Theorie und Lösung partieller Differentialgleichungen

Fachbereich Mathematik
Universität Siegen
Theorie
und Praxis
für Karrieren
von morgen
Theorie und Lösung partieller Differenzialgleichungen
Wintersemester 2004/2005
t.
T
u( 0, t ) = 0
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u
0
0
u( L, t ) = 0
= c u
u( x, 0 )
ut ( x, 0 )
= u0 (x)
= u1 (x)
.................................................................
L
x
PD Dr. Robert Plato
Fachbereich Mathematik
Universität Siegen
E Mail:
Internet:
[email protected]
http://www.math.uni-siegen.de/˜plato
INHALTSVERZEICHNIS
i
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
1
2
i
Transport und Diffusion
1.1 Mathematische Modellierung des Transports von Flüssigkeiten . . . . . . . .
1.1.1 Allgemeine Lösung der räumlich halbunendlichen Transportgleichung
1.2 Diffusionsgleichung – Mathematische Modellierung . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Die Fouriersche Methode für die Diffusionsgleichung . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Trennung der Veränderlichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Anpassung an die Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Superposition – Anpassung an die Anfangsbedingung . . . . . . . .
1.4 Einführung in die Theorie der Fourierreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Orthogonalität trigonometrischer Monome . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Fourierreihen reellwertiger und komplexwertiger Funktionen . . . . .
1.4.3 Konvergenz von Fourierreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.4 Fourierentwicklung gerader und ungerader Funktionen . . . . . . . .
1.4.5 Allgemeine Intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Mathematische Analysis zum Separationsansatz . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Lösungsdarstellung über die Greensche Funktion . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Separationsansatz für die inhomogene Wärmeleitungsgleichung . . . . . . .
1.7.1 Nullrand- und Anfangsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.2 Allgemeine Rand- und Anfangsbedingungen . . . . . . . . . . . . .
1.8 Maximum– Minimum– Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9 Anfangswertproblem für die eindimensionale Diffusionsgleichung . . . . . .
1.10 Erhaltungsprinzipien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10.1 Nichnegativität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10.2 Massenerhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11 Black– Scholes– Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11.2 Zeitliche Transformation der Differenzialgleichung . . . . . . . . . .
1.11.3 Räumliche Transformation der Differenzialgleichung . . . . . . . . .
1.11.4 Elimination des ableitungsfreien Anteils . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11.5 Konstruktion der Lösung für preisunabhängige Volatilitäten . . . . .
1.11.6 Implizierte Volatilitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11.7 Weitere Themen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
–
Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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29
29
Wellenausbreitung – Mathematische Modellierung und numerische L ösung
2.1 Mathematische Modellierung der Ausbreitung von Wellen . . . . . . . .
2.1.1 Die räumlich eindimensionale Ausbreitung von Wellen . . . . . .
2.1.2 Die räumlich zweidimensionale Ausbreitung von Wellen . . . . .
2.1.3 Die räumlich dreidimensionale Ausbreitung von Wellen . . . . .
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INHALTSVERZEICHNIS
ii
2.2
2.3
2.4
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2.6
2.7
2.8
2.9
2.1.4 Nichtlineare Schwingungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die räumlich eindimensionale, unbeschränkte Schwingungsgleichung . . . . . .
Die Fouriersche Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Trennung der Veränderlichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Anpassung an die Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Superposition – Anpassung an die Anfangsbedingung . . . . . . . . . .
Mathematische Analysis zum Separationsansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Energie, Eindeutigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ebene Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sphärische Wellenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.1 Der räumlich dreidimensionale Fall d = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.2 Der räumlich zweidimensionale Fall d = 2 . . . . . . . . . . . . . . . .
Trennung der Veränderlichen im mehrdimensionalen Fall . . . . . . . . . . . . .
Nachtrag zur räumlich unbeschränkten eindimensionalen Schwingungsgleichung
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3
Klassifikation partieller Differenzialgleichungen
47
3.1 Quasilineare partielle Differenzialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2 Charakteristiken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3 Typeneinteilung quasilinearer Differenzialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4
Die Poissongleichung
4.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Klassifkation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Der rotationssymmetrische Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Der Torus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Der zweidimensionale Fall, Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Der Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2 Der Kreisring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Die Poisson– Gleichung in der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Gaußscher Integralsatz und Greensche Formeln in der Ebene . . . . . . . . . . . .
4.5.2 Dirichlet-Randdaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.3 Neumann-Randdaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Mittelwerteigenschaft harmonischer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7 Maximumprinzip und Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8 Greensche Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8.1 Darstellungssätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8.2 Lösung des Dirichletproblems für die Laplacegleichung mittels Greenscher Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8.3 Greensche Funktion für die dreidimensionale Kugel . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8.4 Lösung des Dirichletproblems für die Potentialgleichung mittels Greenscher Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8.5 Eigenschaften Greenscher Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.9 Die Laplace– Gleichung für den Kreissektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.9.1 Einspringende Ecken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.10 Der Separationsansatz für die Laplace– Gleichung auf beschränkten Rechteckgebieten . .
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INHALTSVERZEICHNIS
iii
4.11 Der Separationsansatz für die Laplace– Gleichung auf unbeschränkten Gebieten . . . . . . . 73
5
6
Schwache Lösungen
5.1 Poisson– Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Erweiterte Testräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.3 Allgemeine Theorie für Variationsgleichungen . . . . . . . .
5.1.4 Schwache Ableitungen, Sobolevraum H 1 (D ) . . . . . . . . .
5.1.5 Sobolevräume höherer Ordnung, Gaußscher Integralsatz . . .
5.1.6 Schwache Formulierung der Poisson– Gleichung auf H 1 (D ) .
5.1.7 Andere Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Andere elliptische Differenzialgleichungen . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Stetigkeit der Bilinearform a . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 H01 (D )– Elliptizität der Bilinearform a . . . . . . . . . . . .
5.2.3 Inhomogene Dirichlet-Randbedingungen . . . . . . . . . . .
5.3 Wärmeleitungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Schwache Formulierung bzgl. x . . . . . . . . . . . . . . . .
Strömungsverhalten – Mathematische Modellierung
6.1 Einführende Bemerkungen zur mathematischen Modellierung . . . .
6.2 Die Navier-Stokes-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Die allgemeine Form der Navier-Stokes-Gleichungen . . . . .
6.2.2 Navier-Stokes-Gleichungen in koordinatenfreier Schreibweise
6.2.3 Anfangs- und Randströmung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.4 Spezialfälle der Navier-Stokes-Gleichungen . . . . . . . . . .
6.3 Das Prinzip der Massenerhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Das Prinzip der Impulserhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5 Inkompressible ebene Strömungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.1 Die Navier-Stokes-Gleichungen für ebene Strömungen . . . .
6.5.2 Auskopplung des Drucks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6 Reynoldszahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7 Einige Ergänzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7.1 Einige Werte für die kinematische Zähigkeit µ . . . . . . . .
6.7.2 Nicht-Newtonsche Fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
References
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1
Transport und Diffusion
1.1 Mathematische Modellierung des Transports von Fl ¨ussigkeiten
Im weiteren Verlauf wird ein mit einer Flüssigkeit gefüllter Schlauch betrachtet, wobei die folgenden weiteren Bedingungen erfüllt seien:
(i) Der Schlauch wird zur Vereinfachung als halb unendlich lang angenommen und verlaufe
von x = 0 bis x = ∞.
(ii) Es wird außerdem noch angenommen, dass es sich um eine inkompressible Flüssigkeit
handelt, sie kann also nicht komprimiert werden.
(iii) Am linken Ende des Schlauches, also bei x = 0, wird ab dem Zeitpunkt t = 0 mit
konstanter Geschwindigkeit c > 0 weitere Flüssigkeit in den Schlauch gepumpt.
(1.1)
(iv) In der Flüssigkeit selbst befinde sich eine Substanz, etwa Salz in gelöster Form oder Farbpartikel. Diese Substanz schwebt in der Flüssigkeit und bewegt sich mit der gleichen Geschwindigkeit wie diese fort.
Teil (iii) in (1.1) zusammen mit der angenommenen Inkompressibilität hat zur Folge, dass sich die Flüssigkeit und mit ihr die Substanz in gesamten Schlauch mit einer konstanten Geschwindigkeit c > 0 fortbewegen. Dies bedeutet, dass beide sich vom einem beliebigen Zeitpunkt t 1 ∈ [ 0, T ) bis zu einem anderen
beliebigen Zeitpunkt t2 mit t1 < t2 ≤ T überall um die Strecke ............... x = c( t2 − t1 ) nach rechts bewegen.
Die Konzentration der Substanz wird im Folgenden mit u(x, t) bezeichnet und hängt sowohl von der Position x im Schlauch als auch vom betrachteten Zeitpunkt t ≥ 0 ab. Angegeben wird die Konzentration
beispielsweise in Milligramm pro Liter.
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..........................
..........................
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.....
x
0
Abbildung 1.1 Betrachtung des Schlauchs zur Zeit t > 0
Zum Zeitpunkt t = 0 sei die Konzentration als bekannt vorausgesetzt, die Werte
u( x, 0 ) = u0 ( x )
für x ≥ 0
(1.2)
Kapitel 1 Transport und Diffusion
2
sind also gegeben. Ebenfalls als bekannt vorausgesetzt sei für alle Zeiten die Konzentration am linken Rand
x = 0, die Werte
für t ≥ 0
u( 0, t ) = u1 ( t )
(1.3)
sind also ebenfalls gegeben.
Die Konzentration u( x, t ) für x > 0, t > 0 ist unbekannt und soll bestimmt werden.
(1.4)
Zur Behandlung der Aufgabenstellung wird als Erstes eine mathematische Modellierung vorgenommen, an
deren Ende sich eine Bestimmungsgleichung für die gesuchte Konzentration ergibt. Zunächst stellt man
anhand von Teil (iii) in (1.1) fest, dass diejenigen Partikel, die sich zur Zeit t ≥ 0 am Ort x befinden,
zur Zeit t + ................ t im Ort x + c................ t angelangt sein müssen. Damit muss für die zugehörige Konzentration
naheliegenderweise Folgendes gelten:
.
.
u(x + c................t, t + ................ t) = u(x, t)
für x ≥ 0.
(1.5)
.
Werden nun die in der Identität (1.5) auftretenden Funktionen nach ................ t differenziert, so erhält man
c
∂u
∂u
(x + c................ t, t + ................ t) +
(x + c................ t, t + ................ t) = 0
∂x
∂t
.
für x, t, ................ t ≥ 0.
(1.6)
.
Der Grenzübergang ................ t → 0 in (1.6) liefert schließlich die Transportgleichung
c
∂u
∂u ( x, t ) = 0
+
∂x
∂t
für x ≥ 0,
t ≥ 0.
(1.7)
Bemerkung 1.1 Es handelt sich bei der Transportgleichung (1.7) um ein Anfangs-Randwertproblem für
eine lineare partielle Differenzialgleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten für die gesuchte Funktion u. Als partielle Differenzialgleichung bezeichnet man sie wegen der auftretenden unterschiedlichen partiellen Ableitungen. Dabei handelt es sich lediglich um partielle Ableitungen erster Ordnung, so dass man die partielle Differenzialgleichung als von erster Ordnung bezeichnet. Weiterhin stellt für
zwei Lösungen u und v sowie reellen Koeffizienten a 1 und a2 auch die Funktion a1 u + a2 v eine Lösung der
Transportgleichung dar, weswegen diese als linear bezeichnet wird. Die auftretenden Koeffizienten schließlich hängen nicht von der auftretenden Variablen ab, sie sind also konstant.
M
1.1.1 Allgemeine L¨
osung der r¨
aumlich halbunendlichen Transportgleichung
Es werden nun die Lösungen der räumlich halbunendlichen Transportgleichung (1.7) bestimmt. Hierzu führt
man die Variablentransformation
ξ = x − ct ∈ R,
η = x + ct ∈ R
durch und betrachtet die zugehörige Funktion
v ( ξ, η ) := u( x, t ) = u
Partielle Differentiation nach η liefert
∂v
∂η
=
1
2
ξ+η η−ξ
, 2c
2
∂u
1 ∂u
+c
∂x
∂t
!
= 0
für ξ, η ∈ R.
für ξ, η ∈ R.
Abschnitt 1.2 Diffusionsgleichung – Mathematische Modellierung
3
Es stellt also die Funktion u genau dann eine Lösung der räumlich halbunendlichen Transportgleichung
(1.7) dar, wenn
∂v
= 0 auf R 2 gilt beziehungsweise
∂η
für ξ, η ∈ R
v ( ξ, η ) = f ( ξ )
erfüllt ist mit einer differenzierbaren Funktion f : R → R. Mit den urspünglichen Variablen x, t bedeutet
dies
u( x, t ) = v ( ξ, η ) = f ( ξ ) = f ( x − ct )
für x ∈ R,
t > 0.
Die spezielle Wahl der Funktion f ergibt sich aus den Anfangsbedingungen (1.2) und den Randbedingungen
(1.5):
!
für x ≥ 0,
f ( x ) = u( x, 0 ) = u0 ( x )
!
f ( − ct ) = u( 0, t ) = u1 ( t )
für t ≥ 0.
1.2 Diffusionsgleichung – Mathematische Modellierung
Es wird wieder ein mit einer Flüssigkeit gefüllter Schlauch betrachtet, wobei nun die folgenden weiteren
Bedingungen erfüllt seien:
•
Der Schlauch wird als endlich lang angenommen und verlaufe von x = 0 bis x = L, wobei L > 0 eine
reelle Zahl ist.
•
In der Flüssigkeit selbst befinde sich eine Substanz. Die Konzentration dieser Substanz wird wie bisher mit u(x, t) bezeichnet und hängt wiederum sowohl von der Position x im Schlauch als auch vom
betrachteten Zeitpunkt t ≥ 0 ab.
Anders als bisher liege nun die Situation vor, dass die Substanz durch die im Schlauch befindliche Flüssigkeit
wandern (diffundieren) kann.
Im weiteren Verlauf sind die Größen Fluss q ( x, t ) und die Masse der in der Flüssigkeit vorhandenen Substanz von Bedeutung. Diese beiden Größen werden zunächst erläutert sowie deren funktionalen Zusammenhänge beschrieben.
•
.
Die Masse der Substanz in einem beliebigen Teilstück [x, x + ................. x] ⊂ [0, L] des Schlauches besitzt die
Darstellung
Z
....
x+............. x
u( y, t ) dy
=:
M ( t ).
(1.8)
x
.
Hierbei hängt die Masse M natürlich auch noch von x und x + ................ x ab und wird beispielsweise in Milligramm angegeben.
•
Bei dem Fluss q ( x, t ) handelt es sich um die Menge der Substanz, die zum Zeitpunkt t den Ort x von
links nach rechts pro Zeiteinheit passiert. Angegeben wird der Fluss beispielsweise in Milligramm pro
Sekunde. Somit stimmt der Fluss q ( x, t ) mit dem Wert überein, den man erhält, wenn man Menge der
Substanz, die in der Zeit von t bis t + ............... t durch den Ort x bewegt, durch ............... t dividiert und hierfür anschließend den Grenzwert für ...............t → 0 bildet. Fliesst die Substanz von rechts nach links, so fällt der Fluss
negativ aus.
•
Es soll Massenerhaltung gelten, die zeitliche Änderung der Masse darf also nur von der Differenz
zwischen Zu und Abfluss abhängen:
M 0 ( t ) = q ( x, t ) − q ( x + ............... x, t ).
.
(1.9)
Kapitel 1 Transport und Diffusion
4
Ersetzt man in (1.9) auf der linken Seite M ( t ) durch (1.8), so erhält man
Z
.
x+........ x
x
∂u
( y, t ) dy
∂t
=
q ( x, t ) − q ( x + ............. x, t ).
.
(1.10)
.
Division in (1.10) durch ............ x und ein anschließender Grenzübergang ............... x → 0 liefert die Identität
∂u
∂q
( x, t ) = −
( x, t )
∂t
∂x
für x ∈ [ 0, L ],
t > 0.
(1.11)
Diese eine Erhaltungsgleichung legt die Funktionen u und q noch nicht in eindeutiger Weise fest, für den
Fluss sind weitere Annahmen nötig.
∂u
Allgemein wird hierzu noch ein funktioneller Zusammenhang zwischen den Funktionen
und q von der
∂x
Form
∂u q = −ϕ
mit ϕ : R → R monoton wachsend, ϕ( 0 ) = 0,
(1.12)
∂x
angenommen, wobei die Funktion ϕ als bekannt vorausgesetzt wird. Diese Beziehung (1.12) wird als Diffusionsgesetz bezeichnet. Die spezielle Forderung an die Funktion ϕ ist plausibel und lässt sich für eine
∂u
alleine für die Änderung der
ruhende Flüssigkeit schnell einsehen. Dort ist das Konzentrationsgefälle
∂x
Konzentration selbst verantwortlich. Unterstellt man noch, dass die Substanz sich gleichverteilen möchte,
so bewirkt jede Ungleichheit der Konzentration beziehungsweise jedes Konzentrationsgefälle einen Fluss
der Substanz in Richtung des Ortes mit kleinerer Konzentration.
Das einfachste Diffusionsgesetz besagt nun, dass der Fluss q linear vom Konzentrationsgefälle
q ( x, t ) = −c2
∂u
( x, t )
∂x
für x ∈ [ 0, L ],
t > 0.
∂u
abhängt,
∂x
(1.13)
Hierbei ist c2 > 0 eine materialspezifische Konstante, die auch als Diffusionskonstante bezeichnet wird.
Typischerweise bestimmt man sie durch Messungen. Partielle Differentiation nach x in der Gleichung (1.13)
und ein anschließendes Einsetzen des Ergebnisses in (1.10) liefert schließlich die Diffusionsgleichung
∂u
∂2 u
( x, t ) = c2 2 ( x, t )
∂x
∂t
für x ∈ [ 0, L ],
t > 0.
(1.14)
Es sei nun noch die örtliche Verteilung der Konzentration zum Anfangszeitpunkt t = 0 als bekannt vorausgesetzt, die Werte
u( x, 0 ) = u0 ( x )
für x ∈ [ 0, L ]
(1.15)
seien also gegeben. Ausserdem seien an den Rändern noch Bedingungen an die Konzentration gegeben,
beispielsweise
u( 0, t ) = β1 ( t ),
u( L, t ) = β2 ( t )
für t ≥ 0
(1.16)
mit vorgegebenen Funktionen β1 , β2 : R + → R. In Abbildung 1.2 sind die vorgegebenen Daten des
Anfangs Randwertproblems für die Diffusionsgleichung in der Orts Zeit Ebene dargestellt.
Bemerkung 1.2 (a) Es handelt sich bei der Diffusionsgleichung (1.14) um eine lineare partielle Differenzialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten für die gesuchte Funktion u. Diese
Bezeichnungen ergeben sich genauso wie die entsprechenden Bezeichnungen für die Transportgleichung
in Bemerkung 1.1 auf Seite 2. Die Ordnung Zwei der partiellen Differenzialgleichung ergibt sich aus der
höchsten auftretenden partiellen Ableitung. Wegen der auftretenden Randbedingungen (1.16) und der Anfangsbedingung (1.15) spricht man kurz von einem Anfangs Randwertproblem. In anderen Anwendungen können aber durchaus Anfangs und Randbedingungen von anderer Form auftreten können.
Abschnitt 1.3 Die Fouriersche Methode für die Diffusionsgleichung
5
t.
....
.........
...
..
...
..
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .2 . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .2 . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .2 . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
∂u
∂ u
= c
∂x
∂t
u( 0, t ) = β1 (t)
0
0
u( L, t ) = β2 (t)
..................................................................
L
u( x, 0 ) = u0 (x)
x
Abbildung 1.2: Darstellung der Situation bei einem Anfangs-Randwertproblem für die Diffusionsgleichung
in der Orts-Zeit-Ebene
(b) Zur Theorie der partiellen Differenzialgleichungen gehört die Diskussion der Existenz, der Eindeutigkeit sowie der stetigen Abhängigkeit von den Anfangs- und den Randwerten. Für die Diffusionsgleichung
werden diese Fragen in den Abschnitten 1.3 und 1.8 behandelt.
M
1.3 Die Fouriersche Methode f ¨ur die Diffusionsgleichung
Im Folgenden wird das Anfangs Randwertproblem für die Diffusionsgleichung (1.14) (1.16) betrachtet
für homogene Randbedingungen u1 ( t ) = u2 ( t ) = 0 für t ≥ 0. Es liegt somit das folgende Anfangs
Randwertproblem vor:
∂u
( x, t )
∂t
=
u( 0, t )
u( x, 0 )
=
=
∂2 u
( x, t )
∂x2
u( L, t ) =
c2
u0 ( x )
für x ∈ [ 0, L ],
0
t ≥ 0,
(1.17)
für t ≥ 0,
für x ∈ [ 0, L ].
Die Nullrandbedingungen erlauben einen speziellen Lösungsweg, der im Folgenden vorgestellt wird. Er
beruht auf dem Ansatz der Trennung der Ver änderlichen
u( x, t ) = X ( x )T ( t ),
x ∈ [ 0, L ],
t ≥ 0,
(1.18)
wobei auch von der Separation der Ver änderlichen gesprochen wird. Dieser geschieht zunächst zur Gewinnung von allgemeinen Lösungen der Diffusionsgleichung, Nullrand- und Anfangsbedingungen spielen
also zunächst keine Rolle. Einzelheiten hierzu werden im nachfolgenden Abschnitt 1.3.1 vorgestellt. In Abschnitt 1.3.2 werden dann die vorgegebenen Randbedingungen berücksichtigt, und in Abschnitt 1.3.3 wird
eine Superposition der gewonnenen Lösungen unter Anpassung der auftretenden Koeffizienten vorgenommen. Dies liefert schließlich die Lösung des Anfangs Randwertproblems (1.17).
Kapitel 1 Transport und Diffusion
6
1.3.1 Trennung der Ver¨
anderlichen
Als Erstes werden Bedingungen an die Funktionen X : [0, L] → R und T : R
+
→ R hergeleitet, so dass
∂u
∂2 u
( x, t ) = c2 2 ( x, t ) für x ∈ [ 0, L ], t > 0
die zugehörige Funktion u aus (1.18) die Diffusionsgleichung
∂x
∂t
löst; Nullrand- und Anfangsbedingungen spielen also zunächst kein Rolle. Hierzu berechnet man ausgehend
von dem Ansatz (1.18) zunächst
∂2 u
( x, t )
∂x2
∂u
( x, t ) = X ( x )T 0 ( t ),
∂t
= X 00 ( x )T ( t )
für x ∈ [ 0, L ],
t > 0,
so dass für die Erfüllung der Diffusionsgleichung notwendigerweise
c2
X 00 ( x )
X(x)
T 0(t)
T (t)
=
für x ∈ [ 0, L ],
t>0
(1.19)
gelten muss. Für den Moment sei hierbei X ( x ) 6= 0 und T ( t ) 6= 0 für alle x ∈ [ 0, L ], t > 0 angenommen.
Diese Restriktion kann später wieder fallen gelassen werden. Es ist nun so, dass die linke Seite der Identität
(1.19) lediglich von der Ortsvariablen x und nicht von der Zeitvariablen t abhängt, und bei der rechten Seite
verhält es sich genau umgekehrt. Dies bedeutet aber, dass beide Seiten der Identität (1.19) notwendigerweise
konstant sein müssen, es gilt also
c2
X 00 ( x )
X(x)
=
T 0( t )
T (t)
=
−s2
für x ∈ [ 0, L ],
t > 0,
(1.20)
mit einer noch zu spezifizierenden reellen Konstanten s 2 > 0. Denkbar wäre hier auch, in (1.20) auch
Konstanten s2 > 0 anstelle −s2 < 0 zuzulassen. Im Verlauf der weiteren Berechnungen stellt sich jedoch
heraus, dass sich damit die Randbedingungen nicht erfüllen lassen. Daher kann man sich auch gleich auf
positive Konstante s2 beschränken, wobei sich durch die Verwendung von s 2 > 0 anstelle von s > 0 die
Notation vereinfachen wird. Die Darstellung (1.20) führt unmittelbar auf die beiden Gleichungen
X 00 ( x ) +
s 2
X(x)
c
= 0
T 0 ( t ) + s2 T ( t ) = 0
für x ∈ [ 0, L ],
(1.21)
für t > 0.
(1.22)
Bemerkung 1.3 Bei den Gleichungen (1.21) handelt es sich um lineare gew öhnliche Differenzialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten für die gesuchten Funktion X : [0, L] → R.
Als gewöhnliche Differenzialgleichung bezeichnet man sie, da die gesuchte Funktion X lediglich von einer
Veränderlichen abhängt und neben X noch Ableitungen von X in der Gleichung auftreten. Die weiteren
Bezeichnungen ergeben sich genauso wie die entsprechenden Bezeichnungen für die Transportgleichung in
Bemerkung 1.1 auf Seite 2. Insbesondere übersteigen die Höhe der auftretenden Ableitungen den Wert Zwei
nicht, weswegen man die gewöhnliche Differenzialgleichung als von zweiter Ordnung bezeichnet.
Ganz entsprechend bezeichnet man die Gleichung (1.22) als lineare gew öhnliche Differenzialgleichung
erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten für die gesuchte Funktion T : [0, L] → R.
M
Lösungen der gewöhnlichen Differenzialgleichung (1.21) gewinnt man durch einen Exponentialansatz
X ( x ) = eλx
für x ∈ [ 0, L ]
mit einem zu bestimmenden Koeffizienten λ ∈ C. Zweimalige Differentiation in (1.23) liefert
X 00 ( x ) = λ2 eλx
für x ∈ [ 0, L ],
(1.23)
Abschnitt 1.3 Die Fouriersche Methode für die Diffusionsgleichung
7
und die gewöhnliche Differenzialgleichung (1.21) für die gesuchte Funktion X geht dann über in
λ2 +
s 2 λx
e
c
für x ∈ [ 0, L ].
(1.24)
Division in (1.24) durch den in jedem Fall von Null verschiedenen Wert e λx führt auf die Bestimmungsgleichung λ2 = −( s/c )2 , die eine Lösung
s
λ = λs = i c
besitzt. Natürlich existiert noch eine zweite Lösung λ = −is/c, die letztlich jedoch auf keine weiteren
reellwertigen Lösungen der betrachteten gewöhnlichen Differenzialgleichung (1.21) führt. Der Exponentialansatz (1.23) liefert also zu der gewöhnlichen Differenzialgleichung (1.21) die komplexwertige Lösung
Xs ( x ) = ei( s/c)x
für x ∈ [ 0, L ].
Gesucht sind jedoch reellwertige Lösungen der gewöhnlichen Differenzialgleichung (1.21). Diese erhält
man durch Heranziehung des Real und des Imaginärteils der Funktion X s
Re Xs ( x ) = cos( ( s/c )x),
für x ∈ [ 0, L ].
Im Xs ( x ) = sin( ( s/c )x)
Diese Vorgehensweise ist allerdings nur deshalb zulässig, weil die in (1.21) auftretenden Koeffizienten reell
sind.
Eine Lösung der gewöhnlichen Differenzialgleichung (1.22) für die gesuchte Funktion T gewinnt man ebenfalls durch einen Exponentialansatz
T ( t ) = eµt
für t ≥ 0
(1.25)
mit einem zu bestimmenden Koeffizienten µ ∈ R. Einmalige Differentiation in (1.25) liefert
T 0 ( t ) = µeµt
für t ≥ 0,
und die gewöhnliche Differenzialgleichung (1.22) für die gesuchte Funktion T geht dann über in
(µ + s2 )eµt
für t ≥ 0.
(1.26)
Division in (1.26) durch den in jedem Fall von Null verschiedenen Wert e µt führt auf die Lösung
µ = µs = −s2 .
(1.27)
Der Exponentialansatz (1.25) liefert also zu der gewöhnlichen Differenzialgleichung (1.22) für die gesuchte
Funktion T die reellwertige Lösung
Ts ( t ) = e−s
2
t
für t ≥ 0.
Die so gewonnenen Lösungen der Diffusionsgleichung haben also die Form
2
Re Xs ( x ) Ts ( t ) = cos( ( s/c )x)e−s t
2
Im Xs ( x ) Ts ( t ) = sin( ( s/c )x)e−s t
für x ∈ [ 0, L ],
......
t≥0 ,
.
Kapitel 1 Transport und Diffusion
8
1.3.2 Anpassung an die Randbedingungen
In diesem Abschnitt werden diejenigen Werte von s bestimmt, für die Nullrandbedingungen aus (1.17)
erfüllt sind. Wegen Ts ( t ) 6= 0 für alle t ≥ 0 ist klar, dass man die Betrachtungen auf die Funktion X s
beschränken kann. Dabei kommt wegen Re X s ( 0 ) = cos 0 = 1 6= 0 nur der Imaginäranteil Im X s in
Frage. Hier ist in x = 0 die Randbedingung stets erfüllt,
Im Xs ( 0 ) = sin 0 = 0.
In dem Punkt x = L führt die Randbedingung auf
Im Xs ( L ) = sin( ( s/c )L) = 0,
was für sL/c ∈ { π, 2π, 3π, . . . } erfüllt ist. Letzteres umformuliert bedeutet
cπ
s ∈ {k L : k = 1, 2, . . . }.
Somit stellen die Funktionen
2
π uk ( x, t ) := sin k L x e−( kcπ/L) t
für x ∈ [ 0, L ], t ≥ 0,
k = 1, 2, . . . ,
)
(1.28)
jeweils Lösungen der Diffusionsgleichung dar, die zudem alle die Nullrandbedingungen aus (1.17) erfüllen.
1.3.3 Superposition – Anpassung an die Anfangsbedingung
Auf Grund der Linearität der vorliegenden Differenzialgleichung und der auftretenden Nullrandbedingungen sind endliche Linearkombinationen der Funktionen u k für k = 1, 2, . . . ebenfalls Lösungen der betrachteten Differenzialgleichung, die zugleich wie gefordert an den beiden Rändern verschwinden. Es ist
naheliegend, auch Funktionen von der Form
u( x, t ) =
∞
X
für x ∈ [ 0, L ],
ck uk ( x, t )
k=1
t≥0
(1.29)
zu betrachten mit den Funktionen uk aus (1.28). Hierbei wird zunächst ohne weitere Diskussion eine hinreichend gute Konvergenz der auftretenden Reihe sowie hinreichend gute Differenzierbarkeitseigenschaften
der Grenzfunktion u angenommen. Eine mathematische Analysis der vorgestellten Vorgehensweise wird
dann in Abschnitt 1.5 geführt.
Formal erhält man
u( x, 0 ) =
∞
X
ck uk ( x, 0 )
∞
X
=
k=1
k=1
π
ck sin k L x
!
=
u0 ( x )
für x ∈ [0, L].
(1.30)
Der Unterschied zu einer gewöhnlichen Fourier Entwicklung für die Funktion u 0 besteht hierbei darin, dass
zum einen die auftretenden trignonometrischen Funktionen 2L periodisch sind und zum anderen keine
Terme mit Cosinus Funktionen auftreten. Eine solche Darstellung (1.30) erhält man jedoch durch eine
ungerade Fortsetzung der Funktion u 0 auf das Intervall [−L, 0],
u0 ( –x ) := −u0 ( x )
für x ∈ [0, L].
Eine Fourierentwicklung der entstehenden ungeraden Funktion u 0 : [−L, L] → R liefert tatsächlich
u0 ( x ) =
∞
X
k=1
π
ck sin k L x
+
∞
X
j=0
π
dj cos j L x
für x ∈ [ 0, L ]
(1.31)
Abschnitt 1.4 Einführung in die Theorie der Fourierreihen
9
mit den Fourierkoeffizienten
ck =
dj
=
1
L
L
π u0 ( y ) sin k L y dy
−L
Z L
1
π u
0 ( y ) cos j y dy
L
L
Z
2
L
=
=
Z
0
0
L
π u0 ( y ) sin k L y dy
für k = 1, 2, . . . ,
(1.32)
für j = 0, 1, . . . .
−L
Eine Setzung (1.28) mit einer Wahl der Koeffizienten c k gemäß (1.32) liefert schließlich formal die gesuchte
Lösung des Anfangs Randwertproblems (1.17) für die Diffusionsgleichung.
1.4 Einf ¨uhrung in die Theorie der Fourierreihen
Thema des vorliegenden Abschnitts ist die Approximation von Funktionen f : R → R durch Überlagerung
von Sinus- und Cosinus-Schwingungen unterschiedlicher Frequenzen.
1.4.1 Orthogonalit¨
at trigonometrischer Monome
Die Grundlage für die vorzustellende Theorie bilden die folgenden Orthogonalitätseigenschaften für die
reellen trigonometrischen Monome.
Lemma 1.4 Es gilt
Z
2π
Z
2π
Z
2π
0
0
cos nx · cos mx dx
=
cos nx · sin mx dx
=
cos2 nx dx
0
2π
0
Z
=
Z
2π
0
sin nx · sin mx dx = 0
für n, m = 0, 1, . . .
mit n 6= m,
für n, m = 0, 1, . . .,
sin2 nx dx = π
für n = 1, 2, . . .,
0
sowie trivialerweise
Z
2π
Z
cos2 0x dx = 2π,
0
2π
sin2 0x dx = 0.
0
Die Aussagen von Lemma 1.4 lassen sich mithilfe von Additionstheoremen für trigonometrische Funktionen
nachweisen. Einfacher geht es jedoch unter Anwendung der Eulerschen Formel
√
eit = cos t + i sin t,
i = −1
(t ∈ R ),
und des nachfolgenden Lemmas. Im Folgenden bezeichnet δ n,m das Kronecker-Symbol, es gilt also δ n,m =
0 für n 6= m und δn,n = 0 für n 6= m.
Lemma 1.5
Z
2π
0
einx · e−imx dx = 2πδn,m
für n, m ∈ Z.
(1.33)
B EWEIS . Die Identität (1.33) ist im Fall n = m offensichtlich richtig, und im Fall n 6= m ergibt sie sich so:
Z
0
2π
e
inx
·e
−imx
dx
=
Z
0
2π
= 1−1 = 0
e
i( n−m )x
dx
=
−i
n−m
z
}|
{
x=2π
ei(n−m)x x=0
= 0.
Kapitel 1 Transport und Diffusion
10
Mithilfe der Identität (1.33) lassen sich die Aussagen von Lemma 1.4 unmittelbar herleiten.
B EWEIS
VON
L EMMA 1.4. Die Identität (1.33) zusammen mit der Eulerschen Formel bedeutet
2πδn,m =
Z
2π
=
Z
2π
cos nx + i sin nx
0
0
cos mx − i sin mx dx
cos nx cos mx + sin nx · sin mx dx + i
Z
2π
0
cos nx sin mx − sin nx · cos mx dx
für n, m ∈ Z.
Daraus erhält man
Z
2π
Z
2π
0
0
cos nx cos mx + sin nx · sin mx dx = 2πδn,m
für n, m = 0, 1, . . . ,
cos nx sin mx − sin nx · cos mx dx = 0
(1.34)
.
(1.35)
für n, m = 0, 1, . . . ,
(1.36)
.
(1.37)
.......
Für nichtpositive Werte von m erhält man entsprechend
2π
Z
Z
0
2π
0
cos nx cos mx − sin nx · sin mx dx = 2πδn,−m
cos nx sin mx + sin nx · cos mx dx = 0
......
Eine Addition der Identitäten (1.34) und (1.36) liefert dann
Z
2π
cos nx cos mx dx
=



