Minimum-Shift Keying (MSK)

Minimum-Shift Keying (MSK)
Dr. Ing. Mike Wolf
Juni 2004
1
Ausgangssituation: FSK
Bei binärem FSK, das hier beispielhaft betrachtet werden soll, lauten die beiden möglichen
Sendesignale, betrachtet im ersten Bitintervall:
!
!
∆f
∆f
s1 (t) = U0 cos 2π(fc −
)t = U0 cos 2πfc t − 2π
t
2
2
!
!
∆f
∆f
s2 (t) = U0 cos 2π(fc +
)t = U0 cos 2πfc t + 2π
t
2
2
0 ≤ t < Tb
(1)
0 ≤ t < Tb .
(2)
Dabei stellt sich die Frage, für welche Frequenzseparation ∆f eine Orthogonalität der
beiden Signale erreicht wird. Mit Hilfe des Additionstheorems cos(a + b) cos(a − b) =
cos2 (a) − sin2 (b) folgt formal für das entscheidende Integral
Z
Tb
0
s1 (t)s2 (t) dt =
U02
Z
Tb
0
cos
2
!
∆f
2π
t dt − U02
2
Z
Tb
0
sin2 (2πfc t) dt
(3)
U02 Z Tb
U02 Z Tb
=
[1 + cos (2π∆f t)] dt −
[1 − cos (2π2fc t)] dt (4)
2 0
2 0
U02 Z Tb
=
cos (2π∆f t) dt .
(5)
2 0
Das Integral (5) verschwindet für einen Frequenzabstand ∆f = 1/Tb ( klassisches“ FSK)
”
oder für ganzzahlige Vielfache dieses Wertes — aber auch schon für ∆f = 1/(2Tb ). Die
Nullphase Θ(t) hat demnach im ersten Bitintervall einen zeitproportionalen Verlauf und
ändert sich für den Minimalwert des Frequenzabstandes um ±π/2 gegenüber dem Ausgangswert:
π t
∆f
t=±
0 ≤ t < Tb ,
(6)
Θ(t) = ±2π
2
2 Tb
vgl. Abb. 1.
2
Übergang zu MSK
Würde im k-ten Bitraster bei einem minimalen Frequenzabstand von ∆f = 1/(2Tb ) entsprechend der formalen FSK-Vorschrift entweder s1 (t−(k−1)Tb ) oder s2 (t−(k−1)Tb ) ausgesendet werden, dann würde das modulierte Signal zwischen benachbarten Bits zwangsläufig
immer Phasensprünge von ±π/2 aufweisen. Beim MSK, das als Spezialvariante des FSK
angesehen werden kann, werden solche Phasensprünge durch eine zusätzliche Phasentastung unterbunden; definitionsgemäß hat MSK also einen kontinuierlichen Zeitverlauf. Entsprechend eines Frequenzabstandes von ∆f = 1/(2Tb ) verläuft Θ(t) in jedem Bitintervall
1
2
Technische Universität Ilmenau, Fachgebiet Nachrichtentechnik
normierte Amplitude
1
g replacements
0.5
0
Nullphasenwinkel
normierte Phase Θ(t)/π
Momentanwerte des mod./unmod. Trägers
0.6
unmodulierter Träger
"1"−Bit
"0"−Bit
0.4
0.2
0
−0.2
−0.5
−0.4
−1
0
0.2
0.4
0.6
normierte Zeit t/Tb
0.8
1
−0.6
0
0.2
0.4
0.6
normierte Zeit t/Tb
0.8
1
Abbildung 1: Zeitverläufe bei MSK-Übertragung. Im Beispiel wurde fc = 1/Tb gewählt;
∆f ist demnach fc /2.
zeitproportional, wobei für die maximale Phasenänderung zwischen zwei aufeinanderfolgenden Bits gilt
π
(7)
Θ[kTb ] − Θ[(k − 1)Tb ] = ± .
