Halleffekt und Leitfähigkeit von Halbleitern

Halleffekt und Leitfähigkeit von Halbleitern

Halleffekt und Leitfähigkeit von Halbleitern
Inhaltsverzeichnis
Vorbemerkung
1.
Kristallstruktur ............................................................................................................... 1
2.
Die Zustände der Elektronen im Festkörper .................................................................. 2
2.1
2.2
2.3
Das Potentialtopfmodell ......................................................................................... 2
Das Bändermodell .................................................................................................. 3
Die Zustandsdichte................................................................................................. 7
3.
Halbleiterstrukturen reduzierter Dimensionalität........................................................... 9
4.
Dotierung, Elektronen und Löcher............................................................................... 10
5.
Die Ladungsträgerkonzentration im nichtentarteten Halbleiter ................................... 15
6.
Die Bestimmung der Bandlücke aus der intrinsischen Ladungsträgerkonzentration .. 17
7.
Die Leitfähigkeit ......................................................................................................... 18
8.
Die Ladungsträgerbeweglichkeit................................................................................. 19
8.1
Streuung an geladenen Störstellen ....................................................................... 19
8.2
Streuung an Phononen.......................................................................................... 20
8.2.1
Akustische Phononen ................................................................................... 20
8.2.2
Optische Phononen....................................................................................... 21
8.3
Weitere Streumechanismen.................................................................................. 21
8.4
Gesamtbeweglichkeit und Beispiele .................................................................... 21
9.
Das zweidimensionale Elektronengas in modulationsdotierten GaAs/AlGaAsHeterostrukturen ........................................................................................................... 23
10. Der Halleffekt............................................................................................................... 25
10.1
10.2
Halleffekt im bipolaren Halbleiter ...................................................................... 25
Beweglichkeit im unipolaren und im bipolaren Halbleiter ................................. 28
11. Die Messung von Leitfähigkeit und Hallkoeffizient.................................................... 29
11.1
11.2
11.3
11.4
11.5
Die Barren- oder Plättchengeometrie .................................................................. 29
Die Van-der-Pauw-Geometrie............................................................................. 30
Die Proben A und B ............................................................................................ 31
Materialparameter ............................................................................................... 33
Einheiten.............................................................................................................. 33
Anhang ................................................................................................................................ 34
A1.
A2.
Freie Ladungsträgerkonzentration im Halbleiter ............................................... 34
Hallfeld bei bipolarer Leitung ............................................................................ 35
Fortgeschrittenen-Praktikum (FP oder P III)
Institut für Angewandte Physik
Versuch: Halleffekt und Leitfähigkeit von Halbleitern
Vorbemerkung: Mehrere der Versuche im FP des Instituts für Angewandte Physik zielen auf
das Verständnis verschiedener Effekte und Phänomene aus dem Bereich Halbleiterphysik in
Übereinstimmung mit der Hauptarbeitsrichtung des Instituts und der Anwendung in der
Industrie,
wie
z.B.
die
Versuche
pn-Übergang,
Solarzelle,
Halleffekt,
Lumineszenzspektroskopie, Photoleitfähigkeit oder Halbleiterspektroskopie. Die Mehrzahl
der Studierenden führt die Versuche zum FP im 5. oder 6. Semester durch. Das ist im
Hinblick auf die Dauer des Studiums sinnvoll, hat aber das Problem, dass die
Festkörperphysik (Physik V) oft erst im gleichen Semester gehört wird, sodass insbesondere
zu Beginn dieses Semesters noch kaum Festkörperkenntnisse vorliegen. Dieses Problem
sollen die nachfolgenden Ausführungen beheben. Der Aufbau ist folgendermaßen:
Die zur Vorbereitung dienenden Informationen zu den Halbleiterphysik-Versuchen sind
modular aufgebaut. Zunächst werden Grundlagen des Bändermodells eingeführt. Diese sind
für alle oben genannten Versuche identisch. Dann folgen weiterführende Abschnitte, die für
die jeweiligen Versuche spezifisch sind, z.B. pn Übergang und Zenereffekt für den Versuch
„pn-Übergang“, elektrische Leitfähigkeit und Halleffekt für den Versuch Halleffekt oder
optische Eigenschaften und Excitonen für den Versuch Halbleiterspektroskopie.
Die Kenntnis der hier dargestellten Grundlagen ist Voraussetzung für die sinnvolle
Durchführung des Versuchs und wird in der Besprechung vor Versuchsbeginn mit dem
Assistenten überprüft. Der Text der Vorbereitung soll selbst verfasst sein, kurz auf die
Grundlagen und auf die zu Beginn des Aufgabenblattes gestellten Fragen eingehen. Es ist
nicht nötig, den ganzen Text aus der Vorbereitungsmappe abzuschreiben oder zu kopieren. Es
ist verboten, Vorbereitungstexte „alter Meister“ aus dem Netz auszudrucken, da der
Lerneffekt dieses Verfahrens Null ist und die Texte im Netz erfahrungsgemäß mit Fehlern
behaftet sind.
Da die hier angegebenen Darstellungen sehr elementar und knapp sind und i.a. ohne Beweise
erfolgen, sondern mit dem Ziel, den Sinn und Zweck der Versuche nachvollziehen zu können,
ersetzen sie nicht die Teilnahme an der Vorlesung Physik V und eine intensive weitere
Beschäftigung mit der Festkörperphysik. Weiterführende Literatur zu den Versuchen ist am
Ende der Aufgabenblätter angegeben und entweder mit beigeheftet oder in der
Fakultätsbibliothek verfügbar.
1. Kristallstruktur
Wir betrachten zunächst und im Folgenden, soweit nicht anders vermerkt, kristalline
Festkörper, die sich durch eine räumlich periodische Anordnung der Atome auszeichnen. Die
r
(primitive) Einheitszelle wird aufgespannt durch drei nicht koplanare Basisvektoren a i. Eine
Translation, die den Kristall in sich selbst überführt, lässt sich schreiben als
r
R=
∑n a
3
i
i =1
r
r
i
mit ni=0, ±1, ±2,…
(1)
Die ai spannen ein abstraktes Punktgitter im Ortsraum auf, das sog. Kristallgitter. Die
Kristallstruktur besteht aus diesem abstrakten Punktgitter und der sog. Basis, die angibt, an
1
welchen Plätzen in der Einheitszelle die einzelnen Atome sitzen. Es können unterschiedliche
Kristallstrukturen für das gleiche Punktgitter auftreten, so haben z.B. Diamant, Zinkblende
oder Kochsalz ein kubisch flächenzentriertes Punktgitter, aber durchaus unterschiedliche
Kristallstrukturen.
Neben dem abstrakten Punktgitter im Ortsraum definiert man ein Punktgitter im reziproken
r
Raum, das sog. reziproke Gitter, aufgespannt durch die Vektoren b i mit
r
b1 =
2π r r
a 2 × a3
VEZ
und zyklisch
(2)
r r
sodass gilt: ai ⋅ b j = 2πδij .
(3)
r
Dabei ist Vez das Volumen der Einheitszelle im Ortsraum. Ein Translationsvektor G im
reziproken Gitter schreibt sich somit
r
G=
r
∑h b
3
mit hi=0,±1,±2,…
i i
i =1
(4)
Man definiert im reziproken Gitter sogenannte Brillouin-Zonen (BZ). Die erste Zone besteht
aus allen Punkten des reziproken Raumes, die dem Ursprung (dem sog. Γ-Punkt) näher liegen
r
als allen anderen Punkten G .
Für eine einfache kubische Kristallstruktur mit der Gitterkonstanten a erstreckt sich die erste
BZ in alle drei Richtungen des reziproken Raumes von
−
π
a
≤ ki ≤
π
a
i=x,y,z
(5)
2. Die Zustände der Elektronen im Festkörper
2.1 Das Potentialtopfmodell
Die einfachste Vorstellung des Elektronensystems in einem Festkörper ist das Sommerfeldoder Potentialtopfmodell. Hier geht man davon aus, dass der Kristall einen Potentialtopf mit
einer Tiefe V0 darstellt, dessen Zustände bis zur Fermi-Energie EF aufgefüllt sind.
Fig. 2.1: Das Potentialtopfmodell für einfache Metalle.
2
Der Abstand von EF zum Vakuumniveau ist die Austrittsarbeit der Elektronen Φ.
Mit diesem Modell lassen sich einige Eigenschaften einfacher Metalle erklären, wie ihre
spezifische Wärme, ihre elektrische Leitfähigkeit oder ihr Paramagnetismus.
In diesem Modell ist aber die Existenz von Halbleitern oder Isolatoren nicht erklärbar. Dazu
bedarf es des nachfolgend erläuterten Bändermodells.
2.2 Das Bändermodell
Das Auftreten von Energiebändern, die von sog. verbotenen Zonen oder Energielücken
getrennt sind (englisch „gap“), in denen keine stationären, propagierenden
Elektronenzustände existieren (Fig. 2.2), lässt sich verstehen ausgehend von freien Elektronen
und von den Orbitalen der Atome, aus denen der Kristall aufgebaut ist. Die zugehörigen
Methoden der Bandstrukturrechnung sind bekannt unter Namen wie NFE (nearly free
r r
electrons), OPW (orthogonalized plane waves), APW (augmented plane waves) und k ⋅ p
r
r
(nach dem Produkt aus Wellenvektor k und Impulsoperator p ) bzw. LCAO (linear
combination of atomic orbitals) oder tight binding approach.
Fig. 2.2: Entwicklung des reduzierten Zonenschemas (b), ausgehend von freien Elektronen in
einem schwachen periodischen Potential (a) oder von Atomorbitalen (d, c).
Wir beginnen mit freien Elektronen. Wenn sich diese über einem konstanten Potential V0
bewegen, haben sie (nichtrelativistisch) die Energiedispersion
r
r
h 2k 2
E (k ) = E0 +
2me
(6)
1 ikrrr
e .
Ω
(7)
mit ebenen Wellen als Eigenfunktionen
r
Ψkr ( r ) =
r
Dabei sind 1/ Ω der Normierungsfaktor und k der Wellenvektor mit k = 2π / λ .
Die Dispersion freier Elektronen zeigt die gestrichelte Linie in Fig. 2.2a.
3
Die ebene Welle ist gleichzeitig Eigenfunktion des Impulsoperators
r
h
grad mit dem
i
Impulseigenwert hk . Der Fall freier Elektronen im konstanten Potential entspricht dem
Potentialtopfmodell unter Kap. 2.1.
Wir betrachten jetzt ein schwaches periodisches Potential längs der x-Achse und lassen eine
