Mitschrift der Vorlesung aus dem WS 05/06

Transcription

Differentialgeometrie von
Mannigfaltigkeiten
Ulrich Pinkall
Dies ist eine Mitschrift gleichnamiger Vorlesung gehalten von Ulrich Pinkall im
Wintersemester 2004/2005 an der TU-Berlin. Angefertigt wurde sie von Dmitri
Naumov und Thomas Gelzhäuser.
Diese Mitschrift enthält jede Menge Fehler. Wer welche findet wird herzlichst
gebeten, diese an [email protected] zu senden. Vielen Dank.
Inhaltsverzeichnis
1
Tangentialräume
5
2
Lie-Gruppen und Lie-Algebren
13
3
Graßmann-Mannigfaltigkeiten
19
4
Vektorbündel
23
5
Richtungsableitung in Vektorbündel
30
6
Geodätische
42
7
Länge und Energie von Kurven
48
8
Variation
49
9
Abstand und Abstandsfunktion
54
10 Die 2. Variationsformel
73
11 Der Satz von Gauss-Bonnet
77
14. November 2006
21.10.
Einleitung und grundlegende Begriffe
Definition 0.1. [Differenzierbare Abbildung] Sei f : U → Rm , U ⊂ Rn offen. f heißt eine differenzierbare Abbildung, wenn alle partiellen Ableitungen
der Komponentenfunktionen fi existieren. D.h. “glatte” oder “differenzierbare”
Abbildungen sind immer C ∞ .
n
Definition 0.2. [glatt] Zu
jedem x ∈ A gibt es offene MengenmW ⊂ R , so daß
x ∈ W und f W ∩A = f˜A für glatte Abbildungen f˜ : W → R
Eigenschaften:
• Seien A ⊂ Rn , B ⊂ Rk und g : A → B, f : B → Rm glatt. Dann ist f ◦ g
glatt.
• Die Identität Id(x) = x ist immer glatt.
Definition 0.3. Sei A ⊂ Rn , B ⊂ Rk . Dann heißt f ein Diffeomorphismus,
wenn f bijektiv ist und wenn f und f −1 : B → A beide glatt sind.
Definition 0.4.
M ⊂ Rk heißt n-dimensionale Mannigfaltigkeit, wenn jeder
Punkt x ∈ M eine Umgebung V = M ∩ W hat, W ⊂ Rk offen, die diffeomorph
ist zu einer offenen Menge U ⊂ Rn ist. Das heißt, es existiert ein Diffeomorphismus φ : V → U mit φ−1 =: f : U → V . φ nennt man Karte auf M und f nennt
man Parametrisierung von V.
I Beispiel 0.5. S n ⊂ Rn+1 , S n = {x ∈ Rn+1 x21 + · · · + x2n+1 = 1}.
27.10.
1 Tangentialräume
Sei M ⊂ Rk eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit und x ∈ M . Seien weiter
U ⊂ Rn offen und z ∈ U , g : U → V Diffeomorphismus, V = W ∩ M , W
offen, x ∈ W ⊂ Rk .
5
Definition 1.1. Ein Tangentialraum Tx M von einer Mannigfaltigkeit M im
Punkt x ∈ M ist der lineare Unterraum Bild dz g ⊂ Rk .
Zu zeigen ist, daß Tx M wohldefiniert, d.h. unabhängig von der Wahl von g ist.
V̂ = V ∩ Ṽ , Û = g −1 (V̂ ).
k
k
? R _?? g̃
??

??

_______/ˆ
Û ____g̃−1
˜U
◦g
? R _?? dz̃ g̃

??

?

/ Rn
`
`
`
`
`
`
`
`
n
`
R
g
dz g
dz (g̃ −1 ◦g)
Folgerung: dz g(Rn ) ⊆ dz̃ g̃(Rn ).
k
? R _?? dz̃ g̃

??

?

`
n
o
```````
`
Rn
R
dz g
dz (g −1 ◦g̃)
dz̃ g̃(Rn ) ⊂ dz g(Rn ) ⇒ Bild dz g = Bild dz̃ g̃.
Satz 1.2. Sei M ⊂ Rk eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit, x ∈ M . Dann ist
dim Tx M = n.
Beweis. Seien g, z, U und V wie vorher. g −1 : V → U lässt sich glatt fortsetzen
zu F : W → Rn . g −1 = F V .
? W ??
??F

?

U Inklusion / Rn
g
k
R ?
??dx F
?

??

/ Rn
`
`
`
`
`
`
`
Rn ``
dz g
Identität
somit ist dz g injektiv, also gilt dim Tx M = dim(Bild dz g) = n.
1
I Beispiel 1.3. Betrachte den Einheitskreis in
Sei M =
x =
,
0
cos t
U = (− π4 , π4 ), g : U → V , g(t) =
, W = {(x, y) ∈ R2 |y| < x},
sin t
y
2
F : R → R, F (x, y) = arctan( x ).
R2 .
d0 g : R →
6
R2 ,
g10 (0)
0
d0 g(v) = v · 0
.
=v·
g2 (0)
1
S1.
Seien M und N Mannigfaltigkeiten, f : M → N glatt und sei f (x) = y für
x ∈ M.
Definiere dann dx f : Tx M → Ty N .
W ⊂ Rk offen, F : W → Rk , F W ∩M = f W ∩M : — f fortgesetzt auf F in
kleinerer Umgebung.
dx f (v) = dx F (v) mit v ∈ Tx M .
Ziel ist zu zeigen, daß:
1. dx f (v) unabhängig von der Wahl von F .
2. dx f (v) ∈ Ty N .
Seien g : U → M Parametrisierung der Umgebung g(U ) von x ∈ M und
h : V → N Parametrisierung der Umgebung h(V ) von y ∈ N .
Nehme an: g(U ) ⊂ W und f (g(U )) ⊂ h(V ). F ist dort definiert und U muß
eventuell kleiner gemacht werden.
/ Rl ⊃ h(V )
O
F
g(U ) ⊂ W
O
g
h
U
/V
h−1 ◦F ◦g
h−1 ◦ F ◦ g ist dann eine wohldefinierte Abbildung.
dx F
RO k
/ Rl
O
dz g
dw h
Rn
/ Rm
dz (h−1 ◦f ◦g)
m = dim N , h(w) = y, g(z) = x.
Zu sehen ist:
dx F ( Tx M ) ⊂ Ty N
| {z }
|{z}
Bild dz g
Bild dw h
Für v ∈ Tx M kann dx F (v) auch berechnet werden durch den Weg
Tx M
Rn
O
/ Rm
ohne Benutzung von F , somit ist dx F (v) unabhängig von F .
7
Satz 1.4. Seien M , N und P Mannigfaltigkeiten, f : M → N und g : N → P
glatt, und f (x) = y. Dann gilt dx (g ◦ f ) = dy g ◦ dx f .
Satz 1.5. Sei I : M → M Identität, I(x) = x. Dann ist dx I : Tx M → Tx M
Identität auf Tx M .
Etwas allgemeiner: Ist M ⊂ N offen, i : M → N , i(x) = x Inklusion, dann ist
dx i : Tx M → Tx N Inklusion von Vektorräumen.
BILD
Satz 1.6.
Sei f : M → N ein Diffeomorphismus und x ∈ M . Dann
ist dx f : Tx M → Tf (x) N ein Vektorraumisomorphismus. Insbesondere gilt
dim M = dim N .
Beweis.
N
? ???f −1

??

/M
M
f
I
Tf (x) N
?? df (x) f −1
?
??

?

/
`
`
`
`
`
`
`
`
Tx M
Tx M
I
dx f
28.10.
Der folgende Satz sollte aus der Analysis II bekannt sein:
Satz 1.7. [Satz über Umkehrfunktionen] Sei Ũ offen, f : Ũ → Rn stetig differenzierbar, a ∈ Ũ , det f 0 (a) 6= 0 (genau dann, wenn da f Vektorraumisomorphismus
n
ist). Dann gibt es eine Umgebung
U ⊂ Ũ von a, und eine Umgebung
−1 V ⊂ R
von b = f (a),
so daß (f U ) : U → V eine Umkehrabbildung (f U ) : V → U
−1
hat und (f U ) stetig differenzierbar ist.
Dieser Satz gilt auch für glatte f . (Hieraus folgt, daß (f U )−1 auch glatt (C ∞ )
ist.) Anwenden auf f : M → N — N und M n-dimensionale Mannigfaltigkeiten
— ergibt den folgenden Satz.
8
Satz 1.8. Seien M , N Mannigfaltigkeiten, f : M → N glatt, x ∈ M und
y = f (x). Sei weiter dx f : Tx M → Ty N ein Vektorraumisomorphismus. Dann
gibt
es eine Umgebung U von x in M und eine Umgebung V von y in N , so daß
f U : U → V ein Diffeomorphismus ist.
Definition 1.9.
Sei f : M → N, dx f ein Vektorraumisomorphismus für alle
x ∈ M . f heißt dann lokaler Diffeomorphismus.
Ein lokaler Diffeomorphismus ist nicht notwendigerweise ein Diffeomorphismus.
n
m
Satz 1.10. [Satz über implizite Funktionen]
Seien U ⊂R ×R offen, (a, b) ∈ U ,
i
f : U → Rm stetig differenzierbar, A = ∂x∂fn+j
(a, b)
.
1≤i,j≤m
Gilt det A 6= 0, so gibt es offene Menge V ⊂ Rn , a ∈ V und offene Menge
W ⊂ Rm , b ∈ W , so daß zu jedem x ∈ V es genau ein g(x) ∈ W gibt mit
f (x, g(x)) = 0. g ist C 1 .
Wir brauchen diesen Satz allerdings in der C ∞ -Version.
9
Satz 1.11. [Submersionssatz] Sei U ⊂ Rk offen, f : U → Rm glatt, M =
f −1 (0).
Für alle x ∈ M gelte, daß dx f : Rk → Rm surjektiv ist. Dann ist M eine
(k − m)-dimensionale Mannigfaltigkeit.
Beweis. Sei x ∈ M , d.h. f (x) = 0. Dann hat die Jacobi-Matrix
 1

f1 (x) . . . fk1 (x)


..
..
..
A=

.
.
.
m
m
f1 (x) . . . fk (x)
Rang m, also m linear unabhänigige Spalten. Ersetze f eventuell durch f ◦ g,
g(x1 , . . . , xk ) = (xσ(1) , . . . , xσ(1) ), σ : {1, . . . , k} → {1, . . . , k} — Permutation.
O.B.d.A. lässt sich g so wählen, daß die letzten m Spalten der neuen Funktion
linear unabhängig sind.
Mit dem Satz über implizite Funktionen bekommt man für offene V ⊂ Rk−m ,
W ⊂ Rm , x ∈ V × W , und g : V → W , so daß M ∩ (V × W ) ist der
Funktionsgraph von g:
M ∩ (V × W ) = {(z, g(z))z ∈ V }.
Die Behauptung folgt dann mit dem folgenden Lemma.
n
m glatt. Dann ist der Graph
Lemma 1.12. Sei
V ⊂ R offen, g : V → R n+m
M := {(z, g(z))z ∈ V } eine Mannigfaltigkeit in R
.
Beweis. f : V → M , f (z) = (z, g(z)) ist glatt, bijektiv und f −1 : M → V ,
(z, g(z)) 7→ z lässt sich auf die offene Menge W = V × Rm in Rn+m erweitern
durch π : W → Rn : π(x, y) = x.
Also ist f −1 glatt und f diffeomorph.
10
I Beispiel 1.13. Betrachte die Sphäre gegeben durch S n = {x ∈ Rn+1 x21 +
· · · + x2n+1 = 1} = f −1 (0) für f : Rn+1 → R, f (x) = x21 + · · · + x2n+1 − 1. Falls
x 6= 0, dann ist Rang(f1 (x), . . . , fn+1 (x)) = Rang(2x1 , . . . , 2xn+1 ) = 1. Daher
ist dx f surjektiv für alle x ∈ S n und S n ist eine Mannigfaltigkeit.
I Beispiel 1.14. Algebraische
Hyperfläche M = {x ∈ Rn p(x)}, p – Polynom.
M = {(x, y, z) ∈ Rn x3 − x2 y + z 7 = 1} ist eine Mannigfaltigkeit genau dann,
wenn das folgende Gleichungssystem keine Lösung hat:
P (x, y, z) = x3 − x2 y + z 7 − 1 = 0,
∂P
∂P
∂P
= 3x2 − 2xy = 0,
= −x2 = 0,
= 7z 6 = 0.
∂x
∂y
∂z
Definition 1.15. Seien M und N Mannigfaltigkeiten, f : M → N glatt, x ∈ M .
Dann heißt f Immersion (Sumbersion) in x, wenn dx f : Tx M → Tf (x) N injektiv
(surjektiv) ist.
Satz 1.16. [Submersionssatz] Seien M und N Mannigfaltigkeiten, f : M → N
glatt, y ∈ N . Es gelte, daß f eine Submersion in allen Punkten x mit f (x) = y
ist. Dann ist f −1 (y) eine Mannigfaltigkeit der Dimension dim M − dim N .
Beweis. Wähle offene Umgebungen Û ⊂ M von x und V̂ ⊂ N von y mit
Parametrisierung g von Û und h von V̂ , so daß f (Û ) ⊂ V̂ und f˜ = h−1 ◦ f ◦ g.
Seien a, b, so daß g(a) = x, h(b) = y. Dann folgt aus der Surjektivität von dx f ,
daß da f˜ = dy h−1 ◦ dx f ◦ da g auch surjektiv ist. Dies gilt für alle x.
11
03.11.
I Beispiel 1.17.
2
• M : Rn = gl(n, R) = {n × n -Matritzen}
• N = Sym(n, R) = {y ∈ gl(n, R)Y = Y t }
I Beispiel 1.18. f (A) = AAt ⇒ f −1 (I) = O(n) = {A ∈ gl(n, R)AAt = I}
Wir wollen nun zeigen, daß die orthogonalen Matritzen ebenfalls eine Mannigfaltigkeit sind. Dazu zeigen wir: Für A ∈ O(n) ist dA f : gl(n, R) → sym(n, R)
surjektiv. Für A = I gilt:
dI f (Y ) = Y I t + IY t = Y + Y t .
Betrachten wir nun A : (− ε, ε) → gl(n, R) mit A(0) = I und A0 (0) = Y .
Daraus folgt dann mit Hilfe der Leibnizregel:
dI f (Y ) = (AAt )0 (0) = A0 (0)A(0)t + A(0)(A0 (0))t = Y + Y t .
Sei Z ∈ Sym(n, R), d.h. Z = Z t . Setze Y =
Z = dI f (Y ) und surjektiv.
1
2 Z.
Damit ist Y + Y t = Z,
Im Allgemeinen: Sei A ∈ O(n), AAt = I, Y = 21 ZA. Dann gilt
dA f (Y ) = Y At + AY t = 12 (ZAAt + AAt Z t ) = Z.
Satz 1.19.
• O(n) ist Mannigfaltigkeit.
2
• GL(n, R) = {A ∈ gl(n, R)detA 6= 0} (Offene Menge ⊂ Rn , also auch
Mannigfaltigkeit).
12
2 Lie-Gruppen und Lie-Algebren
Definition 2.1. Eine Untergruppe G ⊂ GL(n, R), die eine Mannigfaltigkeit ist,
heißt Lie-Gruppe.
Ein kleiner Hilfssatz vorweg:
Lemma 2.2. dI det(Y ) = Spur(Y ).
Beweis. Sei A : (−, ) → gl(n, R) mit A(0) = I, A0 (0) = Y . Weiterhin sollen
(a1 , . . . , an ) die Spalten von A bezeichnen und (y1 , . . . , yn ) die Spalten von Y ,
so daß det(A) = det(a1 , . . . , an ) ist. Mit Hilfe der Leibniz-Regel gilt dann:
d det A = det(y1 , e2 , . . . , en ) + · · · + det(e1 , . . . , en−1 , yn )
dt t=0
= y11 + · · · + ynn = Spur(Y ).
Satz 2.3.
• O(n) ist eine Lie-Gruppe.
• SL(n, R) = {A ∈ GL(n, R) det A = 1} ist eine Lie-Gruppe.
Beweis. Benutze den Submersionssatz mit M = GL(n, R), N = R und f = det.
Sei jetzt A ∈ SL(n, R), B : (− ε, ε) → GL(n, R) mit B(0) = A, B 0 (0) = Y ∈
GL(n, R) und C(t) := A−1 B(t).
d d dA det(Y ) = det B = det A det C(t) = det A Spur(C 0 (0)).
dt t=0
dt t=0
Nun müssen wir noch überprüfen, ob dA auch surjektiv ist. Dazu wählen wir uns
ein C mit Spur C 0 (0) 6= 0 ⇒ Y = (AC)0 (0) erfüllt, da det Y 6= 0.
13
I Beispiel 2.4. Sei f : R2 → R gegeben durch f (x1 , x2 ) = x21 − x32 . Für y = 0
ist
f −1 (y) = {(x1 , x2 ) ∈ R2 | x21 = x32 }.
f −1 (0) ist keine Mannigfaltigkeit.
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-1
-0.5
0.5
1
Abbildung 1: Graph aus Beispiel 2.4
Definition 2.5. Sei G ⊂ GL(n, R) eine Lie-Gruppe. Der Vektorraum g :=
TI G ⊂ gl(n, R) mit dem Produkt [X, Y ] = XY − Y X heißt die Lie-Algebra
von G.
I Beispiel 2.6.
• Aufgabe: Die Spezielle Orthogonale Gruppe SO(n) := O(n) ∩ SL(n, R)
ist eine Lie-Gruppe.
Definition 2.7. Ein Vektorraum g mit bilinearen Produkt [ , ] : g × g → g heißt
Lie-Algebra, wenn für alle X, Y , Z ∈ g gilt:
1. [X, Y ] = −[Y, X] (Schiefsymmetrie)
2. [X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y ]] = 0 (Jakobi-Identität)
I Beispiel 2.8 (Lie-Klammer (Siehe auch 4.10 auf Seite 26)). Der Vektorraum
g = gl(n, R) = TI GL(n, R) mit [X, Y ] := XY − Y X ist eine Lie-Algebra:
• Die Schiefsymmetrie [X, Y ] = −[Y, X] ist klar.
• Jakobi-Identität: Zuerst ist
[X, [Y, Z]] = X[Y, Z] − [Y, Z]X
= XY Z − XZY − Y ZX + ZY X,
14
und ebenso für [Y, [Z, X]] und [Z, [X, Y ]]. Dann ist
[X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y ]]
= XY Z − XZY − Y ZX + ZY X
+ Y ZX − ZY X − ZXY + Y XZ
+ ZXY − Y XZ − XY Z + XZY
= 0.
Bemerkung: Ein linerarer Unterraum f ⊂ g mit x, y ∈ f ⇒ [x, y] ∈ f ist (mit der
Lie-Klammer) auch eine Lie-Algebra – eine Lie-Unteralgebra von g.
Lemma 2.9. Sei F : (−, ) → GL(n, R). Dann gilt (F −1 )0 = −F −1 F 0 F −1 .
Veranschaulichen kann man sich das leicht für Funktionen:
0
f0
1
= − 2.
f : R → R \ {0};
f
f
Beweis. Leitet man F −1 F = I ab, so ergibt sich (F −1 )0 F + F −1 F 0 = 0 und mit
F −1 von rechts multipliziert folgt die Behauptung: (F −1 )0 +F −1 F 0 F −1 = 0.
