Technische Mathematik Installations

EUROPA-FACHBUCHREIHE
für metalltechnische Berufe
Technische Mathematik
Installations- und
Heizungstechnik
Bearbeitet von Lehrern an berufsbildenden Schulen und von Ingenieuren
(siehe Rückseite)
4. Auflage
VERLAG EUROPA-LEHRMITTEL · Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG
Düsselberger Straße 23 · 42781 Haan-Gruiten
Europa-Nr.: 18111
Autoren der „Technischen Mathematik Installations- und Heizungstechnik
Blickle, Siegfried
Flegel, Robert
Haldenwang, Peter
Härterich, Manfred
Jungmann, Friedrich
Küpper, Elmar
Merkle, Helmut
Uhr, Ulrich
Dipl.-Ing., Oberstudienrat
Wissenschaftlicher Lehrer
Studiendirektor
M. A., Oberstudiendirektor
Oberstudienrat
Dipl. Ing. (FH), Oberstudienrat
Dipl.-Ing., Studiendirektor
Dipl.-Ing., Studiendirektor
Freudenstadt
Stuttgart
Heidenheim
Ditzingen
Heidelberg
Wehr-Öflingen
Forst
Rheinfelden
Leitung des Arbeitskreises und Lektorat:
Manfred Härterich, M. A., Oberstudiendirektor, Ditzingen
Bildbearbeitung:
Irene Lillich, Zeichenbüro, Schwäbisch Gmünd
Verlag Europa-Lehrmittel, Abt. Bildbearbeitung, Ostfildern
Das vorliegende Buch wurde auf der Grundlage der neuen aktuellen Rechtschreibregeln erstellt.
4. Auflage 2009
Druck 5 4 3 2 1
Alle Drucke derselben Auflage sind parallel einsetzbar, da sie bis auf die Behebung von Druckfehlern
untereinander unverändert sind.
ISBN
978-3-8085-1814-4
Alle Rechte vorbehalten. Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb
der gesetzlich geregelten Fälle muss vom Verlag schriftlich genehmigt werden.
© 2009 by Verlag Europa-Lehrmittel, Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG, 42781 Haan-Gruiten
© 2001 by http://www.europa-lehrmittel.de
Satz:
rkt, 42799 Leichlingen
Druck:
Media Print Informationstechnologie, 33100 Paderborn
Einführung
Die im Verlag Europa-Lehrmittel in der 4. Auflage erschienene „Technische Mathematik Installations- und
Heizungstechnik“ dient der Aus- und Weiterbildung im Beruf Anlagenmechaniker/in für Sanitär-, Heizungsund Klimatechnik.
Inhalt
Der Inhalt des Buches ist auf die einschlägigen Bildungspläne der Bundesländer für
Berufliche Schulen und auf die Verordnung über die Berufsausbildung zum/zur Anlagenmechaniker/in für Sanitär-, Heizungs- und Klimatechnik des Bundesministeriums abgestimmt. Er umfasst den gesamten Lehrstoff der Berufsschul- bzw. Ausbildungsjahre
sowie weitgehend der Meisterschule und der Technikerschule. Die Inhalte entsprechen
den für diesen Fachbereich geltenden technischen Regeln und den gesetzlichen Verordnungen sowie den fachbezogenen Vorschriften, insbesondere den DIN-Normen.
Gliederung
und
Gestaltung
Das Mathematikbuch umfasst dreizehn Kapitel. In den Kapiteln eins bis zwölf ist die Installations- und Heizungstechnik in zwölf Lernbereiche, vergleichbar den Lernfeldern,
sachlogisch aufgeteilt und dargestellt. Das Kapitel dreizehn enthält bereichsübergreifende Projekte. Bei der Gliederung des Buches wurde von einem Leitprojekt ausgegangen, das dem Inhaltsverzeichnis vorangestellt ist. Das Leitprojekt ist als Schnitt durch
ein Wohngebäude dargestellt und enthält alle erforderlichen Bereiche der Installationsund Heizungstechnik. Der im jeweiligen Kapitel behandelte Teilbereich ist dem Leitprojekt entnommen. Eine entsprechende Schnittzeichnung fasst dessen Inhalt in anschaulicher Weise zusammen. Jedem Kapitel ist ein Piktogramm zugeordnet, das jeweils am
Außenrand der Seiten angeordnet ist und auf den Inhalt der Seiten hinweist. Dadurch
ist ein schnelles und müheloses Zurechtfinden im Buch gewährleistet.
Methodische
Konzeption
Der methodischen Konzeption des Mathematikbuches liegt die Konzeption des Fachbuches „Fachkunde Installations- und Heizungstechnik“ zugrunde. Dadurch ist es möglich, dass beide Bücher im Unterricht nebeneinander verwendet werden können. Das
Mathematikbuch soll die mathematischen Lerninhalte der Fachkunde ergänzen und erweitern, sodass zum einen Aufgaben zum Üben und zum anderen erweiternde Inhalte
für das Berufskolleg und die Fachschulen zur Verfügung stehen. Formeln und Tabellen
sind farblich hervorgehoben. Viele Zeichnungen, Tabellen und Diagramme veranschaulichen den Text und ermöglichen es, handlungsorientiert zu arbeiten. In den einzelnen
Lernbereichen werden Beispiele berechnet und Aufgaben zum Üben und Vertiefen zur
Verfügung gestellt. Im letzten Kapitel des Buches werden themenübergreifende Projekte im Umfang der Berufsschulabschlussprüfung dargestellt.
Zielgruppen
Die „Technische Mathematik Installations- und Heizungstechnik“ ist als Lernmittel für
Schüler, Schülerinnen und Auszubildende in der Berufsschule, in der Berufsfachschule
und im Berufskolleg sowie in der betrieblichen und überbetrieblichen Ausbildung konzipiert. Außerdem eignet es sich in der Meisterschule, Technikerschule und Akademie für
handwerkliche Berufe zur Wiedergewinnung und Sicherung des Grundwissens sowie
zur Vertiefung der Rohrnetzberechnungen und Anlagenauslegung. Daneben kann es in
der Praxis als Informationsquelle und als Nachschlagewerk dienen.
Autoren und Verlag sind allen Benutzern der „Technischen Mathematik Installations- und Heizungstechnik“
für kritische Hinweise und für Verbesserungsvorschläge dankbar.
Herbst 2009
Die Verfasser
3
Lernbereiche
Leitprojekt
6
5
FIL
T
T
DVGW
2
7 1
5
6
Steuerung
Z
4
2
7
4 1
Gas
T
TW
4
m3
FIL
Brennwertkessel
3
3
1 3
Speicher
für
Dachablaufwasser
1 Grundlagen
7 Gasanlagen
2 Rohrberechnungen
8 Heizungsanlagen
3 Rohrleitungsanlagen
9 Abgasanlagen
4 Trinkwasser-Erwärmungsanlagen
10 Raumlufttechnische
Anlagen
5 Entwässerungsanlagen
11 Elektroanschlüsse bei
SHK-Anlagen
6 Ableitung von Niederschlagswasser
12 Kostenrechnung
Inhaltsverzeichnis
1 Grundlagen
1.1
Lösungsweg technischer
Berechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Größen, Zahlenwert und Einheit . . . . .
Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rechnen mit dem Taschenrechner . . . .
Schaubilder, Diagramme und
Tabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.2
Dreisatz- und Prozentrechnen . . . . . . .
21
1.3
1.3.1
1.3.2
1.3.3
1.3.4
Längen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Längeneinheiten, Maßstäbe . . . . . . . . .
Teilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gebogene und gestreckte Längen . . . .
Pythagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
23
24
26
28
1.4
1.4.1
1.4.2
1.4.3
1.4.4
Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Flächeneinheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Flächen mit geraden Linien . . . . . . . . .
Flächen mit gebogenen Linien . . . . . . .
Zusammengesetzte Flächen . . . . . . . . .
29
29
29
32
34
1.5
1.5.1
1.5.2
1.5.3
1.5.4
1.5.5
1.5.6
1.5.7
Volumenberechnung . . . . . . . . . . . . . . .
Volumeneinheiten . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gleichdicke Körper . . . . . . . . . . . . . . . . .
Spitze Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Abgestumpfte Körper . . . . . . . . . . . . . .
Kugeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ringförmige Körper . . . . . . . . . . . . . . . .
Zusammengesetzte Körper . . . . . . . . . .
36
36
36
37
37
38
38
38
1.6
1.7
1.8
1.9
Masse und Dichte . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kraft und Gewichtskraft . . . . . . . . . . . .