0


π(δn,m + δn,−m ) =
0
für n 6= m,
π



 2π
und eine Subtraktion der Identitäten (1.34) und (1.36) liefert

 π
Z 2π
sin nx sin mx dx = π(δn,m − δn,−m ) =
 0
0
für n = m > 0,
für n = m = 0,
für n = m > 0,
für n 6= m oder n = m = 0.
Eine Addition der Identitäten (1.36) und (1.37) liefert schließlich
Z
2π
cos nx sin mx dx
=
0.
0
Dies komplettiert den Beweis.
1.4.2 Fourierreihen reellwertiger und komplexwertiger Funktionen
Im Folgenden wird die Fourierreihe einer Riemann integrierbaren Funktionen f : [0, 2π ] → R betrachtet.
P∞
Sie besitzt die Form a20 + n=1 [an cos nx + bn sin nx] mit den reellen Fourierkoeffizienten
1
an := π
Z
2π
1
f ( y ) cos ny dy,
bn := π
0
Z
2π
f ( y ) sin ny dy,
(1.38)
0
für n = 0, 1, . . . . Als Kurzschreibweise für die Fourierreihe der reellwertigen Funktion f wird die Notation
a
f ( x ) ∼ 20 +
verwendet.
∞ X
n=1
an cos nx + bn sin nx
(1.39)
Abschnitt 1.4 Einführung in die Theorie der Fourierreihen
11
Bemerkung 1.6 Die Setzungen (1.38) sind vernünftig. Hierzu nehmen wir an, dass die Reihe in (1.39) mit
irgendwelchen reellen Koeffizienten a n und bn gleichmäßig gegen die Funktion f konvergiert, also
f (x) −
sup
x∈[ 0 ,2π ]
a0
+
2
s X
an cos nx + bn sin nx
n=1
→0
für s → ∞
(1.40)
erfüllt ist. In dieser Situation gelten auf Grund der in Lemma 1.4.1 vorgestellten Orthogonalitätsbeziehungen
notwendigerweise die Identitäten (1.38). Dies erhält man für die Koeffizienten a n folgendermaßen,
Z
2π
f ( y ) cos ny dy
=
=
a0
2
= πδm,n
2πδ0,n
0
z
Z
0
2π
}|
{
cos ny dy +
∞
X
m=1
πan .
am
z
Z
2π
0
}|
= 0
{
cos my · cos ny dy + bm
z
Z
0
2π
}|
{
sin my · cos ny dy
Die Vertauschung von Integration und Summation ist auf Grund der gleichmäßigen Konvergenz der Reihe
zulässig. Die Darstellung in (1.38) für die Fourierkoeffizienten b n erhält man auf vergleichbare Weise. M
Eine zentrale Fragestellung ist die Frage der Konvergenz der Fourierreihe. Dies wird im Abschnitt 1.4.3
genauer behandelt.
P∞
Die Fourierreihe einer Riemann integrierbaren Funktionen f : [0, 2π ] → C besitzt die Form n=−∞ cn einx
mit den komplexen Fourierkoeffizienten
1
cn := 2π
Z
2π
f ( y )e−iny dy,
0
n ∈ Z.
(1.41)
Ps
In die Fourierreihe ist die Folge der Partialsummen hier von der Form
n=−s für s = 1, 2, . . . . Als
Kurzschreibweise für die Fourierreihe der komplexwertigen Funktion f wird die Notation
f (x) ∼
∞
X
cn einx
(1.42)
n=−∞
verwendet. Die Setzung (1.41) lässt sich dabei genauso wie die entsprechende Setzung bei reellen Fourierreihen rechtfertigen (siehe Bemerkung 1.6).
Für reellwertige Funktionen sind die beiden Fourierreihen identisch. Hierzu stellt man zuerst fest, dass für
eine Funktion f : [0, 2π ] → R zwischen den Koeffizienten in (1.38) und (1.41) der folgende Zusammenhang (für k ∈ N0 ) besteht:
cn =
an − ibn
,
2
an = Re cn
c−n =
an + ibn
,
2
bn = Im cn .
Daraus folgt
n
o
1
cn einx + c−n e−inx = 2 (an − ibn ) cos nx + i sin nx + (an + ibn ) cos nx − i sin nx
n
o
1
= 2 an cos nx + bn sin nx + i − bn cos nx + an sin nx + bn cos nx − an sin nx .
|
{z
}
= 0
Für reellwertige Funktionen stimmen also die reelle und die komplexe Fourierreihe tatsächlich überein.
Kapitel 1 Transport und Diffusion
12
1.4.3 Konvergenz von Fourierreihen
Lemma 1.7 Für eine Riemann integrierbare Funktion f : [0, 2π ] → C gilt
Z
0
2π
f (y ) −
s
X
2
cn einy
dy
Z
=
2π
0
n=−s
|f ( y ) |2 dy − 2π
s
X
n=−s
|cn |2
für s = 0, 1, . . . . (1.43)
Insbesondere gilt die Besselsche Ungleichung
∞
X
2π
n=−∞
|cn |2
2π
Z
≤
0
|f ( y ) |2 dy.
(1.44)
B EWEIS . Es gilt
Z
0
2π
f (y ) −
=
Z
s
X
=
0
dy
n=−s
2π
0
Z
2
cn einy
2π
|f ( y ) |2 dy − 2
2
s
X
n=−s
|f ( y ) | dy − 2π
s
X
cn
0
|
n=−s
2π
Z
|cn |
f ( y )e−iny dy
{z
}
= 2πcn
2
+
s
X
cn cm δn,m 2π
n,m=−s
unter Berücksichtigung der Identität
|z1 − z2 |2
=
(z1 − z2 )(z 1 − z 2 )2 = |z1 |2 − 2Re ( z1 z 2 ) + |z2 |2
für z1 , z2 ∈ C.
Die Besselsche Ungleichung folgt nun nach dem Grenzübergang s → ∞ in der Identität (1.43), unter
Berücksichtigung der Nichtnegativität der rechten Seite von (1.43).
Definition 1.8 Eine Folge fs : [0, 2π ] → C Riemann integrierbarer Funktionen heißt im quadratischen
Mittel konvergent gegen eine Riemann integrierbare Funktion f : [0, 2π ] → C, falls
Z
0
2π
|fs ( y ) − f ( y ) |2 dy → 0
für s → ∞.
Theorem 1.9 Die Fourierreihe einer Riemann-integrierbaren Funktion f : [0, 2π ] → C konvergiert im
quadratischen Mittel gegen f .
B EWEIS . Aus der Identität (1.43) folgt unmittelbar, dass die Fourierreihe einer Riemann-integrierbaren
Funktion f : [0, 2π ] → C genau dann im quadratischen Mittel gegen die Funktion f konvergiert, wenn
die Identität
2π
∞
X
n=−∞
|cn |2
=
Z
0
2π
|f ( y ) |2 dy
(1.45)
erfüllt ist. Die Gültigkeit dieser Identiät weist man zunächst für Treppenfunktionen und danach für allgemeine Riemann-integrierbare Funktionen nach. Die Details werden ausgelassen.
Die Fourierkoeffizienten einer 2π-periodischen Funktion f : R → C fallen umso schneller, je glatter die
Funktion f ist:
Abschnitt 1.4 Einführung in die Theorie der Fourierreihen
13
Proposition 1.10 Ist die Funktion f : R → C 2π periodisch und r mal stetig differenzierbar mit r ≥ 0,
so gilt
cn
1 1
2π ( in )r
=
Z
2π
f (r) ( y )e−iny dy,
n ∈ Z\{ 0 }.
0
(1.46)
Insbesondere gilt also
cn = O ( |n|−r )
für |n| → ∞.
(1.47)
B EWEIS . Wiederholte partielle Integration liefert
= 0
2πcn
Z
=
2π
f ( y )e
−iny
dy
1
− in
=
0
1
( in )2
=
...
=
2π
Z
z
f 00 ( y )e−iny dy
Z
2π
{
2π
f ( y )e−iny 0
=
0
1
( in )r
}|
1
( in )3
Z
≤
2π
1
+ in
Z
2π
f 0 ( y )e−iny dy
0
f (3) ( y )e−iny dy
=
...
0
f (r) ( y )e−iny dy.
0
Damit gilt auch
|cn |
1 −r
n
2π
≤
Z
2π
0
|f (r) ( y ) | dy
und damit (1.47)
max |f (r) ( y ) | |n|−r
y∈[ 0 ,2π ]
Theorem 1.11 Ist die Funktion f : R → C 2π periodisch und einmal stetig differenzierbar, so gilt
∞
X
n=−∞
|cn | < ∞,
und die Fourierreihe der Funktion f konvergiert gleichm äßig gegen f .
B EWEIS . Die Darstellung (1.46) für r = 1 bedeutet
1
Z
2π
f 0 ( y )e−iny dy.
(n ∈ Z\{ 0 } ).
mit dn = 2π
0
P∞
Die Besselsche Ungleichung liefert n=−∞ |dn |2 < ∞, und die Cauchy Schwarzsche Ungleichung liefert
dann
1/2 X
1/2
∞
∞
∞
X
X
|cn | ≤
|c0 | + 2
n−2
·
|dn |2
< ∞.
|cn |
=
|n|−1 |dn |
n=−∞
n=1
n=−∞
Damit gilt für die Fourierreihe von f
∞
X
sup
cn einx
∞
X
=
n=−∞ x∈[ 0 ,2π ]
n=−∞
cn < ∞,
und nach dem Konververgenzkriterium von Weierstraß konvergiert die Fourierreihe von f daher auf dem
Intervall [0, 2π ] gleichmäßig gegen eine Funktion ψ : [0, 2π ] → C. Wegen
Z 2π
Z 2π n
o
n X
o 2
∞
∞
X
|f ( y ) − ψ ( y ) |2 dy =
f (y ) −
cn einy +
dy
cn einy − ψ ( y )
0
0
≤
2
Z
0
|
2π
f (y ) −
∞
X
cn einy
n=−∞
2
dy +
0
n=−∞
{z
= 0
und damit ψ = f . Dies komplettiert den Beweis.
Z
}
n=−∞
∞
X
2π
n=−∞
|
cn einy − ψ ( y )
{z
= 0
}
2
dy
=
0
Kapitel 1 Transport und Diffusion
14
1.4.4 Fourierentwicklung gerader und ungerader Funktionen
Proposition 1.12 Sei f : [0, 2π ] → R eine Riemann-integrierbare Funktion.
(a) Ist f ungerade bezüglich des Intervallmittelpunkts x = π, das heißt,
f (π + x) = f (π − x)
für x ∈ [0, 2π ],
so gilt ak = 0 für k = 1, 2, . . . .
(b) Ist f gerade bezüglich des Intervallmittelpunkts x = π, das heißt,
f ( π + x ) = −f ( π − x )
für x ∈ [0, 2π ],
so gilt bk = 0 für k = 0, 1, . . . .
B EWEIS . Übung.
1.4.5 Allgemeine Intervalle
Fourierentwicklungen für Funktionen mit anderen Definitionsbereichen lassen sich durch einfache Transformationen gewinnen. Für eine gegebene Funktion
f : [0, L] → R
betrachtet man die folgende Variablentransformation und die zugehörige Funktion,
2π
x̂ := L x ∈ [0, 2π ]
fˆ : [0, 2π ] → R,
für x ∈ [0, L],
fˆ( x̂ ) = f ( x )
für x ∈ [0, L].
(1.48)
Als Fourierreihe für die Funktion f erhält man dann
f ( x ) = fˆ( x̂ ) ∼
a0
2
+
=
a0
2
+
∞ X
an cos nx̂ + bn sin nx̂
n=1
∞ h
X
n=1
2π
an cos n L x
2π
+ bn sin n L x
i
(1.49)
mit den reellen Fourierkoeffizienten
an =
1
π
Z
2π
bn =
1
π
Z
2π
fˆ( ŷ ) cos nŷ dŷ
=
f ( ŷ ) sin nŷ dŷ
=
0
0
2
L
Z
L
2π f ( y ) cos n L y dy
0
Z
2 L
2π ( y ) sin n y dy
f
L
L
für n = 0, 1, . . .
(1.50)
0
unter Verwendung der Identitäten
2π
ŷ := L y ∈ [0, 2π ]
für y ∈ [0, L],
dŷ =
2π
dy.
L
(1.51)
Entsprechend erhält man eine Fourierentwicklung für komplexwertige Funktionen
f : [0, L] → C.
Hierzu betrachtet man erneut die Transformation (1.48) (dort ist dann R durch C zu ersetzen) und erhält als
Fourierreihe für die Funktion f
f ( x ) = fˆ( x̂ ) ∼
∞
X
n=∞
cn einx̂
=
∞
X
n=1
cn ein(2π/L)x
(1.52)
Abschnitt 1.5 Mathematische Analysis zum Separationsansatz
15
mit den komplexen Fourierkoeffizienten
1
cn = 2π
Z
2π
fˆ( ŷ )einŷ dŷ
1
L
=
0
Z
L
f ( y )ei( n( 2π/L)y ) dy
für n = 0, 1, . . .
(1.53)
0
unter Verwendung der Transformation (1.51).
1.5 Mathematische Analysis zum Separationsansatz
Die formale Vorgehensweise soll nun noch mathematisch gerechtfertigt werden. Hierzu wird zunächst angenommen, dass die Funktion u0 auf dem Intervall [0, L] stetig ist, so dass dann die Fourierkoeffizienten
c0 , c1 , . . . wohldefiniert sind. Die Partialsummen in (1.29) stellen dann auf der Menge [0, L] × {t > 0}
unendlich oft partiell differenzierbare Funktionen dar, und die partiellen Ableitungen lassen sich folgendermaßen abschätzen:
∂ r+s uk
π r+2s 2s −( kcπ/L)2 t
≤
k
c e
für x ∈ [ 0, L ], t ≥ 0
(r, s ∈ N0 ).
r
s (x, t)
∂x ∂t
L
Wegen der vorliegenden Stetigkeit der Funktion u 0 : [0, L] → R ist auch die Folge der Fourierkoeffizienten
beschränkt es gilt also
sup |ck | ≤ M
k=0,1,...
(siehe (1.47)). Daraus erhält man für beliebige Zahlen 0 < t min
sup
∞
X
x∈[ 0, L ], t≥tmin k=1
∂ r+s u
|ck ∂xr ∂tsk (x, t)|
≤
C
∞
X
k=1
2
k r+2s q k < ∞
mit den Notationen
2
π r+2s 2s
C := M L
c ,
q := e−(cπ/L) tmin
(r, s ∈ N0 ).
Damit konvergieren nach dem Satz von Weierstraß alle partiellen Ableitungen der Partialsummen in (1.29)
auf Mengen von der Form [0, L] × [tmin , T ] gleichmäßig (mit beliebigen Zahlen 0 < t min ≤ T ). Die
Grenzfunktion u in (1.29) ist also auf der Menge [0, L] × {t > 0} wohldefiniert und dort ebenfalls unendlich oft partiell differenzierbar. Außerdem stellt diese Funktion u eine Lösung der Diffusionsgleichung aus
(1.17) dar, die zudem zu allen Zeiten an den beiden Randpunkten x = 0 und x = L verschwindet, da die
Funktionen u1 , u2 , . . . diese Eigenschaften besitzen.
Es ist noch das Verhalten der Funktion u zur Zeit t = 0 zu betrachten. Im Falle einer stetigen Funktion
u0 : [0, L] → R liefert die Theorie der Fourier Reihen bekanntermaßen Konvergenz der Partialsummen
gegen die vorgegebenen Anfangswerte im quadratischen Mittel.
Die gewonnenen Resultate werden im nachfolgenden Theorem zusammenfasst.
Theorem 1.13 Für eine stetige Funktion u0 : [0, L] → R konvergiert die Reihe (1.29) mit den Notationen aus (1.28) und (1.32) und liefert eine auf [ 0, L ] × {t > 0} unendlich oft differenzierbare L ösung des
Anfangs Randwertproblems (1.17). Dabei konvergieren f ür t = 0 die Partialsummen in (1.29) auf dem
Interval [ 0, L ] im quadratischen Mittel gegen die Funktion u 0 .
Unter etwas schärferen Voraussetzungen für die Funktion u 0 lassen sich weitere Aussagen treffen.
Theorem 1.14 In Ergänzung zu den Voraussetzungen aus Theorem 1.13 gelte noch
u0 ∈ C 1 ( R ),
u0 ( 0 ) = u0 ( L ) = 0.
Kapitel 1 Transport und Diffusion
16
Dann ist die Funktion u aus Theorem 1.13 in allen Anfangspunkten ( x, t = 0 ) mit x ∈ [ 0, L ] stetig. Für
t = 0 konvergieren die Partialsummen in (1.29) auf dem Interval [ 0, L ] gleichmäßig gegen die Funktion u0 .
P∞
B EWEIS . Theorem 1.11 liefert k=1 |ck | < ∞. Eine Vorgehensweise entsprechend der im Beweis von
Theorem 1.13 mit einer Anwendung des Satzes von Weierstraß liefert dann die Aussage von Theorem 1.14.
1.6 L¨
osungsdarstellung ¨uber die Greensche Funktion
Es wird hier noch eine weitere Lösungsdarstellung für die für das Anfangs Randwertproblem (1.17) für
die homogene Diffusionsgleichung mit Nullrandbedingungen angegeben. Hierzu betrachtet man wieder die
Reihensdarstellung (1.29) mit den Notationen aus (1.28) und (1.32). Eine Vertauschung von Integration und
Summation liefert dann die Darstellung
u( x, t ) =
Z
L
0
für x ∈ [ 0, L ],
G ( x, y, t )u0 ( y )dy
mit
∞
2 X
G( x, y, t ) = L
k=1
t≥0
2
π π sin k L x sin k L y e−( kcπ/L) t .
(1.54)
(1.55)
Die Funktion G bezeichnet man als Greensche Funktion zu dem vorliegenden Anfangs Randwertproblem.
1.7 Separationsansatz f ¨ur die inhomogene Wa¨rmeleitungsgleichung
1.7.1 Nullrand- und Anfangsbedingungen
Es wird nun das folgende Anfangs-Randwertproblem für die Diffusionsgleichung betrachtet,
∂2 u
( x, t )
∂x2
∂u
( x, t )
∂t
=
c2
u( 0, t )
=
u( L, t ) = 0
u( x, 0 )
=
0
für x ∈ [ 0, L ],
+ f ( x, t )
t > 0,
(1.56)
für t ≥ 0,
für x ∈ [0, L]
mit einer gegebenen Funktion f : [ 0, L ] × R + → R. Hier setzt man folgendermaßen an,
u( x, t ) =
∞
X
k=1
ck ( t ) sin k Lπ x
für x ∈ [ 0, L ],
t ≥ 0.
(1.57)
Hierbei wird eine hinreichend gute Konvergenz der auftretenden Reihe sowie hinreichend gute Differenzierbarkeitseigenschaften der Grenzfunktion u vorausgesetzt. Für die Funktion f verwendet man die Fourierentwicklung
f ( x, t ) =
∞
X
k=1
fk ( t ) sin k Lπ x
für x ∈ [ 0, L ],
t≥0
(1.58)
und erhält daraus sowie aus der in (1.56) betrachteten Differenzialgleichung die notwendige Bedingung
Abschnitt 1.7 Separationsansatz für die inhomogene W¨armeleitungsgleichung
∞
X
sin k Lπ x
k=1
i
h kπc 2
0
c
k ( t ) + ck ( t ) − fk ( t )
L
=
17
0.
Hieraus ergeben sich die Bedingungen
kπc 2
ck ( t )
L
ck0 ( t ) +
=
fk ( t )
für t > 0
(k
= 1, 2, . . . ).
(1.59)
Die Anfangsbedingung für die zu bestimmenden Funktionen c 1 , c2 , . . . ergeben sich aus (1.56),
ck ( 0 ) = 0
für k = 1, 2, . . . .
(1.60)
Bei (1.59) (1.60) handelt es sich für jedes k um ein Anfangswertproblem für eine inhomogene gewöhnliche
Differenzialgleichung erster Ordnung, deren Lösung sich explizit angeben lässt:
ck ( t )
=
t
Z
e−(kπc / L)
2(
t−τ )
0
fk ( τ ) dτ
für k = 1, 2, . . . ,
so dass sich für die Lösung u( x, t ) die Darstellung
u( x, t )
∞
X
=
sin k Lπ x
k=1
ergibt. Verwendet man noch die Darstellung
2
fk ( τ ) = L
Z
L
0
h Z
t
e−( kπc / L)
2(
t−τ )
0
cπ f ( ξ, τ ) sin k L ξ dξ
fk ( t ) dτ
i
für k = 1, 2, . . .
für die Fourierkoeffizienten (fk ( τ ) )k=0,1,... der Funktion f ( ·, τ ), so erhält man schließlich nach Vertauschung von Integration und Summation
u( x, t ) =
Z
0
t
Z
0
L
G( x, ξ, t − τ )f ( ξ, τ ) dξ dτ
mit der Greenschen Funktion G aus (1.55).
1.7.2 Allgemeine Rand- und Anfangsbedingungen
Es wird nun das folgende Anfangs-Randwertproblem für die Diffusionsgleichung betrachtet:
∂2 u
( x, t )
∂x2
∂u
( x, t )
∂t
=
c2
u( 0, t )
=
u 1 ( t ),
u( x, 0 )
=
u0 ( x )
für x ∈ [ 0, L ],
+ f ( x, t )
u( L, t ) = u2 ( t )
t ≥ 0,
für t ≥ 0,
(1.61)
für x ∈ [ 0, L ].
Hier kann man wie folgt verfahren: man erzeugt zunächst eine Aufgabe mit homogenen Randbedingungen
durch Verwendung einer Funktion ϕ( x, t ) mit den Eigenschaften
ϕ( 0, t ) = u1 ( t ),
ϕ( L, t ) = u2 ( t )
für t ≥ 0.
Es ist dann offensichtlich die Funktion u eine Lösung von (1.61) genau dann, wenn die Funktion
v ( x, t ) = u( x, t ) − ϕ( x, t )
für ( x, t ) ∈ [ 0, L ] × R +
(1.62)
Kapitel 1 Transport und Diffusion
18
die Lösung des Anfangs-Randwertproblems
∂v
( x, t )
∂t
=
c2
∂2 v
( x, t )
∂x2
+
h
v ( 0, t )
=
v ( L, t ) = 0
v ( x, 0 )
=
u0 ( x ) − ϕ( x, 0 )
f ( x, t ) −
∂ϕ
∂2 ϕ
( x, t ) + c2 2 ( x, t )
∂x
∂t
für x ∈ [ 0, L ],
t ≥ 0,
i
(1.63)
für t ≥ 0,
für x ∈ [ 0, L ],
ist. Es handelt sich bei (1.63) um ein Anfangs-Randwertproblem für die inhomogene Diffusionsgleichung
mit homogenen Randwerten. Dieses lässt sich in zwei Teilprobleme zerlegen:
•
Man löst zum einen die zu (1.63) gehörende homogene Gleichung, das heißt, der Term in den eckigen
Klammern dort ist durch Null zu ersetzen.
•
Zudem löst man das Problem (1.63) für homogene Anfangsbedingungen, das heißt, die Anfangswerte
sind dort Null zu setzen.
Diese beiden Lösungen können mit dem bereits vorgestellten Separationsansatz berechnet werden. Deren
“ Überlagerung“ liefert dann die Lösung v zu dem Anfangs-Randwertproblem (1.63). Mit der Darstellung
(1.62) gewinnt man dann schließlich die Lösung u ( x, t ) zu dem Anfangs-Randwertproblem (1.61).
1.8 Maximum– Minimum– Prinzip
Sei G ⊂ R 2 ein beschränkte offene Menge mit der Eigenschaft
G ⊂ { ( x, t ) ∈ R 2 , t ≤ T },
G
(1.64)
∩ { ( x, T ) : x ∈ R } = { ( x, T ) ∈ R 2 , a ≤ x ≤ b} =: D1
(1.65)
für reelle Zahlen a < b und eine reelle Zahl T > 0. Hierbei bezeichnet G den Abschluss der Menge G. Der
“obere Rand“ der Menge G bildet somit eine Strecke, deren Inneres hier mit D 1 bezeichnet wird,
D1 := { ( x, T ) ∈ R 2 , a < x < b}.
Im Folgenden bezeichne noch
D2 := ∂G\D1 .
(1.66)
den verbleibenden Teil des Randes ∂G der Menge G. Wir betrachten im Folgenden eine Funktion u : G → R
mit der Eigenschaft
∂u
∂2 u
= c2 2
∂x
∂t
auf G ∪ D1 .
(1.67)
Die Situation ist in Abbildung 1.3 dargestellt.
Theorem 1.15 (Minimum-Maximum-Prinzip) Sei u : G → R eine stetige Funktion, die auf G ∪ D 1
der homogenen Wärmeleitungsgleichung (1.67) gen ügt, wobei die Bezeichnungen (1.64) (1.66) verwendet
werden. Dann nimmt die Funktion u auf dem Teilst ück D2 des Randes ∂G ihr Maximum und ihr Minimum
an.
Abschnitt 1.8 Maximum– Minimum– Prinzip
19
t........
T
.......
...
..
...
...
..
D1
.................................................................................................................................
.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
... . . . . . . . . . . . . . . . ....
.... . . . . . . . . . . . . . . . ..
.. . . . . . . . . . . . .2. . . ...
.. . . . . . . . . . . . . . . ..
... . . . . . . . . .2. . . . ...
.. . . . . . . . . . . . . . . ..
.. . . . . . . . . . . . .2. ..
.. . . . . . . . . . . . . ..
... . . . . . . . . . . . ...
.. . . . . . . . . . . . . ..
... . . . . . . . . . . . ..
... . . . . . . . . . . ...
... . . . . . . . . . ...
.... . . . . . . . . ....
.... . . . . . . . ...
..... . . . . . . .....
..... . . . . . .....
...... . . . . .....
....... . . . ......
.............. ..............
...
∂u
∂ u
= c
∂x
∂t
D2
G
0
......................
0
x
Abbildung 1.3: Darstellung des Maximum-Minimum-Prinzips für die räumlich eindimensionale Diffusionsgleichung in der Orts-Zeit-Ebene
B EWEIS . Man betrachtet für beliebiges ε > 0 die stetige Hilfsfunktion
v ( ε) ( x, t ) := u( x, t ) − εt
für ( x, t ) ∈ G
und zeigen im Folgenden, dass die Funktion v (ε) ihr Maximum auf dem Teilstück D2 des Randes von G
annimmt. Hierzu nehmen wir im Widerspruch dazu an, dass die Funktion v ( ε) in einem Punkt ( x0 , t0 ) 6∈ D2
ihr Maximum annimmt. Als notwendiges Kriterium für ein Maximum erhält man
∂ 2 v (ε)
( x0 , t 0 )
∂x2
≤ 0,
und daraus resultiert
∂ v ( ε)
( x0 , t 0 )
∂t
=
∂u
(x , t ) − ε
∂t 0 0
∂2 u
( x0 , t 0 )
∂x2
=
−ε
=
∂ 2 v (ε)
( x0 , t 0 )
∂x2
−ε
≤
−ε.
.
Man wählt nun die reelle Zahl ............... t > 0 hinreichend klein, so dass
∂v
(x , t)
∂t 0
ε
≤
.
für t0 − ................ t ≤ t ≤ t0
−2
gilt. Daraus ergibt sich
v ( ε) ( x0 , t0 ) − v ( ε) ( x0 , t0 − ............. t )
.
=
Z
t0
...
t0 − ........... t
∂v
( x , t ) dt
∂t 0
≤
ε
.
− 2 ............. t,
so dass v ( ε) ( x0 , t0 ) < v ( ε) ( x0 , t0 − .............. t ) gilt und damit im Widerspruch zur Annahme v ( ε) ( x0 , t0 ) kein
maximaler Wert der Funktion v ( ε) auf G ist. Demnach nimmt die Funktion v ( ε) doch ihr Maximum auf dem
Teilstück D2 des Randes von G an.
.
Es liegt gleichmäßige Konvergenz der Funktionen v ( ε) vor,
max |v ( ε) ( x, t ) − u( x, t ) |
=
max u( x, t ) ≤ εT + max v ( ε) ( x, t )
=
( x,t )∈G
ε max t,
( x,t )∈G
und daraus erhält man
( x,t )∈G
( x,t )∈G
≤ 2εT +
εT +
max v (ε) ( x, t )
( x,t )∈D2
max u( x, t ).
( x,t )∈D2
Der Grenzübergang ε → 0 zeigt nun, dass auch die Funktion u ihr Maximum auf dem Teilstück D 2 annimmt.
Die Aussage über das Minimum erhält man durch Anwendung des Maximumprinzips auf die Funktion −u,
denn auch diese erfüllt (1.67) und es gilt
Kapitel 1 Transport und Diffusion
20
min u( x, t ) = − max (−u)( x, t ) = − max (−u)( x, t ) =
( x,t )∈G
( x,t )∈D2
( x,t )∈G
min u( x, t ).
( x,t )∈D2
Theorem 1.16 Seien ϕ : D2 → R und f : G ∪ D1 → R gegebene Funktionen, wobei die Bezeichnungen
(1.64) (1.66) verwendet werden. Dann existiert h öchstens eine Lösung u des Anfangs Randwertproblems
∂u
∂2 u
= c2 2 + f ( x, t )
∂x
∂t
auf G ∪ D1 ,
u = ϕ auf D2 .
(1.68)
B EWEIS . Für zwei Lösungen u1 , u2 des Anfangs Randwertproblems (1.68) betrachtet man die Differenz
u = u1 − u2 . Diese stellt eine Lösung der homogenen Wärmeleitungsgleichung (1.67) dar, die zudem auf
dem Teilstück D2 des Randes verschwindet. Nach dem Maximum Minimum Prinzip gilt damit aber u = 0
beziehungsweise u1 = u2 auf dem gesamten Gebiet G.
Es werden nun noch Stabilitätsfragen behandelt.
Theorem 1.17 Seien ϕ : D2 → R und f : G ∪ D1 → R gegebene Funktionen, wobei die Bezeichnungen
(1.64) (1.66) verwendet werden. Seien u 1 , u2 Lösungen der inhomogenen Diffusionsgleichung
∂u
∂2 u
= c2 2 + f ( x, t )
∂x
∂t
auf G ∪ D1
mit
|u1 − u2 | ≤ ε
auf D2 .
Dann gilt |u1 − u2 | ≤ ε auf G.
B EWEIS . Man betrachtet wiederum die Differenz u = u 1 − u2 . Diese stellt eine Lösung der homogenen
Wärmeleitungsgleichung (1.67) dar, für die zudem auf dem Teilstück D 2 des Randes Folgendes gilt,
−ε ≤ u ≤ ε
auf D2 .
Nach dem Maximum Minimum Prinzip gilt damit aber −ε ≤ u ≤ ε auf dem gesamten Gebiet G, was mit
der Aussage des Theorems übereinstimmt.
1.9 Das Anfangswertproblem f ¨ur die Diffusionsgleichung– die ra¨umlich unbeschr¨
ankte Situation
Wir betrachten hier das Anfangswertproblem für die räumlich unbeschränkte Diffusionsgleichung,
∂u
( x, t )
∂t
=
∂2 u
( x, t )
∂x2
u( x, 0 )
=
u0 ( x )
für x ∈ R,
für x ∈ R.
t > 0,
(1.69)
Abschnitt 1.9 Anfangswertproblem für die eindimensionale Diffusionsgleichung
21
Für die Darstellung der Lösung des vorgegebenen Problems (1.69) für die Diffusionsgleichung betrachten
wir die Funktion
Z
u( x, t ) =
∞
−∞
K ( x − ξ, t )u0 ( ξ ) dξ
mit
für x ∈ R,
1
4πt
K ( σ, t ) := √
t > 0,
σ2 (1.70)
für σ ∈ R,
exp − 4t
t > 0.
(1.71)
Für verschiedene Werte von t ist der Verlauf der Funktion K ( ·, t ) in Abbildung 1.4 dargestellt.
K(·,.........0.05)
.......
..
1
.....
.....
...
...
...
...
...
...
...
..
.
...
.
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.............................
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..... .....
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.. ........
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.. .....
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..........................
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..............
........ ...........
........
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....... .....
....... ............
...... .....
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..............
. ..
.......
.......... ...................
............
..... ......
..... ......
.......... .........
........
............................................................... ...................................................................
.
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.
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.
.......... .............
.
.
.
.
......... ........
.......................
....................
..................
.....................
... ...................
................... ....
.
.
... ...............
.
.
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....... ...
.
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... ..................
.
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.. .....
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..................
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... ........................................
................ ......
.
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.... .....................
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.................... ......
.
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.... ...... ...............
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..... ...... ...............
.
...
.......................... ........
.
.
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..... ...... ...............
.
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...
.
.......................... ........
.
...... ...... ..................
.
.
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.
.....
...... ........ ...................
.............................. .........
...
.
.
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. ..
.......
.
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.
.
.....
...
....................................... ...........
.
.
....... ...........................................................
.
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.......
.........
............................................. ...............
....
.
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........................................................................................................
.
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..........
.
......
........................................................................................................
.
.
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.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................
...
K(·, 0.1)
K(·, 0.15)
K(·, 0.25)
0
−2
−1
0
1
x
2
Abbildung 1.4 Verlauf von K(·, t) für die Werte t = 0.05, 0.1, . . . 2.5.
Lemma 1.18 Die Funktion K aus (1.71) ist auf R × { t > 0 } unendlich oft differenzierbar. Es gilt
∂K
( x, t )
∂t
Z
∞
=
∂2 K
( x, t )
∂x2
K ( ξ, t ) dξ = 1
für x ∈ R,
t > 0,
(1.72)
für t > 0.
(1.73)
−∞
B EWEIS . Die Rechnung
∂K
( x, t )
∂t
=
∂K
( x, t )
∂x
= − √
1
√
t 4πt
x2 exp − 4t
x
t 4πt
−
1
2
x2 exp − 4t ,
x2 + 4t ,
∂2 K
( x, t )
∂x2
=
1
√
t 4πt
liefert die Identität (1.72). Die Substitution
σ
4t
x2 x2
4t
exp − 4t
1
4t
y = √ ,
dy = √ dσ
∞
−∞
K ( ξ, t ) dξ
Dies komplettiert den Beweis.
=
1
√
π
Z
∞
−∞
exp ( –y 2 ) dy
=
1
2
(1.74)
liefert (1.73):
Z
−
1
für t > 0.
Kapitel 1 Transport und Diffusion
22
Theorem 1.19 Für eine beschränkte stetige Funktion u0 : R → R ist die in (1.71) betrachtete Funktion
eine Lösung des Anfangs-Randwertproblems (1.69). Es gilt
lim u( x, t ) = u0 ( x )
t↓0
für x ∈ R.
B EWEIS . Für den Beweis fixieren wir bis auf Weiteres x ∈ R und t > 0. Eine Vertauschung von Integration
und Differentiation in der Darstellung (1.71) liefert unter Anwendung von (1.72)
∂2 u
( x, t )
∂x2
−
∂u
( x, t )
∂t
Z
=
∞
−∞
∂2 K
∂x
2
( x − ξ, t )
−
∂K u0 ( ξ ) dξ
∂t
=
0.
Für die Überprüfung der Anfangsbedingung betrachten wir für fest gewähltes x ∈ R die Differenz
u( x, t ) − u0 ( x )
Z
=
∞
−∞
K ( x − ξ, t )[u0 ( ξ ) − u0 ( x ) ] dξ.
wobei die Identität (1.73) eingeht. Eine Substitution von der Form (1.74) ergibt für jedes δ > 0
Z
Z ∞
2
σ2 1
2
√
→ 0
für t → 0.
exp – 4t dσ = √
√ exp (–y )dy
4πt
π
| σ |≥δ
δ/ 4t
Daraus ergibt sich
Z
K ( x − ξ, t )[u0 ( ξ ) − u0 ( x ) ] dξ
| x−ξ |≥δ
≤
2 max |u0 ( y ) |
≤
ξ:| x−ξ |<δ
y∈R
Z
K ( x − ξ, t ) dξ → 0
| x−ξ |≥δ
für t → 0.
Außerdem gilt
Z
K ( x − ξ, t )|u0 ( ξ ) − u0 ( x ) | dξ
| x−ξ |<δ
max |u0 ( ξ ) − u0 ( x ) |
→
0
für δ → 0,
wobei noch die Identität (1.73) eingeht. Dies komplettiert den Beweis.
Bemerkung 1.20 (a) Die Darstellung (1.71) zeigt, dass die Lösung u ( x, t ) des Anfangsrandwertproblems
(1.69). zu jeder beliebig kleinen Zeit t > 0 und in jedem Punkt x ∈ R von allen Anfangsdaten u 0 ( ξ ) für
ξ ∈ R abhängen.
(b) Dem Beweis von Theorem 1.19 entnimmt man, dass die Lösung u des Anfangs-Randwertproblems
(1.69) auf der Menge R × {t > 0} unendlich oft partiell differenzierbar ist.
(c) Die räumlich unbeschränkte Diffusionsgleichung ist nicht eindeutig lösbar; ein entsprechendes Beispiel
wird in Kapitel 4 vorgestellt. Es lässt sich lediglich zeigen, dass es in gewissen Funktionsklassen höchstens
eine Lösung existiert.
M
1.10 Erhaltungsprinzipien
1.10.1 Nichnegativit¨
at
Theorem 1.21 Sei u : G → R eine stetige Funktion, die auf G ∪ D 1 der homogenenen Wärmeleitungsgleichung (1.67) genügt, wobei die Bezeichnungen (1.64) (1.66) verwendet werden. Es gelte u ≥ 0 auf dem
Teilstück D2 des Randes ∂G. Dann gilt u ≥ 0 auf G.
B EWEIS . Das Maximum Minimum Prinzip liefert
u( x, t )
≥
min u( ξ, τ )
( ξ,τ )∈D2
≥
0
für ( x, t ) ∈ G.
Abschnitt 1.11 Black– Scholes– Gleichung
23
1.10.2 Massenerhaltung
Theorem 1.22 Es sei u : [ 0, L ] × R + → R eine hinreichend glatte Funktion, die die Diffusionsgleichung
∂u
∂2 u
( x, t ) = c2 2 ( x, t )
∂x
∂t
für x ∈ [ 0, L ],
t≥0
erfüllt und außerdem den Neumann Randbedingungen
∂u
∂u
( 0, t ) =
( L, t )
∂x
∂x
für t ≥ 0
genügt. Dann ist das Integral der Funktion u ( ·, t ) unabhängig von der Zeit t, das heißt,
Z
L
u( x, t ) dx
=
0
Z
L
u( x, 0 ) dx
0
für t ≥ 0.
B EWEIS . Integration von u bezüglich x und anschließende Differenziation bezüglich t ergibt
∂
∂t
Z
L
u( x, t ) dx =
Z
0
0
L
∂u
( x, t ) dx
∂t
=
c2
Z
L
0
∂2 u
( x, t ) dx
∂x2
=
c2
∂u
( x, t )
∂x
x=L
x=0
=
0
für t ≥ 0.
1.11 Black– Scholes– Gleichung
1.11.1 Problemstellung
Portfolios sind Waren-, Devisen- oder Aktienpakete. Solche Portfolios unterliegen Preisschwankungen. Zur
Absicherung vor solchen Preisschwankungen (die auch durch Währungsschwankungen oder unvorhersehbarer Naturkatastophen verursacht sein können) existieren Kauf- und Verkaufsoptionen. Solche Optionen
berechtigen den Eigentümer der Option, das zu Grunde liegende Portfolio zu einem bestimmten Fälligkeitstermin T zu einem festgelegten Preis p ∗ zu erwerben beziehungsweise zu verkaufen.
Solche Kauf- und Verkaufsoptionen werden an der Börse gehandelt und unterliegen selbst gewissen Preisschwankungen, die im Folgenden mathematisch modelliert werden. Dabei werden die Betrachtungen auf
europäische Kaufoptionen beschränkt. Der Wert c = c ( p, τ ) einer solchen Option hängt von der Zeit
0 ≤ τ ≤ T sowie vom jeweils aktuellen Wert p des Assets ab. In einer deterministischen Variante lässt
sich der Wert einer solchen Option als Lösung des folgenden Endwertproblems beschreiben:
−
∂c
∂τ
c( p, T )
=
σ ( p, τ )2 2 ∂ 2 c
p 2
2
∂p
+ rp
= max{ p − p∗ , 0 }
∂c
− rc
∂p
für p > 0,
0 ≤ τ ≤ T,
(1.75)
für p ≥ 0.
Hierbei ist σ ( p, τ ) ein Koeffizient, der als Volatilität bezeichnet wird. Schließlich bezeichnet r ≥ 0 den
Zinssatz, der hier als konstant angenommen wird.
Es wird nun die in (1.75) betrachtete Endbedingung erläutert.
•
Ist zur Zeit τ = T der tatsächliche Wert des Assets p kleiner oder gleich dem Preis p ∗ , zu dem das Asset
mit der Kaufoption erworben werden kann, so ist die Anwendung der Kaufoption sinnlos und diese damit
wertlos, c( p, T ) = 0 für p ≤ p∗ .
Kapitel 1 Transport und Diffusion
24
•
Es wird nun angenommen, dass zur Zeit τ = T der tatsächliche Wert des Assets p größer als der Preis
p∗ ist, zu dem das Asset mit der Kaufoption erworben werden kann. In dieser Situation ist folgende
Vorgehensweise denkbar.
(i) Man erwirbt eine Kaufoption zum Preis c ( p, T ).
(ii) Anschließend erwirbt man mit dieser Kaufoption das Asset zum Preis p ∗ .
(iii) Danach verkauft man das Asset zu dem gerade aktuellen Marktpreis p.
Da ein Handel mit Optionsscheinen zur Zeit τ = T weder Verlust noch Gewinn erwirtschaften darf, ist
die Forderung −c( p, T ) − p∗ + p = 0 sinnvoll, also c( p, T ) = p − p∗ für p ≤ p∗ .
Bemerkung 1.23 Es gibt weitere sinnvolle Forderungen, so zum Beispiel
c( 0, τ ) = 0
für τ ≥ 0.
Jede zu einem Zeitpunkt völlig wertlose Portfolio wird auch danach wertlos bleiben, so dass die Anwendung
der Kaufoption sinnlos und diese damit wertlos ist. Ist dagegen zu einem Zeitpunkt τ der Wert des Portfolios
sehr viel größer als p∗ , so wird er sicherlich auch zum Fälligkeitszeitpunkt noch größer als p ∗ seine und die
Option wird daher sicher ausgeführt. Berücksichtigt man man noch die Verzinsung, so ist der Wert Option
dann
c( p, τ ) ≈ p − p∗ e−r( T −τ )
für τ ≥ 0.
M
1.11.2 Zeitliche Transformation der Differenzialgleichung
Im Folgenden wird die Black Scholes Gleichung (1.75) in ein Anfangswertproblem für eine räumlich
unbeschränkte Drift Diffusionsgleichung transformiert. Hierzu wird zunächst das Endwertproblem durch
die Transformation
τ = T −t
in ein Anfangswertproblem umgewandelt,
∂c
∂t
=
σ ( p, t )2 2 ∂ 2 c
p 2
2
∂p
c( p, 0 )
=
max{ p − p∗ , 0 }
+ rp
∂c
− rc
∂p
für p > 0,
0 ≤ t ≤ T,
(1.76)
Hierbei werden die gleichen Notationen wie in (1.75) verwendet, so dass c ( p, t ) und σ ( p, t ) in (1.76) mit
c( p, τ ) beziehungsweise σ ( p, τ ) in (1.75) übereinstimmen. Die transformierte Zeitvariable t = T − τ beschreibt also die Restlaufzeit bis zur Fälligkeit der Option.
1.11.3 R¨
aumliche Transformation der Differenzialgleichung
Zur Transformation in ein Anfangswertproblem für eine räumlich unbeschränkte partielle Differenzialgleichung wird nun die Substitution
x = ln p
durchgeführt. Dies führt mit den Setzungen
Abschnitt 1.11 Black– Scholes– Gleichung
25
w( x, t ) = c( p, t ),
%( x, t ) = σ ( p, t )
auf das Anfangswertproblem
∂w
∂t
%( x, t )2 ∂ 2 w
2
∂x2
=
+ (r −
%( x, t )2 ∂ w
)
2
∂x
− rw
für x ∈ R,
0 ≤ t ≤ T,
(1.77)
w( x, 0 ) = max{ ex − p∗ , 0 }.
Hierbei gehen noch die Identitäten
∂c
( p, t )
∂p
∂2 c
( p, t )
∂p2
1 ∂w
( x, t ),
p ∂x
=
= −
1 ∂w
( x, t )
p2 ∂x
+
1 ∂2 w
( x, t )
p2 ∂x2
ein.
1.11.4 Elimination des ableitungsfreien Anteils
Abschließend führt man zur vereinfachten Gewinnung einer Lösung der transformierten Differenzialgleichung (1.77) noch die Transformation
u( x, t ) = ert w( x, t )
für x ∈ R,
0≤t≤T
durch und erhält für die gesuchte Funktion u das Anfangswertproblem
∂u
∂t
=
%( x, t )2 ∂ 2 u
2
∂x2
u( x, 0 )
=
max{ ex − p∗ , 0 },
+ (r −
%( x, t )2 ∂ u
)
2
∂x
für x ∈ R,
0 ≤ t ≤ T,
(1.78)
wobei noch die Identitäten
∂k u
∂xk
∂u
∂w
= rert w + ert
,
∂t
∂t
= ert
∂k w
∂xk
für k = 0, 1
eingehen.
1.11.5 Konstruktion der L¨
osung f ¨ur preisunabha¨ngige Volatilit¨
aten
Wir betrachten nun die transformierte Black Scholes Gleichung (1.78) für preisunabhängige Volatilitäten.
In einer allgemeinen Notation liegt also die folgende Situation vor:
∂2 u
( x, t )
∂x2
∂u
( x, t )
∂t
=
a( t )
u( x, 0 )
=
u0 ( x )
+ b( t )
∂u
( x, t )
∂x
für x ∈ R,
t > 0,
für x ∈ R
mit stetigen Funktionen
a, b : R → R,
a ( t ) ≥ a0 > 0
für x ∈ R.
Man nennt (1.79) eine Drift Diffusionsgleichung, mit a als Diffusions- und b als Driftkoeffizienten.
(1.79)
Kapitel 1 Transport und Diffusion
26
Für die Darstellung der Lösung des vorgegebenen Problems (1.79) betrachten wir die Funktion
K ( x, t ) :=
1
1
√ √
4π A( t )
exp
−
( x + B ( t ))2
4A( t )
A, B ∈ C 1 ( R ),
mit
für x ∈ R,
A 0 = a,
t > 0,
(1.80)
B 0 = b.
Zum Beispiel kann man also
A( t ) =
Z
t
a( τ ) dτ,
Z
B(t) =
t
für t ≥ 0
b( τ ) dτ
0
0
wählen. Im Fall konstanter Koeffizienten a ( t ) ≡ a und b( t ) ≡ b führt dies auf A( t ) = at beziehungsweise
B ( t ) = bt.
Lemma 1.24 Die Funktion K aus (1.80) erf üllt
∂K
( x, t )
∂t
Z
∞
= a( t )
∂2 K
( x, t )
∂x2
K ( x, t ) dx = 1
+ b( t )
∂K
( x, t )
∂x
für x ∈ R,
t > 0,
(1.81)
für t > 0.
−∞
B EWEIS . Mit der Notation
∼∼∼∼ = −
( x + B ( t ))2
4A( t )
berechnet man leicht Folgendes:
√
4π
∂K
( x, t )
∂t
=
1
1
−2
A( t )
a( t ) exp
3/2
1
A( t )
−√
=
1
1
−2
A( t )5/2
∼∼∼∼
n
o
1 2( x + B ( t ) )b( t )A( t ) − ( x + B ( t ))2 a( t )
∼∼∼∼
4
A2 ( t )
o
n
1
exp ∼∼∼∼
a( t )A( t ) + (x + B ( t ) )b( t )A( t ) − 2 (x + B ( t ) )2 a( t ) .
exp
Außerdem erhält man
√
4π
∂K
( x, t )
∂x
1
A( t )
= −√
√ ∂2 K
4π 2 ( x, t ) = −
∂x
=
exp
1
2A( t )3/2
1
2A( t )
5/2
exp
exp
∼∼∼∼
∼∼∼∼
∼∼∼∼
x + B( t )
,
2A( t )
n
n
–
( x + B ( t ) )2
2A( t )
( x + B ( t ) )2
2
+ 1
o
o
− A( t ) .
Daraus erhält man unmittelbar die Darstellung (1.81).
Für die Darstellung der Lösung des vorgegebenen Problems (1.79) für die Drift Diffusionsgleichung betrachten wir die Funktion
u( x, t ) =
Z
∞
−∞
K ( x − ξ, t )u0 ( ξ ) dξ
mit der Kernfunktion K ( x, t ) aus (1.80).
für x ∈ R,
t > 0,
(1.82)
Abschnitt 1.11 Black– Scholes– Gleichung
27
Theorem 1.25 Es sei u0 : R → R eine stetige Funktion mit der Eigenschaft
|u0 ( x ) | ≤ αeβx
2
für x ∈ R
mit Konstanten α, β ∈ R, α ≥ 0. Dann ist die in (1.82) betrachtete Funktion eine L ösung des AnfangsRandwertproblems (1.79) für die Drift Diffusionsgleichung. Es gilt
für x ∈ R.
lim u( x, t ) = u0 ( x )
t↓0
B EWEIS . Ähnlich wie für die räumlich unbeschränkte Diffusionsgleichung.
Wir betrachten die Funktion
1
2π
N (x) = √
Z
x
e−y
2
/2
für x ∈ R.
dy
−∞
(1.83)
Die Funktion N : R → R ist die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung. Es gilt
lim N ( x ) = 0,
lim N ( x ) = 1,
x→−∞
N ist monoton wachsend.
x→∞
Theorem 1.26 Für eine konstante Volatilität σ ist
c( p, t ) = pN ( d1 ) − p∗ e−rt N ( d2 )
mit
d1/2 =
(1.84)
ln ( p/p∗ ) + ( r ± σ 2 /2 )t
√
,
σ t
eine Lösung des Anfangswertproblems (1.76) f ür die Black Scholes Gleichung, wobei die Funktion N wie
in (1.83) gegeben ist.
B EWEIS . Mit den Notation aus (1.78) erhält man aus Theorem 1.25 zunächst Folgendes:
Z ∞
(
x + ( r − σ 2 /2 )t − y )2
1
√
dy
u( x, t ) =
max{ ey − p∗ , 0 } exp −
2
σ 2πt
=
=
1
√
σ 2πt
2σ t
−∞
Z
∞
( ey
ln p∗
1
√ (Σ1
2π
− p∗ ) exp
− Σ2 )
−
( x + ( r − σ 2 /2 )t − y )2
2σ 2 t
für x ∈ R,
t > 0,
dy
mit
Σ1 =
1
√
σ t
Z
∞
Σ2 =
p∗
√
σ t
Z
∞
ln p∗
(
x + ( r − σ 2 /2 )t − y )2
ey exp –
dy,
2
2σ t
exp –
ln p∗
( x + ( r − σ /2 )t − y )2
2
2σ 2 t
dy.
Man berechnet nun zunächst allgemein für Zahlen γ > 0 und a, µ ∈ R Folgendes:
Z
Z
(
(
(∗)
1 ∞
1 ∞ y
y − µ )2
y − ( µ + γ 2 ) )2 − ( 2µγ 2 + γ 4 )
dy
=
dy
e
exp
–
exp
–
2
2
γ
γ
2γ
a
=
(∗∗)
=
1
γ
exp(µ + γ 2 /2)
2
exp ( µ + γ /2 )
Z
∞
exp(µ + γ 2 /2)N
exp –
a
µ+γ 2 −a
γ
−∞
=
2γ
a
Z
( y − ( µ + γ 2 ))2
2γ 2
dy
exp ( − z 2 /2 ) dz
µ + γ2 − a
γ
.
(1.85)
Kapitel 1 Transport und Diffusion
28
Hierbei ergibt sich (∗) aus einer quadratischen Ergänzung, und (∗∗) resultiert aus einer Substitution
z = −
y − ( µ + γ2 )
,
γ
γdz = −dy.
(1.86)
Eine Anwendung von (1.85) mit den Setzungen
=x
√
γ = σ t,
z}|{
µ = ln p + ( r − σ 2 /2 )t,
a = ln p∗
(1.87)
ergibt dann
1
Σ
2π 1
= pert N ( d1 ).
Zur weitereren Bearbeitung von Σ2 berechnet man wie im (1.85) mit Zahlen γ > 0 und a, µ ∈ R Folgendes:
1
γ
Z
∞
exp –
a
( y − µ )2
2γ
2
dy
(∗)
=
Z
µ−a
γ
exp(−z 2 /2) dz
=
N
−∞
µ−a
γ
,
wobei die Identität (∗) mit der gleichen Substitution wie in (1.86) folgt. Mit den gleichen Setzungen wie in
(1.87) erhält man daraus
Σ 2 = p ∗ N ( d 2 ).
Die Rücktransformation
c( p, t ) = e−rt u( x, t ),
x = ln p
liefert dann die Darstellung (1.84). Dies komplettiert den Beweis.
Bemerkung 1.27 Die Darstellung (1.84) kann man folgendermaßen interpretieren:
•
•
•
Man kann zeigen, dass N ( d2 ) die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass zum Fälligkeitstermin t = 0 der
Wert p des Assets den Wert p∗ übersteigt. Dann wird man die Kaufoption umsetzen, es entstehen also
die wahrscheinlichen Kosten p∗ N ( d2 ).
Dagegen beschreibt pert N ( d1 ) den wahrscheinlich enstehenden Gewinn.
Der zu erwartende Wert der Kaufoption zum Fälligkeitstermin ist damit pe rt N ( d1 ) − p∗ N ( d2 ), und eine
Abzinsung liefert dann die Darstellung (1.84).
M
Bemerkung 1.28 Aus Theorem 1.26 lassen sich unmittelbar einige Eigenschaften des Wertes der Kaufoption herleiten.
(a) Für feste Werte von p und t ist die Funktion c ( p, t ) streng monoton fallend bezüglich σ, mit
∂c
∂σ
√
p t −d21 /2
e
2π
= −√
< 0.
(1.88)
lim c( p, t ) = max{p − p∗ e−rt , 0},
lim c( p, t ) = p.
σ→0+
σ→∞
(b) Es gilt
max{ p − p∗ e−rt , 0 }
≤
c( p, t )
≤
p
für p ≥ 0,
t ≥ 0.
Übungsaufgaben
29
(c) Für feste Werte von p und t ist der Wert der Kaufoption monoton fallend bezüglich p ∗ , das heißt,
∂c
( p, t ) = −e−rt N ( d2 ) < 0.
∂p
Beweis als Übungsaufgabe.
M
Bemerkung 1.29 Theorem 1.26 gilt auch für preisunabhängige Volatilitäten und Zinsen. Die Darstellung
in Theorem 1.26 gilt dann mit den folgenden Modifikationen:
r
ersetze durch
σ2
.......
1
t
1
t
Z
Z
t
r ( s ) ds,
0
t
σ 2 ( s ) ds.
0
M
1.11.6 Implizierte Volatilit¨
aten
In der Praxis sind Volatilitäten nicht bekannt. Zur Erstellung eines mathematischen Modells bestimmt man
diese näherungsweise auf der Basis von bekannten Optionspreisen. Man spricht hierbei von impliziten
Volatilitäten.
Dies führt auf eine nichtlineare Gleichung
f ( σ ) := c( p, t ) = c∗
(1.89)
mit einem gegebenen Preis c∗ und der Funktion c( p, t ) aus (1.84). Die Gleichung (1.89) lässt sich beispielsweise mit dem eindimensionalen Newton Verfahren lösen. Dabei bewirkt die Eigenschaft (1.88) eine
Monotonie der Iterierten.
1.11.7 Weitere Themen
Weitere mögliche Themen sind
•
die Berücksichtigung von Transaktionskosten
Amerikanische Kauf- und Verkaufsoptionen, die schon vor dem Fälligkeitstermin umgesetzt werden
können. Dies führt auf freie Randwertprobleme für die Black Scholes Gleichung.
•
Diese Themen werden hier aber nicht weiter behandelt.
Übungsaufgaben
Aufgabe 1.1
Kapitel 2 Wellenausbreitung – Mathematische Modellierung und numerische Lösung
30
2 Wellenausbreitung – Mathematische Modellierung und
numerische Lösung
2.1 Mathematische Modellierung der Ausbreitung von Wellen
2.1.1 Die r¨
aumlich eindimensionale Ausbreitung von Wellen
Zunächst soll ein einfacher Schwinger betrachtet werden. Dieser besteht aus N − 1 kleinen Massenpunkten,
die horizontal gleichmäßig über das Intervall [0, L] verteilt sind. Der Abstand zwischen je zwei benachbarten Massenpunkten sei mit .............. x = L/N bezeichnet. Jeder Massenpunkt ist mit seinen benachbarten Massenpunkten durch Fäden verbunden. Der Faden ist an den Intervallrändern x = 0 und x = L befestigt. Jeder
dieser Massenpunkte lässt sich in vertikaler Richtung auslenken. Für das sich daraus ergebende vertikale
Schwingungsverhalten dieser Massenpunkte wird im Folgenden ein mathematisches Modell beschrieben.
Daraus erhält man durch einen Grenzübergang N → ∞ ein mathematisches Modell für die schwingende
Saite.
Im weiteren Verlauf bezeichne F die (von der Zeit und vom Ort unabhängige) Spannkraft des Fadens.
Weiter sei für k = 1, 2, . . . , N − 1
.
xj = j .............. x
Position
mj
Masse
......
yj ( t )
Auslenkung
......
des j ten Massenpunkts
in horizontaler Richtung
aus der Ruhelage in vertikaler Richtung
zur Zeit t ∈ [0, T ].
Die vorliegende Situation ist in Abbildung 2.1 veranschaulicht.
y
.....
........
...
3.
2•
....
..
...................................................................•
...
... ...
...
..
.... ...
.
...
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.. ...
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.
1•.....
. 2
.
...
...
.
.
......
.
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.. ...
.
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.
....
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....
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.
. 1
..
.
.
.
.
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.
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... .......
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................................................................ .. ....
.
.
.
.
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.
.
........................................................................................................................................................................................................................................
m
m
m
y
(t)
··
y3 ( t )
·
m
N −1
...
•
y (t)
F
x0 = 0
x2
x1
...........
... ........
.....
...
.....
.....
...
.....
...
......
......
...
.....
...
......
...
......
...... .....................................................................
...
....
..
....
.
..............................................................................................................
yN −1 ( t )
···
x3
xN −1
F
xN = L
x
Abbildung 2.1 Einfacher Schwinger zur Zeit t ∈ [0, T ]
Für j = 1, 2, . . . , N − 1 wirken auf den vertikal ausgelenkten Massenpunkt an der Position x j zur Zeit t
die beiden rücktreibenden Kräfte
−F
yj ( t ) − yj−1 ( t )
,
...
.......... x
F
yj+1 ( t ) − yj ( t )
.
...
.......... x
Abschnitt 2.1 Mathematische Modellierung der Ausbreitung von Wellen
31
Auf Grund der Randbefestigung des Fadens gilt dabei y 0 ( t ) = 0 beziehungsweise yN ( t ) = 0 für t ∈ [0, T ].
Die Bewegungsgleichung für die Massenpunkte lauten daher
)
y (t) − y (t)
y (t) − y (t)
+ F j+1 .............. x j
für j = 1, 2, . . . , N − 1,
mj ÿj ( t ) = −F j ............... xj−1
(2.1)
y0 ( t ) = yN ( t ) = 0.
Zusätzlich liegen noch die Anfangsbedingungen
yj ( 0 ) = y0,j
für j = 1, 2, . . . , N − 1,
ẏj ( 0 ) = y1,j
(2.2)
vor, die die zum Anfangszeitpunkt t = 0 vorliegende Auslenkung beziehungsweise Geschwindigkeit der
einzelnen Massenpunkte beschreiben. Hierbei handelt es such um ein Anfangs Randwertproblem für ein
gekoppeltes System von N − 1 linearen gewöhnlichen Differenzialgleichungen zweiter Ordnung.
.
Die schwingende Saite erhält man nun als den Grenzfall ................ x → 0. Mit den Notationen % für die Dichte und
q für den Querschnitt eines jeden Massenpunkts erhält man m j = %q ................ x, und das System von Differenzialgleichungen (2.1) geht dann mit der Abkürzung P := F/q über in
)
yj+1 ( t ) − 2yj ( t ) + yj−1 ( t )
für
j
=
1,
2,
.
.
.
,
N
−
1,
%ÿj ( t ) = P
.
2
...
( ........... x )
(2.3)
y0 = yN = 0.
Daraus erhält man ein mathematisches Modell für eine eingespannte schwingenden Saite, wobei die vertikale Auslenkung u( x, t ) ∈ R zur Zeit t ∈ [0, T ] im Ort x ∈ [0, L] aus der Ruhelage beschrieben werden
soll. Für kleine Werte von ............... x wird dieses annähernd durch (2.3) beschrieben mit den Approximationen
yj ( t ) ≈ u ( xj , t )
für j = 0, 1, . . . , N.
Wegen
yj+1 ( t ) − 2yj ( t ) + yj−1 ( t )
.
( ............. x )2
u( xj+1 , t ) − 2u( xj , t ) + u( xj−1 , t )
.
( .............. x )2
≈
∂2 u
( xj , t )
∂t2
ÿj ( t ) ≈
≈
∂2 u
( xj , t )
∂x2
für j = 1, 2, . . . , N − 1
erhält man daher für die zu bestimmende Auslenkung u ( x, t ) der schwingenden Saite die partielle Differenzialgleichung
%
∂2 u
( x, t )
∂t2
= P
∂2 u
( x, t )
∂x2
für ( x, t ) ∈ Q = (0, L) × (0, T ).
(2.4)
Zusätzlich liegen noch die Anfangsbedingungen
u( x, 0 ) = u0 ( x )
∂u
( x, 0 ) = u1 ( x )
∂t
für x ∈ [0, L]
(2.5)
vor, die die zum Zeitpunkt t = 0 vorliegende Auslenkung beziehungsweise Geschwindigkeit der Saite
beschreiben. Ausserdem führt die Einspannung der Saite am Rand auf die Randbedingungen
u( 0, t ) = 0,
u( L, t ) = 0
für t ∈ [0, T ].
(2.6)
Die partielle Differenzialgleichung (2.4) wird als (räumlich eindimensionale) Schwingungsgleichung oder
auch als Wellengleichung bezeichnet. Hierbei handelt es sich um eine spezielle lineare partielle Differenzialgleichung zweiter Ordnung. Insgesamt stellt (2.4), (2.5), (2.6) ein Anfangs Randwertproblem für die
Schwingungsgleichung dar. In Abbildung 2.2 ist die vorliegende Situation mit der Notation
P
c2 = %
in der Orts Zeit Ebene dargestellt.
32
Kapitel 2 Wellenausbreitung – Mathematische Modellierung und numerische Lösung
t.
T
u( 0, t ) = 0
....
.........
...
..
...
..
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .2 . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . xx
. . . . . . .
. . . . . . . tt
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
u
0
0
u( L, t ) = 0
= c u
.................................................................
L
u( x, 0 ) = u0 (x)
ut ( x, 0 ) = u1 (x)
x
Abbildung 2.2: Darstellung des Anfangs-Randwertproblems für die räumlich eindimensionale Wellengleichung in der Orts-Zeit-Ebene
2.1.2 Die r¨
aumlich zweidimensionale Ausbreitung von Wellen
Das Schwingungsverhalten einer Membran wird durch die r äumlich zweidimensionale Wellengleichung
∂2 u
( x, y, t )
∂t2
= c2 ∆u( x, y, t )
für ( x, y ) ∈ G◦ ,
t ∈ (0, T ).
(2.7)
beschrieben mit einem ebenen Gebiet G ⊂ R 2 . Hierbei bezeichnet G◦ das Innere der Menge G, und ∆
bezeichnet den hier nur auf den Ortsvariablen wirkenden Laplace Operator
∆u( x, y, t ) = (
∂2 u
∂x2
+
∂2 u
)( x, y, t )
∂y 2
für ( x, y ) ∈ G,
t ∈ [0, T ].
(2.8)
Zusätzlich liegen noch die Anfangsbedingungen
∂u
( x, y, 0 ) = u1 ( x, y )
∂t
u( x, y, 0 ) = u0 ( x, y )
für ( x, y ) ∈ G
(2.9)
vor, die die zum Zeitpunkt t = 0 vorliegende Auslenkung beziehungsweise Geschwindigkeit der Membran
beschreiben. Die Einspannung der Membran am Rand führt auf die Randbedingungen
für ( x, y ) ∈ ∂G,
u( x, y, t ) = 0
t ∈ [0, T ].
(2.10)
2.1.3 Die r¨
aumlich dreidimensionale Ausbreitung von Wellen
Die mathematische Modell der Schallausbreitung im Raum oder einer elektromagnetische Schwingung wird
durch die räumlich dreidimensionale Wellengleichung beschrieben. Diese ist von der Form
∂2 u
( x, y, z, t )
∂t2
= c2 ∆u( x, y, z, t )
für ( x, y, z ) ∈ G◦ ,
t ∈ (0, T ),
(2.11)
wobei der Laplace Operator die Form
∆u( x, y, z, t ) =
hat.
∂2 u
∂x2
+
∂2 u
∂y 2
+
∂2 u ( x, y, z, t )
∂z 2
für ( x, y, z ) ∈ G,
t ∈ [0, T ]
(2.12)
Abschnitt 2.2 Die r¨aumlich eindimensionale, unbeschr¨ankte Schwingungsgleichung
33
2.1.4 Nichtlineare Schwingungsgleichungen
Nichtlineare Wellengleichungen treten beispielsweise auf bei der mathematischen Modellierung von schwingenden Saiten oder Membranen mit größeren Auslenkungen aus der Ruhelage. Die Schwingungsgleichung
für die Saite nimmt in dieser Situation die folgende Form an:
2
∂ u
( x, t )
∂t2
∂2 u
( x, t )
∂x2
= c2
[1
+
für ( x, t ) ∈ Q = (0, L) × (0, T ).
∂u
( x, t )2 ]3/2
∂x
2.2 Die r¨
aumlich eindimensionale, unbeschr¨
ankte Schwingungsgleichung
Im Folgenden wird der Einfachheit halber das Schwingungsverhalten einer in beiden Richtungen unendlichen Saite betrachtet. In dieser Situation nimmt die zugehörige Schwingungsgleichung die Form (vergleiche
(2.4))
∂2 u
( x, t )
∂t2
= c2
∂2 u
( x, t )
∂x2
für x ∈ R,
t > 0
(2.13)
für x ∈ R.
(2.14)
an. Die zugehörigen Anfangsbedingungen lauten hier
∂u
( x, 0 ) = u1 ( x )
∂t
u( x, 0 ) = u0 ( x ),
Das nachfolgende Theorem liefert eine Klasse von Lösungen für die Schwingungsgleichung (2.13), die als
d’Alembértsche Lösungen bezeichnet werden.
Theorem 2.1 Für beliebige gewählte zweimal stetig differenzierbare Funktionen f : R → R und g : R →
R stellt die Funktion
u( x, t ) = f ( x − ct ) + g ( x + ct )
für x ∈ R,
t > 0
(2.15)
eine Lösung der räumlich eindimensionalen Schwingungsgleichung (2.13) dar. Die Funktion (2.15) erf üllt
die Anfangsbedingungen (2.14) mit der speziellen Wahl
Z x