Satz 2.10.
Sei G ⊂ GL(n, R) eine Lie-Gruppe. Dann ist
Unteralgebra von gl(n, R).
g
:= TI G Lie-
Beweis. Sei G ⊂ GL(n, R) Lie-Gruppe, X, Y ∈ TI G. A : (− ε, ε) → G eine
Abbildung mit A(0) = I, A0 (0) = X. Für B ∈ G definiere f : G → G, f (C) =
BCB −1 . Dann gilt f (I) = BIB −1 = I. Daraus folgt dI f : TI G → TI G.
Insbesondere gilt BY B −1 = dI f (Y ) ∈ TI G. Anwenden auf B = A(t) ergibt
eine Kurve im Vektorraum Z(t) := A(t)Y A(t)−1 ∈ TI G für alle t.
Z 0 (0) ∈ TI G und es gilt
d Z 0 (0) = A(t)Y A(t)−1 = XY − Y A(0)A0 (0)A−1 (0)
dt t=0
= XY − Y X = [X, Y ]
04.11.
15
Satz 2.11. [Immersionssatz lokal] Seien M, N Mannigfaltigkeiten, f : M → N
Immersion (d.h. dx f injektiv für alle x ∈ M ). Dann hat jeder Punkt x ∈ M eine
offene Umgebung U, so daß f (U ) Mannigfaltigkeit der Dimension m = dim M
ist.
2
2
0
Illustration:
Seien M = R, N = R , f : R→ 0R , f(t) 6= 0 für alle t. f =
f1 (t)
f1 (t)
, dI f : R → R2 linear mit Matrix
f2 (t)
f20 (t)
Beweis. Seien o.B.d.A M ⊂ Rm , N = V ⊂ Rn offen. (Schreibe f˜, statt f , wobei
f˜ = h ◦ f ◦ g −1 eine Immersion ist.)
Wähle ym+1 , . . . , yn linear unabhängig, so daß
Rn = dx f (Rm ) ⊕ Spann(yn+1 , . . . , ym ).
Definiere F : U × Rn+m → Rn mit
F (x, zm+1 , . . . , zn ) := f (x) + zm+1 ym+1 + · · · + zn yn
16
Behauptung: d(x,0) F ist bijektiv. Dazu genügt es zu zeigen, daß F injektiv ist:
Sei
v
w
∈ Rn = Rm ⊕ Rn−m .
Dann ist
v
0 = d(x,0) F
w
d
x
v
= F
+t
0
w
dt t=0
d = (f (x + tv) + tWm+1 Ym + · · · + tWn Yn )
dt t=0
= dx f (v) + W1 Y1 + · · · + Wn Yn
Daraus folgt v = 0 wegen dx f (v) = 0 und
v
w
= 0 wegen W1 = · · · =
Wn = 0.
Mit dem Satz über inverse Funktionen gilt: Es gibt eine offene Umgebung Û von
(x, 0), Û ⊂ Ũ × Rn−m und eine offene Umgebung V̂ von y, V̂ ⊂ V , so daß T Û
ein Diffeomorphismus ist.
17
Dabei definieren wir Ũ = {x̂ ∈ Rm (x̂, 0) ∈ Û }.
f iŨ ist injektiv (weil F Û injektiv ist) und (f Ũ )−1 : f (Ũ ) → Ũ hat F −1 :
V̂ → Rm als differenzierbare Fortsetzung. Also is f glatt und f Ũ : Û → f (Ũ )
ein Diffeomorphismus. Damit ist f (Ũ ) eine Mannigfaltigkeit.
Satz 2.12. [Immersionssatz, global] Seien M , N Mannigfaltigkeiten, f : M → N
injektive Immersion derart, daß f −1 : f (M ) → M stetig ist. Dann ist f (M ) eine
Mannigfaltigkeit.
Bevor der Satz bewiesen wird, soll kurz betrachtet werden, was schiefgehen kann,
wenn man die Stetigkeitsbedingung ausser Acht lässt.
•
• N = {(x, y, z, w) ∈ R4 x2 +y 2 = 1, z 2 +w2 = 1} = S 1 ×S 1 (N ist diffeomorph zum Torus in R3 ), M = R, f (t) = (cos t, sin t, cos(ωt), sin(ωt)).
Wenn ω nicht rational ist, schließt sich die auf dem Torus beschriebene
Spirale nicht und f (R) liegt dicht in N , d.h. für jedes y ∈ N und jede
Umgebung V von y gilt f (R) ∩ V 6= ∅.
Beweis. Im Prinzip funktioniert der Beweis wie beim lokalen Immersionssatz.
Zusätzlich: f −1 stetig:
Sei , so daß |x̃ − x| < ⇒ x̃ ∈ Ũ . Dann gibt es ein δ > 0, so daß für
|z − f (x)| < δ gilt |f −1 (z) − x| < .
18
3 Graßmann-Mannigfaltigkeiten
Definition 3.1. Die Mannigfaltigkeit der k–dimensionalen linearen Unterräume
des Rn bezeichnet man als eine Graßmann-Mannigfaltigkeit — Gk (Rn ).
10.11.
Satz 3.2.
P ∈ gl(n, R) ist die Orthogonalprojektion auf einen k–dimensionalen Unterraum,
genau dann wenn:
P 2 = P,
P T = P,
Spur P = k.
Damit ist Gk (Rn ) realisiert als Teilmenge des Rn(n+1)/2 (oder Rn(n+1)/2−1 mit
Spur k).
Satz 3.3. Sei P ∈ Gk (Rn ). Dann ist P eine Orthogonalprojektion auf UP :=
Bild P und es gilt dim UP = k.
Beweis. y ∈ Rn ⇒ y = P y + (I − P )y, (P y ∈ UP ). Sei z ∈ UP , d.h. z = P w.
h(I − P )y, zi = hy − P y, P wi
= hy, P wi − hy, P t P wi
= 0 d.h. (I − P )y ∈ UP⊥ .
Orthogonale Projektion π : Rn → U ist gegeben durch y ∈ Rn → y = yU + yU ⊥ .
yU ∈ U , yU ⊥ ∈ U ⊥ , πy = yU .
Rechnung zeigt: P y = yU = πy. Umgekehrt: Orthogonale Projektion P auf
k–dimensionale Unterräume U erfüllt PU2 = PU , Spur PU = k, PUt = PU .
Wir wollen einen Satz (S. 22) über die Dimension von Gk (Rn ) beweisen, brauchen aber vorerst einige Lemmata.
Bemerkung: gl(n, R) ist ein euklidischer Raum:
• A ∈ gl(n, R)
19

a11 . . .
 ..
..
• A= .
.
an1 · · ·
• |A|2 =
Pn
i,j
a1n



ann
a2ij
• |A|2 = Spur AAt
Lemma 3.4. Für P , Q ∈ Gk (Rn ) mit |P − Q| < 1 gibt es eine eindeutig
bestimmte lineare Abbildung W : UP → UP⊥ mit Bild P = UP , Bild Q = UQ =
{y + W y y ∈ UP }
Beweis. Sei |P − Q| < 1. Zeige zuerst: P U
: UQ → UP ist Vektorraumi
sometrie. Wegen dim UQ = dim UP genügt es, zu zeigen Kern P U = {0}.
Q
Angenommen, es gäbe ein y ∈ Kern(P U ) mit |y| = 1, d.h. P y = 0, Qy = y.
Q
Dann wäre (P − Q)y = −y. Ergänze y zu ON-Basis a
1 = y,
a2 , . . . , an von
1
0 ∗


Rn . Dann hat P − Q bezüglich a1 , . . . , an die Matrix  .
. Daraus folgt
 ..

Q
0
|P − Q| ≥ 1, was ein Widerspruch ist.
Sei B : UP → UQ . Aus B = (P U )−1 folgt, daß P B = IUP .
Q
Setze W : UP → UP⊥ , W = (I − P )B.
Sei y ∈ UP , dann ist (I + W )y = y + By − P By = y + By − y = By ∈ Uq .
Sei z ∈ UQ , dann ist y := P z ∈ UP und daraus folgt By = z.
20
Nachrechnen ergibt dann (I + W )y = · · · = z.
Lemma 3.5. Ist UQ der Graph von W : UP → UP⊥ , so gilt bezüglich der Zerlegung Rn = UP ⊕ UP⊥ :
Q=
Beweis. A :=
I
W
−W t
I
I
W
−W t
I
P
I
W
−W t
I
−1
ist invertierbar, denn
(det A)2 = det(AAt )
I −W t
I
W
= det
W
I
−W t I
I + W tW
0
= det
.
0
I + WWt
W t W ist selbstadjungiert, also diagonalisierbar.

λ1

..
t
UP → UP ⇒ W W = 
.



λk
bezüglich einer ON-Basis W = (a1 , . . . , ak ) von UP . Aus λj = hW t W aj , aj i =
hW aj , W aj i ≥ 0 folgt det A 6= 0.
I
W
−W t
I
−1
=
I
−W
Wt
I
I + W tW
0
0
I + WWt
Klar: Q̃ = AP A−1 ⇒ Q̃2 = Q̃, Spur Q̃ = Spur P = k
−1
I
Wt
I + W tW
0
Q̃ =
−W I
0
I + WWt
−1
I −W t
I Wt
I + W tW
0
=
W
I
0 0
0
I + WWt
−1
I
Wt
I + W tW
0
=
W WWt
0
I + WWt
(I + W t W )−1
W t (I + W W t )−1
=
W (I + W t W )−1 W W t (I + W W t )−1
I
W
−W t
I
I 0
0 0
21
[(I + W t W )− 1]t = (I + W t W )− 1
W W t (I + W W t )−1 = (I + W W t )−1 W W t
(W W t (I + W W t )−1 )t = (I + W W t )−1 W W t
(W W t (I + W W t )−1 )t = (I + W W t )−1 W
Behauptung: Aus (I + W W t )−1 W = W (I + W W t )−1 folgt W (I + W W t ) =
(I + W W t )W . Wir haben bereits gezeigt, daß Q̃ eine Orthogonalprojektion auf
einen k–dimensionalen Unterraum U ⊂ Rn , U = Bild Q̃ ist.
Behauptung: Bild Q̃ = {(I + W )y y ∈ UP } = UQ .
Bild Q̃ = Bild
I
W
−W t
−I
I 0
0 0
= Bild
I 0
0 0
Satz 3.6. Gk (Rn ) ⊂ gl(n, R) ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension k(n − k).
Beweis. Sei g(w) =
I −wt
w
I
P
I −wt
w
I
−1
. Dann ist g differenzier-
bar.
Behauptung: Es existiert eine Umgebung V von 0 ∈ Rk(n−k) , so daß g V : V →
Gk (Rn ) eine Immersion ist. Hierfür genügt es zu zeigen, daß d0 g injektiv ist.
0 −y t
I −1
d0 g(y) =
P − IP I
y
0
0 −y t
0 I
0 I
0 −y t
−
=
y
0
0 0
0 0
y
0
t
0 y
=
y 0
0 −y t
y
0
−1
Also ist d0 g(y) = 0 nur für y = 0 erfüllt und g ist somit eine Immersion. Damit
der Immersionssatz angewendet werden kann, ist noch zu zeigen, daß 0 → W
stetig ist.
0 −y t
−1
|Q − P | = (I + Z)P (I + Z) − P
Z = y
0
= ((I + Z)P − P (I + Z))(I + Z)−1
= (ZP − P Z)(I + Z)−1
22
= . . . Übungsaufgabe
Zu ε > 0 gibt es ein δ > 0, so daß |Q − P | < δ ist. Daraus folgt |w| < ε.
11.11.
4 Vektorbündel
Definition 4.1.
Sei M eine Mannigfaltigkeit.
1. Ein k–dimensionales Vektorbündel V ist eine glatte Abbildung P : M →
Gk (Rm ) (für irgendein n).
2. Für q ∈ M setze Vq = Bild P (q). Vq heißt Faser von V in q.
3. Die Menge V̂ ⊂ M × Rm , V̂ = {(q, ψ)ψ ∈ Vq } heißt der Totalraum des
Vektorbündels V .
Satz 4.2. Der Totalraum eines k–dimensionalen Vektorbündels V über einer ndimensionalen Mannigfaltigkeit M ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension n + k.
Beweis. Sei q ∈ M , U eine Umgebung von q parametrisiert durch g : Ũ → U ,
Ũ ⊂ Rn . Sei weiter φ̂1 , . . . , φ̂k – Basis von Vq . O.B.d.A. (U kleiner machen) gilt:
|P (y) − P (q)| < 1 für y ∈ U.
Daraus folgt, daß P (q)Vy : Vy → Vq ein Isomorphismus ist.
23
Also sind φ1 (y), . . . , φk (y) ∈ Vy linear unabhängig mit φj (y) = P (y)φ̂j und
Vy = {λ1 φ1 (y) + · · · + λk φk (y)λi ∈ R}.
Sei Û := Ũ × Rk . Definiere dann Abbildung h durch:
h : Û → M × Rm ,
h(z, λ) = (g(z), λ1 φ1 (g(z)), . . . , λk φk (g(z))).
h ist ein Diffeomorphismus (Aufgabe).
Nebenprodukt von dem Beweis ist:
Satz 4.3. Sei V ein Vektorbündel über einer Mannigfaltigkeit M . Dann gibt
es zu q ∈ M eine Umgebung U und φ1 , . . . , φk : M → Rn glatt, so daß
φ1 (y), . . . , φk (y) eine Basis von Vy für alle y ∈ U ist.
Definition 4.4. Sei V ein Vektorbündel über einer Mannigfaltigkeit M . Ein
Schnitt von V ist eine glatte Abbildung ψ : M → Rn , so daß ψq ∈ Vq für alle
q ∈ M.
I Beispiel 4.5. Tangentialbündel von M ⊂ Rn : V = T M . Vp = Tp M .
Aus dem nächsten Satz folgt, daß T M ein Vektorbündel ist.
Satz 4.6. Eine Abbildung P : M → Gk (Rn ) ist genau dann glatt, wenn es zu
jedem q ∈ M eine Umgebung U und glatte Abbildungen φ1 , . . . , φk : U → Rn
gibt, so daß φ1 (y), . . . , φk (y) eine Basis von Bild P (y) für alle y ∈ U ist.
Beweis. Im Fall von T M : g : Ũ → U — Parametrisierung, X1 , . . . , Xn : U →
Rn , sind Xj (g(z)) = dz g(ej ) solche lokalen Basisschnitte.
24
Definition 4.7. Sei V ein Vektorbündel
über einer Mannigfaltigkeit M . Dann
n
setze Γ(V ) := {ψ : M → R ψ ein Schnitt von V }. Γ(V ) ist ein unendlichdimensionaler Vektorraum, sogar ein Modul über dem Ring C ∞ (M ).
Definition 4.8. Sei M eine Mannigfaltigkeit. Y ∈ Γ(T M ) heißt Vektorfeld auf
M . (Mit anderen Worten in jedem Punkt ein Tangentialvektor.)
Sind X, Y ∈ Γ(T M ), f ∈ C ∞ (M ), dann gilt: X + Y ∈ Γ(T M ) und f X ∈
Γ(T M ).
Definition 4.9. Sei γ : (−, ) → M , γ(0) = p, γ 0 (0) = X. Dann heißt
Xf = (f ◦ γ)0 (0) die Richtungsableitung von f in Richtung X ∈ Tp M .
Bemerkung:
• Xf ist keine Multiplikation; Eine Multiplikation ist f X.
• Lies Xf als “X leitet f ab”.
Die Definition ist unabhängig von der Wahl von γ. Ist X ∈ Γ(T M ) und f ∈
C ∞ (M ), dann ist auch Xf ∈ C ∞ (M ).
Es gelten folgende Rechenregeln:
• (X + Y )f = Xf + Y f ,
• (gX)f = g(Xf ),
• X(f + g) = Xf + Xg,
• X(f g) = (Xf )g + f (Xg) – “Leibnizregel”.
25
Satz 4.10. Seien X, Y ∈ Γ(T M ). Dann gibt es genau ein Z ∈ Γ(T M ) mit
Zf = X(Y f ) − Y (Xf ).
Man schreibt [X, Y ] := Z und nennt [X, Y ] die Lie-Klammer oder die LieAbleitung von X und Y .
Beweis. Seien M = U ⊂ Rn offen, X(p) = x1 (p)e1 + · · · + xn (p)en , Y (p) =
y1 (p)e1 + · · · + yn (p)en und bezeichne (u1 , . . . , un ) die Standardkoordinaten in
Rn .
∂f
∂f
Xf = x1 ∂u
+ · · · + xn ∂u
, und genauso für Y ; ej f =
n
1
∂f
∂uj .
Allgemein gilt nach dem Vertauschen der Indizes und dem Satz von Schwarz
n
X
xj yk
n
n
X
X
∂2f
∂2f
∂2f
yj xk
yj xk
=
=
.
∂uj ∂uk
∂uk ∂uj
∂uj ∂uk
j,k=1
j,k=1
Es ist:
XY f =
n
X
xj
j=1
j,k=1
n
X
∂yk ∂f
∂2f + yk
.
∂uj ∂uk
∂uj ∂uk
k=1
Und dann gilt:
(XY − Y X)f =
n X
n
X
k=1
Satz 4.11.
j=1
xj
X
∂yk
∂xk ∂f
− yj
= Zf , mit Z =
zk ek
∂uj
∂uj ∂uk
Betrachte Γ(T M ) mit dem Produkt (X, Y ) 7→ [X, Y ].
1. Γ(T M ), [ , ] ist eine Lie-Algebra, d.h. [ , ] ist bilinear und schiefsymmetrisch und die Jacobi-Identität gilt
2. Ausserdem gelten folgende Rechenregeln:
[X, f Y ] = (Xf )Y + f [X, Y ]
[f X, Y ] = f [X, Y ] − (Y f )X
26
Beweis. Die Bilinearität und die Schiefsymmetrie sind einfach. Wir zeigen die
Rechenrageln (2.):
[X, f Y ]g = X((f Y )g) − (f Y )(Xg)
= X(f (Y g)) − f (Y (Xg))
= (Xf )(Y g) + f (X(Y g)) − f (Y (Xg))
= (f [X, Y ])g + ((Xf )Y )g
= (f [X, Y ] + (Xf )Y )g
[f X, Y ] = −[Y, f X] = −(Y f )X − f [Y, X]
= f [X, Y ] − (Y f )X
17.11.
I Beispiel 4.12.
1. Das triviale Bündel p 7→ Vp = Rk für alle p. Schnitt ist glatte Abbildung
ψ : M → Rk .
2. Das Tangentialbündel p 7→ Vp = Tp M . Schnitte von T M heißen Vektorfelder.
3. Normalenbündel N von n-dimensionalen Mannigfaltigkeit M ist Np =
Tp M ⊥ ⊂ Rk . N ist (k − n)-dimensionales Vektorbündel. Schnitt von N
ist ein Normalenvektorfeld.
Definition 4.13.
Seien V und W Vektorbündel über M . Eine Zuordnung,
die jedem p ∈ M eine lineare Abbildung fp : Vp → Wp zuordnet, heißt ein
27
Vektorbündelhomomorphismus (Hom(V, W )), wenn für alle ψ ∈ Γ(V ) gilt, daß
p 7→ fp (ψp ) ein glatter Schnitt (∈ Γ(W )) ist.
Vektorbündelhomomorphismus heißt ein Vektorbündelisomorphismus, wenn fp
bijektiv ist für alle p ∈ M .