ebene Welle in x − Richtung auf dieses Potential auftreffen (Fig. 2.3)
Fig. 2.3: Ein schwaches eindimensionales periodisches Potential V(x) und die Aufenthaltswahrscheinlichkeit der beiden Lösungen.
Dann wird an jedem Potential die ebene Welle etwas gestreut. Die Streuwellen interferieren
für einen allgemeinen Wert von kx weitgehend destruktiv, d.h. für ein solches k werden
Eigenenergie und Eigenfunktion (6) und (7) nicht wesentlich verändert.
Es gibt aber bestimmte kx-Werte, für die sich die rückgestreuten Wellen konstruktiv
überlagern. Diese sind für unser Beispiel gegeben durch
nλ = 2 a
(8)
oder
kx = n ⋅
π
a
mit n = ±1, ±2….
(9)
Das sind gerade die Grenzen der 1. und der höheren BZ in einem einfach kubischen Gitter aus
r
(5). Der reziproke Raum ist also der Raum, in dem die k -Vektoren aufgetragen werden.
Die Überlagerung der einfallenden mit der rücklaufenden Welle führt zu einer stehenden
Welle. Diese hat für gleiches λ bzw.
k zwei Lösungen, die sin kxx und die cos kxx Lösung. Bei
r
2 2
h k
gleicher kinetischer Energie
ist die potentielle Energie der Zustände mit großer
2m
Aufenthaltswahrscheinlichkeit im Bereich der Potentialminima kleiner als die der anderen
Lösung. Deshalb bilden sich an den Rändern der Brillouin Zonen zwei Lösungen
unterschiedlicher Gesamtenergie und damit Energielücken aus (durchgezogene Linie in Fig.
2.2a).
4
Da sich ein Wellenpaket, aufgebaut aus stehenden Wellen, auch nicht bewegt und damit die
Gruppen Geschwindigkeit vg null wird, d.h.
vg =
1 ∂E
=0 ,
⋅
h ∂k x
(10)
muss die Dispersionskurve mit waagrechter Tangente auf den Zonenrand zulaufen.
Geht man statt von freien Elektronen von Atomorbitalen aus, so hat man zunächst bei großem
Abstand zwischen den Atomen die scharf definierten δ-förmigen Energieterme (Fig. 2.2d).
Mit abnehmendem Abstand fangen die Atomorbitale an zu überlappen. Diese
Wechselwirkung führt zu einer Aufspaltung in Bänder (Fig. 2.2c). Die Bandbreite wächst mit
weiter abnehmendem Abstand, da dann die beteiligten Wellenfunktionen zunehmend
überlappen.
Die genauere Untersuchung ergibt das sog. (Ewald-)Bloch Theorem:
In einem periodischen Potential sind die Wellenfunktionen der Elektronen sog. Blochwellen
r
Ψkr ( r ) =
dabei ist
r
r
1 ikrrr r r
e uk ( r ) ,
Ω
r
ukr ( r + R) = ukr ( r ) ,
d.h. gitterperiodisch.
(11)
(12)
r
In u kr (r ) steckt die Information über die durch chemische Bindung und Wechselwirkung
veränderten Atomorbitale, während die Exponentialfunktion den Charakter der ebenen Welle
repräsentiert. In der Blochwelle sind somit beide obigen Ansätze vereint.
Für die Energieeigenwerte gilt:
r
r
r
E (k ) = E ( k + G ) .
(13)
Das erlaubt einerseits, die Dispersion von Fig. 2.2a periodisch fortzusetzen oder alle Äste mit
r
geeigneten Vektoren G des reziproken Gitters in die erste Brillouin Zone zu schieben. Das
liefert das sog. reduzierte Zonenschema von Fig. 2.2b, das man offenbar sowohl von dem
Ansatz nach Fig. 2.2a als auch 2.2d erreicht.
r
Das Bändermodell lässt sich im k – oder reziproken Raum darstellen, oder im Ortsraum.
(Fig. 2.4)
r
Fig. 2.4: Darstellung der Bandstruktur im k - Raum (a) und im Ortsraum (b).
5
Je nach Problemstellung wählt man die eine oder andere Darstellung.
Wir besetzen nun für T = 0 K die Zustände gemäß Fermi-Dirac Statistik mit den im Kristall
vorhandenen Elektronen. Dieser Auffüllprozess kann so ausgehen, dass man eine Reihe
vollständig gefüllter Bänder erhält und darüber ein (oder mehrere) teilweise gefüllte Bänder.
Solche Substanzen sind Metalle. Sie haben für T 0 eine endliche (oder bei Supraleitern eine
unendliche) elektrische Leitfähigkeit. Grund: In einem teilweise besetzten Band kann ein
Elektron unter beliebig kleiner Energiezufuhr an der Grenze zwischen besetzten und
unbesetzten Zuständen von einem Ort an einen anderen Ort transportiert werden. Da das Band
im Sommerfeldmodell immer nur teilweise besetzt ist, lassen sich damit, wie schon erwähnt,
nur Metalle beschreiben.
Gibt es nach Auffüllen aller Zustände bei T = 0 K nur vollständig gefüllte Bänder, dann eine
Bandlücke und darüber vollständig leere Bänder, so hat das Material für T 0 die elektrische
Leitfähigkeit
= 0, da vollständig leere Bänder trivialerweise nicht zur elektrischen
Leitfähigkeit beitragen können, vollständig besetzte ebenfalls nicht aufgrund des
Pauliprinzips. Die öfters und auch in manchen Lehrbüchern vertretene Auffassung, dass
Elektronen in Leitungsband frei beweglich sind, Elektronen in Valenzbändern dagegen fest an
die Atome gebunden seien, ist falsch. Dann dürfte es nämlich auch keine Löcher- oder pLeitung geben (siehe unten).
Hier gleich ein Hinweis zur Nomenklatur: alle bei T = 0 K vollständig besetzten Bänder
heißen Valenzbänder, alle teilweise besetzten oder leeren Bänder heißen Leitungsbänder.
→
→
σ
Beträgt die Lücke Eg zwischen dem höchsten gefüllten Valenzband (VB) und dem niedrigsten
leeren Leitungsband (LB)
0 < E g ≤ 4 eV ,
(14)
so handelt es sich um einen Halbleiter (HL) und für
E g ≥ 4 eV
(15)
≈
um einen Isolator. Die Grenze zwischen HL und Isolator ist fließend. So verhält sich Diamant
mit Eg 5.5 eV noch wie ein typischer Halbleiter.
Die HL selbst werden noch eingeteilt in schmallückige HL (narrow gap semiconductors)
für
0 < E g ≤ 0,5 eV ,
(16)
0,5 eV ≤ E g ≤ 2 eV
(17)
in „normale“ HL für
und in breitlückige HL (wide gap semiconductors)
E g > 2 eV ,
(18)
die besonders in den letzten Jahren wieder von verstärktem wissenschaftlichen Interesse sind.
Berühren sich VB und LB, d.h. ist Eg = 0, so spricht man von Halbmetallen.
6
Fig. 2.5: Typische Bandstruktur von Halbleitern mit tetraedrischer Koordination mit Details
(nach O. Madelung)
In Fig. 2.5 ist eine typische Bandstruktur von kubischen Halbleitern mit tetraedrischer
Koordination dargestellt. Die Komplexität der Bandstruktur rührt neben dem periodischen
Potential im Wesentlichen von der Rückfaltung der parabolischen Dispersion nach (13) in die
erste BZ her.
Es sind einige Details gezeigt. Liegen die globalen Extrema von VB und LB beim gleichen
r
r
k -Vektor in der 1. BZ (meist, aber nicht immer bei k = 0 ), so spricht man von einem
direkten HL oder einem HL mit direkter Lücke, da der optische Übergang zwischen den
r
Bandextrema direkt mit einem Photon ( k ≈ 0 ) möglich ist (z.B. GaAs). Liegen die Extrema
r
bei unterschiedlichen k -Werten, so ist der HL „indirekt“, da zusätzlich zu dem Photon noch
r
ein Phonon zur (Quasi-)Impuls– oder ħ k –Erhaltung nötig ist (z.B. Si oder Ge).
2.3 Die Zustandsdichte
Wie aus der Quantenmechanik bekannt (Theorie D), benötigt jeder Zustand im k–Raum pro
Richtung ein Volumen (Normierung in einer Box)
dτ k =
π
l
.
(19a)
Im üblichen dreidimensionalen k–Raum bedeutet dies
d 3τ k =
π3
l3
7
=
π3
V
.
(19b)
In einer Kugelschale im k–Raum mit Radius k und Dicke dk haben somit
N (k )dk =
V 4k 2dk
(19c)
π2
Zustände Platz.
Diese Überlegung lässt sich für d-dimensionale Systeme verallgemeinern und man findet
N(k)dk ∼ ldkd-1dk
für d = 1,2,3,…
(19d)
Dieses Ergebnis in Polarkoordinaten im d-dimensionalen k-Raum gilt für alle freien Teilchen,
die sich durch einen ebenen Wellenfaktor beschreiben lassen wie Photonen, Elektronen oder
Excitonen.
Für viele Anwendungen benötigt man die Zustandsdichte D nicht im k -Raum, sondern in
Abhängigkeit von der Energie, D(E). Hier geht die jeweilige Dispersionskurve der (Quasi-)
Teilchen bzw. der Quanten der elementaren Anregungen wie Phononen, Magnonen,
Plasmonen oder Excitonen ein. Aus N(k) dk lässt sich formal D(E) berechnen gemäß
D ( E ) dE = N (k ( E ))
= N (k ( E ))
dk
1
1
dE = N ( k ( E )) dE dE = N ( k ( E ))
r dE
dE
grad k E ( k )
dk
1
dE .
νg
(20)
Offensichtlich hängt D(E) von der Dispersion E( k ) bzw. der Umkehrfunktion k (E) ab.
Wir konzentrieren uns im Folgenden auf sog. effektive Masse-Teilchen, das sind alle Teilchen
oder Anregungsquanten mit einer quadratischen Dispersionsrelation
2
r
2
h2 k
p
E( k ) =
=
2m
2m
(21)
(Interessierte können eine lineare Dispersionsrelation E ∼ k untersuchen und damit die
Hohlraumstrahlung oder die spezifische Wärme des Phononensystems in Debye-Näherung
herleiten.)
Ohne uns um Vorfaktoren zu kümmern, liefert das Einsetzen von (21) in (20)
D(E) dE ∼
d
−1
E 2 dE .
(22)
Im Dreidimensionalen erhält man somit eine wurzelförmige Zustandsdichte, in zwei
Dimensionen (eine Reihe von) Stufenfunktionen (Heavyside-Funktionen), in einer Dimension
1
-Abhängigkeit und im Nulldimensionalen, das nicht durch (22) abgedeckt ist, eine
eine
E
Reihe von δ-Funktionen. Dies ist nicht neu und entspricht z.B. den diskreten Termschemata
von Atomen oder von Teilchen im dreidimensionalen Potentialkasten.
8
In Fig. 2.6 sind die Zustandsdichte für d = 0,1,2,3 graphisch dargestellt.
Fig. 2.6: Die Zustandsdichte in Abhängigkeit von der Energie für effektive Masse Teilchen für
d= 0,1,2,3.
Für einen dreidimensionalen Halbleiterkristall ergibt sich nach (22) eine wurzelförmige
Zustandsdichte z.B. für Elektronen, Löcher oder Excitonen, soweit sie eine parabolische
Dispersion aufweisen, siehe Gl. (21).
3. Halbleiterstrukturen reduzierter Dimensionalität
Die Untersuchung von Halbleiterstrukturen reduzierter Dimensionalität stellt seit etwa vier
Jahrzehnten ein auch anwendungstechnisch zunehmend wichtiges Forschungsgebiet dar.
Fortgeschrittene Wachstumsverfahren (Epitaxie wie die Molekularstrahl-Epitaxie (MBE) oder
die metallorganische chemische Gasphasenabscheidung (MOCVD, MOVPE)) erlauben es,
Halbleiterkristalle (fast) atomlagenweise zu wachsen. Das erlaubt z.B. sog. Quantentröge
(quantum wells, QW) herzustellen. Man wächst eine dünne Schicht (lz ≈ 10nm) eines
Materials mit kleiner Bandlücke (z.B. GaAs), den sog. Quantentrog oder –film, zwischen
dickere Schichten mit größerer Bandlücke, den sog. Barrieren (z.B. Al1-y Gay As).
Das ergibt in Wachstums- oder z-Richtung folgende Anordnung der Leitungs- und
Valenzbandkanten (Fig. 3.1):
9
Fig. 3.1:Die Leitungs- und Valenzbandkanten einer Heterostruktur mit Typ I Bandanordnung.
Material I mit kleiner Bandlücke (Quantentrog, QW), Material II mit größerer
Bandlücke (Barriere).
Offenbar können Elektronen und Löcher in den Trog eingefangen werden. Sie können sich
dann nur noch in der Ebene der Quantentröge, d.h. hier in der Ebene senkrecht zur
Zeichenebene, als freie Teilchen bewegen; in z-Richtung sind die Zustände quantisiert. Das
einschließende Potential ergibt sich aus der Differenz der LB- und VB-Energien von