Hebel und Drehmoment . . . . . . . . . . . .
Geradlinige und kreisförmige
Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mechanische Arbeit, Leistung
und Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
41
42
1.1.1
1.1.2
1.1.3
1.1.4
11
12
13
16
2.4
2.5
2.6
Rohroberflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rohrmasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rohrinhalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
52
53
2.7
2.7.1
2.7.2
2.7.3
Längen- und Volumenänderung . . . . . .
Längenänderung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dehnungsausgleich . . . . . . . . . . . . . . . .
Volumenänderung . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
54
56
58
3 Rohrleitungsanlagen
1.10
1.11
43
45
47
2 Rohrberechnungen
2.1
2.2
2.3
Rohrabmessungen . . . . . . . . . . . . . . . .
Freier Querschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . .
Querschnittsverminderung . . . . . . . . . .
49
50
51
3.1
3.1.1
3.1.2
3.1.3
Druck in Flüssigkeiten . . . . . . . . . . . . . .
Druckeinheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hydrostatischer Druck . . . . . . . . . . . . . .
Auftrieb in Flüssigkeiten . . . . . . . . . . . .
61
61
62
63
3.2
3.2.1
64
3.2.2
3.2.3
Strömung in Rohrleitungen . . . . . . . . .
Volumenstrom, Fließgeschwindigkeit,
Nennweite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Druckarten in Rohrleitungen . . . . . . . . .
Druckverluste in Rohrleitungen . . . . . .
64
67
68
3.3
3.3.1
3.3.2
3.3.3
3 3.4
Pumpenberechnungen . . . . . . . . . . . . .
Förderstrom und Förderdruck . . . . . . .
Pumpenleistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pumpenauswahl . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Druckerhöhungsanlagen DEA . . . . . . .
72
72
74
74
77
3.4
3.4.1
3.4.2
Rohrdimensionierung . . . . . . . . . . . . . .
Berechnungs- und Spitzendurchfluss .
Druckverluste, Rohrreibungsdruckgefälle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Auswahl der Rohrdurchmesser . . . . . .
79
79
3.4.3
83
89
4 Trinkwasser-Erwärmungsanlagen
4.1
Temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.2
4.2.1
4.2.2
Wärmemenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Wärmemenge bei Temperaturänderung 104
Wärmemenge zur Änderung des
Aggregatzustandes . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.3
4.3.1
4.3.2
Wassermischung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Berechnung von Temperaturen . . . . . . . 108
Berechnung von Wassermengen . . . . . 108
5
4.4
4.4.1
4.4.2
4.4.3
Energie und Leistung . . . . . . . . . . . . . .
Wärmeleistung und Erwärmzeit . . . . . .
Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Energiekosten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1
Zuschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
4.5
Volumenänderung bei Wasser . . . . . . . 120
6.2
Blechbedarf, Blechgewicht . . . . . . . . . . 171
4.6
4.6.1
4.6.2
Zirkulationsanlagen . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Kurzverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Vereinfachtes Verfahren . . . . . . . . . . . . . 123
6.3
4.7
4.7.1
Speichergrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Speicher für Einzel- und Gruppenversorgung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Speicher für Nachtaufheizung . . . . . . .
Speicherauswahl nach der
Bedarfskennzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bemessen von Dachrinnen und
Regenwasserleitungen . . . . . . . . . . . . . 173
Entwässerung bei Teilfüllung . . . . . . . . 173
Dachentwässerung mit
Druckströmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
4.7.2
4.7.3
113
113
113
116
129
129
130
6 Ableitung von Niederschlagswasser
6.3.1
6.3.2
6.4
Bemessen von Anlagen zur Regenwassernutzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
6.5
Längenänderung durch Temperaturänderung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
6.6
Projekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
131
4.8
Solaranlagen zur Trinkwassererwärmung . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.9
Wärmepumpen zur Trinkwassererwärmung . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
7 Gasanlagen
5 Entwässerungsanlagen
5.1
7.1
7.1.1
Gefälle von Rohrleitungen . . . . . . . . . . 139
7.1.2
5.2
5.2.1
5.2.2
5.2.3
5.2.4
5.2.5
5.2.6
5.2.7
5.3
5.3.1
5.3.2
5.3.3
5.3.4
5.4
5.4.1
5.4.2
5.4.3
5.5
5.6
6
Bemessen von Abwasser- und
Lüftungsleitungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schmutzwasserabfluss . . . . . . . . . . . . .
Anschlussleitungen . . . . . . . . . . . . . . . .
Schmutzwasser-Fallleitungen . . . . . . . .
Regenwasser-Fallleitungen . . . . . . . . . .
Sammel- und Grundleitungen . . . . . . .
Lüftungsleitungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rohrweitenberechnung Abwasser . . . .
142
142
143
145
146
148
149
151
Bemessen von Abwasserhebeanlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bemessen des Förderstromes . . . . . . .
Bemessen der Förderhöhe . . . . . . . . . .
Pumpengröße und Pumpenleistung . .
Behälter- und Schachtgröße . . . . . . . . .
156
157
157
159
160
Bemessen von Abscheide- und
Neutralisationsanlagen . . . . . . . . . . . . .
Fettabscheider . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Leichtflüssigkeitsabscheider . . . . . . . . .
Neutralisationsanlagen . . . . . . . . . . . . .
162
162
164
166
Längenänderung durch
Temperaturänderung . . . . . . . . . . . . . . . 167
Projekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
7.1.3
Gasgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Volumenänderung durch Druckunterschiede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Volumenänderung durch Temperaturunterschiede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Volumenänderung durch Druck- und
Temperaturunterschiede . . . . . . . . . . . .
189
189
190
190
7.2
7.2.1
7.2.1
Gasverbrauch beim Schweißen . . . . . . 192
Sauerstoffverbrauch . . . . . . . . . . . . . . . 192
Acetylenverbrauch . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
7.3
Gasverbrauch zur Stofferwärmung . . . 194
7.4
7.4.1
7.4.2
7.4.3
Geräteleistung und Wirkungsgrad . . . .
Nennleistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nennbelastung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5
Anschluss- und Einstellwerte . . . . . . . . 198
7.6
Kostenermittlung für Gasverbrauch . . 200
7.7
Raum- und VerbrennungsluftVerbund . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
7.8
Dimensionierung von
Niederdruckgasleitungen . . . . . . . . . . .
Diagrammverfahren . . . . . . . . . . . . . . .
Tabellenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . .
Berechnung von Flüssiggasleitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.8.1
7.8.2
7.8.3
7.9
195
196
196
197
204
204
211
216
Projekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
8.5.5
Druckverluste und Pumpenauslegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
8.6
8.6.1
8.6.2
8.6.3
8.6.4
Fußbodenheizung . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wärmeleistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wärmestromdichte . . . . . . . . . . . . . . . .
Fußboden-Oberflächentemperatur . . .
Rohrabstand und Heizwassertemperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Druckverlust und
Pumpenauslegung . . . . . . . . . . . . . . . . .
8 Heizungsanlagen
8.1
8.1.1
8.1.2
8.1.3
8.2
8.2.1
8.2.2
8.2.3
8.2.4
8.2.5
8.2.6
8.2.7
8.2.8
8.2.9
8.2.10
8.2.11
8.2.12
8.2.13
8.2.14
8.2.15
8.3
8.3.1
8.3.2
8.3.3
8.3.4
8.3.5
8.3.6
8.3.7
8.3.8
8.4
8.4.1
8.4.2
8.4.3
8.4.4
8.4.5
8.4.6
8.4.7
8.5
8.5.1
8.5.2
8.5.3
8.5.4
Wärmeübertragung . . . . . . . . . . . . . . .
Wärmeübergangswiderstände . . . . . . .
Wärmedurchgangswiderstand . . . . . . .
Wärmedurchgangskoeffizient,
U-Wert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Berechnung der Norm-Heizlast . . . . . .
Norm-Außentemperatur . . . . . . . . . . . .
Norm-lnnentemperatur . . . . . . . . . . . . .
Bauteilkennzeichnung . . . . . . . . . . . . . .
Gesamt-Norm-Wärmeverlust . . . . . . . .
Norm-Transmissionswärmeverluste . .
Norm-Lüftungswärmeverluste . . . . . . .
Lüftungswärmeverluste bei
freier Lüftung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lüftungswärmeverluste bei
maschineller Lüftung . . . . . . . . . . . . . . .
Räume mit unterbrochenem
Heizbetrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Norm-Heizlast eines Raumes . . . . . . . .
Norm-Heizlast eines Gebäudes . . . . . .