Zwei Vektorbündel V und W heißen isomorph, wenn es ein Vektorbündelisomorphismus f : V → W gibt.
Bemerkung 4.14. Lies f : V → W auf zwei Arten:
1. Familie von Abbildungen fp : Vp → Wp , p ∈ M ,
2. als die differenzierbare Abbildung fˆ : V̂ → Ŵ , V̂ und Ŵ Totalräume.
fˆ(p, ψ) = (p, fp (ψ)).
Seien V und W Vektorbündel über M . Definiere
Γ Hom(V, W ) = {f : V → W f – Vektorbündelhomomorphismus}.
Definition 4.15.
Aufgabe: Zeige, daß Γ Hom(V, W ) in natürlicher Weise der Schnittraum eines
Vektorbündels Hom(V, W ) mit Hom(V, W )p = Hom(Vp , Wp ) ist.
I Beispiel 4.16 (Spezialfall). Sei V Vektorbündel über M . V ∗ = Hom(V, R).
Dann ist (V ∗ )p = (Vp )∗ .
Definition 4.17. Seien V1 , . . . , Vm und W Vektorbündel über M . Eine Zuordnung, die jedem p ∈ M eine Multilinearform
ωp : (V1 )p × · · · × (Vm )p → Wp
zuordnet, heißt ein Tensorfeld, wenn p 7→ ωp (ψ1 , . . . , ψm ) glatt ist für alle ψj ∈
Γ(Vj ).
Definition 4.18. Ein Tensorfeld, das jedem p ∈ M eine positiv definite, symmetrische Bilinearform gp : Tp M × Tp M → R zuordnet, heißt Riemannsche Metrik
auf M .
p
I Beispiel 4.19. Sei g Riemannsche Metrik, x ∈ Tp M . gp (x, x) ist Länge von
x bezüglich g. Ist γ : [0, 1] → M glatt, dann ist
Z 1p
g(γ 0 (t), γ 0 (t)) dt
L(γ) :=
0
die Länge von γ.
28
Sei ω̃ : (V1 )p × · · · × (Vm )p → Wp , p ∈ M ein Tensorfeld
ω : Γ(V1 ) × · · · × Γ(Vm ) → Γ(W )
ω(ψ1 . . . ψm )p = ω̃p ((ψ1 )p , . . . , (ψm )p )
Satz 4.20. Seien V1 , . . . , Vm und W Vektorbündel über M . ω : Γ(V1 ) × · · · ×
Γ(Vm ) → Γ(W ) sei linear in jedem Argument. Dann sind folgende Aussagen
äquivalent:
1. ω ist ein Tensor, d.h. es existiert ein Tensorfeld p 7→ (ω̃p : (V1 )p × · · · ×
(Vm )p → Wp ), so daß ωp (ψ1 , . . . , ψm ) = ω̃p (ψ1 , . . . , ψm ) für alle ψj ∈
Γ(Vj ).
2. ω(ψ1 , . . . , f ψk , . . . , ψm ) = f ω(ψ1 , . . . , ψm ) für alle ψj ∈ Γ(Vj ) und f ∈
C ∞ (M ).
Beweis. Noch nicht vollständig!
• 1) ⇒ 2)
ωp (ψ1 , . . . , f ψk , . . . , ψm ) = ω̃p ((ψ1 )p , . . . , f (p)(ψk )p , . . . , (ψm )p )
= f (p)ω̃p ((ψ1 )p , . . . , (ψm )p )
= (f ω(ψ1 , . . . , ψm ))p
• 2) ⇒ 1) Sei p ∈ M . Wähle φj1 , . . . , φjkj ∈ Γ(Vj ), {(φj1 )q , . . . , (φjkj )q }
Basis von (Vj )q für q ∈ U , U Umgebung von p.
Wähle lokale Schnitte
φ1 = a11 φ11 + . . . + a1k1 φ1k1
..............................
m
φm = am1 φm
1 + . . . + amkm φkm
Betrachte ω an der Stelle p. ω ist eine Multilinearform und man kann nach
Voraussetzung eine Funktion herausziehen:
ω(ψ1 , . . . , ψm )p = a11 (p) · . . . · am1 (p)ω(φ11 (p), . . . , φm
1 (p)) + · · · +
ω̃p ist wohldefiniert durch: zu α1 ∈ (V1 )p , . . . , αm ∈ (Vm )p wähle ψ1 ∈
Γ(V1 ), . . . , ψm ∈ Γ(Vm ) mit (ψ1 )p = α1 , . . . , (ψm )p = αm . Definiere dann
ω̃p (α1 , . . . , αm ) = ω(ψ1 , . . . , ψm )p .
29
Bemerkung: Dieser Satz wird oft benutzt um zu zeigen, daß etwas ein Tensor
ist und zwar wird gezeigt, daß man aus jedem “Slot” eine Funktion rausziehen
kann.
5 Richtungsableitung in Vektorbündel

ψ1
 
Motivation: Sei V das triviale Rk Vektorbündel über M und ψ =  ...  ∈ Γ(V ),
ψ
 k

Xψ1
 .. 
k
ψ : M → R ein Schnitt von V . X ∈ Γ(T M ), ∇X ψ =  . .
Xψk

∇ erfüllt folgendes:
1. ∇ : Γ(T M ) × Γ(V ) → Γ(V ) ist bilinear. (Richtungsableitung vom Schnitt
ist wieder ein Schnitt.)
2. ∇f X ψ = f ∇X ψ. (Sprechweise: ∇X ψ ist tensoriell in X).
3. ∇X (f ψ) = f ∇X ψ + (Xf )ψ. (Leibnizregel unter näherer Betrachtung.)
Definition 5.1. Sei V ein Vektorbündel über M . Eine Abbildung ∇ : Γ(T M ) ×
Γ(V ) → Γ(V ) mit den drei oben angegebenen Eigenschaften heißt ein Zusammenhang auf dem Vektorbündel V .
18.11.
Definition 5.2. Sei ∇ ein Zusammenhang auf dem Vektorbündel V über M .
Dann heißt die Abbildung R : Γ(T M ) × Γ(T M ) × Γ(V ) → Γ(V )
R(X, Y )ψ = ∇X ∇Y ψ − ∇Y ∇X ψ − ∇[X,Y ] ψ
der Krümmungstensor von ∇.
30
Satz 5.3.
R ist ein Tensor.
Beweis. Zu zeigen ist, daß man f aus dem Krümmungstensor rausziehen kann.
R(f X, Y )ψ = ∇f X ∇Y ψ − ∇Y ∇f X ψ − ∇[f X,Y ] ψ
= f ∇X ∇Y ψ − ∇Y (f ∇X ψ) − ∇f [X,Y ]−(Y f )X ψ
= f ∇X ∇Y ψ − (Y f )∇X ψ − f ∇Y ∇X ψ
− f ∇[X,Y ] ψ + (Y f )∇X ψ
= f R(X, Y )ψ
R(X, f Y )ψ = −R(f Y, X)ψ
= −f R(Y, X)ψ
= f R(X, Y )ψ
R(X, Y )(f ψ) = ∇X ∇Y f ψ − ∇Y ∇X (f ψ) − ∇[X,Y ] (f ψ)
= ∇X ((Y f )ψ + f ∇Y ψ) − ∇Y ((Xf )ψ
+ f ∇X ψ) − ([X, Y ]f )ψ − f ∇[X,Y ] ψ
= (XY f )ψ + (Y f )∇X ψ + (Xf )∇Y ψ + f ∇X ∇Y ψ
− (Y Xf )ψ − (Xf )∇Y ψ − (Y f )∇X ψ − f ∇Y ∇X ψ
− [X, Y ]f ψ − f ∇[X,Y ] ψ
= f ∇X ∇Y ψ − f ∇Y ∇X ψ − f ∇[X,Y ] ψ
= f R(X, Y )ψ



Xψ1
ψ1
 . 
. 
I Beispiel 5.4. Sei V das triviale Rk -Vektorbündel, ∇X 
 ..  =  .. .
ψk
Xψk
Dann ist


(XY − Y X − [X, Y ])ψ1


..
R(X, Y )ψ = 
 = 0.
.
(XY − Y X − [X, Y ])ψk

Definition 5.5.
auf M .
Ein Zusammenhang auf T M heißt ein affiner Zusammenhang
31
Satz 5.6.
∇ sei ein affiner Zusammenhang auf M . Dann ist die Abbildung
T : Γ(T M ) × Γ(T M ) → Γ(T M )
T (X, Y ) = ∇X Y − ∇Y X − [X, Y ]
ein Tensor, der sogenannte Torsionstensor von ∇.
Beweis.
T (f X, Y ) = ∇f X Y − ∇Y (f X) − [f X, Y ]
= f ∇X Y − (Y f )X − f ∇Y X − f [X, Y ] + (Y f )X
= f ∇X Y − f ∇Y X − f [X, Y ]
= f T (X, Y )
T (X, f Y ) = −T (f Y, X)
= −f T (Y, X)
= f T (X, Y )
T Rn aufgefasst als triviales Bündel:


Xy1



∇X Y =  ...  , Y = 
Xyn


y1
.. 
. 
yn
X, Y ∈ Tp Rn = Rn
T (X, Y ) = ∇X̃ Ỹ − ∇Ỹ X̃ − [X̃, Ỹ ] für Vektorfelder X̃, Ỹ ∈ Γ(T Rn ), X̃p = X,
Ỹp = Y .
O.B.d.A.: X̃, Ỹ konstant ⇒ ∇X̃ Ỹ = 0, ∇Ỹ X̃ = 0, [X̃, Ỹ ] = 0 ⇒ T = 0.
In diesem Fall nennt man ∇ torsionsfrei.
Definition 5.7. h , i sei Riemannsche Metrik auf M . (andere Notationsmöglichkeit war g(x, y) = hx, yi). Ein affiner Zusammenhang ∇ auf M heißt verträglich
mit h , i (oder metrisch), wenn
XhY, Zi = h∇X Y, Zi + hY, ∇X Zi
für alle X, Y , Z ∈ Γ(T M ) gilt.
32
Satz 5.8.
h , i sei Riemannsche Metrik auf M . Dann gibt es genau einen
torsionsfreien affinen Zusammenhang ∇ auf M , der mit der Riemannschen Metrik
h , i verträglich ist. Dieses ∇ heißt der Levi-Civita-Zusammenhang von h , i.
Beweis.
XhY, Zi = h∇X Y, Zi + hY, ∇X Zi +
Y hZ, Xi = h∇Y Z, Xi + hZ, ∇Y Xi +
ZhX, Y i = h∇Z X, Y i + hX, ∇Z Y i −
addieren der Gleichungen wie angegeben ergibt:
XhY, Zi + Y hZ, Xi − ZhX, Y i
= h∇X Y + ∇Y X, Zi + hY, [X, Z]i + hX, [Y, Z]i
= h2∇X Y − [X, Y ], Zi + hY, [X, Z]i + hX, [Y, Z]i
Umstellen ergibt dann eine eindeutige Darstellung für ∇, die nicht mehr von ∇
abhängt:
h∇X Y, Zi =
1
2
+ h[X, Y ], Zi − hY, [X, Z]i − hX, [Y, Z]i
24.11.
Aus Analysis II kennen wir für offenes U ∈ Rn und f : U → Rm die Richtungsableitung als dp f (X). Auf Mannigfaltigkeiten ist es etwas anders. Man braucht
zusätzliche Struktur ∇. Sei V ein m-dimensionales Vektorbündel über Mannigfaltigkeit M und ψ ∈ Γ(V ).
∇X ψ, x ∈ Tp M (benötigt ∇ auf V )
hψ, ψi (benötigt Metrik h , i auf V )
Definition 5.9. [Metrik auf Vektorbündel V ] Wähle ein euklidisches Skalarprodukt h , ip : Vp × Vp → R derart, daß hψ, φi ∈ C ∞ (M ) für alle ψ, φ ∈ Γ(V ).
Definition 5.10. Sei V ein Vektorbündel über Mannigfaltigkeit M . Ein Schnitt
ω von Hom(T M, V ) heißt eine V –wertige 1-Form auf M wenn ωp : Tp M → Vp
linear und ω(X) ∈ Γ(V ) glatt für alle X ∈ Γ(T M ) ist.
33
Erinnerung: 1-Form ω auf U ⊂ Rn offen, wenn für jedes p ∈ U ωp : Rn → R
eine Linearform ist. In unserer Sprache ist ω eine R–wertige 1-Form.
Definition 5.11. Eine V –wertige k-Form auf M : Zu jedem p ∈ M eine alternierende Multilinearform
ω p : Tp M × · · · × Tp M → Vp
{z
}
|
k Mal
derart, daß ω(X1 , . . . , Xk ) glatt ist für X1 , . . . , Xk ∈ Γ(T M ).
Man braucht die k-Formen für die Integration auf Mannigfaltigkeiten (aber dahin
kommen wir nicht). Wir werden im Allgemeinen die 1-Formen betrachten, die
differenziert 2-Formen ergeben.
Satz 5.12.
1. Sei ω (R–wertige) 1-Form auf M . Dann ist durch
dω(X, Y ) := Xω(Y ) − Y ω(X) − ω([X, Y ])
eine alternierende 2-Form – die “äußere Ableitung von ω” definiert.
2. Sei ∇ ein Zusammenhang auf Vektorbündel V über M und ω eine V –
wertige 1-Form. Dann ist durch
d∇ ω(X, Y ) ∈ Γ(V ) für alle X, Y ∈ Γ(T M )
d∇ ω(X, Y ) := ∇X ω(Y ) − ∇Y ω(X) − ω([X, Y ])
eine V –wertige alternierende 2-Form definiert.
Beweis. Es reicht zu zeigen, daß d∇ ω ein Tensor ist, denn 1. ist ein Speziallfall
von 2.:
d∇ ω(f X, Y ) = ∇f X ω(Y ) − ∇Y ω(f X) − ω([f X, Y ])
= f ∇X ω(Y ) − ∇Y (f ω(X)) − ω(f [X, Y ] − (Y f )X)
= f d∇ ω(X, Y ) − (Y f )ω(X) + (Y f )ω(X)
= f d∇ ω(X, Y )
d∇ ω(X, f Y ) = −d∇ ω(f Y, X) = −f (d∇ ω(Y, X)) = f (d∇ ω(X, Y ))
34
I Beispiel 5.13.
1. Sei f ∈ C ∞ (M ). Dann ist df eine 1-Form: df (X) = Xf , dp f : Tp M → R
linear.
2. Sei ψ ∈ Γ(V ). Dann ist ∇ψ ein V –wertige 1-Form: (∇ψ)(X) = ∇X ψ.
(∇ψ(X) ist tensoriell im unteren Eintrag.)
3. Betrachte Tangentialbündel T M . Definiere speziell T M –wertige 1-Form
durch ω(X) = X. Wie sieht d∇ ω — Eine T M –wertige 2-Form — aus?
d∇ ω(X, Y ) = ∇X ω(Y ) − ∇Y ω(X) − ω([X, Y ])
= ∇X Y − ∇Y X − [X, Y ]
= T (X, Y ) – Torsionstensor von ∇.
4. Ist ψ ∈ Γ(V ) dann ist ∇ψ eine V –wertige 1-Form. Im Rn ist “d2 ” immer
Null, wie sieht es bei uns aus?
d∇ ∇ψ(X, Y ) = ∇X (∇ψ(Y )) − ∇Y (∇ψ(X)) − ∇ψ([X, Y ])
= ∇X ∇Y ψ − ∇Y ∇X ψ − ∇[X,Y ] ψ
= R(X, Y )ψ – Krümmungstensor.
Satz 5.14. Sei h , i Riemannsche Metrik auf M . Dann gibt es genau einen
bezüglich h , i metrischen Zusammenhang ∇ auf T M der torsionsfrei ist.
Beweis. Die Eindeutigkeit ist schon gezeigt worden (5.8):
h∇X Y, Zi =
1
2
+ h[X, Y ], Zi − hY, [X, Z]i − hX, [Y, Z]i
Definiere ∇X Y wie eben. Wir zeigen:
1. ∇f X Y = f ∇X Y :
h∇f X Y, Zi − f h∇X Y, Zi =
1
2
− Y f hX, Zi + (Zf )hX, Y i+
Y f hZ, Xi − (Zf )hX, Y i = 0.
2. ∇X (Y ) ist additiv in X und Y : Aufgabe.
3. ∇X (f Y ) = f ∇X Y + (Xf )Y : Aufgabe.
35
4. ∇X Y − ∇Y X − [X, Y ] = 0:
h∇X Y − ∇Y X − [X, Y ], Zi = h[X, Y ], Zi − h[X, Y ], Zi = 0.
5. XhY, Zi = h∇X Y, Zi + hY, ∇X Zi:
h∇X Y, Zi + h∇X Z, Y i = 12 (XhY, Zi + XhZ, Y i) = XhY, Zi.
Aus dem gezeigten folgt die Existenz.
Definition 5.15. Sei V ein Vektorbündel über M̃ , f : M → M̃ glatt. Definiere das zurückgeholte Vektorbündel f ∗ V über M durch f ∗ Vp = Vf (p) . (Mit
Projektoren geschrieben: P (q) auf V (q): f ∗ V ist definiert durch P̃ = P ◦ f .)
1. Sei ψ ∈ Γ(V ). Definiere dann f ∗ ψ ∈ Γ(f ∗ V ) durch (f ∗ ψ)p = ψf (p) ∈
Vf (p) = (f ∗ V )p . Mit anderen Worten: f ∗ ψ = ψ ◦ f .
2. Sei ω ∈ Ω1 (V ). Definiere dann f ∗ ω ∈ Ω1 (f ∗ V ) durch (f ∗ ω)X
ωf (p) dp f (X) .
p
=
Im Satz 5.19 auf Seite 40 zeigen wir, wenn ∇ ein Zusammenhang auf V ist, dann
ist f ∗ ∇ ein Zusammenhang auf f ∗ V .
25.11.
Sei V ein Vektorbündel über M . Definiere dann:
• V–wertige 0-Form ψ: ψp ∈ Vp Ω0 (V ) = Γ(V ),
• V–wertige 1-Form ω: ωp : Tp M → Vp linear, ∈ Ω1 (V ),
• V–wertige 2-Form σ: σp : Tp M × Tp M → Vp bilinear, σp (X, Y ) =
−σp (Y, X) ∈ Ω2 (V ).
Ωk (M ) := Ωk (R), Ω0 (M ) = C ∞ (M ).
Was auf jeden Fall auf der Wunschliste“ eines Differentialgeometers steht, ist
”
die Leibnizregel.
36
Sind ψ ∈ Γ(V ) und f ∈ C ∞ (M ), dann ist ∇(f ψ) = df ψ +f ∇ψ. Ist ω ∈ Ω1 (V ),
dann gilt f ω ∈ Ω1 (V ). Noch nicht definiert ist die Operation ∧, so daß wir
schreiben könnten d∇ (f ω) = df ∧ ω + f d∇ ω.
Das lässt sich übertragen auf die Situation U , V , W : Vektorbündel über M, dem
Produkt Up × Vp → Wp (glatt in dem üblichen Sinne), Zusammenhänge ∇U , ∇V ,
∇W auf U , V , W .
Definition 5.16.
Ω2 (V ) durch
Seien ω ∈ Ω1 (V ) und η ∈ Ω1 (V ). Definiere dann ω ∧ η ∈
ω ∧ η(X, Y ) = ω(X)η(Y ) − ω(Y )η(X).
Seien f ∈ C ∞ (M ) und ω ∈ Ω1 (V ). Dann gilt d∇ (f ω) = df ∧ ω +
Satz 5.17.
f d∇ ω.