1
1

u1 ( z ) dz für x ∈ R,
f ( x ) = 2 u0 ( x ) − 2c

0
(2.16)
Z x

1
1

.
.
....
g ( x ) = 2 u0 ( x ) + 2c
u1 ( z ) dz
0
B EWEIS . Die Aussage (2.15) erhält man unmittelbar aus der Anwendung der Kettenregel:
∂2 u
( x, t )
∂t2
= c2 f 00 ( x − ct ) + c2 g 00 ( x + ct )
=
c2
∂2 u
( x, t )
∂x2
für x ∈ R.
Für den Nachweis der Aussage (2.16) über die richtige Anpassung an die Anfangsbedingungen betrachtet
man zunächst die d’Alembértsche Lösung (2.15) und erhält
f ( x ) + g ( x ) = u 0 ( x ),
c[−f 0 ( x ) + g 0 ( x ) ] = u1 ( x )
für x ∈ R.
(2.17)
Eine Integration der zweiten Identität in (2.17) liefert
c[−f ( x ) + g ( x ) ] =
Z
0
x
u1 ( z ) dz + K
für x ∈ R
(2.18)
mit einer reellen Konstanten K, und ein anschließendes Auflösen in der ersten Gleichung (2.17) und in
(2.18) nach den beiden Unbekannten f ( x ) und g ( x ) liefert mit der Setzung K = 0 die Aussage (2.16). Dies
komplettiert den Beweis.
Kapitel 2 Wellenausbreitung – Mathematische Modellierung und numerische Lösung
34
Korollar 2.2 Unter den Bedingungen von Theorem 2.1 l ässt sich die Lösung des Anfangswertproblems
(2.14) für die räumlich eindimensionale, unbeschr änkte Schwingungsgleichung (2.14) in der kompakten
Form
Z x+ct
u0 ( x − ct ) + u0 ( x + ct )
1
+ 2c
u1 ( z ) dz
2
x−ct
u( x, t ) =
für x ∈ R,
t > 0
(2.19)
schreiben.
Es sollen nun noch einige Sachverhalte veranschaulicht werden.
t.
.....
........
....
...
...
( x∗ , t ∗ )
ct
x∗
−
x+
ct
∗
..
......
... .....
...
...
...
...
.
.
...
...
...
...
...
.
.
...
..
.
.
...
..
.
...
.
..
...
.
.
...
..
.
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...
..
.
...
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..
...
.
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...
..
.
.
...
..
.
...
.
...
...
.
...
.
.
.
...
..
.
...
.
..
...
.
.
...
...
.
...
.
.
...
.
..
...
.
.
..
..
≡
≡
+
x−
ct
x∗
ct ∗
x∗ − ct∗
x∗
......................................
x∗ + ct∗
x
Abbildung 2.3: 1D Wellengleichung– Derjenige Bereich aus der Zeitschicht t = 0 mit Auswirkungen auf
den Wert von u(x∗ , t∗ ) ist hervorgehoben
t
t∗
....
.........
...
...
...
.
x∗ − ct∗
x−
x∗
ct
≡
≡
ct
x∗
x+
...........................................................................................................................................................................
... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...
..... . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . ....
.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...
.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....
... . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . ....
... . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...
.... . . . . . . . . . . . . . . . . . ....
.... . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . ....
... . . . . . . . . . . . . . . . . ...
... . . . . . . . . . . . . . . . ..
..... . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . .....
.... . . . . . . . . . . . . ....
.... . . . . . . . . . . . ....
... . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . ...
... . . . . . . . . . . ...
.... . . . . . . . . . ....
.... . . . . . . . .. . . . . . . . . ....
... . . . . . . . . ...
... . . . . . . . ...
..... . . . . .. . . . . . ....
.... . . . . ....
.... . . . . ...
... . . .. . . . ...
... . . ...
.... . ....
..... ....
......
..
x∗
x∗ + ct∗
.....................................
x
Abbildung 2.4: 1D Wellengleichung in der (x, t)-Ebene. Der vom dem Wert u(x ∗ , 0) beeinflusste Bereich
ist schraffiert dargestellt.
Abschnitt 2.3 Die Fouriersche Methode
35
2.3 Die Fouriersche Methode
Im Folgenden wird das Anfangs Randwertproblem für die Schwingungsgleichung (2.4) (2.6) betrachtet.
Es liegt somit das folgende Anfangs Randwertproblem vor:
utt ( x, t )
u( 0, t )
u( x, 0 )
ut ( x, 0 )
c2 uxx ( x, t )
u( L, t ) = 0
u0 ( x )
u1 ( x )
=
=
=
=
für ( x, t ) ∈ (0, L) × (0, T )
für t ∈ [0, T ]
für x ∈ [0, L]
(2.20)
......
Die Nullrandbedingungen ermöglichen die Verwendung des Ansatzes der Trennung der Veränderlichen, der
bereits bei der Diffusionsgleichung verwendet worden ist und im Folgenden an die vorliegende Situation
angepasst werden soll. Es wird der Ansatz
u( x, t ) = X ( x )S ( t )
für ( x, t ) ∈ [0, L] × [0, T ]
(2.21)
herangezogen zur Gewinnung von allgemeinen Lösungen der Schwingungsgleichung, Rand- und Anfangsbedingungen spielen also zunächst kein Rolle. Einzelheiten hierzu werden im nachfolgenden Abschnitt
2.3.1 vorgestellt. In Abschnitt 2.3.2 werden dann die vorgegebenen Randbedingungen berücksichtigt, und
in Abschnitt 2.3.3 wird eine Superposition der gewonnen Lösungen unter Anpassung der auftretenden Koeffizienten vorgenommen. Dies liefert schließlich die Lösung des Anfangs Randwertproblems (2.20).
2.3.1 Trennung der Ver¨
anderlichen
Als Erstes werden Bedingungen an die Funktionen X : [0, L] → R und S : [0, T ] → R hergeleitet, so
dass die zugehörige Funktion u aus (2.21) die Schwingungsgleichung u tt ( x, t ) = c2 uxx ( x, t ) für ( x, t ) ∈
Q = (0, L) × (0, T ) löst, Nullrand- und Anfangsbedingungen spielen also zunächst kein Rolle. Hierzu
berechnet man ausgehend von dem Ansatz (2.21) zunächst
utt ( x, t ) = X ( x )S 00 ( t ),
uxx ( x, t ) = X 00 ( x )S ( t )
für ( x, t ) ∈ (0, L) × (0, T ),
so dass für die Erfüllung der Schwingungsgleichung notwendigerweise
c2
X 00 ( x )
X(x)
=
S 00 ( t )
S( t )
für ( x, t ) ∈ (0, L) × (0, T )
(2.22)
gelten muss. Für den Moment sei hierbei X ( x ) 6= 0 und S ( t ) 6= 0 für alle ( x, t ) ∈ (0, L) × (0, T )
angenommen sei, wobei man diese Restriktion später auch wieder fallen lassen kann. Es verhält sich nun
so, dass die linke Seite der Identität (2.22) lediglich von der Ortsvariablen x und nicht von der Zeitvariablen
t abhängt, und bei der rechten Seite verhält es sich genau umgekehrt. Dies bedeutet aber, dass beide Seiten
der Identität (2.22) notwendigerweise konstant sein müssen, es gilt also
c2
X 00 ( x )
X(x)
=
S 00 ( t )
S( t )
=
−s2
für ( x, t ) ∈ (0, L) × (0, T )
(2.23)
mit einer noch zu spezifizierenden reellen Konstanten s 2 > 0. Denkbar wäre hier auch die Zulassung negativer Konstanten s bei gleichzeitigem Verzicht der Quadratbildung. Im Zuge der weiteren Berechnungen stellt
sich jedoch heraus, dass sich damit die Randbedingungen nicht erfüllen lassen. Daher kann man sich auch
36
Kapitel 2 Wellenausbreitung – Mathematische Modellierung und numerische Lösung
gleich auf positive Konstanten s2 beschränken, wobei sich durch die Verwendung von s 2 > 0 anstelle von
s > 0 die Notation vereinfachen wird. Die Darstellung (2.23) führt unmittelbar auf die beiden Gleichungen
s 2
für x ∈ (0, L),
(2.24)
X 00 ( x ) + c X ( x ) = 0
S 00 ( t ) + s2 S ( t ) = 0
für t ∈ (0, T ).
(2.25)
Bemerkung 2.3 Bei der Gleichung (2.24) handelt es sich um lineare gewöhnliche Differenzialgleichungen
zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten für die gesuchten Funktion X : [0, L] → R. Erläuterungen
zu diesen Bezeichnungen sind in Bemerkung 1.3 auf Seite 1.3.1 vorgestellt worden.
M
Lösungen der gewöhnlichen Differenzialgleichung (2.24) gewinnt man durch einen Exponentialansatz
X ( x ) = eλx
für x ∈ (0, L)
(2.26)
mit einem zu bestimmenden Koeffizienten λ ∈ C. Zweimalige Differentiation in (2.26) liefert
X 00 ( x ) = λ2 eλx
für x ∈ (0, L),
und die gewöhnliche Differenzialgleichung (2.24) für die gesuchte Funktion X geht dann über in
2
s 2 λx
λ + c
e
für x ∈ (0, L).
(2.27)
Division in (2.27) durch den in jedem Fall von Null verschiedenen Wert e λx führt auf die Bestimmungsgleichung λ2 = −( s/c )2 , die eine Lösung
s
λ = λs = i c
besitzt. Natürlich existiert noch eine zweite Lösung λ = −is/c, die letztlich jedoch auf keine weiteren reellwertigen Lösungen der betrachteten gewöhnliche Differenzialgleichung (2.24) führt. Der Exponentialansatz
(2.26) liefert also zu der gewöhnlichen Differenzialgleichung (2.24) die komplexwertige Lösung
Xs ( x ) = ei( s/c)x
für x ∈ (0, L).
Gesucht sind jedoch reellwertige Lösungen der gewöhnlichen Differenzialgleichung (2.24). Diese erhält
man durch Heranziehung des Real und des Imaginärteils der Funktion X s
Re Xs ( x ) = cos( ( s/c )x),
Im Xs ( x ) = sin( ( s/c )x)
für x ∈ [0, L].
Diese Vorgehensweise ist allerdings nur deshalb zulässig, weil die in (2.24) auftretenden Koeffizienten reell
sind.
Genauso gewinnt man eine komplexwertige Lösung der gewöhnlichen Differenzialgleichung (2.25)
Ss ( t ) = eist
für t ∈ (0, T ).
beziehungsweise durch Heranziehung des Real und des Imaginärteils der Funktion S s die beiden reellwertigen Lösungen
Re Ss ( t ) = cos ( st ),
Im Ss ( t ) = sin ( st )
für t ∈ [0, T ].
für die gesuchte Funktion S. Die so gewonnenen Lösungen der Schwingungsgleichung haben also die Form
Re Xs ( x ) Re Ss ( t ) = cos( ( s/c )x) cos ( st )
Re Xs ( x ) Im Ss ( t ) = cos( ( s/c )x) sin ( st )
für ( x, t ) ∈ Q := [0, L] × [0, T ]
.......
Im Xs ( x ) Re Ss ( t ) = sin( ( s/c )x) cos ( st )
.......
Im Xs ( x ) Im Ss ( t ) = sin( ( s/c )x) sin ( st )
......
Abschnitt 2.3 Die Fouriersche Methode
37
2.3.2 Anpassung an die Randbedingungen
In diesem Abschnitt werden diejenigen Werte von s bestimmt, für die Nullrandbedingungen aus (2.20)
erfüllt sind. Wegen Re Ss ( t ) 6= 0 und Im Ss ( t ) 6= 0 für fast alle t ∈ [0, T ] ist klar, dass man die Betrachtungen auf die Funktion Xs beschränken kann. Dabei kommt wegen Re X s ( 0 ) = cos 0 = 1 6= 0 nur der
Imaginäranteil Im Xs in Frage. Hier ist in x = 0 die Randbedingung stets erfüllt,
Im Xs ( 0 ) = sin 0 = 0.
In x = L führt die Randbedingung auf
Im Xs ( L ) = sin( ( s/c )L) = 0,
was für sL/c ∈ { π, 2π, 3π, . . . } erfüllt ist. Letzteres umformuliert bedeutet
cπ
s ∈ {k L : k = 1, 2, . . . }.
(2.28)
Somit stellen die Funktionen
π πc π πc vk ( x, t ) := sin k L x cos k L t ,
wk ( x, t ) := sin k L x sin k L t
für ( x, t ) ∈ [0, L] × [0, T ],
k = 1, 2, . . .