Auslegungsheizlast eines Raumes . . . .
Auslegungsheizlast eines Gebäudes . .
Bestimmung der Raummaße . . . . . . . .
Beispielrechnung Norm-Heizlast . . . . .
Heizflächen und Kesselgrößen bei
Zweirohrheizungen . . . . . . . . . . . . . . . .
Auslegungszuschlag . . . . . . . . . . . . . . .
Norm-Heizleistung . . . . . . . . . . . . . . . . .
Temperatur-Umrechnungsfaktor . . . . .
Leistungsminderungen . . . . . . . . . . . . .
Heizkörpergrößen . . . . . . . . . . . . . . . . .
Konvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Heizkesselgröße . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wärmetauscher . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rohrnetzberechnung und Pumpenauswahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Massenstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Druckverluste bei Zweirohrheizungen .
Einzelwiderstände . . . . . . . . . . . . . . . . .
Druckverluste in Teilstrecken . . . . . . . . .
Druckverluste in Thermostatventilen
und Mischern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rohrnetzauslegung und
Pumpendruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pumpenauswahl und
Rohrnetzkennlinien . . . . . . . . . . . . . . . .
Einrohrheizungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
Massenstrom im Heizkreis . . . . . . . . . .
Gleiche Temperaturdifferenzen . . . . . . .
Gleiche Massenströme . . . . . . . . . . . . .
Bestimmung der Heizflächen . . . . . . . .
225
225
225
226
228
228
228
229
230
230
232
232
233
233
234
234
234
234
235
235
8.6.5
8.7
8.7.1
8.7.2
8.7.3
8.7.4
8.7.5
8.7.6
8.7.7
8.8
8.8.1
8.8.2
8.9
268
269
272
272
272
273
273
274
274
275
Öldurchsatz und Auswahl
von Brenndüsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
Öldurchsatz bei Brennerdüsen . . . . . . . 276
Bestimmung der Düsengröße . . . . . . . 276
8.9.3
Brennstoffbedarf und Brennstoffkosten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Brennstoffbedarf für die Gebäudeheizung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Brennstoffbedarf für die Trinkwassererwärmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Brennstoffkosten . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.10
Energiekostenvergleich . . . . . . . . . . . . . 279
8.11
Projekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
8.9.1
239
239
239
241
242
243
244
245
246
Druckausdehnungsgefäß und
Sicherheitsventil . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wasserinhalt der Heizungsanlage . . . .
Heizwasserausdehnung . . . . . . . . . . . .
Wasservorlage im MAG . . . . . . . . . . . .
Vordruck und Fülldruck im MAG . . . . .
Enddruck im MAG . . . . . . . . . . . . . . . . .
Größenbestimmung des MAG . . . . . . .
Membran-Sicherheitsventil . . . . . . . . .
266
266
266
267
8.9.2
278
278
278
279
9 Abgasanlagen
248
248
248
249
249
9.1
Luftbedarf bei der Verbrennung . . . . . . 285
9.2
9.2.1
Abgasverluste und Wirkungsgrade . . .
Abgasverluste und feuerungstechnischer Wirkungsgrad . . . . . . . . . . .
Auskühlungsverluste und Kesselwirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Anlagenverluste und Anlagenwirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
250
9.2.2
252
9.2.3
257
260
260
260
261
262
286
286
288
288
9.3
Abgasvolumen und Verbindungsstücke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
9.4
9.4.1
9.4.2
Schornsteine, Abgasleitungen . . . . . . . 292
Einfachbelegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
Mehrfachbelegung . . . . . . . . . . . . . . . . 294
7
11.3.2 Elektrische Leistung bei Dreiphasenwechselspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
11.3.3 Phasenverschiebung . . . . . . . . . . . . . . . 336
10 Raumlufttechnische
Anlagen
10.1
10.1.1
10.1.2
10.1.3
10.1.4
Behaglichkeitskriterien . . . . . . . . . . . . .
Raumlufttemperatur . . . . . . . . . . . . . . .
Raumluftgeschwindigkeit . . . . . . . . . . .
Aktivitätsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Luftfeuchte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2
Grundlagen zur Berechnung von
raumlufttechnischen Anlagen . . . . . . . .
Einteilung nach DIN EN 13799 . . . . . . .
Außenluft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Außenluft nach dem Mindestaußenluftstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Außenluftbedarf nach der maximalen
Arbeitsplatz-Konzentration (MAK) . . . .
Außenluftbedarf nach der
Luftwechselzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Luftumwälzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.1
10.2.2
10.2.3
10.2.4
10.2.5
10.2.6
297
297
297
298
299
11.4
Anschlussleistung und Absicherung . . 339
11.5
Elektrische Energie . . . . . . . . . . . . . . . . 340
11.6
Energiekosten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
11.7
299
299
299
11.7.1
11.7.2
Erwärmzeit und Massenstrom
elektrischer Wassererwärmer . . . . . . . . 343
Erwärmzeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
Massenstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
11.8
Projekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
300
301
302
303
10.3
10.3.1
10.3.2
10.3.3
10.3.4
10.3.5
Berechnungen an Luftkanälen . . . . . . .
Volumenstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kontinuitätsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gleichung von Bernoulli . . . . . . . . . . . .
Hydraulischer Durchmesser . . . . . . . . .
Druckverlustberechnung in
Luftkanälen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
303
303
304
306
308
10.4
10.4.1
10.4.2
10.4.3
10.4.4
Ventilatorleistung und Ventilatorauswahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ventilatorkennlinien . . . . . . . . . . . . . . .
Anlagenkennlinie . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gesetzmäßigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . .
Auswahldiagramme . . . . . . . . . . . . . . .
313
313
314
314
315
10.5
10.5.1
10.5.2
10.5.3
10.5.4
10.5.5
Zustandsänderungen der Luft . . . . . . .
Mollier-Diagramm für feuchte Luft . . . .
Lufterwärmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Luftkühlung und Entfeuchtung . . . . . . .
Luftbefeuchtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Luftmischung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
315
317
319
320
321
322
10.6
10.6.1
10.6.2
10.6.3
10.6.4
Wärmeleistung, Kühlleistung von
Klimageräten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Äußere Wärmequellen . . . . . . . . . . . . .
Innere Wärmequellen . . . . . . . . . . . . . .
Kühllast im Sommer . . . . . . . . . . . . . . .
Heizlast im Winterbetrieb . . . . . . . . . . .
323
323
323
324
325
10.7
Projekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
309
12 Kostenrechnung
12.1
Kostenarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
12.1.1 Einzel- und Gemeinkosten . . . . . . . . . . 347
12.1.2 Fixe und variable Kosten . . . . . . . . . . . . 347
12.2
12.2.1
12.2.2
12.2.3
12.2.4
12.2.5
Zuschlagskalkulation . . . . . . . . . . . . . .
Entstehung des Angebotspreises . . . . .
Materialkosten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lohnkosten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gemeinkosten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sonderkosten, Gewinn,
Mehrwertsteuer . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
348
348
348
350
351
12.3
12.3.1
12.3.2
12.3.3
Angebotsbearbeitung . . . . . . . . . . . . . .
Bauvertragsrecht . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vorkalkulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nachkalkulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
354
354
354
361
12.4
12.4.1
12.4.2
12.4.3
Gerätekosten als Sonderkosten . . . . . .
Maschinenkosten . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kraftfahrzeugkosten . . . . . . . . . . . . . . .
Schweißkosten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
362
362
363
364
13 Projekte und Aufgaben
13.1
Projekte und Aufgaben im
Handlungsfeld Wassertechnik . . . . . . .
13.1.1 Projekt 1: Einfamilienhaus . . . . . . . . . .
13.1.2 Projekt 2: Mehrfamilienhaus . . . . . . . . .
13.1.3 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2
11 Elektroanschlüsse bei
SHK-Anlagen
11.1
11.2
11.3
11.3.1
8
Ohmsches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . .
Leiterwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Elektrische Leistung . . . . . . . . . . . . . . .
Elektrische Leistung bei Wechselspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
353
329
331
332
332
13.2.1
13.2.2
13.2.3
13.2.4
Projekte und Aufgaben für die
Handlungsfelder Wärme- und
Lufttechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Projekt 1: Marbacher Weg . . . . . . . . . . .
Projekt 2: Etagenwohnung – Ulm . . . . .
