.
.
.
X-Sudoku
16x16-Sudoku
3D-Sudoku
Kakuro
Killer-Sudoku
Ensaimada
Sudoku vs. Graphenfärbung
5 / 16
Varianten
Andere Zahlenrätsel
.
.
.
.
.
.
.
X-Sudoku
16x16-Sudoku
3D-Sudoku
Kakuro
Killer-Sudoku
Ensaimada
Vergleichs-Sudoku
Sudoku vs. Graphenfärbung
5 / 16
Graphenfärbung
Graphen und Färbung
. Graph:
Sudoku vs. Graphenfärbung
6 / 16
Graphenfärbung
Graphen und Färbung
. Graph: Knoten,
Sudoku vs. Graphenfärbung
6 / 16
Graphenfärbung
Graphen und Färbung
. Graph: Knoten, Kanten
Sudoku vs. Graphenfärbung
6 / 16
Graphenfärbung
Graphen und Färbung
. Graph: Knoten, Kanten
. Färbung:
I
I
Jeder Knoten eine Farbe
Kante ⇒ verschiedene Farben
Sudoku vs. Graphenfärbung
6 / 16
Graphenfärbung
Graphen und Färbung
. Graph: Knoten, Kanten
. Färbung:
I
I
I
Jeder Knoten eine Farbe
Kante ⇒ verschiedene Farben
Färbungszahl
Sudoku vs. Graphenfärbung
6 / 16
Ein typisches Färbungsproblem
Kartenfärbung
. Ziel: Länder mit gemeinsamer
Grenze verschieden einfärben
Sudoku vs. Graphenfärbung
7 / 16
Ein typisches Färbungsproblem
Kartenfärbung
. Ziel: Länder mit gemeinsamer
Grenze verschieden einfärben
Sudoku vs. Graphenfärbung
8 / 16
Ein typisches Färbungsproblem
Kartenfärbung
. Ziel: Länder mit gemeinsamer
Grenze verschieden einfärben
. Idee: Nachbarschaftsgraph
Sudoku vs. Graphenfärbung
8 / 16
Ein typisches Färbungsproblem
Kartenfärbung
. Ziel: Länder mit gemeinsamer
Grenze verschieden einfärben
. Idee: Nachbarschaftsgraph
Sudoku vs. Graphenfärbung
8 / 16
Ein typisches Färbungsproblem
Kartenfärbung
. Ziel: Länder mit gemeinsamer
Grenze verschieden einfärben
. Idee: Nachbarschaftsgraph
. Resultat: 4-Farben-Satz
Sudoku vs. Graphenfärbung
9 / 16
Optimierung in der Telekommunikation
Frequenzzuweisung
. GSM-Funknetze:
Farben =
ˆ Frequenzen
Sudoku vs. Graphenfärbung
10 / 16
Optimierung in der Telekommunikation
Frequenzzuweisung
. GSM-Funknetze:
Farben =
ˆ Frequenzen
Sudoku vs. Graphenfärbung
10 / 16
Optimierung in der Telekommunikation
Frequenzzuweisung
. GSM-Funknetze:
Farben =
ˆ Frequenzen
. MATHEON B-4: Planning the
UMTS radio interface
Sudoku vs. Graphenfärbung
