Elementare Algebraische Geometrie

Elementare Algebraische Geometrie
3h Vorlesung SS 2010, Prof. P. Bürgisser
Kap. 1. Beispiele ebener Kurven
1.1 Pythagoräische Tripel: Rationale Parametrisierung des Kreises
1.2 Projektive Ebene: Definition, Geraden, unendlich ferne Punkte
1.3 Kegelschnitt in P2 : projektive Transformationen, Normalformen für
Kegelschnitte in P2R und P2C
1.4 Spezialfälle von Bézouts Theorem: Fundamentalsatz der Algebra für
binäre Formen, Schneiden von ebenen projektiven Kurven mit Geraden
oder Kegelschnitten
1.5 Familien von Kegelschnitten: Durch 5 Punkte, wovon keine 4 kollinear
sind, geht genau ein Kegelschnitt. Ein Büschel von Kegelschnitten mit
wenigstens einem nichtdegenerierten Kegelschnitt enthält wenigstens
einen und höchstens drei degenerierte Kegelschnitte.
1.6 Kubiken: dim S 3 (P1 , . . . , P8 ) = 2 falls keine 4 der Pi kollinear und
keine 7 der Pi konkonisch sind. Satz von Cayley-Bacharat. Pascals
Hexagon-Theorem.
1.7 Tangenten: glatte ebene Kurven, Tangenten. Charakterisierung mittels
Schnittmultiplizität. Wendepunkte.
1.8 Gruppengesetz auf Kubiken: Definition Gruppenaddition, Assoziativität. Jede irreduzible Kubik mit einem Wendepunkt P kann mittels
einer projektiven Transformation in eine Weierstrasssche Normalform
gebracht werden, sodass P auf O abbildet. Sketch j-Invariante.
Kap. 2. Affine Varietäten
2.1 Ringe und Ideale: Polynomringe, Hauptidealringe, k[X] ist Hauptidealring
2.2 Noethersche Ringe und Hilbertscher Basissatz: 3 Charakterisierungen
von “noethersch”, Hilbertscher Basisatz, endlich erzeugte k-Algebren
sind noethersch
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2.3 Nullstellensatz: Nullstellenmenge und Verschwindungsideal, algebraische Teilmengen, Zariski Topologie, Radikalideale, Hilberts Nullstellensatz (schwache u. starke Form), maximale Ideale in C[X1 , . . . , Xn ]
2.4 Irreduzible Mengen und Primideale: Primideale, Zerlegung in irreduzible Komponenten (Ex. & Eind.), Zerlegung von Radikalidealen als
Durchschnitt von Primidealen
2.5 Teilbarkeit in Polynomringen: irreduzible Elemente und Primelemente, faktorielle Ringe, Hauptidealbereiche sind faktoriell, Polynomringe
über Körpern sind faktoriell (Satz von Gauss). Irreduzible Komponenten einer algebraischen Hyperfläche.
2.6 Koordinatenringe: Restklassenringe, Polynome und Polynomfunktionen, Koordinatenring O(Z) einer algebraischen Menge Z. Jede endlich
erzeugte reduzierte C-Algebra kommt als Koordinatenring vor. O(Z)
ist Integritätsbereich genau dann, wenn Z irreduzibel. Nullstellensatz
relativ zu Z.
2.7 Morphismen: (ϕ: X → Y )
rianter Funktor
(ϕ∗ : O(Y ) → O(X)) volltreuer kontrava-
2.8 Quasiaffine Varietäten: Zariski Topologie auf algebraischen Mengen X,
quasiaffine Varietäten U , reguläre Funktionen auf U , elementar offene
Mengen Xg , O(Xg ) = O(X)g , Def. affine Varietäten, Xg ist affin.
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