Klausur: Informationstechnik

Technische Universität Ilmenau
Fakultät Elektrotechnik und Informationstechnik
FG Nachrichtentechnik
Klausur: Informationstechnik
27.02.2007
Bearbeitungszeit: 90 min
Studiengang EIT, II (ab M04)
Maximalpunktzahl: 28
Anmerkung: Die fett hervorgehobenen Teilaufgaben lassen sich unabhängig von den zugehörigen vorangegangenen Teilaufgaben lösen.
(9 Pkt.)
1. Gegeben sind die folgenden vier Signale. Alle Signale besitzen die gleiche Energie E und die gleiche
Zeitdauer T .
s1 (t)
s2 (t)
s4 (t)
s4 (t)
U0
U0
U0
U0
T
T
t
T
t
−U0
t
−U0
T
−U0
t
(a) Wie groß ist die Energie E jedes der vier Signale?
(b) Geben Sie die Signalvektoren si an, wenn die Orthogonalbasis durch die folgenden 3 Signale
gebildet wird:
ψ1 (t) = φ(t − t0 ),
ψ2 (t) = φ(t − 2t0 ) und ψ3 (t) = φ(t − 3t0 ).
Die Zeitkonstante t0 hat den Wert t0 = T /4, und für die Funktion φ(t) gilt
r
t − t0 /2
1
t0 = T /4.
rect
φ(t) =
t0
t0
(c) Wie groß ist die minimale Euklid’sche Distanz dmin zwischen den Signalvektoren?
Drücken Sie dmin als Funktion der Energie E aus.
(d) Vergleichen Sie die unter (c) berechnete Euklid’sche Distanz dmin mit der minimalen Euklid’schen Distanz dorth , die sich in Verbindung mit vier orthogonalen Signalen identischer
Energie E ergibt.
Gesucht ist das Verhältnis dmin /dorth .
(e) Skizzieren Sie eine Schaltung zur Synthese der Signale si (t) aus den gegeben drei Basisfunktionen. (Darstellung für 0 ≤ t < T .)
(f ) Zeichnen Sie eine Schaltung zur Schätzung von si (t), i = 1, 2, .., 3, aus dem empfangenen,
verrauschten Signal x(t) = si (t) + w(t), wobei w(t) weißes, mittelwertfreies, gaußverteiltes
Rauschen ist. (Darstellung für 0 ≤ t < T .) Die Schätzung soll nach dem Maximum Likelihood
Kriterium erfolgen. Beschreiben Sie den Entscheidungsprozess auch verbal.
(4 Pkt.)
2. Gegeben sei die s(t) Autokorrelationsfunktion ϕss (τ ) eines reellen stochastischen Signals. Es gilt
ϕss (τ ) =
U0
4
2
+
τ 3
· U02 · tri
16
T
mit tri(x) =
1 − |x|
0
f ür |x| ≤ 1
sonst.
(a) Skizzieren Sie ϕss (τ ).
(1)
(b) Wie groß kann der lineare Mittelwert ms
des stochastischen Signals s(t) sein?
(c) Wie groß ist die Gesamtleistung
(2)
ms
von s(t)?
(d) Wie groß ist die Wechselleistung
(2)
µs
von s(t).
(e) Ermitteln Sie das Leistungsdichtespektrum Φss (f ) (Skizze und Formel).
1
(10 Pkt.)
3. Betrachtet wird das Modulationsverfahren On-Off Keying“, wobei im vorliegenden Fall sogenannte
”
Return-To-Zero“-Impulse generiert werden.
”
Der Sender erzeugt im Zeitraster 0 ≤ t < Tb eines der folgenden beiden Signale.
U0
s1 (t)
U0
s2 (t)
Tb t
Tb t
(1)
ms
(a) Wie groß ist der lineare Mittelwert
des Sendesignals, wenn von gleichwahrscheinlichen zu
übertragenden Bits ausgegangen wird?
(b) Wie groß ist die mittlere Energie pro Bit Eb ?
(c) Geben Sie die Orthonormalbasis an, die sich entsprechend des Gram-Schmidt Orthonormierungsverfahrens ergibt.
(d) Geben Sie die Signalvektoren s1 und s2 an. Verwenden Sie als Parameter die mittlere Energie
pro Bit, Eb .
(e) Skizzieren Sie den Signalraum.
Die folgende Skizze zeigt eine mögliche Empfängerrealisierung für 0 ≤ t < Tb , wobei die Funktion
ψD (t) im rechten Teil der Abbildung dargestellt ist.
Es wird davon ausgegangen, dass am Empfängereingang nicht das durch additives Rauschen gestörte
(1)
Signal si (t) anliegt, sondern das vom linearen Mittelwert befreite Signal sei (t) = si (t) − ms .
x(t) = sei (t) + w(t)
R Tb
0
..dt
xD
sˆi
Decoder
q
ψD (t)
2
Tb
Tb
t
ψD (t)
(1)
(f) Skizzieren Sie die beiden Signale sei (t) = si (t) − ms , i = 1, 2.
(g) Welche beiden Amplitudenwerte xD |s1 und xD |s2 kann die Entscheidungsvariable xD annehmen, wenn das Empfangssignal dem ungestörten Signal sei (t) entspricht, also zunächst für das
Rauschsignal w(t) gelten soll w(t) = 0.
(h) Wie groß ist die Differenz xD |s1 − xD |s2 ? Drücken Sie die Differenz als Funktion von Eb aus.
Tatsächlich wird der Empfang durch weißes, mittelwertfreies, gaußverteiltes Rauschen w(t) mit der
Rauschleistungsdichte N0 /2 gestört.
(i) Wie groß ist die Rauschvarianz am Decodereingang?
(j) Skizzieren Sie die Verteilungsdichtefunktion fxD (xD ) von xD .
(k) Bestimmen Sie die Bitfehlerwahrscheinlichkeit für die skizzierte Empfangsschaltung, wenn der
Deocder nach dem Maximum-Likelihood-Prinzip arbeitet.
Geben Sie die Lösung in Abhängigkeit von Eb /N0 an.
(5 Pkt.)
(l) Bonus Um welchen Faktor (Näherungswert) wird das benötigte Eb /N0 -Verhältnis erhöht,
wenn die Entscheiderschwelle des Decoders den Wert Null“ hat. Begründen Sie Ihre Aussage.
”
4. Eine diskrete Nachrichtenquelle emittiert die 7 Zeichen a bis g mit den in der Tabelle angegebenen
Wahrscheinlichkeiten pi .
Ind. i
1
2
3
4
Zeichen
a
b
c
d
pi
0,4
0,17
0,17
0,08
Codewort
Ind. i
5
6
7
Zeichen
e
f
g
pi
0,08
0,05
0,05
Codewort
(a) Geben Sie den Ausdruck an, mit dem sich die Entropie der Quelle berechnen lässt.
(b) Führen Sie eine binäre Huffman-Codierung durch. Tragen Sie die Codewörter in die obige
Tabelle ein.
(c) Geben Sie den Ausdruck an, mit dem sich die mittlere Codewortlänge berechnen lässt.
2