(2.29)

jeweils Lösungen der Schwingungsgleichungen dar, die zudem alle die Nullrandbedingungen aus (2.20)
erfüllen.
2.3.3 Superposition – Anpassung an die Anfangsbedingung
Auf Grund der Linearität der vorliegenden Differenzialgleichung und der auftretenden Nullrandbedingungen sind endliche Linearkombinationen der Funktionen v k und wk für k = 1, 2, . . . ebenfalls Lösungen der
betrachteten Differenzialgleichung, die zugleich wie gefordert an den beiden Rändern verschwinden. Es ist
naheliegend, auch Funktionen von der Form
u( x, t ) =
∞ X
ck vk ( x, t ) + dk wk ( x, t )
k=1
=
∞
X
k=1
π
sin k L x
πc
ck cos k L t
(2.30)
πc
+ dk sin k L t
für ( x, t ) ∈ [0, L] × [0, T ]
zu betrachten mit den bezüglich der Variablen x 2L-periodischen Funktionen v k und wk aus (2.29). Dabei
soll ohne weitere Hinterfragung eine hinreichend gute Konvergenz der auftretenden Reihe sowie hinreichend
gute Differenzierbarkeitseigenschaften der Grenzfunktion u angenommen werden. Formal erhält man

∞
∞
X
X
!

π 
(
)
(
)
(
)
(
)
u x, 0 =
[ck vk x, 0 + dk wk x, 0 ] =
ck sin k L x
= u0 x
(2.31)
k=1
k=1


für x ∈ [0, L].
Zur Anpassung an die Anfangsbedingungen ist in (2.31) nach einer Fourierentwicklung
u0 ( x ) =
∞
X
k=1
π
ck sin k L x
+
∞
X
j=0
π
fj cos j L x
für x ∈ [0, L]
(2.32)
Kapitel 2 Wellenausbreitung – Mathematische Modellierung und numerische Lösung
38
der gegebenen Funktion u : [0, L] → R zu suchen, in der alle Kosinus-Anteile wegfallen beziehungsweise die Koeffizienten fj für j = 0, 1, . . . allesamt verschwinden. Dies wird erreicht durch eine ungerade
Fortsetzung der Funktion u0 auf das Intervall [−L, 0],
u0 ( − x ) := −u0 ( x )
für x ∈ [−L, 0].
Eine Fourierentwicklung der entstehenden ungeraden Funktion u 0 : [−L, L] → R liefert tatsächlich (2.32)
mit den Fourierkoeffizienten
ck =
fk =
1
L
L
π u0 ( y ) sin k L y dy
−L
Z L
π 1
( y ) cos k y dy
u
0
L
L
Z
=
=
2
L
Z
L
0
0
π u0 ( y ) sin k L y dy
für k = 1, 2, . . . ,
(2.33)
für k = 0, 1, . . . .
−L
Entsprechend erhält man
ut ( x, 0 ) =
=
∞ X
k=1
∞
X
k=1
ck (vk )t ( x, 0 ) + dk (wk )t ( x, 0 )
π
kd sin
L k
π
k Lx
!
=
u1 ( x )
für x ∈ [0, L].
Durch eine ungerade Fortsetzung der Funktion u 1 auf das Intervall [−L, 0],
u1 ( − x ) := −u1 ( x )




(2.34)



für x ∈ [−L, 0].
und eine Fourierentwicklung der entstehenden ungeraden Funktion u 1 : [−L, L] → R liefert (2.34) mit den
Fourierkoeffizienten
dk =
2
cπk
Z
0
L
π u1 ( y ) sin k L y dy
für k = 1, 2, . . . .
(2.35)
Eine Setzung (2.30) mit einer Wahl der Koeffizienten c k beziehungsweise dk gemäß (2.34) und (2.35) liefert also schließlich die gesuchte Lösung des Anfangs Randwertproblems (2.20) für die Schwingungsgleichung.
Abschnitt 2.4 Mathematische Analysis zum Separationsansatz
39
2.4 Mathematische Analysis zum Separationsansatz
Für die Funktionen u0 : [0, L] → R und u1 : [0, L] → R werden die folgenden Annahmen getroffen:
us ∈ C 3 ([0, L]),
(p)
u(p)
s ( 0 ) = us ( L ) = 0
für p = 0, 1, 2
(s
= 0, 1 ).
(2.36)
Theorem 2.4 Unter der Annahmen (2.36) an die Funktionen u 0 , u1 : [0, L] → R konvergiert die Reihe
(2.31) mit den Notationen aus (2.29) und stellt eine auf [ 0, L ] × R + zweimal stetig partiell differenzierbare
Lösung des Anfangs Randwertproblems (2.20) dar.
B EWEIS . Man erhält zunächst mit partieller Integration
Z
2 L 3 L (3)
π gk = − L π
u0 ( y ) cos k L y dy,
0
Z
π 2 L 2 L (3)
u1 ( y ) sin k L y dy,
mit hk = − L π
ck = k −3 gk
mit
dk = k −3 hk
(2.37)
k = 1, 2, . . . .(2.38)
0
Die detaillierte Rechnung für die Darstellung (2.37) von c k sieht so aus:
L
c
2 k
= 0
}|
z
{
L
Z L
π L
u00 ( y ) cos k L y dy
+ kπ
0
0
3 Z L
2 Z L
L
π π
L
(3)
u000 ( y ) sin k L y dy = − kπ
u0 ( y ) cos k L y dy.
= − kπ
0
0
π L
= − kπ u0 ( y ) cos k L y
Die Darstellung (2.38) für dk ergibt sich genauso. Die Besselsche Ungleichung ergibt
∞ X
k=1
|gk |2 + |hk |2
< ∞,
und die Cauchy Schwarzsche Ungleichung liefert dann zusammen mit den Darstellungen (2.37) und (2.38)
Folgendes,
∞
X
k=1
∞
X
k=1
∞
X
k 2 |ck | =
k=1
k 2 |dk | =
∞
X
k=1
k −1 |gk |
≤
k −1 |hk |
≤
X
∞
k=1
X
∞
k=1
k −2
1/2 X
1/2
∞
·
|gk |2
< ∞,
k=1
1/2 X
1/2
∞
k −2
|hk |2
·
< ∞.
k=1
Damit ist die Reihe
u( x, t ) =
∞
X
k=1
π
sin k L x
πc
ck cos k L t
πc
+ dk sin k L t
für ( x, t ) ∈ [0, L] × [0, T ]
und deren ersten und zweiten partiellen Ableitungen gleichmäßig konvergent, und die vorgegeben Anfangswerte werden angenommen.
Kapitel 2 Wellenausbreitung – Mathematische Modellierung und numerische Lösung
40
2.5 Energie, Eindeutigkeit
Im Folgenden wird wieder das folgende Anfangs Randwertproblem für die Schwingungsgleichung betrachtet:
∂2 u
( x, t )
∂t2
= c2
∂2 u
( x, t )
∂x2
für x ∈ (0, L),
u( 0, t )
= u( L, t ) = 0
für t ∈ [0, T ],
u( x, 0 )
= u0 ( x )
∂u
( x, 0 )
∂t
für x ∈ [0, L],
= u1 ( x )
t > 0,
(2.39)
.
......
Wir betrachten das folgende Energiefunktional,
E(t) =
Z
L
c2
0
∂u
( x, t )
∂x
2
+
∂u
( x, t )
∂t
2
dx
(2.40)
Theorem 2.5 Für jede zweimal stetig partiell differenzierbare L ösung u : [0, L] × [0, T ] → R des Anfangs Randwertproblems (2.39) für die Schwingungsgleichung gilt
für t ≥ 0.
E(t) = E(0)
B EWEIS . Es genügt der Nachweis, dass die Ableitung der Funktion E verschwindet. Unter Weglassen der
Argumente bei den Integranden in (2.40) erhält man zunächst
=
0
E (t) = 2
Z
L
0
c
∂2 u
∂x ∂t ∂x
2 ∂u
Z
dx +
L
0
∂u
∂t
∂2 u
∂x2
z}|{
dx ,
∂2 u
∂t2
(2.41)
wobei Integration und Differentiation vertauscht wurden. Vertauschung der Reihenfolge der Differentiation
beim Integranden des ersten Integrals in (2.41) und eine anschließende partielle Integration liefert
Z
0
L
∂ u ∂2 u
dx =
∂x ∂t ∂x
Z
0
L
∂ u ∂2 u
dx
∂x ∂x ∂t
(∗)
=
∂u ∂u
∂x ∂t
|
x=L
x=0
−
Z
0
L
∂2 u ∂ u
∂x2 ∂t
dx.
(2.42)
{z }
= 0
Hierbei verschwindet der erste Term auf der rechten Seite der Identität (∗), denn die Randbedingungen in
(2.39) implizieren
∂u
∂u
( 0, t ) =
( L, t ) = 0
∂t
∂t
für 0 ≤ t ≤ T.
Ein Einsetzen der Identität (2.42) in die Identität (2.41) ergibt E 0 ( t ) = 0 für 0 ≤ t ≤ T und damit die
Aussage des Theorems.
Theorem 2.6 Es gibt höchstens eine zweimal stetig partiell differenzierbare L ösung des Anfangs Randwertproblems (2.39).
Abschnitt 2.6 Ebene Wellen
41
B EWEIS . Für zwei Lösungen u1 und u2 von (2.39) betrachte man die Differenz u = u 1 − u2 . Dann gilt
insbesondere
∂u
( x, 0 ) = 0
∂t
u( x, 0 ) = 0,
und damit auch
Z
0
L
c2
für 0 ≤ x ≤ L,
∂u
( x, 0 ) = 0 für 0 ≤ x ≤ L. Mit Theorem 2.5 erhält man dann
∂x
∂u
( x, t )
∂x
2
+
∂u
( x, t )
∂t
2
dx
=
Z
L
c2
0
∂u
( x, 0 )
∂x
2
+
∂u
( x, 0 )
∂t
2
dx
=
0
für 0 ≤ t ≤ T.
Daraus erhält man
∂u
( x, t )
∂t
=
∂u
( x, t )
∂x
für 0 ≤ x ≤ L,
0≤t≤T
und damit insbesondere
u( x, t ) ≡ C
für 0 ≤ x ≤ L,
0≤t≤T
Wegen u( 0, t ) = 0 für 0 ≤ t ≤ T erhält man daraus u = 0 beziehungsweise u 1 = u2 auf [0, L] × [0, T ].
2.6 Ebene Wellen
Im Folgenden wird wieder das folgende Anfangswertproblem für die räumlich unbeschränkte Schwingungsgleichung in d Raumvariablen betrachtet:
∂2 u
( x, t )
∂t2
=
c2 ∆u( x, t )
für x ∈ Rd ,
t ∈ (0, T ).
(2.43)
Für beliebige Koeffizienten
α1 , α 2 , . . . , α d ∈ R
mit
α21 + α22 + . . . + α2d = 1
und zweimal stetig differenzierbare Funktionen f : R → R bildet
u( x, t ) = f (α1 x1 + α2 x2 + . . . + αd xd − ct)
für x = (x1 , x2 , . . . , xd ) ∈ Rd
(2.44)
eine Lösung von (2.43) ( Übungsaufgabe ) . Für fest gewählte Werte t und θ stellt
α1 x1 + α2 x2 + . . . + αd xd − ct = θ
(2.45)
eine Ebene in Rd dar. Die Ebenen (2.45) stellen Niveaulinien der Lösungen dar (2.44), weshalb diese Lösungen als ebene Wellen bezeichnet werden. Im übrigen steht der Vektor n = ( α1 , α2 , . . . , αd ) ∈ Rd senkrecht
auf dieser Ebene, und für wachsende Werte von t bewegt sich diese Ebene mit der Geschwindigkeit c in die
Richtung des Vektors n.
Kapitel 2 Wellenausbreitung – Mathematische Modellierung und numerische Lösung
42
2.7 Sph¨
arische Wellenfunktionen
Es werden nun rotationssymmetrische Lösungen u : R d → R der Schwingungsgleichung gesucht. Dabei
handelt es sich um Funktionen von der Form
für x ∈ R d ,
u( x, t ) = v(|x|2 , t)
t>0
(2.46)
mit einer reellwertigen, zweimal stetig partiell differenzierbaren Funktion v ( r, t ) für r ≥ 0, t ≥ 0.
Proposition 2.7 Es ist die Funktion u aus (2.46) eine L ösung der Schwingungsgleichung (2.43) genau dann,
wenn die Funktion v = v ( r, t ) die partielle Differenzialgleichung
∂2 v
∂t2
c2
=
∂2 v
∂r2
+
d − 1 ∂v
r ∂r
für r ≥ 0
(2.47)
löst.
B EWEIS . Der Ansatz (2.46) führt auf
∂u
( x, t )
∂xk
=
∂v
x
(|x|2 , t) k ,
|x|2
∂r
=
∂2 v
(|x|2 , t)
∂r2
=
∂2 v
(|x|2 , t)
∂r2
∂2 u
( x, t )
∂x2k
=
x2k
∂2 v
2 (|x|2 , t)
∂r
|x|22
+
∂v
x2
1
(|x|2 , t)
− k3
|x|2
|x|2
∂r
und liefert
( ∆u )( x, t )
X
d
x2k
k=1
|x|22
d
+
X
∂v
(|x|2 , t)
∂r
k=1
∂v
d
1
+
(|x|2 , t)
−
|x|2
|x|2
∂r
1
|x|2
=
−
x2k
|x|32
∂2 v
(|x|2 , t)
∂r2
+
d − 1 ∂v
(|x|2 , t).
|x|2 ∂r
Dies führt auf die partielle Differenzialgleichung zweiter Ordnung (2.47) für die Funktion v : R + × R + →
R.
Eine äquivalente und häufig verwendete Formulierung für (2.47) ist
∂2 v
∂t2
=
c2
wie man leicht nachrechnet.
1
r
d−1
∂v ∂
r d−1
∂r
∂r
für r ≥ 0,
t ≥ 0,
(2.48)
2.7.1 Der r¨
aumlich dreidimensionale Fall d = 3
Im Fall d = 3 lässt sich die partielle Differenzialgleichung (2.47) mit einer Substitution weiter vereinfachen.
Proposition 2.8 Es ist die Funktion v ( r, t ) eine Lösung von (2.47) genau dann, wenn die Funktion
w( r, t ) = rv ( r, t )
für r ≥ 0,
t≥0
eine Lösung der räumlich eindimensionalen Schwingungsgleichung
∂2 w
∂t2
darstellt.
= c2
∂2 w
∂r2
für r ≥ 0,
t≥0
(2.49)
Abschnitt 2.7 Sph¨arische Wellenfunktionen
B EWEIS . Es gilt
2 ∂
∂r2
=
=
beziehungsweise
w
r
43
∂w
r ∂w − w 2 r ∂r − w
∂r
+
r
r2
r2
∂
(r ∂∂rw − w )r 2 − 2r(r ∂∂rw − w )
2r ∂∂rw − w
∂r
+
r4
r3
o
n 2
∂w
∂w
∂w
∂w
1
∂ w
−
−
2r
+
2w
+
2r
−
2w
r
+
3
2
2 ∂
+ r
∂r
r
w
r
∂
∂r
=
∂r
∂r
∂r
∂2
∂t2
Dies komplettiert den Beweis.
∂r
w
r
∂r
=
1 ∂2 w
r ∂r2
1 ∂2 w
.
r ∂t2
=
Theorem 2.9 Die Funktionen
u( x, t )
=
1 f (|x|2
|x|2
− ct) + g(|x|2 + ct)
(2.50)
mit zweimal stetig differenzierbaren Funktionen f : R → R und g : R → R stellen L ösungen der räumlich
dreidimensionalen Schwingungsgleichung
∂2 u
∂t2
= c2 ∆u
für x ∈ R 3 ,
t ≥ 0,
dar.
B EWEIS . Die Funktionen
w( r, t )
f ( r − ct ) + g ( r + ct )
=
stellen Lösungen von (2.53) dar. Damit löst die Funktion
v ( r, t )
=
1
(f ( r − ct )
r
+ g ( r + ct ) )
die Differenzialgleichung (2.48), und die Aussage des Theorems folgt dann aus Proposition 2.7.
2.7.2 Der r¨
aumlich zweidimensionale Fall d = 2
Im räumlich zweidimensionalen Fall d = 2 geht die rotationssymmetrische Schwingungsgleichung in der
symmetrischen Formulierung (2.47) über in
∂v 1 ∂
∂2 v
= c2 r
r
für r ≥ 0,
t ≥ 0.
(2.51)
2
∂r
∂t
∂r
Diese Differenzialgleichung (2.51) bezeichnet man als Differenzialgleichung der zylindrischen Wellen
aus folgendem Grund. Die räumlich dreidimensionale Schwingungsgleichung
∂2 u
∂2 u
∂2 u
∂2 u für x = ( x1 , x2 , x3 ) ∈ R 3 ,
t≥0
(2.52)
= c2
2
2 +
2 +
2
∂t
∂x1
∂x2
∂x3
geht bei Verwendung von zylindrischen Koordinaten
x1 = r cos θ,
x2 = r sin θ,
x3 = z,
u( x1 , x2 , x3 , t ) = v ( r, θ, z, t ),
(2.53)
über in
∂2 v
∂t2
∂v 1 ∂2 v
1 ∂
∂2 v
r
+ 2 2 +
= c2 r
r ∂θ
∂z 2
∂r ∂r
für r ≥ 0,
0 ≤ θ ≤ 2π,
z ∈ R,
t ≥ 0 (2.54)
( Übungsaufgabe). Für von θ und z unabhängige Funktionen v schließlich ist Differenzialgleichung (2.54)
gleichbedeutend mit (2.53). Die Niveauflächen solcher nur von r abhängender Funktionen stellen Zylinder
dar, was die Bezeichnung zylindrische Wellen nahelegt.
Kapitel 2 Wellenausbreitung – Mathematische Modellierung und numerische Lösung
44
2.8 Trennung der Ver¨
anderlichen im mehrdimensionalen Fall
Für die mehrdimensionale Schwingungsgleichung
∂2 u
( x, t )
∂t2
= c2 ∆u( x, t )
für x ∈ G,
t ≥ 0,
(2.55)
mit einer offenen Menge G ⊂ Rd wird der Ansatz
für x ∈ G,
u( x, t ) = v ( x )T ( t )
t≥0
(2.56)
herangezogen. Als Erstes werden Bedingungen an die Funktionen v : G → R und T : R + → R hergeleitet,
so dass die zugehörige Funktion u aus (2.56) die Schwingungsgleichung (2.55) erfüllt. Hierzu berechnet
man ausgehend von dem Ansatz (2.56) zunächst
∂2 u
( x, t )
∂t2
= v ( x )T 00 ( t ),
für x ∈ G,
∆u( x, t ) = ∆v ( x )T ( t )
t ≥ 0,
so dass für die Erfüllung der Schwingungsgleichung notwendigerweise
c2
=
T 00 ( t )
T (t)
T 00 ( t )
T (t)
=
∆v ( x )
v( x )
für x ∈ G,
t≥0
(2.57)
gelten muss. Dies bedeutet aber
c2
∆v ( x )
v( x )
=
−µ
für x ∈ G,
t ≥ 0,
(2.58)
mit einer noch zu spezifizierenden reellen Konstanten µ ∈ R. Die Darstellung (2.58) führt unmittelbar auf
die beiden Eigenwertprobleme
c2 ∆v ( x ) + µv ( x ) = 0
für x ∈ G,
(2.59)
T 00 ( t ) + µT ( t ) = 0
für t ≥ 0.
(2.60)
Wir betrachten hier nur den Fall µ = s 2 > 0. Dann besitzt (2.60) die beiden linear unabhängigen Lösungen
cos st,
sin st
Auf die reduzierte Schwingungsgleichung (2.59) wird ein weiterer Separationsansatz angewendet. Hier werden sphärische Koordinaten
x1 = r cos ϕ cos θ,
x2 = r sin ϕ cos θ,
für r ≥ 0,
ϕ ∈ [0, 2π ],
x3 = r sin θ
(2.61)
θ ∈ [−π/2, π/2],
herangezogen. Mit der neuen Notation
v ( x1 , x2 , x3 ) = w( r, ϕ, θ )
erhält man (ohne Beweis)
n
o
∂
∂w 1
r2
+ Λ3 w
∆v = 2
r
∂r
mit
∂r
∂w
1 ∂2 w
1 ∂
sin θ
+
Λ3 w := sin θ
.
sin2 θ ∂ϕ2
∂θ
∂θ
Die Differenzialgleichung (2.59) geht damit über (sei jetzt c = 1)
n
o
∂
1
2 ∂w
r
+
Λ
w
+ s2 w = 0.
3
2
r
∂r
∂r
(2.62)
(2.63)
Abschnitt 2.9 Nachtrag zur r¨aumlich unbeschr¨ankten eindimensionalen Schwingungsgleichung
45
Wir betrachten nun Lösungen von der Form
w( r, ϕ, θ ) = R( r )Y ( ϕ, θ )
und erhalten so
1 d
dR
(r 2 dr )
r2 dr
+ s2 R
=
1
R
r2
−
Λ3 Y
Y
= γ
mit einem Separationsparameter γ. Die separierten Gleichungen lauten dann
Λ3 Y + γY
= 0,
(2.64)
r 2 R 00 + 2rR 0 + ( s2 r 2 − γ )R = 0.
(2.65)
Die Differenzialgleichung (2.64) besitzt nur für
γ k = k ( k + 1 ),
k = 0, 1, . . .
glatte Lösungen. Es handelt sich dabei um 2k + 1 linear unabhängige Funktionen
(`)
Yk ( ϕ, θ )
für ` = 1, 2, . . . , 2k + 1,
die als “spherical harmonics“ bezeichnet werden. Für jedes k führt man in (2.65) noch die neue Funktion
S = r 1/2 R ein und erhält hierfür die gewöhnliche Differenzialgleichung
2 r 2 S 00 + rS 0 + ( s2 r 2 − k + 21 ) S = 0.
Diese gewöhnliche Differenzialgleichung heisst Besselsche Differenzialgleichung. Sie besitzt zwei linear
unabhängige Lösungen
Jk+1/2 ( sr ),
J−(k+1/2) ( sr ),
mit
Jν ( z ) =
∞
X
(
m=0
− 1 )m
( z/2 )ν+2m
m!Γ( ν + m + 1 )
,
wobei Γ die Eulersche Gammafunktion bezeichnet.
2.9 Nachtrag zur r¨
aumlich unbeschr¨
ankten eindimensionalen Schwingungsgleichung
Es wird nun wieder die räumlich unbeschränkte eindimensionale Schwingungsgleichung betrachtet (vergleiche (2.4)),
∂2 u
( x, t )
∂t2
= c2
∂2 u
( x, t )
∂x2
für x ∈ R,
t > 0.
(2.66)
In Abschnitt 2.2 ist eine Klasse von Lösungen dieser Differenzialgleichung (2.66) angegeben worden. Es
wird nun nachgewiesen, dass es keine weiteren Lösungen gibt. Hierzu führt man die Variablentransformation
ξ = x − ct ∈ R,
η = x + ct ∈ R
durch und betrachtet die zugehörige Funktion
v ( ξ, η ) := u( x, t ) = u
ξ+η η−ξ
, 2c
2
für ξ, η ∈ R.
Kapitel 2 Wellenausbreitung – Mathematische Modellierung und numerische Lösung
46
Partielle Differentiation nach η liefert
∂v
( ξ, η ) =
∂η
1
2
∂u
1 ∂u
+c
∂x
∂t
ξ+η η−ξ
, 2c
2
für ξ, η ∈ R.
Anschließende Differentiation nach ξ ergibt dann
2
ξ+η η−ξ
1 ∂2 u
∂ u
∂2 v
1 ∂2 u
1 ∂2 u
( ξ, η ) = 41
−
+
−
, 2c
2
2
2
∂ξ ∂η
c
∂t
∂x
c
∂x
∂t
2
∂x
c ∂t
2
ξ+η η−ξ !
1 ∂2 u
∂ u
, 2c
= 41
−
= 0
für ξ, η ∈ R.
2
2
2
2
∂x
c ∂t
Es stellt also die Funktion u genau dann eine Lösung der räumlich unbeschänkten Schwingungsgleichung
∂2 v
(2.66) dar, wenn ∂ξ ∂η = 0 auf R 2 gilt beziehungsweise
v ( ξ, η ) = f ( ξ ) + g ( η )
für ξ, η ∈ R
erfüllt ist mit zweimal stetig differenzierbaren Funktion f, g : R → R. Mit den urspünglichen Variablen
x, t bedeutet dies
u( x, t )
=
v ( ξ, η )
=
f ( ξ ) + g( η )
=
f ( x − ct ) + g ( x + ct )
für x ∈ R,
t > 0.
47
3
Klassifikation partieller Differenzialgleichungen
3.1 Quasilineare partielle Differenzialgleichungen
Eine quasilineare partielle Differenzialgleichung 2. Ordnung von d Veränderlichen ist von der Form
d
X
k,j=1
∂2 u
akj ∂x ∂x + R = 0
j
k
mit
akj = ajk ,
(3.1)
wobei akj und R reellwertige Funktionen sind, die von den Veränderlichen x 1 , x2 , . . . , xd sowie von u
und deren ersten partiellen Ableitungen
∂u
∂u ∂u
,
,...,
abhängen dürfen. Die partielle Differenzialglei∂x1 ∂x2
∂xd
chung (3.1) wird als linear bezeichnet, falls die a kj Funktionen nur von den Veränderlichen x 1 , x2 , . . . , xd
und die Funktion R von der Form
R =
d
X
bk
k=1
∂u
+ cu − f
∂xk
(3.2)
ist mit Funktionen b1 , b2 , . . . , bd , c, f : Rd → R. Im Spezialfall d = 2 ist eine lineare partielle Differenzialgleichung von der Form
a1
∂2 u
∂x2
∂2 u
∂2 u
∂u
∂u
+ a2 ∂x ∂y + a3 2 + b1
+ b2
+ cu = f.
∂y
∂x
∂y
(3.3)
3.2 Charakteristiken
Aus der Theorie der Anfangswertprobleme für gewöhnliche Differenzialgleichungen zweiter Ordnung u 00 =
F ( x, u, u 0 ) für x ≥ x0 ist bekannt, dass im Allgemeinen eine Vorgabe von u ( x0 ) und u 0 ( x0 ) erforderlich
ist, um die Eindeutigkeit und Existenz der Lösung u ( x ) für x > x0 zu garantieren.
Im Folgenden soll nun für die lineare partielle Differenzialgleichung (3.3) untersucht werden, inwieweit für
eine vorgegebene hinreichend glatte Kurve
Γ = { ( x, y ( x )) : x ∈ I }
⊂
R2
(mit einem Intervall I ⊂ R ) eine Vorgabe der Daten
u,
∂u
,
∂x
∂u
∂y
auf Γ
(3.4)
hinreichend für die Eindeutigkeit der Lösung u von (3.3) in einer Umgebung der Kurve Γ ist. Die Daten
(3.4) bezeichnet man kurz als Cauchydaten.
Die Vorgehensweise ist nun so, dass festgestellt wird, ob sich daraus die zweiten partiellen Ableitungen
2
∂2 u
und ∂∂yu2 in eindeutiger Weise bestimmen lassen. Ist nämlich der Verlauf der Kurve Γ so, dass diese
∂x2
zweiten partiellen Ableitungen eindeutig festgelegt sind, so lassen sich durch wiederholte Differenziation
(hinreichende Glattheit der Koeffizienten vorausgesetzt) die partiellen Ableitungen von u beliebig hoher
Ordnung berechnen, und eine Taylorentwicklung ermöglicht dann (formal) eine eindeutige Fortsetzung der
gegebenen Cauchydaten von u auf der Kurve Γ auf eine Umgebung von Γ.
Kapitel 3 Klassifikation partieller Differenzialgleichungen
48
Die partiellen Ableitungen
d ∂u
( x, y ( x ))
dx ∂x
∂u
∂x
∂2 u
∂x2
=
und
∂u
∂y
sind vorgegeben, also auch die Ableitungen
∂2 u
d ∂u
( x, y ( x ))
dx ∂y
+ ∂x ∂y y 0 ,
=
∂2 u
∂x ∂y
+
∂2 u 0
y
∂y 2
für x ∈ I. (3.5)
Dies zusammen mit (3.3) führt auf ein System von drei linearen Gleichungen für die zweiten Ableitungen
∂2 u ∂2 u ∂2 u
,
,
. Die
∂x2 ∂y 2 ∂x ∂y
zugehörige Koeffizientenmatrix besitzt in x ∈ I die Determinante

a1 a2 a3


det  1

0
y
0
1



0 

y0
a 1 ( y 0 )2 − a 2 y 0 + a 3 .
=
(3.6)
Die Determinante verschwindet also für solche Kurven, bei denen die Ableitung y 0 ( x ) der quadratischen
Gleichung
a 1 ( y 0 )2 − a 2 y 0 + a 3 = 0
für x ∈ I
(3.7)
genügt. Solche Kurven werden als charakteristische Kurven bezeichnet. Je nach der Form der Koeffizienten in (3.7) gibt es keine, eine, oder zwei charakteristische Kurven durch einen Punkt ( x, y ). Dies hängt ab
von dem Vorzeichen der Diskriminante
D := a22 − 4a1 a3 .
Definition 3.1 Man nennt die quasilineare partielle Differenzialgleichung (3.3) in einem Punkt ( x, y ) ∈ R 2
•
elliptisch,
falls D < 0
•
parabolisch,
falls D = 0
(genau eine
......
)
•
hyperbolisch
falls D > 0
(zwei
......
en)
(keine charakteristische Richtung)
Im quasilinearen Fall hängt die Klassifikation noch von den speziellen Cauchydaten ab.
2
Beispiel 3.2 (a) Im Fall der Diffusionsgleichung ∂∂tu = c2 ∂∂xu2 für x ∈ R, t ≥ 0 gilt ( mit der Notation
y = t ) in allen Punkten a1 = c2 und a2 = a3 = 0, daher ist D = 0 und die Diffusionsgleichung demnach
parabolisch. Für die charakteristischen Richtungen gilt
( y 0 )2
= 0
;
∂2 u
∂x2
+ rx
∂u
− ru
∂x
y 0 = const,
dies sind Parallelen zur x-Achse.
(b) Die Black Scholes Gleichung
−
∂u
∂τ
2
=
σ ( x, t )
2
x2
für x > 0,
0 ≤ τ ≤ T,
(3.8)
ist in allen Punkten ( x, τ ) mit x > 0 parabolisch.
2
2
(c) Im Fall der Schwingungsgleichung ∂∂t2u = c2 ∂∂xu2 für x ∈ R, t > 0, gilt ( mit der Notation y = t ) in
allen Punkten a1 = c2 , a3 = −1 und a2 = 0. Daher ist D = 4c2 und die Schwingungsgleichung demnach
hyperbolisch. Für die charakteristischen Richtungen gilt
Abschnitt 3.2 Charakteristiken
49
( y 0 )2
1
c2
−
= 0
;
1
y 0 = ± const ,
dies sind Geraden von der Form
1
x
c
y ±
= const.
M
Beispiel 3.3 Es wird nun ein Potenzreihenansatz zur Lösung der Diffusionsgleichung mit vorgegebenen
Cauchydaten auf einer nichtcharakteristischen Kurve betrachtet. Das vorliegende Problem ist von folgender
Form:
∂u
∂t
=
∂2 u
∂x2
für x ∈ R,
u( 0, t )
=
g( t )
∂u
( 0, t )
∂x
für t ≥ 0,
=
0
für t ≥ 0.
t > 0,
(3.9)
Der Ansatz
u( x, t ) =
∞
X
as ( t )xs
für x ∈ R,
s=0
t>0
liefert
∂u
( x, t )
∂t
=
∂u
( x, t )
∂x
=
∞
X
as0 ( t )xs
∞
X
( s + 1 )as+1 ( t )xs ,
s=0
∂2 u
( x, t )
∂x2
s=0
Dies eingesetzt in die Gleichung
as+2 ( t ) =
∂u
∂t
=
∂2 u
∂x2
=
∞
X
( s + 2 )( s + 1 )as+2 ( t )xs .
s=0
und ein anschließender Koeffizientenvergleich liefert
1
a0 (t)
( s + 2 )( s + 1 ) s
für t > 0
(s
= 0, 1, . . . ).
Die Anfangsbedingungen in (3.9) liefern noch
∂u
!
( 0, t ) = a1 ( t ) = 0.
∂x
!
u( 0, t ) = a0 ( t ) = g ( t ),
Dies bedeutet
a2n+1 ( t ) = 0,
a2n ( t ) =
g (n) ( t )
( 2n )!
für t ≥ 0,
n = 0, 1, . . .
und resultiert letztlich in
u( x, t ) =
∞
X
g (n) ( t ) 2n
x
( 2n )!
n=0
für x ∈ R,
Wir betrachten nun in (3.9) den speziellen Fall

 exp ( −t−α ) für t > 0
g( t ) =

0 für t = 0
t > 0.
(α
> 1 ).
(3.10)
(3.11)
Kapitel 3 Klassifikation partieller Differenzialgleichungen
50
Mit Hilfe des Residuensatzes weist man nun für einen geeigneten positiven Parameter die Abschätzung
t−α s!
( s = 0, 1, . . . )
|g (s) ( t ) | ≤ ( )s exp – 2
für t > 0
θt
nach, und daraus folgt unmittelbar
∞
X
g (n) ( t )
( t )x2n
( 2n )!
≤
n=0
∞
X
|x|2n
n!( θt )n
exp(− 12 t−α )
=
exp
n=0
1
t
|x|2
θ
− 12 t1−α
für t > 0.
Damit konvergiert die betrachtete Potenzreihe (3.10) mit der speziellen Funktion (3.11) tatsächlich für jede
reelle Zahl x. Dies rechtfertigt nachträglich die formalen Differenziationen und die durchgeführten Koeffizientenvergleiche und zeigt außerdem, dass die in (3.10) betrachtete Funktion tatsächlich für x ∈ R und
t > 0 definiert ist.
Dieses Beispiel ist das Standardbeispiel (siehe z. B. Friedman [3] oder John [10]) für die Nichteindeutigkeit
der Lösung des Anfangswertproblems
∂u
∂t
u( x, 0 )
=
∂2 u
∂x2
= 0
für x ∈ R,
t > 0,
M
für x ∈ R.
Bemerkung 3.4 Für die in (3.11) betrachtete Funktion gilt wegen der im Anschluss an die Definition angegeben Abschätzung
g ∈ C ∞ ( R ),
g (s) ( 0 ) = 0
für s = 1, 2, . . . .
Diese Funktion ist ein Beispiel für eine unendlich oft differenzierbare Funktion, die von ihrer Taylorentwicklung
∞
X
g (s) ( 0 ) s
x
s!
s=0
= 0
für x ∈ R
abweicht.
M
3.3 Typeneinteilung f ¨ur quasilineare Differenzialgleichungen zweiter Ordnung in d Ver¨
anderlichen
Im Folgenden wird eine Klassifikation für allgemeine quasilineare partielle Differenzialgleichung 2. Ordnung vorgenommen und bezeichnen hierzu
A := ( akj ) ∈ R d×d .
Definition 3.5 Man nennt die quasilineare partielle Differenzialgleichung (3.1) in einem Punkt ( x, y ) ∈
R2
•
•
•
elliptisch, falls die Eigenwerte der Matrix A entweder alle positiv oder alle negativ ausfallen.
parabolisch, falls mindestens ein Eigenwert der Matrix A verschwindet.
hyperbolisch, falls alle bis auf einen Eigenwert von einem Vorzeichen sind und der verbliebene Eigenwerte das andere Vorzeichen besitzt.
Beispiel 3.6 (a) Für die räumlich zweidimensionale Diffusionsgleichung
∂u
∂2 u ∂2 u
für ( x, y ) ∈ D,
+
= c2
2
2
∂t
∂x
∂y
t > 0,
Abschnitt 3.3 Typeneinteilung quasilinearer Differenzialgleichungen
51
mit einer offenen Menge D ⊂ R 2 gilt ( mit der Notation x1 = x, x2 = y und x3 = t )
!
1
2
1
A = c
.
0
In diesem Fall ist die Matrix A von Diagonalgestalt, so dass man die Eigenwerte direkt auf der Diagonalen
ablesen kann. Die räumlich zweidimensionale Diffusionsgleichung ist demnach in allen Punktion ( x, y, t )
parabolisch.
(b) Für die räumlich dreidimensionale Schwingungsgleichung
∂2 u
∂t2
=
c2
∂2 u
∂x2
+
∂2 u
∂y 2
+
∂2 u ∂z 2
für ( x, y, z ) ∈ D,
t > 0,
mit einer offenen Menge D ⊂ R 3 gilt ( mit der Notation x1 = x, x2 = y, x3 = z und x4 = t )
 2