10 / 16
Optimierung in der Telekommunikation
Frequenzzuweisung
. GSM-Funknetze:
Farben =
ˆ Frequenzen
. MATHEON B-4: Planning the
UMTS radio interface
. Ziel: Funknetz optimal
konfigurieren
Sudoku vs. Graphenfärbung
10 / 16
Sudoku ⇔ Graphenfärbung
Der Sudokugraph
Sudoku vs. Graphenfärbung
7
9
3 8 2
4
9 8 2
3 6
2
7
3 8
5
4
5 8 3
6
7
1
1
8 6 3
11 / 16
Sudoku ⇔ Graphenfärbung
Der Sudokugraph
. Zahlen ⇔ Farben
Sudoku vs. Graphenfärbung
7
9
3 8 2
4
9 8 2
3 6
2
7
3 8
5
4
5 8 3
6
7
1
1
8 6 3
11 / 16
Sudoku ⇔ Graphenfärbung
Der Sudokugraph
. Zahlen ⇔ Farben
. Felder ⇔ Knoten
Sudoku vs. Graphenfärbung
11 / 16
Sudoku ⇔ Graphenfärbung
Der Sudokugraph
. Zahlen ⇔ Farben
. Felder ⇔ Knoten
. Konflikte ⇔ Kanten
Sudoku vs. Graphenfärbung
11 / 16
Sudoku ⇔ Graphenfärbung
Der Sudokugraph
. Zahlen ⇔ Farben
. Felder ⇔ Knoten
. Konflikte ⇔ Kanten
Sudoku vs. Graphenfärbung
11 / 16
Sudoku ⇔ Graphenfärbung
Der Sudokugraph
. Zahlen ⇔ Farben
. Felder ⇔ Knoten
. Konflikte ⇔ Kanten
Sudoku vs. Graphenfärbung
11 / 16
Sudoku ⇔ Graphenfärbung
Der Sudokugraph
. Zahlen ⇔ Farben
. Felder ⇔ Knoten
. Konflikte ⇔ Kanten
Sudoku vs. Graphenfärbung
11 / 16
Sudoku ⇔ Graphenfärbung
Der Sudokugraph
.
.
.
.
Zahlen ⇔ Farben
Felder ⇔ Knoten
Konflikte ⇔ Kanten
Lösung ⇔ 9-Färbung
Sudoku vs. Graphenfärbung
11 / 16
Sudoku ⇔ Graphenfärbung
Der Sudokugraph
.
.
.
.
Zahlen ⇔ Farben
Felder ⇔ Knoten
Konflikte ⇔ Kanten
Lösung ⇔ 9-Färbung
Sudoku vs. Graphenfärbung
2
9
1
3
7
8
5
6
4
4
3
5
6
2
1
8
7
9
7
8
6
5
4
9
3
2
1
8
2
4
9
1
6
7
3
5
6
1
7
4
3
5
2
9
8
3
5
9
7
8
2
1
4
6
1
7
8
2
6
4
9
5
3
9
6
2
1
5
3
4
8
7
5
4
3
8
9
7
6
1
2
11 / 16
Software
Sudoku-Löser
. Verfügbar unter:
http://www.matheon.de/
specialities/sudoku.asp
. Löst ein Ganzzahliges
Programm
. Benutzt die Software SCIP
Sudoku vs. Graphenfärbung
12 / 16
Symmetrie
7
9
3 8 2
4 9 8 2
3 6
2
7
3 8
5 4
5 8 3
6
7
1
1 8 6 3
Sudoku vs. Graphenfärbung
7
3 8 2
4 9
3 6
7
8 3
5
5 8 3
7
1 6 8
9
8 2
2
4
6
1
3
13 / 16
Symmetrie
7
9
3 8 2
4 9 8 2
3 6
2
7
3 8
5 4
5 8 3
6
7
1
1 8 6 3
9
2
5 1 4
6 2 1 4
5 8
4
9
5 1
7 6
7 1 5
8
9
3
3 1 8 5
7 → 9, 9 → 2, . . .