Beweis.
d∇ (f ω)(X, Y ) = ∇X (f ω(Y )) − ∇Y (f ω(X)) − f ω([X, Y ])
= df (X)ω(Y ) + f ∇X ω(Y )
− df (Y )ω(X) − f ∇Y ω(X) − f ω([X, Y ])
= df ∧ ω(X, Y ) + f d∇ ω(X, Y )
Beschreibe lokal ∇ bezüglich einer Trivialisierung φ1 , . . . , φk ∈ Γ(V |U ), U –
offene Teilmenge von M . (d.h. φ1 (p), . . . , φk (p) bilden eine Basis von Vp für
alle p ∈ U .)
X ∈ Γ(T M ) 3 ∇X φj = a1 (X)φ1j + · · · + ak (X)φkj
Da ∇X φj tensoriell ist, folgt daraus, daß aij 1-Formen (∈ Ω1 (M )) sind.
∇φj =

Pk
i=1 aij φi .
a11 . . .
 ..
Ω= .
ak1 . . .
a1k


 ist damit eine Matrix von 1-Formen.
akk
ψ = f1 ω1 + · · · + fk ωk beliebig ∈ Γ(V |U ).
37
Dann ist ∇ψ = (df1 + a11 f1 + · · · + a1k fk ) + · · · + (dfk + ak1 fk + · · · + akk fk ).
Umgekehrt gilt: Jede k × k-Matrix von 1-Formen definiert ∇ auf V |U
⇒ dx1 , . . . , dxn sind 1-Formen auf U . Dann sind dx1 |p , . . . , dxn |p für jedes p ∈
U eine Basis von (Tp M )∗ =: (T ∗ M )p =: Tp∗ M . T ∗ M ist ein n-dimensionales
Vektorbündel über M ( Kotangentialbündel“)
”
Dann gäbe es λ1 , . . . , λn ∈ R mit λ1 dx1 |p + · · · + λn dxn |p


dx1 (y)


..
Wähle x ∈ Tp M mit 
 dp g(x) = (ei ), wobei ei den i-ten Einheits.
dxn (y)
vektor bezeichne.
⇒ 0 = λ1 dx1 (y) + · · · + λn dxn (y) = λi .
p
p
Also: Karte g : U → Rn liefert Trivialisierung dg1 , . . . , dg1 ∈ Γ(T ∗ U ) von T ∗
⇒ jede 1-Form ω ∈ Ω ist eindeutig schreibbar als
ω = a1 dg1 + · · · + an dgn mit a1 , . . . , ak ∈ C ∞ (U )
P
Im Fall der Zusammenhangsform aij = nk=1 Γjk idxk ist X1 , . . . , Xk P
eine Trivialisierung
von
T
U
mit
dg
(X
)
=
δ
Y
=
y
X
+
·
·
·
+
y
X
,
Y
=
Yr Xr ,
i
j
ij
1 1
k k
P
ψ = fj ψj Dann ist


k
n
k
X
X
X
∂f

yr +
Γ... fj  φi
∇Y ψ =
∂xr
i=1
mit
Pn
∂f
r=1 ∂xr yr
= df (Y ) =
r=1
∂f
∂x1 dx1
j=1
+ ··· +
∂f
∂xn dxn
(Y1 X1 + · · · + Yn Xn )
˜ ZusammenSatz 5.18. Sei Ṽ ein Vektorbündel über der Mannigfaltigkeit M̃ , ∇
∗
hang auf Ṽ , f : M → M̃ glatt und V = f Ṽ das zurückgeholte Bündel.
38
˜ auf V , so dass für alle
Dann gibt es genau einen Zusammenhang ∇ = f ∗ ∇
ψ ∈ Γ(Ṽ ), X ∈ Γ(T M ), p ∈ M gilt
˜ d f (X) ψ|f (p)
∇X f ∗ ψ|p = ∇
p
Beweis. Wähle in einer Umgebung von f (p) eine Trivialisierung φ˜1 , . . . , φ˜k von
Ṽ . Damit ist φ= f ∗ φ˜1 + · · · + f ∗ φ˜k eine Trivialisierung von V in der Umgebung
von p.
Eindeutigkeit von ∇φj : Gäbe es ein ∇, so wäre für X ∈ Γ(T M )
˜ d f (X) φ̃j |f (p) =
∇X φj |p = ∇X (f ∗ φ˜j )|p = ∇
p
k
X
ãij (dp f (X))φ̃j (f (p))
i=1
hierbei definieren wir uns aij := ãij (dp f (X)), φi (p) := φ̃j (f (p))
∇X φj =
P
˜ .
aij φj , aij eindeutig bestimmt durch ∇,f
Existenz: Definiere ∇ bzgl. der Trivialisierung φ1 , . . . , φk duch Zusammenhangsformen aij .
01.12.
Alles zurückholen“:
”
V = f ∗ Ṽ
Vp = Ṽf (p)
39
ψ̃ ∈ Γ(Ṽ ) ⇒ ψ ∈ Γ(V ), ψ = f ∗ ψ̃, ψ = ψ̃ ◦ f
σ̃ ∈ Ω2 (Ṽ ) ⇒ σ ∈ Ω2 (V )
σp (X, Y ) = σ̃f (p) (dfp (X), dfp (Y ))
ω = f ∗ ω̃, σ = f ∗ σ̃
Satz 5.19. Es gibt genau einen Zusammenhang auf V , so dass für alle ψ ∈ Γ(Ṽ )
gilt
˜
∇(f ∗ ψ) = f ∗ (∇ψ)
˜
Notation: ∇ = f ∗ ∇
Beweis. OBdA (nach Einschränkung auf Umgebung U von p, Ũ von f (p))
nehmen an, X, Y ∈ Γ(T U ), [X, Y ] = 0, z1 , . . . , zk ∈ Γ(T Ũ ), [zi , zj ] = 0,
f (U ) ⊂ Ũ
dp f (Xp ) =
P
gj (p)zj |f (p)
dp f (Yp ) =
P
hj (p)zj |f (p)
j
j
g1 , . . . , gn , h1 , . . . , hn ∈ C ∞ , r ∈ C ∞ (Ũ )
0 = [X, Y ](r ◦ f ) = X(Y (r ◦ f )) − Y (X(r ◦ f ))
= X(d(r ◦ f ) ◦ (Y )) − Y ((df (r ◦ f ) ◦ (X))
= X(df (Y )r ◦ f ) − Y ((df (X)r) ◦ f )
X
X
=X
hj ((zj r) ◦ f ) − Y
gj ((zj ◦ r) ◦ f )
j
=X
X
hj ((zj r) ◦ f ) + Y
j
X
gj ((zj ◦ r) ◦ f )
j
"
=
X
#
(Xhj )(zj r) ◦ f ) + hj
X
j
gi ((zi (zj r)) ◦ f )
i
"
− (Y gj )(zj r) ◦ f ) + gj
#
X
hi ((zi (zj r)) ◦ f )
i
=
X
j
(Xhj − Y gi )(zj r) ◦ f +
X
hi gi ((zj zi − zi zj )r) ◦ f
i,j
Da [zi , zj ] = 0, gilt zj zi − zi zj = 0 und damit Xhj − Y gj = 0 für j = 1, . . . , n
40
Sei nun ω = f ∗ ω̃, ψ̃j ∈ Γ(Ṽ ), ψ̃j = ω̃(Zj )
m
X
∇X ω(Y ) = ∇X ((ω̃(
h j zj ) ◦ f )
j=1
= ∇X
X
hj (ψ̃j ◦ f )
j
X
= ∇X (
hj ψ j )
|ψj =ψ̃j ◦f
j
=
X
(Xhj )ψj + hj ∇X ψj
|(∇P gi zi ψ̃j )◦f =
P
gi (∇zi ψ̃j )◦f
j
=
X
j
(Xhj )ψj +
X
hj gi (∇zi ψ̃j ) ◦ f
i,j
Damit können wir nun endlich folgendes zeigen:
d∇ ω(X, Y ) = ∇X ω(Y ) − ∇Y ω(X)
X
=
(hjgi (∇zi ψ̃j − ∇zj ψ̃i ) ◦ f )
i,j
˜
da ∇zi ψ̃j − ∇zj ψ̃i = d∇ ω̃(zi , zj )
˜
= d∇ ω̃(df (X), df (Y ))
˜
= (f ∗ d∇ ω̃(X, Y )
Spezialfall: M Riemannsche Mannigfaltigkeit, ∇ der Levi-Civita-Zusammenhang
auf M , M = (a, b), γ : (a, b) → M̃ glatt.
V = γ ∗ (T M ) Vektorbündel über (a, b)
Vt = Tγ(t) , y ∈ Γ(V ) : zu jedem t ∈ (a, b) ein yt ∈ Tγ(t) M
41
I Beispiel 5.20. γ 0 ist solch ein Vektorfeld.
(a, b) = M 3 t → γ 0 (t) ∈ Tγ(t) M = Vt
Der Satz über die Existenz von γ ∗ ∇ gibt uns sofort:
Satz 5.21.
Es gibt genau eine lineare Abbildung
D
: {Vektorfelder längs γ} → {Vektorfelder längs γ}
dt
mit:
1.
D(f Y )
dt
= f 0 Y + f DY
dt (Leibniz)
2. Für jedes Vektorfeld Z auf M gilt
D
dt (Z(γ(t)))
= ∇γ 0 (t) Z
6 Geodätische
Definition 6.1. M sei Riemannsche Mannigfaltigkeit. γ : (a, b) → M heißt
D 0
Geodätische, wenn 0 = γ 00 = dt
γ.
Die Geodätischengleichung γ 00 = 0 führt auf eine gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordung. Das so formulierte Anfangswertproblem γ(0) = p, γ 0 (0) = Y ,
p ∈ M für γ : (−ε, ε) → M ist eindeutig lösbar für kleine ε. (Siehe Theorie der
gewöhnlichen Differentialgleichungen).
02.12.
Satz 6.2. Seien h , i Metrik auf einem Vektorbündel V über M̃ und f : M → M̃
glatt.
42
∇ sei verträglich mit h , i, d.h.
Xhψ, φi = h∇, ψi = h∇X Ψ, Φi + hΨ, ∇X Φi für alle X ∈ Γ(T M̃ , Φ, Ψ ∈ Γ(V )
Dann ist auch f ∗ ∇ verträglich.
Satz 6.3.
Beweis.
Geodätische haben konstante Geschwindigkeit v.
d
Dγ 0 (t) 0
d 2
v (t) = hγ 0 (t), γ 0 (t)i = 2h
, γ (t)i = 0
dt
dt
dt
I Beispiel 6.4. M̃ Riemannsche Mannigfaltigkeit, f : M → M̃ Immersion.
Auf M die von f induzierte Metrik.
Für X, Y ∈ Tp M
hX, Y i = hdp f (X), dp f (Y )i ist positiv definit wegen der
Injektivität von dp f : Tp M → Tf (p) M̃ .
Gesucht ist der Levi-Cevita-Zusammenhang ∇ in der induzierten Metrik. Sei
˜ der Levi-Cevita-Zusammenhang auf T M̃ , ∇
ˆ = f ∗∇
˜ – Zusammenhang auf
∇
∗
V = f T M̃ , X, Y ∈ Γ(T M ). BILD
ˆ X Ỹ := df (∇X Y ) + α(X, Y ).
Ỹ ∈ Γ(V ), Ỹp , ∇
Satz 6.5.
1. Sei ∇ der gerade erwähnte Levi-Cevita-Zusammenhang von M .
2. Sei α Tensor, α(X, Y ) = α(Y, X), αp : Tp M × Tp M → df (Tp M )⊥ ⊂
Tf (p) M̃ . α heißt die zweite Fundamentalform von f . (Bemerkung: Die erste
Fundamentalform wäre die induzierte Metrik.)
˜ torsionsfrei ist.) Sei ω̃ eine T M̃ –wertige 1-Form auf
Beweis. (Wende an, daß ∇
˜
˜
˜ ist torsionsfrei ⇒ d∇
M̃ , ω̃(X) = X, ∇
ω̃ = 0, ω = f ∗ ω̃
d∇ ω = 0.
Es gilt:
ω(Y ) = f ∗ ω̃(Y ) = ω̃(df (Y )) = df (Y ).
43
Das wenden wir im nächsten Schritt an:
˜ X ω(Y ) − ∇
˜ Y ω(X) − ω([X, Y ])
0=∇
ˆ (Y ) − ∇
ˆ Y df (X) − df [X, Y ]
= ∇df
= df (∇X Y − ∇Y X − [X, Y ]) + α(X, Y ) − α(Y, X) )
|
|
{z
}
{z
}
liegt in df (Tp M ) f.a. p∈M
liegt in df (Tp M )⊥ f.a. p∈M
Daraus folgt, dann
∇X Y − ∇Y X − [X, Y ] = 0
und
α(X, Y ) = α(Y, X).
Noch ist zu zeigen:
1. ∇ ist ein Zusammenhang,
2. α ist ein Tensor und
3. ∇ ist verträglich mit h , i.
ˆ gX Ỹ = dg(∇Y + α(gX, Y ))
∇
˜ X Ỹ = df (g∇X Y ) + dα(X, Y )
g∇
– ∇ und α sind tensoriell in X.
ˆ X (g Ỹ = df (∇X (gY ) + α(X, gY ))
∇
ˆ X Ỹ = df (g∇X Y + (Xg)Y ) + gα(X, Y ),
(Xg)Ỹ + g ∇
daraus folgt α ist tensoriell in Y ; ∇ ist ein Zusammenhang.
Sind X, Y und Z ∈ Γ(T M ), dann gilt:
X Y, Z = X df (Y ), df (Z)
| {z } | {z }
∈Γ(V ) ∈Γ(V )
ˆ X df (Y ), df (Z) + df (Y ), ∇
ˆ X df (Z)
= ∇
= df (∇X Y ) + α(X, Y ), df (Z) + df (Y ), df (∇X Z) + α(X, Z)
= df ∇X Y, df (Z) + df (Y ), df (∇X Z)
= ∇X Y, Z + Y ∇X , Z
44
Sei M̃ Riemannsche Mannigfaltigkeit, f : M → M̃ eine Immersion, γ : (a, b) →
M.
Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
1. γ Geodätische für die von f induzierte Metrik
2. Für γ̃ = f ◦ γ gilt γ̃ 00 (t) ⊥ df (Tγ(t) M ) für alle t ∈ (a, b).
BILD
2
I Beispiel 6.6. M̃ = Rn = gl(n, R), M = SO(n) = {A ∈ gl(n, R)AAT =
2
I, det A = 1}, f (A) = A. Definiere auf M̃ Standardmetrik von Rn , d.h.
hX, Y i = Spur(XY T ) für quadratische Matrizen X und Y .
Schon bekannt, daß TA M = {AY Y + Y T = 0}.
Behauptung: (TA M )⊥ = {AZ Z = Z T }.
Seien Y = −Y T und Z = Z T .
hAY, AZi = Spur(AY Z T AT ) = Spur(AY Z T A−1 ) = Spur(Y Z T )
Verwende Spur(CD) = Spur(DC) und Spur(C T ) = Spur(C):
Spur(Y Z T ) = Spur(ZY T ) = Spur(Y T Z) = Spur(−Y Z T ) = − Spur(Y Z T )
Also ist Spur(Y Z T ) = 0 und {AZ Z = Z T } ⊂ (TA M )⊥ . Der Rest ergibt sich,
da die Dimensionen gleich sind.
08.12.
Uns interessiert, wann eine Kurve γ auf M eine Geodätische ist. Haben wir ein
Vektorfeld Y ∈ Γ(γ ∗ T M ) längs γ, t ∈ (−, )
Y (t) ∈ Tγ(t) M . Sei D̃ ein
∗
n
zurückgeholter Zusammenhang auf γ (T R ).
∂
D̃Y
DY
+ α( , Y ) =
=Y0
dt
∂
dt
mit
DY
dt
∈ Γ(γ ∗ T M ) – Levi-Cevita-Ableitung von Y .
γ ist Geodätische in M genau dann, wenn
ist.
Dγ 0
dt
= 0 ⇔ γ 00 (t) ⊥ Tγ(t) M für alle t
λ ∈ R} heißt
Speziell in R3 : γ : (−, ) → R3 . Die Gerade {γ(t) + λγ 0 (t)
0
00
Tangente von γ in γ(t). Die Ebene {γ(t) + λγ (t) + µγ (t) λ, µ ∈ R} heißt
Schmiegebene von γ falls γ 0 (t) und γ 00 (t) linear unabhängig sind.
Kurve auf Fläche in R3 ist Geodätische auf dieser Fäche genau dann, wenn die
Schmiegebene von γ in γ(t) senkrecht auf der Tangentialebene der Fläche in γ(t)
für alle t ist und γ konstante Geschwindigkeit hat.
45
BILD: Ellipsoid, Flasche mit einigen Geodätischen.
Wir wollen die Differentialgleichung der Geodätischen für das Beispiel (6.6) mit
SO(n) lösen.
Gesucht ist die Geodätische γ : R → SO(n) mit γ(0) = I, γ 0 (0) = Y .
Definiere
exp : gl(n, R) → GL(n, R);
exp(Y ) =
X1
Y i.
i!
i
2
Wir brauchen eine andere Norm für Matrizen, als die Standardnorm auf Rn und
definieren eine Operatornorm k.kop auf gl(n, R):
kXkop = sup kXvk.
kvk=1
Aufgabe: Zeige, daß k.kop eine Norm ist.
Lemma 6.7. Es gilt kXY kop ≤ kXkop kY kop
Beweis.
kXY kop = sup kXY vk =
sup
kvk=1
kvk=1
v ∈Kern
/
Y
=
≤
kvk=1
v ∈Kern
/
Y
X Y v kY vk | {z }
sup
kXkop kY kop
sup
k.k=1
kXY vk
Y v | {z }
≤kY kop
kvk=1
v ∈Kern
/
Y
= kXkop kY kop
Behauptung: Die Exponentialfunktion konvergiert nach Cauchy-Kriterium:
m
Y
kY km
kY knop
Y m+1
Y n
op
≤
+
+
·
·
·
+
+
·
·
·
+
<
m!
(m + 1)!
n! op
m!
n!
für n, m > n0 , weil 1 + kY kop +
exp(Y ) für alle Y ∈ gl(n, R).
kY k2op
2!
+ . . . konvergiert. Also konvergiert
Aufgabe (Differentiation und Grenzübergang): Zeige
exp : gl(n, R) → gl(n, R) ∈ C ∞ .
46
Satz 6.8. Für jedes Y ∈ gl(n, R) erfüllt γ : R → gl(n, R), γ(t) = exp(tY ) die
Differentialgleichung
γ 0 (t) = Y γ(t) = γ(t)Y.
Beweis. (Gliedweise Differentiation)
Y2
+ ...
2!
Y2
Y3
γ 0 (t) = Y + t
+ t2
...
1!
2!
= Y γ(t) = γ(t)Y.
γ(t) = I + tY + t2
Satz 6.9.
Für Y + Y t = 0 gilt exp(Y ) ∈ SO(n).
Beweis. Betrachte dazu F (t) = exp(tY )(exp(tY ))T . Dann ist F (0) = I und
F 0 (t) = (exp(tY )Y )(exp(tY ))T ) + exp(tY )(exp(tY )Y )T
= exp(tY )(Y + Y T )(exp(tY ))T
= 0.
