Einfuehrende Bemerkungen zum Worksheet

Einfuehrende Bemerkungen zum Worksheet-Interface
(sheet_1.mw)
Vorbemerkungen:
MAPLE 16 vereinigt die Faehigkeiten eines Computeralgebra-Programms fuer
symbolisches und numerisches Rechnen
mit denen eines einfachen Textverarbeitungsprogramms.
Im oberen Teil des Bildschirms sehen Sie eine Menü-Leiste und darunter eine SymbolLeiste (-> Bild).
Klicken Sie in der Menue-Leiste mit der linken Maustaste (nacheinander) auf
File New Worksheet Mode
(-> es öffnet sich ein neues worksheet)
Sie können es wieder schliessen mit
File Close Document
Sie können Text oder Maple-Befehle kopieren, indem Sie diese mit der linken
Maustaste markieren und dann
mit der rechten Maustaste im Menue wählen
Edit Copy ,
den Cursor mit der linken Maustaste an eine neue Stelle klicken und dann
mit der rechten Maustaste wählen
Edit Paste
Wenn Sie oben in der Menue-Leiste das untere Häckchen links von 'Text' anklicken,
dann öffnen sich Paletten zur Eingabe von Sonderzeichen, z.B. von
.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------Ein- und Ausgabe-Modi:
In Maple 16 existieren fuer die Maple-Befehle unterschiedliche Ein- und AusgabeModi.
Sie sehen links unterhalb der Icons die Worte TEXT und MATH.
Text-Modus als Eingabe-Modus:
Eingabe-Modus den Text-Modus, da er 'am geringsten
stoeranfaellig' ist.
Dazu muss, wie im obigen Bild, das Wort Text angewaehlt sein !
Beim Oeffnen eines neuen worksheets gelangen Sie in den Eingabe-Modus 'Text',
indem Sie nacheinander anklicken
File - New - Worksheet Mode
Math-Modus als Ausgabe-Modus:
Die Ausgabe von Maple-Ergebnissen sieht im Math-Modus am besten aus.
Globale Einstellung von Eingabe-Modus 'Text' und Ausgabe-Modus 'Math':
Waehlen Sie dazu in der obersten Menue-Zeile nacheinander
Tools
Options
Display
und dann
Maple Notation (bei - Input Display)
2-D Math Notation (bei - Output Display)
zuletzt
Apply Globally.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------Text-Modus (als Eingabe-Modus) beginnt jeder Maple-Befehl mit dem Zeichen >
und muss mit Semikolon oder Doppelpunkt abgeschlossen werden.
Abschluss mit Semikolon wird das zugehoerige Ergebnis angezeigt.
Beim Abschluss mit Doppelpunkt wird der Maple-Befehl zwar ausgeführt,
das Ergebnis jedoch nicht angezeigt.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------Eingabe von Maple-Befehlen:
Klicken Sie auf das Icon [>.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------Eingabe von Text:
Klicken Sie auf das Icon T.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------Leerzeichen und Kommentare
Leerzeichen innerhalb von Maple-Befehlen werden von Maple ignoriert (nicht jedoch
innerhalb von Maple-Befehlsnamen).
Kommentare zu einem Maple-Befehl koennen an diesen angeschlossen werden
und beginnen mit dem Zeichen #.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------Formatieren von Text
Der eingegebene Text laesst sich formatieren (Menuepunkt 'FORMAT / STYLES').
Weitere Informationen zum worksheet folgen in einem spaeteren Kapitel bzw. finden Sie
mit
> ?worksheet
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Einfache Rechenoperationen mit reellen Zahlen
(arith.mw)
Neue Maple-Befehle in diesem Kapitel:
restart, evalf, Digits.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------3 wichtige Regeln in MAPLE:
!
anstelle des Kommas ein Punkt geschrieben !
nur runde Klammern
verwendet werden !
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------Exaktes Rechnen, Umwandlung in Dezimalbrueche
Maple rechnet exakt und kann mit beliebig grossen Zahlen arbeiten.