Quantentrog- und Barrierenmaterial.
Aufgrund der Bewegungseinschränkung auf 2 Dimensionen spricht man von einem
zweidimensionalen (2D) Elektronengas (2DEG) bzw. zweidimensionalen Lochgas.
Halbleiterstrukturen, die aus verschiedenen Materialien aufgebaut sind, heißen HalbleiterHeterostrukturen. Der Fall einer Halbleiterheterostruktur für hochbewegliche 2DElektronengase wird in Kapitel 9 behandelt.
4. Dotierung, Elektronen und Löcher
Wir verlassen nun den Fall T=0 und überlegen, wie man eine endliche Anzahl von Elektronen
im LB oder von unbesetzten Zuständen im VB erzeugen kann, wie also im HL eine endliche
Leitfähigkeit erzeugt werden kann. Dazu führen wir zunächst den Begriff des Lochs ein. Ein
vollbesetztes VB enthält ca. 1023 Elektronen/cm3. Entfernen wir daraus ein Elektron, so
können wir entweder die (1023-1) verbleibenden Elektronen betrachten oder den einen
unbesetzten Platz. Letzteres ist offensichtlich einfacher und führt zum Konzept der
Defektelektronen bzw. Löcher. Ein Loch ist ein unbesetzter Zustand in einem ansonsten fast
vollständig gefüllten Band. Elektrische Ladung, Spin und Impuls sind entgegengesetzt zu
denen des fehlenden Elektrons, da diese Werte für ein gefülltes Band Null sind. Das Loch hat
somit eine positive Ladung und trägt zum Stromtransport bei (Löcherleitung).
Zusammenfassend können wir folgendes festhalten: Elektronen und Löcher im HL-Kristall
sind sog. Quasiteilchen, die nur im Kristall existieren. Sie sind charakterisiert durch ihre
r
r
r
Dispersionsrelation E( k ) durch ihren Quasiimpuls hk . Quasiimpuls deshalb, weil hk nur
r
modulo der bi erhalten ist und weil Blochwellen keine Eigenfunktionen des Impulsoperators
sind. Dennoch gilt z.B. in Streuprozessen im Kristall ein Erhaltungssatz für die Summe aller
r
r
hk i ± G .
( )
10
Weiter werden Elektronen und Löcher durch ihre effektiven Massen charakterisiert. Die
effektive Masse wird durch folgende Überlegung eingeführt:
Für Transporteigenschaften bildet man durch die Überlagerung von Bloch-Wellen
Wellenpakete. Diese bewegen sich mit ihrer Gruppengeschwindigkeit
vg =
1 ∂E ∂ω
=
.
h ∂k ∂k
r
(27)
r
Siehe auch (10). Eine äußere Kraft (z.B. äußeres E – oder B –Feld) ändert v g gemäß
∂v g
1 ∂ 2 E 1 ∂ 2 E ∂k
1 ∂ 2 E ∂hk
.
a=
=
=
=
h ∂k∂t h ∂k 2 ∂t h 2 ∂k 2 ∂t
∂t
Dabei ist a die Beschleunigung, die Impulsänderung
a=
Vergleich mit
(28)
r
∂hk
gibt die Kraft F .
∂t
1
F
m
(29)
führt zum Konzept der effektiven Masse von Elektronen und Löchern, mit der sie auf eine
äußere Kraft reagieren und die gegeben ist durch
r
r
1
1 ∂ 2 E (k )
1 ∂ 2 E(k )
=
= 2
m e , h h 2 ∂k 2
h ∂k i ∂k j
.
(30)
Die allgemeinere Schreibweise in (30) zeigt, dass es sich um eine Tensorgröße handeln kann.
Die effektiven Massen sind also umso kleiner, je größer die Bandkrümmung ist. Das ist ein
sehr sinnvolles Konzept, denn wir hatten weiter oben festgestellt, dass die Breite der Bänder
und damit ihre Krümmung umso größer wird, je größer der Überlapp benachbarter
Wellenfunktionen ist. Andererseits kann sich ein Elektron oder Loch umso leichter durch den
Kristall bewegen, je größer dieser Überlapp ist.
Wir betrachten noch einmal Fig. 2.4 a).
In kubischen Halbleitern findet man oft, dass das Valenzband bei k = 0 durch die Spin-Bahn
Wechselwirkung ∆SO in zwei Teilbänder aufgespalten ist. Das obere ist bei k = 0 vierfach
entartet (J = L+S =
3
2
h ) und spaltet für k ≠ 0 in zwei je zweifach entartete Bänder auf. Da
diese unterschiedliche Krümmung besitzen, werden sie als schweres und leichtes Lochband
(hh und lh) bezeichnet. Das Spin-Bahn abgespaltene Band (J=L+S= ½ ) ist nur zweifach
entartet. In einachsigen Kristallen wie GaN, ZnO, CdS, CdSe,… ist die vierfache Entartung
durch das hexagonale Kristallfeld schon bei k = 0 aufgehoben. Man hat daher bei k = 0 drei
zweifach entartete Valenzbänder, die von oben nach unten üblicherweise als A, B und C
Valenzband bezeichnet werden.
Für tiefe Atomorbitale (z.B. 1s) geht der Überlapp gegen Null und die effektive Masse gegen
∞. Für solche (und nur für solche) Elektronen kann man sagen, dass sie fest an ein Atom
gebunden sind.
Die Effekte, die uns im Folgenden interessieren, spielen sich ganz überwiegend im Maximum
des obersten VB und im Minimum des tiefsten LB ab. In diesen Bereichen ist die Dispersion
parabolisch und damit die effektive Masse konstant. Dies führt zur Effektiv-MassenNäherung, in der Elektronen und Löcher als freie Teilchen mit Ladung ±e, Quasiimpuls
r
hk und konstanter effektiver Masse me,h betrachtet werden.
11
Elektronen und Löcher sind Einteilchenzustände
Teilchenproblems in folgendem Sinne:
oder
die
Lösungen
des
N±1
Bringt man in einen Kristall mit einem mit N Elektronen voll besetzten Valenzband ein
weiteres (das N+1 Teilchen), so stehen für dieses gerade die LB Zustände zur Verfügung.
Entfernt man ein Elektron (N-1 Teilchen), so kommt dieses gerade aus den VB Zuständen.
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, in einem Halbleiter Elektronen und/oder Löcher zu
erzeugen.
-
Thermische Anregung aus dem Valenzband: bei endlicher Temperatur wird ein
geringer Teil der Elektronen thermisch von VB ins LB angeregt und lässt dort Löcher
zurück. Es gilt damit für die Elektronen- und Löcherkonzentration n und p
n = p = ni (T).
(31)
Dabei ist ni (T) die sogenannte intrinsische Ladungsträgerkonzentration. In typischen
Halbleitern ist ni bei Raumtemperatur (RT) sehr klein. In diesem Fall liegt die FermiEnergie oder das chemische Potential der Elektronen etwa in der Mitte der Bandlücke.
Die Begriffe „Fermi-Energie“ bzw. „Fermi-Niveau“ EF und (elektro–) chemisches
Potential werden in der HL-Physik i.a. synonym gebraucht. EF gibt die Energie an, bei
der die Besetzungswahrscheinlichkeit den Wert 0.5 hat, unabhängig davon, ob bei
dieser Energie Zustände existieren oder nicht. Im Allgemeinen liegt EF im Halbleiter
in der Energielücke.
-
Thermische Anregung aus Störstellen, die durch Dotierung erzeugt werden: im thermischen Gleichgewicht kann die Konzentration einer Ladungsträgersorte zu Lasten der
anderen stark durch Dotierung erhöht werden. Unter Dotierung versteht man den
gezielten Einbau von Fremdatomen. Donatoren (z.B. Gruppe V Elemente in Si) haben
ein lokalisiertes und schwach gebundenes Elektron (Donatorniveau), das bei RT
thermisch leicht ins LB angeregt werden kann gemäß
D0 ↔ D+ + e ,
(32)
während Akzeptoren einen unbesetzten Zustand knapp über dem VB anbieten
(Akzeptorniveau), der aus diesem ein Elektron aufnehmen bzw. ein Loch ins VB
abgeben kann gemäß
A0 ↔ A− + h .
(33)
Im thermodynamischen Gleichgewicht gilt stets
n ⋅ p = ni (T ) ,
2
(34)
d.h. man kann durch Dotieren nur eine Ladungsträgersorte, entweder n oder p,
erhöhen (sog. Majoritätsladungsträger). Die jeweils andere Ladungsträgersorte nimmt
entsprechend ab (Minoritätsladungsträger). Dotierung mit Donatoren und Akzeptoren
führt über Elektron-Loch Rekombitation zur Kompensation.
Gleichung (34) wird weiter unten abgeleitet. Halbleiter, in denen durch Dotierung eine
Ladungsträgersorte weit überwiegt, heißen extrinsisch.
12
-
Optische Anregung oder Ladungsträgerinjektion: die Ladungsträgerkonzentration
kann auch durch optische Anregung erhöht werden (→ Photoleitfähigkeit, Solarzelle)
oder durch Injektion in einen pn Übergang (→ Gleichrichter, Solarzelle,
Lumineszenz). In diesen Fällen entfernt man sich vom thermodynamischen
Gleichgewicht und (34) gilt nicht mehr.
n-dotierter HL
Elektronenenergie
p-dotierter HL
LB
DonatorNiveau
LB
EF
EG
EF
AkzeptorNiveau
+
+
+
+
+
+
VB
VB
Ortskoordinate
Fig. 4.1: Die schematische Ladungsträgerverteilung in einem n- oder p-dotierten HL
In Fig. 4.1 zeigen wir schematisch die Ladungsträgerverteilung in einem p- und in einem ndotierten HL. Die Fermi-Energie (oder das chemische Potential) liegt bei tiefen Temperaturen
zwischen der Bandkante und dem Dotierniveau und bewegt sich mit zunehmender
Temperatur in Richtung Mitte der Energielücke. (Siehe Fig. 4.2)
Fig. 4.2: Die Lage der Fermi-Energien in Abhängigkeit von T für einen unterschiedlich
stark n– oder p–dotierten Si-Kristall. Nach Schaumberg, Halbleiter.
13
Die Lage von EF ist festgelegt durch die absolute Temperatur des Halbleiters und die
Elektronenkonzentration, z.B. im LB, durch das Integral
n=
∞
∫D
EL
(E ) f FD ,B (E , E F , T ) dE
(35)
dabei ist D(E) die Zustandsdichte, EL die Energie der Leitungsbandkante und f die
Besetzungswahrscheinlichkeit für Elektronen.
Die Löcherkonzentration ist dann gegeben durch
p=
EV
∫D
−∞
(E ) [1 −
f FD , B (E , E F , T )] dE ,
(36)
wobei im thermodynamischen Gleichgewicht EF für Elektronen, Löcher und die Besetzung
der Dotierniveaus in der Energielücke das Gleiche ist.
Für Elektronen ist die Besetzungwahrscheinlichkeit f die quantenstatisitsche Fermi-DiracVerteilung
1
f = f FD = ( E − E F ) / k BT
.
(37)
e
+1
Soweit EF weit genug in der Energielücke liegt, lässt sich (37) für die Verteilung der
Ladungsträger in den Bändern durch die klassische Boltzmann-Verteilung ersetzen.
f B = e −( E − EF ) / k BT
(38)
Man nennt diese Näherung die Näherung der Nichtentartung und Halbleiter, die ihr genügen,
nichtentartete Halbleiter. Elektronen und Löcher verhalten sich hier nicht mehr wie
Quantenteilchen, sondern wie ein klassisches Gas.
Die Näherung der Nichtentartung ist dann erlaubt, wenn der Abstand der Fermienergie EF
von den Bandkanten EL und EV deutlich größer ist als die thermische Energie kBT. Denn dann
wird die Exponentialfunktion in der Fermi-Dirac-Verteilung sehr viel größer als 1 und die
„+1“ im Nenner kann vernachlässigt werden.
Die folgende Tabelle zeigt den relativen Fehler der Boltzmann–Näherung für verschiedene
Werte des Energieabstands E - EF in Einheiten von kBT.
Energieabstand E - EF / kBT
Relativer Fehler zur Fermi-Dirac-Verteilung
In Prozent
2
3
4
5
13,5
5,0
1,8
0,67
Bei einem Energieabstand von 4 kBT, das sind bei Raumtemperatur 0,1 eV, ist der Fehler also
schon kleiner als 2%. Der Vergleich mit Fig. 4.2 zeigt, dass alle Halbleiter, die nicht sehr
hoch dotiert sind, der Nichtentartungsnäherung genügen (n, p < 1017-1018 cm-3 bei RT).
14
5. Die Ladungsträgerkonzentration im nichtentarteten Halbleiter
Der Vorteil der Nichtentartung ist, dass sich die Integrale (35) und (36) für die Ladungsträgerkonezentrationen n und p analytisch berechnen lassen.
Denn (35) und (36) vereinfachen sich mit der Boltzmannverteilung zu
n=
∞
∫
EL
 E − EF 
Dn (E ) ⋅ exp −
 dE
k BT 

