7. Vorlesung: KV

7. Vorlesung: KV-Diagramm
• Wiederholung
– Minimalformen
– KV-Diagramme
• KV-Diagramm (4 Variablen)
• Don‘t Cares
• Übung
1
Maxterm (Volldisjunktion)
• Ein Maxterm ist eine Disjunktion, die
alle Eingangsvariablen, nicht negiert
oder negiert, enthält.
• Für eine Boolesche Funktion mit n
Eingangsvariablen existieren daher
genau 2n Maxterme.
• Für exakt eine Kombination der
Zustände der Eingangsvariablen nimmt
ein Maxterm den Zustand falsch bzw. 0
an. Für alle anderen Kombinationen
liefert der Maxterm 1.
2
Maxterme für zwei Eingänge
X1
X2
M0
M1
M2
M3
0
0
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
0
X1
0
0
1
1
X2
0
1
0
1
Bitte notieren Sie
die algebraische
Darstellung für alle
vier Maxterme.
M0
0
1
1
1
M1
1
0
1
1
M2
1
1
0
1
M3
1
1
1
0
X1 ∨ X 2
X1 ∨ X 2
X1 ∨ X 2
X1 ∨ X 2
3
KV-Diagramm
• M. Karnaugh (1952) und E.W. Veitch (1953)
entwickelten Verfahren zur graphischen
Minimierung.
• Die Kombination beider Verfahren ist als
Karnaugh-Veitch-Diagramm bekannt, das
meist abgekürzt als KV-Diagramm bezeichnet
wird.
• Bei diesem Verfahren können Minterme oder
Maxterme zusammengefasst werden.
4
Konstruktion KV-Diagramm
B
A
Y
0
0
F0
0
1
1
0
F1
F2
1
1
F3
Y
Y
F0
F2
F1
F3
F0
B F2
A
F1
F3
Y
00 01
10 11
5
Beispiel: ODER
(Übung)
B
A Y
0
0
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
Y
B
A
0 1
1 1
6
Vereinfachungen für 2 Variablen
B
A Y1 Y2 Y3 Y4 Y5
0
0
0
1
0
0
1
1
1
0
0 1
1 1
1
0
1
0
1
0 1
1
1
1
0
0
1 1
Y1
B
A
0 0
1 1
Y2
B
Y1 = B
Y5
B
A
1 1
1 1
Y5 = 1
Y3
B
A
1 0
1 0
Y3 = A
A
1 1
0 0
Y2 = B
Y4
B
A
0 1
0 1
Y4 = 7A
Übung
B
A Y
0
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
Y
B
A
1 0
1 1
A∨ B
( B ∧ A) ∨ ( B ∧ A) ∨ ( B ∧ A) = ( B ∧ A) ∨ (( B ∧ ( A ∨ A))
= ( B ∧ A) ∨ B
= ( B ∨ B) ∧ ( A ∨ B)
DMF
= A∨ B
8
Beispiel: KMF
B
A Y
0
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
Y
B
A
1 0
1 1
A∨ B
KMF
9
KV-Diagramm für 3
Eingangsvariablen
C
B
A
Y
0
0
0
F0
0
0
1
F1
0
1
0
F2
0
1
1
0
1
0
F3
F4
1
0
1
F5
1
1
0
F6
1
1
1
F7
A
B
F0
F2
F1
F3
F5
F7
F4
F6
C
Spiegelachse
10
Torus-Topologie
Die Nachbarschaft von Feldern im KVDiagramm basiert auf der Torus-Topologie.
Dies bedeutet, dass Felder in der untersten
Reihe Nachbarn der Felder in der obersten
Reihe sind. Gleiches gilt für die Felder der
rechten und linken Seite.
11
Torus-Topologie (Beispiel)
A
B
1 0 0 1
1 0 0 0
C
12
Übung: DMF
A
F0
F2
B
F1
F3
F5
F7
F4
F6
DNF = m1+m3+m5
DMF?
C
A
B
0 1 1 0
0 1 0 0
C
( A ∧ B) ∨ ( A ∧ C )
= A ∧ (B ∨ C )
13
Übung: KMF
KNF = M0*M2*M4*M6*M7
KMF?
A
B
0 1 1 0
0 1 0 0
A ∧ (B ∨ C )
C
14
D C
0 0
B
0
A
0
Y
F0
0
0
0
0
0
1
1
0
F1
F2
0
0
1
1
F3
0
1
0
0
F4
0
1
0
1
F5
0
1
1
0
F6
0
1
1
0
1
0
1
0
F7
F8
1
0
0
1
F9
1
0
1
0
F10
1
0
1
1
F11
1
1
1
1
0
0
0
1
F12
F13
1
1
1
0
F14
1
1
1
1
F15
KV-Diagramm für 4
Eingangsvariablen
A
F0
F2
B
F10
F8
F1
F3
F11
F9
F5
F7
F15
F13
F4
F6
F14
D
F12
C
15
Don‘t Care
• Häufig ist eine Boolesche Funktion nicht
für alle möglichen Kombinationen der
Wertigkeit der Eingangsvariablen
definiert.
• Die nicht definierten Kombinationen
können beliebig realisiert werden und
werden daher als Don‘t Care
bezeichnet.
• Die Don‘t Care Kombinationen werden
so festgelegt, dass die Funktion optimal
minimiert werden kann.
16
Don‘t Care (Beispiel)
A
B
0 * 1 *
0 1 * 0
C
* ≡ Don't Care
17
D C B
A Y
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
Übung
Bitte erstellen Sie für die
gegebene Wahrheitstabelle
ein KV-Diagramm.
18
D C B
A Y
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
Übung
A
B
0
0
1
*
0
0
1
*
0
0
*
0
*
*
1
1
D
C
Bilden Sie die disjunktive oder konjunktive Minimalform, so dass Sie in
einfacher Weise eine algebraische Umformung durchführen können, die
eine Realisierung nur mit NOR-Gattern ermöglicht. Zeichnen Sie die Zusammenfassungen in das KV-Diagramm ein.
19
Übung
A
B
C ∧ (B ∨ A ) = C ∧ (B ∨ A )
0 0 1 *
0 0 1 *
0 0 * 0
*
* 1 1
= C ∨ (B ∨ A )
D
C ∧ (B ∨ D ) = C ∧ (B ∨ D )
= C ∨ (B ∨ D )
C
20