Baudynamik und Zustandsanalyse

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Baudynamik und Zustandsanalyse
Eine Einführung in die Baudynamik mit Mathematica ®
Das vorliegende Skript wurde im Original mit dem Programmsystem MATHEMATICA® von WOLFRAM-Research [http://www.wolfram.com] geschrieben und erstmals auf den Webseiten der
Hochschule für Technik und Wirtschaft in Dresden (University of Applied Sciences) [http://www.htw-dresden.de] veröffentlicht. Die Schrift trägt den Charakter eines Arbeitskonzepts, so dass ich
für Hinweise und Anregungen aller Art, einschließlich zu Rechtschreibung, Grammatik und Druckbild sehr dankbar bin.
Mit meinem Beitrag erhebe ich keinen Anspruch auf irgendeine Vollständigkeit bzw. Allgemeingültigkeit.Ich möchte einzig und allein an exemplarischen Problemstellungen der Baumechanik logisch
einfache mathematisch-physikalische Lösungsmethoden zur Diskussion stellen.
Mirko Slavik, Dresden
◻ 2.7 Physikalische Ausflüge in Raum und Zeit
2.7.1 Einführung
2.7.1.1 Im Kapitel 5 erfolgt die Aufarbeitung einiger grundlegender Aussagen der klassischen NEWTONschen Mechanik, die das Grundgerüst der sehr traditionell ausgelgten Baumechanik bilden.
2.7.1.2 Hingegen wird im Kapitel 3 ein kleiner unorthodoxer Ausflug gewagt, bei dem die fundamen tale physikalische Größe der Zeit in eine etwas andere Betrachtungsebene gerückt worden ist.
2.7.1.3 In diesem Unterabschnitt gehe ich noch einen Schritt weiter und stelle in loser Folge Gedanken splitter zur Diskussion, die streng gesehen Gegenstand der Nicht-NEWTONschen Physik, der Quantenoder der Astrophysik bzw. der Kosmologie sind. Die hier getroffenen Aussagen sind teilweise inkonsistent. Sie sollen provozieren, zum Nachdenken anregen, die Sicht auf die uns umgebenden Dinge
weiten und schärfen, uns anregen und ermuntern, auch scheinbar Altbekanntes stets und ständig zu
hinterfragen.
2.7.1.4 Im Unterabschnitt 2.7.2 findet der Leser Aussagen, die stillschweigend Grundkenntnisse der
relativistischen Physik voraussetzen. Auf einige von ihnen wird im Unterabschnitt 2.7.3 etwas ausführlicher eingegangen bzw. auf entsprechende Literaturquellen hingewiesen.
2.7.2 Daten, Fakten sowie unausgereifte Gedankensplitter
2.7.2.1 Geschwindigkeiten verschiedener Bewegungsvorgänge:
v ≅ 187 550 km/s
v ∼ i. M. 1660 km/s
v = 800 - 1200 km/s
v
v
v
v
v
v
v
≈ 250 km/s
≈ 42.1 km/s
≅ 29.8 km/s
≃ 11.2 km/s
≈ 1.45 km/s
∼ 0.61 km/s
≅ 0.46 km{s
v ∼ 3.1710 -14
km/s
Katodenstrahlen mit einer Energie von 10 5 eV
Korpuskularstrahlen der Sonne zur Erde
Fluchtgeschwindigkeit des Galaxiehaufens Virgo bezüglich der
Milchstraße
Umlaufgeschwindigkeit der Sonne um das Zentrum der Milchstraße
Fluchtgeschwindigkeit aus unserem Sonnensystem
Umlaufgeschwindigkeit Erde-Sonne
Fluchtgeschwindigkeit von der Erdoberfläche
Schallgeschwindigkeit im Wasser
Düsenverkehrsflugzeug Concorde
Erdrotation am Äquator
Sedimentation auf der Erdoberfläche ( ≏ 1 mm/a)
2
CurrentValue[FileName]
2.7.2.2 Massen im Universum:
M Sonne ≃ 1,989 10 30 kg
M Erde ≃ 5,974 10
24
Masse unserer Sonne
Masse unserer Erde
kg
Der gegenwärtig erfassbare Bereich des Weltalls hat einen Radius von 9 Mrd. Lichtjahren mit 100
Mrd. Sternsystemen. Die kritische Dichte des Weltalls wird z. Z. mit ca. 1.2 10 -29 g/cm³ ausgewiesen
[36]. Hierfür folgt unten eine stark vereinfachte Abschätzung der Gesamtmasse mittels Kugelvolumen.
Um das tatsächliche Volumen des Weltalls richtig erfassen zu können, müsste gemäß EINSTEIN
(1879-1955) der Weltraum als gekrümmt angesehen werden. Die Frage nach der Qualität dieser
Krümmung ist meines Wissens noch nicht eindeutig beantwortet. Es existieren sowohl Modelle mit
einer positiven als auch einer negativen Krümmung. Womöglich ändert sie sich aber auch und ist somit
hin und wieder sogar null.
Lj = 9.460528 × 1012 Kilometer;
ρ = 1.2 × 10-29 10-3 1015 Kilogramm  Kilometer3 ;
R = 9 × 109 Lj;
4
π R3 ;
V=
3
M =Vρ
3.10273 × 1052 Kilogramm
2.7.2.3 Die PLANCK-Zeit pt beschreibt die theoretische Zeitspanne nach dem Urknall (siehe Bigbang-Theorie der Kosmologie), innerhalb derer die allgemein anerkannten physikalischen Gesetze
nicht mehr gültig sind. Über die multiplikative Verknüpfung mit der Vakuumlichtgeschwindigkeit erhält
man die PLANCK-Länge pl. Es gilt:
h = 6,62617610 -34 [Js ≏ Nms ≏ kg m² s -1]
-11
- PLANCKsche Wirkungsquantum
- Gravitationskonstante
- Vakuumlichtgeschwindigkeit
[N m² / kg²]
γ = 6,672 10
c = 299800 km/s
h = 6.626176 10-34 Kilogramm Meter 2 Sekunde -1 ,
γ = 6.672 10-11 Meter 3 Kilogramm -1 Sekunde -2 , c = 299 800 × 103 Meter Sekunde -1 ;
γh
PLANCK-Zeit
pt =
PLANCK-Länge
pl = pt c
2
2 π c5
:
:
5.39002 × 10-44
Sekunde 2
1.61593 × 10-35 Meter Sekunde
Sekunde 2
Verhältnis
h
c
= 2.2102 × 10-42 Kilogramm Meter
Anmerkung: Die Inflationszeit des Urknalls selbst bewegt sich in einem Zeitbereich von Δt infla [s] ~
(10 -30 ... 10 -33 ) - pt.
2.7.2.4 Wellenlängen in [m] und Frequenzen in [Hz] der elektromagnetischer Strahlung im Vakuum
3
mittels c = f λ :
λ = 10 -16 - 2.5 × 10 -10
λ = 10
-14
λ = 10
-8
- 10
- 3.8 * 10
λ = 3.8 * 10
-7
Röntgenstrahlung
-10
Gammastrahlung
-7
UV - Licht
- 7.8 * 10
-7
sichtbares Licht
λ = 7.8 * 10 -7 - 10 -2
IR - Licht
λ = 10 -3 - 10 -1
λ = 10
-1
- 10
Mikrowellen
0
Dezimeterwellen (Amateurfunk, UHF-Bereich)
0
1
UKW
1
2
KW
λ = 10 - 10
λ = 10 - 10
λ = 182 - 10 3
3
λ = 10 - 10
MW
4
LW
c = 2.99800 × 108 , λ = 10-16 ;
Frequenz f [Hz] =
c
:
2.998 × 1024
λ
2.7.2.5 Gemäß dem klassischen Wellenmodell ist die physikalische Erscheinung des Lichtes eine
elektromagnetische Welle im sichtbaren Wellenlängenbereich, zwischen 380 nm (Ultraviolett/violett)
und 780 nm (Rot-Infrarot). Die elektromagnetische Welle ist eine Transversallwelle (siehe Abschnitt
2.3). Bei einer klassischen harmonischen Welle findet kein Stofftransport statt, sondern nur eine
Energieausbreitung.
2.7.2.6 Das Photon (Lichtquant, Strahlungsquant, Energiequant) des elektromagnetischen Strahlungsfeldes ist ein diskretes (duales) Welle-Teilchen. Die Photonen bewegen sich im allgemeinen Fall als
Schar von diskreten Punktmassen transversal entlang einer geradlinigen oder gekrümmten Linie
durch die Raumzeit. Jeder dieser Massepunkte habe im Vakuum eine von der Frequenz abhängige
Photonenmasse mpho . Ein solcher beliebiger Photonenstrom bestehe aus einer endlichen Summe von
Photonengruppen. Eine Photonengruppe ist durch konstante Abstände und Photonenmassen charakter
isiert.
2.7.2.7 Dem konstanten Abstand ordnen wir die halbe Wellenlänge λ/2 einer "diskreten" Photonenwelle zu. Da die Massepunkte, die Photonen, sich mit der Grenzgeschwindigkeit c im Vakuum bewegen, benötigen sie zur Überbrückung der Wellenlänge λ die Periodendauer T = 1/f. Dann entspricht
das Verhältnis λ/T der Lichtgeschwindigkeit (vgl. hierzu auch den Absatz 2.7.2.4):
T=
1
f
; Print[" c = ", λ / T]
c = fλ
2.7.2.8 Laut dem Abtastheorem des Mathematikers und Ingenieurs Claude Elwood SHANNON (1916
- 2001) wird die halbe Zeit der Periodendauer benötigt um eine Information über die niedrigste Frequenz zu erhalten.
2.7.2.9 Masse, Raum und Zeit stellen eine untrennbare Einheit dar, die mittels des PLANCKschen
Wirkungsquantums h und der Lichtgeschwindigkeit c im Vakuum quantifiziert werden. Die einzelnen
Verknüpfungen erfolgen über die von EINSTEIN (1879-1955) postulierten Energie- und Impulsdefinitio-
4
nen des Photons (siehe hierzu auch die Absätze 2.7.2.12 ff.):
W ⩵ h f; W ⩵ mpho c2 ; ppho ⩵ mpho c; λ ⩵
Eliminateλ ⩵
h
ppho
h
ppho
;
, ppho ⩵ mpho c, mpho c2 ⩵ h f, ppho 
f h ⩵ c2 mpho && f λ ⩵ c && c λ mpho ⩵ h
PLANCKsche Wirkungsquantum h [kg m 2 s-1 ] = 6.62618 × 10-34
Vakuum -Lichtgeschwindigkeit c [m/s] = 2.998 × 108
Wellenlänge λ [m] = 1. × 10-16
Frequenz f [Hz] = 2.998 × 1024
Periodendauer T [s] = 3.33556 × 10-25
SHANNONbedingung ΔTshannon [s] = 1.66778 × 10-25
Photonenmasse mpho [kg] = 2.2102 × 10-26
Frequenz-Energie des Photons W [kg m 2 s-2 ] = 1.98653 × 10-9
Impuls des Photons ppho [kg m s-1 ] = 6.62618 × 10-18
Masse-Energie des Photons W [kg m 2 s-2 ] = 1.98653 × 10-9
Test der Wellenlänge als Materiewelle (siehe
Absatz 2.7.2.14): 1. × 10-16
2.7.2.10 Zur Darstellung des PLANCKschen Strahlungsgesetzes benötigt man folgende Parameter:
k = 1.380662 10 -23
- BOLTZMANNkonstante (Ludwig BOLTZMANN (1844 - 1906)) in
[J K -1 ≏ N m K -1 ≏ W s K -1 ]
h = 6.626176 10
uf
-34
- PLANCKsche Wirkungsquantum (Max PLANCK (1858 - 1947)) in
[J s ≏ N m s ≏ W s 2 ]
- universale spektrale Energieverteilungsfunktion der Energies 2 1
stromdichte des schwarzen Strahlers in [Nms  
m
wf
s3
≏
Nm
m2
≏
Ws
m2
]
- universale spektrale Energieverteilungsfunktion der Energiedichte
s 3 1
des schwarzen Strahlers in [Nms  
m
s
3
≏
Nms
m
3
≏
Ws 2
m3
]
5
h = 6.626176 × 10-34 , k = 1.380662 × 10-23 ,
c = 2.99800 × 108 , T1 = 2500, T2 = 2000, T3 = 1750;
2 π h f3
Plotuf =
c
2
k T1
ⅇ
2 π h f3
, uf =
hf
-1
c
2
ⅇ
k T2
2 π h f3
, uf =
hf
-1
hf
c
2
ⅇ
k T3
,
-1
f, 0, 7 × 1014 , PlotRange → All,
8 π h f3
Plotwf =
hf
c
3
ⅇ
k T1
8 π h f3
, wf =
-1
hf
c
3
ⅇ
k T2
2 π h f3
, wf =
-1
hf
c
3
ⅇ
k T3
,
-1
f, 0, 7 × 1014 , PlotRange → All
1.2 × 10-16
8. × 10
-9
1. × 10-16
8. × 10-17
6. × 10-9
,