(39a)
 E − E
D p (E ) ⋅ exp − F
 dE .
 k BT 
(39b)
und
p=
EV
∫
−∞
Die Lösung dieser Integrale durch Substitution ergibt (siehe Anhang A1):
 E − EF 
n = N L ⋅ exp − L

k BT 

mit
N L :=
 mn* k B T
2 
2
 2π h
NV :=
 m *p k B T
2
 2π h 2





32
(40a)
und
 E − EV 
p = NV ⋅ exp − F

k BT 

mit




32
.
(40b)
NL und NV heißen effektive Zustandsdichten und sind bei Raumtemperatur von der
Größenordnung 1018 cm-3. Die Ausdrücke für n und p hängen offensichtlich von der FermiEnergie EF ab und sind daher ohne Kenntnis von EF nicht auswertbar.
Interessanterweise fällt die Fermi-Energie bei der Produktbildung jedoch heraus:
 E − EF 
 E F − EV 
 EG 
n ⋅ p = N L ⋅ NV ⋅ exp − L
 ⋅ exp −
 = N L N V ⋅ exp −

k BT 
k BT 


 k BT 
(41)
mit der Bandlücke EG := EL − EV .
Diese Gleichung besagt, dass n und p nicht unabhängig voneinander sind, sondern direkt
reziprok zueinander.
Ist die Dotierung vernachlässigbar, so stammen alle freien Ladungsträger aus der thermischen
Anregung vom VB ins LB, und es gilt: n = p .
Die intrinsische Ladungsträgerkonzentration ni = pi folgt dann sofort aus dem Produkt (41)
n ⋅ p = ni ⋅ pi = ni2 zu
 E 
 E 
ni (T ) = n ⋅ p = N L ⋅ N V ⋅ exp − G  = A ⋅ T 3 2 ⋅ exp − G 
 2k B T 
 2k B T 
(
) (
mit der Konstanten A = mn* ⋅ m *p 3 4⋅ k /(2π h 2 )
Gleichung (42) ist die Begründung für (34).
)
32
15
.
(42)
Der Vorfaktor A ⋅ T 3 2 hat bei Raumtemperatur Werte in der Größenordnung 1018 cm-3. Der
Boltzmann-Faktor exp{-EG / 2kBT} hängt vom Verhältnis Energielücke EG zu thermischer
Energie kBT ab. Für typische Halbleiter ist dieses groß (EG / 2kBT300 = 20 für EG = 1 eV) und
der Boltzmann-Faktor somit klein. Die intrinsische Ladungsträgerkonzentration ist daher
meist sehr viel kleiner als der Vorfaktor von 1018 cm-3.
Ge
Si
GaAs
EG / eV
0,66
1,12
1,42
ni / cm-3
2,4 × 1013
1,5 × 1010
2,1 × 106
Bandlücke und intrinsische
Ladungsträgerkonzentration bei 300 K
für wichtige Halbleiter.
Sie kann nur in der Regel in hochreinen Halbleitern mit genügend kleiner Bandlücke und/oder
bei erhöhten Temperaturen tatsächlich gemessen werden.
Ob ein Halbleiter intrinsische oder extrinsische Leitung zeigt, hängt also von der Höhe der
Dotierung sowie von der Temperatur ab.
Fig. 5.1 zeigt den Wechsel des Leitungscharakters mit der Temperatur für Germanium mit
einer sehr kleinen Donatorkonzentration ND = 1µ1013 cm-3. Aufgetragen sind n, p und die
intrinsische Konzentration ni. Die Figur links zeigt die Auftragung gegen die Temperatur T,
die Figur rechts die gegen die reziproke Temperatur T-1.
Fig. 5.1: Die Ladungsträgerkonzentration in n-Germanium bei einer Donatorkonzentration
von 1µ10-13 cm-3. Logarithmische Auftragung gegen die Temperatur (links) und
gegen die reziproke Temperatur (rechts).
Bei tiefen Temperaturen ist der Halbleiter extrinsisch (n à p), bei hohen intrinsisch (n = p);
dazwischen liegt ein Übergangsbereich. Der extrinsische Bereich wird unterteilt in Reserve
und Erschöpfung. Im Reservebereich werden zunehmend Elektronen aus den Donatoren
thermisch ins LB angeregt. Im Erschöpfungsbereich sind alle Donator-Elektronen ins LB
abgegeben und n kann mit steigender Temperatur zunächst nicht weiter erhöht werden. Die
16
Elektronenkonzentration im Leitungsband entspricht dann gerade der Donatorkonzentration
ND. Erst wenn die Temperatur ausreicht, um aus dem VB merklich mehr Elektronen
anzuregen (hier ab etwa 300 K), steigt die Elektronenkonzentration erneut und der Halbleiter
wird intrinsisch. Technisch relevant ist der Erschöpfungsbereich, in dem die allermeisten
Bauelemente betrieben werden, da ansonsten ihre Eigenschaften viel zu stark von der
Temperatur abhingen.
Die intrinsische Konzentration ni liegt immer zwischen n und p und ist im extrinsischen
Bereich nur eine Rechengröße, die n und p verknüpft. Nur im intrinsischen Bereich entspricht
ni der Ladungsträgerkonzentration.
Man beachte, wie stark p im extrinsischen Bereich absinkt: Die Minoritätsladungsträger sind
bei extrinsischer Leitung völlig vernachlässigbar.
6. Die Bestimmung der Bandlücke aus der intrinsischen
Ladungsträgerkonzentration
Gleichung (42) für ni zeigt, dass die Bandlücke aus ni = ni(T) berechenbar ist. Logarithmieren
ergibt
ln ni = ln A + ln T 3 2 − E G / (2k B T )
( )
ni 
= ln A − EG / (2k B T ) .
32 
T