2
Realisiert werden kann ein entsprechender Modulator beispielsweise mit Hilfe eines VCO
(Voltage-Controlled Oszillator), dessen Momentanfrequenz (mit Hilfe eines NRZ-Rechtecksignals) entsprechend der Datenbits von Bit zu Bit zwischen fc + 1/(4Tb ) und fc − 1/(4Tb )
hin- und hergeschaltet wird. Dabei ergibt sich für das Sendesignal automatisch ein Zeitverlauf ohne Diskontinuitäten durch Phasensprünge zwischen benachbarten Bits, wie es für
MSK vorgeschrieben ist.
Allerdings kann ein MSK-Modulator auch mit Hilfe eine Quadraturmodulators realisiert
werden, was nachfolgend dargestellt werden soll.
3
MSK-Modulator und Signalraumdarstellung
Mit Hilfe der Beziehung cos(a+b) = cos(a) cos(b)−sin(a) sin(b) kann ein MSK-moduliertes
Signal s(t) = U0 cos[2πfc t + Θ(t)] in die Quadraturkomponenten
s(t) = U0 cos[Θ(t)] cos(2πfc t) − U0 sin[Θ(t)] sin(2πfc t)
|
{z
uI (t)
}
|
{z
uQ (t)
}
−∞≤t≤∞
(8)
zerlegt werden. Abb. 3 zeigt für eine beispielhafte Bitsequenz neben dem Zeitverlauf des
Sendesignals s(t) auch den Zeitverlauf der Inphasekomponente uI (t) und der Quadraturkomponente uQ (t). Dabei ist folgendes sofort augenfällig: Die Quadraturkomponente besteht aus eine Folge von positiven oder negativen Halbwellen einer Sinusschwingung, wobei
sich eine Halbwelle jeweils über 2 Bit erstreckt, die Inphasekomponente besteht ebenfalls
aus einer solchen Folge, allerdings ist diese genau um ein Bitraster gegenüber der Quadraturkomponente verschoben. Den Signalen uI (t) und uQ (t) lassen sich gemäß der Abbildung
unmittelbar 2 unabhängige Subdatenströme der Rate 1/(2Tb ) zuordnen, die um die Dauer
Tb eines Bittakts versetzt sind. Diese werden aus den eigentlichen, zu übertragenen Bits
durch Seriell-Parallel-Wandlung gewonnen.
Für die Signaldarstellung mit Hilfe orthonormaler Basisfunktionen bedeutet das nichts
3
Technische Universität Ilmenau, Fachgebiet Nachrichtentechnik
PSfrag replacements
R
2Tb
P
x(t)
∀l
Sub-Bitstrom #1
ψ1 (t − l2Tb )
l2Tb
R
Demultiplexer
l2Tb − Tb
2Tb
P
∀l
ψ2 (t − l2Tb )
Sub-Bitstrom #2
Abbildung 2: MSK-Empfänger auf der Basis eines Quadratur-Demodulators
anderes als
ψ1 (t) =
( q
ψ2 (t) =
(
2
Tb
cos
0
−
0
q
2
Tb
sin
π t
2 Tb
π t
2 Tb
cos(2πfc t)
sin(2πfc t)
−Tb ≤ t < Tb
sonst
(9)
0 ≤ t < 2Tb
sonst
(10)
Man achte auf die unterschiedlichen Zeitintervalle, für die ψ1 (t) und ψ2 (t) definiert sind.
Um das Sendesignal zu generieren, werden die beiden Basisfunktionen
wiederholt mit einer
q
√
2
Periode 2Tb ausgesendet und jeweils mit dem Faktor ± U0 Tb /2 = ± Eb gewichtet. Das
Sendesignal ist also die Linearkombination
s(t) =
X
(l)
s1 ψ1 (t−l2Tb ) +
∀l
X
∀l
(l)
(l)
(l)
q
(l)
q
s2 ψ2 (t−l2Tb ) mit s1 ∈ {± Eb }, s2 ∈ {± Eb } , (11)
(l)
wobei die Symbole s1 und s2 für die beiden Koeffizienten s1 und s2 entsprechend der
l-ten Bits der beiden unabhängigen und um Tb gegeneinander verschobenen binären Subdatenströme stehen.
