64.2 Komplexe Nullstellen des charakteris

156
© R. Plato
Teil VI Gewöhnliche Differenzialgleichungen
(64.2) lassen sich durch Verwendung von Real- und
Imaginärteil dann jedoch leicht reellwertige Lösungen
gewinnen, wie sich zeigen wird.
M
Wir untersuchen nun, unter welchen Bedingungen an
2 C der Exponentialansatz (64.2) eine Lösung der homogenen Differenzialgleichung (64.1) liefert. Wiederholte Differenziation der Funktion y.x/ D e x liefert
y .s/ .x/ D s e x ;
x2R
.s D 0; 1; : : : ; n/;
und dies eingesetzt in die Differenzialgleichung (64.1)
ergibt
an y .n/ C an
1y
.n 1/
C C a0 y
D an n e x C an
1
D . an n C an 1 n
D p./e x ;
n 1 x
e
1
C C a0 e x
C C a0 / e x
x 2 R;
(64.4)
mit
p./ D an n C an 1 n
1
C C a0 ;
2 C:
(64.5)
Definition 64.2. Das durch (64.5) gegebene Polynom
p nennt man das charakteristische Polynom der homogenen linearen Differenzialgleichung n-ter Ordnung
(64.1).
Wegen e x ¤ 0 erhält man aus den Rechnungen in
(64.4) unmittelbar das folgende Resultat:
Satz 64.3. Für die Funktion y.x/ D e
gende Äquivalenz:
an y .n/ C an 1 y .n
1/
x
; x 2 R; gilt fol-
C C a0 y D 0;
x 2 R;
” p./ D 0:
Dabei bezeichnet p das charakteristische Polynom
(64.5).
Jede Nullstelle 2 C des charakteristischen Polynoms
p aus (64.5) liefert also eine Lösung y.x/ D e x der
homogenen Differenzialgleichung (64.1). Im Fall einer
mehrfachen Nullstelle erhält man mit einem erweiterten Exponentialansatz weitere Lösungen. Es gilt das folgende Resultat, das ohne Beweis angegeben wird:
Satz 64.4. Für eine r -fache Nullstelle 2 C des charakteristischen Polynoms p aus (64.5) (mit r 1) sind die r
Funktionen y0 ; y1 ; : : : ; yr 1 definiert durch
Die so gewonnenen Lösungen liefern ein Fundamentalsystem:
Satz 64.5. Seien 1 ; 2 ; : : : ; m 2 C die verschiedenen Nullstellen des charakteristischen Polynoms p aus
(64.5), und r1 ; r2 ; : : : ; rm 2 N seien die jeweiligen Vielfachheiten dieser Nullstellen. Dann bilden die n Funktionen
ys;j .x/ D x s e j x ; x 2 R;
s D 0; 1; : : : ; rj 1;
j D 1; 2; : : : ; m;
ein Fundamentalsystem der homogenen linearen Differenzialgleichung n-ter Ordnung (64.1).
Beweis. Wird hier nicht geführt.
Man beachte hierbei die Identität r1 C r2 C C rm D n,
die sich direkt aus dem Fundamentalsatz der Algebra
(siehe Satz 11.5 auf Seite 21) ergibt. Satz 64.5 liefert also tatsächlich insgesamt n Funktionen. Diese Zahl von
Funktionen wird für ein Fundamentalsystem der homogenen linearen Differenzialgleichung n-ter Ordnung
(64.1) benötigt (siehe Satz 63.6 auf Seite 155).
Beispiel. Die homogene lineare Differenzialgleichung
5-ter Ordnung
y .5 / C y .4 /
2y 000
2y 00 C y 0 C y D 0;
x 2 R;
besitzt das charakteristische Polynom
p./ D 5 C 4 23 22 C C 1
D . 1/2 . C 1/3 ;
2 C;
mit der doppelten Nullstelle 1 D 1 und der dreifachen
Nullstelle 2 D 1. Die allgemeine reelle Lösung der
vorliegenden Differenzialgleichung ist damit
y.x/ D .c1 C c2 x/e x C .c3 C c4 x C c5 x 2 /e
mit den reellen Koeffizienten c1 ; c2 ; : : : ; c5 .
x
;
x 2 R;
M
Besitzt das charakteristische Polynom einer Differenzialgleichung jedoch auch komplexe Nullstellen, so liefert der vorgestellte Ansatz auch komplexe Lösungen.
Wie man daraus reelle Lösungen erhält, wird im nachfolgenden Abschnitt erläutert.
1/ (64.6)
64.2 Komplexe Nullstellen des charakteristischen Polynoms
jeweils Lösungen der homogenen linearen Differenzialgleichung n-ter Ordnung (64.1).
Für jede r -fache reelle Nullstelle 2 R des charakteristischen Polynoms p aus (64.5) erhält man mit den
s x
ys .x/ D x e
;
x2R
.s D 0; 1; : : : ; r
© R. Plato
Kapitel 64 Homogene Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
Funktionen aus (64.6) insgesamt r linear unabhängige
reelle Lösungen der homogenen linearen Differenzialgleichung n-ter Ordnung (64.1), wie sich aus Satz 64.5
ergibt. Im Fall einer nichtreellen Nullstelle D a C ib
des charakteristischen Polynoms erhält man mit Hilfe
dieses Ansatzes (64.6) zunächst r verschiedene komplexwertige Lösungen dieser Differenzialgleichung (siehe hierzu die Darstellung (64.3)). Daraus lassen sich
unmittelbar 2r reellwertige Lösungen gewinnen. Es gilt
nämlich das folgende Resultat:
Lemma 64.6. Für jede komplexe Lösung y W R ! C der
Differenzialgleichung (64.1) sind die beiden Funktionen
Re y W R ! R und Im y W R ! R reelle Lösungen dieser
Differenzialgleichung.