Maple unterscheidet zwischen gebrochenrationalen Zahlen (z.B. 2/3) und
Dezimalbruechen.
Bei der Ausgabe einer rationalen Zahl wird diese (wenn möglich) automatisch gekürzt.
Der MAPLE-Befehl evalf(A) (Bedeutung: evaluate using floating-point arithmetic)
wandelt einen reellen Ausdruck A in einen Dezimalbruch mit n=10 'signifikanten' Stellen
um.
Diese Zahl n der signifikanten Stellen ist in der globalen Varibalen Digits gespeichert
und kann mit Digits:=n geändert werden.
Beispiele:
> evalf(4700/31); # Ausgabe mit 10 signifikanten Stellen
151.6129032
(1)
Das gleiche Ergebnis erhaelt man auch ohne evalf, indem man irgendeine der beteiligten
ganzen Zahlen mit einem Punkt versieht:
> 4700/31.; 4700./31;
151.6129032
151.6129032
(2)
Aenderung der Anzahl n signifikanter Stellen mit Digits:=n:
> Digits:=5:
> evalf(4700/31); # Ausgabe mit 5 signifikanten Stellen
151.61
(3)
Wir setzen Digits wieder auf seinen default-Wert 10 zurueck:
> Digits:=10:
Der MAPLE-Befehl evalf(A, n)
wird verwendet, wenn man einzelne Ausdrücke A mit einer speziellen Anzahl n
'signifikanter Stellen'
(abweichend vom global eingestellten Digits-Wert) ausgeben will:
> evalf(3/7,5); # 5 signifikante Stellen
0.42857
> evalf(3/7); # 10 signifikante Stellen
0.4285714286
(4)
(5)
In einer Rechnung, die rationale Zahlen enthält, sollte man evalf (und damit
das Runden von Dezimalbrüchen)
erst im Endergebnis verwenden, da sich dann die Rundungsfehler am geringsten
auswirken !
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------Grundrechnungsarten in MAPLE
Rechenoperatoren sind +, - , * (links neben der Eingabetaste), /.
Potenzieren erfolgt mit ** oder mit ^ (auf der Tastatur links oben).
Gleichheits- bzw. Ungleichheitsrelationen gelten die Operatoren
= , < , <= , > , >= sowie <> für ungleich.
Die 'Fakultaet einer natürlichen Zahl n' (einschließlich der Null) wird mit n!
gebildet.
Ein Rueckgriff auf das letzte, vorletzte, vorvorletzte Ergebnis erfolgt mit % bzw.
%%" bzw. %%%.
werden
und bilden dann eine sog. 'Folge'. Die Ergebnisse werden dann ebenfalls als Folge
ausgegeben.
Der MAPLE-Befehl restart
Hat man in der gleichen MAPLE-Sitzung nacheinander mehrere Aufgaben zu loesen,
so empfiehlt es sich, jede Aufgabe mit dem MAPLE-Befehl restart zu beginnen.
restart loescht alle vorherigen Ergebnisse aus dem RAM-Speicher, wirkt also wie ein
'Reset'.
Beispiele:
> restart:
> 20!, 5!, 0!; # Fakultäten
(6)
> 5*11/19: # das Ergebnis wird berechnet, aber nicht
angezeigt
> 5*11/19;# das Ergebnis wird angezeigt
55
19
> %+7^(2/3);# Exaktes Ergebnis
(7)
(8)
Eine 'Ausdrucksfolge' zur Demonstration von evalf :
> evalf(%/7,4), evalf(%,4)/7, evalf(evalf(%,4)/7,4) , %; #
Ausdrucksfolge
(9)
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------Fehlermeldungen, Tippfehler:
Hinweis darauf,
dass der Befehl nicht verstanden wurde, z.B. wegen eines Tippfehlers !
