QR-Zerlegung mit Givens-Rotationen

Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl für Numerische Mathematik
QR-Zerlegung mit Givens-Rotationen
Zerlegung einer Matrix A ∈ Rn×n in A = QR mit orthonormaler Matrix Q ∈ Rn×n,
d.h. Q⊤Q = I, und oberer Rechtecksmatrix R ∈ Rn×n.
(k)
QT = Qn−1 · · · Q2Q1,
(k)
(k)
Qk = Gk,(k+1) G(k+1),(k+2) · · · G(n−1),n
{z
}
|
entfällt, falls A in Hessenbergform
(k)
Für die Rotation G(j−1),j , j > k, gilt

∗








(k)
G(j−1),j 








Givens Rotation (linalg23a)
···
...
···
···
···
···
∗
···
ak
..
.
aj−1
aj
0
..
.
0
···
∗
..
.
∗
∗
∗
..
.
∗
···
···
···
···
···
···


∗
∗

.. 

.



∗



∗


.. 

.

=

∗




∗


∗



.. 

.
∗
···
...
···
···
···
···
∗
···
∗
..
.
∗
0
0
..
.
0
···
∗
..
.
∗
∗
∗
..
.
∗
···
···
···
···
···
···

∗
.. 
.

∗

∗
.. 
.

∗

∗

∗

.. 
.
∗
1
Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl für Numerische Mathematik
Givens-Rotation Gk,l
.

Id
.
 

xk  k → 
c
 

 

Gk,l  ..  =

 

x  l → 
−s
 l

..
Id
  .  .
.
.
   
 xk  r 
s
   
  .  .
  .  = .
   
  x  0
c
  l  
..
..
Id
PSfrag replaementsx
xk
xk
= ,
c = cos(ϕ) = p 2
2
r
xl + xk
xl
xl
=
s = sin(ϕ) = p 2
.
2
r
xl + xk
Givens Rotation (linalg23b)
l
'
xi r
2