Projekt 3: Tennishalle . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
365
365
368
369
371
371
373
374
375
Anlagen: Tabellen und Formulare . . . . . . . . . . . 377
Sachwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
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Hochstadt
SCHARR Friedrich Scharr oHG
Stuttgart
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Gebr. Beul GmbH & Co. KG
Attendorn
Gütegemeinschaft Bauelemente
aus Titanzink e.V.
Düsseldorf
Schock Bad GmbH
Treuchtlingen
Beuth Verlag GmbH
Normenwesen
Berlin
Halberg GmbH
Entwässserungssysteme
Köln
Buderus GmbH
Wetzlar
Hans Grohe GmbH & Co. KG
Schiltach
Centra Bürkle GmbH
Regelsysteme
Ostfildern
Hansa Metallwerke AG
Stuttgart
D + S Sanitärprodukte GmbH
Schriesheim
Hilti Aktiengesellschaft
Schaan
DAL – Georg Rost & Söhne GmbH
Porta Westfalica
HOESCH Metall + Kunststoffwerk
GmbH & Co.
Düren
Dallmer GmbH + Co. Sanitärtechnik
Arnsberg
Honeywell AG, Braukmann-Armaturen
Mosbach
Danfoss GmbH
Wärme- und Kältetechnik
Heusenstamm
Ideal-Standard
Bonn
Dornbracht Aloys F.GmbH & Co. KG
Armaturenfabrik
Iserlohn
DURAVIT AG
Hornberg
DVGW
Deutscher Verein des
Gas- und Wasserfaches e.V.
Bonn
E. Missel GmbH Dämmsysteme
Stuttgart
EGGEMANN GmbH
Iserlohn
Elster-Handel GmbH
Mess- und Regeltechnik
Mainz-Kastel
Eternit AG
Berlin
Joh. Vaillant GmbH u. Co.
Remscheid
JRG Gunzenhausen GmbH
Rohrsysteme
Neuburg/Donau
JUNG PUMPEN GmbH & Co.
Steinhagen
KABELWERK EUPEN AG
Kunststoffrohrwerk
Eupen
Schubert & Salzer
Ingolstadt-Armaturen GmbH
Ingolstadt
SEPPELFRICKE Systemtechnik
GmbH & Co.
Gelsenkirchen
Sikla GmbH
Befestigungstechnik
Schwenningen
Steinzeug GmbH
Köln
STIEBEL ELTRON GmbH & Co. KG
Holzminden
Testo GmbH & Co.
Lenzkirch
UNICOR Rohrsysteme GmbH
Hassfurt
VDI
Verein deutscher Ingenieure
Düsseldorf
Viega Franz Viegener II,
Sanitär- und Heizungssysteme
Attendorn
Viessmann Werke GmbH & Co.
Allendorf
KERAMAG Keramische Werke AG
Ratingen
Villeroy & Boch AG
Mettlach
KESSEL GmbH Entwässerungstechnik
Lenting
Wavin GmbH Kunststoff-Rohrsysteme
Twist
KEUCO GmbH & Co. KG
Hemer
LOROWERK K. H. Vahlbrauk
GmbH & Co. KG
Bad Gandersheim
F. W. Oventrop KG
Olsberg
Lunos Lüftung GmbH & Co.
Ventilatoren KG
Berlin
Flamco FLEXCON GmbH
Genthin
Metabowerke GmbH & Co.
Nürtingen
Weishaupt GmbH
Brenner und Heizsysteme
Schwendi
Wieland-Werke AG Metallwerke
Ulm
WILO GmbH
Dortmund
Zentralverband SHK
St. Augustin
9
1 Grundlagen
1.1
Lösungsweg technischer
Berechnungen
1.2
Dreisatz- und Prozentrechnen
1.3
Längen
1.4
Flächen
1.5
Volumenberechnung
1.6
Masse und Dichte
1.7
Kraft und Gewichtskraft
1.8
Hebel und Drehmoment
1.9
Gradlinige und kreisförmige
Bewegung
6
5
FIL
T
T
DVGW
7 1
2
5
6
Steuerung
Z
4
2
7
4 1
Gas
T
TW
m3
FIL
Brennwertkessel
3
3
1 3
Speicher
für
Dachablaufwasser
1.10 Mechanische Arbeit, Leistung und
Wirkungsgrad
1.11 Aufgaben
Leitprojekt
M
x2
1
MR
9
C
AC
4
5
6
x
1
2
3
+
EXP
=
0
10
8
OFF
Min
x
7
Grundlagen
%
M+
1 Grundlagen
1.1 Lösungsweg technischer
Berechnungen
Die Lösung von Aufgabenstellungen in der
folgenden Reihenfolge hat sich bewährt:
● Aufgabentext analysieren
Der Text ist langsam durchzulesen, Skizzen
oder Zeichnungen sind zu erfassen. Die Fragestellung, die oft einen Lösungsweg vorgibt,
ist zu berücksichtigen.
● Formel aufschreiben
Die Formel ist entweder bekannt oder muss in
der Formelsammlung gesucht werden.
● Formel umstellen
Steht die gesuchte Größe auf der rechten
Seite, ist die Formel umzustellen. Fehlende
Größen werden durch Nebenrechnungen ermittelt und in die Formel übernommen.
● Übersichtliche Darstellung
Ein übersichtlicher Aufbau des Rechenwegs
hilft Fehler zu vermeiden. Deshalb schreibt
man alle Gleichheitszeichen untereinander.
Bruchstriche stehen in Höhe des Gleichheitszeichens und werden mit dem Lineal gezeichnet. Ergebnisse sind z. B. durch Unterstreichen
mit dem Lineal hervorzuheben.
Beispiel:
Es ist der freie Querschnitt eines Kupferrohres
Cu 18 1 zu ermitteln (Bild 1 und Bild 2).
freier Querschnitt
1
● Rechengrößen zusammenstellen
Der Aufgabenstellung werden die gegebenen
Größen entnommen. Sie werden in Form einer
Gleichung mit Formelzeichen, Zahlenwert und
Einheit aufgeschrieben.
● Ergebnis runden
Das Ergebnis ist in einer sinnvollen Einheit anzugeben und zu runden. Beim Runden werden
Werte unter …,5 abgerundet, Werte darüber
rundet man auf.
18
Technische Berechnungen sind erforderlich,
um z. B. Abstände und Rohrlängen zu ermitteln
oder Dimensionierungen durchzuführen. Eine
unverzichtbare Hilfe sind hierzu Tabellenbücher und Planungsunterlagen. Diesen können Informationen entnommen werden, die
Ausgangsgrößen zur Lösung der Aufgabenstellung liefern oder den Rechenweg vereinfachen.
Bild 1: Querschnitt eines Kupferrohres
Geg.: D = 18 mm s = 1 mm
Ges.: A
Rechengrößen
zusammenstellen
A=
d2 ·
4
Formel
aufschreiben
● Zahlen mit Einheiten einsetzen
Die Buchstaben der Formel werden durch Zahlenwert und Einheit ersetzt.
● Ergebnis ausrechnen
Das Ergebnis besteht aus Zahlenwert und Einheit. Deshalb muss man beides ausrechnen.
Zweckmäßig ist, zunächst eine Überschlagsrechnung vorzunehmen und dann die genaue
Rechnung mit dem Taschenrechner durchzuführen. Berechnungen mit dem Taschenrechner sollten grundsätzlich zweimal ausgeführt
werden, um Bedienungsfehler auszuschließen.
Das Kürzen und Berechnen der Einheiten ist eine zusätzliche Kontrolle des Rechenwegs und
ist deshalb unverzichtbar.
Nebenrechnung:
d=D–2·s
d = 18 mm – 2 · 1 mm
Zahlen mit
Einheiten
einsetzen
d = 16 mm
A = 16 mm · 16 mm ·
4
Ergebnis
ausrechnen
A = 201,06 mm2
Ergebnis
runden
Überschlagsrechnung:
4
16 · 16 ·
60 · 3
4
1
180
A = 201 mm2
Bild 2: Lösungsweg
11
..
1.1.1 Größen, Zahlenwert und Einheit
Die Mehrzahl der technologischen Werte, die
z. B. zu messen, dem Tabellenbuch zu entnehmen oder zu berechnen sind, stellen physikalische Größen dar. Diese Größen sind ein
Produkt aus Zahlenwert und Einheit (Bild 1).
Zur vereinfachten Darstellung der Größen werden Kurzzeichen verwendet. Zwischen Zahlenwert und Einheit wird zur Vereinfachung der
Schreibweise auf das Malzeichen verzichtet.
Kurzzeichen benötigt man auch zum Aufstellen
von Formeln und deren Berechnung, deshalb
werden sie auch als Formelzeichen bezeichnet.