4. × 10-9
6. × 10-17

4. × 10-17
2. × 10-9
2. × 10-17
1 × 1014 2 × 1014 3 × 1014 4 × 1014 5 × 1014 6 × 1014 7 × 1014
1 × 1014 2 × 1014 3 × 1014 4 × 1014 5 × 1014 6 × 1014 7 × 1014
2.7.2.11 Eine Umrechnung der auf die Frequenz bezogenen Dichten in an der Wellenlänge orientierte
Energiedichten muss der Integralbedingung zur Bestimmung der Energiestromdichte u gehorchen:
0
∞
u =
f=0
uf ⅆ f = 
∞
uλ ⅆ λ = - 
λ=∞
uλ ⅆ λ
λ=0
Ws 1
W
Nm
1
s
m2
u
- universale Energiestromdichte des schwarzen Strahlers in 
uλ
die Energiestromdichte entspricht dem Energiefluss (Leistung) durch eine Fläche
- universale spektrale Energieverteilungsfunktion der Energiestromdichte des schwarzen
m 2
Strahlers in [Ws 2  
s
P
f=
1
m5
≏
W
1
m2 m
- Strahlungsleistung pro Fläche in [
c
; Solve
λ
df → -
c dλ
λ2
df
dλ
≏
m2
]
W
m2
]
⩵ D[f, λ], df

SolveEliminateuλ dλ ⩵ - uf
c dλ
λ
uλ → -
m2 s
2 c2 h π

ch
-1 + ⅇ
kTλ
λ
5
2
, uf ⩵
2 π h f3
hf
c2 ⅇ k T - 1
,f⩵
c
λ
, f, uλ 
≏
];
6
h = 6.626176 × 10-34 , k = 1.380662 × 10-23 ,
c = 2.99800 × 108 , T1 = 2500, T2 = 2000, T3 = 1750;
2 π h c2
Plotuλ = Abs
2 π h c2
, uλ = Abs
hc
λ 5 ⅇ λ k T1 - 1
, uλ = Abs
hc
λ 5 ⅇ λ k T2 - 1
2 π h c2
,
hc
λ 5 ⅇ λ k T3 - 1
λ, 10-8 , 1. × 10-5 , PlotRange → All
1.2 × 1012
1.0 × 1012
8.0 × 1011
6.0 × 1011
4.0 × 1011
2.0 × 1011
2. × 10-6
4. × 10-6
6. × 10-6
0.00001
8. × 10-6
h = 6.626176 × 10-34 , k = 1.380662 × 10-23 ,
c = 2.99800 × 108 , TKörper = 3500, TUmgebung = 1500;
- 2 π h c2
∞
Pgesamt ,λamda = - 
0
hc
λ5 ⅇ λ k TKörper - 1
- 2 π h c2
∞
Pumgebung ,λamda = - 
∞
ⅆ λ // N, Pgesamt ,frequenz = - 
hc
0
λ
5
ⅇ
λ k TUmgebung
0
- 2 π h f3
hf
ⅆ f // N,
c2 ⅇ k TKörper - 1
ⅆ λ // N, Pabstrahlung = Pgesamt ,λamda - Pumgebung ,λamda 
-1
8.50859 × 106 , 8.5134 × 106 , 287 045., 8.22154 × 106 
2.7.2.12 Jede der physikalischen Größen Masse, Raum und Zeit besitzt einen endlichen Grenzwert,
wenn in Anlehnung an DeBROGLIE (1892-1987) das Produkt λ mpho = konstant = h/c = 2.2102 10 -42
[kgm] gesetzt wird (siehe Absatz 2.7.2.14). Dann folgt λ ≢ 0 ( > pl ) und mpho ≢ 0. Im Sinne der NonStandard-Zahlentheorie wären eine unendlich klein werdende bzw. unendlich groß werdende Wellen länge bzw. Photonenmasse lediglich virtuelle, jedoch keinesfalls reale physikalische Größen, was im
Widerspruch zum reellen Standardzahl-Verhältnis h/c stünde. Da nun wiederum die Zeit T = λ /c
über Wellenlänge und Geschwindigkeit miteinander gekoppelt sind, ist es naheliegend, dass in einer
realen Welt auch die Zeit endlich begrenzt sein muss. Oder? Siehe hierzu auch das Kapitel 3.
2.7.2.13 Es folgt die Beschreibung der Bahnkurve eines Massepunktes im kartesischen x-y-z-Raum
als zeitabhängiger Ortsvektor. Die Bahnkurve gehorcht einer Wellenbewegung. Vergleicht man jedoch
7
hierzu die Bewegung der Massepunkte in der letzten Animationsgraphik des Absatzes 2.3.4, dann
stehen wir vor einem Problem, welches auch mit der Aussage des letzten Satzes im Absatz 2.7.2.5
korreliert. Hierüber lohnt es sich nachzudenken. Der Welle-Teilchen-Dualismus ist nach wie vor
faszinierend!
{λ = 5, f = 2.5, φ = 0, A = 4, tmax = 25};
2π
vphase = λ f, Ω =
// N, ω = 2 π f
λ
{12.5, 1.25664, 15.708}
2
1
0
0
-1
-2
5
10
0
20
-5
☺ Versteckte Zelle beinhalt die zum obigen Beispiel gehörige Animationsgrafik.
2.7.2.14 Bewegt sich ein Objekt von nicht verschwindender Ruhemasse mit dem Impuls p = mbewegt v,
dann kann man ihm nach Louis de BROGLIE (1892 - 1987) eine Materiewelle der Wellenlänge λ, der
Frequenz f und der Phasengeschwindigkeit v phase zuordnen (siehe Absatz 2.7.2.9). Diese
Materiewelle entspricht dann einer unendlich ausgedehnten monochromatischen Welle, bei der f und
λ genau definiert sind, jedoch nicht der Aufenthaltsort.
2.7.2.15 Licht einer einzigen Wellenlänge λ heißt monochromatisches Licht; Materiewellen besitzen
die Eigenschaft der Dispersion (Streuung, Aufweitung); Dispersion im engeren Sinne bedeutet in der
Physik, dass die Phasengeschwindigkeit einer Welle von ihrer Frequenz und/oder Wellenlänge
abhängt (siehe auch Absatz 2.3.3).
2.7.2.16 Alle optische Medien besitzen eine Brechzahl n = c / {v phase = λ f }. Gemäß der Elektrodynamik zeigen elektromagnetische Wellen (u. a. auch Lichtwellen, Photonenwellen) Dispersionserscheinungen. Die Dispersion (Streuung) der Brechzahl führt zu einer unterschiedlichen Brechung des Lichtes
(Spektralzerlegung) beim Übergang von einem Medium in ein anderes Medium, welches einen
anderen Brechungsindex besitzt. Die Brechungsindizes der zwei Medien sind umgekehrt proportional
zu ihren Phasengeschwindigkeiten bzw. Wellenlängen n1 / n2 = v phase2 / v phase1 = λ2 / λ1
8
2.7.2.17 Allein im Vakum gilt für elektromagnetische Wellen v phase = vgr = c. Die Brechzahl des
Vakuums ist folglich n = 1. Es gibt im Vakuum keine Dispersion.
2.7.2.18 Bei der Brechung einer elektromagnetischen Welle in ein anderes Medium tritt gemäß der
gängigen Auffassung in der Elektrodynamik keine Änderung von Phase und Frequenz ein [47, S. 303].
Letzteres könnte bedeuten, dass gemäß W = m c 2 = h f auch keine Variation der Energie und damit
der Impulsmasse auftritt. Hingegen ist meines Erachtens bei der Wechselwirkung der Photonen mit
den Elektronen im Medium durchaus auch mit Frequenzänderungen zu rechnen. Oder?
2.7.2.19 Mathematische Beziehungen:
λ =
h
- Wellenlänge der Materiewelle
mbewegt v
- Impuls
p = mbewegt v
p=
h
- Impuls als Funktion von λ
λ
mbewegt =
mruhe
1-
- Impulsmasse, relativistisch (siehe Unterabschnitt 2.7.3)
v2
c2
v oder vgr
- Bahngeschwindigkeit bzw. Gruppengeschwindigkeit der
v phase = λ f
Amplitudenfunktionen
- Phasengeschwindigkeit der Materiewelle
- Frequenz der Materiewelle
f
2
W = mbewegt c = h f
W kin = (mbewegt - mruhe ) c
- Gesamtenergie eines Objektes, relativistisch
2
- kinetische Energie, relativistisch
2.7.2.20 Ableitung vom Standpunkt eines Photon im Vakuum:
SolveEliminatec ⩵ λvakuum f, W ⩵ mbewegt c2 , W ⩵ h f, x ⩵
h
mbewegt c
, {W, c, f}, {x}
{{x → λvakuum }}
2.7.2.21 Im Vakuum ist die Wellenlänge des Lichtes mit der Materiewellenlänge identisch. Die Phasengeschwindigkeit der Materiewelle einer Photonenwelle beträgt dann c = v phase = vgr und ist unabhängig
von der Frequenz.
2.7.2.22 Wir betrachten eine Materiewelle relativistisch und bestimmen die Phasengeschwindigkeit
über deren Gesamtenergie:
SolveEliminatevphase ⩵ λ f, W ⩵ m c2 , W ⩵ h f, λ ⩵
vphase →
c2
vgr
h
p
, p ⩵ m vgr , {W, f, λ, p}, vphase 