c
2
c
.
A = 
c2
−1
In diesem Fall ist die Matrix A wiederum von Diagonalgestalt, so dass man die Eigenwerte wieder direkt auf
der Diagonalen ablesen kann. Die räumlich dreidimensionale Schwingungsgleichung ist demnach in allen
Punkten ( x, y, z, t ) hyperbolisch.
M
Kapitel 4 Die Poissongleichung
52
4
Die Poissongleichung
4.1 Einf ¨uhrung
Die Poisson Gleichung ist von der Form
d
X
∂2 u
∂x2k
∆u :=
für x = ( x1 , x2 , . . . , xd ) ∈ D,
= f (x)
k=1
(4.1)
mit einer offenen beschränkten Menge D ⊂ R d , wobei die Funktion f : D → R gegeben und die Funktion
u : D → R zu bestimmen ist. Im Fall f = 0 spricht man von der Laplace Gleichung. Die Lösungen der
Laplace Gleichung nennt man harmonische Funktionen. Die Poisson Gleichung wird zum Beispiel in
Verbindung mit Dirichletranddaten
u = g
auf ∂D
(4.2)
oder auch mit Neumannranddaten
∂u
= g
∂n
auf ∂D
(4.3)
betrachtet.
4.2 Klassifkation
Für die dreidimensionale Poisson Gleichung
∂2 u
∂x2
+
∂2 u
∂y 2
+
∂2 u
∂z 2
= f ( x, y, z )
für ( x, y, z ) ∈ D,
mit einer offenen beschränkten Menge D ⊂ R 3 gilt ( mit der Notation x1 = x, x2 = y und x3 = z )
!
1
1
.
A =
1
Die dreidimensionale Poisson Gleichung ist demnach in allen Punkten ( x, y, z ) elliptisch.
4.3 Der rotationssymmetrische Fall
4.3.1 Der Torus
Es werden für den Torus
D = { x ∈ Rd : rmin < |x|2 < rmax }
(0
< rmin < rmax fix )
rotationssymmetrische Lösungen u : D → R der Laplace Gleichung gesucht, dies sind Lösungen von der
Form
u( x ) = v(|x|2 )
für x ∈ D
(4.4)
Abschnitt 4.4 Der zweidimensionale Fall, Polarkoordinaten
53
mit einer Funktion v : [rmin , rmax ] → R, die auf dem offenen Intervall (r min , rmax ) zweimal stetig differenzierbar und an den Rändern r = rmin und r = rmax stetig ist. Der Ansatz (4.4) führt auf
∂2 u
(x)
∂x2k
∂u
x
( x ) = v 0 (|x|2 ) k ,
|x|2
∂xk
=
v 00 (|x|2 )
x2k
|x|22
+ v 0 (|x|2 )
1
|x|2
−
x2k
|x|32
und liefert
( ∆u )( x )
= v 00 (|x|2 )
X
d
k=1
= v 00 ( |x|2 ) +
x2k
|x|22
+ v 0 (|x|2 )
d X
1
|x|2
k=1
d
v 0 ( |x|2 )
|x|2
−
1
|x|2
=
−
x2k
|x|32
v 00 (|x|2 ) +
d−1 0
v ( |x|2 ).
|x|2
Die Lösungen der gewöhnlichen Differenzialgleichung zweiter Ordnung
v 00 ( r ) +
d−1 0
v (r )
r
= 0
für rmin < r < rmax
(4.5)
lassen sich unmittelbar angeben, dies sind
v( r ) =
c1 + c2 log r, falls d = 2,
(4.6)
c1 + c2 r 2−d sonst
mit reellen Konstanten c1 und c2 . Diese Funktionen v liefern genau die rotationssymmetrischen Lösungen
(4.4) der Laplace Gleichung. Die Konstanten c 1 und c2 werden an die vorgegebenen Randdaten auf den
Kreisen mit den Radien r = rmin und r = rmax angepasst.
Bemerkung 4.1 Der vorgestellte Ansatz zur Gewinnung rotationssymmetrischer harmonischer Funktionen
auf Kugeln
D = { x ∈ Rd : |x|2 ≤ rmax }
( rmax
> 0 fix )
liefert außer den konstanten Lösungen keine weiteren Lösungen. Dies ist darin begründet, dass die sich
ergebenden Funktionen (4.6) im Fall d ≥ 2 singulär sind beziehungsweise im Fall d = 1 eine im Ursprung
nichtdifferenzierbare Funktion u liefern.
M
4.4 Der zweidimensionale Fall, Polarkoordinaten
Bei der Betrachtung der zweidimensionalen Poisson Gleichung
∂2 u
∂x2
+
∂2 u
∂y 2
= f ( x, y )
für ( x, y ) ∈ D ⊂ R 2
(4.7)
auf rotationsinvarianten Gebieten D ⊂ R 2 ist die Verwendung von Polarkoordinaten
x = r cos ϕ,
y = r sin ϕ,
u( x, y ) = U ( r, ϕ ),
f ( x, y ) = F ( r, ϕ ),
(4.8)
sinnvoll. Mit diesen Notationen (4.8) geht (4.7) über in ( Übungsaufgabe)
∂2 U
∂r2
1 ∂U
+ r
∂r
+
1 ∂2 U
r2 ∂ϕ2
= F ( r, ϕ )
für r geeignet,
0 ≤ ϕ ≤ 2π.
(4.9)
Kapitel 4 Die Poissongleichung
54
4.4.1 Der Kreis
Wir betrachten im Folgenden das Dirichletsche Randwertproblem für die Laplace Gleichung auf einem
Kreis,
∂2 u
∂x2
+
∂2 u
∂y 2
= 0
für ( x, y ) ∈ R 2
u = g ( x, y )
x2 + y 2 < R 2 ,
mit
für ( x, y ) ∈ R 2
mit
x2 + y 2 = R 2 .
(4.10)
(4.11)
Im Fall des Kreises mit Radius R ≥ 0 und Mittelpunkt im Ursprung verwendet man die Polarkoordinatendarstellung (4.9) und erhält mit der Notation g ( x, y ) = G( r, ϕ )
∂2 U
∂r2
1 ∂U
+ r
∂r
+
1 ∂2 U
r2 ∂ϕ2
für 0 ≤ r ≤ R,
= 0
0 ≤ ϕ ≤ 2π,
für 0 ≤ ϕ ≤ 2π.
U ( R, ϕ ) = G( ϕ )
(4.12)
(4.13)
Eine Familie von Lösungen dieses Problems wird mit dem Separationsansatz
U ( r, ϕ ) = S ( r )Φ( ϕ )
für 0 ≤ r ≤ R,
0 ≤ ϕ ≤ 2π
gewonnen. Aus (4.12) erhält man so
r2
S 00 ( r )
S 0(r )
Φ 00 ( ϕ )
+ r
= − ( ) = λ
Φ ϕ
S(r )
S(r )
mit einem von r und ϕ unabhängigen Separationsparameter λ. Die separierten Gleichungen lauten dann
Φ 00 + λΦ = 0
r 2 S 00 + rS 0 − λS = 0
für 0 ≤ ϕ ≤ 2π,
(4.14)
für 0 ≤ r ≤ R
(4.15)
mit einem noch zu spezifizierenden Separationsparameter λ. Eine notwendige Bedingung für Glattheit ist
stetige Differenzierbarkeit der Funktion Φ sowie
Φ 0 ( 0 ) = Φ 0 ( 2π ).
Φ( 0 ) = Φ( 2π ),
(4.16)
Bei (4.14), (4.16) handelt es sich um ein Eigenwertproblem für eine gewöhnliche Differenzialgleichung
zweiter Ordnung mit periodischen Randbedingungen. Die Eigenwerte und zugehörigen Eigenfunktionen
lauten
λn = n 2 ,
Φn ( ϕ ) = an cos ( nϕ ) + bn sin ( nϕ )
für n = 0, 1, . . . .
(4.17)
Lösungen der gewöhnlichen Differenzialgleichung (4.15) erhält man mit dem Ansatz
S ( r ) = rβ
(β
≥ 0 ).
Die Restriktion β ≥ 0 ist sinnvoll, da ansonsten eine Singularität bei r = 0 vorliegt. Zusammen mit der
Setzung λ = n2 führt dies auf
β ( β − 1 )r β + βr β − n2 r β
=
und ergibt
β = n.
(β2
− n 2 )r β = 0
Abschnitt 4.4 Der zweidimensionale Fall, Polarkoordinaten
55
Superposition ergibt letztlich
∞
X
U ( r, ϕ ) = a0 +
r n an cos nϕ + bn sin nϕ
n=1
(4.18)
mit noch an die Randbedingungen anzupassenden Koeffizienten a n und bn . Hierzu gehen wir von einer
Fourier Entwicklung
∞
X
G( ϕ ) = d 0 +
dn cos nϕ + en sin nϕ
für 0 ≤ ϕ ≤ 2π
n=1
aus. Ein Koeffizientenvergleich liefert unmittelbar
an = R−n dn
bn = R−n en
für n = 0, 1, . . .,
für n = 1, 2, . . .,
und aus (4.18) erhält man dann
∞
X
U ( r, ϕ ) = d0 +
r n
R
n=1
dn cos nϕ + en sin nϕ .
(4.19)
Die Fourierkoeffizienten der Funktion G haben die Form
1
Z
d0 := 2π
2π
1
G( θ ) dθ,
Z
dn := π
0
2π
G( θ ) cos nθ dθ,
0
1
en := π
Z
2π
G( θ ) sin nθ dθ (4.20)
0
für n = 1, 2, . . . .
Dies in (4.19) eingesetzt liefert
U ( r, ϕ )
=
1
2π
Z
2π
0
=
=
∞
1 X
G( θ ) dθ + π
∞
1 X
+ π
......
1
2π
Z
2π
0
n=1
n=1
r n
R
r n
R
Z
2π
G( θ ) cos nθ cos nϕ dθ +
0
Z
2π
0
Z
2π
G( θ ) sin nθ sin nϕ dθ
0
G( θ ) cos n( θ − ϕ ) dθ
∞
X
r n
( θ − ϕ ) dθ.
G( θ ) 1 + 2
cos
n
R
n=1
Mit der Setzung
P (ρ, ξ )
=
1
2π
1 + 2
∞
X
ρn cos nξ
n=1
(4.21)
führt dies auf die Darstellung
U ( r, ϕ )
=
Z
0
2π
P ( Rr , ϕ − θ )G( θ ) dθ
für 0 ≤ r < R,
0 ≤ ϕ ≤ 2π.
(4.22)
Lemma 4.2 Es gilt
P ( ρ, ξ )
=
1
1 − ρ2
2π 1 + ρ2 − 2ρ cos ξ
für 0 ≤ ρ < 1,
0 ≤ ξ ≤ 2π.
(4.23)
B EWEIS . Aus der Polarkoordinatendarstellung der komplexen Zahl
z = ρeiξ
=
ρ( cos ξ + i sin ξ )
(4.24)
Kapitel 4 Die Poissongleichung
56
erhält man unmittelbar
z n = ρn einξ
=
ρn ( cos nξ + i sin nξ )
ρn cos nξ
Re 1 + 2
und damit
1 + 2
∞
X
=
n=1
∞
X
zn
n=0
Nun gilt
1
1−z
∞
X
zn
1 + 2
∞
X
=
für |z | < 1.
für |z | < 1
n=0
und somit
1+z
1−z
=
zn
für |z | < 1.
n=1
Dies führt schließlich auf
P ( ρ, ξ )
1
Re
2π
=
1+z
1−z
(∗)
=
1 − ρ2
1
2π 1 + ρ2 − 2ρ cos ξ
Hierbei folgt die Identität (∗) aus der allgemeinen Rechnung
1 + 2iIm z − |z |2
1+z
= Re
=
Re 1 − z
(
)(
)
1−z 1−z
für 0 ≤ r < 1.
1 − |z |2
2
( 1 − Re z ) + ( Im z )
und der Polarkoordinatendarstellung (4.24).
=
2
1 − |z |2
1 − 2Re z + |z |2
Aus der Darstellung (4.25) und Lemma 4.2 erhält man unmittelbar das folgende Resultat.
Korollar 4.3 Es gilt
U ( r, ϕ )
=
1
2π
Z
2π
R − r2
G( θ ) dθ
R + r − 2rR cos ( ϕ − θ )
2
0
für 0 ≤ r < R,
2
0 ≤ ϕ ≤ 2π. (4.25)
4.4.2 Der Kreisring
Wir betrachten im Folgenden ein Dirichletsches Randwertproblem für die Laplace Gleichung auf einem
Kreisring,
∂2 u
∂x2
+
∂2 u
∂y 2
= 0
für ( x, y ) ∈ R 2
u = g ( x, y )
u = 0
mit
für ( x, y ) ∈ R 2
für ( x, y ) ∈ R 2
mit
% < x2 + y 2 < R 2 ,
(4.26)
x 2 + y 2 = %2 ,
(4.27)
mit
x2 + y 2 = R 2 .
(4.28)
Mit der Polarkoordinatendarstellung (4.9) und mit der Notation g ( x, y ) = G( r, ϕ ) erhält man
∂2 U
∂r2
1 ∂U
+ r
∂r
+
1 ∂2 U
r2 ∂ϕ2
= 0
für % ≤ r ≤ R,
0 ≤ ϕ ≤ 2π
(4.29)
für 0 ≤ ϕ ≤ 2π.
(4.30)
Die gleiche Vorgehensweise wie in der Situation des Kreises liefert nach Superposition Lösungen
o
∞ n
X
U ( r, ϕ ) = a0 +
r n an + r −n cn cos nϕ + r n bn + r −n dn sin nϕ
(4.31)
U ( %, ϕ ) = G( ϕ ),
U ( R, ϕ ) = 0
n=1
mit noch an die Randbedingungen anzupassenden Koeffizienten a n , bn , cn und dn . Die äußeren Randbedingungen in (4.32) ergeben
Abschnitt 4.5 Die Poisson– Gleichung in der Ebene
cn = −R2n an
a0 = 0,
57
dn = −R2n bn
für n = 0, 1, . . .,
für n = 1, 2, . . .,
und man erhält
∞ n
X
U ( r, ϕ ) =
n=1
R2n
rn
rn −
an cos nϕ +
rn −
R2n
rn
o
bn sin nϕ
Zur Bestimmung der Koeffizienten an und bn gehen wir von einer Fourier Entwicklung
∞
X
G( ϕ ) =
en cos nϕ + fn sin nϕ
für 0 ≤ ϕ ≤ 2π
n=1
aus. Ein Koeffizientenvergleich liefert unmittelbar
2n −1
en ,
bn =
an = %n − R%n
%n −
R2n
%n
und man erhält dann
U ( r, ϕ ) =
∞ n
X
r −
n
% −
n=1
R2n
rn
R2n
%n
−1
fn
für n = 1, 2, . . .,
en cos nϕ + fn sin nϕ .
(4.32)
Die Fourierkoeffizienten der Funktion G haben die Form
1
en := π
Z
2π
G( θ ) cos nθ dθ,
0
1
fn := π
Z
2π
G( θ ) sin nθ dθ
0
für n = 1, 2, . . .,
1
und e0 := 2π
R 2π
0
G( θ ) dθ = 0 wird zusätzlich vorausgesetzt. Dies in (4.32) eingesetzt liefert
U ( r, ϕ )
=
∞
1 X
π
n=1
=
∞
1 X
π
n=1
=
1
π
Z
rn −
%n −
rn −
2π
%n −
G( θ )
0
R2n
rn
R2n
%n
2n
R
rn
R2n
%n
Z
2π
Z
2π
0
Z
2π
G( θ ) sin nθ sin nϕ dθ
0
0
G( θ ) cos n( θ − ϕ ) dθ
X
∞ n
r −
n=1
G( θ ) cos nθ cos nϕ dθ +
%n −
R2n
rn
R2n
%n
cos n( θ − ϕ ) dθ.
4.5 Die Poisson– Gleichung in der Ebene
4.5.1 Gaußscher Integralsatz und Greensche Formeln in der Ebene
Im Folgenden bezeichne
F = F ( x, y )
=


F1 ( x, y )
F2 ( x, y )