Größe
Länge = Zahlenwert · Einheit
Kurzzeichen
oder
Formelzeichen
=
12
=
12 m
·
m
Bild 1: Grundbegriffe bei Größen
Eine physikalische Größe ist das Produkt
aus Zahlenwert und Einheit
Die Bezeichnung der Größen ist genormt und
wird Tabellen entnommen (Tabelle 1).
Formelzeichen
Einheit
Kleinbuchstabe
Groß
buchstabe
å
∫
©
∂
™
Ω
ª
«
⁄
Δ
¬
μ
~
≈
ø
π
®
‚
†
¨
ƒ
ç
¥
∑
Å
‹
Ì
¤
‰
ˇ
Ó
»
Û
ˆ
fl
˘
›
Ù
Ø
∏
¸
Í
˝
Á
Ï
Ç
‡
„
Einheitenzeichen
Name
Verwendung
Größe
Alpha
Beta
Gamma
Delta
Epsilon
Zeta
Eta
Theta
Jota
Kappa
Lambda
My
Ny
Xi
Omikron
Pi
Rho
Sigma
Tau
Ypsilon
Phi
Chi
Psi
Omega
Winkel
Winkel
Winkel
Unterschied
Leistungszahl
Verlustbeiwert
Wirkungsgrad
Temperatur
Wärmeleitfähigkeit
Rauigkeit
Kreisberechnung
Dichte
Summe
Feuchte, Heizlast
Widerstand
Die Grundeinheiten sind oft nicht anschaulich,
da sie manchmal einen zu kleinen oder zu
großen Zahlenwert ergeben. Aus diesem
Grunde benutzt man Vorsilben für Teile oder
Vielfaches der Grundeinheiten (Tabelle 3).
Beispiel:
1 Zentimeter
Tabelle 1: Größen, Formelzeichen und
Einheiten (Auswahl)
Größe
Tabelle 2: Griechisches Alphabet
⇓
Vorsilbe
=
1
m
100
⇓
Umrechnung
Länge
§
Meter
m
Zeit
t
Sekunden
s
Temperatur
«
Grad Celsius
°C
Vorsilbe
Umrechnung
Geschwindigkeit
v
Meter durch
Sekunde
m
s
Volumenstrom
V·
Liter durch
Sekunde
î
s
Mega ...
Kilo ...
Hekto ...
Deka ...
1 000 000 = 106
1 000 = 103
100 = 102
10 = 101
Dichte
®
Kilogramm
durch
Kubikmeter
kg
3
m
Leistung
P
Watt
W
Zur genauen Beschreibung der Größen werden oft auch Buchstaben des griechischen Alphabets benutzt (Tabelle 2).
12
=
1 cm
⇓
Einheit
Tabelle 3: Vorsilben der Einheiten
Dezi ...
Zenti ...
Milli ...
Mikro ...
1
= 0,1 = 10–1
10
1
= 0,01 = 10–2
100
1
= 0,001 = 10–3
1 000
1
= 0,000 001 = 10–6
1 000 000
Einheitenzeichen
M…
k…
h…
da …
d…
c…
m…
μ…
1.1.2 Gleichungen
Mit Gleichungen werden mathematische Zusammenhänge und wissenschaftliche Gesetze
dargestellt. Die Ausdrücke links und rechts
vom Gleichheitszeichen sind gleich groß. Sie
werden deshalb oft mit einer Waage verglichen (Bild 1).
x
=
10 +
25
x
=
10 +
25
linke Seite
Gleichheitszeichen
gesuchter Wert steht rechts
=
25 + 10
25
=
+ 10
Bild 3: Vollständiger Seitentausch
rechte Seite
Gleichungen dienen dazu, um aus bekannten
Werten, die neuen, unbekannten Werte zu berechnen. Diese gesuchten Werte werden in
Zahlengleichungen meist mit x und in Größengleichungen mit der geforderten Größe, z. B.
Länge §, bezeichnet. Diese Größe steht links
(Bild 2).
Werden nur Teile der Gleichung verändert,
muss dies auf beiden Seiten vorgenommen
werden. Daraus ergibt sich, dass beim Seitenwechsel eines Teils der Gleichung, dessen Vorzeichen zu wechseln ist (Bild 4).
Werte hinzufügen: x = 35
x + 5
=
35 + 5
x + 5 = 35 + 5
x
= 40
Werte abziehen:
gesuchter
=
Wert
Zahl
Zahlengleichung
= 10 cm + 25 cm
= 35 cm
gesuchter
=
Wert
x
Die Seiten einer Gleichung dürfen
vollständig getauscht werden
Bild 1: Waage als Symbol der Gleichung
x = 16 + 12
x = 28
x
Bei Größengleichungen werden die Einheiten
stets zum Zahlenwert geschrieben. Bei den
Einheiten wird wie mit einer Zahl gerechnet,
sie können z. B. miteinander multipliziert oder
dividiert werden. Die richtige Einheit ist die
Voraussetzung für die vollständige Angabe
des Ergebnisses.
Umformen von Gleichungen
Gleichungen sind oft umzuformen, damit die
gesuchte Größe alleine links im Zähler steht
und positiv ist. Es ist möglich, die Seiten vollständig zu tauschen oder einzelne Rechenvorgänge nach besonderen Vorschriften durchzuführen.
Ein vollständiger Seitentausch erfolgt, ohne
dass Vorzeichen geändert werden müssen
(Bild 3). Die Waage bleibt im Gleichgewicht.
40
x + 5 = 40
x
x
Größengleichung
Bild 2: Arten der Gleichungen
– 5
– 5
x + 5 =
Größe
Veränderungen an
einer Gleichung
müssen auf beiden
Seiten vorgenommen werden
Mit dem Seitenwechsel
wechselt auch das
Vorzeichen
= 40 – 5
= 35
Werte vervielfachen und teilen:
2·x
=
35 · 2
2 · x = 35 · 2
2 · x = 70
Seitenwechsel
x
x
= 70 : 2
= 35
Bild 4: Umstellregeln bei Gleichungen
Umstellregeln beim Seitenwechsel:
aus
aus
+
–
wird
wird
–
+
aus
aus
·
:
wird
wird
:
·
Der Seitenwechsel erfolgt immer mit der
gegenteiligen Rechenoperation.
13
..
ziert oder mit der Klammer einschließlich des
Vorzeichens die Seite gewechselt. Die entsprechenden Rechenschritte sind mit besonderer
Sorgfalt durchzuführen.
Beispiele:
5m=§
⇔
§=5m
⇒ Beide Seiten dürfen vertauscht werden.
§+1m=6m
⇔
§=6m–1m
⇒ aus + wird – und aus – wird +
2 · § = 10 m
⇔
§ = 10 m : 2
⇒ aus · wird : und aus : wird ·
ohne Rechenzeichen
U = 2( + b)
geschützter Inhalt
Potenzen und Wurzeln in Gleichungen sind
erforderlich, wenn z. B. Flächen und Längen
bestimmt werden müssen (Bild 1).
2
2
=5m
= 52 · m 2
= 25 m2
2
2
U = 2(3 m + 2 m)
U=2·5m
U = 10 m
= 25 m2
= 25 m2
= 5m
Klammerinhalt wird
zuerst berechnet
Rechenzeichen wird
geschrieben
Bild 3: Berechnen des Klammerinhalts
Auf beiden Seiten müssen dieselben
Rechenschritte mit Größe und Einheit
vorgenommen werden
U=2(3m+2m)
multiplizieren mit jedem Glied
der Klammer
U=2· 3m+2·2m
Bild 1: Gleichungen mit Potenzen und Wurzeln
U = 10 m
Zu beachten ist, dass bei umfangreicheren
Gleichungen die Wertigkeit von Klammer-,
Punkt- und Strichrechnung berücksichtigt
werden muss.
Klammern in Gleichungen benötigt man, um
die Reihenfolge der Rechenschritte festzulegen
und Rechnungen zu vereinfachen. Beim Ausklammern werden gemeinsame Werte in der
Regel als Faktor vor die Klammer geschrieben.
Das dazugehörige Multiplikationszeichen vor
der Klammer wird nicht geschrieben (Bild 2).
U= +b+ +b
U=2· +2·b
b
Gleiche Größen werden
zusammengefasst:
Die gemeinsamen Faktoren
werden ausgeklammert:
Bild 4: Multiplizieren in die Klammer
10 m = 2 ( + 2 m)
10 m = 1 ( + 2 m)
2
5m= +2m
5m–2m=
3m=
=3m
Seitenwechsel des Faktors
(aus · wird :)
Klammer kann entfallen
(aus + wird –)
Seitentausch
Bild 5: Entfernen eines Faktors vor der Klammer
Klammern und Brüche sind Bestandteile vieler
Formeln, hierbei ist zu beachten, dass ein
Bruchstrich eine Klammer ersetzt und umgekehrt (Bild 6).