2.7.2.23 Wenn ein Objekt mit einer Bahngeschwindigkeit v ≪ c vorliegt, dann gilt v gr = v. Die Beschreibung seiner Bewegung kann über die kinetische Energie W kin nichtrelativistisch erfolgen:
9
SolveEliminateWkin ⩵ mruhe
h
λ → 2
vgr 2
2
, λ ==
h
mruhe vgr
h
, λ →
mruhe
, vgr , λ
Wkin
2

mruhe
Wkin
2.7.2.24 Falls das Objekt sich aber mit einer Bahngeschwindigkeit v < c in Nähe der Lichtgeschwindigkeit bewegt, also eine relativistische Beschreibung erforderlich ist, dann gilt ebenfalls v gr
=v:
SolveEliminate
W ⩵ mbewegt c2 , W ⩵ h f, mbewegt ⩵
mruhe
1-
h
λ → c
2
2
mbewegt
,f→
-c
2
vgr
, λ ==
2
h
mbewegt vgr
c2
c2 mbewegt
2
mruhe
h
, vgr , W, {λ, f}
h
, λ →
c
2
2
mbewegt
,f→
-c
2
c2 mbewegt
2
mruhe
h

2.7.2.25 Beliebig gewähltes Beispiel:
mruhe = 9.11 × 10-31 , vgr = 1.9 × 108 ,
h = 6.626176 × 10-34 , c = 2.99800 × 108 , mbewegt =
mruhe
vgr
1-
c2
h
Wellenlänge der Materiewelle , nichtrelativistisch
Wellenlänge der Materiewelle , relativistisch
;
2
mruhe vgr
h
λ =
mbewegt vgr
h
Test - Wellenlänge , relativistisch
1-
f =
1-
v2gr
c2
c-vgr
v2gr
c2
= 2.96121 × 10-12
f =
c3 m ruhe
+
1-
v2gr
c2
c+vgr
2h
c2 mruhe
Frequenz der Materiewelle (Variante 2):
= 2.96121 × 10-12
mruhe vgr
c3 m ruhe
Frequenz der Materiewelle (Variante 1):
= 3.82817 × 10-12
1h
= 1.5975 × 1020
v2gr
c2
= 1.5975 × 1020
Phasengeschwindigkeit der Materiewelle
f λ = 4.73053 × 108
Gruppengeschwindigkeit der Materiewelle
vgr = 1.9 × 108
Lichtgeschwindigkeit
c = 2.998 × 108
2.7.2.26 Da die Gruppengeschwindigkeit v gr < c sein muss, erhalten wir beim Verhalten von Licht in
10
einem optischen Medium die bekannte Tatsache, dass die Phasengeschwindigkeit der idealisierten
Materiewelle v phase > c ist, womit für eine elektromechanische Welle in einem optischen Medium mit
v phase, medium < c ein Widerspruch in den gedanklichen Zuordnungen auftritt.
2.7.2.27 Eine Phasengeschwindigkeit größer als c ist jedoch kein Widerspruch zur Realtivitätstheorie,
da sie mathematisch einer unendlich ausgedehnten harmonischen Welle zugeordnet wird, die es in
der Natur nicht gibt.
2.7.2.28 Für die mittleren Geschwindigkeiten gelten bei der Brechung von monochromatischen Licht in
einem Medium folgende allgemein bekannten Beziehungen (siehe Absatz 2.7.2.16 ff.):
SolveEliminate
n ⩵
c
vphase ,medium
λmedium →
λvakuum
n
, λvakuum f ⩵ c , λmedium f ⩵ vphase ,medium , vphase ,medium , c, λmedium 

2.7.2.29 Gedankenexperimente zwecks
einem Medium:
Analyse des obigen Widerspruchs für Photonenwellen in
a) In einem Medium kann keine zuordenbare Materiewelle, deren Wellenlänge mit der Photonenwelle identisch ist, gefunden werden. Alle anderen Aussagen sind naturwissenschaftlich nicht haltbar,
da Photonen keine Ruhemasse haben.
b)
Die Gruppengeschwindigkeit müsste gößer als
geschwindigkeiten erlaubt ist.
SolveEliminate
c
c
sein, was aber nur den Phasen-
⩵ λmedium f, c ⩵ λvakuum f, W ⩵ mphoto c2 , W ⩵ h f, λmedium ⩵
n
h
mphoto vgr
,
{W, f}, vgr , λvakuum , λmedium 
h
vgr → c n, λvakuum →
c mphoto
, λmedium →
h
c n mphoto

c) Eine relativistische Massenzunahme auf Basis einer angenommenen Photonenruhemasse führt
zu einem imaginären Ergebnis, womit a) bestätigt ist.
SolveEliminate
mbewegt ⩵
⩵ λmedium f, W ⩵ mbewegt c2 , W ⩵ h f,
n
mruhe
1-
vgr → -
c
, λmedium ⩵
vgr
2
h
mbewegt vgr
, W, f, c, mbewegt , vgr 
c2
h2 - h2 n2
mruhe λmedium
, vgr →
h2 - h2 n2
mruhe λmedium

11
2.7.2.30 Wenn man die Photonenmassen formal für monochromatisches Licht bestimmte, dann
erhielten wir unterschiedliche Photonenmassen:
Eliminateλ ⩵
h
ppho
, ppho ⩵ mpho c, mpho c2 ⩵ h f, ppho 
f h ⩵ c2 mpho && f λ ⩵ c && c λ mpho ⩵ h
λ = 10-16 ; h = 6.626176 × 10-34 ; c = 2.99800 × 108 ; f = 2.998`*^24 ;
Photonenmasse mpho [kg] =
fh
= 2.2102 × 10-26
c2
Test der Wellenlänge als Materiewelle λ [m] =
h
mpho c
=
1. × 10-16
λ = 104 ; h = 6.626176 × 10-34 ; c = 2.99800 × 108 ;
Frequenz f [Hz] =
c
= 29 980.
λ
Photonenmasse mpho [kg] =
fh
= 2.2102 × 10-46
c2
Test der Wellenlänge als Materiewelle λ =
h
mpho c
= 10 000.
2.7.2.31 Die in der Mikrophysik geltenden Unschärferelationen, die auf Werner HEISENBERG (1901 1976) zurückgehen, können als Ort-Impuls-Unschärfebeziehung, Energie-Zeit-Unschärfebeziehung
bzw. Freuqenz-Zeit-Unschärfebeziehung formuliert werden:
Δp Δx ≥
h
oder
4π
ΔW Δt ≥
h
4π
oder
Δf Δt ≥
1
4π
2.7.2.32 Anstatt des Begriffes der Unschärfe ist vermutlich der Terminus der Unbestimmtheitsrelation
besser. Die erste der obigen Beziehungen besagt, dass man den Ort und den Impuls eines Objektes
niemals exakt gleichzeitig messen kann. Die Vorausbestimmung der Bahn eines Objektes ausgehend
vom Grundgesetz der Mechanik beruht jedoch genau auf dieser Messvorschrift, und zwar der exakten
Kenntnis des Startpunktes x0 und des Startimpulses p0 .
2.7.2.33
ableiten:
λ=
h
p
Mit den
;f=
W
h
Unschärferelationen (2.7.2.31)
; ReduceΔW Δt ⩵
Δt ≠ 0 && Δf ⩵
1
4 π Δt
&& ΔW ⩵ h Δf
h
4π
, Δf Δt ⩵
1
4π
lassen sich weitere interessante Beziehungen
, ΔW
12
h
ReduceΔp Δx ⩵
4π
, Δf Δt ⩵
1
4π
Δx ⩵ 0 && ΔW ⩵ 0 && Δt ≠ 0 && Δf ⩵
Δt ≠ 0 && Δf ⩵
1
4 π Δt
EliminateΔp Δx ==
, ΔW ⩵ h Δf, Δp
1
4 π Δt
&& h ⩵ 0 ||
&& h ⩵ 4 π Δt ΔW && Δx ≠ 0 && Δp ⩵
Δt ΔW
Δx
h
4π
, Δp ==
h Δf Δt
, Δx
Δx
4 h π Δf Δt ⩵ h && 4 π Δf Δp Δt ⩵ Δp
2.7.2.34 Als nächstes verknüpfen wir die bekannten Beziehungen für ein Photon mit den Unbestimmtheitsrelationen. Die Ruhemasse des Photons beträgt null, da sich das Photon im Vakuum mit
Lichtgeschwindigkeit bewegt. Photonen besitzen Energie. Mit der kinetischen Energie W pho  h f 
mpho c 2 bzw. dem Impuls ppho = mpho c findet man einen Ausdruck für die Impulsänderung Δp pho :
EliminateWpho ⩵ h f, Wpho ⩵ mpho c2 , ppho ⩵ mpho c, mpho , Wpho 
c ppho ⩵ f h
ppho =
fh
c
; Δppho =
SolveΔppho ⩵
h
h
c
Δf; Δppho =
1
c 4 π Δt
h
1
c 4 π Δt
, Δppho Δx ⩵
h
4π
;
, Δt
Δx
Δt →
c