Beispiel:
> evalv(21/34); # Tippfehler: evalv statt evalf
(10)
Durch Klicken auf eine Fehlermeldung von MAPLE gelangt man zur ONLINE HILFE
> evalf(21/34;
Error, `;` unexpected
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------Das Icon !!!
Anklicken des Icons !!! bewirkt, dass alle Maple-Befehle im Worksheet
nacheinander ausgeführt werden !
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Konstante, Variable, Funktionen
(Funkt.mw)
Neue Maple-Befehle in diesem Kapitel:
assign, alias, evalb, diff, int, piecewise, sum, product
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------Wertzuweisung an eine Variable:
Betrachten wir die Variable p. Unmittelbar nach 'restart' ist ihr noch kein Wert
zugewiesen.
> restart: p;
p
Die Zuweisung eines Wertes an eine Variable erfolgt mit:
Als Beispiel haben wir bereits kennengelernt:
Auf der rechten Seite koennen stehen:
Mathematische Ausdruecke, Funktionen und Gleichungen.
(11)
name := expression;
Digits:=3;
Variablennamen:
Fuer 'name' gelten die folgenden Regeln:
- Er muss mit einem Buchstaben beginnen. Danach koennen Zahlen, Unterstriche
oder weitere Buchstaben folgen
- Sonderzeichen wie %, @, # u.a. sind nicht zugelassen
- Namen von Maple-Befehlen bzw. von vordefinierten Konstanten sind nicht erlaubt.
Fuer Variablen-Namen stehen auch griechische Buchstaben zur Verfuegung (vgl. Palette
'Greek'):
> alpha, beta, gamma, Gamma, delta, Delta, epsilon,
Epsilon, chi, psi, kappa, Psi, mu, nu, eta, omega,
Omega,pi, PI, zeta;
(12)
Beispiel 1:
Der Variablen p wird der Wert 'x^2+3*x+7' zugeordnet, waehrend die Variable x hier
noch keinen Wert besitzt.
> restart: p:=x^2+3*x+7:
> p, x; # Ausdrucksfolge
(13)
Beispiel 2:
Der Variablen Gl wird eine Gleichung zugeordnet
> Gl:= x**2 - 3*x + 5 = 0;
(14)
Entfernen des Wertes von einer Variablen erfolgt mit name:='name':
> p;
(15)
> p:='p':
> p;
p
(16)
Setzt man eine Variable, der vorher bereits ein Wert zugeordnet wurde, innerhalb
eines Ausdruck in Hochkomma, also '....',
so wird ihr Wert an dieser Stelle nicht eingesetzt - obwohl sie diesen nach wie vor
besitzt:
> x:= z^3 + 2*z +8;
(17)
> 'x'^2, x^2;
(18)
Ergänzung: Die Maple-Befehle assign und unassign:
Der Maplebefehl assign(a=A) hat die gleiche Wirkung wie a:=A
Der Maplebefehl unassign('a') hat die gleiche Wirkung wie a:='a'.
Beispiel:
> restart:
> a=3: # Keine Wertzuweisung !
> a;
a
(19)
> assign(a=3);
> a;
3
(20)
> unassign('a'):
> a;
a
(21)
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------Vordefinierte mathematische Konstanten:
Informationen ueber alle vordefinierten Konstanten erhalten Sie mit:
?initialconstants.
Einige Beispiele sind:
Pi = Kreisteilungszahl (PI und pi sind dagegen griechische Buchstaben).
I = Imaginaere Einheit
infinity (= unendlich)
true, false, FAIL (fuer logische Operationen).
Die Zahl e (= Eulersche Zahl) ist nicht vordefiniert. Folglich: e^x liefert nicht die
Exponentialfunktion !!!!!!!!
Der richtige Ausdruck für die Exponentialfunktion ist: exp(x) !!!!!!!!
Beispiele:
> restart:
> e,pi, PI; # dies sind nur Buchstaben 'ohne Wert' !