für ( x, y ) ∈ D

ein differenzierbares Vektorfeld und D ⊂ R 2 eine offene beschränkte Menge mit einem stückweise glatten
Rand. Der Gaußsche Integralsatz besagt
ZZ
div F dx dy
D
=
Z
∂D
F · n ds,
wobei n = n( x, y ) den äußeren Normalenvektor bezeichnet, und
div F
ist die Divergenz des Vektorfeldes F .
=
∂ F2
∂ F1
+
∂x
∂y
Kapitel 4 Die Poissongleichung
58
Im Fall
F = v∇u
gilt
div F
v∆u + ∇v · ∇u
=
=
v
Mit der Darstellung
∂u
∂n
∂2 u
∂x2
∂2 u
∂y 2
+
+
∂v ∂u
∂v ∂u
+
.
∂x ∂x
∂y ∂y
∇u · n
=
erhält man die Identität
ZZ
D
v∆u + ∇v · ∇u dx dy
Z
=
v
∂D
∂u
ds.
∂n
Diese Gleichung bezeichnet man als erste Greensche Formel.
Proposition 4.4 Sie u : D → R eine stetige Funktion die auf D zweimal stetig differenzierbar ist. Dann
gilt
ZZ
∆u dx dy
Z
=
D
∂D
∂u
ds.
∂n
Insbesondere gilt für eine harmonische Funktion u : D → R
Z
∂D
∂u
ds
∂n
=
0.
B EWEIS . Folgt direkt aus der ersten Greenschen Formel angewandt mit v ≡ 1.
Die erste Greensche Identität umgeschrieben liefert
ZZ
v∆u dx dy
=
D
−
ZZ
D
(∇v · ∇u) dx dy +
Z
v
∂u
ds.
∂n
Z
u
∂v
ds.
∂n
∂D
Eine Vertauschung der Funktionen u und v ergibt unmittelbar
ZZ
u∆v dx dy
D
=
−
ZZ
D
(∇v · ∇u) dx dy +
∂D
Eine Subtraktion dieser beiden Identitäten ergibt dann
ZZ
D
(u∆v − v∆u) dx dy
=
Z
∂D
u
∂v
∂u
−v
∂n
∂n
Diese Gleichung bezeichnet man als zweite Greensche Formel.
ds.
4.5.2 Dirichlet-Randdaten
Betrachte die Poisson Gleichung
−∆u = f
auf D,
u = 0
auf ∂D.
(4.33)
Mit der Notation
L = −∆,
C02 ( D ) = {v : D → R : v ∈ C 2 ( D ),
v ∈ C ( D ),
lässt sich die Poisson Gleichung als Operatorgleichung
gesucht u ∈ C02 ( D ) mit Lu = f
v = 0
auf ∂D }
Abschnitt 4.5 Die Poisson– Gleichung in der Ebene
59
schreiben. Es wird noch das Skalarprodukt
ZZ
h u, v i =
uv dx dy
D
eingeführt.
Theorem 4.5 (a) Der Operator L : C02 ( D ) → C ( D ) ist symmetrisch:
h Lu, v i
=
für u, v ∈ C02 ( D ).
h u, Lv i
(b) Der Operator L ist positiv definit:
für u ∈ C02 ( D ),
h Lu, uii ≥ 0
wobei Gleichheit nur für u ≡ 0 eintritt.
B EWEIS . Die zweite Greensche Formel liefert hier
ZZ
D
(u∆v − v∆u) dx dy
=
0,
was gleichbedeutend mit der Symmetrie ist. Die erste Greensche Formel liefert
ZZ
ZZ
ZZ 2
∂u
∂u 2
+
dx dy
−
u∆u dx dy =
∇u · ∇u dx dy =
D
D
beziehungsweise
h Lu, uii
=
ZZ
D
∂u
∂x
2
∂x
D
+
∂u
∂y
2
dx dy
≥
0
∂y
für u ∈ C02 ( D ).
Im Fall h Lu, uii = 0 müssen also die partiellen Ableitungen ∂∂xu und ∂∂yu verschwinden und daher die
Funktion u auf der Menge D konstant sein. Wegen der Nullrandbedingungen für u folgt daraus u ≡ 0 auf
D.
Eine unmittelbare Konsequenz ist Eindeutigkeit der Lösung des folgenden Dirichel-Problems für die Poisson Gleichung
−( ∆u )( x, y ) = f ( x, y )
u( x, y ) = ϕ( x, y )
für ( x, y ) ∈ D,
(4.34)
für ( x, y ) ∈ ∂D
mit vorgegebenen stetigen Funktionen f : D → R und ϕ : ∂D → R.
Theorem 4.6 (Eindeutigkeitssatz) Es gibt h öchstens eine stetige Funktion u : D → R, die auf D zweimal
stetig differenzierbar ist und eine L ösung des Dirichlet-Problems (4.34) f ür die Poisson Gleichung darstellt.
B EWEIS . Seien u1 : D → R und u2 : D → R zwei Lösungen mit den im Theorem genannten Stetigkeitsund Differenzierbarkeitseigenschaften. Dann ist die Differenz u = u 1 − u2 eine harmonische Funktion, die
auf dem Rand ∂G verschwindet. Also ist u ∈ C 02 ( D ) und es gilt Lu = 0 und damit auch h Lu, uii = 0.
Nach Theorem 4.5 gilt dann u ≡ 0 beziehungsweise u 1 ≡ u2 .
Kapitel 4 Die Poissongleichung
60
4.5.3 Neumann-Randdaten
Betrachte nun die Poisson Gleichung mit Neumann-Randdaten:
−∆u = f
∂u
= 0
∂n
auf D,
auf ∂D.
(4.35)
Mit der Notation
L = −∆,
n
2
(D ) =
Cn,0
v : D → R : v ∈ C 2 ( D ),
∂v
= 0
∂n
v ∈ C 1 ( D ),
auf ∂D
lässt sich das vorliegende Problem als Operatorgleichung
o
2 ( )
gesucht u ∈ Cn,0
D mit Lu = f
schreiben.
2 ( )
Theorem 4.7 (a) Der Operator L : Cn,0
D → C ( D ) ist symmetrisch:
h Lu, v i
=
2
( D ).
für u, v ∈ Cn,0
h u, Lv i
(b) Der Operator L ist positiv semidefinit:
2
( D ),
für u ∈ Cn,0
h Lu, uii ≥ 0
wobei Gleichheit nur für konstante Funktionen u eintritt.
B EWEIS . Die Vorgehensweise ist die Gleiche wie beim Beweis von Theorem 4.5. Die zweite Greensche
Formel liefert hier
ZZ
D
(u∆v − v∆u) dx dy
=
0,
was gleichbedeutend mit der Symmetrie ist. Die erste Greensche Formel liefert
ZZ
ZZ
ZZ 2
∂u 2
∂u
−
u∆u dx dy =
∇u · ∇u dx dy =
+
dx dy
D
D
beziehungsweise
h Lu, uii
=
ZZ
D
∂u
∂x
2
∂x
D
+
∂u
∂y
2
dx dy
Im Fall h Lu, uii = 0 müssen also die partiellen Ableitungen
Funktion u auf der Menge D konstant sein.
≥
∂u
∂x
0
und
∂y
2
( D ).
für u ∈ Cn,0
∂u
∂y
verschwinden und daher die
Wir betrachten nun das Neumannproblem für die Poisson Gleichung
−( ∆u )( x, y ) = f ( x, y )
∂u
( x, y ) = ϕ( x, y )
∂n
Z
für ( x, y ) ∈ D,
für ( x, y ) ∈ ∂D,
u ds = 0
∂D
mit vorgegebenen stetigen Funktionen f : D → R und ϕ : ∂D → R.
Theorem 4.8 (Eindeutigkeitssatz)
(4.36)
Abschnitt 4.6 Mittelwerteigenschaft harmonischer Funktionen
61
(a) Es gibt höchstens eine stetige Funktion u : D → R, die auf D zweimal stetig differenzierbar ist und
eine Lösung des Neumann-Problems (4.34) f ür die Poisson Gleichung darstellt.
(b) Ein notwendiges Kriterium für Lösbarkeit von (4.34) ist
−
ZZ
f dx dy
=
Z
ϕ ds.
∂D
D
B EWEIS . Seien u1 : D → R und u2 : D → R zwei Lösungen mit den im Theorem genannten Stetigkeitsund Differenzierbarkeitseigenschaften. Dann ist die Differenz u = u 1 − u2 eine harmonische Funktion,
2 ( )
deren Normalableitungen auf dem Rand ∂G verschwinden. Also ist u ∈ C n,0
D und es gilt Lu = 0 und
damit auch h Lu, uii = 0. Nach Theorem 4.5 ist dann u ≡ c und damit
Z
Z
u ds = 0.
u ds = c
∂D
∂D
Daraus folgt c = 0. Die zweite Aussage des Theorems folgt unmittelbar aus Proposition 4.4.
4.6 Mittelwerteigenschaft harmonischer Funktionen
Die Mittelwerteigenschaft harmonischer Funktionen soll zunächst am eindimensionalen Fall erläutert werden. Hierzu sei u : [a, b] → R eine Funktion mit
für x ∈ [a, b]
u( x ) = c 1 + c 2 x
mit Koeffizienten c1 , c2 ∈ R. Man beachte, dass dies genau die Klasse der dem auf dem Intervall [a, b]
harmonischen Funktionen auf liefert. Für x ∈ [a, b] und eine Zahl r > 0 mit x ± r ∈ [a, b] gilt dann
1
(u( x − r ) + u( x + r ) ) = c1 + c2 21 ( x − r ) + 21 ( x + r )
= u ( x ).
2
Der Wert u( x ) stimmt also mit dem Mittelwert der beiden Werte u ( x − r ) und u( x + r ) überein. Diese
Eigenschaft gilt auch in mehreren Dimensionen.
Hierzu sei D ⊂ R2 eine offene beschränkte Menge. Für x = ( x1 , x2 ) ∈ R 2 definieren wir
B ( x; r )
{y ∈ R 2 : |x − y |2 < r },
=
die offene Kugel um den Punkt x mit Radius r.
Theorem 4.9 Sei u : D → R eine stetige, auf D zweimal stetig differenzierbare Funktion. Sei x ∈ D und
r > 0 mit der Eigenschaft B ( x; r ) ⊂ D.
(a) Falls ∆u ≥ 0 auf D erfüllt ist, so gilt
u( x )
≤
1
2πr
Z
≥
1
2πr
Z
(b) Im Fall ∆u ≤ 0 auf D gilt
u( x )
u( y ) ds.
| x−y |2 =r
u( y ) ds.
| x−y |2 =r
B EWEIS . Es genügt, den Fall (a) zu betrachten. Der Teil (b) folgt dann mit Teil (a) angewandt auf die
Funktion −u. Wir betrachten Polarkoordinaten und setzen
U ( %, ϕ ) = u( y )
mit
y = (x + % cos ϕ, x + % sin ϕ).
Kapitel 4 Die Poissongleichung
62
Damit ist
1
2π
≤
u( x )
Z
2π
U ( r, ϕ ) dϕ
(4.37)
0
zu zeigen. Hierzu betrachtet man die Funktion
M (%)
1
2π
=
Z
Sicher gilt aus Stetigkeitsgründen
π
für 0 < % ≤ r.
U ( %, ϕ ) dϕ
−π
max |u( x ) − U ( %, ϕ ) | → 0
für % → 0
0≤ϕ≤2π
und damit
M ( % ) → u( x )
für % → 0.
(4.38)
Außerdem folgt aus Proposition 4.4 unmittelbar
M 0( ρ ) =
=
1
2π
Z
1
2π%
2π
0
∂U
( %, ϕ ) dϕ
∂%
Z
B( x;% )
1
2π%
(∗)
=
Z
| x−y |2 =%
∂u
( y ) ds
∂n
∆u( y ) dy ≥ 0,
(4.39)
die Funktion M ist also monoton wachsend. Hierbei ergibt sich die Identität (∗) aus der folgenden Rechnung:
∂U
( %, ϕ )
∂%
=
∂u
∂u
( y ) cos ϕ +
( y ) sin ϕ
∂x1
∂x2
=
∇u( y ) · n( y )
=
∂u
( y ).
∂n
Die Aussage (4.37) und damit auch die Aussage des Theorems folgt nun unmittelbar aus den beiden Aussagen (4.38) und (4.39).
4.7 Maximumprinzip und Folgerungen
Im Folgenden sei D ⊂ R d ein beschränkte offene Menge. Die Mittelwerteigenschaft, die sich auch für
höherdimensionale Räume formulieren lässt, kann zur Herleitung von Maximumprinzipien verwendet werden ( Übungsaufgabe). Diese Prinzipien sollen nun vorgestellt werden, die Herleitung geschieht allerdings
auf andere Weise.
Theorem 4.10 (Minimum-Maximum-Prinzip) Sei u : D → R eine stetige Funktion, die auf D zweimal
stetig differenzierbar ist.
Falls
......
∆u ≥ 0
auf D erfüllt ist, so nimmt die Funktion u ihr
Maximum
auf dem Rand ∂D an.
∆u ≤ 0
.......
Minimum
......
B EWEIS . Für den Nachweis der ersten Teilaussage betrachtet man für beliebiges ε > 0 hilfsweise die
Funktion
v ( ε) ( x ) := u( x ) + ε|x|2
für x ∈ D,
für die insbesondere
∆v (ε) ( x ) = ∆u( x ) + 2εd
≥
2εd
für x ∈ D
(4.40)
gilt. Damit muss die Funktion v ( ε) ihr Maximum auf dem Rand von D annehmen. Würde nämlich die
Funktion v ( ε) in einem inneren Punkt x von D ihr Maximum annehmen, so wäre notwendigerweise die
Abschnitt 4.7 Maximumprinzip und Folgerungen
63
Hessematrix von v in diesem Punkt x negativ definit und damit insbesondere
∆v ( ε) ( x ) ≤ 0
im Widerspruch zur Eigenschaft (4.40). Es wird nun über den Grenzübergang ε → 0 nachgewiesen, dass
auch die Funktion u ihr Maximum auf dem Rand ∂D annimmt. Hierzu berechnet man
n
o
max u( x ) ≤ max v ( ε) ( x ) = max v ( ε) ( x ) ≤
ε max |x|22
+ max u( x ).
x∈D
x∈∂D
x∈D
x∈∂D
x∈D
Der Grenzübergang ε → 0 zeigt nun, dass auch die Funktion u ihr Maximum auf dem Rand ∂D annimmt.
Die Aussage über das Minimum erhält man durch Anwendung des Maximumprinzips auf die Funktion −u,
denn diese erfüllt dann ∆(−u) = −∆u ≥ 0 auf D und es gilt daher
min u( x ) = − max (−u)( x ) = − max (−u)( x ) = min u( x ).
x∈∂D
x∈D
x∈D
x∈∂D
Korollar 4.11 Sei u : D → R eine stetige Funktion, die auf D zweimal stetig differenzierbar ist.
(a) Falls ∆u ≤ 0 auf D und u ≥ 0 auf ∂D erf üllt ist, so gilt u ≥ 0 auf D.
(b) Falls ∆u ≥ 0 auf D und u ≤ 0 auf ∂D erf üllt ist, so gilt u ≤ 0 auf D.
Es werden nun einige einfache aber wichtige Folgerungen aus dem Minimum-Maximum-Prinzip angegeben.
Wir betrachten zunächst das Dirichletproblem für die Poisson Gleichung
( ∆u )( x )
= f (x)
u( x ) = ϕ ( x )
für x ∈ D,
(4.41)
für x ∈ ∂D
mit vorgegebenen stetigen Funktionen f : D → R und ϕ : ∂D → R.
Theorem 4.12 (Eindeutigkeitssatz) Es gibt h öchstens eine stetige Funktion u : D → R, die auf D zweimal
stetig differenzierbar ist und eine L ösung des Dirichlet-Problems (4.41) f ür die Poisson Gleichung darstellt.
B EWEIS . Seien u1 : D → R und u2 : D → R zwei Lösungen mit den im Theorem genannten Stetigkeitsund Differenzierbarkeitseigenschaften. Dann ist die Differenz u = u 1 − u2 eine harmonische Funktion, die
auf dem Rand ∂D verschwindet. Nach Theorem 4.10 nimmt die Funktion u sowohl ihr Maximum als auch
ihr Minimum auf dem Rand ∂D an, so dass notwendigerweise u = 0 auf D gilt.
Theorem 4.13 (Stetige Abhängigkeit von den Randdaten) Seien u, u δ : D → R stetige Funktionen, die
auf D zweimal stetig differenzierbar sind. Die Funktion u sei eine L ösung des Dirichlet-Problems (4.41),
und die Funktion uδ sei eine Lösung des Dirichlet-Problems
( ∆uδ )( x )
= f (x)
für x ∈ D,
u δ ( x ) = ϕδ ( x )
für x ∈ ∂D.
Dann gilt
|uδ ( x ) − u( x ) |
≤
max |ϕδ ( ξ ) − ϕ( ξ ) |
ξ∈∂D
für x ∈ D.
Kapitel 4 Die Poissongleichung
64
B EWEIS . Die Differenz u = u1 − u2 ist eine harmonische Funktion auf D, und auf dem Rand ∂D gilt
min {ϕδ ( ξ ) − ϕ( ξ ) }
ξ∈∂D
≤
u δ ( x ) − u( x )
max{ϕδ ( ξ ) − ϕ( ξ ) }
≤
für x ∈ ∂D.
ξ∈∂D
Die allgemeinen Aussagen −|z | ≤ z ≤ |z | für z ∈ R, sowie inf ξ −g ( ξ ) = − maxξ g ( ξ ) und die Implikation “−|z | ≤ y ≤ |z | =⇒ |y | ≤ |z |“ für reelle Zahlen liefern nun die Aussage des Theorems.
Wir betrachten noch die Poisson Gleichung für ein Ganzraumproblem,
( ∆u )( x )
= f (x)
u( x ) → 0
für x ∈ Rd ,
(4.42)
für |x|2 → ∞,
mit einer vorgegebenen stetigen Funktionen f : R d → R.
Theorem 4.14 (Eindeutigkeitssatz) Es gibt h öchstens eine zweimal stetig differenzierbare L ösung u :
Rd → R des Problems (4.42).
B EWEIS . Seien u1 : D → R und u2 : D → R zwei Lösungen mit den im Theorem genannten Stetigkeitsund Differenzierbarkeitseigenschaften. Dann ist die Differenz u = u 1 − u2 eine harmonische Funktion mit
der Eigenschaft u( x ) → 0 für |x|2 → ∞. Für ein beliebiges ε > 0 gibt es dann ein R ≥ 0 mit
|u( x ) | ≤ ε
für |x|2 ≥ R.
|u( x ) | ≤ ε
für |x|2 ≤ R
Das Maximumprinzip liefert auch
und damit
|u( x ) | ≤ ε
für x ∈ Rd .
Der Grenzübergang ε → 0 liefert u ≡ 0 beziehungsweise u 1 ≡ u2 .
4.8 Greensche Funktionen
4.8.1 Darstellungss¨
atze
Dreidimensionaler Fall
Sei D ⊂ R3 ein beschränkte offene Menge mit einem stückweise glatten Rand. Sei u : D → R
eine Funktion, die auf D zweimal stetig differenzierbar ist.
Theorem 4.15 (Darstellungstheorem, d = 3) Mit den Annahmen aus (4.43) gilt f ür jedes x ∈ D
Z n
Z
o
∂
∂
1
∆u( y )
1
1
1
u( x ) = 4π
u( x ) − u ( y )
dσ − 4π
dy.
∂D
|x − y |2 ∂n
∂n |x − y |2
B EWEIS . Zuerst wählt man ε > 0 hinreichend klein, so dass
D
|x − y |2
(4.43)
Abschnitt 4.8 Greensche Funktionen
65
B( x; ε ) ⊂ D
gilt und betrachtet dann die Menge
Dε
D \B ( x; ε ).
=
Die Funktion
v( y )
1
|x − y |2
=
ist harmonisch auf Dε . Die zweite Greensche Formel, die auch in R 3 gilt, liefert dann
−
Z
Dε
∆u( y )
|x − y |2
Z
dy =
∂D
Z
+
n
o
∂
∂
1
1
u( y ) dσ
−
u( y )
|x − y |2 ∂n
∂n |x − y |2
n
o
......
dσ.
(4.44)
∂B( x;ε )
Diese Darstellung gilt für alle hinreichend kleinen Werte von ε, und die Aussage des Theorems wird nun
über den Grenzübergang ε nachgewiesen. Es gilt
Z
Dε
∆u( y )
|x − y |2
→
dy
Z
D
∆u( y )
|x − y |2
für ε → 0,
dy
(4.45)
wobei berücksichtigt ist, dass das Integral auf der rechten Seite der Identität (4.45) existiert. Das erste
Integral auf der rechten Seite von (4.44) hängt nicht von ε ab. Es verbleibt nachzuweisen, dass
Z
n
o
∂
∂
1
1
u( y )
−
u( y ) dσ → 4πu( x )
für ε → 0
∂n |x − y |2
∂B( x;ε )
|x − y |2 ∂n
gilt. Es gilt
1
|x − y |2
und daher
Z
∂B( x;ε )
=
n
u( y )
∂
∂
1
1
u( y )
−
|x − y |2 ∂n
∂n |x − y |2
Z
∂B( x;ε )
|
1
u( x ) dσ
ε2
{z
= 4πu( x )
Schließlich erhält man
Z
n
∂B( x;ε )
≤
≤
∂
1
∂n |x − y |2
1
= ε
}
+
Z
∂B( x;ε )
n
o
dσ
o
dσ
max
y∈∂B( x;ε )
=
für y ∈ ∂B ( x; ε ),
Z
∂B( x;ε )
1
(u( y ) − u( x ) )
ε2
1 ∂
1
(u( y ) − u( x ) ) − ε u( y )
ε2
∂n
Z
1
|u( y ) − u( x ) | dσ +
ε2 ∂B( x;ε )
4π
1
ε2
=
1
ε
Z
∂B( x;ε )
1
u( y )
ε2
o
1 ∂
− ε u( y ) dσ
∂n
o
1 ∂
− ε u( y ) dσ.
∂n
∂
u( y ) dσ
∂n
|u( y ) − u( x ) | + 4πε max |∇u( x ) |2
y∈D
n
→
0
für ε → 0
auf Grund der Stetigkeit der Abbildung u und der Beschränktheit von ∇u auf der Menge D.
Sei D ⊂ R2 ein beschränkte offene Menge mit einem stückweise glatten Rand. Sei u : D → R
eine Funktion, die auf D zweimal stetig differenzierbar ist.
(4.46)
Kapitel 4 Die Poissongleichung
66
Zweidimensionaler Fall
Theorem 4.16 (Darstellungstheorem, d = 2) Mit den Annahmen aus (4.46) gilt f ür jedes x ∈ D
Z n
Z
o
∂
∂
1
1
1
1
1
(
)
(
)
(
)
uy −uy
log
log
dσ − 2π
∆u( y ) log
ux
= 2π
|x − y |2 ∂n
∂D
|x − y |2
∂n
|x − y |2
D
dy.
B EWEIS . Wie für Theorem 4.15.
Bemerkung 4.17 Solche Darstellungen existieren auch in R d für d ≥ 4, mit den Funktionen
v( y )
=
log
1
.
|x − y |2
4.8.2 L¨
osung des Dirichletproblems f ¨ur die Laplacegleichung mittels Greenscher Funktionen
Dreidimensionaler Fall
In der Situation (4.43) folgt für harmonische Funktionen u aus Theorem 4.15
Z n
o
∂
∂
1
1
1
dσ
u( x ) = 4π
u( y ) − u ( y )
|x − y |2 ∂n
∂D
∂n |x − y |2
für x ∈ D.
(4.47)
Wir suchen nun für x ∈ D nach einer von x abhängigen Funktion h : D → R, die auf D zweimal stetig
differenzierbar und auf D harmonisch ist. Die zweite Greensche Formel liefert dann
Z n
o
∂
∂
(4.48)
0 =
h( y ) u( y ) − u( y ) h( y ) dσ.
∂n
∂D
∂n
Addition der Identitäten (4.47) und (4.49) und liefert
Z
Z n
o
∂
1
1
( y ) dσ −
(y )
u( x ) =
u
+
h
4π
|x − y |2
∂D
∂n
∂D
n
u( y )
h
∂
1
1
+ h( y )
∂n 4π |x − y |2
io
dσ (4.49)
für x ∈ D.
1
1/|x − y |2 auf ∂D, so erhält man aus (4.49) die Darstellung
Fordert man nun h( y ) = − 4π
Z
n
o
∂
1
1
( y ) dσ
u( x ) = −
u( y )
+
h
für x ∈ D.
4π
∂D
∂n
|x − y |2
(4.50)
Wir fassen zusammen:
Für jedes x ∈ D sei h( x, · ) : D → R eine auf D zweimal stetig differenzierbare Funktion mit
∆y h( x, y ) = 0
1
(4.51)
für y ∈ D,
1
h( x, y ) = − 4π
|x − y |2
für y ∈ ∂D.
Definition 4.18 Gelte (4.43) und (4.51). Die Funktion
G( x, y )
=
1
1
4π |x − y |2
+ h( x, y )
für x, y ∈ D, x 6= y
heißt Greensche Funktion für das Dirichletproblem zum Gebiet D ⊂ R 3 .
Abschnitt 4.8 Greensche Funktionen
67
Mit der Greenschen Funktion wird aus (4.50)
Z n
o
∂
u( x ) = −
u( y ) G( x, y ) dσ
∂n
∂D
für x ∈ D.
(4.52)
Die Lösung des Dirichletproblems
für x ∈ D,
∆u( x ) = 0
(4.53)
für x ∈ ∂D
u( x ) = ϕ ( x )
ist damit im Fall u ∈ C 2 ( D ) durch
u( x )
−
=
Z
∂D
gegeben.
n
ϕ( y )
∂
G( x, y )
∂n
o
dσ
für x ∈ D
(4.54)
Zweidimensionaler Fall
Für jedes x ∈ D sei h( x, · ) : D → R eine auf D zweimal stetig differenzierbare Funktion mit
∆y h( x, y ) = 0
1
für y ∈ D,
1
h( x, y ) = − 2π log
|x − y |2
(4.55)
für y ∈ ∂D
für x ∈ D.
Definition 4.19 Gelte (4.46) und (4.55). Die Funktion
1
1
G( x, y ) = 2π log
+ h( x, y )
für x, y ∈ D, x 6= y
|x − y |2
mit der Funktion h aus (4.55) heißt Greensche Funktion f ür das Dirichletproblem zum Gebiet D ⊂ R 2 .
Mit der Greenschen Funktion erhält man im Fall u ∈ C 2 ( D ) die Darstellung
Z n
o
∂
u( x ) = −
ϕ( y ) G( x, y ) dσ
für x ∈ D
∂D
∂n
als Lösung des Dirichletproblems (4.53) mit D ⊂ R 2 .
(4.56)
Kapitel 4 Die Poissongleichung
68
4.8.3 Greensche Funktion f ¨ur die dreidimensionale Kugel
In einfachen Fällen lassen sich Greensche Funktionen angeben. betrachtet werden.
Proposition 4.20 Im Fall D = B ( 0; R ) ⊂ R3 gilt
1
1
h( x, y ) = − 4π
|y |2
R
y − R x
|y |2
für x, y ∈ B ( 0; R )
mit x 6= y.
2
B EWEIS . Übungsaufgabe.
Damit erhält man
1
4π
G( x, y ) =
1
−
|y − x|2
1
R
y
|y |2
mit
s1 = |y − x|2
R
y
|y |2
s2 =
|y |2
−
2
=
2
R +
| y |2
2
|x|22
R2
1 1
4π s1
=:
|y |22 + |x|22 − 2|y |2 |x|2 cos θ
=
− R x
|y |2
x
R
1/2
− 2|y |2 |x|2 cos θ
1
− s
2
1/2
.
Hierbei bezeichnet 0 ≤ θ ≤ π den Winkel zwischen den Vektoren x und y. Für |y | 2 = R berechnet man
dann
∂
G( x, y )
∂n
=
R2 − |x|22
1
2
4πR ( R + |x|2 − 2R|x|2 cos θ )3/2
und erhält für das Dirichletproblem (4.53) für das Gebiet D = B ( 0; R ) ⊂ R2 die Lösung in Form des
Poissonintegrals
u( x )
1
4πR
=
Z
∂B( 0;R ) ( R
2
( R2 − |x|22 )ϕ( y )
+ |x|2 − 2R|x|2 cos θ )3/2
für x ∈ D.
dσ
4.8.4 L¨
osung des Dirichletproblems f ¨ur die Potentialgleichung mittels Greenscher Funktionen
Dreidimensionaler Fall
Wir betrachten nun das Dirichletproblem für die Poisson Gleichung,
∆u( x ) = f ( x )
u( x ) = ϕ ( x )
für x ∈ D,
(4.57)
für x ∈ ∂D.
Theorem 4.21 Die Lösung u des Dirichletproblems (4.57) f ür die Poisson Gleichung besitzt im Fall u ∈
C 2 ( D ) die Darstellung
u( x )
=
−
Z
D
n
Z
o
f ( y )G( x, y ) dσ −
∂D
n
ϕ( y )
∂
G( x, y )
∂n
o
dσ
für x ∈ D.
(4.58)
Abschnitt 4.8 Greensche Funktionen
69
B EWEIS . Man zerlegt das Problems in die beiden Teilprobleme
∆u1 ( x ) = 0
für x ∈ D,
u1 ( x ) = ϕ( x ) für x ∈ ∂D
(4.59)
sowie
für x ∈ D,
∆u2 ( x ) = f ( x )
u2 ( x ) = 0
für x ∈ ∂D.
Die Lösung des Teilproblems (4.59) besitzt gemäß (4.54) die Darstellung
Z n
o
∂
u1 ( x ) = −
ϕ( y ) G( x, y ) dσ
für x ∈ D
(4.61)
∂n
∂D
(4.60)
Das Darstellungstheorem liefert außerdem für x ∈ D die Darstellung
Z n
Z n
o
o
∂
∂
1
1
1
1
1
......
(
)
(
)
u2 ( x ) = −
u
y
−
u
y
dy
+
dσ.
.......... u2 ( y )
2
4π ∂D |x − y |2 ∂n 2
D
| {z } ∂n |x − y |2
| {z } 4π |x − y |2
= 0
= f (y )
(4.62)
Die zweite Greensche Formel liefert außerdem
Z
Z
.
h( y ) ............... u2 ( y ) dy =
D
| {z }
= f (y )
∂D
n
h( y )
Addition der Identitäten (4.62) und (4.63) liefert dann
u2 ( x )
=
−
Z
∂
∂
u2 ( y ) − u 2 ( y ) h( y )
∂n
| {z } ∂n
= 0
f ( y )G( x, y ) dσ
D
o
dσ
für x ∈ D.
(4.63)
(4.64)
Die Aussage des Theorems folgt nun wegen u = u 1 + u2 aus den Darstellungen (4.61) und (4.64).
Zweidimensionaler Fall
Geht genauso wie der dreidimensionale Fall.
4.8.5 Eigenschaften Greenscher Funktionen
Dreidimensionaler Fall
Theorem 4.22 Für die Greensche Funktion zu einem Gebiet D ⊂ R 3 gilt G( x, y ) ≥ 0 für x, y ∈ D mit
x 6= y.
B EWEIS . Sei x ∈ D fest gewählt. Als Erstes halten wir fest, dass nach dem Minimumprizip für die Funktion
h gilt
1
1
1
= − max
4πh( x, y ) ≥ min −
= −
=: −K
z∈∂D
|x − z |2
z∈∂D
|x − z |2
max |x − z |2
z∈∂D
und für die Konstante K gilt 0 < K < ∞. Sei nun auch y ∈ D mit x 6= y fest gewählt. Dann iwählt man
ε > 0 so klein, dass
1
ε < K,
ε < |x − y |2 ,
B( x; ε ) ⊂ D.
Die Funktion G( x, · ) ist harmonisch auf der offenen beschränkten Menge D ε = D\B( x; ε ) ⊂ D. Das
Minimumprinzip für G( x, · ) angewendet auf Dε liefert wegen G( x, · ) ≡ 0 auf ∂D Folgendes,
1 1
1
1
− K
= 4π ε − K
≥ 0.
G( x, y ) ≥ 4π
min
z∈∂B( x;ε )
Dies komplettiert den Beweis.
|x − z |2
Kapitel 4 Die Poissongleichung
70
4.9 Die Laplace– Gleichung f ¨ur den Kreissektor
Wir betrachten im Folgenden ein Dirichlet-Randwertproblem für die Laplace Gleichung auf einem Kreissektor mit Öffnungswinkel π/b, Radius R ≥ 0 und Mittelpunkt im Ursprung. In Polarkoordinatendarstellung (4.9) hat es die Form
∂2 U
∂r2
1 ∂U
+ r
∂r
1 ∂2 U
,
r2 ∂ϕ2
+
für 0 ≤ r ≤ rmax ,
= 0
0 ≤ ϕ ≤ π/b
für 0 ≤ ϕ ≤ π/b,
U ( rmax , ϕ ) = G( ϕ )
U ( r, 0 ) = U ( r, π/b ) = 0
(4.65)
(4.66)
für 0 ≤ r ≤ rmax .
(4.67)
Eine Familie von Lösungen der Differenzialgleichung (4.65) wird mit dem Separationsansatz
U ( r, ϕ ) = R( r )Φ( ϕ )
für 0 ≤ r ≤ rmax ,
0 ≤ ϕ ≤ π/b
gewonnen. Aus (4.65) erhält man so wie beim Kreis die separierten Gleichungen
Φ 00 + λΦ = 0
r 2 R 00 + rR 0 − λR = 0
für 0 ≤ ϕ ≤ π/b,
(4.68)
für 0 ≤ r ≤ rmax
(4.69)
mit einem noch zu spezifizierenden Separationsparameter λ. Dazu gehören dann noch die Randbedingungen
Φ( 0 ) = Φ( π/b ) = 0.
(4.70)
Bei (4.68), (4.70) handelt es sich um ein Eigenwertproblem für eine gewöhnliche Differenzialgleichung
zweiter Ordnung mit Nullrandbedingungen. Die Eigenwerte und zugehörigen Eigenfunktionen lauten
λn = ( bn )2 ,
Φn ( ϕ ) = sin ( nbϕ )
für n = 1, 2, . . . .
Lösungen der gewöhnlichen Differenzialgleichung (4.69) erhält man in der Form
Rn ( r ) = r bn
für n = 1, 2, . . . .
Superposition ergibt dann
U ( r, ϕ ) =
∞
X
an r bn sin ( nbϕ )
(4.71)
n=1
mit noch an die Randbedingungen anzupassenden Koeffizienten a n . Hierzu gehen wir von einer Fourier
Entwicklung
G( ϕ ) =
∞
X
bn sin ( nbϕ )
n=1
für 0 ≤ ϕ ≤ π/b
(4.72)
aus. Ein Koeffizientenvergleich liefert unmittelbar
−bn
an = rmax
bn
für n = 1, 2, . . .,
und (4.71) geht dann über in
U ( r, ϕ )
=
∞
X
n=1
r
rmax
bn
bn sin ( nbϕ )
für 0 ≤ ϕ ≤ π/b,
0 ≤ r ≤ rmax .
(4.73)
Die Fourierentwicklung für die Funktion G von der speziellen Form (4.73) erhält man wie üblich durch
ungerade Fortsetzung von G auf das Intervall [−π/b, 0].
Abschnitt 4.10 Der Separationsansatz für die Laplace– Gleichung auf beschr¨ankten Rechteckgebieten 71
4.9.1 Einspringende Ecken
Für b < 1 ist die Lösung U aus (4.73) im Fall b 1 6= 0 nicht stetig differenzierbar. Hierzu betrachtet man in
(4.73) den ersten Summanden ( o.B.d.A. sei b1 = 1 und rmax = 1 )
U1 ( r, ϕ )
=
r b sin ( bϕ )
für 0 ≤ ϕ ≤ π/b,
0 ≤ r ≤ rmax .
Hier gilt
∂
U ( r, ϕ )
∂r 1
=
br b−1 sin ( bϕ )
für 0 ≤ ϕ ≤ π/b,
0 < r ≤ rmax ,
so dass
∂
U ( r, ϕ ) → ∞
∂r 1
für r → 0.
Allgemein verhält es sich so, dass Gebiete mit einspringenden Ecken zu Singularitäten in der Ableitung der
Lösung führen können.
4.10 Der Separationsansatz f ¨ur die Laplace– Gleichung auf beschra¨nkten
Rechteckgebieten
Wir betrachten im Folgenden das zweidimensionale Rechteck
[ 0, L ] × [ 0, M ]
⊂ R2
mit 0 < L < ∞ und 0 < M < ∞. Ziel der nachfolgenden Betrachtungen ist die Bestimmung von Lösungen
u : [ 0, L ] × [ 0, M ] → R der Laplace Gleichung von der Form
u( x, y ) = X ( x )Y ( y )
für x ∈ (0, L),
y ∈ (0, M )
(4.74)
mit zweimal stetig differenzierbaren Funktionen X : [ 0, L ] → R und Y : [ 0, M ] → R. Der Ansatz (4.74)
führt auf
( ∆u )( x, y )
!
= X 00 ( x ) Y ( y ) + X ( x ) Y 00 ( y ) = 0
für x ∈ (0, L),
y ∈ (0, M ).
Dies bedeutet
X 00 ( x )
X(x)
=
−
Y 00 ( y )
Y (y )
für x ∈ (0, L),
y ∈ (0, M ).
(4.75)
Für den Moment sei hierbei X ( x ) 6= 0 für x ∈ [ 0, L ] und Y ( y ) 6= 0 für y ∈ [ 0, M ] angenommen, wobei
man diese Restriktion später auch wieder fallen lassen kann. Vergleichbar der Situation in (1.19) führt dies
auf die Bedingungen
X 00 ( x )
X(x)
=
−
Y 00 ( y )
Y (y )
=
−s2
für x ∈ (0, L),
y ∈ (0, M )
(4.76)
mit einer noch zu spezifizierenden reellen Konstanten s 2 > 0. Denkbar wäre hier auch die Zulassung positiver Konstanten s bei gleichzeitigem Verzicht der Quadratbildung möglich. Während der weiteren Rechnungen stellt sich jedoch heraus, dass sich damit keine weiteren Lösungen gewinnen lassen. Daher werden
die Betrachtungen gleich auf negative Konstanten −s 2 beschränken, wobei sich durch die Verwendung von
s2 > 0 anstelle von s > 0 die Notation vereinfachen wird. Die Darstellung (4.76) führt unmittelbar auf die
beiden Gleichungen
X 00 ( x ) + s2 X ( x ) = 0
für x ∈ (0, L),
Y 00 ( y ) − s2 Y ( y ) = 0
für y ∈ (0, M ).
Kapitel 4 Die Poissongleichung
72
Die allgemeinen Lösungen dieser gewöhnlichen Differenzialgleichungen sind von der Form
für x ∈ [0, L],
Xs ( x ) = a1 cos ( sx ) + a2 sin ( sx )
für y ∈ [0, M ].
Ys ( y ) = b1 cosh ( sy ) + b2 sinh ( sy )
(4.77)
(4.78)
Durch endliche oder abzählbare Überlagerung erhält man eine Klasse von Lösungen der Laplace Gleichung,
u( x, y ) =
X
s>0
a1 cos ( sx ) + a2 sin ( sx ) · b1 cosh ( sy ) + b2 sinh ( sy )
für x ∈ [ 0, L ],
(4.79)
y ∈ [ 0, M ].
Durch Restriktion an die Wahl von s beziehungsweise Anpassung der Koeffizienten lassen sich dann wie
üblich noch gegebene Randbedingungen erfüllen.
Beispiel 4.23 Es wird das folgende Randwertproblem für die Laplace Gleichung betrachtet:
∆u
=
0
für x ∈ [ 0, L ],
u( 0, y )
=
u( L, y ) = 0
für y ∈ [ 0, M ],
u( x, M )
=
g ( x ),
für x ∈ [ 0, L ].
u( x, 0 ) = 0
y ∈ [ 0, M ],
(4.80)
Die Situation ist in Abbildung 4.1 dargestellt.
y.
M
u( 0, · ) = 0
.....
.........
....
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
u( ·, M ) = g
u( L, · ) = 0
∆u = 0
0
0
u( ·, 0 ) = 0
.....................................................
L
x
Abbildung 4.1 Ein Randwertproblem für die zweidimensionale Laplace– Gleichung
Ansätze der Form Xs ( x )Ys ( y ) mit Funktionen Xs und Ys aus (4.77) beziehungsweise (4.78) erfüllen die
Randbedingungen links und rechts, falls
X s ( 0 )Y s ( y ) = X s ( L )Y s ( y ) = 0
für y ∈ [ 0, M ].
Dies bedeutet
Xs ( 0 ) = a1 = 0,
Xs ( L ) = a2 sin ( sL ) = 0,
was für
sL ∈ { π, 2π, 3π, . . . }
erfüllt ist. Die untere Randbedingung ist gleichbedeutend mit
Xs ( x )Ys ( 0 ) = 0
für x ∈ [ 0, L ]
;
Ys ( 0 ) = b1 = 0.
Abschnitt 4.11 Der Separationsansatz für die Laplace– Gleichung auf unbeschr¨ankten Gebieten
73
Damit gewinnt man Lösungen von der Form
u( x, y ) =
∞
X
n=1
an sin n Lπ x · sinh n Lπ y
für x ∈ [ 0, L ],
y ∈ [ 0, M ].
Nun müssen die Koeffizienten noch an die obere Randbedingung angepasst werden. Hierzu geht man von
einer Fourierentwicklung
∞
X
g( x ) =
cn sin n Lπ x
für 0 ≤ x ≤ L
n=1
aus. Es gilt
∞
X
u( x, M ) =
n=1
an sin n Lπ x · sinh n Lπ M
für x ∈ [ 0, L ],
und ein Koeffizientenvergleich liefert dann
an sinh n Lπ M
= cn
für n = 1, 2, . . . .
Die Fourierentwicklung der Funktion g gewinnt man wie üblich durch ungerade Fortsetzung auf das Intervall
[−L, 0], mit dem Ergebnis
Z
2 L
g ( ξ ) sin n Lπ ξ dξ
cn = L
für n = 1, 2, . . . .
0
Für die Darstellung der Lösung des vorgegebenen Problems (4.80) für die Laplace Gleichung erhält man
dann die Darstellung
u( x, y ) =
Z
L
K ( x, y, ξ )g ( ξ ) dξ
0
für x ∈ [ 0, L ],
y ∈ [ 0, M ],
(4.81)
mit der Kernfunktion
K ( x, y, ξ )
=
` π ´
∞
2 X sinh n L y
` π ´
L
sinh n L M
n=1
sin n Lπ x sin n Lπ ξ .
M
4.11 Der Separationsansatz f ¨ur die Laplace– Gleichung auf unbeschra¨nkten Gebieten
Der in Abschnitt (4.79) gewählte Ansatz lässt sich natürlich auch auf unbeschränkten Reckteckgebieten
vornehmen und führt auf die gleiche Klasse (4.79) von Lösungen. Hier sollen für diese Situation die Wohlgestelltheit untersucht werden.
Beispiel 4.24 In dem vorliegenden Beispiel werden für die Laplace Gleichung nichttriviale Lösungen des
Cauchyproblems
∆u
= 0
für x, y ∈ R,
u( x, 0 )
= 0
für x ∈ R,
= δ cos nx
für x ∈ R
∂u
( x, 0 )
∂y
y>0
(4.82)
Kapitel 4 Die Poissongleichung
74
gesucht mit gegebenen Zahlen δ > 0 und n ∈ N. Der Ansatz u ( x, y ) = Xs ( x )Ys ( y ) führt auf die Bedingungen
= 1
= 0
z }| { z }| {
u( x, 0 ) = Xs ( x )Ys ( 0 ) = Xs ( x ) b1 cosh ( 0 ) + b2 sinh ( 0 )
= b 1 Xs ( x )
!
=
beziehungsweise
∂u
( x, 0 )
∂y
= Xs ( x )Ys0 ( 0 )
=
δ cos nx
δ
b2 = n ,
=⇒
=⇒
b1 = 0,
= 0
= 1
z }| { z }| {
sXs ( x ) b1 sinh ( 0 ) + b2 cosh ( 0 )
=
!
= b2 sXs ( x )
0
für x ∈ R,
s = n,
Xs ( x ) =
δ
n
cos nx
für x ∈ R.
Die so gewonnene Lösung ist also von der Form
u( x, y )
δ
n
=
cos nx sinh ny
für x ∈ R,
y ≥ 0.
M
Bemerkung 4.25 Beispiel 4.24 zeigt, dass das Cauchy Problem
∆u =
0
für x, y ∈ R,
u( x, 0 )
=
f (x)
∂u
( x, 0 )
∂y
für x ∈ R,
=
g( x )
für x ∈ R.
y>0
(4.83)
unstetig von den gegebenen Cauchydaten f : R → R und g : R → R abhängt (und damit nicht wohlgestellt
ist), da kleine Störungen in g zu beliebig großen Störungen in der Lösung führen können. Ist nämlich
u : [ 0, L ] × R + → R eine Lösung von (4.83), so stellt
δ
uδ = u + n cos nx sinh ny
für x ∈ R,
y ≥ 0,
eine Lösung von (4.83) dar, wenn man dort die Funktion g durch g δ = g + δ cos nx für x ∈ R ersetzt. Dann
gilt
max |g δ ( x ) − g ( x ) | = δ,
x∈R
δ
max |uδ ( x, y ) − u( x, y ) | = n sinh ny.
x∈R
Während der also der Fehler in den Cauchydaten in der Maxumimnorm klein ausfüllt, geht der maximale
Fehler in der Lösung gegen unendlich, und zwar z.B. für festes n und y → ∞. Alternativ kann man auch
einen festen Wert für y betrachten und n → ∞ gehen lassen, also immer hochfrequentere Cauchydaten
heranziehen.
M
75
5
Schwache Lösungen
5.1 Poisson– Gleichung
5.1.1 Einleitung
Gegeben sei die Poisson Gleichung auf einer beschränkten, stückweise glatt berandeten offenen Menge
D ⊂ Rd ,
−∆u = f
auf D,
u = 0
auf ∂D.
(5.1)
Gesucht sind Funktionen u mit geringen Differenzierbarkeitseigenschaften, die aber (5.1) in einem gewissen
Sinn erfüllen. Hierzu sei
n
o
C0∞ ( D ) := v : D → R : v : D → R unendlich oft differenzierbar, v hat kompakten Träger . (5.2)
Sei zunächst angenommen, dass die Poisson Gleichung (5.1) eine klassische Lösung u : D → R besitzt,
und zusätzlich sei noch u ∈ C 1 ( D ) angenommen. Multiplikation der Poisson Gleichung (5.1) mit einer
Testfunktion v ∈ C0∞ ( D ) und anschließende Integration ergibt
= 0
}|
{
z
Z
D
f v dx = −
Z
v ∆u dx
(∗)
=
D
Z
D
∇u · ∇v dx −
Z
∂D
v
∂u
ds,
∂n
(5.3)
wobei die Identität (∗) aus der ersten Greenschen Formel in R d resultiert, und das Randintegral verschwindet
wegen des kompakten Trägers der Testfunktion.
Mit der Notation
C p ( D ) := {v : D → R p − mal stetig differenzierbar }
für p = 1, 2, . . .
(5.4)
und der Bilinearform sowie dem Standardskalarprodukt
a( u, v ) =
Z
∇u · ∇v dx
Z
uv dx
D
h u, v i L2 ( D ) =
D
für u, v ∈ ∩ C 1 ( D )
(5.5)
für u, v ∈ C ( D )
ist also (5.3) gleichbedeutend mit
a( u, v )
=
h f , v i L2 ( D )
für v ∈ C0∞ ( D ).
(5.6)
Aus technischen Gründen ist es wünschenswert, dass die herangezogenen Testräume gleichzeitig auch die
verallgemeinerten Lösungen enthalten. Dafür ist der oben betrachtete Testraum C 0∞ ( D ) jedoch zu klein.
5.1.2 Erweiterte Testr¨
aume
Es soll daher nun ein größerer Testraum betrachtet werden:
H̃01 ( D ) := {u ∈ C ( D ) : ∇u existiert, stückweise stetig,
u≡0
auf ∂D }.
(5.7)
Kapitel 5 Schwache Lösungen
76
Dabei heißt die Funktion ∇u existent und stückweise stetig, falls Folgendes gilt: es gibt eine Zerlegung
D = ∪nk=1 Dk
mit endlich vielen offenen und paarweise disjunkten Mengen D 1 , D2 , . . . , Dn , so dass für jeden Index
k ∈ {1, 2, . . . , n} die Funktion u auf der Menge D k auf jeder der Teilmengen partiell differenzierbar ist.
Außerdem sollen für k = 1, 2, . . . , n alle partiellen Ableitungen von u |Dk jeweils stetig auf den Abschluss
D k fortsetzbar sein. Die Werte von ∇u sind unabhängig von der Wahl der disunkten Zerlegung.
Der Definititionsbereich der Bilinearform a aus (5.5) lässt sich ohne Weiteres auf den Raum H̃01 ( D ) × H̃01 ( D )
erweitern. Dort wird in natürlicher Weise eine Norm induziert:
Lemma 5.1 Die Abbildung a definiert auf dem Raum H̃01 ( D ) aus (5.26) ein Skalarprodukt. Die induzierte
Norm bezeichnen wir mit
1/2
Z
p
für u ∈ H̃01 ( D ).
∇u · ∇u dx
a( u, u ) =
||u||a :=
D
B EWEIS . Die Abbildung a ist offensichtlich bilinear. Außerdem gilt offensichtlich auch a ( u, u ) ≥ 0 für
u ∈ H̃01 ( D ), und für den Nachweis der Definitheit betrachtet man u ∈ H̃01 ( D ) mit a( u, u ) = 0. Dann ist die
Funktion u auf D konstant und damit gilt u ≡ 0 wegen der vorliegenden Nullrandbedingungen.
Die Norm || · ||a ist auf dem Raum H̃01 ( D ) stärker als || · ||L2 ( D ) :
Proposition 5.2 (Ungleichung von Poincaré) Es gilt mit einer Konstanten c > 0 die Ungleichung
||u||L2 ( D )
≤
c
Z
D
∇u · ∇u dx
1/2
für u ∈ H̃01 ( D ).
(5.8)
B EWEIS . Der Beweis wird nur für den eindimensionalen Fall d = 1 und Intervalle D = [a, b] geführt. Auf
Grund der Eigenschaft u( a ) = 0 gilt
u( x )
=
Z
x
u 0 ( t ) dt
für x ∈ [a, b],
a
(5.9)
da der Haupsatz der Differenzial und Integralrechnung auch für stückweise stetig differenzierbare Funktionen gültig ist. Ausgehend von (5.9) liefert eine Anwendung der Cauchy Schwarzschen Ungleichung die
folgende Abschätzung,
= ||u 0 ||22
z
}|
{
u ( x )2 ≤
Z
a
x
12 dt ·
Z
x
a
u 0 ( t )2 dt = ( x − a )
Z
x
a
u 0 ( t )2 dt ≤ ( b − a )
Z
b
u 0 ( t )2 dt
a
für x ∈ [a, b],
und die eindimensionale Poincaré Ungleichung resultiert nun unmittelbar aus der trivialen Abschätzung
Rb
||v ||2 = ( a v ( s )2 ds)1/2 ≤ ( b − a )1/2 ||v ||∞ für v ∈ C[a, b].
Die Normen || · ||a und || · ||L2 ( D ) sind jedoch nicht äquivalent:
Beispiel 5.3 Auf D = ( 0, 1 ) betrachten wir die Bilinearform
a( u, v ) =
Z
0
1
u 0 v 0 dx
für u, v ∈ H̃01 ( 0, 1 ).
Abschnitt 5.1 Poisson– Gleichung
77
Für die Folge vn : [0, 1] → R definiert durch





vn ( x ) =
Z
1
1 dx
0
Z
||vn ||a =
1/n
falls 0 ≤ x ≤ 1/n,
1, falls 1/n ≤ x ≤ 1 − 1/n,



 n( 1 − x ), falls 1 − 1/n ≤ x ≤ 1,
gilt dann
||vn ||L2 ( D ) ≤
nx,
1/2
=
n2 dx +
0
Z
1,
1
n2 dx
1−1/n
1/2
=
√
2n
→
∞
für n → ∞.
Damit existiert keine endliche Konstante c > 0, für die die Ungleichung ||v || a ≤ c||v ||L2 ( D ) für alle v ∈
H̃01 ( 0, 1 ) erfüllt ist.
M
Lemma 5.4 Die Menge C0∞ ( D ) liegt bezüglich der Norm || · ||a dicht in dem Raum H̃01 ( D ).
B EWEIS . Entfällt.
Als Konsequenz aus der Poincaré Ungleichung erhält man die Dichtheit der Menge C 0∞ ( D ) auch bezüglich
1/2
der Norm ||u||L2 ( D ) = h u, uiiL2 ( D ) .
Lemma 5.5 Jede klassische Lösung u : D → R der Poisson Gleichung (5.1) erf üllt die Variationsgleichung
a( u, v )
=
für alle v ∈ H̃01 ( D ).
h f , v i L2 ( D )
(5.10)
B EWEIS . Zu einem beliebigen Element v ∈ H̃01 ( D ) gibt es nach Lemma 5.4 eine Folge {vn }n∈0, 1,... ⊂
C0∞ ( D ) mit der Eigenschaft ||vn − v ||a → 0 für n → ∞. Wegen der Poincaré Ungleichung (5.8) gilt dann
auch ||vn − v ||L2 ( D ) → 0 für n → ∞. Aus (5.6) folgt
a( u, vn )
=
h f , v n i L2 ( D )
für n = 0, 1, . . .,
und außerdem folgen aus der Cauchy Schwarzschen Ungleichung für die Skalarprodukte a ( ·, · ) und h ·, ·iiL2 ( D )
die Abschätzungen
|a( u, v − vn ) | ≤ ||u||a ||v − vn ||a → 0
für n → ∞,
|hh f , v − vn i L2 ( D ) | ≤ ||f ||L2 ( D ) ||v − vn ||L2 ( D ) → 0
für n → ∞.
Daraus erhält man
a( u, v )
=
lim a( u, vn )
n→∞
=
lim h f , vn i L2 ( D )
n→∞
=
h f , v i L2 ( D ) .
Definition 5.6 Eine Funktion u ∈ H̃01 ( D ) heißt schwache Lösung der Poisson Gleichung (5.1), falls sie
die Variationsgleichung (5.10) erf üllt.
Kapitel 5 Schwache Lösungen
78
Von einer schwachen Lösung wird eine geringere Glattheit gefordert. Die Erfüllung der Randbedingungen
ist aber durch die Wahl des Grundraumes H̃01 ( D ) gesichert.
Man ist auch an Kriterien für die Existenz von schwachen Lösungen interessiert. Hier wird sich die Vollständigkeit als hinreichendes Kriterium herausstellen. Der Raum H̃01 ( D ) erfüllt dieses Kriterium jedoch nicht.
Beispiel 5.7 Auf D = ( 0, 1 ) betrachten wir wieder die Bilinearform
a( u, v )
=
Z
1
u 0 v 0 dx
0
Sei außerdem
u( x )
=


für u, v ∈ H̃01 (0, 1).
xα /α, falls 0 < x ≤ 1/2,
1
2
 xα ( 1 − x ) /α sonst
< α<1
und damit u ∈ C [ 0, 1 ], u( 0 ) = u( 1 ) = 0. Außerdem gilt
u 0 ( x ) = xα−1
für 0 < x ≤ 1/2,
und u 0 ist stetig für 1/2 < x ≤ 1, so dass u 0 ∈ L2 ( 0, 1 ) gilt. Für die Folge un : [ 0, 1 ] → R definiert durch