Aus exp(tY )(exp(tY ))T = F (t) = I folgt, exp(tY ) ∈ O(n). Die Determinante
von exp(tY ) ist stetig und gleich +1 oder −1 für alle t und für t = 0 ist
det exp(tY ) = 1. Daraus folgt für alle t exp(tY ) = 1, was heißt, daß exp(Y ) ∈
SO(n).
Y hat bezüglich einer ausgewählten ON-Basis die folgende Darstellung:


0
ω1
 −ω1 0


...


Y =
















0
ωr
−ωr 0
0
...
0
47
und
cos tω1 − sin tω1
 sin tω1
cos tω1


...


exp(tY ) = 


















cos tωr − sin tωr
sin tωr
cos tωr
0
...
0
Sei γ(t) = exp(tY ). Dann sind
γ 0 (t) = exp(tY )Y
und γ 00 (t) = exp(tY )Y 2 = γ(t)Y 2 .
Also gilt
Tγ(t) SO(n)⊥ = {γ(t)Z Z = Z T }.
Zu zeigen ist noch, daß (Y 2 )T = Y 2 . Das ist aber klar.
7 Länge und Energie von Kurven
Sei im folgenden M eine Riemannsche Mannigfaltigkeit.
Sei γ : [a, b] → M , dann ist
Rbp
L(γ) = a hγ 0 (t), γ 0 (t)i dt
Rb
E(γ) = 12 a hγ 0 (t), γ 0 (t)i dt
– die Länge und
– die Energie
von γ.
Sei v : [a, b] → R, v(t) = kγ 0 (t)k. Zwischen der Länge und Energie von γ gilt
die folgende Beziehung:
Z b
L(γ) =
v · 1 = hv, 1iL2
a
p
p
≤ kvkL2 k1kL2 = hv, viL2 h1, 1iL2
s
s
Z b
Z b
2
=
v (t) dt
1 dt
a
=
p
√
2E(γ) b − a
a
Die Gleichheit gilt genau dann, wenn es ein λ ∈ R gibt mit v = λ1, d.h. v ist
konstant.
48
Satz 7.1.
Ist γ wie vorhin, dann gilt
1
1
E(γ) ≥ L2 (γ)
2
b−a
und die Gleichheit genau dann, wenn kγ 0 (t)k konstant ist.
Satz 7.2. Sei φ : [a, b] → [c, d] monoton und differenzierbar. φ(a) = c und
φ(b) = d. Sei weiter γ = γ̃ ◦ φ, γ̃ : [c, d] → M . Dann ist L(γ) = L(γ̃).
Beweis. Es gilt: γ 0 (t) = γ̃ 0 (φ(t))φ0 (t). Dann
Z b
L(γ) =
kγ 0 (t)k dt
a
Z b
=
kγ̃ 0 (φ(t))φ0 (t)k dt
a
Z
φ(b)
=
kγ̃ 0 (s)k ds
φ(a)
= L(γ̃)
09.12.
8 Variation
Definition 8.1. Sei γ : [0, 1] → M gegeben. Eine Variation von γ ist eine glatte
Abbildung α : [0, 1] × (−ε, ε) → M mit α(s, 0) = γ(s) für alle s ∈ [0, 1].
Gilt α(0, t) = γ(0) und α(1, t) = γ(1) für alle t ∈ (−ε, ε), so sagt man, α hat
feste Endpunkte.
Das Vektorfeld Y (s) =
Γ(γ ∗ (T M )).
d
dt |t=0 α(s, t)
heisst das Variationsvektorfeld von α ∈
Folgendes ist klar: Hat α feste Endpunkte, so gilt: Y (0) = 0 = Y (1).
Bevor wir die erste Variationsformel im allgemeinen Fall betrachten, sehen wir
uns diese zunächst einmal im Rn an:
49
Sei M = Rn , α : [0, 1] × (−ε, ε) → Rn . Dann gilt für E(γ) :=
Z
1 1 ∂α
∂α
E(γt ) =
(s, t)ids
h (s, t),
2 0 ∂s
∂s
1
2
R
hγ 0 , γ 0 i:
Z
d
1 1 ∂
∂α
∂α
|t=0 E(γt ) =
|t=0 h (s, t),
(s, t)ids
dt
2 0 ∂t
∂s
∂s
Z 1
∂α
∂α
|t=0 (s, t),
(s, t)ids
=
h
∂t∂s
∂s
0
Z 1
∂α
∂α
=
h
(s, 0),
(s, 0)ids
∂s
0 ∂s∂t
Z 1
=
hY, γ 0 i0 − hY, γ 00 i
0
Z 1
0 1
= hY, γ i|0 −
hY, γ 00 i
0
∂
∂s
1
0
∂·
Allgemein: Sei U := [0, 1] × (−ε, ε) Vektorfelder
=
, T := ∂t
(s, t) =
0
∂α
Dies ist eine konsistente Notation, da für f ∈ C ∞ (U ) gilt: T f = ∂f
∂t , ∂s ,
1
∂α
∗
∂t ∈ Γ(α T M )
Im allgemeinen Fall ist die Rechnung identisch. Damit sie auch gültig ist, muss
aber noch folgendes Lemma bewiesen werden:
Lemma 8.2. Sei ∇ torsionsfreier Zusammenhang auf T M , α : R2 ⊃ U → M
glatt, D = α∗ ∇. Dann gilt:
D ∂α
D ∂α
=
∂t ∂s
∂s ∂t
wobei
∂α
∂s
∈ Γ(α∗ T M )
Beweis. ω sei T M -wertige 1-Form ω(x) = x auf T M .
Da ∇ torsionsfrei ist, ist d∇ ω = 0. So gilt dann:
∂ ∂
D
0 = d (α ∗ ω)
,
∂s ∂t
∂
∂
∂ ∂
= D ∂ (α∗ ω) − D ∂ (α∗ ω) − α∗ ω([ , ])
∂s
∂t
∂t
∂s
∂s ∂t
D
∂α D
∂α
ω(dα)
− ω(dα)
=
∂s
∂t
∂t
∂s
D ∂α
D ∂α
=
−
∂t ∂s
∂s ∂t
50
Jetzt können wir folgenden Satz formulieren und beweisen:
Satz 8.3. [1. Variationsformel] M sei Riemann’sche Mannigfaltigkeit, α Variation
von γ : [0, 1] → M (wie oben). Dann gilt
d
|t=0 E(γt ) = hY, γ 0 i|10 −
dt
Z
1
hY, γ 00 i
0
Beweis.
Z
d
1 1 ∂ ∂α
∂α
|t=0 E(γt ) =
h (s, t),
(s, t)ids
dt
2 0 ∂t ∂s
∂s
Z 1
D ∂α
=
h ,
i(s, t)ds
∂t
∂s
0
Z 1
D ∂α ∂α
=
h
,
i(s, 0)ds
0 ∂s ∂t ∂s
Z 1
=
0
DY 0
<
,γ i
∂t
Z
=
0
1
1
hY, γ i − hY, γ i = hY, γ i0 −
0 0
00
Satz 8.4. γ : [0, 1] → M ist Geodätische ⇔
nen von γ mit festen Endpunkten.
Beweis.
0
d
dt |t=0 E(γt )
Z
1
hY, γ 00 i
0
= 0 für alle Variatio-
⇒“ γ sei Geodätische, α Variation mit Rfesten Endpunkten. Dann gilt:
1
= hY (1), γ 0 (1)i − hY (0), γ 0 (0)i − 0 hY, γ 00 i
d ”
dt E(γt )
⇐“ γ sei keine Geodätische, dann gibt es s0 ∈ (0, 1), δ > 0, so dass (s0 −
”
δ, s0 + δ) ⊂ (0, 1) und γ 00 (s) 6= 0∀s ∈ (s0 − δ, s0 + δ).
Wähle f : [0, 1] → R glatt, f (s) > 0 für alle s ∈ (s0 − δ, s0 + δ), f (s) = 0
für s < s0 − δ oder s > s0 + δ. Wähle Variation α mit festen Endpunkten
und Variationsvektorfeld Y := f γ 00 (Aufgabe: Das geht!)
51
Für diese Variation:
d
dt |t=0 E(γt )
= hY, γ 0 i|10 −
| {z }
R1
0
f hγ 00 , γ 0 i < 0
=0
Definition 8.5. M , M̃ seien Riemann’sche Mannigfaltigkeiten. Dann heißt ein
Diffeomorphismus f : M → M̃ eine Isometrie, wenn für alle p ∈ M , X, Y ∈
Tp M gilt:
hdfp (X), dfp (Y )i = hX, Y i
Definition 8.6. Es sei f : (−ε, ε) × M → M glatt gegeben, ft definiert dann
ft (X) = f (t, X).
ft sei Isometrie für alle t. Dann heisst das Vektorfeld Y ∈ Γ(T M )
d Yp = ft (p)
dt t=0
ein Killingfeld auf M .
Satz 8.7. Sei γ : [0, 1] → M sei Geodätische, Y ein Killingfeld auf M . Dann
gilt hY, γ 0 i = const.
Beweis. Definiere γt : [0, 1] → M , γt = ft ◦ γ wobei ft Isometrie, Y das
zugehörige Killingfeld.
Dann gilt
Z 1
d 0 1
0 = E(γt ) = hY, γ i 0 −
hY, γ 00 i.
dt t=0
0
Dieses Angewandt auf γ̃, γ̃(s) = γ(aṡ) ergibt hY (a), γ 0 (a)i = hY (0), γ 0 (0)i für
alle a.
15.12.
Definition 8.8. Sei M eine Riemannsche Mannigfaltigkeit. Setze dann Ω ⊂ T M ,
Ω = {(p, x) ∈ T M |∃ Geodätische γ : [0, 1] → M mit γ(0) = p, γ 0 (0) = x}
T M = {(p, x) ∈ M × Rk |x ∈ Tp M }, M ⊂ Rk
52
Satz 8.9. Zu jedem Punkt p ∈ M einer Riemanschen Mannigfaltigkeit gibt es
eine Umgebung U ⊂ M und ε > 0, so dass für jedes q ∈ U und jedes X ∈ Tq M
mit |X| < ε eine eindeutig bestimmte Geodätische γX : [0, 1] → M gibt mit
γ(0) = q, γ 0 (0) = X.(d.h. (q, X) ∈ Ω).
Beweis. Der Existenz und Eindeutigkeitssatz für gewöhnliche Differentialgleichungen liefert eine Umgebung W von (p, 0) ∈ T M und ein ε2 > 0, so dass
γ : (−2ε2 , 2ε2 ) → M mit γ(0) = q und γ 0 (0) = X für alle (q, x) ∈ W existiert.
Wähle nun eine Umgebung U ⊂ M von p mit ε1 > 0, so dass {(q, x) ∈
T M ||x| < ε1 } ⊂ W für alle q ∈ U und W ⊂ T M ist.
Nun definieren wir: ε := ε1 ε2 . Sei q ∈ U , x ∈ Tq M , |x| < ε. Dann gilt:
y :=
x
⇒ |y| < ε2
ε1
⇒ γ̃ : [−ε2 , ε2 ] → M
γ̃(0) = q, γ̃ 0 (0) = y
Damit ist γ : [0, 1] → M mit γ(t) = γ̃(ε2 t) Geodätische mit γ(0) = q,γ 0 (0) =
ε2 ,γ̃ 0 (0) = 2 , y = x.
Zwischen der Exponentialfunktion in R und der auf Mannigfaltigkeiten gibt es
einige Zusammenhänge, auf die wir im folgenden eingehen wollen:
• exp((s + t)x) = exp(sx) exp(tx) (Im allgemeinen gilt nicht exp(x + y) =
exp(x) exp(y), da die Matrixmultiplikation nicht kommutativ ist.)
•



 1 0 s 
1 t  s, t ∈ R
G= 


1 ist eine Gruppe, da
 


1 0 s + s̃
1 0 s
1 0 s̃

1 t 
1 t̃  = 
1 t + t̃ 
1
1
1

53
. Damit ist G eine additive Gruppe in R2 , eingebettet im Raum
Matritzen.




 0 0 x TG I =  0 0 y  x, y ∈ R


0 0 0 
 
 
 
0 0 s
1 0 0
0 0 s
1
exp  0 0 t  =  0 1 0  +  0 0 t  =  0
0 0 0
0 0 1
0 0 0
0
der 3 × 3-

0 s
1 t 
0 1


1 0 tx
t → exp(tx) =  0 1 ty 
0 0 1
Satz 8.10. [Gauss-Lemma] Sei q ∈ M , {Y ∈ Tq M ||Y | = r} ⊂ Ω, X :
(−δ, δ) → Tq M , X(0) = Y , |X(t)| = r für alle t ∈ (−δ, δ), γ(t) = exp(tY ),
γ : [0, 1] → M , η(s) = exp(X(s)), exp(Y ) = Y (1) = η(0)
Dann gilt: hγ 0 (1), η 0 (0)i = 0
Beweis. α : [0, 1] × (−δ, δ) → M , α(s, t) = exp(tX(s)) Variation von γ γt (s) =
α(s, t), L(γt ) = |X(t)|2 = r2
0=
d
dt |t=0 E(γt )
z(s) =
∂α
∂t (s, 0)
= hz, γ 0 i|10 −
R1
0
hz, γ 00 i
Variationsvektorfeld.
α(0, t) = q für alle t ⇒ z(0) = 0, z(1) = η 0 (0).
Wegen α(1, t) = η(t), mit 1. Variationsformel: 0 ⇒ hz(1), γ 0 (1)i = hη 0 (0), γ 0 (1)i
05.01.
9 Abstand und Abstandsfunktion
Wir fragen uns, was Geodätische mit dem Abstand zweier Punkte zu tun haben.
Sei M eine Riemannsche Mannigfaltigkeit, γ : [a, b] → M stückweise glatt. Die
Rb
Länge von γ ist dann L(γ) = a |γ 0 (t)| dt.
Jeder Punkt p ∈ M hat eine Umgebung U ⊂ M von p und ein > 0, so daß
{(q, x) ∈ T U |x| < } ⊂ Ω,
54
wobei Ω ⊂ T M der Totalraum des Tangentialbündels ist. Nehmen wir p ∈ M und
(wie vorher), so daß
(p, x) ∈ Ω für |x| ≤ . Betrachten wir nun exp : B → M
mit B ⊂ {x ∈ Tp M |x| ≤ }.
[BILDER]
Satz 9.1. Zu einem
Punkt p ∈ M existiert ein δ > 0, so daß für B = {x ∈
Tp M |x| < δ} exp B : B → V ⊂ M ein Diffeomorphismus ist.
Beweis. Sei f := exp B mit f (B) := V . Nach Satz über Umkehrfunktionen
genügt es zu zeigen, daß d0 f : T0 B → Tp M invertierbar ist. (f (0) = p und
T0 B = Tp M .)
Für x ∈ Tp M gilt
x=
d η(t),
dt t=0
η(t) = tx.
Weiter ist dann:
d0 f (x) =
d d f
(η(t))
=
exp(t) = γ 0 (0) = x.
dt t=0
dt t=0
Also ist d0 f Identität, und damit invertierbar.
Satz 9.2. Sei exp B (p) diffeomorph auf V ⊂ M , x ∈ Tp M , |x| = R und
R
q := exp(x). Sei weiter γ : [a, b] → M mit γ(a) = p und γ(b) = q.
Dann ist L(γ) ≥ R und die Gleichheit gilt genau dann, wenn γ[0, 1] :→ M ,
γ(s) = exp(sx) gilt.
Beweis. Achtung: Im Beweis sind viele Schreibfehler und paar Kleinigkeiten fehlen. (Es gibt einen Kaffee für Korrektur von naumov.)
Sei o.B.d.A. γ(s) 6= p für alle s ∈ (a, b).
Ist γ(s0 ) = p, dann ersetze γ durch γ̃ = γ [s0 ,b] . Damit ist L(γ̃) < L(γ).
s0 = max{s ∈ (a, b)γ(s) = p}.
Sei b̃ = min{s ∈ [a, b]γ(s) ∈ ∂V }.
L(γ) ≥ L(γ [a,b] .
55
Wir zeigen L(γ [a,b] ≥ R. Definiere zuerst Vektrofeld Y auf V : p̃ ∈ V , p̃ =
exp(x), x ∈ BR .
d
Y = t=1 exp(tx).
dt
t 7→ η(t) = exp ... = tx Geodätische η 0 (0) = 0, η 0 (1) = Yp , Yp = |x| Insbesondere ist ??? nicht Null.
Für p̃ ∈ V → {p} gilt Tp̃ M = RYp̃ ⊕ Yp̃⊥ .
Rbp
Sei γ̃ = γ [a,b] eingeschränkt, L(γ̃) = a hγ 0 (s), γ 0 (s) ds, γ 0 (s) = ρ(s)Yγ̃(s) +
Z(s).
|γ 0 (s)|2 = ρ(s2 )|Yγ̃(s) |2 + |Z(s)|2
≥ ρ(s)2 |Yγ̃(s) |2
γ 0 (s) ≥ |ρ(s)||Yγ̃(s) |
Betrachte r : V → R mit p̃ = exp(x), x ∈ Tp M ⇒ r = |x|. r ist stetig, r ≥ 0,
ρ(p) = 0, r ist differentierbarer Weg von p.
Wähle in (a, b], p̃ := γ̃(s).
(r ◦ γ̃)(s) = dr(γ̃ 0 (?)). p̃ = exp(x), x ∈ Tp M , |x| = r(p̃).
Yp̃ =
d
,
dt t=1 exp(tx)
| {z }
η 0 (1) = Yp̃ .
:=η(t)
dr(Yp̃ ) = (r ◦ η)0 (1) = |x|, r(η(t)) = t|x|.
Gauß-Lemma: Für die Tangentialkurven (Kern dp̃ r) an Kurven durch p̃ mit konstantem r gilt
Kern dp̃ r = Yp̃⊥ .
Insbesondere gilt
dr(Z(s)) = 0.
Also:
(r ◦ γ)0 (s) = ρ(s)dr(Yp̃ ) = ρ(s)|x| = ρ(s)|Yp̃ |,
56
Z
b̃
Z
0
(r ◦ γ) (s) ≤
a
b̃ (r ◦ γ)0 (s)
a
Z
=
b̃ ρ(s)Ỹγ̃(s) a
Z
≤
b̃ γ̃ 0 (s).
a
Und da
R b̃
0
a (r ◦ γ) (s)
= r(γ(b̃)) −r(γ(a)) = R gilt L(γ) ≥ R und die Gleichheit
| {z }
|{z}
=R
p
nur für γ̃ 0 (s) = ρ(s)Yγ̃ (s) für alle s. Daraus folgt die Behauptung: γ̃ ist bis auf
Umparametrisierung eine Geodätische.
Sei M eine zusammenhängende Riemannsche Mannigfaltigkeit, d.h. zu p, q ∈ M
gibt es einen Weg γ : [0, 1] → M mit γ(0) = p und γ(1) = q.
Korollar 9.3. R > 0 ist so wählbar, daß q ∈
/ exp(BR (0)), exp Br (0) . Dann ist
L(γ) ≥ R für alle γ : [a, b] → M mit γ(a) = p und γ(b) = q.
Definition 9.4.
Dann heißt
Sei M eine zusammenhängende Riemannsche Mannigfaltigkeit.
d(p, q) := inf{L(γ)γ : [a, b] → M stückweise glatt, γ(a) = p, γ(b) = q}
Abstand von p und q.
Satz 9.5.