☺ Versteckte Zelle beinhalt weitere Gedankenversuche, die alle, wie oben bereits erkennbar wurde,
direkt oder indirekt mit der Frage im Zusammenhang stehen, ob die Zeit diskret ist.
2.7.3 Relativistische Physik
2.7.3.1 Die relativistische Physik untergliedert man, was wissenschaftshistorisch erklärbar ist, in zwei
Säulen, in die spezielle und in die allgemeine Relativitätstheorie. Erstere liefert uns die Möglichkeit
relative Aussagen über Ereignisse zu treffen, die von unterschiedlichen Bezugssystemen her betrachtet werden, welche sich ausschließlich geradlinig und gleichförmig zueinander bewegen. Absolute
Aussagen zu den Bewegungen sind nicht möglich.
2.7.3.2 In der Allgemeinen Relativitätstheorie findet eine Erweiterung auf beschleunigte, also beliebige
Bewegungen statt, womit unweigerlich das Trägheitsprinzip (siehe Absatz 5.1.8 ) in den Fokus der
physikalischen Analyse gerät.
2.7.3.3 Über die Eigenschaft eines Körpers träge zu sein findet man einen eleganten Zugang zur
Herleitung der Gravitation [37]. Dazu werden unsere Sonne und die sie umkreisenden Planeten als
13
Punktmassen (Massepunkte) idealisiert, was bekanntermaßen auch für die Planetenbahnen gilt, die
nach dem ersten KEPLERschen Gesetz) keine Kreise sondern Ellipsen sind.
Anmerkung: Die nach Johannes KEPLER (1571 - 1630) benannten Gesetze lauten:
1. Die Planetenbahnen sind Ellipsen. In deren einem Brennpunkt steht die Sonne.
2. Der jeweilige Ortsvektor zwischen Planet und Sonne überstreicht in gleichen Zeiten
gleiche Flächen.
3. Die dritten Potenzen der großen Halbachsen zweier beliebiger Planenten stehen
zueinander im selben Verhältnis wie die Quadrate der zugehörigen Umlaufzeiten T i ,
a
3
also  1  = 
a2
T1 2
T2
Die Exzentrizität
 .
1 - b2  a2 
der Erde beträgt übrigens 0,01675, wobei a die große und b die
kleine Halbachse der Erdbahnellipse repräsentieren.
Solve
1 - verhältnisbzua 2 ⩵ .01675, verhältnisbzua 
{{verhältnisbzua → - 0.99986}, {verhältnisbzua → 0.99986}}
2.7.3.4 Zwei Planeten haben die Masse m1 und m2 sowie die Kreisbahnradien R1 und R2 . Ihre
Winkelgeschwindigkeiten ω 1 und ω 2 sind wegen der Annahme idealisierter Kreisbahnen als konstant anzusehen (2. KEPLERsche Gesetz). Gemäß dem Absatz 5.2.13 entsprechen ihre Trägheitskräfte den Zentrifugalkräften, welche sie auf ihre Umlaufbahn zwingen. Mit den Beziehungen (5.2.6)
(vgl. hierzu auch Absatz 2.1.2) gilt somit:
F1 = m 1 ω1 2 R1 = m 1
⟹
F1
F2
=
2π
T1
m 1 T2 2 R1
2
R1 und F2 = m2
⟹
m 2 T1 2 R2
also schlussendlich Fi ~
2π
T2
2
R2
mit dem 3. KEPLERschen Gesetz
F1
F2
m 1 T1 2
=
R2 3
R1 3
m1
R1
m 2 T1 2 R2
=
R1 2
m1
,
R2 2
mi
Ri 2
2.7.3.5 Dieselben Zentrifugalkräfte, die auf die Planeten wirken, verzeichnet auch die Sonne. Somit
gelten Proportionen, die uns, sofern man sie verallgemeinert, zum NEWTONschen Gravitationsge setz (5.1.11) führen (vgl. hierzu u. a. auch den Denkansatz zum Federgesetz gemäß Absatz 11.7 in
[58]):
Mit Fi ~ mSonne
Fi ~
mSonne mi
Ri
2
⟹
und verallgemeinert für zwei beliebige Massen
F ~
m1 m2
R2
2.7.3.6 Das Massenanziehungsgesetz (5.1.11) ist die Ursache für das Gewicht eines Körpers mit der
Masse m1 gegenüber der Masse m2 eines zweiten Körpers. Die Massen werden deshalb als
schwere Masse bezeichnet. Bei schweren Massen ist das Verhältnis der Massen dem Verhältnis der
Kräfte gleich, die auf sie im selben Schwerefeld wirken. Hingegen spricht man in der Physik von trägen
Massen, wenn das Verhältnis der Massen reziprok zum Verhältnis der Beschleunigungen ist, die sie
infolge einer identischen Krafteinwirkung erhalten würden (siehe Absatz 5.1.9).
14
2.7.3.7 Die Trägheitskraft ist der Schwerkraft entgegengerichtet. Träge Masse und schwere sind
gleich. Diese Erkenntnis geht auf GALILEIs Pendelversuche zurück. Er wies nach, dass die Pendeldauer mathematischer Pendel unterschiedlicher Massen aber gleicher Pendellänge am selben Ort
stets gleich ist (vgl. Abschnitt 25.1):
mSchwere g Sin[φ] L + mTrägheit L2 ∂t,t φ[t] = 0
Gemäß Absatz 25 _ 1 _ 6 gilt :
Mit φ ⪡ 1 ⇒ Sin[φ] ≈ φ
⟹
DSolve m Schwere g φ[t] L + mTrägheit L2 ∂t,t φ[t] ⩵ 0, φ[0] ⩵ a, φ '[0] ⩵ 0, φ[t], t
g t
φ[t] → a Cos
mSchwere
L

mTrägheit
2.7.3.8 Ausgerüstet mit dem Grundlagenwissen des Abschnittes 2.1 findet man im obigen Ergebnis
die interessante physikalische Größe der Kreisfrequenz ω  2π/T Periode einer Pendelschwingung, die
uns zur Gleichsetzung von mTrägheit ≡ mSchwere führt:
Solve
2π
TPeriode
2
⩵
L π
g
mSchwere
L
mTrägheit
, TPeriode 
mTrägheit
TPeriode →

g
mSchwere
2.7.3.9 Die Gleichheit von schwerer und träger Masse ist 1909 durch weitere, aber andersartige
Versuche, die Robert von EÖTVÖS (1848 - 1919) mittels einer Torsionswaage durchführte, aufs
Trefflichste bestätigt worden, wobei der relative Fehler auf den Wert 10 -9 gedrückt werden konnte. Im
Jahre 1965 gelang sogar eine Genauigkeit von 10 -11 [37].
2.7.3.10 Wir kehren nochmals zur Proportion (2.7.3.5) zurück, denn es fehlt noch eine Aussage zur
Proportionalitästkonstanten. Hierbei handelt es sich um die bereits mehrfach ausgewiesene Gravitationskonstante γ (siehe z. B. den Absatz 2.7.2.3). Deren Wert zu bestimmen, war ebenfalls nur über
ausgeklügelte Präzisionsmessungen möglich geworden.
Anmerkung: Mit den obigen Zusammenhängen und der Kenntnis der entsprechenden Daten, wie
Erdmasse M Erde ≅ 5,974 10 24 kg und genäherter Erdradius RErde ≅ 6,37 10 6 m bereitet es keine
Schwierigekeit die Beschleunigung eines sich auf der Erdoberfläche befindenden Körpers zu
bestimmen:
RErde = 6.37 × 106 , MErde = 5.974 × 1024 , γ = 6.672 × 10-11 , mKörper = 3324;
UmfangErde ⩵ 2 π RErde , ReduceG ⩵ mKörper g, G ⩵ - γ
mKörper MErde
RErde 2
, g 
UmfangErde ⩵ 4.00239 × 107 , G ⩵ - 32 651.5 && g ⩵ - 9.82296
2.7.3.11
Dem Ingenieur weniger bekannt ist, dass die uns heute selbstverständlich erscheinende
15
Gleichsetzung von träger und schwerer Masse, aus Sicht der klassischen Mechanik lange nicht erklärbar gewesen ist. Das gelang erst EINSTEIN. In seinen Gedankenexperimenten über beschleunigte
Bezugssyteme [139, S.125 f.] formulierte er sehr anschaulich und überzeugend, warum Trägheit und
Gravitation wesensgleich sind. Er wies die Identität der Wirkungen bei einer gleichförmig beschleunigten Bewegung und bei einer Bewegung im Gravitationsfeld nach. Ausschlaggebend ist der Standpunkt des Beobachters. Befindet er sich in einem beschleunigten Kasten, dann registriert er die
Wirkung eines Gravitationsfeldes. Wäre er jedoch außerhalb, dann beobachtete er eine gleichmäßig
beschleunigte Bewegung.
2.7.3.12 Die experimentell gesicherte Äquivalenz zwischen Trägheit und Schwere führte EINSTEIN im
Rahmen seiner allgemeinen Relativitätstheorie (ART) zur Formulierung seiner Äquivalenzhypothese,
gemäß der in einem abgeschlossenen System (z. B. einem Kasten) keine experimentelle Unterscheidung möglich ist, die eine Aussage dahingehend erlaubt, ob das Sytem in einem Gravitationsfeld ruht
oder ob es infolge anderer Kräfte gleichmäßig beschleunigt wird.
2.7.3.13 Wir ermitteln uns gemäß [139, S. 127]) die potentielle Energie, die notwendig wäre, um eine
der beiden Massen m1 oder m2 , die sich zueinander im Abstand R befinden, ins Unendliche zu
verschieben (vgl. Absatz 5.3.8). Mit dem Gravitationsgesetz (5.1.11) und der Gravitationskonstanten
γ = (6,6720 ± 0,0041) 10 -11 [m3 kg -1 s -2 ] folgt:
Fgrav = - γ
m1 m2
r2
∞
;  Fgrav ⅆ r ⩵ Wpot
R
ConditionalExpression -
γ m1 m2
R
⩵ Wpot , Im[R] ≠ 0 || R > 0
2.7.3.14 Im Unendlichen wäre die fiktive Geschwindigkeit der Masse m2 null. Fiele sie auf die Masse
m1 zurück würde die potenzielle Energie in kinetische Energie umgewandelt werden:
Solve
γ m1 m2
v → -
R
2
m2
⩵
2
v2 , v
m1
γ
, v →
R
2
γ
m1