(22)
> exp(-1);
evalf(exp(-1)); # Exponentialfunktion
e
0.3678794412
> Pi, evalf(Pi/2,4);# Kreisteilungszahl Pi
(23)
(24)
> I^6; # Imaginäre Einheit I
(25)
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------Verwendung von Abkuerzungen (Maple-Befehl alias):
Um etwa fuer exp die Abkuerzung e einzufuehren, schreibt man:
> alias(e = exp);
e
(26)
Wir berechnen damit einige Werte der Exponentialfunktion exakt bzw. als genaeherte
Dezimalbrueche:
> e(-1), e(0), e(3/7); # Exakte Werte !
(27)
> evalf(%);# Naeherungen mit Digits:=10
(28)
Die 'Abkuerzung' wird wieder geloescht mit :
> alias(e=e);
Der folgende Befehl kann nun nicht mehr ausgefuehrt werden - wird somit nur
wiederholt:
> evalf( e(-1));
(29)
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------Vordefinierte Funktionen; Definition eigener Funktionen
Eine Liste der vordefinierten Funktionen erhalten Sie mit ?inifcns
Einige Beispiele hiervon sind:
sin, cos, tan, cot
und
arcsin, arccos, arctan, arccot
sqrt, surd
exp
und
ln, log10, log[b]
sinh, cosh, tanh, coth und
arcsinh, arccosh, arctanh, arccoth
abs, min, max, signum, round, trunc
evalb
Die Quadratwurzel einer Zahl Z erhaelt man mit sqrt(Z),
die n-te Wurzel einer Zahl Z erhaelt man mit surd(Z, n).
Mit evalb(A) erhaelt man den Wahrheitswert (true, false oder FAIL) einer logischen
Aussage A.
FAIL wird ausgegeben, falls nicht entscheidbar ist, ob true oder false vorliegt, :
Beispiele:
> restart:
> sqrt(2), sqrt(2.), surd(3/16, 4);
(30)
> sin(-Pi/4), arccos(1/2), log[5](625);
(31)
> evalb(5<0), evalb(4>=4) ;
(32)
> evalb(I>1); # Wahrheitswert kann nicht entschieden
werden
FAIL
(33)
Wichtig:
Informationen ueber die Syntax einer vordefinierten Funktion erhalten Sie stets
mit ?Befehlsname,
z.B. mit ?abs ueber die Funktion abs(x).
Definition eigener Funktionen (3 Möglichkeiten):
a) mit Hilfe eines Ausdrucks u:=A(x,y,z).
Berechnung von Funktionswerten mit subs(x=x0, y=y0, z=z0, u)
b) mit 'Pfeilzuweisung': (x, y, z) - > A(x,y,z)
Berechnung von Funktionswerten durch direktes Einsetzen der Argumente
oder
c) mit Hilfe selbst geschriebenen Prozedur proc(....)
Beispiele:
> restart: u:=y/(x^2+y^2); # Beispiel zu a)
(34)
> subs(x=1/2, y=2, u);
# Funktionswert
8
17
> restart: f:=(x,y)->y/(x^2+y^2); # Beispiel zu b)
(35)
(36)
> f(1/2, 2); # Funktionswert
8
17
(37)
Wir verwenden im Folgenden i.a. die Darstellung a), da sie fuer die meisten
Anwendungen vorteilhafter ist !
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------Differenzieren, intergieren, grafische Darstellung im Schnelldurchgang
Damit Sie mit den vordefinierten und mit eigenen Funktionen schon erste Uebungen
durchfuehren koennen,
sollen hier einfache Befehle fuer grafische Darstellung, Differenzieren und Integrieren
vorgestellt werden.