ln 
bzw.
(43)
Auftragen der linken Seite gegen 1/T ergibt also eine Gerade mit der Steigung -EG/2kB. Eine
solche Auftragung zur Bestimmung der thermischen Aktivierungsenergie des Boltzmannfaktors (hier der Bandlücke) heißt Arrhenius-Darstellung. Die Arrhenius-Darstellung ergibt
allerdings nur dann eine Gerade, wenn die Aktivierungsenergie nicht selbst von der
Temperatur abhängt. Diese Voraussetzung ist für Halbleiter nicht exakt erfüllt, denn die
Bandlücke von Halbleitern hängt (schwach) von der Temperatur ab. Die ArrheniusDarstellung ergibt dann eine gekrümmte Kurve - mit einer Ausnahme: die Abhängigkeit der
Bandlücke von der Temperatur ist linear:
EG (T ) = EG , 0 − α T .
(44)
Denn Einsetzen in (42) liefert in diesem Fall
α
ni 
= ln A +
− EG , 0 / (2k B T ) = ln A′ − EG ,0 /( 2k B T ) .
32
2k B
T


ln 
(45)
Als Bandlückenwert ergibt die Arrhenius-Darstellung dann den Wert EG,0. Die Temperaturabhängigkeit der Bandlücke vieler Halbleiter folgt nun bei höheren Temperaturen der linearen
Gleichung (44), so dass eine Arrhenius-Auswertung möglich ist. Der Wert EG,0 ist allerdings
fiktiv und entspricht nicht der Bandlücke bei T = 0 K. Jedoch kann aus EG,0 und α die
Bandlücke im Gültigkeitsbereich der linearen Approximation sofort berechnet werden.
17
Fig. 6.1 zeigt die den Temperaturverlauf der Bandlücke von Germanium.
Die durchgezogene Kurve entspricht der
tatsächlichen Bandlücke EG(T).
Die gestrichelte Linie entspricht der
linearen Approximation (44) für höhere
Temperaturen. Oberhalb von 300 K wird
die Übereinstimmung gut.
EG,0 ist der auf T = 0 K extrapolierte Wert
der linearen Approximation.
Die tatsächliche Bandlücke bei Null
Kelvin, EG(0), ist kleiner als dieser Wert.
Fig. 6.1: Die Bandlücke von Germanium: tatsächlicher Verlauf (durchgezogen) und lineare
Näherung (gestrichelt).
7. Die Leitfähigkeit
Um 1900 hatte Drude die metallische Leitfähigkeit unter der Annahme eines idealen
Elektronengases im Festkörper beschrieben. Unter dem Einfluss eines äußeren elektrischen
Feldes E gilt hierbei für ein Elektron der Masse m und der Ladung e die klassische
Bewegungsgleichung für die Geschwindigkeit v
m
dv m
+ vd = − e E .
dt τ
Der hemmenden Wirkung von Stößen wurde mit dem Term
m
τ
v d Rechnung getragen. Dabei
ist v d = v − vtherm die sog. Driftgeschwindigkeit, d.h. die vom elektrischen Feld zusätzlich zur
thermischen Geschwindigkeit vtherm erzeugte Geschwindigkeit.
Beim Abschalten des Feldes klingt v mit der Relaxationszeit τ gegen die thermische
Geschwindigkeit ab.
Für den stationären Fall
dv
= 0 folgt
dt
vd = −
Die Driftgeschwindigkeit ist
Proportionalitätskonstante µ
also
eτ
E =: − µ E .
m
proportional
µ=
eτ
.
m
18
zum
elektrischen
Feld
mit
der
µ
heißt Ladungsträgerbeweglichkeit oder -mobilität.
Für die Stromdichte J in Feldrichtung folgt nun aus J = ρ vd mit der Ladungsdichte ρ = − e n :
J = −e n vd = e n
woraus mit dem Ohmschen Gesetz
eτ
E ,
m
J =σE
die elektrische Leitfähigkeit σ folgt:
σ = en
eτ
= enµ .
m
(46)
Die Leitfähigkeit ist also proportional zur Ladung, zur Dichte und zur Beweglichkeit der
freien Ladungsträger. Die Beweglichkeit ist dabei proportional zur Relaxationszeit τ, die in
etwa der Zeit zwischen zwei mikroskopischen Stößen, der mikroskopischen Stoßzeit oder
Streuzeit, entspricht.
8. Die Ladungsträgerbeweglichkeit
Drude nahm an, dass die Elektronen an den Atomrümpfen stoßen. Später wurde festgestellt,
dass ein perfekt periodisches Atomgitter keine Streuung verursacht. Denn durch das Gitter
laufende Elektronenwellen sind als Wellenpaket von Bloch-Wellen stationäre Lösungen der
Schrödinger-Gleichung und somit zeitunabhängige Wellen. Ursache von Streuung sind daher
lediglich Störungen des perfekten Gitters. Die wichtigsten Störungen sind Gitterwellen
(Phononen) und geladene Defekte wie ionisierte Fremdatome.
8.1 Streuung an geladenen Störstellen
Die Streuung an geladenen Fremdatomen oder Störstellen ist Streuung an einem CoulombPotential und kann mit klassischer Rutherford-Streuung beschrieben werden. Für den
Rutherford-Streuquerschnitt sRutherford ~ v-4
1
3
folgt mit der klassischen Geschwindigkeitsverteilung m*v 2 = kT , d.h. v ~ T ½ :
2
2
sRutherford ~ T-2,
und damit für die Temperaturabhängigkeit der Streuzeit τ
τ
~ 1/(sRutherford · v) ~ T 3/2.
Die Stoßzeit und damit die Beweglichkeit werden für tiefe Temperaturen immer kleiner, da
ein langsames Teilchen vom Coulomb-Potential stärker abgelenkt wird als ein schnelles.
19
8.2 Streuung an Phononen
Bei Streuung an Gitterwellen ist zwischen Elementhalbleitern und Verbindungshalbleitern zu
unterscheiden. Verbindungshalbleiter besitzen auf Grund ihres ionischen Bindungsanteils
unterschiedlich geladene Atome, die eine zusätzliche Coulombstreuung verursachen. Man
nennt diese Streuung „polare Streuung“ (wegen der Polarität der chemischen Bindung).
8.2.1 Akustische Phononen
Die lokale Gitterdeformation durch akustische Wellen führt zur sogenannten (nichtpolaren)
„Deformationspotentialstreuung“. Bei Verbindungshalbleitern existiert zusätzlich die polare
„piezoelektrische Streuung“.
In Relaxationszeitnäherung lässt sich für den nichtentarteten Volumen-Halbleiter mit
einfacher Bandstruktur die zugehörige Streuzeit ausrechnen. Die Temperaturabhängigkeit ist
für beide Streuprozesse gleich, nämlich τ ~ T-3/2 d.h.:
µ ak ,3D (T ) = Cak , 3D × T −3 / 2
(Cak,3D temperaturunabhängig).
(47)
Die Beweglichkeit nimmt mit steigender Temperatur immer mehr ab, da die Zahl der
Phononen immer mehr zunimmt.
Die Streuung an geladenen Störstellen mit T3/2 und an akustischen Phononen mit T-3/2 führt zu
einem Maximum der Beweglichkeit bei einer bestimmten Temperatur.
Fig. 8.1 zeigt schematisch die Beweglichkeit eines (unpolaren) Elementhalbleiters als
Funktion der Temperatur. In der log-log-Darstellung ergeben sich rechts und links vom
Maximum Geraden mit Steigungen entsprechend den Temperatur-Exponenten.
~ T -3/2
log µ
~ T +3/2
durch
geladene
Störstellen
durch
akustische
Phononen
Fig. 8.1:
Beweglichkeit µ eines Elementhalbleiters
als Funktion der Temperatur bei
Streuung an akustischen Phononen und
an geladenen Störstellen.
log T
Bei Kopplung der akustischen Phononen an ein zweidimensionales Elektronengas reduziert
sich die Temperaturabhängigkeit zu τ ~ T-1:
µ ak ,2 D (T ) = Cak ,2 D × T −1
(Cak,2D temperaturunabhängig).
20
(48)
8.2.2 Optische Phononen
Die Temperaturabhängigkeit sowohl der polaren als auch der nichtpolaren Streuung an
optischen Phononen entspricht der Anzahldichte der angeregten optischen Phononen. Diese
folgt der Bose-Einstein-Verteilung. Beim zweidimensionalen Elektronengas bleibt die dreidimensionale Temperaturabhängigkeit erhalten und es gilt in erster Näherung:

µop ,2 D (T ) = Cop, 2 D × exp


hω LO
− 1 (Cop,2D temperaturunabhängig)
k BT

(49)
wobei die Kreisfrequenz ωLO diejenige des (longitudinal-)optischen Phonons ist.
8.3 Weitere Streumechanismen
-
bei indirekten Halbleitern: Zwischentalstreuung: Streuung zwischen den
verschiedenen, äquivalenten Bandstruktur-Energieminima („Täler“) in verschiedenen
k-Richtungen (intervalley scattering). Silizium weist 6 und Germanium 4 äquivalente
Energie-„Täler“ im Leitungsband auf, siehe Fig. 2.5. Die Zwischentalstreuung wird ab
etwa 100 K merklich.
-
Elektron-Loch-Streuung bei Halbleitern mit vergleichbarer Dichte von Elektronen und
Löchern (intrinsische HL).
Daneben gibt es noch Streuung an Defekten wie z.B. Kristall-Versetzungen, die hier nicht
betrachtet werden.
8.4 Gesamtbeweglichkeit und Beispiele
Die Gesamtstreurate ist die Summe der Streuraten der individuellen Streumechanismen. Die
Streurate ist reziprok zur Streuzeit. Die Gesamtstreuzeit τtot ergibt sich daher aus den
Einzelstreuzeiten τi gemäß 1/τtot = 1/τ1 + 1/τ2 + 1/τ3 ... und die Gesamtbeweglichkeit µtot
entsprechend aus den Einzelbeweglichkeiten µi zu
µtot
= (1/µ1 + 1/µ2 + 1/µ3 ...)-1.
(50)
Eine Messung liefert die nur Gesamtbeweglichkeit. Die einzelnen Streumechanismen können
jedoch auf Grund ihrer unterschiedlichen Temperaturabhängigkeiten identifiziert werden.
Bei der Streuung an Phononen bestehen Unterschiede zwischen Elementhalbleitern und
Verbindungshalbleitern: Bei optischen Phononen ist die polare Streuung weit effektiver als
die nichtpolare Streuung. In Verbindungshalbleitern dominiert daher die polar-optische
Streuung oberhalb von etwa 100 K. In Elementhalbleitern dagegen bleibt die optische
Streuung, da sie nichtpolar ist, vergleichbar zur akustischen Streuung.
21
Fig. 8.2 zeigt experimentelle Elektronen-Beweglichkeiten als Funktion der Temperatur für nGermanium mit verschiedenen Donatorkonzentrationen ND. Für die höheren Donatorkonzentrationen (1) bis (4) wird die Beweglichkeit durch Störstellenstreuung limitiert. Bei
niedrigen Konzentrationen (5) + (6) dominiert die akustische Phononstreuung (µ ~ T-3/2) und
das Maximum der Beweglichkeit hat sich nach Temperaturen < 10 K verschoben. Oberhalb
von etwa 100 K machen sich
Zwischentalstreuung
und
nichtpolar-optische
Phononstreuung bemerkbar, wodurch
der Temperaturexponent auf
etwa -1,7 erhöht wird.
Fig. 8.2:
Experimentelle ElektronenBeweglichkeit in n- Germanium
als Funktion der Temperatur für
verschiedene Donatorkonzentrationen ND. Nach
Ibachÿ Lüth, Festkörperphysik.
Fig. 8.3 zeigt berechnete Einzelbeweglichkeiten für ein zweidimensionales Elektronengas im
Verbindungshalbleiter Galliumarsenid. Der Temperatur bereich beginnt hier bereits bei 1 K.
Dargestellt sind die Beweglichkeiten für Streuung an polar-optischen Phononen („Optical
phonon“), akustischen Phononen („Deformation potential + Piezoelectric“) und geladenen
Störstellen („Remote impurity“). „Total“ ist die resultierende Gesamtbeweglichkeit. Sie wird
je nach Temperatur von unterschiedlichen Streupartnern limitiert: von 0 … 10 K durch
geladene Störstellen, von 10 bis 90 K durch akustische Phononen und ab 90 K durch polaroptische Phononen.
Fig. 8.3:
Berechnete Beweglichkeiten für ein 2DElektronengas in Galliumarsenid als
Funktion der Temperatur. Nach
Walukiewicz et al, Phys. Rev. B 30 (8),
4577 (1984).
22
9. Das zweidimensionale Elektronengas in modulationsdotierten
GaAs/AlGaAs-Heterostrukturen
Die Ladungsträgerbeweglichkeit ist in Bauelementen meist durch Streuung an ionisierten
Störstellen begrenzt. Denn oft sind die Störstellendichten hoch, um hohe Ströme zu erzielen.
Diese Begrenzung kann mittels Modulationsdotierung in Heterostrukturen umgangen werden.
Modulationsdotierung heißt, dass in der Heterostruktur nur bestimmte, ausgewählte Bereiche
dotiert werden.
Wir betrachten in Fig. 9.1 eine Heterostruktur aus einer undotierten GaAs-Schicht und einer
modulationsdotierten AlGaAs-Schicht. Zwischen der GaAs-Schicht und dem n-dotierten
AlGaAs-Bereich befindet sich eine sogenannte „Abstandsschicht“.
Evac
II
I
EL
EL
- - - -
II
EF
+ + + +
I
II
EF
-
- + + + +
I
EF
EF
EVI
II
EV
I=
II =
GaAs
AlGaAs
GaAs
AlGaAs
Elektron
.
+ +
. .
. + +
+ . .
. +
+
undotiert
ionisierter
Donator
n-dotiert
Abstandsschicht, undotiert
GaAs
AlGaAs
.
.
.
+
+
+
.+
.
.+
+
+
.
2DEG
(2-Dimensionales
Elektronen-Gas)
Fig. 9.1: 2DEG in der modulationsdotierten GaAs/AlGaAs-Heterostruktur.
Die Abbildung links zeigt die Bandkantenenergien und die Fermi-Energie im GaAs und im
AlGaAs vor dem Kontakt. Die Abbildung in der Mitte zeigt die Halbleiter unmittelbar nach
dem Kontakt: Ein gewisser Anteil der freien Elektronen im n-dotierten AlGaAs überwindet
durch Diffusion die Abstandsschicht und gelangt nach links in das GaAs. Diese Elektronen
bleiben an der Grenzfläche gefangen, da sie einerseits von den positiven Donatoren des
AlGaAs angezogen werden, aber andererseits den Bandkantensprung vom GaAs ins AlGaAs
nicht überwinden können. Die Fermi-Energie muss stetig von links nach rechts verlaufen
(gepunktete Linie). Da ihr Abstand zum LB ein Maß für die Elektronenkonzentration ist, kann
man erkennen, dass an der Grenzfläche im GaAs eine hohe Konzentration vorliegt.
Klarer sichtbar wird dies, wenn das Energiediagramm auf die Fermi-Energie EF anstatt auf
die Vakuumenergie Evac bezogen wird. Eine solche Darstellung zeigt die rechte Abbildung.
Die „verbogenen“ Bandkanten („Bandverbiegung“) entsprechen nun der Summe aus der
Bandkantenenergie des homogenen Halbleiters (Abbildung Mitte) plus dem elektrostatischen
Potential, das als Folge des Elektronentransfers entsteht. An der Grenzfläche befindet sich ein
in etwa dreieckförmiges Potential, in dem die aus dem AlGaAs diffundierten Elektronen
eingeschlossen sind. Sie bilden ein (quasi-) zwei-dimensionales Elektronengas (2DEG). Seine
23
Dichte ist hoch (Fermi-Energie oberhalb der Bandkante). Die zugehörigen Donatoren sind
durch die Abstandsschicht räumlich getrennt. Daher ist die Störstellenstreuung für das
Elektronengas stark reduziert, so dass ein 2DEG sehr hohe Beweglichkeiten erreichen kann.
Fig. 9.2 zeigt die Verbesserung der Beweglichkeit in modulationsdotierten GaAs/AlGaAsHeterostrukturen im Lauf der Zeit. Die höchste Kurve dieser Abbildung datiert von 1989. Die
Verbesserung beruht auf fortschreitender Eliminierung der Restverunreinigungen, d.h. der
Störstellen, durch Verbesserung der Herstellungstechnologie. Die Beweglichkeit eines
hochreinen GaAs-Volumenkristalls ist zum Vergleich mit eingezeichnet („Bulk“). Beim 2DElektronengas erkennt man die Streumechanismen aus der vorhergehenden TheorieAbbildung.
Fig. 9.2: Entwicklung der Beweglichkeit des 2DEG in modulationsdotierten GaAs/AlGaAsHeterostrukturen von 1978 bis 1989 („our data“) im Vergleich mit einem GaAsVolumenkristall („bulk“). Nach Pfeiffer et al, Appl. Phys. Lett 88, 1888 (1989).
Die in diesem Versuch als Probe B bezeichnete Probe ist eine modulationsdotierte
GaAs/AlGaAs-Heterostruktur, hergestellt mit Molekularstrahlepitaxie. Fig. 9.3 zeigt ihren
Aufbau schematisch.
GaAs
n-AlGaAs
Fig. 9.3:
Aufbau der GaAs/AlGaAsProbe B mit 2-dimensionalem
Elektronengas.
AlGaAs
GaAs
24
Schutzschicht
n-dotierte
Elektronen-Spenderschicht
Abstandsschicht
2DEG
10. Der Halleffekt
Bewegte Ladungsträger erfahren im Magnetfeld eine Ablenkung senkrecht zur ihrer
Bewegungsrichtung sowie senkrecht zum Magnetfeld durch die Lorentzkraft FL
(r )
r
r
FL = q v × B .
Die Ladung q ist positiv für Löcher und negativ für Elektronen.
Die zur Seite gedrängten Ladungsträger bauen Flächenladungen an den Probenseiten auf, die
r
ein elektrisches Feld, das sogenannte Hall-Feld E H , erzeugen, das der Lorentzkraft
entgegenwirkt. Im thermischen Gleichgewicht verschwindet die Gesamtkraft
r
r
r
r
(r )
FL + q E H = 0
bzw.
r
EH = − v × B .
Die Ladungsträger mit der Geschwindigkeit v bewegen sich dann im zeitlichen Mittel
geradlinig.
Mit der Stromdichte
r
r
J = nq v
folgt:
r
EH = −
r
(
r
r
(
)
1 r r
J ×B .
nq
)
Der Koeffizient zwischen E H und − J × B heißt Hall-Koeffizient RH (bei Metallen auch
Hall-Konstante RH):
(
r
r
r
E H = − RH J × B
)
(51)
mit
RH =
1
.
nq
(52)
Die zum Hall-Feld EH gehörende Spannung kann an den Seitenrändern der Probe abgegriffen