R
2.7.3.15 Gemäß dem EINSTEINschen Äquivalenzprinzip ist es vollkommen gleichwertig ob die Masse
m2 in einem Abstand R von der Masse m1 entfernt in einem Gravitationsfeld ruht oder ob das Gravitationsfeld fehle und die Masse m2 in einem Abstand R von m 1 die Momentangeschwindigkeit v
besäße. Somit lautet die Fluchtgeschwindigkeit in [m/s] von der Erde bezüglich der Erdoberfläche:
RErde = 6.37 × 106 , MErde = 5.974 × 1024 , γ = 6.672 × 10-11 ;
vFlucht ⩵
2
γ
MErde
RErde
vFlucht ⩵ 11 186.8
2.7.3.16 In der speziellen Relativitätstheorie (SRT) werden Längen in Richtung einer geradliniggleichmäßigen Relativbewegung eines bestimmten bewegten Systems ∑ * vom Standpunkt eines
Beobachters in einem zweiten, als ruhend angenommen Systems ∑ verkürzt wahrgenommen. Der
Grund ist die Verkürzung des Maßstabes im bewegten System! Mit der Relativgeschwindigkeit v und
16
der Lichtgeschwindigkeit c folgt:
Δl = x2 - x1 = Δl*
2
1-
v2
bzw.
c2
Δl* = x2 * - x1 * = Δl
2
1-
v2
c2
2.7.3.17 Ein Beobachter auf der Sonne würde die Erde in Richtung ihrer Umlaufrichtung um die Sonne
bei einer Augenblicksmessung verkürzt wahrnehmen. Die momentane Umlaufgeschwindigkeit der
Erde um die Sonne beträgt v ≅ 29.8 km/s (siehe Absatz 2.7.2.1), der Erddurchmesser D ≈ 12 740 km.
Die sich für den Beobachter auf der Sonne ergebende relativistische Verkürzung beläuft sich auf 6,3
cm. Da diese nur in Bewegungsrichtung auftritt, verlöre die Erde für einen Sonnenbewohner ihre
theoretisch angenommene Kugelgestalt:
RErde = 6.37 × 106 , c = 299 800 000, v = 29 800,
Δl* = 2 RErde
2
1-
v2
c2
, relativistische_Verkürzung ⩵ Δl* - 2 RErde 
6.37 × 106 , 299 800 000, 29 800, 1.274 × 107 , relativistische_Verkürzung ⩵ - 0.0629374 
Anmerkung: Der Eigendurchmesser der Sonne erscheint einem Beobachter auf der Erde ebenfalls
verkürzt!
2.7.3.18 Jetzt wird in der relativistischen Beziehung (2.7.3.16) die Geschwindigkeit v durch den
Ausdruck des Absatzes 2.7.3.14 ersetzt, wobei wir für die Masse m1 verallgemeinert M schreiben.
Es ist folglich völlig gleichwertig, ob sich ein Beobachter in einer Entfernung R vom Gravitationszentrum M in Ruhe befindet oder ob er sich unter der Annahme eines fehlenden Gravitationsfeldes in
derselben Entfernung R mit einer konstanten Geschwindigkeit bewegt:
2
FullSimplify  Δl* ⩵ Δl
1-
2Mγ
c2 R
2
γ
R
1-
c2
M
2

Δl ⩵ Δl*
Anmerkung: Der Ausdruck gp =
Mγ
R
stellt das sogenannte Gravitationspotenzial dar.
2.7.3.19 Die Aussage der obigen Beziehung besagt: Ein Stab der Ruhelänge ΔL, der sich in Richtung
der Gravitationsfeldlinien mit der Momentangeschwindigkeit v bewegt, erfährt hinsichtlich des relativen Ruhesystemes eine Verkürzung. Das Auftreten einer Längenänderung in einem beschleunigtem
System bzw. in einem Gravitationsfeld hebt die Allgemeingültigeit der auf den griechischen Mathematiker EUKLID (um 365 v. Chr. - 300 v. Chr.) zurückgehenden EUKLIDischen Geometrie auf. Diese
fundamentale Effekt, kann recht anschaulich anhand des nachfolgenden Gedankenmodells demonstriert werden.
2.7.3.20 Wir betrachten den Umfang einer Kreischeibe, deren Mittelpunkt der Ursprungspunkt des
ruhenden Systems ∑ sei. Ein in ihm ruhender Beobachter mißt den Umfang der Kreisscheibe von U
= 2 π R mittels eines ihm zur Verfügung stehenden Maßstabes mit einer beliebig kleinen tangentialen
17
Länge dl ≈ ds.
2.7.3.21 Wir versetzen uns jetzt in die Situation eines sich mit der Winkelgeschwindigkeit ω um die
Ruheachse drehenden (bewegten) Beobachters. Die Annahme, dass eine Bewegung längs einer
Rotationsbahn für sehr, sehr kleine Zeitschritte als gleichmäßige Translation angesehen werden kann,
erlaubt uns die Anwendung der speziellen Relativitätstheorie (SRT). Der Radius, der senkrecht zur
Bahn verläuft erfährt keine Längenkontraktion. Hingegen unterliegt der Maßstab in tangentialer Richtung, jetzt aber vom bewegten System ∑* aus betrachtet, dem Effekt der Längenkontraktion. Es gilt
wieder:
ds* = ds
1-
2
v2
c2
.
Mit v = R ω
ds = R dα ⟶ U =  ⅆ s = 
U* ⩵ 
Winkel *
R
1-
2
2π
c
ds* = ds
R ⅆα = 2 π R
2
ⅆ α*
2
ⅆα
mit ⅆ α* =
2
1-
(R ω)2
c2
U* =  ⅆ s* = 
⟺
0
(R ω)2
0
folgt
1-
Winkel *
R
2
1-
c2
c2
0
ⅆ α*
2π
und Winkel * =
(R ω)2
(R ω)2
2
1-
(R ω)2
c2
2π
U* ⩵ 
2
1-
(R ω)2
c2
R
0
2
1-
(R ω)2
c
ⅆα
2
2
U* ⩵
1-
(R ω)2
c2
2πR
1-
R 2 ω2
c2
2.7.3.22 Das obige Ergebnis trägt in sich einen fundamentalen Widerspruch. Da die Relativitätstheorie
eine relative Veränderung von R unter den gegebenen Bedingungen nicht zuläßt, vergrößert sich,
formal gesehen, der Wert von π. Somit wird die EUKLIDische Geometrie zur Nicht-EUKLIDischen
Geometrie. Die Aufgabe des Axioms starrer Maßstäbe für das Ausmessen des Raumes, das sowohl in
der klassischen Mechanik als auch in der SRT galt, stellt eines der Kennzeichen der ART dar.
Anmerkung: Das obige Gedankenexperiment trägt in sich einen dualen Charakter. Einerseits wird ein
translatorischer, gleichförmiger Bewegungsansatz genutzt, womit man im Rahmen der SRT bleibt,
andererseits wissen wir, dass eine Kreisbewegung gemäß Absatz 5.2.6 eine beschleunigte Bewegung ist, wodurch wir uns gleichzeitig auch im Bedingungsgefüge der ART befinden.
18
Relativistische Vergrößerung der Zahl Pi in der ART
2.5
2.0
π */ π
1.5
1.0
0.5
0.0
0
5.0 × 107
1.0 × 108
1.5 × 108
2.0 × 108
2.5 × 108
3.0 × 108
ω in [ s -1 ]
2.7.3.23 Eine weitere wichtige Erkenntnis der SRT ist die Zeitdehnung. Uhren in einem geradlinig
gleichförmig bewegten Bezugssystem gehen von einem als ruhend angesehenen Bezugssystem
(Beobachter) langsamer. Bezüglich der Inertialsysteme ist die relativistische Zeitdilatation
unsymmetrisch:
Δt*
Δt = t2 - t1 =
2
1-
bzw.
Δt
Δt* = t2 * - t1 * =
v2
2
c2
1-
v2
c2
2.7.3.24 Wir gehen analog zum Absatz 2.7.3.18 vor und erhalten eine Beziehung, die formal den
Gangunterschied zweier Uhren erfasst, die sich im Abstand R in einem Gravitationsfeld befinden:
Δt* ⩵
Δt
1-
2Mγ
c2 R
2.7.3.25 Je größer die Masse M ist, auf der sich eine Uhr (angenommen in Ruhe) befindet, desto
langsamer wird ihr Gang aus Sicht des bewegten Systems sein:
R = 6.37 × 100 , M = 5.974 × 1024 , γ = 6.672 × 10-11 , c = 299 800 000 , Δt = 10-0 , kk = 1;
Δt
Table
1-
, {k, 1, 10} // N
2 (k M) γ
c2 (kk R)
{1.0007, 1.0014, 1.0021, 1.0028, 1.0035, 1.0042, 1.00491, 1.00562, 1.00633, 1.00704}
2.7.3.26 Die legendäre Rotverschiebung gilt als einer der Beweise für die Richtigkeit der ART. Es sei
darauf hingewiesen, dass diese Rotverschiebung, streng genommen, immer als Gravitations-Rotverschiebung bezeichnet werden sollte, da sie nicht mit der Rotverschiebung infolge des DOPPLEReffek -
19
tes (siehe SRT) verwechselt werden darf.
2.7.3.27 Atome vermögen Licht bestimmter Wellenlängen zu emittieren. Sie stellen somit ideale
Uhren dar, da man davon ausgehen kann, dass sie im Universum überall dieselbe Struktur und Verhaltensweise besitzen, womit auch die Ausstrahlung ihrer Frequenzen stets identisch sein sollte. Zwischen
der Wellenlänge und der Frequenz einer elektromagnetischen Welle besteht im Vakuum gemäß
Absatz 2.7.2.4 die funktionelle Verknüpfung:
c=fλ
mit
f=
1
T
womit folgt
T ~ λ
2.7.3.28 Eine Änderung der Zeitdifferenz bewirkt eine direkt proportionale Veränderung der Wellenlän gen. Bei einer Wellenlängenvergrößerung spricht man von einer Verschiebung in den Rotbereich (man
vgl. hierzu den Absatz 2.7.2.5). Mit der nachfolgenden Zahlenrechnung wird ein heuristischer Vergleich zwischen den auf der Sonnenoberfläche mit den auf der Erdoberfläche emittierten Spektrallinien
vorgestellt.
MErde = 5.98 × 1024 , MSonne = 1.98 × 1030 , RErde = 6.37 × 106 ,
RSonne = 6.95 × 108 , γ = 6.672 × 10-11 , c = 299 800 000 ;
-1
 NumberForm sonne =
1-
2 MSonne γ
c2 RSonne
, 15,
-1
NumberForm erde =
1-
2 MErde γ
c2 RErde
, 15, NumberForm [sonne - erde, 10]
1.00000211482553 , 1.00000000069688 , 2.114128653 × 10-6 
2.7.3.29 Den experimentellen Nachweis dieser sehr kleinen Wellenlängendifferenz von 2,114 10 -6 ,
die in Richtung Rot weist, zu erbringen, ist außerordentlich anspruchsvoll. Wesentlich einfacher
erschien es deshalb einen Versuch zu ersinnen, den man auf der Erde erbringen kann. Der würde
zwar eine weit größere Genauigkeit erfordern, böte aber die Möglichkeit verschiedenste Störgrößen
auszuschalten. Ein solches Experiment gelang Wissenschaftler schließlich 1960 mittels einer Frequenzmessung in einem Turm der Harvard-Universität in Cambridge (USA) [47][139]. Da f ∼ T -1 folgt
f* = f
1-
2Mγ
c2 R
.
2.7.3.30 Die obige Aussage bedeutet: Emittiert ein Atom an einem Ort mit einem Gravitationspotenzial
Mγ
R
= 0 (siehe Anmerkung zum Absatz 2.7.3.18) eine elektromagnetische Welle mit der Frequenz f,
so tritt unter denselben Bedingungen an einem Ort
Mγ
R
≠ 0 die kleinere Frequenz f
*
in Erscheinung.
Da der Harvard-Turm die Ausnutzung einer effektiven Höhe von 22,6 m bot, war theoretisch folgende
Frequenzdifferenz Δf zu erwarten:
20
MErde = 5.98 × 1024 , RErde = 6.37 × 106 , γ = 6.672 × 10-11 , c = 299 800 000 ;
NumberForm 1 -
Δf ⩵
1-
1-
2 MErde γ
c2 (RErde + 2 × 22.6)
2 MErde γ
2
c (RErde + 22.6)
-
1-
, 15, NumberForm 1 -
2 MErde γ
c
2
RErde
,
MErde γ 22.6
c2 RErde 2
1-
2 MErde γ
c2 RErde
, 15,