4
MSK-Demodulator
Unabhängig davon, welche Datenkombination bzgl. der Subdatenströme vorliegt — bezogen auf ein Bitintervall sind die beiden Signalkomponenten in (11) immer orthogonal.
Das bedeutet, daß beim Korrelationsempfang bzgl. der einen Basisfunktion, bei dem über
die Zeitdauer von 2Tb integriert werden muß, die jeweils andere Signalkomponente zu den
Abtastzeitpunkten nicht stört. Tatsächlich kann ein MSK-Signal demnach mit Hilfe eines
Quadraturdemodulators empfangen werden, vgl. Abb. 2. Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit
als Funktion von Eb /N0 stimmt bei dieser Art des Empfangs exakt mit der von QAM
bzw. von QPSK überein, denn eine Betrachtung im Signalraum zeigt, daß die euklidischen
Distanzen mit denen
√ von 4-QAM und QPSK korrespondieren. Die minimale euklidische
Distanz dmin ist 2 Eb , siehe (11). Die gegenüber einem kohärenten FSK-Empfänger reduzierte Bitfehlerwahrscheinlichkeit bzw. erhöhte Energieeffizienz beruht auf der Tatsache,
daß das Sendesignal, welches mit dem k-ten ursprünglichen Bit generiert wird, aufgrund der
gegenüber FSK vorgenommenen zusätzlichen Phasentastung auch eine Information über
das (k − 1)-te Bit enthält.
Technische Universität Ilmenau, Fachgebiet Nachrichtentechnik
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Datenbits
normierte Phase Θ(t)/π
MSK-Signal s(t)/U0
1
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
a)
0
-1
0
2
4
6
8
10
-0.8
0.4
b)
0
-0.4
0
2
4
6
8
10
uI (t)/U0 und uQ (t)/U0
1
g replacements
Amplitude Inphasekomponente
0.5
Amplitude Quadraturkomponente
0
c)
-0.5
-1
0
2
1
1
4
6
normierte Zeit t/Tb
-1
1
1
8
10
1
1
Subdatenstrom #1
-1
1
1
-1
Subdatenstrom #2
Abbildung 3: MSK-moduliertes Signal (a) für eine beispielhafte Datenbitsequenz; darunter
der Verlauf des Nullphasenwinkels (b). Bild (c) zeigt den zugehörigen Amplitudenverlauf
der Inphase- und der Quadraturkomponente; zusätzlich sind die entsprechenden Subdatenströme dargestellt (fc = 1/Tb ).
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Technische Universität Ilmenau, Fachgebiet Nachrichtentechnik
Annahme: fc=10/Tb
0
10
QPSK
MSK
−1
Leistungsdichte in V2/Hz
10
−2
10
−3
10
−4
10
−5
10
6
7
8
9
10
11
normierte Frequenz fTb
12
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Abbildung 4: Leistungsdichtespektrum eines MSK-Signals und eines QPSK-Signals gleicher
Leistung.
5
Spektrum
Abb. 4 zeigt das Leistungsdichtespektrum von MSK im Vergleich zum QPSK-Spektrum.
Darin wird deutlich, daß die Hauptkeule von MSK zwar etwas breiter als die von QPSK
ausfällt — dafür weisen aber die Nebenausläufer eine deutlich geringere Leistungsdichte
auf, was aus Sicht restrigierter Funkbänder von großem Vorteil sein kann. Die Ursache
liegt in den unterschiedlichen Basisfunktionen, auf deren Grundlage ein MSK- und ein
QPSK-Signal generiert werden.