PDF (17 Folien) - Tutorium von Chris Mandery

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DuE-Tutorien 17 und 18
Tutorien zur Vorlesung “Digitaltechnik und Entwurfsverfahren”
Christian A. Mandery
TUTORIENWOCHE 6 AM 09.12.2011
KIT – Universität des Landes Baden-Württemberg und
nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft
www.kit.edu
Heute
KV-Diagramme
Übungsaufgaben
Christian A. Mandery – DuE-Tutorien 17 und 18
2/1
KV-Diagramm
Karnaugh-Veitch-Diagramm, benannt nach den Erfindern
Gibt den Funktionswert für alle möglichen Variablenbelegungen an
(wie Funktionstabelle)
Einfache graphische Bestimmung von Minimalformen
Kann mit vollständig oder unvollständig definierten Funktionen (mit
“Don’t Care”-Zuständen) arbeiten
3/1
KV-Diagramm
3/1
KV-Diagramm
3/1
KV-Diagramm
3/1
Konstruktion: 1 Variable
KV-Diagramm für eine Variable (entsteht durch Spiegelung eines
einzelnen Felds):
a
f(a):
?
0
?
1
4/1
Konstruktion: 2 Variablen
KV-Diagramm für zwei Variablen entsteht durch vertikale Spiegelung des
KV-Diagramms für eine Variabe:
a
f(b, a):
?
0
b
?
1
?
2
?
3
5/1
KV-Diagramm für drei Variablen entsteht durch vertikale Spiegelung des
KV-Diagramms für zwei Variaben:
c
f(c, b, a):
a
?
0
b
?
?
?
2
?
5
1
3
?
4
?
7
?
6
6/1
KV-Diagramm für vier Variablen entsteht durch vertikale Spiegelung des
KV-Diagramms für drei Variaben:
c
f(d, c, b, a):
a
?
0
?
?
?
b
3
2
?
d
10
?
?
?
6
?
15
?
9
?
4
7
11
?
8
?
5
1
?
14
?
13
?
12
7/1
Konstruktion: Fazit
Systematische Konstruktion durch abwechselnde vertikale und
horizontale Spiegelung
Felder werden durchnummeriert, entsprechend den Nummern der
Min-/Maxterme
Nach einer Spiegelung unterscheiden sich gespiegelte Felder nur in
der Belegung der neuen Variable
8/1
Konstruktion: Fazit
Min-/Maxterme
8/1
Konstruktion: Fazit
Min-/Maxterme
8/1
Primterme
Primimplikanten (Eins-Blöcke) und Primimplikate (Null-Blöcke)
Entspricht einem Eins- bzw. Null-Block, ...
der durch einen Produkt- bzw. Sumterm repräsentiert wird
bei gegebenem KV-Diagramm nicht “vergrößert” werden kann
Beispiel:
c
f(c, b, a):
b
a
0
1
1
1
0
5
1
4
0
0
1
1
3
6
7
2
(Primimplikanten entsprechen ca, cb, ba und cba)
9/1
Primterme
Beispiel:
c
f(c, b, a):
b
a
0
1
1
1
0
5
1
4
0
0
1
1
3
6
7
2
9/1
Primterme
Beispiel:
c
f(c, b, a):
b
a
0
1
1
1
0
5
1
4
0
0
1
1
3
6
7
2
9/1
Kernprimterme
Ein Primterm ist ein Kernprimterm, wenn er eine Stelle der Funktion
enthält, die von keinem anderen Primterm überdeckt wird
Alle Kernprimterme müssen zur Realisierung der Minimalform
verwendet werden
Beispiel:
c
f(c, b, a):
b
a
0
1
1
1
0
5
1
4
0
0
1
1
3
6
2
7
→ Alle Primterme sind Kernprimterme (Bsp.: ca ist Kernpr., da
MINt (3) von keinem anderen Primimplikant überdeckt wird)
10/1
Kernprimterme
verwendet werden
Beispiel:
c
f(c, b, a):
b
a
0
1
1
1
0
5
1
4
0
0
1
1
3
6
2
7
10/1
Kernprimterme
verwendet werden
Beispiel:
c
f(c, b, a):
b
a
0
1
1
1
0
5
1
4
0
0
1
1
3
6
2
7
10/1
Wahlprimterme
Einige Stellen werden von mehreren Primtermen überdeckt
Wenn man bestimmte Primterme auswählt, werden andere
Primterme nicht mehr benötigt
Manche Wahlprimterme müssen zur Realisierung der Minimalform
verwendet werden
Beispiel:
c
f(c, b, a):
b
a
0
0
1
1
5
0
1
4
0
1
1
1
6
3
7
2
→ ca und ba sind Wahlprimimplikanten
11/1
Wahlprimterme
verwendet werden
Beispiel:
c
f(c, b, a):
b
a
0
0
1
1
5
0
1
4
0
1
1
1
6
3
7
2
11/1
Wahlprimterme
verwendet werden
Beispiel:
c
f(c, b, a):
b
a
0
0
1
1
5
0
1
4
0
1
1
1
6
3
7
2
11/1
Wahlprimterme
verwendet werden
Beispiel:
c
f(c, b, a):
b
a
0
0
1
1
5
0
1
4
0
1
1
1
6
3
7
2
11/1
Entbehrliche Primterme
Primterme, die nur Stellen der Funktion enthalten, die schon von
Kernprimtermen überdeckt werden, sind entbehrlich
Kein entbehrlicher Primterm muss zur Realisierung der Minimalform
verwendet werden
Beispiel:
c
f(d, c, b, a):
b
d
a
0
1
1 40
0
5
1
0
0
1
1
3
6
2
7
0
0 1 141 15
11
0 91 0
1 8
13
12
10
→ ca ist ein entbehrlicher Primimplikant
12/1
verwendet werden
Beispiel:
c
f(d, c, b, a):
b
d
a
0
1
1 40
0
5
1
0
0
1
1
3
6
2
7
0
0 1 141 15
11
0 91 0
1 8
13
12
10
12/1
verwendet werden
Beispiel:
c
f(d, c, b, a):
b
d
a
0
1
1 40
0
5
1
0
0
1
1
3
6
2
7
0
0 1 141 15
11
0 91 0
1 8
13
12
10
12/1
Minimierung mit einem KV-Diagramm
Vorgehensweise:
1
KV-Diagramm zeichnen und alle Primterme bestimmen
Primimplikanten für DMF
Primimplikate für KMF
2
3
Welche Primterme sind Kernprimterme?