6.96869562055724 × 10-10 , 6.96874447037033 × 10-10 , Δf ⩵ 2.44249 × 10-15 , 2.47243 × 10-15 
2.7.3.31 Die unter Ausnutzung des MÖßBAUEReffektes (benannt nach dem deutschen Physiker
Rudolf Ludwig MÖSSBAUER (1929 - 2011)) durchgeführten Messungen bestätigten mit einer
Genauigkeit von 1% [47] die vorausgesagten Werte.
Anmerkung: Um die diesbezüglichen, scheinbar widersprüchlichen Aussagen in [47] und [139]
sachlich beurteilen zu können, müsste unbedingt die Originalquelle zurate gezogen werden, was ich
aber bisher unterlassen habe, da ich mich mit der vorgestellten Problematik nicht intensiver beschäftigen möchte.
2.7.3.32 In der SRT stellt die Lichtgeschwindigkeit eine absolute Größe dar, da sich das Licht in jedem
Inertialsystem isotrop mit demselben Wert ausbreitet. Im Kontext der ART geht dieser absolute Charakter jedoch verloren. Befindet sich ein Beobachter einschließlich seines Messlabors frei im Gravitationsfeld der Masse M, dann gelten gemäß Absatz 2.7.3.24 (vgl. auch Absatz 2.7.3.30) an jedem Ort
andere Zeitabläufe, womit sich die Frage stellt, welche Geschwindigkeit eigentlich gemessen wird?
2.7.3.33 Um sie zu beantworten, bietet sich ein Gedankenmodell an. In einem beschleunigten
Laborkasten, der sich im Gravitationsfeld der Masse M im freien Fall befindet, seien eine Lichtquelle
Q und ein Spiegel Sp instaliert. Sie besitzen zueinander den Abstand L (siehe Bild 2.7.3.33). Die
gewählten Abmessungen sind so klein, dass wir für die Dauer des Messvorganges mit einer gleichbleibenden Momentangeschwindigkeit v arbeiten dürfen.
21
Bild 2.7.3.33: Versuchslabor in einem frei fallenden Kasten
2.7.3.34
Ein Experimentalphysiker, der sich außerhalb des Kasten aufhält, soll die Licht-
geschwindigkeit c messen. Anhand des Bildes 2.7.3.33 erhält man für die beiden Strecken Q 1 SP2
(Hinweg) und SP2 Q3 (Rückweg):
c t1 =
(v t1 Cos[φ] + L)2 + (v t1 Sin[φ])2 , c t2 =
(- v t2 Cos[φ] + L)2 + (v t2 Sin[φ])2
2.7.3.35 Wir lösen nach t1 bzw. t2 auf und addieren die beiden Zeiten zur Gesamtzeit t = t 1 + t2 , die
der äußere Beobachter messen würde:
FullSimplify Solvec t1 ⩵
FullSimplify Solvec t2 ⩵
t1 → - 2 L v Cos[φ] +
2
(v t1 Cos[φ] + L)2 + (v t1 Sin[φ])2 , t1 ,
(- v t2 Cos[φ] + L)2 + (v t2 Sin[φ])2 , t2 
L2 2 c2 - v2 + v2 Cos[2 φ]   - 2 c2 + 2 v2 ,
t1 → 2 L v Cos[φ] +
2
L2 2 c2 - v2 + v2 Cos[2 φ]   2 c2 - 2 v2 ,
t2 → 2 L v Cos[φ] +
2
L2 2 c2 - v2 + v2 Cos[2 φ]   - 2 c2 + 2 v2 ,
t2 → - 2 L v Cos[φ] +
2
L2 2 c2 - v2 + v2 Cos[2 φ]   2 c2 - v2 
22
Simplifyt ⩵
1
2 c2 - 2 v2
- 2 L v Cos[φ] +
2
t⩵
2 L v Cos[φ] +
L2 2 c2 - v2 + v2 Cos[2 φ]  +
2
L2 2 c2 - v2 + v2 Cos[2 φ]   2 c2 - v2 
2
L2 2 c2 - v2 + v2 Cos[2 φ]
c2 - v2
Anmerkung: Zwischentest zu [139, S.136]
FullSimplify 
1
c2 - v2
-2 L
L2 2 c2 - v2 + v2 Cos[2 φ]
2
c2 - v2
c2 - v2 + v2 Cos[φ]2 +
c2 - v2 + v2 (Cos[φ])2
2L
⩵
L2 2 c2 - v2 + v2 Cos[2 φ]
2

c2 - v2
⩵0
2.7.3.36 Eine sich im Kasten befindende Person misst jedoch wegen der Längenkontraktion (vgl. u. a.
Absatz 2.7.3.18) und der Zeitdilatation (vgl. u. a. Absatz 2.7.3.23) die Lichtgeschwindigkeit c * . Gemäß
Bild 2.7.3.22 gilt dann c *  2 L * /t * . Mit
2
t* =
L*2 2 c2 - v2 + v2 Cos[2 φ]
2
c -v
2
und
2 L*
c* ⩵ FullSimplify 
2
L*2 2 c2 -v2 +v2 Cos[2 φ]
v=
/. v →
2Mγ
folgt schließlich
R
2Mγ
R

c2 -v2
c2 R - 2 M γ L*
c* ⩵
R
c2 R-M γ+M γ Cos[2 φ] (L* )2
R
Anmerkung: Zwischentest zu [139, S.136]
2.7.3.37 Nach einigen Umformungen erhalten wir schließlich die blau hervorgehobene Form für c *
mit dem Gravitationspotenzial gp = M γ / R (siehe Anmerkung zum Absatz 2.7.3.18):
23
c =
2Mγ
c 1 -
c2 R - 2 M γ L*
*
R c2
=
R
c2 R-M γ+M γ Cos[2 φ] (L* )2
1 -
R
1
mit ( Cos[φ])2 =
+
2
1
2
2Mγ
c 1 -
R c2
c =
1 -
c2 R
+
Mγ
c2 R
1 -
2 gp
c2
+
2 gp
c2
Cos[2 φ]
Mγ
⟹
R
2 ( Cos[φ])2 - 1 = Cos[2 φ] sowie
c 1 -