Beispiel:
> restart: g:=exp(-u/4)*sin(5*u);
(38)
> plot(g, u=0..10, color=black): # Graph zu g(u) in 0<=u<=
10, schwarze Farbe
> Diff('g', u)=diff(g, u):
# 1. Ableitung von
g nach u
> Diff('g', u$3)=diff(g, u$3):
# 3. Ableitung von
g nach u
> Int(g,u)=int(g, u) + C:
# Integration von g
nach u (unbestimmt)
> Int(g, u=0..5)=int(g, u=0..5):
# Integration von g
>
nach u (bestimmt)
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------Eine stueckweise zusammengesetzte Funktion f (x) wird aufgerufen mit
g: = piecewise(Bedingung_1, f_1, Bedingung_2, f_2,.. ..., Bedingung_n, f_n, f_sonst)
mit den Parametern:
f_i
- ein Ausdruck, fuer den die Bedingung_i gilt
Bedingung_i
- eine Relation (oder eine boolsche Kombination von
Ungleichungen)
f_sonst
- Ausdruck, der ansonsten gelten soll.
> restart:
> g:=piecewise(x<0,0, x<1, x, x<2, x-2, 0);
(39)
Mit dieser Darstellung gelingt auf einfache Weise Differenzieren, Integrieren und
grafische Darstellung:
> diff(g, x):
> int(g, x):
> plot(g, x=-1..3, color=red):
Die Berechnung von Funktionswerten ist einfacher mit der 'Pfeildarstellung':
> g1:=x->piecewise(x<0,0, x<1, x, x<2, x-2, 0);
(40)
> g1(0.2), g1(1.6), g1(2.5);
(41)
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------Summen und Produkte:
Mit Sum wird die Summe mit Summenzeichen dargestellt, mit sum wird sie - wenn
möglich - berechnet:
> Sum(1/k^2, k=1..infinity)=sum(1/k^2, k=1..infinity);
(42)
Mit Product wird das Produkt mit Produktzeichen dargestellt, mit product wird es - wenn
möglich - berechnet):
> Product(1/k^2, k=1..4)=product(1/k^2, k=1..4);
(43)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Library-Struktur, Hilfen in Maple
(Hilf.mw)
Library-Struktur
Maple hat einige tausend Befehle. Nach dem Aufruf von Maple stehen zunaechst nur die
Befehle
der Standard-Library zur Verfuegung. Die restlichen Befehle sind auf etwa 100 sog.
packages verteilt.
?index,package koennen Sie sich ueber alle packages informieren.
Es gibt mehrere Pakete speziell für Studenten, z.B.:
Student[Calculus1]
Student[LinearAlgebra]
Student[NumericalAnalysis]
.....
Weitere wichtige Pakete sind z.B.
CurveFitting
plots
Statistics
DEtools
inttrans
VectorCalculus
.....
Man kann ein Paket mit dem Befehl with(package) laden - aber auch auch einzelne
Befehle aus einem Paket laden (-> vgl. Beispiele).
Der Befehl unwith(package) macht den Befehl with(package) wieder rueckgängig.
> ?index,package
> restart: with(Student); # Dieses package enthält weitere
subpackages
(44)
(44)
Wir laden das subpackage Calculus1 aus dem package Student mit:
> restart: with(Student[Calculus1]);
(45)
Wir laden den Maple-Befehl ExtremePoints aus dem subpackage Calculus1 des
packages Student mit:
> restart: with(Student[Calculus1], ExtremePoints ); # Ein
Befehl aus dem subpackage
(46)
Beispiel mit dem Befehl Extreme Points:
> ExtremePoints( 3*x^5 - 5*x^3 + 3, x );
(47)
Die Miscellaneous Library enthaelt weitere Ergaenzungen zu Maple -> Aufruf mit ?misc.
Maple-Hilfe:
Die wichtigsten Moeglichkeiten, um Hilfe zu bekommen, sind:
a) Anklicken des Help-Menüs in der Menü-Zeile des worksheets
b) ?name oeffnet den Hilfetext, der ueber die Syntax eines Befehls name informiert.
Beispiel: ?log
c) Anklicken von Tools - Assistants
d) Anklicken von Tools - Tutors
e) INTERNET:
Maple-Hilfe
Maplesoft Application Center
rwth-Aachen
Student Edition
Maple_fuer_Studierende (Link nur fuer Studierende)
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