U = 2 ( + b)
Bild 2: Klammersetzung
Der Inhalt der Klammer entspricht einer Zahl,
die durch diese Klammer geschützt wird. Zum
Weiterrechnen müssen Klammern oft entfernt
werden.
Klammern können entfallen, wenn ihr Inhalt
berechnet wird, ihr Faktor + 1 ist, oder der Faktor in die Klammer multipliziert wird (Bild 3,
Bild 4 und Bild 5). Stört ein negatives Vorzeichen vor der Klammer, wird mit – 1 multipli14
D=s+d+s
Zusammenfassung gleicher
Größen
D = 2s + d
vollständiger Seitentausch
2s + d = D
2s = D – d
Seitenwechsel von d
s = (D – d ) : 2
Faktor wechselt die Seite
D–d
s=
2
Klammer und Bruchstrich
sind gleichwertig
Bild 6: Gleichung mit Klammern und Brüchen
Aufgaben
e) 5x + 2 (6 + x) – 3 = 8 (x + 7) – 16
1 Das Ergebnis ist sinnvoll zu runden.
f) (x + 1) · 4 – 5x + 6 = – 3x + 20
a) 0,8214 m + 1,01324 m
7 Die Größengleichungen sind zu lösen.
b) 14,341 cm + 20,73 cm + 3,21 cm
c) 132,12 mm – 9,361 mm – 10,54 mm
a) U – 16 m = 64 m – 12 m
d) 9,362 m2 – 0,4536 m2 + 21,48 m2
b) A = 2 (18 m2 + 7 m2)
e) 18,427 kg + 5,7623 kg – 4,789 kg
c) A = 0,64 m2 + 3,56 m2 + 4 (1,2 m2 – 0,8 m2)
f) 0,037 kg + 1,3521 kg + 0,561 kg
d) § – 2,45 m = 4,85 m – 5 (0,26 m – 0,12 m)
g) 34,61 + 7,851 – 0,951 – 234,61 + 466,341
3,14
e) V = 1,2 m · 1,2 m · · 3,6 m – 2,2 m3
4
h) 76,5 N – 4,76 N – 24,85 N + 21,22 N
2 Die Lösungen sind überschlägig zu bestimmen.
a) 49 · 105 + 152 · 3
3,14
b) 890 · + 69 · π
4
3 10 0
3,14
e) + 149 · 3,14
4
g) 3608 : 9 + 124 · 8
8 Die Formeln sind nach jedem Formelzeichen
umzustellen.
b) 1980 · π + 460
a) U = 2 (§ + b)
b) A = § · b
3,14
d) 205 · + 210
20
102 · 13
f) 460 · 12 + 40
24 · 4 + 298
h) + 110
42
c) A = d · π · §
d) A = 6a2
A·h
e) V = 3
§1 + §2
f) A = ·b
2
π
h) A = d2 · 4
A1 + A 2
j) V = · h
2
3 Wozu werden folgende griechischen Buchstaben verwendet?
a) å
b) ©
c) „
d) π
e) ®
f) μ
4 Welche Bedeutung haben folgende Vorsilben?
a) M
b) da
c) m
d) h
e) c
f) k
5 Die Zahlengleichungen sind zu berechnen.
a) x + 50 = 70
b) x – 12 = 48
c) 6x – 12 = 60
d) 4x – 42 = 58
e) 16 – 3x = – 14
f) 4 = 2x + 6
g) 7x + 14 = 3x + 54
h) x + 9 = – 3x + 11
6
i) = 0,5
x
0,9
k) 4,5 = x
4
m) 1 = (x + 2) · 3
18
j) – 5 = 13
x
l) 2x = 3 (x + 1)
n) 2 (3x – 7) = 28 – x
6 Die Gleichungen mit Quadratzahlen, Wurzeln
und Klammern sind zu lösen.
a) x2 = 160 – 16
b) 5x 2 – 48 = 4x 2 + 1
c) x = ;苶
38 – 13
苶6
苶7
苶苶
苶苶
2
0苶–苶42
0
d) x = Ö
10
g) n1 · d1 = n2 · d2
d·π·s
i) A = 2
9 Für die Textaufgaben ist zuerst eine Formel zu
erstellen und dann die Lösung zu berechnen.
a) Von einem Stab Kupferrohr der Dimension
12 1 von 5 m Länge werden mit einem Rohrabschneider nacheinander 76 cm, 137,5 cm,
36 cm und 231,5 cm abgetrennt.
Wie lang ist der Rest?
b) Ein Lieferwagen hatte ohne Einbauten eine
Zulademöglichkeit von 800 kg. Die im Wagen
eingebaute Werkstatteinrichtung wiegt 220
kg. Es werden eine Gewindeschneidmaschine
von 51 kg, zwei Werkzeugkoffer von je 20 kg
und ein Koffer mit einem Bohrhammer von
16 kg zugeladen.
Wie viel kg können noch genutzt werden?
c) Wie viel Stangen Gewinderohr zu je 6 m Länge erhält man für 100 €, wenn 1 m 2,35 €
kostet?
d) Ein Lüftungskanal mit einer Luft durchströmten Fläche von 3200 cm2 teilt sich in zwei
gleich große quadratische Rohre auf.
Welche Fläche haben diese Rohre jeweils und
wie groß sind die Seitenlängen?
Dabei gilt: Ages = 2 · A1.
e) Das Gefälle einer Abwasserleitung soll sich
wie 1 : 50 verhalten.
Wie groß ist, der Höhenunterschied bei einer
6 m langen Abwasserleitung?
15
..
1.1.3 Rechnen mit dem Taschenrechner
Taschenrechner sind ein unentbehrliches Hilfsmittel, um schnell Berechnungen durchführen
zu können. Diese sind mit ihm zwar schnell
auszuführen, doch müssen die grundlegenden
Rechenregeln beachtet werden.
Beim Kauf eines Taschenrechners ist zu
berücksichtigen, dass mindestens die Zahl π
und die Quadratwurzel als Funktionstasten
vorhanden sind, da sie z. B. bei Rohrdimensionierungen oft benötigt werden.
Weitere Funktionen sind bei technisch-wissenschaftlichen Rechnern nötig. Diese Rechner
sind Hilfsmittel, um umfangreichere, wiederkehrende Rechenschritte, wie sie z. B. bei der
Auswertung von Laborversuchen nötig sind,
schnell durchzuführen (Bild 1).
M
x2
1
%
OFF
Min
x
Speichertasten
Funktionstasten
Display
Speicherfunktion
aktiv
MR
L = 2 · 12 m + 2 · 8 m
Punktrechnung zuerst
Klammer
zuerst
2 · 12 m = 24 m
2 · 8 m = 16 m
dann Strich24 m + 16 m = 40 m
rechnung
L = 40 m
Punkt- und Strichrechnung
9
C
4
5
6
x
1
2
3
+
EXP
=
0
AC
M+
Bild 1: Technisch-wissenschaftlicher Rechner
Rechenbeispiele am einfachen Taschenrechner
Bei Taschenrechnern werden die Aufgaben
eingegeben, wie man sie schreibt, von links
nach rechts. Dabei ist die dem Rechner einprogrammierte Rechenlogik zu beachten.
Punktrechnung geht vor Strichrechnung. Dies
ist bei Aufgaben mit Klammern zu berücksichtigen. Deshalb werden Klammern zuvor in einer Nebenrechnung berechnet (Bild 2).
16
2 · 20 m = 40 m
L = 40 m
Klammerrechnung
Die Rechenfolge von Klammer, Punkt- und
Strichrechnung ist stets zu beachten.
Taschenrechner sind unterschiedlich. Deshalb
ist die einprogrammierte Rechenlogik zu
prüfen und zu beachten.
Man kann Zwischenrechnungen vermeiden,
wenn der Rechner Funktionstasten besitzt, wie
z. B. ein technisch-wissenschaftlicher Rechner
(Bild 1).
Rechenbeispiele am technisch-wissenschaftlichen Rechner
Diese Rechner besitzen Zusatzfunktionen, wie
z. B. Klammern und Speicher.