 u( 1/n )nx, falls 0 ≤ x ≤ 1/n,
un ( x ) =

u( x ), falls 1/n ≤ x ≤ 1,
gilt dann
un ∈ H̃01 ( 0, 1 )
für n = 1, 2, . . .,
||un0 − u 0 ||L2 ( D ) → 0
für n → ∞.
Damit ist
||un − um ||a
≤
0
||un0 − u 0 ||L2 ( D ) + ||u 0 − um
||L2 ( D )
→
0
für n, m → ∞,
so dass {un } eine H̃01 ( 0, 1 ) Cauchyfolge darstellt. Allerdings ist die Funktion u 0 nicht stückweise stetig,
so dass u 6∈ H̃01 ( 0, 1 ) gilt und damit die Cauchyfolge nicht in H̃01 ( 0, 1 ) konvergiert.
M
5.1.3 Allgemeine Theorie f ¨ur Variationsgleichungen
Im Folgenden werden wir sehen, dass schwache Lösungen zugleich auch Lösungen eines Minimierungsproblems sind.
Definition 5.8 Eine Bilinearform a : V × V → R auf einem Vektorraum V heißt
•
symmetrisch, falls a( u, v ) = a( v, u ) für alle u, v ∈ V gilt,
•
positiv semidefinit, falls a( u, u ) ≥ 0 gilt für alle u ∈ V,
•
positiv definit, falls sie positiv semidefinit ist und a ( u, u ) = 0 nur für u = 0 gilt.
Im Folgenden wird die folgende Situation betrachtet:
Es sei a : V × V → R eine symmetrische, positiv definite Bilinearform auf einem Vektorraum
V, und die Abbildung b : V → R sei linear.
(5.11)
Abschnitt 5.1 Poisson– Gleichung
79
Unter den Bedingungen (5.11) interessieren wir uns für Lösungen u ∈ V der Variationsgleichung
a( u, v ) = b( v )
für v ∈ V.
(5.12)
Hierzu betrachtat man das Funktional
F (v ) =
1
a( v, v )
2
− b( v )
für v ∈ V.
(5.13)
Dieses Funktional F wird als Energiefunktional bezeichnet.
Theorem 5.9 Es seien die Bedingungen (5.11) erf üllt. Dann sind für ein Element u ∈ V die folgenden
Aussagen äquivalent:
•
Das Element u löst die Variationsgleichung (5.12).
•
Es ist das Element u ein Minimierer des Energiefunktionals aus (5.13),
F ( u ) = min F ( v ).
v∈V
B EWEIS . Es sei zunächst angenommen, dass u ∈ V die Variationsgleichung (5.12) erfüllt, und sei v ∈ V
beliebig. Mit der Notation w = u + v erhält man dann Folgendes:
F (v )
=
1
a( u
2
=
1
a( u, u )
2
(∗∗)
=
+ w, u + w ) − b( u + w )
+ a( u, w ) +
F (u) +
1
a( w, w )
2
− b( u ) − b( w )
1
a( w, w ).
2
Hierbei resultiert die Identität (∗) aus der Bilinearität und der Symmtrie der Abbildung a, und die Identität
(∗∗) folgt wegen a( u, w ) = b( w ). Die Abschätzung erhält man aus der positiven Definitheit der Bilinearform a.
Sei nun u ∈ V ein minimierendes Element des Energiefunktionals F . Für v ∈ V beliebig gilt dann
g ( t ) := F ( u + tv ) ≥ F ( u ) = g ( 0 )
für t ∈ R.
(5.14)
Damit besitzt das Funktional g ein globales Minimum an der Stelle t = 0. Außerdem lässt sich das Funktional g in der Form
= F (u)
=: c
z
}|
{
}|
{
z
a( v, v ) 2
1
(
)
(
(
)
(
)
(
)
t + a u, v − b v t + 2 a u, u − b u )
g t =
2
a( v, v ) = t c +
t + F (u)
für t ∈ R
2
schreiben, was man genauso wie im ersten Teil des Beweises erhält. Im Falle a ( u, v ) − b( v ) = c 6= 0 würde
sich für hinreichend klein gewähltes t sofort ein Widerspruch zu (5.14) ergeben.
Theorem 5.10 Es seien die Bedingungen (5.11) erf üllt. Dann gibt es höchstens eine Lösung u ∈ V der
Variationsgleichung (5.12).
B EWEIS . Seien Lösung u1 ∈ V und u2 ∈ V Lösungen der Variationsgleichung (5.12), es gilt also
a ( u 1 , v ) = b ( v ),
Subtraktion liefert dann
a ( u2 , v ) = b ( v )
für v ∈ V.
Kapitel 5 Schwache Lösungen
80
a( u1 − u 2 , v ) = 0
für v ∈ V
und damit insbesondere
a( u1 − u 2 , u 1 − u 2 ) = 0
beziehungsweise u1 = u2 .
Es sei a : V × V → R eine Bilinearform auf einem Hilbertraum (V, || · ||), und die Abbildung
b : V → R sei linear. Außerdem seien die folgenden Bedingungen erfüllt:
•
Die Bilinearform a ist stetig bezüglich der Norm || · ||, das heißt, mit einer endlichen
Konstanten M ≥ 0 gilt
|a( u, v ) | ≤ M ||u||||v ||
•
für u, v ∈ V.
Die Bilinearform a ist V-elliptisch, das heißt, mit einer positiven Konstanten τ > 0 gilt
a( u, u ) ≥ τ ||u||2
•
(5.15)
für u ∈ V.
Das lineare Funktional b ist stetig, das heißt, mit einer endlichen Konstanten K ≥ 0 gilt
|b( u ) | ≤ K||u||
für u ∈ V.
Theorem 5.11 ( Lax-Milgram-Theorem ) Seien die Bedingungen in (5.15) erf üllt. Dann besitzt die Variationsgleichung
a( u, v )
=
für alle v ∈ V
b( v )
genau eine Lösung.
B EWEIS . Entfällt
5.1.4 Schwache Ableitungen, Sobolevraum H 1 (D )
Einen Vektor α = ( α1 , α2 , . . . , αd ) mit ganzzahligen nichtnegativen Einträgen α j ∈ {0, 1, 2, . . . } nennt
man Multiindex. Es heißt
|α| :=
d
X
αj
j=1
die Ordnung des Multiindex α. Für einen solchen Multiindex definiert man
α
xα := xα1 1 · xα2 2 · . . . · xd d
für x ∈ R.
Entsprechend definiert man zu einer gegebenen offenen Menge u : D ⊂ R d und einer |α|-mal stetig partiell
differenzierbaren Funktion u : D → R Folgendes:
∂α u
∂xα
∂ α1 ∂ α2
1
2
∂xα
∂xα
1
2
=
...
∂ αd
u
d
∂xα
d
Für eine solche Funktion u erhält man für jede Testfunktion ϕ ∈ C 0∞ ( D ) durch partielle Integration Folgendes:
Z
D
∂α u
ϕ dx
∂xα
=
( –1 )| α |
Z
D
∂α ϕ
u ∂xα dx.
(5.16)
Abschnitt 5.1 Poisson– Gleichung
81
∂β ϕ
∂xβ
Hierbei verschwinden die Randintegrale, da für alle Multiindizes β die Funktionen
auf dem Rand ∂D
verschwindet. Die Darstellung (5.16) legt folgende Verallgemeinerung nahe:
Definition 5.12 Für u ∈ L2 ( D ) heißt eine Funktion v ∈ L2 ( D ) schwache oder verallgemeinerte Ableitung von u zum Multiindex α, falls
Z
vϕ dx
( –1 )| α |
=
D
Z
D
∂α ϕ
u ∂xα dx
für alle ϕ ∈ C0∞ ( D ).
(5.17)
∂α u
Es wird die Notation ∂xα = v verwendet.
Proposition 5.13 Eine Funktion u ∈ L 2 ( D ) besitzt höchstens eine schwache Ableitung.
B EWEIS . Seien v1 ∈ L2 ( D ) und v2 ∈ L2 ( D ) schwache Ableitungen von u zum Multiindex α. Dann gilt für
die Differenz v = v1 − v2 insbesondere
Z
v ϕ dx
=
für alle ϕ ∈ C0∞ ( D )
0
D
Es liegt die Menge C0∞ ( D ) dicht in L2 ( D ), und damit gilt auch
Z
v ϕ dx
=
für alle ϕ ∈ L2 ( D ).
0
D
Mit der speziellen Wahl ϕ = v erhält man dann ||v || L2 ( D ) = 0 beziehungsweise v ≡ 0.
Beispiel 5.14 Die Funktion u( x ) = |x| für −1 ≤ x ≤ 1 besitzt v ( x ) = sgn( x ) als schwache Ableitung.
Die Funktion u( x ) = sgn( x ) dagegen besitzt keine schwache Ableitung ( Übungsaufgabe ) .
M
Beispiel 5.15 Die Funktion u( x ) = |x|β für x ∈ Rd mit |x| ≤ R besitzt die schwachen Ableitungen
∇u( x ) = β|x|β−1 x ( Übungsaufgabe ) .
M
Wir können nun den Raum H 1 ( D ) einführen.
H 1 ( D ) :=
n
u ∈ L2 ( D ) : schwache Ableitung
Auf dem Raum H 1 ( D ) ist durch
h u, v i H 1 ( D )
=
Z
uv dx +
D
∂u
existiert,
∂xj
Z
D
∇u · ∇v dx
∂u
∈ L2 ( D )
∂xj
für u, v ∈ H 1 ( D )
ein Skalarprodukt erklärt, und die induzierte Norm ist
Z
Z
1/2
||u||H 1 ( D ) =
|u( x ) |2 dx +
|∇u( x ) |22 dx
D
D
o
für 1 ≤ j ≤ d . (5.18)
für u ∈ H 1 ( D ).
Der Raum H 1 ( D ) wird Sobolev Raum genannt.
Theorem 5.16 Der Sobolev Raum H 1 ( D ) versehen mit dem Skalarprodukt h ·, ·ii H 1 ( D ) ist ein Hilbertraum.
B EWEIS . Entfällt.
Für d = 1 sind alle Funktionen aus H01 ( D ) stetig:
Kapitel 5 Schwache Lösungen
82
Lemma 5.17 Für jede Funktion v ∈ H 1 ( a, b ) gilt
|v ( x ) − v ( y ) | ≤ ||v ||H 1 ( ( a , b ) ) |x − y |1/2
für x, y ∈ ( a, b ),
und sie lässt sich in eindeutiger Weise stetig nach x = a und x = b fortsetzen. Damit gilt H 1 ( a, b ) ⊂
C [ a, b ].
B EWEIS . Es gilt mit
v( y ) − v( x )
=
Z
y
v 0 ( ξ ) dξ
für a < x ≤ y < b,
x
(5.19)
ein Fundamentalsatz der Differenzial und Integralrechnung für die Funktion v, und daraus erhält man leicht
die angegebene Abschätzung. Die zweite Aussage ergibt sich leicht aus der gewonnenen Abschätzung. Die
Details werden hier nicht vorgestellt ( Übungsaufgabe).
Im Fall d ≥ 2 können Funktionen aus H 01 ( D ) Singularitäten besitzen.
Beispiel 5.18 Sei D = {x ∈ R2 : |x| < R }. Die Funktion u( x ) = |x|β , x ∈ D ist für β > −1 in H 1 ( D )
enthalten ( Übungsaufgabe). Damit gilt insbesondere H 1 ( D ) 6⊂ C({x ∈ R2 : |x| ≤ R }).
M
Für d ≥ 2 ist daher noch zu überlegen, wie die Bedingung “u = 0 auf ∂D“ definiert werden soll. Hierzu
nennen wir Menge offene beschränkte und zusammenhängende Menge D ⊂ R d ein Lipschitz Gebiet, falls
der Rand durch eine Lipschitz stetige Funktion parametrisiert werden kann. Wir betrachten nun die Menge
C̃ ∞ ( D ) = {v : Ω → R : es gibt w ∈ C ∞ ( Rd ) mit w|D = v }.
Lemma 5.19 Sei D ⊂ Rd ein Lipschitz Gebiet. Dann liegt die Menge C̃ ∞ ( D ) dicht in H 1 ( D ), und die
lineare Abbildung
γ0 : ( C̃ ∞ ( D ), || · ||H 1 ( D ) ) → (L2 ( ∂D ), || · ||L2 ( ∂D ) ),
v 7→ v|∂D
ist beschränkt. Es gibt daher eine eindeutige lineare beschr änkte Fortsetzung
γ0 : (H 1 ( D ), || · ||H 1 ( D ) ) → (L2 ( ∂D ), || · ||L2 ( ∂D ) ).
Im Folgenden schreiben wir für eine Funktion v ∈ H 1 ( D ) kurz v|∂D anstelle von γ0 ( v ). Die Beschränktheit
der Spurabbildung bedeutet dann
Z
∂D
v 2 ds
1/2
≤
C||v ||H 1 ( D )
=
C
Z
D
|v ( x ) |2 dx +
Z
D
|∇v ( x ) |22 dx
1/2
(5.20)
für v ∈ H 1 ( D ).
Wir können nun mit dem Raum H01 ( D ) den geeigneten Grund- und Testraum einführen.
H01 ( D ) := {u ∈ H 1 ( D ) : u = 0
auf ∂D }.
(5.21)
Lemma 5.20 Sei D ⊂ Rd ein Lipschitz Gebiet. Dann ist (H01 ( D ), || · ||H 1 ( D ) ) ein Hilbertraum, und die
Menge C0∞ ( D ) liegt dicht in H01 ( D ).
B EWEIS . Siehe Alt, Lineare Funktionanalysis.
Abschnitt 5.1 Poisson– Gleichung
83
5.1.5 Sobolevr¨
aume h¨
oherer Ordnung, Gaußscher Integralsatz
Wir können nun den Raum H k ( D ) mit k ∈ N einführen.
n
∂α u
H k ( D ) := u ∈ L2 ( D ) : schwache Ableitungen ∂xα existieren,
∂α u
∂xα
∈ L2 ( D )
o
für |α| ≤ k .
(5.22)
Auf dem Raum H k ( D ) ist durch
h u, v i H k ( D )
X Z
=
| α |≤k
D
∂α u ∂α v
∂xα ∂xα
für u, v ∈ H k ( D )
dx
(5.23)
ein Skalarprodukt erklärt.
Theorem 5.21 Der Raum H k ( D ) ist mit dem Skalarprodukt aus (5.23) ein Hilbertraum. Es gilt
H 1(D ) ⊃ H 2(D ) ⊃ H 3(D ) . . . .
Für ein beschränktes Lipschitz Gebiet D ⊂ Rd gilt außerdem
H k(D ) ⊂ C (D )
für k > d/2.
B EWEIS . Die Inklusionen sind klar, und der Beweis der zweiten Aussage des Theorems entfällt.
In der Situation 2 ≤ d ≤ 3 gilt also H 2 ( D ) ⊂ C ( D ). Wir kommen nun zur Formulierungen von Integralsätzen, die für ein Lipschitz Gebiet D ⊂ R d auch in Sobolevräumen gelten. Ausgangspunkt ist wiederum der Gaußsche Integralsatz
Z
div F dx
=
Z
∂D
D
F · ν dS,
wobei für das Vektorfeld F lediglich F ∈ [H 1 ( D ) ]d vorausgesetzt wird. Dabei existiert die äußere Normalenableitung
ν : ∂D → Rd
fast überall und es gilt ν ∈ [L∞ ( ∂D ) ]d .
Für Funktionen u ∈ H 2 ( D ) und v ∈ H 1 ( D ) gilt die erste Greensche Formel
Z
v∆u dx
−
=
D
Z
D
∇v · ∇u dx +
Z
∂D
v
∂u
ds,
∂n
die man direkt aus dem Gaußschen Integalsatz mit der speziellen Wahl F = v∇u erhält.
5.1.6 Schwache Formulierung der Poisson– Gleichung auf H 1 (D )
Die getroffenen Aussagen für die Bilinearform a lassen sich alle für den Sobolev Raum H 01 ( D ) erweitern.
Wir formulieren nur die Aussagen:
•
Jede Lösung u ∈ H 2 ( D ) der Poisson Gleichung (5.1) erfüllt die Variationsgleichung
a( u, v )
•
=
h f , v i L2 ( D )
für alle v ∈ H01 ( D ).
Die Bilinearform
a( u, v ) =
Z
D
∇u · ∇v dx
für u, v ∈ H 1 ( D )
ist auf dem Raum H 1 ( D ) symmetrisch und stetig bezüglich || · || H 1 ( D ) .
(5.24)
Kapitel 5 Schwache Lösungen
84
•
Die Bilinearform a ist außerdem H01 ( D ) elliptisch, was eine Konsequenz aus der Poincaré Ungleichung
||u||L2 ( D )
≤
ist.
•
c
Z
D
|∇u|22 dx
Für jedes f ∈ L2 ( D ) ist die lineare Abbildung b( v ) =
|b( v ) |
≤
Z
D
|f v | dx
≤
||f ||L2 ( D ) ||v ||L2 ( D )
1/2
R
D
für u, v ∈ H01 ( D )
f v dx stetig auf dem Raum H 1 ( D ):
≤
||f ||L2 ( D ) ||v ||H 1 ( D )
für v ∈ H 1 ( D ).
Als Konsequenz aus dem Lax/Milgram Theorem erhält man Folgendes:
Theorem 5.22 Es besitzt die Variationsgleichung (5.24) f ür jede Funktion f ∈ L2 ( D ) eine eindeutige
Lösung. Diese nennt man schwache Lösung des Randwertproblems (5.1) f ür die Poisson Gleichung.
5.1.7 Andere Randbedingungen
Es wird nun die Poisson Gleichung
−∆u = f
auf D
auf einem beschränkten Lipschitz Gebiet D ⊂ R d betrachtet, wobei aber allgemeinere Randbedingungen
herangezogen werden. Hierzu sei
∂D = Γ1 ∪ Γ2 ∪ Γ3
eine disjunkte Zerlegung des Randes von D, wobei Γ 3 ein positives Maß besitze. Wir betrachten dann die
Randbedingungen
∂u
= g1
∂n
∂u
+ αu = g2
∂n
auf Γ1 ,
auf Γ2 ,
u = g3
auf Γ3
(5.25)
mit gegebenen stetigen und beschränkten Funktionen
g1 : Γ1 → R,
α, g2 : Γ2 → R,
g3 : Γ3 → R.
Es liegen also auf dem Teilstück Γ1 Neumann Randbedingungen, auf Γ2 gemischte Randbedingungen und
auf Γ3 Dirichlet Randbedingungen vor.
In der Situation
g3 ≡ 0
ist der folgende Test und Ansatzraum angemessen:
H 1 ( D, Γ3 ) := {u ∈ H 1 ( D ) : u ≡ 0
auf ∂Γ3 }.
(5.26)
Es ist H 1 ( D, Γ3 ) eine abgeschlossener Unterraum von H 1 ( D ) und daher (H 1 ( D, Γ3 ), || · ||H 1 ( D ) ) ein
Hilbertraum.
Multiplikation der Poisson Gleichung (5.1) mit einer Testfunktion v ∈ H 1 ( D, Γ3 ) und anschließende Integration ergibt
Z
D
f v dx = −
Für das Randintegral erhält man
Z
D
v ∆u dx
=
Z
D
∇u · ∇v dx −
Z
∂D
v
∂u
ds.
∂n
Abschnitt 5.1 Poisson– Gleichung
Z
v
∂D
85
= g1
z}|{
∂u
ds +
∂n
∂u
ds =
∂n
Z
v
=
Z
g1 v ds +
Γ1
Γ1
Z
= g2 − αu
z}|{
v
Γ2
Z
Γ2
z
∂u
ds +
∂n
g2 v ds − α
Z
Z
= 0
}| {
v
Γ3
∂u
ds
∂n
uv ds.
Γ2
Die vorliegende Randwertproblem für die Poisson Gleichung nimmt damit die Variationsformierung
für v ∈ H 1 ( D, Γ3 )
a( u, v ) = b( v )
(5.27)
an mit
a( u, v ) =
Z
∇u · ∇v dx +
Z
f v dx +
D
b( v ) =
D
Z
Γ1
Z
für u, v ∈ H 1 ( D, Γ3 ),
αuv ds
Γ2
g1 v ds +
Z
Γ2
g2 v ds
für v ∈ H 1 ( D, Γ3 ).
Für die nachfolgenden Betrachtungen wird das folgende Theorem benötigt, das eine Verallgemeinerung der
Poincaré Ungleichung darstellt.
Theorem 5.23 (Ungleichung von Friedrich) Sei D ⊂ R d ein beschränktes Lipschitz Gebiet, und die Teilmenge Γ ⊂ D besitze ein positives ( d − 1 ) dimensionales Maß. Dann gilt mit einer Konstanten c > 0 die
Ungleichung
||u||L2 ( D )
≤
c
Z
u2 ds +
Z
D
Γ
|∇u|22 dx
1/2
für u ∈ H 1 ( D ).
(5.28)
Insbesondere gilt damit
||u||L2 ( D )
≤
c
Z
D
|∇u|22 dx
1/2
für u ∈ H 1 ( D )
mit
u≡0
auf Γ.
(5.29)
B EWEIS . Entfällt.
Im Fall d = 1 und D = ( a, b ) erhält man aus der Friedrich Ungleichung zum Beispiel
Z b
1/2
||u||L2 ( ( a , b ) ) ≤ c u( a )2 +
für u ∈ H 1 ( a, b )
(u 0 )2 dx
a
mit einer Konstanten c > 0. Diese Abschätzung erhält man genauso wie die Poincaré Ungleichung ( Übungsaufgabe).
Die wesentlichen Eigenschaften der Bilinearform a und der linearen Abbildung b sind im Folgenden festgehalten.
•
•
Jede klassische Lösung u der Poisson Gleichung mit Randbedingungen wie in (5.25) mit g 3 ≡ 0 ist in
H 1 ( D, Γ3 ) enthalten und stellt eine Lösung der Variationsgleichung (5.27) dar.
Die Bilinearform a ist offensichtlich symmetrisch. Sie ist zudem H 1 ( D ) stetig, was aus der Stetigkeit
Kapitel 5 Schwache Lösungen
86
der Spurabbildung folgt, siehe (5.20):
|a( u, v ) | ≤
≤
Z
D
Z
|∇u · ∇v | dx +
Z
D
|∇u|22 dx
Γ2
1/2 Z
D
|αuv | ds
|∇v |22 dx
1/2
≤ ||u||H 1 ( D ) ||v ||H 1 ( D ) + sup |α( x ) |
x∈Γ2
≤
•
+ sup |α( x ) |
x∈Γ2
Z
u2 ds
∂D
Z
u2 ds
Γ2
1/2 Z
v 2 ds
Γ2
v 2 ds
∂D
1 + sup |α( x ) | ||u||H 1 ( D ) ||v ||H 1 ( D ) .
1/2 Z
1/2
1/2
x∈Γ2
Die Bilinearform a ist unter der Bedingung
α( x ) ≥ 0
H 1 ( D, Γ3 ) elliptisch. Dies folgt so:
≥ 0
zZ }| {
Z
a( u, u )
=
D
(∗)
≥
αu2 ds
|∇u|22 dx +
c−2
2
Z
u2 dx +
D
für x ∈ Γ2
Z
=
Γ2
1
2
Z
D
|∇u|22 dx
D
|∇u|22 dx
1
2 max ( 1, c2 )
≥
(5.30)
=
1
2
+
1
2
Z
D
|∇u|22 dx
Z
|∇u|22 dx .
u2 dx +
D
D
|
{z
}
2
= ||u||H 1 ( D )
Z
Hierbei folgt die Abschätzung (∗) unmittelbar aus der Abschätzung (5.29), und die Konstante c hat auch
die gleiche Bedeutung wie in (5.29).
•
Die lineare Abbildung b ist H 1 ( D ) stetig, was wiederum aus der Stetigkeit (5.20) der Spurabbildung
folgt:
|b( v ) | ≤
Z
D
|f v | dx +
Z
Γ1
|g1 v | ds +
Z
Γ2
|g2 v | ds
≤ ||f ||L2 ( D ) ||v ||H 1 ( D ) + ||g1 ||L2 ( Γ1 ) ||v ||L2 ( Γ1 ) + ||g2 ||L2 ( Γ2 ) ||v ||L2 ( Γ2 )
≤ ||f ||L2 ( D ) + ||g1 ||L2 ( Γ1 ) + ||g2 ||L2 ( Γ2 ) ||v ||H 1 ( D ) .
Theorem 5.24 Unter der Bedingung (5.30) besitzt die Variationsgleichung (5.27) f ür jede Funktion f ∈
L2 ( D ) eine eindeutige Lösung. Diese nennt man schwache Lösung des Randwertproblems (5.25) mit g 3 ≡
0 für die Poisson Gleichung.
5.2 Andere elliptische Differenzialgleichungen
Auf einem beschränkten Lipschitz Gebiet D ⊂ R d wird nun noch kurz die Verallgemeinerung
Lu = f
auf D,
behandelt mit dem Differenzialoperator
( Lu )( x )
=
−div (K ( x )∇u( x ) ) + c( x ) · ∇u( x ) + r ( x )u( x )
Die Koeffizienten
K : D → Rd × d ,
c : D → Rd ,
r : D → R.
für x ∈ D.
(5.31)
Abschnitt 5.2 Andere elliptische Differenzialgleichungen
87
sind dabei als stetig angenommen. Für die Betrachtung der Randbedingungen sei wieder
∂D = Γ1 ∪ Γ2 ∪ Γ3
eine disjunkte Zerlegung des Randes von D, wobei Γ 3 ein positives Maß besitze. Wir betrachten dann die
Randbedingungen
(K∇u) · ν = g1
(K∇u) · ν + αu = g2
auf Γ1 ,
auf Γ2 ,
u = g3
auf Γ3
(5.32)
mit gegebenen stetigen und beschränkten Funktionen
g1 : Γ1 → R,
α, g2 : Γ2 → R,
g3 : Γ3 → R.
Beispiel 5.25 Gegeben sei das Randwertproblem
(−εu 0 + u) 0 = 0
auf ( 0, 1 ),
u( 0 ) = 0,
u( 1 ) = 1.
Dieses Randwertproblem besitzt die Lösung
1 − exp ( x/ε )
1 − exp ( 1/ε )
u( x ) =
für 0 ≤ x ≤ 1.
Für kleine Werte von ε, etwa 0 < ε ≤ 0.01, weist die Lösung ein starkes Grenzschichtverhalten auf.
M
Mit den allgemeinen Randbedingungen aus (5.25) lautet die Variationsgleichung im Fall g 3 = 0 folgendermaßen:
für v ∈ H 1 ( D, Γ3 )
a( u, v ) = b( v )
(5.33)
mit
a( u, v ) =
Z
b( v ) =
Z
D
(K∇u) · ∇v + (c · ∇u)v + ruv dx +
f v dx +
D
Z
Γ1
g1 v ds +
Z
Γ2
g2 v ds
Z
αuv ds
Γ2
für u, v ∈ H 1 ( D, Γ3 ),
für v ∈ H 1 ( D, Γ3 ).
Hierbei geht eine partielle Integration der Form
−
Z
div (K∇u)v dx
=
D
Z
D
(K∇u) · ∇v dx −
Z
∂D
v(K∇u) · ν ds
ein.
5.2.1 Stetigkeit der Bilinearform a
Für den Nachweis der Stetigkeit der Bilinearform a berechnet man
Z
|a( u, v ) | ≤
≤
Z
D
D
≤ C
|(K∇u) · ∇v | + |(c · ∇u)v | + |ruv | dx
Z
D
mit der Konstanten
C := max
x∈D
(K∇u) · ∇v + (c · ∇u)v + ruv dx
|∇u|2 |∇v |2 + |∇u|2 |v | + |u||v | dx
max ||K ( x ) ||2 , |c( x ) |2 , |r ( x ) |
Kapitel 5 Schwache Lösungen
88
wobei ||K ( x ) ||2 die Spektralnorm der Matrix K ( x ) bezeichnet. Eine Anwendung der Cauchy Schwarzschen Ungleichung in R2 und L2 ( D ) ergibt
Z
D
|∇u|2 |∇v |2 + |u||v | dx
Z
≤
D
|∇u|22 + u2 dx
Z
≤
1/2 Z
D
D
1/2 |∇u|22 + u2
1/2
|∇v |22 + v 2 dx
|∇v |22 + v 2
1/2
dx
||u||H 1 ( D ) ||v ||H 1 ( D ) .
=
Außerdem liefert die Cauchy Schwarzsche Ungleichung auf L 2 ( D ) noch
Z
D
Z
|∇u|2 |v | dx ≤
D
|∇u|22 dx
1/2 Z
≤ ||u||H 1 ( D ) ||v ||H 1 ( D ) .
v 2 dx
D
1/2
≤
||u||H 1 ( D ) ||v ||L2 ( D )
Insgesamt erhält man die H 1 ( D ) Stetigkeitkeit der Bilinearform a:
|a( u, v ) |
≤
für u, v ∈ H 1 ( D ).
2C||u||H 1 ( D ) ||v ||H 1 ( D )
5.2.2 H01 (D )– Elliptizit¨
at der Bilinearform a
Für den Nachweis der H01 ( D ) Elliptizität der Bilinearform a berechnet man unter Berücksichtigung der
Identität ∇( u2 ) = (∇u)u + u∇u = 2u∇u sowie unter Verwendung der ersten Greenschen Formel Folgendes:
Z
Z
Z
n Z
o
c · [∇( u2 ) ] dx = 21 − (div c)u2 dx +
(c · ∇u)u dx = 21
(c · ν )u2 ds .
D
D
D
Γ1 ∪Γ2
Damit erhält man
Z
a( u, u ) =
D
=
Z
D
(K∇u) · ∇u + (c · ∇u)u + ru2 dx +
(K∇u) · ∇u +
Z
r − 12 div c u2 dx +
Γ2
für u ∈ H 1 ( D, Γ3 ).
Z
αu2 ds
Γ2
α + 12 c · ν u2 ds +
1
2
Z
Γ1
( c · ν )u2 ds
Es werden nun die folgenden Annahmen getroffen.
•
Der Operator L ist gleichmäßig elliptisch, das heißt, für eine Konstante k 0 > 0 gilt
d
X
m,n=1
•
kmn ( x )ξm ξn ≥ k0 |ξ |2
für alle ξ ∈ Rd .
(5.34)
Es gilt
r − 21 div c ≥ 0
auf D,
c·ν ≥ 0
auf Γ1 ,
α + 21 c · ν ≥ 0
auf Γ2 .
Damit ist Folgendes nachgewiesen:
Theorem 5.26 Unter der Bedingung (5.34) besitzt f ür jede Funktion f ∈ L2 ( D ) die Variationsgleichung
(5.33) eine eindeutige Lösung. Diese nennt man schwache Lösung des Randwertproblems (5.25) mit g 3 ≡ 0
für die Differenzialgleichung Lu = f auf D, mit dem Differenzialoperator L aus (5.31).
Abschnitt 5.3 W¨armeleitungsgleichung
89
5.2.3 Inhomogene Dirichlet-Randbedingungen
Wir betrachten wieder das Randwertproblem (5.25) für die Differenzialgleichung Lu = f auf D mit dem
Differenzialoperator L aus (5.31), dieses Mal jedoch mit allgemeiner Funktion g 3 ∈ L2 ( Γ3 ). Dieses Randwertproblem lässt sich auf homogene Dirichlet-Randbedingungen zurückführen, falls eine Funktion mit
w ∈ H 1( D )
w = g3
mit
auf Γ3
(5.35)
existiert. Eine solche Funktion w muss allerdings nicht immer existieren, was daran liegt, dass das Bild des
Spuroperators eine echte Teilmenge von L 2 ( ∂D ) ist.
Wir setzen nun die Existenz einer Funktion w wie in (5.35) voraus. Es heißt dann naheliegenderweise
u = ũ + w mit
ũ ∈ H 1 ( D, Γ3 ),
für v ∈ H 1 ( D, Γ3 )
a( ũ, v ) = b( v ) − a( w, v )
eine schwache Lösung des vorliegenden Problems.
5.3 W¨
armeleitungsgleichung
Gegeben sei ein beschränktes Lipschitz Gebiet D ⊂ R d . Gegeben seien weiterhin Funktionen
f ( x, t ) ∈ R
für x ∈ D,
t ≥ 0,
u0 ( x ) ∈ R
für x ∈ D,
t ≥ 0,
und gesucht ist eine Funktion
u( x, t ) ∈ R
für x ∈ D,
t ≥ 0,
die das folgende Anfangsrandwertproblem löst:
∂u
+ Lu = f
∂t
auf D × (0, T ),
u( ·, t ) = 0
auf ∂D
u( ·, 0 ) = u0
auf D
(5.36)
für 0 < t ≤ T,
(5.37)
(5.38)
behandelt mit dem Differenzialoperator (siehe (5.31))
( Lv )( x )
=
−div (K ( x )∇v ( x ) ) + c( x ) · ∇v ( x ) + r ( x )v ( x )
für x ∈ D.
(5.39)
Die Koeffizienten
K : D → Rd × d ,
c : D → Rd ,
r : D → R,
sind dabei als zeitunabhängig und stetig angenommen. Der Differenzialoperator L wirkt also nur auf x.
Ausgeschrieben bedeutet die Differenzialgleichung (5.36)
∂u
( x, t ) + ( Lu )( x, t ) = f ( x, t )
∂t
für x ∈ D,
0 < t ≤ T,
wobei in der Notation ( Lu )( x, t ) für jeden Wert von t als Funktion von x aufzufassen ist, es stellt also t ein
Parameter dar.
5.3.1 Schwache Formulierung bzgl. x
Eine schwache Formulierung bzgl. x lautet
∂u
,v
∂t
L2 ( D )
+ a ( u ( t ), v ) = b ( v )
u( ·, 0 ) = u0
für v ∈ H01 ( D ),
auf D,
(5.40)
(5.41)
Kapitel 5 Schwache Lösungen
90
mit
a( u, v ) =
Z
D
b( v )
=
Z
(K∇u) · ∇v + (c · ∇u)v + r uv dx
für u, v ∈ H01 ( D ),
f v dx.
D
Wir nehmen an, dass die Bedingungen (5.34) erfüllt sind mit Γ 1 = ∅, Γ2 = ∅. Damit ist die Bilinearform a
H01 ( D ) elliptisch, das heißt,
≥
a( v, v )
θ||v ||2H 1 ( D )
für v ∈ H01 ( D )
mit einer Konstanten θ > 0. Für weitere Betrachtungen empfiehlt sich eine Operatornotation:
f : [ 0, T ] → L2 ( D ),
u : [ 0, T ] → L2 ( D ),
t 7→ f ( ·, t ),
Lu : [ 0, T ] → L2 ( D ),
t 7→ u( ·, t ),
t 7→ ( Lu )( ·, t ),
Es seien die folgenden Bedingungen erfüllt:
•
•
Es gilt u0 ∈ L2 ( D ).
(5.42)
Die Abbildung f : [0, T ] → L
2(
D)
ist stetig.
Theorem 5.27 Seien die Bedingungen (5.42) erf üllt, und es sei u : [0, T ] → L2 ( D ) eine Lösung von
(5.40) (5.41) mit u( t ) ∈ H01 ( D ) für t > 0. Dann gilt
||u( t ) ||L2 ( D )
≤
Z
||u0 ||L2 ( D ) e−θt +
0
t
||f ( s ) ||L2 ( D ) e−θ(t−s) ds
für 0 ≤ t ≤ T.
B EWEIS . Sei 0 ≤ t ≤ T fest gewählt. Die Variationsgleichung (5.40) angewandt mit v = u ( t ) liefert
u 0 ( t ) , u( t )
L2 ( D )
+ a( u( t ), u( t ))
=
h f ( t ) , u ( t ) i L2 ( D ) .
(5.43)
Wir schätzen nun beide Seiten der Identität (5.43) geeignet ab. Für die linke Seite der Identität (5.43) erhält
man
u 0 ( t ) , u( t )
L2 ( D )
+ a( u( t ), u( t ))
(∗)
≥
d
||u( t ) ||L2 ( D ) dt ||u( t ) ||L2 ( D ) + θ||u( t ) ||2H 1 ( D )
(∗∗)
≥
+ θ||u( t ) ||2L2 ( D ) .
.......
Die Abschätzung (∗) folgt aus der H01 ( D ) Elliptizität der Bilinearform a sowie der Identität
u 0 ( t ) , u( t )
L2 ( D )
=
1 d
||u( t ) ||2L2 ( D )
2 dt
=
d
||u( t ) ||L2 ( D ) dt ||u( t ) ||L2 ( D ) ,
und die Abschätzung (∗∗) folgt aus der elementaren Abschätzung
||u( t ) ||L2 ( D )
≤
||u( t ) ||H 1 ( D ) .
Die rechte Seite in (5.43) kann man mit der Cauchy Schwarzschen Ungleichung abschätzen,
h f ( t ) , u ( t ) i L2 ( D )
≤
||f ( t ) ||L2 ( D ) ||u( t ) ||L2 ( D ) .
Diese beiden Abschätzungen in (5.43) eingesetzt ergeben
d
||u( t ) ||L2 ( D ) dt ||u( t ) ||L2 ( D ) + θ||u( t ) ||H 1 ( D ) ||u( t ) ||L2 ( D )
≤
||f ( t ) ||L2 ( D ) ||u( t ) ||L2 ( D ) ,
Abschnitt 5.3 W¨armeleitungsgleichung
91
und eine anschließende Division durch die Zahl ||u ( t ) ||L2 ( D ) ergibt die Differenzialungleichung
d
||u( t ) ||L2 ( D )
dt
+ θ||u( t ) ||H 1 ( D )
≤
||f ( t ) ||L2 ( D )
Es werden nun beide Seiten mit dem Faktor e θt versehen:
d
eθt dt ||u( t ) ||L2 ( D ) + θeθt ||u( t ) ||H 1 ( D )
d
dt
=
Integration dieser Ungleichung von 0 bis t ergibt dann
eθt ||u( t ) ||L2 ( D ) − ||u( 0 ) ||L2 ( D )
≤
Eine Multiplikation beider Seiten mit dem Faktor e
Z
0
−θt
t
eθt ||u( t ) ||L2 ( D )
eθs ||f ( s ) ||L2 ( D ) ds
≤
eθt ||f ( t ) ||L2 ( D ) .
für 0 ≤ t ≤ T.
liefert die Aussage des Theorems.
Korollar 5.28 Seien die Bedingungen (5.42) erf üllt. Dann existiert höchstens eine Lösung u : [ 0, T ] →
L2 ( D ) von (5.40) (5.41) mit der Eigenschaft u ( t ) ∈ H01 ( D ) für t > 0.
B EWEIS . Seien u1 und u2 zwei solche Lösungen. Dann stellt die Differenz v = u 1 − u2 eine Lösung von
(5.40) (5.41) mit u0 ≡ 0 und f ≡ 0 dar. Aus Theorem 5.27 folgt dann v = u 1 − u2 ≡ 0 beziehungsweise
u1 ≡ u 2 .
Kapitel 6 Strömungsverhalten – Mathematische Modellierung
92
6 Strömungsverhalten von Fluiden – Mathematische
Modellierung
6.1 Einf ¨uhrende Bemerkungen zur mathematischen Modellierung
Erstes Thema dieses Kapitels ist die mathematische Modellierung des Strömungsverhaltens von Fluiden,
wobei diese Bezeichnung für Flüssigkeiten und Gase aller Art verwendet wird. Diese mathematische Modellierung ist beispielsweise für die Erstellung von Wetterprognosen oder das Flutungsverhalten nach Dammbrüchen von Bedeutung. Anschließend wird zur Lösung der entstehenden partielle Differenzialgleichungen
Anhand einer einfachen Situation ein numerisches Verfahren vorgestellt.
Es soll das Strömung eines Fluids in einem Bereich D ⊂ R d mit d ∈ { 1, 2, 3 } und in einem gewissen
Zeitintervall von der Form t = 0 bis t = T analysiert werden. Dabei ist es nicht erforderlich, den Weg eines
jeden Partikels durch den betrachteten Bereich zu verfolgen. Es genügt, den Strömungszustand an allen
Orten und Zeiten zu beschreiben. Bei der mathematischen Beschreibung dieser Strömungszustände sind die
folgenden Größen von Bedeutung:
~u( ~x, t ) ∈ R d
%( ~x, t ) ≥ 0
p( ~x, t ) ≥ 0
µ( ~x, t ) ≥ 0
Geschwindigkeitsvektor des Fluids im Punkt ~x ∈ D zur Zeit t,
Dichte des Fluids im Punkt ~x ∈ D zur Zeit t,
Fluiddruck im Punkt ~x ∈ D zur Zeit t,
dynamische Zähigkeit des Fluids im Punkt ~x ∈ D zur Zeit t.
Dabei werden im weiteren Verlauf kartesische Koordinaten verwendet, mit den folgenden Notationen für
die drei Situationen d = 1, d = 2 beziehungsweise d = 3:
für d = 3 : ~x = ( x, y, z ), ~u = ( u, v, w ),
für d = 2 : ~x = ( x, y ),
~u = ( u, v ),
für d = 1 : ~x = x,
~u = u.
Die Dimension der Geschwindigkeitskomponenten u, v und w ist jeweils Länge pro Zeiteinheit. Die Dichte
hat die Dimension Masse pro Volumen, und die dynamische Zähigkeit µ besitzt die Dimension (Länge) 2
pro Zeiteinheit. Einige spezifische Größen für die dynamische Zähigkeit sind in Tabelle 6.1 auf Seite 101
angegeben.
Vor der mathematischen Beschreibung des Verlaufs der Strömungen eines Fluids in dem betrachteten Bereich D ⊂ R d sollen einige grundlegende Begriffe erläutert werden:
Man unterscheidet zwischen kompressiblen und inkompressiblen Fluiden. Bei kompressiblen Fluiden
hängt die Dichte von äußeren Einflüssen ab und ist veränderlich, während inkompressible Fluide eine bestimmte unveränderliche Dichte besitzen. Die Wasserdichte beispielsweise ist nahezu konstant und beträgt
1000 kg pro m3 . Der prozentuale Dichteunterschied zwischen Meer- und Süßwasser beispielsweise beträgt
0.45%, und der prozentuale Dichteunterschied bei Wassertemperatur von 14 ◦ Celsius beziehungsweise 24◦
Celsius beträgt 0.21% (Zielke/Mayerle [17]). Die größte Dichte besitzt Wasser bei 4 ◦ Celsius. Auch Gase
•
Abschnitt 6.2 Die Navier-Stokes-Gleichungen
93
sind bei Geschwindigkeiten unter 100m pro Sekunde nahezu inkompressibel. Die Luftdichte beispielsweise
beträgt ungefähr 1.2 kg pro m3 .
Ein weitere bedeutende Eigenschaft von Fluiden ist ihre Z ähigkeit, die auch als Viskositiät bezeichnet
wird. Beispielsweise handelt es sich bei Honig, Sirup oder Motoröl um viskose Fluide. Ein Maß für die
Zähigkeit stellt die bereits genannte dynamische Zähigkeit µ dar. Ein weiteres Maß dafür ist die dimensionslose Reynoldszahl Re, die umgekehrt proportional zur dynamischen Zähigkeit ist. Große Werte der
dynamischen Zähigkeit µ beziehungsweise kleine Reynoldszahlen Re bedeuten eine hohe Viskosität, und
umgekehrt bedeuten kleine Werte der dynamischen Zähigkeit µ beziehungsweise große Reynoldszahlen Re
eine geringe Viskosität. Einige spezifische Größen für die dynamische Zähigkeit sind in Tabelle 6.1 auf Seite
101 angegeben.
•
Man unterscheidet zudem zwischen laminarer und turbolenter Strömung. Laminare Strömung bedeutet
schichtenweises Aneinandervorbeigleiten.
•
Die gesamte vorgestellte Theorie wird als Str ömungsmechanik bezeichnet. Die Strömungsmechanik
speziell der Flüssigkeiten wird als Hydrodynamik, die der Gase als Gasdynamik oder auch als Aerodynamik. Ein verwandtes Feld ist die Thermodynamik zur Beschreibung von orts- und zeitabhängigen
Wärmeverteilungsabläufen.
•
6.2 Die Navier-Stokes-Gleichungen
6.2.1 Die allgemeine Form der Navier-Stokes-Gleichungen
Der Strömungsverlauf eines Fluids in dem betrachteten Bereich D ⊂ R d beziehungsweise in einem Zeitintervall von t = 0 bis t = T lässt sich mathematisch mit den Navier-Stokes-Gleichungen beschreiben. Im
dreidimensionalen Fall d = 3 handelt es sich dabei um ein System von vier partiellen Differenzialgleichungen zweiter Ordnung für den Druck p sowie die Komponenten u, v und w des Geschwindigkeitsfelds ~u. Die
konkrete Form dieser Differenzialgleichungen ist folgendermaßen:
∂ ( %u )
∂ ( %v )
∂ ( %w ) ∂%
(~
(~
x, t )
x, t ) +
+
+
∂t
∂x
∂y
∂z
∂ ( %u )
∂ ( %u )
∂ ( %u )
∂ ( %u ) (~
(~
x, t ) + u
+ v
+ w
x, t )
∂t
∂x
∂y
∂z
∂ ( %v )
∂ ( %v )
∂ ( %v )
∂ ( %v ) (~
(~
x, t ) + u
+ v
+ w
x, t )
∂t
∂x
∂y
∂z
∂ ( %w )
∂ ( %w )
∂ ( %w )
∂ ( %w ) (~
(~
x, t ) + u
+ v
+ w
x, t )
∂t
∂x
∂y
∂z
jeweils für ~x ∈ D,
0 ≤ t ≤ T.
= 0,
(6.1)
= f1 ( ~x, t ) −
+µ
∂2 u
∂x
2
= f2 ( ~x, t ) −
+µ
∂2 v
∂x
2
= f3 ( ~x, t ) −
+µ
∂2 w
∂x2
∂p
(~
x, t ),
∂x
+
∂2 u
∂y 2
+
∂p
(~
x, t ),
∂y
+
∂2 v
∂y 2
+
∂p
(~
x, t ),
∂z
+
∂2 w
∂y 2
+
∂2 u (~
x, t )
∂z 2
∂2 v (~
x, t ),
∂z 2
∂2 w (~
x, t )
∂z 2
(6.2)
(6.3)
(6.4)
Die erste Gleichung (6.1) der Navier-Stokes-Gleichungen resultiert aus dem Prinzip der Massenerhaltung,
und die anderen Gleichungen (6.2) (6.4) der Navier-Stokes-Gleichungen folgen aus dem Prinzip der Impulserhaltung in Richtung der drei Koordinatenachsen. Herleitungen dieser Prinzipien werden in Abschnitten
Kapitel 6 Strömungsverhalten – Mathematische Modellierung
94
6.3 und 6.4 vorgestellt. Zuvor sollen beispielsweise noch die weiteren in den Navier-Stokes-Gleichungen
verwendeten Notationen erläutert werden: es bezeichnet die Zahl µ die dynamische Zähigkeit des betrachteten Fluids, und
f~( ~x, t ) ∈ R 3
für ~x ∈ D,
0 ≤ t ≤ T,
mit
f~ = ( f1 , f2 , f3 )
bezeichnet die im Ort ~x zur Zeit 0 ≤ t ≤ T wirkenden äußeren Kräfte. Beispielsweise kann sich f~ aus
der nach unten wirkenden Schwerkraft und der bestehenden Rotationskraft zusammensetzen, wobei letztere
auch als Coriolis Kraft bezeichnet wird. In dieser Situation hat f~ die folgende Form:




v sin θ − w cos θ
0








f~( ~x, t ) = %( ~x, t )  0  + 2ω%( ~x, t ) 
,
−u sin θ




u cos θ
−g
wobei g = 9.81m/s2 die Schwerebeschleunigung bezeichnet, und ω = 72.9 · 10 −6 ist die Winkelgeschwindigkeit der Erde im Bogenmaß pro Sekunde, und θ ∈ [−π , π ] bezeichnet den lokalen Breitengrad.
6.2.2 Navier-Stokes-Gleichungen in koordinatenfreier Schreibweise
Eine übliche koordinatenfreie Schreibweise für die Navier-Stokes-Gleichungen (6.1) (6.4) ist
∂%
+ ∇ · ( %~u )
∂t
∂ ( %~u )
+ ( ~u · ∇ )( %~u )
∂t
= 0,
(6.5)
= f~ − ∇p + µ∆~u
(6.6)
mit den vier folgenden Abkürzungen:
•
∇· ( %~u ) für das skalare Produkt des Nabla Operators mit dem Ausdruck Dichte
%~u,
∇ · ( %~u )
•
=
•
Geschwindigkeitsfeld
∂ ( %u )
∂ ( %v )
∂ ( %w )
+
+
,
∂x
∂y
∂z
~u · ∇ für das skalare Produkt des Geschwindigkeitsfelds ~u mit dem Nabla Operator,
~u · ∇
•
×
∇p für den Gradienten des Drucks p,
=
u
∂
∂
∂
+ v
+ w ,
∂x
∂y
∂z
∇p = (
∂p ∂p ∂p >
,
,
) ,
∂x ∂y ∂z
∆~u für den Laplace Operator für das Geschwindigkeitsfeld ~u,
 2
∆~u
=
∂ 2 ~u
∂x2
+
∂ 2 ~u
∂y 2
+
∂ 2 ~u
∂z 2
=





∂ u
∂x2
∂2 v
∂x2
∂2 w
∂x2
+
+
+
∂2 u
∂y 2
∂2 v
∂y 2
∂2 w
∂y 2
+
+
+
∂2 u
∂z 2
∂2 v
∂z 2
∂2 w
∂z 2



.


6.2.3 Anfangs- und Randstr¨
omung
Zur vollständigen Beschreibung der Fluidströmung sind noch Anfangs- und Randbedingungen für das Geschwindigkeitsfeld der Strömung erforderlich. Anfangsbedingungen sind von der Form
~u( ~x, 0 ) = ~u0 ( ~x )
für ~x ∈ D,
Abschnitt 6.2 Die Navier-Stokes-Gleichungen
95
wobei diese noch die erste Gleichung (6.1) der Navier-Stokes-Gleichungen erfüllen sollen.
Bei räumlichen Bereichen D müssen für jeden Randpunkt
~x ∈ Γ := ∂D
für alle betrachteten Zeiten t ∈ [0, T ] drei skalare Randbedingungen vorgegeben werden. Einige typische
Randbedingungen sollen im Folgenden vorgestellt werden. Vorbereitend sei hierfür die senkrecht zur Oberfläche, nach außen gerichtete Komponente des Geschwindigkeitsfelds der Strömung mit
ϕn ( ~x, t )
bezeichnet. Weiter seien die Komponenten des Geschwindigkeitsfelds der Strömung in Richtung zweier
tangential zur Oberfläche stehenden Richtungen mit
ϕt1 ( ~x, t ),
ϕt2 ( ~x, t )
bezeichnet. Die Funktionen hängen von der speziellen Wahl der Tangenten ab. Im Folgenden werden typische Randbedingungen beschrieben.
(i) (Vorgegebenes Geschwindigkeitsfeld der Str ömung) Die Geschwindigkeitsfeld der Strömung ist
vorgegeben,
~u( ~x, t ) = ~u1 ( ~x, t )
für t ∈ [0, T ],
(6.7)
mit gegebenen Vektor ~u1 ( ~x, t ) ∈ R 3 . Falls der Vektor ~u( ~x, t ) zur Zeit t in das Innere des Bereichs D
gerichtet ist, was gleichbedeutend mit der Vorzeichenbedingung ϕ n ( ~x, t ) < 0 ist, so liegt eine Einströmung
vor. Ist dagegen der Vektor ~u( ~x, t ) in das Äußere des Bereichs D gerichtet, was gleichbedeutend mit der
Vorzeichenbedingung ϕn ( ~x, t ) > 0 ist, so handelt es sich um Ausströmung.
Ein Spezialfall von (6.7) stellt die Bedingung
~u( ~x, t ) = 0
für t ∈ [0, T ]
dar. In dieser Situation befindet sich das Fluid im betrachteten Randpunkt ~x in Ruhe, man spricht dann von
einer Haftbedingung.
(ii) (Strömung entlang der Oberfläche) Es findet keine Ein- und auch keine Ausströmung statt, und die
beiden Komponenten der Geschwindigkeitsfeld der Strömung tangential zur Oberfläche sind vorgegeben:
ϕn ( ~x, t ) = 0,
ϕt1 ( ~x, t ) = ϕ0t1 ,
ϕt2 ( ~x, t ) = ϕ0t2 .
Anstelle der beiden tangential zur Oberfläche wirkenden Komponenten der Geschwindigkeitsfeld der Strömung
lassen sich auch deren Änderungen in Normalenrichtung vorgeben:
ϕn ( ~x, t ) = 0,
∂ ϕ t1
(~
x, t ) = ϕ1t1 ,
∂~n
∂ ϕ t2
(~
x, t ) = ϕ1t2 .
∂~n
Der spezielle Fall ϕ1t1 = ϕ1t2 = 0 bedeutet fehlende Reibung, man spricht dann von Rutschbedingungen.
Auf Seite 99 werden Randbedingungen für ebene Bereiche D ⊂ R 2 angegeben.
Kapitel 6 Strömungsverhalten – Mathematische Modellierung
96
6.2.4 Spezialf¨
alle der Navier-Stokes-Gleichungen
Es sollen nun einige Spezialfälle für Strömungen vorgestellt werden, die jeweils zu Vereinfachung der
Navier-Stokes-Gleichungen führen:
•
∂%
= 0.
∂t
Für inkompressible Fluide ist die Dichte % unabhängig von Ort und Zeit. Insbesondere gilt daher
Der in den Navier-Stokes-Gleichungen (6.1) (6.4) allgemeine Fall der Zeitabhängigkeit der betrachteten
Zustandsgrößen Geschwindigkeitfeld, Druck und Dichte bezeichnet man als instation äre Strömung. Sind
dagegen alle auftretenden Größen zeitunabhängig, so spricht man von station ärer Strömungen. Insbesondere fallen in den Navier-Stokes-Gleichungen (6.1) (6.4) die Terme mit Zeitableitungen weg.
•
Bei nicht-viskosen Fluiden ist µ = 0, und dann verschwinden in den letzten drei der Navier-StokesGleichungen die Terme mit ∆u, ∆v und ∆w. Die entstehenden partiellen Differenzialgleichungen erster
Ordnung bezeichnet man als Eulersche Differenzialgleichungen.
•
6.3 Das Prinzip der Massenerhaltung
Die Navier-Stokes-Gleichungen stellen eine Sammlung von Erhaltungsprinzipien dar, der Massenerhaltung sowie der Impulserhaltung bezüglich der drei Koordinatenachsen. In diesem und dem nachfolgenden
Abschnitt sollen diese Erhaltungsprinzipien erläutert werden.
Die erste der vier Navier-Stokes-Gleichungen, dies ist
∂ ( %u )
∂ ( %v )
∂ ( %w )
∂%
(~
x, t ) + [
+
+
]( ~x, t ) = 0
∂t
∂x
∂y
∂z
für ~x ∈ D,
0 ≤ t ≤ T,
(6.8)
wird als Kontinuitätsgleichung bezeichnet und beruht auf dem Prinzip der Massenerhaltung. Dieses Prinzip
wird im weiteren Verlauf für ein durch einen Bereich D ⊂ R 3 strömendes Fluid hergeleitet.
.
Hierzu wird im Zeitintervall von t = t ∗ bis t = t∗ + ............... t ein kleines Teilvolumen aus D in Form eines
kleinen Parallelotops betrachtet, welches parallel zu den Koordinatenachsen verlaufenden Kanten der je.
.
.
weiligen Länge ............... x, ............... y und ............... z besitzt. Der Punkt ~x∗ = ( x∗ , y∗ , z∗ ) sei eine der Ecken des Parallelotops.
Die vorliegende Situation ist in Abbildung 6.1 dargestellt.
Zur Vereinfachung der nachfolgenden Betrachtungen sei noch angenommen, dass alle auftretenden Geschwindigkeiten und deren betrachteten Ortsableitungen positiv sind.
.
Als erstes soll diejenige Masse berechnet werden, die im Zeitintervall von t = t ∗ bis t = t∗ + ............. t durch
diejenige Fläche einströmt, die den Punkt ~x ∗ als einen Eckpunkt besitzt und die auf einer Seite durch die
y-Achse und auf einer anderen Seite durch die z-Achse begrenzt ist. In Abbildung 6.1 handelt es sich dabei
um die rechtsseitige Begrenzungsfläche des Parallelotops.
Diese einströmende Masse beträgt
Z
...
t∗ + ............ t
t∗
Z
...
z∗ + ............ z
z∗
Z
...
y∗ + ............ y
( %u )( x, t ) dy dz dt
=
y∗
.
.
.
( %u )( ~
x∗ , t∗ ) .............. y ............. z ............. t
+ h.o.t.
(6.9)
Hier ist h.o.t. eine Abkürzung für higher order terms. Speziell gilt hier h.o.t. = O( ................ y ............... z .............. t)2 .
.
.
.
.
Ähnlich berechnet man diejenige Masse, die im Zeitintervall von t = t ∗ bis t = t∗ + .............. t durch diejenige
.
Fläche ausströmt, die durch den Punkt ~x ∗ + ( ............... x, 0, 0 ) läuft und die parallel zu der eben betrachteten Fläche
ist. Die durch diese Fläche ausströmende Masse beträgt
( %u )(x∗
=
.
.
.
.
+ ............... x, y∗ , z∗ , t∗ ) .............. y .............. z .............. t + h.o.t.
[ ( %u )( ~x∗ , t∗ ) +
∂ ( %u )
.
.
.
.
(~
x∗ , t∗ ).............. x] .............. y ............. z ............. t + h.o.t.
∂x
(6.10)
Abschnitt 6.4 Das Prinzip der Impulserhaltung
z...
97
...
.........
....
...
...
...
...
...
...
....
..
...
...
....
..............
.............
..
...
∂(%u)
....
..
∗ ∗
∗ ∗
∂x
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
∗
...
...
.......
........
...
...... .
.
.
.
...
.
.
.
......
...
......
...
......
......
...
......
.
.
.
...
.
.
.....
...
......
... ...........
............
................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp pp
pp p p p p p
p p p p p ppp
pp p p p p pp
p
p
p
pp
p
p p pp p p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
pp
pp
ppp
pp p ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp p p p pp
pp
p
pp
pp
ppp
ppp
ppp∆z
pp
pp
pp pppppp
pp
pp
pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
pppppppppppppppppppppppppppppppppppppp ppppppppppppppp pp
p
p
pp
pp
pp
p
(%u)(~x , t )∆y∆z∆t
xpppp , t ) +
(~x∗ , t∗ )∆x)∆y∆z∆t
ppp
ppp ((%u)(~
pp
pp
pp
pp
p
p
ppp
p p p pppp ppppp ppppp ppppp pp pppp ppppp ppppp pppppppp p p ppppppp
p pp
pp
pp
p
p
ppp pp
p
ppp pp p p p p p
ppp pp p p p p pp p ∆y
ppp p ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp ppp pp p p
y
~x
∆x
x
Abbildung 6.1: Veranschaulichung zur Kontinuitätsgleichung. Es ist (%u)(~x ∗ , t∗ )∆y∆z∆t + h.o.t. diejenige Fluidmasse, die durch die linke Fläche in der Zeit von t = t ∗ bis t = t∗ + ∆t ein das
Kontrollvolumen einströmt. Auf der gegenüberliegenden Seite strömt im gleichen Zeitraum die Menge
((%u)(~x∗ , t∗ ) + ∂(%u)
(~x∗ , t∗ )∆x)∆y∆z∆t + h.o.t. aus.
∂x
Subtraktion der betrachteten einströmenden Menge (rechten Seite in (6.9)) von der betrachteten ausströmenden Menge (rechte Seite in (6.10)) führt auf
∂ ( %u )
(~
x∗ , t∗ ).............. x .............. y .............. z .............. t + h.o.t.,
∂x
(6.11)
was gerade die Massenabnahme durch die ein- und ausströmende Menge durch die beiden betrachteten
Flächen bedeutet.
Ähnlich verfährt man mit den anderen Flächen und erhält so die Massenabnahme im Zeitintervall von t = t ∗
bis t = t∗ + .............. t in dem betrachteten Parallelotop:
[
∂ ( %v )
∂ ( %w )
∂ ( %u )
+
+
]( ~x∗ , t∗ )............... x .............. y ................ z ............... t + h.o.t.
∂x
∂y
∂z
(6.12)
Die Gesamtabnahme der Massen in dem Parallelotop in der Zeit zu den genannten Zeiten beträgt aber auch
.
.
.
.
[%( ~x∗ , t ) − %( ~x∗ , t + .............. t ) ] ............. x ............. y ............. z + h.o.t.
(6.13)
.
.
.
.
Gleichsetzen der Terme in (6.12) und (6.13) sowie eine Division durch ............... x ............... y .............. z ............... t liefert die Kontinuitätsgleichung versehen mit einem Fehlerterm h.o.t. Dieser wird eliminiert durch einen abschließenden
.
.
.
.
Grenzübergang .............. x + .............. y + .............. z + .............. t → 0 und führt auf die Kontinuitätsgleichung (6.8).
6.4 Das Prinzip der Impulserhaltung
Im weiteren Verlauf wird das zweite Newtonsche Gesetz herangezogen. Bei inkompressible Fluiden lautet
dies “Masse × Beschleunigung = wirkenden Kräfte“, andernfalls “ Änderung von (Masse × Geschwindkeit) pro Zeiteinheit = wirkenden Kräfte“ Dieses angewandt in Bezug auf die x-Richtung, y-Richtung sowie
die z-Richtung liefert gerade die die Gleichungen (6.2) (6.4) in den Navier-Stokes-Gleichungen. Dabei korrespondieren die linken Seiten jeweils zur Masse × Beschleunigung und die jeweiligen rechten Seiten die
Kapitel 6 Strömungsverhalten – Mathematische Modellierung
98
in die jeweiligen Richtungen wirkenden Kräfte widerspiegeln. Häufig werden auch nur die drei Gleichungen
(6.2) (6.4) als Navier-Stokes-Gleichungen bezeichnet.
Im Folgenden soll die zeit , orts und richtungsabhängige Beschleunigung des Fluids als Funktion des
Geschwindigkeitsfelds ~u dargestellt werden. Hierzu bezeichne
Ψ( t ) = (x( t ), y ( t ), z ( t ) )
die Bahn desjenigen Fluidspartikels, das sich zu einer bestimmten Zeit t ∗ in einem ausgewählten Punkt
~x∗ = ( x∗ , y∗ , z∗ ) ∈ D befindet. Es gilt also insbesondere
Ψ( t∗ ) = ~x∗ .
Die Geschwindigkeitsvektor des Fluids in dem Punkt ~x ∗ zur Zeit t∗ beträgt
Ψ( t + ∆t ) − Ψ( t )
d
∗
∗
(u, v, w ) ( ~x∗ , t∗ ) = lim
= dt Ψ(t)|t=t∗ = ( ẋ( t∗ ), ẏ ( t∗ ), ż ( t∗ ) ). (6.14)
∆t
∆t→0
| {z }
= ~u
Dazu wird noch die Bewegung ein kleines Kontrollvolumens aus D in Form eines kleinen Parallelotops mit
.
.
.
den Kantenlängen ............... x, ............... y und ............... z herangezogen und dessen Bewegung im Zeitintervall von t = t ∗ bis t =
t∗ + ............. betrachtet. Zur Zeit t = t∗ befinde sich eine der Ecken des Parallelotops im Punkt ~x ∗ = ( x∗ , y∗ , z∗ )
sei eine der Ecken des Parallelotops. Die vorliegende Situation ist in Abbildung 6.2 dargestellt.
Ψ(pppptpp pp)ppppppppppppp pppp ppppppp
p p p pp pp pp pp
p p ppp pppp
p
p
p
p
p
pppp p pp
z......
pp pp p pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp
p p p pp p ppp
pp
p
p
p
p
ppp p
p
p
ppp
ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp p p pp
p
ppp
ppp
ppp
p
pp
pp
pp
p
ppp
ppp
pp
pp
ppp
pppppp ppppp ppppp ppp ppppp ppppp ppppp pppp
ppp
ppp
p pp
p p p pp
pp pp p p p p
pp p p pp pp p pp p p
ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp p
........
....
...
..
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..............
∗
...
...... .
......
...
......
.
.
.
...
.
.
....
.
.
.
...
.
.
.
......
...
......
...
......
......
...
......
.
.
.
...
.
.
∗
∗
.
......
...
......
...
......
......
...
......
.
.
.
...
.
.
....
...
......
... ............
...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
..
y
Ψ( t ) = ~x
pp pp pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp pppp
p p pp p p ppp
p
pp ppp
p
p
p
p
ppp
pp p p pp p
pp
pppp ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp
ppp
∆z
p
pp
ppp
ppp
pp
ppp
ppp
ppp
pp
ppp
ppp pppppp ppppp ppppp pppp ppppp ppppp pppppppp pp
ppp
pp pp p pp p p pp
pp p p p p p
p pp ∆y
p p pp
pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp p pp p p
Ψ( t + ∆t )
∆x
x
Abbildung 6.2: Darstellung der Bewegung eines kleinen Kontrollvolumens. Zur Zeit t ∗ besitzt es in x–
Richtung den Impuls (%u)(x∗ , t∗ ). Der entsprechende Wert zum Zeitpunkt t ∗ + ∆t ist in (6.15) angegeben.
Der Impuls des betrachteten Kontrollvolumens, also deren Beschleunigung multipliziert mit deren Masse
hat in dem Punkt ~x∗ zur Zeit t∗ in x-Richtung folgenden Wert:
.
.
h
i
... .... ....
d
( %u )( Ψ( t∗ + ............... t ), t∗ + ............... t ) − ( %u )( ~x∗ , t∗ ) ...... ...... ......
..
..
..
( %u )(Ψ( t ), t)
...
......... x......... y ......... z
lim
......... x........ y ........ z
=
.
.
.
t=t
......... t
dt
......
∗
.
....... t→0
h ( )
i
∂ %u
∂ ( %u )
∂ ( %u )
∂ ( %u )
.
.
.
(~
(~
(~
(~
=
x∗ , t∗ ) + ẋ( t∗ )
x∗ , t∗ ) + ẏ ( t∗ )
x∗ , t∗ ) + ż ( t∗ )
x∗ , t∗ ) .............. x............... y ............... z
∂t
∂x
∂y
∂z
i
h ( )
∂ ( %u )
∂ ( %u )
∂ ( %u )
∂ %u
.
.
.
(~
x∗ , t ) + [u
+ v
+ w
]( ~x∗ , t ) .............. x.............. y ............... z,
(6.15)
=
∂t
∂x
∂y
∂z
wobei die Kettenregel und die Identität (6.14) verwendet wurden.
Abschnitt 6.5 Inkompressible ebene Strömungen
99
6.5 Inkompressible ebene Str¨
omungen
6.5.1 Die Navier-Stokes-Gleichungen f ¨ur ebene Stro¨mungen
Der Strömungsverlaufs eines inkompressiblen Newtonschen Fluids in einem ebenen D ⊂ R 2 in einem Zeitintervall von t = 0 bis t = T wird durch die inkompressible 2D-Navier-Stokes-Gleichungen beschrieben.
Diese ergibt sich aus den räumlichen Navier-Stokes-Gleichungen durch Streichung der Impulserhaltungsgleichung (6.4) für die vertikale Strömungsgeschwindigkeitskompomente w, und in den verbleibenden drei
Gleichungen, also der Kontinuitätsgleichung sowie den Impulserhaltungsgleichungen (6.3) (6.4) sind alle
Summanden zu streichen, in denen die vertikalen Komponente w der Geschwindigkeitsfeld der Strömung
auftritt. Daraus erhält man ein System von drei partiellen Differenzialgleichungen zweiter Ordnung für den
Druck p sowie die Komponenten u und v des Geschwindigkeitsfelds ~u. Die konkrete Form dieser Differenzialgleichungen lautet folgendermaßen:
[
∂u
∂v
+
]( x, y, t )
∂x
∂y
= 0,
(6.16)
%∗ [
∂u
∂u
∂u
+ u
+ v ]( x, y, t )
∂t
∂x
∂y
= f1 ( x, y, t ) −
∂p
∂2 u
∂2 u
( x, y, t ) + µ[ 2 +
]( x, y, t ),
∂x
∂y 2
∂x
(6.17)
%∗ [
∂v
∂v
∂v
+ u
+ v ]( x, y, t )
∂t
∂x
∂y
= f2 ( x, y, t ) −
∂p
∂2 v
∂2 v
( x, y, t ), + µ[ 2 +
]( x, y, t ),
∂x
∂y 2
∂y
(6.18)
jeweils für ~x ∈ D,
0 ≤ t ≤ T.
Anfangsbedingungen sind von der Form
für ~x ∈ D,
~u( ~x, 0 ) = ~u0 ( ~x )
(6.19)
wobei diese noch die Gleichung (6.16) erfüllen sollen. Zudem sind für jeden Randpunkt und betrachteten
Zeiten Randbedingungen vorzugeben.
Beispiel 6.1 Im Fall eines Bereichs D von rechteckiger Gestalt mit achsenparallelen Kanten, erhält man am
linken Rand
∂u
∂ ϕt
∂v
∂ ϕn
= − ,
= − ,
ϕn = −u,
ϕt = v,
∂~n
∂x
∂~n
∂x
und am rechten Rand ergibt sich
ϕn = u,
ϕt = v,
∂ ϕn
∂~n
=
∂u
,
∂x
∂ ϕt
∂~n
= −
∂v
.
∂x
Weiter gilt am oberen Rand
ϕn = v,
ϕt = u,
∂ ϕn
∂~n
=
∂v
,
∂y
∂ ϕt
∂~n
=
∂u
.
∂y
und am unteren Rand ergibt sich schließlich
ϕn = −v,
ϕt = u,
Die Situation ist in Abbildung 6.3 veranschaulicht.
∂ ϕn
∂~n
= −
∂v
,
∂y
∂ ϕt
∂~n
= −
∂u
.
∂y
M
6.5.2 Auskopplung des Drucks
Mittels der ebenen Kontinuitätsgleichung (6.16) lässt sich für eine fixierte Zeit t aus der Kenntnis des Geschwindigkeitsfelds ~u( ·, t ) : D → R 2 der Druck p( ·, t ) : D → R ermitteln, wie sich herausstellen wird. Zu
Kapitel 6 Strömungsverhalten – Mathematische Modellierung
100
∂ ϕn
∂~n
y
d
∂v
∂ ϕt
∂~n
=
,
∂y
ϕn = v,
....
........
...
...
...
....
..
..
ϕn = −u
ϕt = v
∂u
∂ ϕn
= −
∂~n
∂x
∂ ϕt
∂v
=
∂~n
∂x
c
ϕt
∂u
=
∂y
= u
....................................................................................................................................................................
.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....
... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...
... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....
... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...
... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...
... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....
... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...
... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...
... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....
... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...
... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...
... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....
... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...
... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...
... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....
... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...
... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...
... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....
... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...
... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...
....................................................................................................................................................................
ϕn = u
ϕt = v
∂u
∂ ϕn
=
∂~n
∂x
∂ ϕt
∂v
= −
∂~n
∂x
D
∂ ϕn
∂~n
ϕn = −v
∂v
= − ,
∂y
ϕt = u
∂ ϕt
∂~n
= −
∂u
∂y
.................................................................
a
b
x
Abbildung 6.3: Darstellung der Zusammenhänge zwischen den Größen ϕ n und ϕt einerseits und dem
Geschwindigkeitsfeld der Strömung andererseits, für einen Bereich von der Form D = [a, b] × [c, d].
diesem Zweck schreibt man die Impulserhaltungsgleichung (6.17) (6.18) in der Form
∂u
( x, y, t )
∂t
∂v
%∗ ( x, y, t )
∂t
%∗
∂p
( x, y, t )
∂x
∂p
= G( x, y, t ) − ( x, y, t )
∂y
= F ( x, y, t ) −
(6.20)
für ( x, y ) ∈ D
(6.21)
mit den Notationen
F ( x, y, t ) = −%∗ [u
∂u
∂u
∂2 u
∂2 u
+ v ]( x, y, t ) + f1 ( x, y, t ) + µ[ 2 +
]( x, y, t ),
∂x
∂y 2
∂x
∂y
(6.22)
G( x, y, t ) = −%∗ [u
∂v
∂v
∂2 v
∂2 v
+ v ]( x, y, t ) + f2 ( x, y, t ) + µ[ 2 +
]( x, y, t ).
∂x
∂y 2
∂x
∂y
(6.23)
Partielle Differentiation der Gleichung (6.20) nach der Variablen x und der Gleichung (6.21) nach der Variablen y sowie eine anschließende Addition der beiden Resultate liefert zusammen mit der nach der Zeit t
∂2 u
∂2 v
abgeleiteten 2D-Kontinuitätsgleichung (6.16) ∂x ∂t + ∂y ∂t = 0 Folgendes,
[
∂2 p
∂x2
+
∂2 p
]( x, y, t )
∂y 2
= [
∂F
∂G
+
]( x, y, t )
∂x
∂y
für ( x, y ) ∈ D.
(6.24)
Diese Gleichung stellt eine Poisson Gleichung für den Druck p zur Zeit t dar. Für eine eindeutige Lösung
werden noch Randdaten für den Druck benötigt. Diese ergeben sich in Form von Neumann-Randdaten
unmittelbar aus den Gleichungen (6.20) und (6.21),

∂p
∂p
∂p

( x, y, t ) = [
n1 +
n2 ]( x, y, t )


∂~n
∂x
∂y

∂v
∂u
(6.25)
(
)
(
)
n ] x, y, t
= [F n1 + Gn2 ] x, y, t − %∗ [ n1 +

∂t
∂t 2



für ( x, y ) ∈ D.
für ( x, y ) ∈ Γ = ∂D.
Abschnitt 6.6 Reynoldszahl
101
Hierbei bezeichnet ~n = ( n1 , n2 ) den äußeren Normalenvektor im Randpunkt ( x, y ).
Die in (6.25) benötigten Zeitableitungen für das Geschwindigkeitsfeld ~u der Strömung auf dem Rand des
Bereichs D muss man sich aus gegebenen Randdaten für ~u verschaffen. Beispielsweise verschwinden im
Falle von Haftbedingungen in einem Punkt x, y ∈ Γ dort die Zeitableitungen des Geschwindigkeitsfelds ~u
der Strömung,
∂v
∂u
( x, y, t ) =
( x, y, t ) = 0 für t ∈ [0, T ].
∂t
∂t
6.6 Reynoldszahl
Im Folgenden wird wieder ein inkompressibles Fluid in einem Bereich D ⊂ R d betrachtet. Die Zahl
Re :=
%∗ u ∗ L
µ
wird als Reynoldszahl bezeichnet. Hierbei werden die folgenden Notationen verwendet:
•
L korrespondiert zur Größe des betrachteten Bereichs D ⊂ R d . Im eindimensionalen Fall d = 1 kann
dies beispielsweise die Länge des Bereichs D sein. Im zweidimensionalen Fall d = 2 kann L beispielsweise die Fläche von D sein, und im dreidimensionalen Fall d = 3 kann es sich dabei um das Volumen
von D handeln.
•
Die Zahl u∗ bezeichnet eine Grundgeschwindigkeitd des betrachteten Fluids.
•
Es ist %∗ ist die Dichte des inkompressiblen Fluids, und µ ist die als konstant angenommene dynamische
Zähigkeit.
Die Reynoldszahl ist eine dimensionslose Größe.
6.7 Einige Erg¨
anzungen
6.7.1 Einige Werte f ¨ur die kinematische Za¨higkeit µ
In der folgenden Tabelle sind einige gängige Werte der dynamische Zähigkeit µ aufgeführt. Weitere Werte
sind beispielsweise in Prandtl / Oswatitsch /Wieghardt [15] angegeben.
Wasser
bei 0◦ C
µ = 0.018 cm2 /s
Wasser
bei 100◦ C
µ = 0.03 cm2 /s
Quecksilber
bei 0◦ C
µ = 0.00125 cm2 /s
Glyzerin
bei 20◦ C
µ = 6.8 cm2 /s
Luft
bei 0◦ C und 0.01 bar
µ = 13.3 cm2 /s
Luft
bei 0◦ C und 1 bar
µ = 0.133 cm2 /s
Luft
bei 0◦ C und 100 bar
µ = 0.001133 cm2 /s
Tabelle 6.1 Einige Werte für die kinematische Zähigkeit µ
6.7.2 Nicht-Newtonsche Fluide
Die vorgestellte mathematische Modellierung mit den sich ergebenden Navier-Stokes-Gleichungen gilt für
Newtonsche Fluide, bei der die Reibungsspannungen lediglich vom aktuellen Bewegungszustand abhängen.
102
Kapitel 6 Strömungsverhalten – Mathematische Modellierung
Neben diesen bereits betrachteten Fluiden existieren noch Nicht-Newtonsche Fluide, das sind Fluide mit
Gedächtnis wie flüssiger Teer, Magma oder Blut. . .
Literaturverzeichnis
103
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Flüssen, Seen und Küstengewässern, Bonn, 1999. Deutscher Verband für Wasserwirtschaft und Kulturbau.