(M, d) ist ein metrischer Raum.
Beweis.
1. d(p, q) ≥ 0 – klar,
2. d(p, q) = 0 ⇔ p = q – wegen Korollar.
3. d(p, q) = d(q, p) – einfach,
57
4. d(p, q) + d(q, r) ≥ d(p, r).
[BILD: drei Punkte auf Mannigfaltigkeit verbunden durch stückweise glatten Weg.]
Sei γ : [a, b] → M mit γ(a) = p und γ(b) = q. Dann ist L(γ) < d(p, q)+.
Genauso für γ̃ : [b, c] → M , γ̃(b) = q und γ̃(c) = r: L(γ̃) < d(q, r) + .
Definiere γ̂ : [a, c] → M durch
γ̂(t) =
γ(t) für t ≤ b
γ̃(t) für t ≥ b
mit γ̂(a) = p und γ̂(c) = r. Dann gilt
L(γ̂) = L(γ) + L(γ̃) < d(p, q) + d(p, r) + 2.
Daraus folgt die Dreiecksungleichung.
06.01.
Wir fragen uns, ob es zu p und q immer ein Weg γ : [a, b] → M mit γ(a) = p
und γ(b) = q mit der Länge L(γ) = d(p, q) gibt. Die Antwort ist negativ.
I Beispiel 9.6.
1. Sei M = R2 \ {0}, p = (−1, 0)T und q = (1, 0)T . d(p, q) = 2, aber
ein Weg γ mit L(γ) = 2 muss durch den Punkt (0, 0)T , der nicht in der
Mannigfaltigkeit enthalten ist.
2. Sei M ⊂ R2 offen und nicht konvex, p, q ∈ M . [BILD]. Der kürzeste
Weg müsste auf dem Rand von M liegen. Dieser gehört aber nicht zu M .
Das zweite Phänomen hier ist, daß die Geodätischen nur auf endlichen
Intervallen definiert sind.
Definition 9.7. Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit M heißt vollständig, wenn
jede Geodätische auf ganz R fortsetzbar ist (⇔ exp ist auf ganz T M definiert.)
Satz 9.8. [von Hopf-Rinow] Sei M eine zusammenhängende, vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit. Dann gibt es zu je 2 Punkten p, q ∈ M eine Geodätische γ : [0, 1] → M mit γ(0) = p, γ(1) = q und L(γ) = d(p, q).
Für den Beweis des Satzes wollen wir vorher einige Lemmata beweisen.
58
Lemma 9.9. Sei γ : [a, b] → M stückweise glatt mit γ(a) = p, γ(b) = q und
L(γ) = d(p, q). Dann ist γ glatt (nicht nur stückweise) und eine Geodätische.
In dem Beweis des Lemmas werden wir die 1. Variationsformel für Länge gebrauchen: Ist γ : [a, b] → M mit |γ 0 (t)| = 1 für alle t und α eine Variation von
γ mit Variationsvektorfeld Y , dann gilt:
b Z b
d 0
hγ 00 , Y i
L(γt ) = hγ , Y i −
dt t=0
a
a
Beweis der 1. Variationsformel für Länge.
Z bp
d d hγ 0 , γ 0 i
L(γt ) = dt t=0
dt t=0 a
Z b p
d
hγ 0 , γ 0 i
=
dt
t=0
a
Z b
hY 0 , γ 0 i
p
=
hγ 0 , γ 0 i
a
Z b
=
hY 0 , γ 0 i
a
b Z b
= hY, γ 0 i −
hY, γ 00 i
a
a
Beweis des Lemmas. Zeige zuerst: Alle glatten Teilstücke γ̃ = γ [ã,b̃] sind Geodätische.
[BILD]
Wäre γ̃ 00 6≡ 0, so gäbe es ein t ∈ (ã, b̃) und > 0, so daß γ̃ 00 (s) 6= 0 für alle
s ∈ (t−, t+). Wähle ρ : R → R mit ρ(t) > 0 und ρ(s) = 0 für s 6∈ (t−, t+).
Dann haben wir ein Vektorfeld Y längs γ̃
Y = ργ 00 .
Definiere eine Variation α von γ̃ mit festen Endpunkten und Variationsvektorfeld
Y:
γ̃u (t) = α(t, u) = exp(uY (t)).
1. Variationsformel:
d L(γ̃u ) = −
du u=0
Z
ã
b̃
hγ̃ 00 , Y i = −
Z
b̃
ρ|γ̃ 00 |2 < 0
ã
59
Daraus folgt für geeignetes u
L(γ̃u ) < L(γ).
Nehme γ̃u auf [ã, b̃] als kürzere Kurve von p zu q statt γ̃. Widerspruch!
Also sind alle glatten Teilstücke von γ Geodätische.
Sei γ : [a, c] → M stetig, und für b ∈ (a, c) seien γ [a,b] , γ [b,c] Geodätische.
Ausserdem sei |γ 0 (t)| = 1 wo definiert.
Definiere Variationsvektorfeld Y längs γ mit Y (a) = 0, Y (c) = 0,
hY (b), γ [a,b] (b)i < 0 und hY (b), γ [b,c] (b)i > 0.
Seien v, w ∈ Rn , |v| = |w| = 1, v 6= w, also hv, wi < 1. Wir suchen einen
Vektor y mit den Eingenschaften: hy, vi < 0 und hy, wi > 0. y := w − v.
hy, vi = hw, vi − 1 < 0,
hy, wi = 1 − hv, wi > 0.
Sei α(s,
t) = exp(tY (s)) mit α(a, t) = γ(a), α(c, t) = γ(c) für alle t. Wende
auf γt [a,b] an:
0
b
d L(γt [a,b] ) = hY, γ [a,b] (b)ia
dt t=0
0
= hY (b), γ [a,b] (b)i
< 0.
Das gleiche für γt [b,c] ergibt
d L(γt [b,c] ) < 0
dt t=0
Widerspruch!
Weitere Vorbereitungen.
Sei M eine zusammenhängende Riemannsche Mannigfaltigkeit und p ∈ M . Betrachte f : M → R mit f (q) = d(p, q) stetig.
Sei q ∈ M und > 0. Wähle dann Umgebung U von q, so daß d(q, r) < für
alle r ∈ U . Z.B. U = exp(Bδ (0q )) für kleines δ.
Dann gelten zwei folgende Ungleichungen:
60
• Wegen d(p, q) + d(q, r) ≥ d(p, r) gilt
f (r) − f (q) = d(p, r) − d(p, q) ≤ d(q, r) < ,
• und mit d(p, r) + d(r, q) ≥ d(p, q)
f (q) − f (r) = d(p, q) − d(p, r) ≤ d(r, q) < .
Wir definieren den Abstand eines Punktes zu einer Menge S ⊂ M durch
d(p, S) := inf d(p, q).
q∈S
Beweis des Satzes von Hopf-Rinow. Idee: Wir schiessen Geodätische aus p raus
und beobachten, was der Abstand zu q macht.
[BILD]
12.01.
Satz 9.10. [Satz von Hopf-Rinow] Sei M eine vollständige Mannigfaltigkeit.
Dann sind je zwei Punkte p, q aus M durch eine Geodätische γ verbindbar und
L(γ) = d(p, q)
Beweis. Wähle δ > 0 so, dass exp |Bδ (0p ) : Bδ (0p ) → U ⊂ M ein Diffeomorphismus ist.
Wie definieren uns nun in Tp M eine Sphäre S folgendermaßen: S = exp{x ∈
Tp M ||x| = δ}, δ < d(p, q)
f : s → R, f (p̃) = d(p̃, q) ist stetig, da S kompakt ist. Damit nimmt f ein
Minimum in P0 ∈ S an.
P0 = exp(δx)x ∈ Tp M , |x| = 1.
γ : [0, ∞) → M ist Geodätische, γ(0) = p, γ 0 (0) = x, γ(t) = exp(tx)
Nun müssen wir noch feststellen, ob eine Fortsetzung der Geodätischen irgendwann auf q trifft...
Dazu definieren wir für t ∈ R, t > 0 die Aussage At , welche aussagt: Für
r := d(p, q) gilt d(γ(t), q) = r − t.
Zu zeigen ist Ar , dazu zeigen wir zunächst, dass A(γ) richtig ist: Jeder Weg von
p nach q muss durch S verlaufen. Dann gilt:
61
η : [a, b] → M , η(a) = p, η(b) = q. Dann existiert ein t aus [a, b] mit η(t) ∈ S
L(η) =
L(η)|[a,t] + L(η)|[t,b]
| {z }
| {z }
≥ d(p, η(t))
≥ d(η(t), q)
≥ d(p, s)
≥ d(s, q)
⇒ d(p, q) ≥ d(p, s) +
| {z } | {z }
r
δ
d(s, q)
| {z }
d(p0 ,q) nach Definition
⇒ d(γ(δ), q) ≤ r − δ
Andererseits ist R = d(p, q) ≤ d(p, p0 ) + d(p0 , q) ⇔ d(γ(δ), q) ≥ r − δ, d.h. Aδ
| {z } | {z }
δ
d(γ(δ),q)
ist wahr. Definiere nun t0 = sup{t ∈ [0, r]|At ist wahr}
Strategie: führe t0 < r zum Widerspruch.
Lemma 9.11. At0 ist wahr
Beweis. t → d(γ(t), q) − r + t ist stetig in t (da d stetig ist). Betrachte nun eine
Folge t1 , t2 , . . . mit limj→∞ tj = t0 . d(γ(tj ), q) − t + tj = 0, D.h. At0 ist wahr.
Wähle γ̃ so, dass exp |Bδ (0p̃ ) : Bδ (0p̃ ) → Ṽ ⊂ M ein Diffeomorphismus ist.
S̃ = exp(Sγ̃ (0p̃ ))
d(p˜0 , q) = d(s̃, q)
d(γ(t0 ), q) = δ̃ + d(p˜0 + q) (wie oben)
| {z }
r−t0 wegen At0
Nun müssen wir noch zeigen, dass kein “Knick” in der Geodätischen sein kann.
d(p, q) ≤ d(p, p˜0 ) + d(p˜0 , q)
| {z }
| {z }
r
˜
r−t0 −delta
d(p, p˜0 ) = t0 + δ̃ ist ein Weg von p nach p˜0 der Länge t0 t0 + δ̃.
Kürzeste Wege sind aber Geodätische. (ohne Knick).
62
⇒ p˜0 = γ(t0 + δ̃) d(γ(t0 + δ̃), q) = r − t0 − δ̃, d.h. At0 ist wahr. Dies ist ein
Widerspruch zu t0 = sup{t \ At wahr}.
Satz 9.12. [Vollständige Mannigfaltigkeiten als metrische Räume]
Es sind äquivalent:
1. M ist eine vollständige riemansche Mannigfaltigkeit.
2. Jede abgeschlossene und beschränkte Teilmenge von M ist kompakt.
3. Jede Cauchy-Folge konvergiert (d.h. M als metrischer Raum ist vollständig.)
Beweis.
(1)⇒(2) Wähle p ∈ M , K ⊂ M abgeschlossen.
d(p, q) ≤ r für alle q ∈ K.
Unter Zurhilfenahme von Rinow folgt: zu q ∈ K gibt es Geodätische γ zu p
und q mit L(γ) ≤ r. Damit existiert x ∈ Tp M mit |x| ≤ r und exp(x) = q.
Nun definieren wir K̃ als das Urbild von K, also K̃ = exp |Br (0p ) − 1(K).
Da exp |Br (0p ) stetig ist, ist K̃ abgeschlossen. So ist x ∈ K̃ ⇒ |X| ≤ r
⇒ K̃ beschränkt ⇒ K̃ kompakt ⇒ K = exp(K̃) kompakt. (Da Bilder
kompakter Mengen unter stetigen Abbildungen kompakt sind.)
(2)⇒(3) Sei p1 , p2 , . . . Cauchy-Folge in M . Dann ist {p1 , p2 , . . . } beschränkt und
{p1 , p2 , . . . } beschränkt und abgeschlossen. Damit ist die Folge (Folgen)kompakt und p1 , p2 , . . . hat eine konvergente Teilfolge.
Eine Cauchy-Folge mit konvergenten Teilfogen konvergiert aber auch selbst.
(3)⇒(1) Sei γ : [0, `] → M Geodätische.
T := sup{t > 0|γ kann auf [0, T ] fortgesetzt werden}
Annahme: T < ∞. Zeige, dass γ fortsetzbar ist auf [0, T ].
1
Definiere pn := γ(T − n1 ) ⇒ d(pn , pm ) ≤ | n1 − m
| ⇒ p1 , p2 , . . . ist eine
Cauchy-Folge.
Rightarrow∃p ∈ M mit limn→∞ γ(T − n1 ) = p.
γ ist auf [0, T ] fortsetzbar. γ lässt sich aber auch weiter fortsetzen durch
die geodätische γ̂ : [T, T + ε] → M mit γ̂(T ) = γ(T ) und γ̂ 0 (T ) = γ 0 (T ).
Dies ist aber ein Widerspruch zur Definition von T als Supremum.
63
Korollar 9.13. Wenn eine Mannigfaltigkeit M kompakt ist, ist sie auch vollständig.
Beweis. Sei M kompakt, d stetig, dann ist M ⊂ Rk beschränkt bzgl. der Metrik
in Rk .
Da K ⊂ M abgeschlossen ist, ist K als Teilmenge von Rk auch abgeschlossen.
Mit Heine-Borel folgt dann, dass K kompakt ist.
13.01.
Zur Erinnerung: (Krümmungstensor)
Sei V ein Vektorbündel mit Zusammenhang ∇. Dann kann man den Krümmungstensor R folgendermaßen definieren:
Für X, Y ∈ Γ(T M ), Ψ ∈ Γ(V ) folgt dass R(X, Y )Ψ ∈ Γ(V ) gilt. R(X, Y )Ψ =
∇X ∇Y Ψ − ∇Y ∇X Ψ − ∇[X,Y ] Ψ ⇒ R(X, Y )Ψ = −R(Y, X)Ψ.
Satz 9.14. Sei ∇ ein torsionsfreier Zusammenhang auf T M . Dann gilt die 1.
Bianchi-Identität
R(X, Y )Z + R(Y, Z)X + R(Z, X)Y = 0
Beweis. Zunächst einmal ist R ein Tensor. Das heißt, es genügt die Identität für
jedes p ∈ M zu zeigen: X̂, Ŷ , Ẑ ∈ Tp M . Damit ist X̂ = Xp , Ŷ = Yp , Ẑ = Zp
mit 0 = [X, Y ] = [Y, Z] = [Z, X], X, Y , Z in Umgebung von p definiert.
Eine Karte gibt uns X1 , . . . , Xn lokal definierte Vektorfelder mit [Xi , Xj ] = 0.
X̂ =
n
X
ai Xi (p), . . . ,
Ẑ =
i=1
i=1
mit a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn und c1 , . . . , cn ∈ R.
⇒X=
Pn
i=1 ai Xi , . . . , z
⇒ [X, Y ] =
Pn
i,j=1 ai bj
=
Pn
i=1 ci Xi
[Xi , Xj ] = 0.
| {z }
=0
Wegen Torsionsfreiheit gilt:
0 = ∇X Y − ∇Y X
0 = ∇Y Z − ∇Z Y
0 = ∇Z X − ∇X Z
64
n
X
ci Xi (p)
und damit
∇Z Y
z }| {
R(X, Y )Z = ∇X ∇Y Z −∇Y ∇X Z = ∇X ∇Z Y − ∇Y ∇X Z
R(Y, Z)X = ∇Y ∇Z X − ∇Z ∇Y X = ∇Y ∇X Z − ∇Z ∇Y X
R(Z, X)Y = ∇Z ∇X Y − ∇X ∇Z Y = ∇Z ∇Y X − ∇X ∇Z Y
Addieren der drei oberen Gleichungen ergibt 0.
Satz 9.15. Sei h, i Riemann’sche Metrik auf Vektorbündel V , ∇ Zusammenhang
auf T M der mit h, i verträglich ist (d.h. Xhφ, ψi = h∇X φ, ψi + hφ, ∇X ψi)
Dann gilt:
hR(X, Y )φ, ψi = −hR(X, Y )ψ, φi
Beweis.
Y Xhφ, ψi = Y h∇X φ, ψi + Y hφ, ∇X ψi
= h∇Y ∇X φ, ψi + h∇X φ, ∇Y ψi + h∇Y φ, ∇X ψi + hφ, ∇Y ∇X ψi
XY hφ, ψi = Xh∇Y φ, ψi + Xhφ, ∇Y ψi
= h∇X ∇Y φ, ψi + h∇Y φ, ∇X ψi + h∇X φ, ∇Y ψi + hφ, ∇X ∇Y ψi
[X, Y ]hψ, φi = h∇[X,Y ] φ, ψi + hφ, ∇[X,Y ] ψi
Subtrahieren der ersten und letzten Gleichung und addieren der zweiten ergibt
dann
0 = hR(X, Y )φ, ψi + hφ, R(X, Y )ψi = hR(X, Y )φ, ψi + hR(X, Y )ψ, φi
Satz 9.16. Sei R der Krümmungstensor des Levi-Civita Zusammenhanges ∇
einer Riemanschen Metrik h, i auf M. Dann gilt:
1. hR(X, Y )Z, W i = −hR(X, Y )W, Zi
2. hR(X, Y )Z, W i = hR(Z, W )X, Y i
Beweis. (Oktaederbildchen)
65
hR(X, Y )W + R(Y, W )X + R(W, X)Y, Zi = 0
hR(Z, W )X + R(W, X)Z + R(X, Z)W, Y i = 0
hR(Y, Z)W + R(Z, W )Y + R(W, Y )Z, Xi = 0
hR(X, Y )Z + R(Y, Z)X + R(Z, X)Y, W i = 0
Subtrahieren der ersten und zweiten, sowie addieren der dritten und vierten Gleichung ergibt die erste Behauptung aus dem Satz.
Betrachten wir nun den Krümmungsvektor in verschiedenen Dimensionen:
dim M = 1 Dann gilt für eine Basis X ∈ Tp M , |X| = 1: hR(X, X)X, Xi = 0
dim M = 2 Dann gilt für eine Orthonormalbasis X, Y von Tp M : hR(X, Y )Y, Xi =: k
Satz 9.17. Sei M eine riemann’sche Mannigfaltigkeit, p ∈ M , X, Y ∈ Tp M
linear unabhängig. Dann hängt
k=
hR(X, Y )Y, Xi
hX, XihY, Y i − hX, Y i2
nur von der Ebene E = Spann(X, Y ) ⊂ Tp M ab. k heisst Schnittkrümmung
von E
Beweis. Betrachten wir einen Basiswechsel: Sei X̃ = aX + bY , Ỹ = cX + dY
und ad − bc 6= 0. Dann bilden X̃ und Ỹ eine neue Basis von E.
hR(X̃, Ỹ ), X̃i = hR(aX + bY, cX + dY )(cX + dY ), aX + bY i
= hR(X, Y )Y, Xi(ad(−bc + ad) + bc(−bc + ad))
= (ad − bc)2 hR(X, Y )Y, Xi
Andererseits gibt uns die Gramsche Determinante hX̃, X̃ihỸ , Ỹ i − hX̃, Ỹ i =
· · · = (ad − bc)2 (hx, xihy, yi − hx, yi2 )
19.01.
Satz 9.18. Ein Tensor R im euklidischen Vektorraum V mit Symmetrien eines Krümmungstensors ist durch die Werte R(X, Y, Y, X) mit X, Y ∈ V völlig
bestimmt.