werden und heißt Hallspannung UH. Ihr Wert hängt von der Geometrie der Probe ab.
10.1 Halleffekt im bipolaren Halbleiter
Vorstehende Definitionen gelten für ein Material mit einer Ladungsträgersorte. Tragen
sowohl Elektronen als auch Löcher zur Stromleitung bei, so ist die Rechnung entsprechend zu
erweitern. Man nennt die Leitung dann bipolar.
Im Magnetfeld hat die Lorentzkraft für Elektronen und Löcher zunächst entgegengesetzte
Richtung, allerdings sind auch die Ladungsträgergeschwindigkeiten entgegengesetzt gerichtet.
25
Zur Untersuchung der Vektorrichtungen wählen wir ein rechtshändiges Koordinatensystem
so, dass der Stromdichtevektor in positive x-Richtung zeigt und der Magnetfeldvektor in der
oberen x-z-Ebene liegt.
z
B
x
-
-
-
-
B
y
FL,p
vp B
E H,p
+
E H,n
vp
+
+
+
FL,n
vn
vn B
+
J B
-
+
+
-
+
-
J B
J
J
Löcher
Elektronen
r
r
r
Fig. 10.1: Teilchengeschwindigkeit v , Lorentzkraft FL und Hallfeld E H für Löcher (Index
„p“) und Elektronen (Index „n“).
r
r
r
Der Vektor J × B zeigt dann immer in die negative y-Richtung. Das Hallfeld E H ist dazu
r
r
r
parallel (Elektronen) oder antiparallel (Löcher). J × B und E H besitzen also nur yr
r
r
Komponenten mit J × B = (− J x Bz ) eˆ y und E H = ± E H eˆ y . Gleichung (51) kann damit nach
RH aufgelöst werden:
± EH
RH =
(53)
J x Bz
r
Das positive Vorzeichen gilt für Löcher ( E H weist in + y -Richtung) und das negative für
r
Elektronen ( E H weist in − y -Richtung).
Bei bipolarer Leitung ist Jx die bipolare Stromdichte
J x = J x ,n + J x , p = e ⋅ (nµ n + pµ p ) ⋅ E x = σ bipolar E x
und EH das resultierende Hallfeld. Da die Lorentzkraft für Elektronen und Löcher verschieden
ist, resultieren Nettokräfte in y-Richtung. Aus der Bedingung, dass kein Nettostrom in yRichtung fließt, kann EH berechnet werden. Die Rechnung findet sich im Anhang. Für den
Hallkoeffizient folgt:
pµ 2p − nµ n2
=: RHbipolar
RH =
e (nµ n + pµ p ) 2
Die unipolaren Grenzfälle für reine Elektronenleitung (p = 0) und reine Löcherleitung (n =
0), Gleichung (52), ergeben sich zwanglos.
Der bipolare Hallkoeffizient scheint von den beiden Beweglichkeiten µn und µp einzeln
abzuhängen, tatsächlich aber geht nur deren Verhältnis
b :=
µn
µp
26
R Hbipolar =
ein:
p − nb 2
e ( p + nb )
2
.
(54)
Für den intrinsischen Halbleiter mit n = p= ni folgt:
RHbipolar =
1 1− b
=: RHint
e ni 1 + b
(55)
Für µn > µp ist b > 1 und RH negativ. Das Vorzeichen von RH bei intrinsischer Leitung
entspricht also dem der Ladungsträgersorte mit der größeren Beweglichkeit. In der Regel
besitzen die Elektronen die größere Beweglichkeit, d.h. RHint ist negativ.
Wir betrachten nun den Fall, dass ein Halbleiter seinen Leitungscharakter von extrinsisch
nach intrinsisch, d.h. von unipolar nach bipolar ändert. Dabei interessiert der Zusammenhang
zwischen Ladungsträgerkonzentration und Hallkoeffizient, der nach (52) und (55) reziprok
ist.
Fig. 10.2 zeigt wiederum für n-Germanium die Ladungsträgerkonzentrationen n und p als
Funktion der Temperatur. Die Symbole zeigen den Betrag des reziproken Hallkoeffizienten
1/(|e| |RH|) gemäß Gleichung (54), wobei für b der Wert b = 2 gewählt wurde.
1E16
n-Ge
Ladungsträgerkonzentrationen n, p; 1/(|eRH|) / cm
-3
1-b
1+b
b=2
1E15
1/(|e||RH|)
extrinsisch
n >> p
1E14
intrinsisch
n=p
1E13
n
1E12
p
0
100
200
Fig. 10.2:
Inverser bipolarer Hallkoeffizient
1/(|e||RH|) sowie Elektronen- und
Löcherkonzentration in n-Germanium
als Funktion der Temperatur.
n
p
1/(|eRH|)
300
400
500
Temperatur T / K
Im Bereich der extrinsischen Leitung sind n und 1/(|e||RH|) deckungsgleich, Gleichung (52).
Im Bereich der intrinsischen Leitung differieren ni und 1/(|e||RH|) um den Faktor (1-b)/(1+b),
Gleichung (55).
Dazwischen befindet sich ein Übergangsbereich, der keine eindeutige Zuordnung von n zu RH
(ohne Kenntnis von p) erlaubt.
Der charakteristische Knick in 1/(|e||RH|) kennzeichnet eher den Beginn des Übergangsbereichs als den des intrinsischen Bereichs. Der Beginn der „rein“ intrinsischen Leitung ist
daher aus dem Temperaturverlauf von 1/RH nicht ohne weiteres erkennbar.
27
10.2 Beweglichkeit im unipolaren und im bipolaren Halbleiter
Im unipolaren (extrinsischen) Fall folgt die Beweglichkeit aus (46) und (52) zu
µ = σ RH
(56)
Im bipolaren Fall ergibt das Produkt σ|RH| zwar eine Größe mit der Dimension Beweglichkeit,
aber diese stimmt nur in den unipolaren Grenzfällen mit den Teilchenbeweglichkeiten µn, µp
überein:
σ bipolar RHbipolar
=
pµ 2p − nµ n2
pµ p + nµ n
 µn
=
µ p
für reine n - Leitung ( p = 0)
für reine p - Leitung ( n = 0)
Im intrinsischen Fall n = p ergibt sich
n= p
σ bipolar RHbipolar 
→ µ p − µ n
d.h. (σ| RH|) entspricht der Differenz der Teilchenbeweglichkeiten.
Folgen die Teilchenbeweglichkeiten einem Potenzgesetz, µ ~ T λ so ergibt die Darstellung log
(σ| RH|) gegen log(T) sowohl im extrinischen als auch im intrinsischen Bereich Geraden, die
im Übergangsbereich eine Stufe bilden.
Fig. 10.3 zeigt eine solche Darstellung für n-leitendes Germanium.
extrinsich
(unipolar)
n-Ge
Übergangsbereich
log(σ|RH|)
intrinsich
(bipolar)
σ|RH| = µn
σ|RH| = µn - µp
µn> µp
Phononstreuung µ ~ T
λ
Elektron-LochStreuung ?
Fig. 10.3:
Log (σ| RH|) gegen
Log (Temperatur)
für n-Germanium mit dem
Übergang von extrinsischer
zu intrinsischer Leitung.
log(Temperatur)
Am Übergang von extrinsischer zu intrinsischer Leitung zeigt σ| RH| eine Stufe, deren Höhe
der Löcherbeweglichkeit entspricht (D = µn - (µn - µp)). Die Steigungen der beiden Geraden
unterscheiden sich etwas, da die Temperaturexponenten λ für Elektronen und Löcher nicht
genau gleich sind. Das Abknicken von σ|RH| bei höheren Temperaturen beruht vermutlich auf
Elektron-Loch-Streuung.
Ein solches Diagramm erlaubt die Festlegung der Temperaturbereiche für „rein“ extrinsische
und „rein“ intrinsische Leitung.
28
11. Die Messung von Leitfähigkeit und Hallkoeffizient
11.1 Die Barren- oder Plättchengeometrie
U quer
U quer
l
d
d
I
b
b
Fig. 11.1: Barrengeometrie (links) und Plättchengeometrie (rechts).
Bei Barrengeometrie (b ≈ d) und Plättchengeometrie (b > d) wird die Probe in Längsrichtung
vom Strom durchflossen. Quer zur Stromrichtung befinden sich an zwei gegenüber liegenden
Seiten Kontakte zur Messung der Querspannung. Das B-Feld steht senkrecht zu dieser
Querrichtung, meist normal zur Probenoberfläche.
Leitfähigkeit σ = Jx/Ex
• Die Stromdichte Jx ergibt sich aus dem gemessenen Strom I und der
Querschnittsfläche bÿd der Probe.
• Das den Strom Jx treibende E-Feld Ex ergibt sich aus der angelegten Spannung und der
Probenlänge l.
Der Fall störender Kontaktwiderstände, der eine 4-Punkt-Messung erforderlich macht, wird
hier nicht betrachtet.
Hallkoeffizient |RH| = |EH/(Jx Bz)|
• Das Hallfeld EH ergibt sich aus der Hallspannung UH und der Probenbreite b.
• Die Stromdichte Jx folgt wie oben aus dem gemessenen Strom und der
Querschnittsfläche.
• Die Magnetfeldstärke B muss bekannt sein.
Hinweis: UH ist die Differenz der gemessenen Querspannungen Uquer mit Magnetfeld und
ohne Magnetfeld. Denn der fließende Strom impliziert einen Spannungsabfall in
Längsrichtung, so dass zwischen zwei nicht exakt gegenüberliegenden Querkontakten
auch ohne Magnetfeld eine Spannung anliegt, die sich zur Hallspannung mit Magnetfeld
addiert. In der Praxis misst man die Querspannung bei positiver und negativer
Magnetfeld-Polung, wobei die Hallspannung das Vorzeichen wechselt, die zusätzliche
Längsspannung jedoch nicht. Man überlegt sich: UH = [Uquer(+B) - Uquer(-B)]/2.
Das Vorzeichen von RH folgt nur dann aus der Messung, wenn die Vektorrichtungen von Jx
und B und die Anschlusspolung für Uquer im Messaufbau bekannt sind. Andernfalls liefert die
Messung nur den Betrag von RH, dessen Vorzeichen bei unbekanntem Leitungstyp aus
anderen Überlegungen erschlossen werden muss (siehe z.B. Anmerkungen zu Gleichung
(55)).
29
11.2 Die Van-der-Pauw-Geometrie
Diese Geometrie beruht auf einer theoretischen Arbeit von L.J. van der Pauw, nach der
Leitfähigkeit und Hallkoeffizient auch für eine beliebig geformte Probe homogener Dicke mit
Hilfe von 4 Punktkontakten am Rand gemessen werden können.
C
D
B
Punkt-Kontakte A, B, C, D
A
Die Leitfähigkeit für eine Probe der Dicke d (3-dimensionaler Fall) ist:
U CD = VD- VC
σ =
π d