=
2 ( Cos[φ]) - 1
c2
c* =
c2 R
2
2 gp
c 1 -
Mγ
+
Cos[2 φ] und gp =
*
Mγ
Mγ
c2 R

gp
1 -
c2
+
2 gp
c2
2 gp
c2

=
( Cos[φ])2 -
gp
c2


( Cos[φ])2
2.7.3.38 Die Lichtgeschwindigkeit c * ist in einem Gravitationsfeld orts- und richtungsabhängig. Wegen
der enormen Kleinheit der Abweichungen konnte dieser Effekt meines Wissens auf der Erdoberfläche
bisher noch nicht nachgewiesen werden. Um dies zu verdeutlichen, vergleichen wir die beiden Richtungseffekte, wenn der Lichtstrahl horizontal bzw. vertikal zur Erdoberfläche verläuft:
MErde = 5.98 × 1024 , RErde = 6.37 × 106+0 , γ = 6.672 × 10-11 , c = 299 800 000 , gp =
2 gp
c 1 -
c2
*
ch ⩵ NumberForm 
1 -
2 gp
c2
+
2 gp
c2
+
, 25,
 Cos 
2 gp
cv* ⩵ NumberForm 
2 gp
c2
2 gp
, 25,
( Cos[0])2
c2
2 gp
*
ch - cv ⩵ NumberForm 
1 -
2 gp
c2
literatur ⩵ NumberForm c 1 -
2

c 1 *
;
2
c 1 1 -
RErde

π
c2
MErde γ
+
gp
c2
2 gp
c2
c2
c 1 -

π
 Cos 
- c 1-
2 gp
2
2
2 gp
c2
, 25,
1 gp
c2
2 gp
+
c2
,c
gp
c2
ch* ⩵ 2.997999997910771 × 108 ,
cv* ⩵ 2.997999995821541 × 108 , ch* - cv* ⩵ 0.2089229822158813 ,
literatur ⩵ 0.2089229226112366 , 6.96874 × 10-10 , 0.208923
2 gp
c2

c2

( Cos[0])2
, 25,
24
c
*
in Abhängigkeit von φ (siehe Bild 27.3.7.33)
2.998 × 108
2.998 × 108
c
*
2.998 × 108
2.998 × 108
2.998 × 108
0
1
2
3
4
5
6
φ in [ rad ]
Bild 2.7.3.38: Richtungsabhängigkeit der Lichtgeschwindigkeit im Gravitationsfeld
(blau - an der Erdoberfläche, rot - Vakuumlichtgeschwindigkeit)
2.7.3.39 Ein weiteres sehr bekanntes Phänomen die ART ist die Lichtablenkung in einem Gravitationsfeld. Verallgemeinert betrachtet, stellt ein Gravitationsfeld hinsichtlich des Lichtes ein Medium mit
variablem Brechungsindex dar. Verallgemeinert betrachtet, läuft ein Lichtstrahl im Gravitationsfeld
einer gekrümmten Bahn entlang. Nur im Sonderfall ist diese als eine Gerade anzusehen. Dieser Effekt
lässt sich anhand eines im völlig gravitationfreien Raum bewegten Kastens, der von einem Lichtstrahl
durchdrungen wird, wegen der Äquivalenz von Gravitation und Trägheit anschaulich erläutern. Ausgangspunkt ist der ruhende Kasten. Ein ihn durchdringende Lichtstrahl ist eine Gerade. Wird der
Kasten mit konstanter Geschwindigkeit senkrecht zu dieser Lichtstrahlgeraden bewegt, dann wird diese
weggedreht, sodass sie der Bewegungsrichtung des Kastens tendenziell entegegen läuft. Findet
schließlich eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung des Kastens statt, dann kommt es zu einer
Verstärkung dieses Effektes, da der Lichtstrahl entgegen der Kastenbewegung eine Krümmung
erfährt.
2.7.3.40
Wir berechnen die Ablenkung eines Lichtstrahles, der an einer Masse M entlang führt
___ ___ __
___ ___ __
(siehe Bild 2.7.3.40). Die Wellenfront W W * geht im Abstand r  M W A
an der Masse M vorbei,
wobei sie mit der Gravitationsrichtung den Winkel φ einschließt. Im Punkt W A beträgt die Lichtgeschwindigkeit cφ 
dy
dt
W A * beträgt sie cφ + dcφ . Da sie größer wird (vgl. hierzu
. Im Raumpunkt
Bild 2.7.3.38), kommt es zu unterschiedlichen Lichtgeschwindigkeiten, die eine Drehung der Wellen front um dϑ bewirken. Der differenzielle Zuwachs lautet dc φ =
∂ cφ
dt folgt schließlich dϑ 
d cφ dt
dx

∂x
dx dt
dx

∂ cφ
∂x
dt 
∂ cφ dy
∂x
cφ
.
∂ cφ
∂x
dx. Mit der Strecke W A * W B *  dcφ
25
Bild 2.7.3.40: Lichtstrahlablenkung im Gravitationsfeld einer Masse (gemäß [139])
2.7.3.41
Als Beispiel untersuchen wir die Lichtstrahlablenkung im Gravitationsfeld unserer Sonne.
Dazu wählen wird als Bezugsgerade die Lichtstrahltangente im Abstand x  R Sonne  6,95 10 8 m und
∞
erhalten die Gesamtablenkung δ als Integral δ  ∫-∞d ϑ ⅆ y:
SolveEliminategp ⩵
MSonne γ
r
c 1 , cφ ⩵
1 -
Cos[φ] ->
y
r
2 gp
2 gp
c2
+
2 gp
c2
c2

,r⩵
x2 + y2  /.
( Cos[φ])2
, {r, gp}, cφ
cφ →
-  c6 x6 + 3 c6 x4 y2 + 3 c6 x2 y4 + c6 y6 - 2 c4 x4
MSonne - 4 c4 y4
x2 + y2 γ MSonne - 6 c4 x2 y2
2
x2 + y2 γ MSonne - 4 c2 x4 γ2 MSonne
+
2
4 c2 y4 γ2 MSonne
+ 8 x2
3
x2 + y2 γ3 MSonne

2
√ c4 x6 + 3 c4 x4 y2 + 3 c4 x2 y4 + c4 y6 - 4 x4 γ2 MSonne
,
cφ →  c6 x6 + 3 c6 x4 y2 + 3 c6 x2 y4 + c6 y6 - 2 c4 x4
6 c4 x2 y2
x2 + y2 γ MSonne - 4 c4 y4
x2 + y2 γ MSonne -
x2 + y2 γ MSonne -
2
2
4 c2 x4 γ2 MSonne
+ 4 c2 y4 γ2 MSonne
+ 8 x2
3
x2 + y2 γ3 MSonne
2


x2 + y2 γ
26
cφ1 = -  c6 x6 + 3 c6 x4 y2 + 3 c6 x2 y4 + c6 y6 - 2 c4 x4
6 c4 x2 y2
x2 + y2 γ MSonne -
x2 + y2 γ MSonne -
2
2
4 c2 x4 γ2 MSonne
+ 8 x2
3
x2 + y2 γ3 MSonne

2
,
cφ2 =  c6 x6 + 3 c6 x4 y2 + 3 c6 x2 y4 + c6 y6 - 2 c4 x4
6 c4 x2 y2
x2 + y2 γ MSonne -
x2 + y2 γ MSonne -
2
2
4 c2 x4 γ2 MSonne
+ 8 x2
3
x2 + y2 γ3 MSonne
2
 /.
MSonne -> 1.98 × 1030 , γ -> 6.672 × 10-11 ,
c ->
299 800 000,
x → RSonne /. RSonne → 6.95 × 108 , y → 0
- 2.99799 × 108 , 2.99799 × 108 

27
cφ2, deltacphi = ∂x cφ2, deltacphi /. MSonne -> 1.98 × 1030 ,
γ -> 6.672 × 10-11 , c -> 299 800 000, x → RSonne /. RSonne → 6.95 × 108 , y → 100 
  c6 x6 + 3 c6 x4 y2 + 3 c6 x2 y4 + c6 y6 - 2 c4 x4
4 c4 y4
2
2
+ 8 x2
x2 + y2 γ MSonne -
3
x2 + y2 γ3 MSonne
2
,
6 c6 x5 + 12 c6 x3 y2 + 6 c6 x y4 -
2 c4 x5 γ MSonne
2
x +y
4 c4 x y4 γ MSonne
- 8 c4 x3
-
2
6 c4 x3 y2 γ MSonne
2
x +y
x2 + y2 γ MSonne - 12 c4 x y2
-
2
x2 + y2 γ MSonne -
x2 + y2
2
16 c2 x3 γ2 MSonne
+
3
8 x3 γ3 MSonne
2
x +y
+ 16 x
3
x2 + y2 γ3 MSonne

2
2
2 √ c4 x6 + 3 c4 x4 y2 + 3 c4 x2 y4 + c4 y6 - 4 x4 γ2 MSonne
  c6 x6 + 3 c6 x4 y2 +
3 c6 x2 y4 + c6 y6 - 2 c4 x4
2
2
+ 8 x2
3
x2 + y2 γ3 MSonne
-
2
6 c4 x5 + 12 c4 x3 y2 + 6 c4 x y4 - 16 x3 γ2 MSonne
  c6 x6 + 3 c6 x4 y2 + 3 c6 x2 y4 + c6 y6 -
2 c4 x4
2
2
4 c2 x4 γ2 MSonne
+ 8 x2
3
x2 + y2 γ3 MSonne
2
2 c4 x6 + 3 c4 x4 y2 + 3 c4 x2 y4 + c4 y6 - 4 x4 γ2 MSonne

3/2
x2 + y2 γ MSonne -

, 9.12265 × 10-7 

28
deltacphixconstant = deltacphi /. MSonne -> 1.98 × 1030 ,
γ -> 6.672 × 10-11 , c -> 299 800 000, x → RSonne /. RSonne → 6.95 × 108 ,
cφ2xkonstant = cφ2 /. MSonne -> 1.98 × 1030 , γ -> 6.672 × 10-11 ,
c -> 299 800 000, x → RSonne /. RSonne → 6.95 × 108 
 7.06423 × 1095 + 2.925 × 1078 y2 + 3.02779 × 1060 y4 3.461 × 1098
4.83025 × 10
17
2.86611 × 1081
+y
2
2.14958 × 1081 y2
4.83025 × 10
17
+y
2
2.96683 × 1063 y4
4.83025 × 10
4.83025 × 1017 + y2 - 8.90049 × 1063 y2
17
+y
2
4.83025 × 1017 + y2

2 √ 9.10406 × 1086 + 5.65441 × 1069 y2 + 1.17062 × 1052 y4 +
8 078 421 590 401 600 000 000 000 000 000 000 y6 
 8.18274 × 10103 + 5.08218 × 1086 y2 + 1.05216 × 1069 y4 +
726 088 855 682 159 424 064 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 y6 4.97986 × 1089
4.83025 × 1017 + y2 - 3.09292 × 1072 y2
4.26882 × 1054 y4
4.83025 × 1017 + y2
4.83025 × 1017 + y2 -
-
7.85962 × 1078 + 3.25433 × 1061 y2 + 3.3687 × 1043 y4 
 8.18274 × 10103 + 5.08218 × 1086 y2 + 1.05216 × 1069 y4 +
726 088 855 682 159 424 064 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 y6 4.97986 × 1089
4.83025 × 1017 + y2 - 3.09292 × 1072 y2
4.26882 × 1054 y4
4.83025 × 1017 + y2
4.83025 × 1017 + y2 -