Sudoku vs. Graphenfärbung
13 / 16
Symmetrie
7
9
3 8 2
4 9 8 2
3 6
2
7
3 8
5 4
5 8 3
6
7
1
1 8 6 3
9
2
5 1 4
6 2 1 4
5 8
4
9
5 1
7 6
7 1 5
8
9
3
3 1 8 5
Anzahl möglicher Sudokus:
≈ 6,67 · 1021 = 6,67 Trilliarden
Sudoku vs. Graphenfärbung
13 / 16
Symmetrie
7
9
3 8 2
4 9 8 2
3 6
2
7
3 8
5 4
5 8 3
6
7
1
1 8 6 3
9
2
5 1 4
6 2 1 4
5 8
4
9
5 1
7 6
7 1 5
8
9
3
3 1 8 5
Anzahl möglicher Sudokus:
≈ 6,67 · 1021 = 6,67 Trilliarden
Anzahl nichtsymm. Sudokus:
≈ 5,47 · 1010 = 54,7 Milliarden
Sudoku vs. Graphenfärbung
13 / 16
Aktuelle Forschung
Umgang mit Symmetrien
. Ursache: Äquivalente Lösungen
. Problem: Langsamer,
schlechtere Abschätzungen
. Idee: Sortierung
Sudoku vs. Graphenfärbung
14 / 16
Aktuelle Forschung
Umgang mit Symmetrien
. Ursache: Äquivalente Lösungen
. Problem: Langsamer,
schlechtere Abschätzungen
. Idee: Sortierung
Sudoku vs. Graphenfärbung
14 / 16
Aktuelle Forschung
Umgang mit Symmetrien
. Ursache: Äquivalente Lösungen
. Problem: Langsamer,
schlechtere Abschätzungen
. Idee: Sortierung
Sudoku vs. Graphenfärbung
14 / 16
Aktuelle Forschung
Umgang mit Symmetrien
. Ursache: Äquivalente Lösungen
. Problem: Langsamer,
schlechtere Abschätzungen
. Idee: Sortierung
Ganzzahlige Programmierung
. Lösen “riesiger” Gleichungssysteme
. Anwendungen:
I
I
I
Frequenzzuweisung
Fahrplanerstellung
Chip-Design, . . .
Sudoku vs. Graphenfärbung
14 / 16
P = NP? P 6= NP?
Ausgangslage
. Seien ein beliebiger Graph und eine beliebige Zahl k ∈ N gegeben
. Suchverfahren: Findet Färbung mit k Farben oder stellt fest, dass der
Graph nicht k-färbbar ist
. Prüfverfahren: Überprüft für vorgegebene k-Färbung, ob sie korrekt ist
Ein Millennium-Problem
Sudoku vs. Graphenfärbung
15 / 16
P = NP? P 6= NP?
Ausgangslage
. Seien ein beliebiger Graph und eine beliebige Zahl k ∈ N gegeben
. Suchverfahren: Findet Färbung mit k Farben oder stellt fest, dass der
Graph nicht k-färbbar ist
. Prüfverfahren: Überprüft für vorgegebene k-Färbung, ob sie korrekt ist
Ein Millennium-Problem
. Frage: Gibt es ein Suchverfahren, das “vergleichbar” schnell ist wie ein
effizientes Prüfverfahren?
Sudoku vs. Graphenfärbung
15 / 16
P = NP? P 6= NP?
Ausgangslage
. Seien ein beliebiger Graph und eine beliebige Zahl k ∈ N gegeben
. Suchverfahren: Findet Färbung mit k Farben oder stellt fest, dass der
Graph nicht k-färbbar ist
. Prüfverfahren: Überprüft für vorgegebene k-Färbung, ob sie korrekt ist
Ein Millennium-Problem
. Frage: Gibt es ein Suchverfahren, das “vergleichbar” schnell ist wie ein
effizientes Prüfverfahren?
. Antwort: Ungeklärt . . .
Sudoku vs. Graphenfärbung
15 / 16
P = NP? P 6= NP?
Ausgangslage
. Seien ein beliebiger Graph und eine beliebige Zahl k ∈ N gegeben
. Suchverfahren: Findet Färbung mit k Farben oder stellt fest, dass der
Graph nicht k-färbbar ist
. Prüfverfahren: Überprüft für vorgegebene k-Färbung, ob sie korrekt ist
Ein Millennium-Problem
. Frage: Gibt es ein Suchverfahren, das “vergleichbar” schnell ist wie ein
effizientes Prüfverfahren?
. Antwort: Ungeklärt . . .
. Belohnung: 1 Million Dollar
Sudoku vs. Graphenfärbung
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Sudoku vs. Graphenfärbung
Wenn alles verschieden sein muss
Timo Berthold
Zuse Institut Berlin
DFG-Forschungszentrum MATHEON
Mathematik für Schlüsseltechnologien
Berlin, 14.06.2008