Beispiel:
Rechentasten
Zifferntasten
8
12 m + 8 m = 20 m
Bild 2: Rechenfolge
A = 2 · 12 m + 2 · (12 m – 4 m)
7
L = 2 (12 m + 8 m)
Rechenfolge
2 * 12 + 2 * (12 - 4) = 40
Die Klammern müssen unbedingt am Rechner eingegeben werden.
Speicher vereinfachen wiederkehrende Rechenoperationen mit gleichen Zahlen. Im Display
ist zu erkennen, ob im Speicher eine Zahl abgelegt ist. Die Bedienung des Speichers erfolgt
meist über vier Zusatztasten (Bild 3).
Min
ersetzt den vorherigen Speicherinhalt
durch die eingegebene Zahl
M+
addiert weitere Zahlen zur Zahl im
Speicher
MR
zeigt den Inhalt des Speichers an
0
und Min
oder
AC
löscht den Speicherinhalt
und Min
Bild 3: Speicherfunktionen eines Taschenrechners
Aufgaben: Rechnen mit dem Taschenrechner
Die Ergebnisse sind auf höchstens zwei Stellen
nach dem Komma zu runden.
5 Quadratzahlen und Wurzeln
a) 32,52
b) 252 · 0,785
c) 52,052 · 0,5 · 3,2
d) (75,5 – 7,6)2 : 4
e) 7 ·
1 Addition und Subtraktion
2,12
f) 4,2 · (6,05 – 2,16)2
g) (9,23 – 0,34 + 2,7) · 5 + 7,252
a) 45,12 + 237,985 + 2,569+ 587,5
苶0
苶 · 0,36
h) ;5
苶,6
苶
j) 8,9 · ;苶
92
j) 2,5 · ;苶
8苶
8苶
,6苶–苶5苶
6苶
,2
苶
3苶
6苶
5
k) Ö
87
苶6
苶苶
苶苶
4
,1苶–苶5
,6
l) Ö
21,4
n) 3,2 · y苶
8,24 –苶
3 · 0,苶
61
苶4
苶苶
苶
4
,5苶+苶3苶,苶
2苶·苶π
m) Ö
5,2 – 2,1
b) 0,576 + 1,236 + 0,098 + 393,82
c) 98,456 – 6,7823 – 0,458 – 21,7923
d) – 0,45 + 6,734 + 0,0457 – 4,361
e) 8,427 m + 5,062 m –1,789 m + 0,675 m
f) 6,033 kg + 1,657 kg – 0,561 kg – 2,675 kg
g) 94,6 î – 7,85 î – 0,65 î + 275,6 î – 66,375 î
h) 60,5 N + 14,75 N – 34,65 N + 51,28 N
6 Rechnen mit dem Speicher
a) (7,21 – 1,4) · 8 – 2,1 · (23,2 – 7,05)
b) (56,2 – 2,11 + 22,52) · 3,1 – 22,52
2 Multiplikation und Division
c) 333 · π + 2 · (250 · π + 333 · π)
a) 4,49 · 78,05
b) 8,986 · 376,60
c) 0,572 · 45,6 · 2,76
d) – 756,2 · 0,0221
d) 60 · π – 14 + 3 · (60 · π + 21)
e) 935,67 : 23,42
f) 0,0547 : 2,43
e) (120 · 2,1 + 65 · 0,2 + 3 · π) : 45,2
g) 67,2 · π
h) 3,46 · π : 7,2
i) 0,078 : π · 64,5
j) – 7,89 : 2,21
7 Gemischte Aufgaben
a) 181,7 · π + 4861 – 591,12 + 3,1 · 0,88
3 Multiplikation und Brüche
4,67 · 3,14
a) 8,32
5,84 · 2,67 · 0,45
b) 8,74
0,98 · 5,69
c) 2,56 · 1,76
4,56 · 0,43 · 0,02
d) 6,5 · 0,1 · 0,21
12
e) 0,34 · 2,76 · 0,75
– 43,6 · 6,461
f) 0,55 · 2,91
Es ist zu beachten, dass Produkte im Nenner
stets als Division auszuführen sind.
4 Rechnen mit Klammern
96 · π
b) – 66,5 + 18,2 · π + 0,65 ·3,2
15
4,12 · 3,14
c) 54,6 – + 44,5 · 2,1
0,16 · 4
d) 4,18 · (10,12 – 4,16) + 57,6 · π
e) 16 · π + 122 · π + 196
125,2 · 3,5 – 43,1
f) + 56,2 · 3,1
11
苶1
苶2
苶 + 3 · ;4
苶,5
苶苶–苶0,2
苶 – 13,2
g) ; 1
55
h) 41,7 · π + 81,16 · – 33,6 · (π – 0,33)
2,5
8 Berechnungen mit Einheiten
a) 45,2 · (76,45 – 21,5)
a) A = 25 cm · 23 cm + 40 cm · 65 cm
b) (87,3 + 0,754) · 0,98
π
b) A = 13 mm · 13 mm · 4
c) 3,24 + 5,46 · (72,12 – 52,21 – 0,93)
c) A = 2 · (32,5 cm2 + 65 cm2) – 42,5 cm2
d) (7,21 – 0,36 + 5,63) · π – 2,51 + 0,67
d) V = 1,25 m · 2,5 m · 5 m – 3,2 m3
e) (4,56 + 0,21) · 4,28 + 2,1 · (7,98 + 1,23)
50 cm2 – 32 cm2
e) F = 80,5 N – 2,5 N · 20 cm2
8,2
cm
+
2,4
cm
f) A = 8 cm2 + · 10,5 cm + 460 cm2
2
81,5 cm – 32,6 cm
g) d = 4,6 cm · π + 6,5 cm – 2 · 8
f) 8,7 · (4,2 – 2,5) – (8,43 + 1,05) · 0,2
g) π · 76,2 + (6,4 – 3,25) · 71 – 46,2 · π
h) (6,21 – 3,47) · (0,87 + 6,79 – 2,37) · 0,25
17
..
1.1.4 Schaubilder, Diagramme und
Tabellen
Startvorgang bei einem Gasbrenner
Regler
Mit Schaubildern werden z. B. technische Werte oder Bilanzen eindeutiger und einfacher
dargestellt, als es Texte und Zahlenwerte aussagen können. Sie sind übersichtlich und
leicht ablesbar.
Säulen-Schaubilder verwendet man, um z. B.
Inhalte oder Volumenströme anschaulich zeigen zu können. Die Darstellung wird in Aussehen und Maßstab so gewählt, dass Sachzusammenhänge gut erkennbar sind. Zahlenwerte werden angegeben (Bild 1).
sicher gewinnbare
Erdgasreserven in
Mrd. t SKE*
Zündung
Startventil
Flamme
Hauptventil
5s
Betrieb
Wärmeanforderung
Bild 3: Balkendiagramm
werden oftmals technische Abläufe dargestellt, wie z. B. der Startvorgang eines Gasbrenners (Bild 3).
* Steinkohleneinheiten
49
Beispiel:
26
Ostländer,
China
Mittelund
Nahost
7
6
USA
Westeuropa
Kreis-Schaubilder gibt es in Flächen- und Kuchenform, sie dienen zur Angabe von Gesamtanteilen, wie z. B. bei der Energiegewinnung oder dem Werkstoffverbrauch (Bild 2).
Wasserverbrauch in Liter pro Person und Tag
Trinken
Kochen
8
5
kg
kg
kg
®Ag = 10,5 3 ®Cu = 8,9 3 ®Al = 02,7 3
dm
dm
dm
kg
kg
kg
®Sn = 7,28 3 ®St = 7,85 3 ®Mg = 1,74 3
dm
dm
dm
Bild 1: Säulenschaubild
Raumreinigung,
Garten, Auto
Für die Dichte der Werkstoffe Silber, Kupfer, Zinn,
Stahl, Aluminium und Magnesium ist ein Schaubild
zu erstellen. Dazu werden dem Tabellenbuch folgende Werte entnommen:
Kleingewerbe
11
Baden, Duschen,
Körperpflege
46
Geschirrspülen 8
Als mögliche Form des Schaubilds wird ein
Säulendiagramm gewählt. Die Höhen werden
maßstäblich gezeichnet. Die Reihenfolge der
Metalle kann z. B. nach fallender Dichte vorgenommen werden. Weitere Details der Darstellung werden anschaulich und ansprechend angeordnet (Bild 4).
kg
Dichte metallischer Werkstoffe in
dm3
10,5
8,9
7,85
7,28
15
Wäsche waschen
35
Toilettenspülung
2,7
1,74
18
Bild 4: Dichte von Metallen
M
g
l
A
Sn
St
Cu
A
Balkendiagramme sind Schaubilder, an ihnen
können Zusammenhänge abgelesen und Werte entnommen oder auch ermittelt werden. Es
g
Bild 2: Kreis-Schaubild
Tabellen können aus Zahlen oder Texten entstehen. Sie sind Schaubilder, an denen Zuordnungen oder Zahlenwerte direkt abgelesen
werden können. Da sie oft benötigt werden,
sind sie im Tabellenbuch gesammelt. Sie geben Regeln vor, vereinfachen oder erübrigen
technische Berechnungen. Soll z. B. eine Trinkwasserleitung durch Löten verbunden werden,
kann man der Tabelle als Vorschrift entnehmen, dass über DN 25 bei Trinkwasserinstallationen hartgelötet werden darf. Alle
aufgeführten Lote sind zulässig (Tabelle 1).