 ln 2
1 U
U  U
⋅  CD + AD  ⋅ f  CD
2  I AB
I BC   I AB
U DA
I BC




−1
- +
C
D
A
B
(f ist eine schwach vom Argument abhängige
Funktion mit f(1) = 1).
IAB
- +
Der Hallkoeffizient ist:
C
∆U BD d
RH =
I AC B
D
+
mit DUBD = UBD (mit Magnetfeld) - UBD (B=0).
U BD
-
IAC
A
B
. B
Wählt man eine symmetrische Form, z.B. ein Quadrat
C
D
B
A
so vereinfacht sich der Ausdruck für σ wegen
U CD U DA
=
zu:
I AB
I BC
30
σ =
ln 2 I AB
.
π d U CD
+
Im 2-dimensionalen Fall (2DEG) entfällt die Dicke d:
σ =
ln 2 I AB
π U CD
RH =
∆U BD 1
I AC B
Bei Halbleitern ist der Metall-Halbleiter-Kontakt oft hochohmig. Daher sucht man die
Kontaktflächen zu vergrößern. Die Punktkontakt-Bedingung wird dabei durch schmale
Zuleitungsstege approximiert:
Halbleiterprobe
großflächiger
Metallkontakt
Fig. 11.2:
Symmetrische „Kleeblatt“-Geometrie
für Halbleiterproben, erlaubt
großflächige Metallkontakte.
vermessenes
Probenareal
Die Stege können auch breit sein, solange ihre Länge größer ist als ihre Breite:
Metallkontakt
Eine solche „Kreuz-Form“ ist für Halleffektmessungen gut geeignet und robuster gegenüber
Beschädigungen als die „Kleeblatt-Form“.
11.3 Die Proben A und B
Die Probe A ist ein Germanium-Plättchen mit 2 flächigen Goldkontakten an den Stirnseiten
für den Strom und 2 kleineren Goldkontakten an den Längsseiten für die Querspannungsmessung.
31
Die Probe B ist eine Galliumarsenid-Multischichtprobe mit 2DEG in Van-der-PauwGeometrie („Kreuz-Form“). Der Schichtstapel ist insgesamt 1,86 µm hoch und wurde mit
Molekularstrahlepitaxie auf einem GaAs-Wafer aufgebracht.
Einlegierter
Metallkontakt
20 nm GaAs
Schutzschicht
80 nm Al0,25Ga0,75As:Si
n-dotierte Elektronen-Spenderschicht
45 nm Al0,25Ga0.75As
Abstandsschicht
2DEG
1 µm
"aktive" Schicht
GaAs
9,0 nm Al0,25Ga0.75As
1,5 nm GaAs
0,5 µm GaAs
}
x 20
Multischicht zur Blockade von
Kristalldefekten aus dem Wafer
Pufferschicht
GaAs Wafer
Die Kreuzform wurde durch Photolithographie und chemisches Ätzen aus dem Schichtstapel
präpariert. Anschließend wurden die Kontakte aufgebracht.
Die Probe wurde hergestellt vom Fraunhofer-Institut für Angewandte Festkörperphysik in
Freiburg i.Br.
Für die 2D-Elektronenkonzentration und die Beweglichkeit macht der Hersteller folgende
Angaben:
300 K
77 K
n2D / cm-2
µ / cm-2/(Vs)
2,9 × 1011
1,7 × 1011
6.500
194.000
32
11.4 Materialparameter
Germanium
Bandlücke EG bei 300 K:
0,66 … 0,67 eV
α = - dEG/kBT zwischen 300 und 500 K:
4 × 10-4 eV/K
ni bei 300 K:
2,4 × 1013 cm-3
Elektronenbeweglichkeit bei 300 K:
3900 cm2/(Vs) (Reinstgermanium)
Löcherbeweglichkeit bei 300 K:
1900 cm2/(Vs) (Reinstgermanium)
Beweglichkeitsverhältnis µn/µp oberhalb 300K:
1,2688 + 0,00097 × T, T in Kelvin
GaAs
8000 cm2/(Vs) (Reinstgalliumarsenid)
Elektronenbeweglichkeit bei 300 K:
400 cm2/(Vs) (Reinstgalliumarsenid)
Löcherbeweglichkeit bei 300 K:
Energie des (longitudinal-) optischen Phonons:
36 meV
11.5 Einheiten
Symbol
Größe
SI-Einheit
Abgeleitete SI-Einheit
Stromdichte
J
A/m2
A/cm2
Elektrische Feldstärke
E
V/m
V/cm
Magnetische Flussdichte
B
1 Tesla =
1 Vs/m2
1 Gauß =
1 Vs/cm2
σ = J/E
(Ω.m)-1
Ω-1
(Ω.cm)-1
RH
As/m3
As/m2
As/cm3
As/cm2
m2/(Vs)
cm2/(Vs)
Leitfähigkeit
3D
2D
Hallkoeffizient
3D
2D
Beweglichkeit
µ = v/E
1 eV = 1 Elektronenvolt ist die Energie, die ein Elektron beim Durchlaufen einer elektrischen
Potentialdifferenz von 1 Volt aufnimmt: 1e ÿ 1V = 1,602 × 10-19 As ÿ 1V = 1,602 × 10-19 J.
33
Anhang
A1. Freie Ladungsträgerkonzentration im Halbleiter
In der Näherung der Nichtenartung lauten die Integrale für die Ladungsträgerkonzentrationen
n=
∞
∫ Dn ( E )
EL
 E − EF 
exp −
 dE
k BT 

und
p=
EV
∫ Dp (E )
∞
 E − E
exp − F
 dE .
 k BT 
Die Zustandsdichte D(E) ergibt sich aus (19c), (20) und (21) zu
2 2  m* 
D ( E ) = 2  2 
π h 
3
2
E,
wenn man berücksichtigt, dass nur der positive Oktand des k-Raumes zählt und dass ein
Faktor 2 auf Grund der Spinentartung hinzukommt.
Die Zustandsdichten für LB und VB, Dn(E) und Dp(E), ergeben sich durch die Wahl des
Energie-Nullpunkts und der entsprechenden effektiven Bandmassen mn* und mp*:
2 2  m* 
Dn ( E ) = 2  2n 
π h 
3
2
*
E − E L , E > EL
2 2  mp
und D p ( E ) = 2  2
π  h
3
 2



EV − E , E < EV.
Für die Elektronenkonzentration im LB erhalten wir damit ausgeschrieben:
n=
∞
∫
EL
2 2  mn* 


π 2  h 2 
32
E−

E L exp −

E − EF
k BT

 dE

2 2  mn* 


=
π 2  h 2 
32
EF ∞
k BT
e
∫
EL
E − EL e
−
E
k BT
Die Substitution x:= (E-EL)/(kBT) führt zu
2 2  m* 
n = 2  2n 
π h 
∞
Das unbestimmte Integral
∫
0
32
EF
k BT
e
−
e
EL
k BT
(k BT )3 2
x ⋅ e − x dx hat den Wert
 m*k T 
n = 2  n B2 
 2π h 
32
∞
∫
0
x e − x dx .
π 2 . Damit folgt als Endergebnis:
 E − EF 
exp − L
 .
k BT 

Die Rechnung für die Löcherkonzentration p ist analog.
34
dE
A2. Hallfeld bei bipolarer Leitung
Wir wählen legen das KOOS wieder so, dass der Stromdichtevektor in +x-Richtung zeigt und
das B-Feld in der x-z-Ebene liegt (dies ist o.B.d.A. immer möglich). Dann treten nur Kräfte in
y-Richtung auf. Die Komponentenindizes von Geschwindigkeit, Lorentzkraft und Hallfeld
v, FL,y
FL, Ey
EH. Die
werden daher im Folgenden fortgelassen: vx
Teilchengeschwindigkeit wird jedoch je nach Richtungssinn mit Vorzeichen versehen: so ist
die Elektronengeschwindigkeit -vn, da die Elektronen in die negative x-Richtung fließen. Die
Ladung q des Elektrons sei -e, die des Lochs e mit e positiv.
→
→
→
Die Lorentzkraft in y-Richtung ist allgemein: FL = −( v x × Bz ) q .
Lorentzkraft:
Elektronen
Löcher
FLn = −( − vn B z )( − e)
FLp = −(v p Bz )(e )
= − e vn B z
= −e v p Bz
Das resultierende Hallfeld EH ist unbekannt und die Summe aus Lorentzkraft und
Hallfeldkraft verschwindet nicht.
F n = FLn − eE H ≠ 0
Gesamtkraft:
F p = FLp + eE H ≠ 0
= e (− v p B z + E H )
= −e (vn Bz + E H )
Diese Nettokräfte in y-Richtung bewirken einen Strom in y-Richtung über J y = σ
y-Stromkomponente: J yn = σ n
mit v = µ E x :
Fn
−e
J yp = σ p
= e p µ p (E H − v p B z ) ,
= e n µ n (E H + µ n E x B z )
= e p µ p (E H − µ p E x B z ) .
J ny + J yp = 0 = e n µ n (E H + µ n E x Bz ) + e p µ p (E H − µ p E x Bz )
(
)
⇔ (n µ n + p µ p ) E H = p µ 2p − n µ n2 E x Bz ,
folgt:
Jx
σ bipolar
=
Fp
e
= e n µ n (E H + v n B z )
Der Gesamtstrom in y-Richtung muss verschwinden:
und mit E x =
F
q
Jx
e (n µn + p µ p )
EH =
p µ 2p − n µ 2p
e ( n µ n + pµ p ) 2
J x Bz .
35