Welche Stellen der Funktion werden durch die Kernprimterme nicht
überdeckt? → Entscheidung, welche Menge an Wahlprimtermen
verwendet werden soll
Minimierung nach festzulegendem Kriterium, z.B. Gatterzahl
4
Schreiben der Kernprimterme und der gewählten Wahlprimterme in
disjunktiver bzw. konjunktiver Form
13/1
Vorgehensweise:
1
2
3
4
13/1
Vorgehensweise:
1
2
3
4
13/1
Vorgehensweise:
1
2
3
4
13/1
Übungsaufgabe 1
Eine unvollständige spezifizierte Schaltfunktion y = f (x3 , x2 , x1 , x0 ) sei
gegeben durch ihre Minterme und Maxterme:
y = MAXt (0, 1, 2, 6, 9, 10)
y = MINt (3, 4, 5, 11, 12, 13)
1
Geben Sie die disjunktive Minimalform (DMF) der Funktion y an.
2
Geben Sie die konjunktive Minimalform (KMF) der Funktion y an.
14/1
Übungsaufgabe 1
Eine unvollständige spezifizierte Schaltfunktion y = f (x3 , x2 , x1 , x0 ) sei
y = MAXt (0, 1, 2, 6, 9, 10)
y = MINt (3, 4, 5, 11, 12, 13)
1
Geben Sie die disjunktive Minimalform (DMF) der Funktion y an.
2
Geben Sie die konjunktive Minimalform (KMF) der Funktion y an.
14/1
Übungsaufgabe 2/3
Eine Schaltfunktion y = f (x4 , x3 , x2 , x1 , x0 ) ist durch das KV-Diagramm
gegeben:
Ermitteln Sie graphisch alle Primimplikate der Funktion y und
bestimmen Sie eine KMF von y .
Ermitteln Sie graphisch alle Primimplikanten der Funktion y und
bestimmten Sie eine DMF von y .
15/1
Übungsaufgabe 2/3
Eine Schaltfunktion y = f (x4 , x3 , x2 , x1 , x0 ) ist durch das KV-Diagramm
gegeben:
Ermitteln Sie graphisch alle Primimplikate der Funktion y und
bestimmen Sie eine KMF von y .
Ermitteln Sie graphisch alle Primimplikanten der Funktion y und
bestimmten Sie eine DMF von y .
15/1
Übungsaufgabe 4
Eine unvollständige definierte Schaltfunktion y = f (e, d , c , b, a) sei
y = MINt (2, 5, 6, 10, 12, 13, 14, 18)
y = MAXt (1, 3, 8, 15, 16, 17, 21, 24, 27, 28, 31)
1
Zeichnen Sie ein KV-Diagramm und tragen Sie die Minterme und
Maxterme von f ein.
2
Bestimmen Sie unter Ausnutzung von den “don’t care”-Belegungen je
eine disjunktive und eine konjunktive Minimalform von f .
16/1
Übungsaufgabe 4
Eine unvollständige definierte Schaltfunktion y = f (e, d , c , b, a) sei
y = MINt (2, 5, 6, 10, 12, 13, 14, 18)
y = MAXt (1, 3, 8, 15, 16, 17, 21, 24, 27, 28, 31)
1
Zeichnen Sie ein KV-Diagramm und tragen Sie die Minterme und
Maxterme von f ein.
2
Bestimmen Sie unter Ausnutzung von den “don’t care”-Belegungen je
eine disjunktive und eine konjunktive Minimalform von f .
16/1
Fertig!
Quelle: http://xkcd.com/565/
17/1

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