Umfangreichere Tabellen enthalten oft zusätzliche Informationen durch Skizzen oder Zeichnungen sowie Erläuterungen oder Fußnoten
(Tabelle 2).
Tabelle 1: Hartlote nach DIN EN 1044
für Kupferrohre
Zusammensetzung
710
Trinkwasserrohrleitungen
ab DN 32*
730
Heizungsrohrleitungen
670
Gasrohrleitungen
710
Tabelle 2: Stahlrohre, mittelschwere
Gewinderohre DIN EN 10255
s
3 Wie viel Liter Wasser enthält ein Gewinderohr
DIN EN 10 255-M DN 15 bei einer Länge von 6 m?
4 Welchen Außen- und Innendurchmesser hat
ein Gewinderohr DIN EN 10 255-M DN 25?
Grafische Darstellung von Funktionen
Funktionen geben Zusammenhänge verschiedener Einflussgrößen an. Sie werden in
Schaubildern dargestellt, damit die Zusammenhänge schnell abzulesen und Tendenzen
erkennbar sind. Für ihre Darstellung benötigt
man ein rechtwinkliges Koordinatensystem.
Die Waagerechte nennt man x-Achse oder Abszisse, die Senkrechte y-Achse oder Ordinate.
Bei der Mehrzahl der technischen Schaubilder
wird nur die positive x- und y-Achse benutzt,
d.h. die Punkte liegen im ersten Quadranten
(Bild 1).
Lineare Funktionen zeigen den Zusammenhang zweier Größen in Form einer Geraden.
Alle Zwischenwerte können auf beiden Achsen
abgelesen werden. Die Lösungsgenauigkeit
hängt stets von der Qualität der Zeichnung
und insbesondere vom Maßstab ab (Bild 1,
Seite 20).
730
*) Hartlöten für Kupferrohre bei Kalt- und Warmwasserinstallationen nicht mehr empfohlen.
A lichter Querschnitt in cm2
D
d
2 Die Rechnung für eine Rohrinstallation beträgt
1620 € ohne Mehrwertsteuer.
Folgende Kosten sind zu berücksichtigen:
Rohre und Fittings 170 €, Rohrbefestigungen
60 €, Lohn 520 €, Gemeinkosten 600 € und der
Gewinn. Die Kostenanteile sind in einem
Schaubild darzustellen.
5 Welche Masse haben 6 m Gewinderohr DIN
EN 10 255-M der Nennweite 32?
ArbeitsEinsatztemperatur möglichin °C
keiten
AG 106
34 % Ag
(L-Ag34Sn) 36 % Cu
3 % Sn
27 % Zn
AG 203
44 % AG
(L-AG 44)
30 % Cu
26 % Zn
AG 104
45 % AG
(L-AG45Sn) 27 % Cu
3 % Sn
25 % Zn
CP 105
2 % Ag
(L-Ag2P)
92 % Cu
6% P
CP 203
94 % Cu
(L-CuP6)
6% P
1 Für das Lot AG106 sind die Anteile der
Legierungsbestandteile zu ermitteln und in
einem Kreis-Schaubild darzustellen.
+y
A´0 Rohroberfläche in m2/m
s
m´ Rohrmasse in kg/m
-x
+y
V ´ Volumen in ä /m
2. Quadrant
R Whitworth- Rohrgewinde
DN
R
10
15
20
25
R 3/8
R 1/2
R 3/4
R1
32
40
50
R 1 1/4
R 1 1/2
R2
D
in
mm
A´0
in
m2/m
s
in
mm
d
in
mm
A
in
2
cm
V'
in
ä /m
m'
in
kg/m
17,2
21,3
26,9
33,7
0,054
0,067
0,085
0,106
2,35
2,65
2,65
3,25
12,5
16,0
21,6
27,2
1,23
2,01
3,66
5,81
0,12
0,20
0,37
0,58
0,852
1,22
1,58
2,44
42,4
48,3
60,3
0,133
0,152
0,189
3,25
3,25
3,65
35,9
41,8
53,0
10,12
13,72
22,06
1,01
1,37
2,21
3,14
3,61
5,10
-x
-5
-4
-3
-2
-x
-y
3. Quadrant
y-Achse oder
Ordinate
Hartlot
Aufgaben
-1
-3
-2
-1
-y
+3
+x
+y
+2
+1
+1
1. Quadrant
+2
+3 +4 +5
+x
x-Achse oder Abszisse
+x
-y
4. Quadrant
Bild 1: Koordinatensystem
19
..
Beispiel:
In einem Schaubild werden der Zusammenhang zwischen Durchmesser und Umfang eines Zylinders angegeben. Bei gegebenem Durchmesser berechnet
man den Umfang (U = d · π) in Form einer Wertetabelle, wählt einen sinnvollen Maßstab, trägt die
Punkte ein und verbindet die Hilfspunkte (Bild 1).
3 Entsprechend Aufgabe 2 soll der Rohrinhalt
über der Rohrlänge abgelesen werden können.
Fertigen Sie ein Schaubild.
4 In einem Schaubild ist die Wärmedehnung von
Stahl über der Rohrlänge aufgetragen (Bild 3).
60
50
a) Ermitteln Sie die zu erwartende Dehnung
eines Stahlrohres von 16 m Länge bei einer
Temperaturänderung von 50 K.
40
Umfang U in mm
2 Es ist ein Schaubild zu zeichnen, in dem
die Oberfläche eines Gewinderohrs DIN EN
10 255-M DN 20 über der Rohrlänge angegeben
wird.
30
20
b) Mit welcher Dehnung ist zu rechnen, wenn
ein 12 m langes Stahlrohr Temperaturen
von 20 °C bis 60 °C ausgesetzt ist?
10
0
0
2
4
6
8 10 12 14
Durchmesser d in mm
16
18
20
Bild 1: Lineare Funktion
In einem Schaubild wird der Zusammenhang zwischen Durchmesser und Kreisfläche dargestellt. Als
Tendenz erkennt man, dass die Fläche (y-Achse)
schneller zunimmt als der Durchmesser (x-Achse)
(Bild 2).
50
K
40 K
30 K
20 K
5
10 K
0
0
10
Rohrlänge o in m
2
20
Bild 3: Wärmedehnung von Stahl
100
78,5
100
90
0
2
10
Durchmesser D in mm
16
20
Aufgaben
1 Für einen 6 m langen Stab Gewinderohr
DIN EN 10 255-M DN 15 soll die Masse in einem
Schaubild dargestellt werden. Die erforderlichen
Werte sind einer Tabelle zu entnehmen. Als
Abszisse sollen 1 m ≠ 1 cm und als Ordinate
1 kg/m ≠ 1 cm gewählt werden.
mittlere monatliche
kWh
Einstrahlungsenergie in m2 · Monat
Fläche A in mm2
K
Lesen Sie je Monat die durchschnittliche Einstrahlungsenergie ab und bilden Sie die jährliche Gesamtsumme.
200
Bild 2: Nichtlineare Funktion
20
pe
70
5 Zur Überwachung einer Solaranlage wurde die
tägliche Einstrahlungsenergie gemessen und
für jeden Monat gemittelt in einem Schaubild
festgehalten (Bild 4).
314
300
3,14
0
m
Te
z
at
r
10
d
ur
K
K
60
en
er
iff
Längenänderung
Beispiel:
in mm
15
Nichtlineare Funktionen ergeben beim Verbinden der Hilfspunkte eine gebogene Linie. Sie
haben den besonderen Vorteil, dass man Tendenzen der Zusammenhänge der Einflussfaktoren schnell erkennen kann.
80
80
70
60
50
40
30
20
10
J
F
M
A
M J
J
A
Zeit in Monaten
Bild 4: Strahlungswerte
S
O
N
D