2 9.10406 × 1086 + 5.65441 × 1069 y2 + 1.17062 × 1052 y4 +
8 078 421 590 401 600 000 000 000 000 000 000 y6 
3/2
,
 8.18274 × 10103 + 5.08218 × 1086 y2 + 1.05216 × 1069 y4 +
726 088 855 682 159 424 064 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 y6 4.97986 × 1089
4.26882 × 1054 y4
4.83025 × 1017 + y2 - 3.09292 × 1072 y2
4.83025 × 1017 + y2

√ 9.10406 × 1086 + 5.65441 × 1069 y2 + 1.17062 × 1052 y4 +
8 078 421 590 401 600 000 000 000 000 000 000 y6 
4.83025 × 1017 + y2 -
29
AE = 1.496 × 1011 ; Lichtjahr[in_m] ⩵ 63 240 AE ,
δ[in_Bogensekunden ] ⩵ NIntegrate 
deltacphixconstant
cφ2xkonstant
, {y, - AE, AE}
360
2π
3600
Lichtjahr[in_m] ⩵ 9.4607 × 1015 , δ[in_Bogensekunden ] ⩵ 1.74482
2.7.3.42 Das obige Ergebnis lässt sich recht einfach interpretieren. Der Lichtstrahl eines Fixsternes,
der exakt an der Sonne vorbeigeht erhält für den Beobachter auf der Erde eine “Brechung” von ∼
1,75´´. Als Integrationslänge wurde der zweifache Abstand “Erde-Sonne”, welcher übrigens einer
astronomischen Einheit AE ≏ 1,496 10 8 km entspricht, gewählt. In [139, S. 145] findet man übrigens in
Kurzform einen Überblick zur faszinierenden Geschichte der zugehörigen astronomischen Messungen.
2.7.3.43 Die bereits 1801 von Johann Georg von SOLDNER gemäß der NEWTONschen Mechanik
berechnete Ablenkung betrug übrigens δ ∼ 0,84´´ [140]. Voraussetzung seiner bemerkenswerten
Analyse war die Anahme, dass das Licht aus Korpuskeln besteht.
2.7.3.44 Der dritte, die ART bestätigende messtechnisch nachweisbare Effekt ist die Periheldrehung
der Planeten, auf die ich aber erst im Unterabschnitt 2.7.4 beabsichtige einzugehen.
2.7.3.45 Zusammengefasst lauten die wesentlichen Erkenntnisse der ART [139]:
- Das allgemeine Relativitätsprinzip besagt, dass alle physikalischen Gesetze hinsichtlich jeglicher
Transformation invariant (kovariant) sind, womit ihre Beschreibung aus Sicht beliebig gegeneinander
bewegter Bezugssysteme vollkommen gleichwertig ist.
- Trägheit und Gravitation sind äqivalent. Anders ausgedrückt: Gravitationsfelder und Beschleunigungssysteme sind gleichwertig (Äquivalenzprinzip von Trägheit und Gravitation).
- In einem Gravitationsfeld bzw. in einem Beschleunigungssystem verkürzen sich die Längenmaßstäbe und die Uhren gehen langsamer. Die EUKLIDische Geometrie versagt, es wird eine NichtEUKLIDische Geometrie erforderlich.
- Die klassische NEWTONsche Gravitationstheorie stellt den Sonderfall der ART dar.
- Die Lichtgeschwindigkeit c ist in einem Gravitationsfeld keine Konstante.
2.7.3.46 Hingegen sind als die wichtigsten Erkenntnisse der SRT zu nennen [139]:
- Die Lichtgeschwindigkeit c ist im Vakuum isotrop und konstant. Es gibt keine Rückkoplung zur
Lichtquelle, solange diese sich geradlinig und gleichförmig bewegt. Sie stellt die Grenzgeschwindigkeit für alle Teilchen oder Energietransporte dar.
Anmerkung: Vakuum bedeutet auch, dass es sich um einen feldfreien Raum handelt!
- Die GALILEItransformationen stellen den Sonderfall der LORENTZtransformationen für v ⪡ c dar.
Sämtliche zueinander geradlinig und gleichförmig bewegte Bezugssysteme erforden die Anwendung
der LORENTZtransformationen. Das gilt für alle uns bekannten physikalischen Vorgänge.
- Wenn die Geschwindigkeiten v  c sind, muss das EINSTEINsche Additionstheorem der
Geschwindigkeiten angewendet werden. Weiterhin sind dann Länge, Zeitdauer und Masse in den
einzelnen zueinander geradlinig und gleichförmig bewegten Bezugssystemen unterschiedlich zu
bewerten.
- Masse und Energie sind äquivalent.
2.7.3.47 In der SRT existieren die nachfolgenden relativistischen Energiebeziehungen:
30
mruhe
mbewegt =
1-
, Wgesamt ⩵ mbewegt c2 , Wkin = mbewegt - mruhe  c2 , Wgesamt = Wkin + Wruhe 
v2
c2
2.7.3.48 Wir weisen rückwirkend den Zusammenhang der zwischen den obigen Zuordnungen und der
Definition der kinetischen Energie gemäß der klassischen Mechanik (siehe Absatz 5.3.7) besteht, wie
er sich für v ⪡ c ergibt:
mruhe
FactorWkin ⩵
1-
c2 - 1 +
v
- mruhe c2 
2
c2
c2 -v2
c2
mruhe
Wkin ⩵ c2 -v2
c2
c2 - 1 +
c2 -v2
c2
mruhe
Wkin ⩵ Series-
, {v, 0, 10}
c2 -v2
c2
Wkin ⩵
mruhe v2
2
+
3 mruhe v4
8 c2
+
5 mruhe v6
16 c4
+
35 mruhe v8
128 c6
+
63 mruhe v10
256 c8
+ O[v]11
2.7.3.49 Numerischer Vergleich für verschiedene Geschwindigkeiten:
c = 299 800 000, mruhe = 10-20 , v = 2 × 108 // N;
31
1-
v2
c2
mbewegt =
:
c2 - 1. v2
c
1.88097 × 10-28 c
c2 - 1. v2
Wruhe = 1.88097 × 10-28 c2
mbewegt - mruhe = - 1.88097 × 10-28 +
1.88097 × 10-28 c
c2 - 1. v2
Relativistische kinetsche Energie
Wkin,rel = c2 - 1.88097 × 10-28 +
1.88097 × 10-28 c
c2 - 1. v2
Nichtrelativistische kinetische Energie
Wkin,klass = 9.40485 × 10-29 v2
Vergleich Wkin, klassisch mit Wkin,relativ
Wkin,rel (rot)
0.01
Wkin, klass (blau),
0.001
10-4
1.0 × 108
1.5 × 108
2.0 × 108
3.0 × 108
Geschwindigkeit [m/s]
2.7.3.50 Wir betrachten den Zerfall von Myonen als eines der Standardbeispiele zur Bestätigung der
Speziellen Relativitätstheorie (SRT). Nach [47] gilt:
Δt zerfall = 2.2 10 -6 [s]
v myon
= 0,9998 c
- Zerfallszeit eines Myons, bezogen auf das ruhende
Bezugssystem Σ eines Beobachters
- Mittelwert der Geschwindigkeit eines Myons auf dem
Weg aus einer Höhe von ca. 38 km bis zur Erdoberfläche
2.7.3.51 Der zurückgelegte Weg des Myons bezüglich der obigen Geschwindigkeit und Zerfallszeit
betrüge folglich
32
c = 299 800 000, vmyon = 0.9998 c, Δtzerfall = 2.2 × 10-6 , Δszerfall ⩵ vmyon Δtzerfall Meter
299 800 000, 2.9974 × 108 , 2.2 × 10-6 , Δszerfall ⩵ 659.428 Meter
2.7.3.52 Diese Strecke von ca. 660 m widerspricht der Tatsache, dass Myonen auf der Erdoberfläche
nachweisbar sind. Es muss also eine relativistische Zeitdehnung im bewegten Bezugssystem Σ *
vorliegen:
Δτgedehnt = Δtzerfall 
1-
vmyon 2
c2
, Δsgestreckt ⩵ vmyon Δτgedehnt
Meter
0.000110006 , Δsgestreckt ⩵ 32 973.1 Meter
2.7.3.53 Es wird eine ergänzende Vergleichsüberlegung angestellt, wobei ich über die Energiebetrach tung versuche, einen anderen Zugang zu finden. Die mittlere Energie der Myonen beträgt nach [47]:
W mittel ∼ 5 GeV ≏ 5 10 9 1,602 1773 10 - 19 Joule ≏ 5 10 9 1,602 1773 10 - 19 Nm ≏ 1
kg m²
s²
-
2.7.3.54 Zunächst verknüpfen wir den Energiewert von 5 Giga-Elektronenvolt mit der Ruhemasse
eines Myons m ruhe ≈ 206.7 ⨯ 9.1094 10 - 31 [kg] über den kinetischen Energieansatz und bestimmen
die zugehörige mittlere Geschwindigkeit in [m/s]:
mruhe = 206.7 * 9.1 × 10-31 ;
Solve W mittel /. W mittel -> 5 × 109 1.6021773 × 10-19 ⩵
1
2
mruhe vmittel 2 , vmittel 
vmittel → - 2.91853 × 109 , vmittel → 2.91853 × 109 
2.7.3.55 Demnach wäre v mittel > c. Das bedeutet, der kinetische Energieansatz mit der obigen Ruhemasse ist falsch. Es folgt der Versuch über den relativistischen Masseansatz m bewegt , der offensichtlich
zutreffend ist. Anschließend werden noch die Gruppen- und die Phasengeschwindigkeit der
entsprechenden Materiewelle berechnet:
mruhe = 206.7 * 9.1 × 10-31 ;
Solvec ⩵ 299 800 000,
Wgesamt /. Wgesamt -> 5 × 109 1.6021773 × 10-19 ⩵ mbewegt c2 , mbewegt ⩵
mruhe
1-
vmyon → - 2.99733 × 108 , vmyon → 2.99733 × 108 
vmyon 2
c2
, vmyon 
33
Frequenz der Materiewelle : f =
vgruppe =
c
f2 h2 - c4 mRuhe 2
fh
c =
2.998 × 108
vphase =
2.99867 × 108
2.7.4 Astrophysik
Wgesamt
h
= 1.20897 × 1024
= 2.99733 × 108

Baudynamik und Zustandsanalyse

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