66
Korollar 9.19. Schnittkrümmungen bestimmen den Krümmungstensor.
Beweis. (Ich frage mich von was) Seien X, Y , Z und W ∈ V . Definiere f (s, t)
als:
f (s, t) = R(X + sW, Y + tZ, Y + tZ, X + sW )
− R(X + sZ, Y + tW, Y + tW, X + sZ).
h
f (s, t) = st R(W, Z, Y, X) +R(W, Y, Z, X) + R(X, Z, Y, W )
|
{z
}
{z
}
|
R(X,Y,Z,W )
R(W,Y,Z,X)
+ R(X, Y, Z, W ) − R(Z, W, Y, X) −R(Z, Y, W, X)
|
{z
}
−R(X,Y,Z,W )
i
− R(X, W, Y, Z) − R(X, Y, Z, W ) + . . .
|
{z
} |
{z
}
R(Z,Y,W,X)
−R(X,Y,Z,W )
h
i
= st 4R(X, Y, Z, W ) + 2R(W, Y, Z, X) + 2R(Y, Z, W, X) + . . .
h
i
= st 4R(X, Y, Z, W ) + 2 R(W, Y )Z + R(Y, Z)W , X + . . .
|
{z
}
R(Z,W )Y
h
i
= st 4R(X, Y, Z, W ) − 2R(Z, W, Y, X) + . . .
h
i
= st 6R(X, Y, Z, W ) + . . .
Ein Spezialfall ist, wenn alle diese Schnittmengen gleich sind.
Korollar 9.20. Ist K konstant für alle 2-Ebenen U ⊂ Tp M , K(U ) = Kp für
alle U . Dann gilt:
R(X, Y )Z = Kp hZ, Y iX − hZ, XiY .
Beweis. R̃ definiert durch die rechte Seite hat alle Symmetrien eines Krümmungstensors (R(X, Y, Z, W ) Schiefsymmetrie in X, Y als auch in Z, W , und 1.
Bianchi Identität.)
R̃(X, Y, Z, W ) = Kp hZ, Y ihX, W i − hZ, XihY, W i
67
und
R̃(X, Y )Z + R̃(Y, Z)X + R̃(Z, X)Y = Kp hZ, Y iX − hZ, XiY + hX, ZiY
− hX, Y iZ + hY, XiZ − hY, ZiX
=0
R̃ hat dieselben Schnittkrümmungen wie R. Daraus folgt mit dem letzen Satz
R = R̃, denn
R̃(X, Y, Y, X)
hY, Y ihX, Xi − hX, Y i2
=
K
= Kp
p
|X|2 |Y |2 − hX, Y i2
|X|2 |Y |2 − hX, Y i2
Der Krümmungstensor bestimmt, wie sich Geodätische verhalten.
Betrachte eine Geodätische γ : [a, b] → M und eine Variation α : [a, b] ×
(−, ) → M , γt (s) = α(s, t), für welche alle γt Geodätische sind. α – Geodätische Variation.
Satz 9.21.
Y := ∂α
∂t t=0
γ : [a, b] → M sei Geodätische, α Geodätische Variation von γ,
– Variationsvektorfeld. Dann gilt
Y 00 + R(Y, γ 0 )γ 0 = 0.
Beweis.
D D ∂α Y =
ds
∂s ∂t t=0
D D ∂α =
ds
∂t ∂s t=0
D D ∂α =
∂s ∂t ∂s t=0
∂α ∂α ∂α D
D ∂α
=
+R
∂t
∂s ∂t ∂s t=0
|∂s{z∂s}
00
0
=0, da alle γt Geod.
0
= R(γ , Y )γ .
68
Definition 9.22. Ein Vektorfeld Y längs einer Geodätischen γ : [a, b] → M
heißt ein Jacobifeld, wenn gilt:
Y 00 + R(Y, γ 0 )γ 0 = 0.
Differentialgleichungen für Vektorfelder längs Kurven
Definition 9.23.
wenn Y 0 = 0.
Satz 9.24.
Ein Vektorfeld Y längs Kurve γ : [a, b] → M heißt parallel,
Sei Y parallel längs γ. Dann ist |Y | = const.
Beweis.
D DY
E
hY, Y i0 = 2
, Y = 0.
ds
|{z}
=0
Allgemeiner: Sind X, Y parallel längs γ, dann ist hX, Y i konstant:
hX, Y i0 = hX 0 , Y i + hX, Y 0 i = 0.
20.01.
Sei γ : [a, b] → M . Auf [a, a + ] finde X1 , . . . , Xn – Vektorfelder längs γ, so
daß X1 (t), . . . , Xn (t) eine Basis von Tγ(t) M für alle t ∈ [a, a + ] ist.
Y ansetzen als
P
yi Xi , Xi0 =
Pn
j=1 aij Xj .
Y0 =
X
=
X
yi0 Xi + yi
X
X
i
j
aij Xj
j
yj0
yi aij Xj
i,j
dann
!
0 = Y 0 ⇐⇒ yj0 = −
X
yi aij
für alle j.
i
69
Dies ist eine lineare Differentialgleichung 2. Ordnung, die mit Y (0) = Y0 eindeutig lösbar ist.
Weiterhangeln bis b. Dann gibt es ein eindeutiges pralleles Vektorfeld längs γ zu
vorgegebenem Y (0) = Y0 .
Anwendung auf den Krümmungstensor der n–dimensionalen Sphere.
Sei S n ⊂ Rn+1 mit der standard induzierten Metrik und sei X ∈ S n . Wähle
U und V ∈ TX S n orthonormal, also mit |U | = |V | = 1 und hU, V i = 0, d.h.
hX, U i = hX, V i = 0.
Sei
γ(s) = cos sX + sin sU,
Variation
α(s, t) = γt (s) = cos sX + sin s(cos tU + sin tV ),
Variationsvektorfeld
Y =
∂α ,
∂t t=0
Y (s) = sin sV,
V – paralleles Vektorfeld längs γ.
Dann ist −R(Y, γ 0 )γ 0 = Y 00 = −Y und dann R(Y, γ 0 )γ 0 = Y . An der Stelle s = 0
ist R(V, U )U = V
hR(V, U )U, V i = 1, also sind alle Schnittkrümmungen
gleich 1.
Für beliebige Vektoren: R(X, Y )Z = hZ, Y iX − hZ, XiY .
Hyperbolischer Raum
Betrachte auf Rn+1 Lorenz-Skalarprodukt
h , iL : Rn+1 × Rn+1 → R,
hX, Y iL = −X0 Y0 + X1 Y1 + · · · + Xn Yn .
Definiere
H n := {X ∈ Rn+1 hX, XiL = −1, X0 > 0}.
[BILD: obere Schale eines Hyperboloids]
Sei X ∈ H n . TX H n = {U ∈ Rn+1 hX, Y iL = 0} = X ⊥ . Dann ist h , iL T H n
X
positiv definit.
H n mit der von h , iL induzierten Bilinearform ist Riemannsche Mannigfaltigkeit
— n–dimensionaler hyperbolischer Raum.
70
Levi-Cevita Zusammenhang auf H n : γ : [a, b] → H n , Y – tangentiales Vektorfeld
auf H n längs γ.
dY DY
(s) =
(s),
ds
ds γ(s)⊥
Orthogonalprojektion im Sinne von h , iL , wobei
dY
ds
Ableitung in Rn+1 ist.
Geodätische γ mit γ(0) = X, γ 0 (0) = U , |U | = 1, γ(s) = cosh sX + sinh U .
hγ(s), γ(s)iL = cosh2 s hX, XiL + cosh sinh hX, U iL + sinh2 s hU, U iL = −1.
| {z }
| {z }
| {z }
−1
0
1
Dieselbe Rechnung wie vorher
γt (s) = cosh sX + sinh s(cos tU + sin tV ).
Dann gilt Y 00 = Y und die Schnittkrümmung K ist für alle xxx = −1. Y (s) =
sinh sV .
Zur Vollständigkeit: Sei M = Rn , γt (s) = p + s(cos tU + sin tV ). Dann Y (s) =
sV und K = 0.
[3 Bilder]
Satz 9.25. Sei γ : [a, b] → M Geodätische, Y – Jacobifeld längs γ. Dann gibt
es geodätische Variation α von γ mit Variationsvektorfeld Y .
...
Satz 9.26.
Sei γ : [0, L] → M Geodätische. Dann gilt:
1. Zu jedem U , V ∈ Tγ(0) M gibt es genau ein Jacobifeld Y längs γ mit
Y (0) = U , Y 0 (0) = V .
2. Y Jacobifeld mit Y (0) = 0, Y 0 (0) = λγ 0 (0). Dann ist Y (s) = λsγ 0 (s) für
alle s.
3. Y Jacobifeld mit Y (0) und Y 0 (0) ⊥ γ 0 (0). Dann ist Y (s) ⊥ γ 0 (s) für alle
s.
4. Die Dimension der Jacobifelder aus (2) ist 2n; Die Dimension der Jacobifelder aus (3) ist 2n − 2.
71
Beweis.
1. schon gezeigt (lineare DGL 2. Ordnung).
2. Ỹ (s) := λsγ 0 (s) erfüllt die Jacobifeld-Gleichung:
Ỹ 00 + R(Ỹ , γ 0 )γ 0 = 0 + R(λsγ 0 , γ 0 )γ 0 = 0
(1)
Ỹ (0) = 0, Ỹ 0 (0) = λγ 0 (0) ⇒ Y = Ỹ .
3. Y (0) und Y 0 (0) ⊥ γ 0 (0). Sei f = hY, γ 0 i. Dann gilt
f 0 = hY 0 , γ 0 i + hY, γ 00 i
|{z}
=0
00
00
0
f = hY , γ i = −hR(Y, γ 0 )γ 0 , γ 0 i = 0.
f (0) = 0, f 0 (0) = 0, f 00 ≡ 0. Dann auch f ≡ 0.
4. Aus dem letzten folgt auch, daß die Dimension der Jacobifelder aus (3)
gleich 2n − 2 ist.
02.02.
Satz 9.27. Sei γ : [0, ∞) → M Geodätische und Y Jacobi-Feld längs γ mit
Y (0) = 0 und Y 0 (0) 6= 0.
Sind alle Schnittkrümmungen K von M kleiner oder gleich Null, dann gilt Y (t) 6=
0 für t > 0.
Beweis. Zunächst definieren wir uns eine Funktion f : [0, ∞) → R durch f :=
hY, Y i. Dann ist f 0 = 2hY, Y 0 i und f (0) = f 0 (0) = 0. Weiter gilt:
1 00
f = hY 0 , Y 0 i + hY, Y 00 i = hY 0 , Y 0 i − hY, R(Y, γ 0 )γ 0 i
2
= hY 0 , Y 0 i − K(|Y |2 |γ 0 |2 − hγ 0 , Y i2 ) ≥ 0.
Da nun f 00 (0) = 2hY 0 , Y 0 i > 0 und f 00 > 0, also f (0) = f 0 (0) = 0, f 00 (0) 6= 0
ist, gilt f (t) 6= 0 für alle t > 0.
72
10 Die 2. Variationsformel
Bemerkung 10.1. Sei γ : [0, L] → M eine Geodätische nach der Bogenlänge
parametrisiert und γ(0) = p, γ(L) = q. Definiere dann
M = {η : [0, L] → M | η glatt, η(0) = p, η(L) = q}.
Diese Menge lässt sich auch als “∞-dimensionale Mannigfaltigkeit” begreifen.
Wir definieren nun Variationen von η mit Hilfe von α : (− ε, ε) × [0, L] → M ,
ηt (s) = α(t, s), α(t, 0) = p, α(t, L) = q für alle t ∈ (− ε, ε).
“Tη M” lässt sich dann begreifen als die Menge der Vektorfelder Y längs η mit
Y (0) = Y (L) = 0.
Definition 10.2. Sei γ : [0, L] → M eine Geodätische, γ(0) = p, γ(L) = q.
Eine 2-Parameter-Variation mit festen Endpunkten von γ wird definiert durch
α : (− ε, ε) × (− ε, ε) × [0, L] → M
mit
α(0, 0, s) = γ(s)
γu,v (0) = p
∂α = X(s)
∂u (0,0,s)
α(u, v, s) = γu,v (s),
γu,v (L) = q,
∂α = Y (s),
∂v (0,0,s)
wobei X und Y Vektorfelder längs γ sind.
Definition 10.3. Die Energie einer 2-Parameter-Variation wird definiert durch
E : (− ε, ε) × (− ε, ε) → R mit
Z
E(u, v) =
L
2
0
γu,v
(s) ds = E(γu,v ).
0
Die Energie E hat einen kritischen Punkt in (0, 0).
Satz 10.4. [2. Variationsformel]
Z L
∂ 2 E =
−
hX, Y 00 + R(Y, γ 0 )γ 0 i.
∂u∂v (0,0)
0
73
Bevor wir zum eigentlichen Beweis des Satzes kommen, beweisen wir ein Lemma:
Lemma 10.5. Die 2. Variationsformel ist symmetrisch in X und Y .
Beweis.
Z
0
L
00
0
0
Z
hX, Y + R(Y, γ )γ i =
Z
0 L
= hX, Y i 0 −
L
Z
00
hX, Y i +
0
Z
L
0
0
hX , Y i +
0
0
L
L
hX, R(Y, γ 0 )γ 0 i
hR(Y, γ 0 )γ 0 , Xi.
0
L
L
Für hX, Y 0 i0 kann man auch hY, X 0 i0 schreiben, da beide = 0 sind.
Z L
Z L
L
= hY, X 0 i0 −
hY 0 , X 0 i +
hR(X, γ 0 )γ 0 , Y i
0
0
Z L
Z L
=
hY, X 00 i +
hY, R(X, γ 0 )γ 0 i
0
0
Z L
=
hY, X 00 + R(X, γ 0 )γ 0 i
0
Beweis Satz 10.4.
Z L
Z L 2
1 ∂E
1 ∂
∂α ∂α
∂ α ∂α
ds =
ds
=
,
,
2 ∂v
2 ∂v 0
∂s ∂s
∂v∂s ∂s
0
Z L 2
Z L
D α ∂α
∂α D2 α
∂ Dα ∂α
=
ds =
−
ds
,
,
,
∂s∂v ∂s
∂v ∂s
∂v ∂s2
0
0 ∂s
Z L
∂α ∂α L
∂α D2 α
−
=
ds.
,
,
∂v ∂s 0
∂v ∂s2
0
{z
}
|
=0
In der letzten Zeile verschwindet das Randintegral, da α(u, v, 0) = p und α(u, v, L) =
q für alle u und v sind.
Betrachte
1 ∂ 2 E =−
2 ∂u∂v (0,0)
Z
0
L
∂
∂u
∂α D2 α
,
∂v ∂s2
ds.
∂
Reinziehen von ∂u
und mehrfache Vertauschung der partiellen Ableitungen führt
zu:
Z L 2
∂α D D ∂α
∂α ∂α ∂α
∂ α D2 α
+
ds
,
,
+R
,
−
∂u∂v ∂s2
∂v ∂s ∂s ∂u
∂u ∂s ∂s
0
Z L
=−
Y, X 00 + R(X, γ 0 )γ 0 ds.
0
74
Und mit dem letzten Lemma gilt
1 ∂ 2 E =−
2 ∂u∂v (0,0)
Z
L
hX, Y 00 + R(Y, γ 0 )γ 0 i ds.
0
Um eine Anwendung des zuvor gezeigten Satzes zeigen zu können, soll nun ein
typischer Satz der Riemannschen Geometrie ohne Beweis formuliert werden:
Satz 10.6. [Sphärensatz] Sei M vollständige Riemann’sche Mannigfaltigkeit, die
einfach zusammenhängend ist, d.h. jede geschlossene Kurve γ : [0, 2π] → M ,
γ(0) = γ(2π) sei kontrahierbar, d.h. es gibt eine stetige Funktion α : [0, 1] ×
[0, 2π] → M , mit α(t, 0) = α(t, 2π), α(0, s) = γ(s), α(1, s) = p.
Die Schnittkrümmungen k erfüllen alle
1
4
< k ≤ 1.
Dann ist M homöomorph zur Sphäre S n
Definition 10.7. [Ricci-Tensor]
Ric(X, Y ) := Spur(Z → R(Z, X)Y )
Lemma 10.8. Der Ricci-Tensor ist symmetrisch und bilinear in X und Y .
Beweis. Die Bilinearität ist einfach. Um die Symmetrie zu zeigen wähle eine
Orthonormal-Basis X1 , . . . , Xn von Tp M . Dann gilt
Ric(X, Y ) =
n
X
hR(Xi , X)Y, Xi i =
i=1
n
X
hR(Xi , Y )X, Xi i = Ric(Y, X).
i=1
Definition 10.9. [Skalarkrümmung] Sei A : Tp M → Tp M eine lineare Abbildung mit Ric(X, Y ) = hX, AY i. Definiere dann die Skalarkrümmung durch
S := Spur(A) =
n
X
j=1
hAXj , Xj i =
n
X
j=1
Ric(Xj , Xj ) =
X
hR(Xi , Xj )Xj , Xi i.
i,j
03.02.
Für die Krümmung von Flächen im R3 ist k > 0 genau dann, wenn Fläche streng
konvex gekrümmt ist.
75
Wir bezeichnen den “Durchmesser” von M mit diam(M ) := supp,q∈M d(p, q).
Satz 10.10. [Satz von Myers] Sei M eine vollständige, zusammenhängende Riemannsche Mannigfaltigkeit der Dimension n mit
Ric(X, X) ≥
n−1
g(X, X)
r2
für alle X ∈ T M . Dann gilt: diam(M ) ≤ πr.
Korollar 10.11. M ist in diesem Fall kompakt, da abgeschlossen und beschränkt.
Ric(X, X) = n−1
hX, Xi mit |X| = 1 für Sphäre mit Radius r in Rn+1 , denn
r2
Ric(X, X) ist die Summe von Schnittkrümmung von Spann(Xi , Xj ) = n−1
für
r2
n
X, X1 , . . . , Xn−1 ON-Basis von Tp M . diam(S (r)) = d(Nordpol, Südpol) =
πr
Beweis des Satzes von Myers. Seien p, q ∈ M zwei Punkte. Dann existiert (nach
dem Satz von Hopf-Rinow) eine nach der Bogenlänge parametrisierte Geodätische
γ : [0, L] → M , γ(0) = p, γ(L) = q, mit L(γ) = d(p, q).
Wähle n parallele Vektorfelder längs γ, so daß X1 = γ 0 und X1 (0), . . . , Xn (0)
eine Orthonormalbasis des Tp M bilden, und
hXi , Xj i0 = hXi0 , Xj i + hXi , Xj0 i = 0.
X1 (s), . . . , Xn (s) bilden eine Orthonormalbasis von Tγ(s) M für alle s weil sie
parallel sind.
Setze nun Yi (s) = sin
πs
L
Sei β eine Variation mit
γt (s) = β(t, s) folgt
Xi . Offensichtlich ist Y (0) = Y (L) = 0.
∂β ∂t t=0
t) dt2 d2 E(γ
t=0
= Yi . Setze dann α(u, v, s) = β(u + v, s). Mit
2
u+v ) = ∂ E(γ
.
∂u∂v
u,v=0
γ ist das Minimum von E, weil es Minimum in L einnimmt (vgl. Satz 7.1 auf
Seite 49), also gilt für alle i:
Z L
0≤−
hYi , Yi00 + R(Yi , γ 0 )γ 0 i ds.
(1)
0
Leitet man Yi (s) = sin
πs
L
Xi zwei Mal ab, dann erhält man
Yi00 = −
76
π 2
L
sin
πs L
Xi .
Dies setzen wir in die Gleichung (1) ein:
Z
L
sin2
0≤
0
Z
L
sin2
=
0
πs Xi ,
π 2
L
L
πs π 2
L
L
Xi − R(Xi , X1 )X1 ds
− R(Xi , X1 )X1 , Xi ds,
und bilden die Summe über i von 2 bis n:
0≤
n Z
X
L
sin2
i=2 0
L
Z
2
=
sin
0
Z
πs π 2
L
πs L
L
(n − 1)
− R(Xi , X1 )X1 , Xi ds
π 2
L
−
n
X
R(Xi , X1 )X1 , Xi
ds
i=2
L
π 2
πs (n − 1)
− Ric(X1 , X1 ) ds
sin2
L
L
0
2
Z L
π
1
2 πs
−
sin
≤ (n − 1)
ds.
L2 r2
L
0
=
2
π
1
Die Differenz L
2 − r 2 ist grösser oder gleich Null genau dann, wenn πr ≥ L =
d(p, q). Daraus folgt die Behauptung des Satzes.
11 Der Satz von Gauss-Bonnet
Definition 11.1. P -Formen auf Mannigfaltigkeiten. ω P -Form ⇔ ω Tensorfeld
mit ωp : Tp M × · · · × Tp M → R multilinear und alternierend. ω sei glatt in dem
Sinne, daß ω(x1 , . . . , xP ) ∈ C ∞ (M ) für x1 , . . . , xP ∈ Γ(T M ).
Wenn ω eine P -Form und η eine Q-Form sind, lässt sich durch ω ∧ η eine
P + Q-Form definieren:
ω ∧ η(X1 , . . . , XP , XP +1 , . . . , XP +Q )
X
:=
sign(σ) ω(xσ(1) , . . . , xσ(P ) ) η(xσ(P +1) , . . . , xσ(P +Q) ),
σ
wobei σ : {1, . . . , P + Q} → {1, . . . , P + Q} eine Permutation ist.
Als wichtigste Eigenschaft des ∧-Produktes halten wir fest, daß es assoziativ
ist:
ω1 ∧ (ω2 ∧ ω3 ) = (ω1 ∧ ω2 ) ∧ ω3 .
77
Wenn ω und η 1-Formen sind, gilt:
ω ∧ η(X, Y ) = ω(X)η(Y ) − ω(Y )η(X).
ΩP (M ) = { P-Formen auf M }
Satz 11.2. Es gibt genau eine Familie von linearen Abbildungen d : ΩP (M ) →
ΩP +1 (M ), p = 0, . . . , n mit
1. d(ω ∧ η) = dω ∧ η + (−1)P ω ∧ dη mit ω P −Form.
2. d(dω) = 0
3. df für 0-Form f ist die Ableitung
ω1 − Form → dω(X, Y ) = Xω(Y ) − Y ω(X) − ω([X, Y ])
f : φ(U ∩ V ) → ψ(U ∩ V ), f ◦ φ Kartenwechsel Diffeom., det f 0 (0) 6= 0∀x ∈
φ(U ∩ V )
Definition 11.3.
• Ein Atlas af M heißt orientiert, wenn für alle Kartenwechsel-Abbildungen
f gilt, daß f 0 > 0.
• Zwei orientierte Atlanten heißen äquivalent, wenn ihre Vereinigung ein
orientierter Atlas ist
• Eine Mannigfaltigkeit M heißt orientierbar, wenn es einen orientierten Atlas gibt. (Ein Beispiel für eine nicht orientierbare Mannigfaltigkeit ist das
Möbiusband.)
• Eine Äquivalenzklasse von orientierten Atlanten von M heißt Orientierung
vom M .
09.02.
Seien V n–dimensionaler reeller Vektorraum und det : V × · · · × V → R Determinantenfunktion gegeben. Die Basis x1 , . . . , xn ∈ V heißt positiv orientiert
bzgl. det(x1 , . . . , xn ) > 0.
Determinantenfunktionen auf V bilden einen 1–dimensionalen reeller Vektorraum
(ohne Null).
78
f eine weitere Determinantenfunktion. Und seien λ > 0 und eine bzgl. det
Sei det
f = λ det.
positiv orientierte Basis x1 , . . . , xn gegeben. Dann ist det
Definition 11.4.
1. n–dimensionale Mannigfaltigkeit heißt orientiert genau dann, wenn es eine
n–Form ω auf M ohne Nullstellen existiert.
2. Eine Orientierung von M ist eine Äquivalenzklasse von n–Formen ohne
Nullstellen. ω ∼ ω̃ ⇔ ω̃ = f ω, f (p) > 0 für alle p.
3. Eine Karte auf einer orientierten Mannigfaltigkeit M ist positiv orientiert
genau dann, wenn die Koordinatenvektorfelder x1 = ∂u∂ 1 , . . . , xn = ∂u∂ n
die Bedingung ω(x1 , . . . , xn ) > 0 erfüllen. (ω definiert die Orientierung).
Sei γ – Diffeomorphismus auf einer Mannigfaltigkeit M ⊂ Rk , ω — n–Form auf
M mit kompaktem Träger, d.h. es existiert K ⊂ M kompakt, so daß ω(p) = 0 für
p 6∈ K. Dann ist γ ∗ ω eine n–Form auf U (γ ∗ ω(x1 , . . . , xn ) = ω(dγ(x1 ), . . . , dγ(xn ))).
γ ∗ ω = f dx1 ∧ · · · ∧ dxn .
Definition 11.5. Ist f : U → R eine C ∞ –Funktion mit kompaktem Träger,
dann definieren wir
Z
Z
ω=
f.
γ
Rn
Zusammenfassung:
1. ω mittels γ auf Rn zurückholen: γ ∗ ω = f dx1 ∧ · · · ∧ dxn .
2.
R
γ
ω=
R
Rn
f.
Behauptung: Ist γ̃ : Ũ → M ein anderer Diffeomorphismus,
so daß γ̃ −1 ◦ γ :
R
R
U → Ũ orientierungserhaltend ist, dann ist γ̃ ω = γ ω.
BILD. γ̃ = γ ◦ φ, dγ̃(ej ) = dγ(dφ(ej )).
∂φn
∂φ1
e1 + · · · +
en
∂uj
∂uj
∂φ1
∂φn
dγ(dφ(ej )) =
dγ(e1 ) + · · · +
dγ(en )
∂uj
∂uj
dφ(ej ) =
79
γ̃ ∗ ω(e1 , . . . , en ) =ω(dγ(e1 ), . . . , dγ(en ))
= det φ0 (ω(dγ(e1 ), . . . , dγ(en )))
= det φ0 γ ∗ ω(e1 , . . . , en )
= det φ0 f dx1 ∧ · · · ∧ dxn (e1 , . . . , en )
= det φ0 f
Genauer:
f˜ = f ◦ φ det φ0 . Transformationsformel
R
U f.
R
˜
Ũ f =
R
Ũ
f ◦ φ det φ0 =
Bis jetzt haben wir also folgendes erreicht: M n–dimensionale orientierte Mannigfaltigkeit, die orientierungserhaltend diffeomorph zu einer offenen
R Teilmenge
R
n
U ⊂ R ist, ω — n–Form mit kompaktem Träger auf M . Dann ist M ω := γ ω;
γ : U → M orientierungserhaltender Diffeomorphismus - wohldefiniert.
M sei kompakt, M = V1 ∪ · · · ∪ Vr , Vj ⊂ M offen, Uj ⊂ Rn offen, γj : Uj → Vj
orientierungserhaltender Diffeomorphismus.
Wähle Partition der Eins: ρ1 , . . . , ρr : M → R mit:
1. ρ1 + · · · + ρr = 1,
2. ρj (p) ≥ 0 für alle p,
3. ρj (p) = 0 für p 6∈ Vj .
Setze ωj := ρj ω, dann ist ω = ω1 + · · · + ωr .
Dann definiere
R
M
ω :=
R
V1
ω1 + · · · +
R
Vr
ωr :=
R
M
ω1 + · · · +
R
M
ωr .
Noch zu zeigen, daß dies unabhängig von der Wahl der Partition der Eins ist.
Seien Ṽ1 , . . . , Ṽs , ρ̃1 , . . . , ρ̃s weitere Überdeckung der obigen Art mit Partition
der Eins.
s Z
X
i=1
ρ̃j ω =
M
=
s Z
X
i=1 M
r Z
X
j=1
80
M
r
X
j=1
ρj ω
ρj ρ̃i ω =
s X
r Z
X
i=1 j=1
M
ρj ρ̃i ω =
r X
s Z
X
j=1 i=1
M
ρ̃i ρj ω = . . .
Definition 11.6. M ⊂ Rk heißt Mannigfaltigkeit mit Rand, wenn es zu jedem
p ∈ M eine offene Menge W ⊂ Rk und offene Menge U ⊂ Rn gibt, so daß
W ∩ M diffeomorph zu U ∩ H n ist. H n = {(x1 , . . . , xn )x1 ≤ 0} – Halbraum.
[BILD]
Sei M eine orientierte Mannigfaltigkeit mit Rand, dann ist ∂M eine (n-1)–
dimensionale Mannigfaltigkeit ohne Rand. ∂M erbt die Orientierung von M .
Sei p ∈ M . y ∈ Tp M heißt nach außen-weisend, wenn für einen Diffeomorphisφ
mus V → U ∩ H n V ⊂ M Umgebung von p, U ⊂ Rn offen gilt: (1. Komponente
von dφ(y)) > 0.
Eine Basis x1 , . . . , xn−1 von Tp ∂M heißt positiv orientiert, wenn für jeden nach
außen weisenden Vektor y ∈ Tp M (y1 , x1 , . . . , xn−1 ) positiv orientierte Basis
von Tp M ist.
[BILD: Am Kreis: Normalenvektor, Tangentialvektor; An Sphere drei Vektoren
entsprechend pos. or. ]
Satz 11.7. [Stokes] Ist M kompakte n–dimensionale orientierte Mannigfaltigkeit
mit Rand, ω — (n − 1)–Form auf M . Dann gilt:
Z
Z
ω=
dω.
∂M
Spezialfall: Ist der Rand leer, dann ist
M
R
M
dω = 0.
10.02.
Sei M orientierte Riemannsche Mannigfaltigkeit.
Satz 11.8. Es gibt genau eine mit der Orientierung verträgliche n–Form ωp auf
M , so daß für jede positiv orientierte Orthonormalbasis x1 , . . . , xn von Tp M
gilt:
ω(x1 , . . . , xn ) = 1.
Beweis. Wähle lokal ON-Vektorfelder x1 , . . . , xn positiv orientiert (durch GrammSchmidt aus beliebigen positiv orientierten Basisfeldern y1 , . . . , yn , machen). η
81
bestimme die Orientierung (η(x1 , . . . , xn ) > 0 wegen der positiven Orientierung),
dann ist
1
ω=
η
η(x1 , . . . , xn )
|
{z
}
>0
verträglich mit der Orientierung und
ω(x1 , . . . , xn ) = 1.
Sei x̃1 , . . . , x̃n weitere positiv orientierte ON-Basis von Tp M .
X
X
x̃1 =
ai1 xi , . . . , x̃n =
ain xi
Aus den aij ergibt sich eine Matrix A, AAT = I, und weil beide Basen positiv
orientiert sind, ist auch det A > 0 und da A orthogonal ergibt sich det A = 1.
ω(x̃1 , . . . , x̃n ) =
X
ai1 . . . ain ω(x1 , . . . , xn ) = det A = 1,
i1,...,in
wobei
ω(x1 , . . . , xn ) =
0
falls {i1, . . . , in} =
6 {1, . . . , n}
sign σ falls ij = σ(j)
ω heißt Volumenform der Riemannschen Mannigfaltigkeit M . Ist h , i = g, dann
schreibe ω als ωg .
Definition 11.9.
M.
Sei M kompakt (mit Rand). Dann heißt
R
M
ωg Volumen von
Definition
11.10.
Ist f ∈ C ∞ (M ) mit kompaktem Träger gegeben, dann defiR
R
niere M f := M f ωg .
I Beispiel 11.11 (In dem etwas nicht stimmt). Definiere


cos φ cos θ
π π
γ : [0, 2π] × [− , ] → R3 , γ(φ, θ) =  sin φ cos θ  ,
2 2
sin θ




− sin φ cos θ
− cos φ sin θ
∂γ 
∂γ
− sin φ sin θ  ,
y1 :=
=  cos φ cos θ  , y2 :=
=
∂φ
∂θ
0
cos θ
hy1 , y1 i = cos2 θ,
82
hy1 , y2 i = 0,
hy2 , y2 i = 1.
ON-Basis: x1 =
Z
Vol(S 2 ) =
1
cos θ y1 ,
x2 = y2 ist positiv orientiert.
Z 2π Z π/2
Z
γ ∗ ωg =
cos θ dθdφ =
[0,2π]×[− π2 , π2 ]
γ ∗ ωg
−π/2
0
2π
2 dφ = 4π,
0
∂ ∂ ∂ ∂ ,
= ωg dγ
, dγ
= ωg (y1 , y2 ) = ωg (cos θx1 , x2 ) = cos θ
∂φ ∂θ
∂φ
∂θ
γ ∗ ωg = cos θ dφ ∧ dθ.
Sei M kompakte 2–dimensionale orientierte Mannigflatigkeit mit Rand und Y
ein Vektorfeld auf M mit |Y | = 1.
[BILDer: glattgekämmtes VF auf Torus, VF mit Nullstelle auf S 2 und ein VF
ohne Nullstelle auf S 2 mit Loch.]
Auf einem Torus ist ein solches Vektorfeld ohne Nullstelle möglich, dann kann
man |Y | = 1 machen. Auf S 2 ist es nicht möglich.
Sei Z eindeutig bestimmtes Vektorfeld auf M , so daß |Z| = 1, hY, Zi = 0 und
Y , Z positiv orientiert. Definiere eine 1–Form η auf M : η(X) = h∇X Y, Zi.
Gilt hY, Y i = 1, dann ist 0 = XhY, Y i = 2h∇X Y, Y i. ∇X Y = η(X)Z ist die
Drehgeschwindigkeit von Y in Richtung X.
Strategie: Stokes auf η ausrechnen . . .
dη(Y, Z) = Y η(Z) − Zη(Y ) − η([Y, Z])
= Y h∇Z Y, Zi − Zh∇Y Y, Zi − h∇[Y,Z] Y, Zi
= h∇Y ∇Z Y, Zi + h∇Z Y , ∇Y Z i
| {z } | {z }
µY
λZ
|
{z
}
=0
− h∇Z ∇Y Y, Zi − h∇Y Y, ∇Z Zi
|
{z
}
=0
− h∇[Y,Z] Y, Zi
= hR(Y, Z)Y, Zi = −K
d.h. dη = −Kωg , also
R
M
dη = −
R
M
– Schnittkrümmung.
K.
[BILD: Geschlecht 2 – Fläche mit zwei Ränder.]
Seien γ1 : [0, L1 ] → M, . . . , γk : [0, Lk ] → M Parametrisierungen der k Randkomponenten von M verträglich mit der gegebenen Orientierung.
γj (0) = γj (Lj ) |γj0 | = 1.
83
Sei im folgenden γ := γj und L := Lj .
Für alle t ∈ [0, L] gibt es ein eindeutig bestimmtes N (t) ∈ Tγ(t) M mit:
• |N (t)| = 1,
• hN (t), γ 0 (t)i = 0 und
• γ 0 (t), N (t) positiv orientiert.
Dann ist
γ 00 (t) = κN (t),
κ : [0, L] → R.???
κ heißt die geodätische Krümmung von γ.
Sei Yγ(t) = a(t)γ 0 (t) + b(t)N (t) mit a(t)2 + b(t)2 = 1 für alle t, a(0) = a(L)
und b(0) = b(L).
a(t)
cos α(t)
=
,
Behauptung: Es existiert genau ein α : [0, L] → R mit
b(t)
sin α(t)
RL
α(0) ∈ [0, 2π), 0 α0 (t) dt = α(L) − α(0) = 2πn, n ∈ Z — Umlaufzahl der
a(t)
L–periodischen Kurve
um den Einheitskreis.
b(t)
In der Berechnung von
R
γ
η brauchen wir folgendes:
Zγ = − sin αγ 0 + cos αN,
hγ 0 , N i = 0
h γ 00 , N i + hγ 0 , N 0 i = 0
|{z}
hN 0 , γ 0 i = −κ,
κN
hN, N i = 1 und hN 0 , N i = 0
Z
Z
L
η=
γ
Z
0
Z
0
L
=
Z
h∇γ 0 Y, Zγ i =
η(γ ) =
0
L
L
N 0 = −κγ 0 .
h(aγ 0 + bN 0 . . .
0
h(cos αγ 0 + sin αN )0 , − sin(α)γ 0 + cos αN i
0
Z
L
=
h(−α sin α, −κ sin α)γ 0 + (cos ακ + α0 cos α)N, − sin αγ 0 + cos αN i
0
Z
L
sin2 α(α0 + κ) + cos2 α(α0 + κ)
0
Z L
= 2πn +
κ
=
0
84
Satz 11.12. [von Gauß–Bonnet]
Z
K=−
M
n Z
X
i=1
Li
κi − 2π
0
n
X
ni .
i=1
I Beispiel 11.13. Sei M = {(x, y) ∈ R2 kx2 + y 2 ≤ 1}, Y (x, y) = (1, 0).
[BILD: Einheitskreis mit Y , N , γ]
γ(t) = (cos t, sin t),
γ 0 (t) = (− sin t, cos t)
N (t) = (− cos t, − sin t),
00
γ (t) = N (t)
L = 2π,
κ(t) = 1 für alle t
Z L
κ = 2π.
0
85
Index
O, 13
SL, 13
SO, 14
2-Parameter-Variation, 73
Abbildung
differenzierbar, 5
glatt, 5
Abstand, 57
affiner Zusammenhang, 31
Diffeomorphismus, 5
lokaler, 9
Faser, 23
Geodätische Variation, 68
Immersion, 11
Immersionssatz
global, 18
lokal, 16
implizite Funktionen
Satz über, 9
Jacobifeld, 69
Karte, 5
Kettenregel, 8
Krümmungstensor, 30
Levi-Civita-Zusammenhang, 33
LieAbleitung, 26
Algebra, 14
Gruppe, 13
O, 13
SL, 13
SO, 14
Klammer, 14, 26
Unteralgebra, 15
lokaler Diffeomorphismus, 9
Mannigfaltigkeit, 5
metrischer Raum, 57
Normalenbündel, 27
86
Normalenvektorfeld, 27
Orthogonalprojektion, 19
Parametrisierung, 5
Richtungsableitung, 25, 30
Riemannsche Metrik, 28
Satz
von Hopf-Rinow, 58
Schnitt, 24, 30
Skalarkrümmung, 75
Submersion, 11
Submersionssatz, 10, 11
Tangentialbündel, 24
Tangentialraum, 6
Tensor, 29
Krümmungs-, 30
Torsions-, 32
Tensorfeld, 28
torsionsfrei, 32
Torsionstensor, 32
Totalraum, 23
Umkehrfunktionen
Satz über, 8
Vektorbündel, 23, 24
homomorphismus, 27, 28
isomorphismus, 28
Vektorfeld, 25, 27
vollständig, 58
Zusammenhang, 30
affiner, 31
Levi-Civita-, 33
metrisch, 32
vertraglich mit, 32