Beweis. Wir sehen uns lediglich den Realteil der Funktion y an:
an .Re y/.n/ C an 1 .Re y/.n
D an Re y
.n/
C an
D Re.an y .n/ C an
1
Re y
1y
1/
C C a0 Re y
.n 1/
.n 1/
C C a1 C a0
1
C C a1 C a0
D an n C an 1 n
1
C C a1 C a0
D an n C an 1 n
1
C C a1 C a0 D 0 D 0;
wobei wieder eingeht, dass die Koeffizienten a0 ; a1 ; : : : ;
an alle reell sind.
Diese Aussage lässt sich auch auf die Vielfachheit
einer Nullstelle übertragen: Ist eine r -fache Nullstelle
von p , so ist auch D a ib 2 C eine r -fache Nullstelle
von p . Der Nachweis dafür wird hier nicht geführt.
Als Beispiel betrachten wir ein Polynom p 2 …11 ,
dessen Nullstellen in der komplexen Ebene wie in Abbildung 107 verteilt seien.
....
7
.........
....
...
....
..
5
1
...
....
..
...
..
.......................
......................................................................................................
..............................................................
.........................
.........................
................................
....
..
6
9
10
3
11
.
.
.
....
...
.
.
4
2
....
....
..
....
.
Satz 64.7. Für eine r -fache Nullstelle D a C ib 2 C
des charakteristischen Polynoms p aus (64.5) (mit r 1
und a; b 2 R; b ¤ 0) sind die 2r reellen Funktionen
x 2 R .s D 0; 1; : : : ; r
1/
Aus Satz 64.4 und Lemma 64.6 ergibt sich unmittelbar
das folgende Resultat:
sin.bx/;
n 1
D an n C an 1 n
tiert man analog.
ys;2 .x/ D x e
n
p./ D an C an 1 C C a0 y/
Dabei geht maßgeblich ein, dass die Koeffizienten a0 ;
a1 ; : : : ; an alle reell sind. Für den Imaginärteil argumen-
s ax
R; b ¤ 0, ist auch die konjugiert komplexe Zahl D
ib 2 C Nullstelle von p :
a
C C a0 Re y
D Re 0 D 0:
ys;1 .x/ D x s e ax cos.bx/;
157
8
Abb. 107: Beispiel für die Verteilung der Nullstellen
eines reellen Polynoms elften Grades in der komplexen Ebene
Die Eigenschaft, dass Nullstellen reeller Polynome
immer als konjugiert komplexe Paare auftreten, bedeutet nach Satz 64.7, dass auch die Funktionen
......
jeweils Lösungen der homogenen linearen Differenzialgleichung n-ter Ordnung (64.1).
Die aus einer r -fachen komplexen Nullstelle 2 C gewonnenen 2r reellen Funktionen sind linear unabhängig. Mehr dazu finden Sie in Satz 64.9 auf Seite 158. Zuvor ist aber noch eine Betrachtung der konjugiert komplexen Nullstelle 2 C und der dazugehörigen reellen
Lösungen erforderlich:
Bemerkung 64.8. Für eine Nullstelle D a C ib 2 C
des charakteristischen Polynoms p aus (64.5) mit a; b 2
x s e ax cos. bx/ D x s e ax cos.bx/;
s ax
x e
sin. bx/ D
s ax
x e
sin.bx/;
x2R
......
:
für s D 0; 1; : : : ; r 1 Lösungen der homogenen linearen Differenzialgleichung n-ter Ordnung (64.1) liefern.
Diese Funktion stimmen für s D 0; 1; : : : ; r 1 jeweils
mit den in Satz 64.4 betrachteten Funktionen ys;1 beziehungsweise ys;2 überein. Bei der Bestimmung eines Fundamentalsystems für die homogene lineare Differenzialgleichung n-ter Ordnung (64.1) liefert das keinen Beitrag.
M
158
© R. Plato
Teil VI Gewöhnliche Differenzialgleichungen
64.3 Fundamentalsystem
Mit den in diesem Abschnitt gewonnenen Lösungen der
homogenen linearen Differenzialgleichung n-ter Ordnung (64.1) lässt sich ein reelles Fundamentalsystem
gewinnen.
Satz 64.9. Es seien 1 ; : : : ; q die verschiedenen reellen Nullstellen des charakteristischen Polynoms p aus
(64.5). Weiter seien qC1 ; : : : ; r und qC1 ; : : : ; r die
verschiedenen komplexen Nullstellen von p .
Die durch die Nullstellen 1 ; : : : ; q ; qC1 ; : : : ; r gemäß Satz 64.4 auf Seite 156 und Satz 64.7 auf der vorherigen Seite gewonnenen reellen Lösungen ergeben zusammen ein reelles Fundamentalsystem der Differenzialgleichung an y .n/ C an 1 y .n 1/ C C a0 y D 0; x 2 R.
Beweis. Wird hier nicht geführt.
Beispiel. Die Differenzialgleichung
y 000
y 00 C 2y D 0
(64.7)
2
p./ D C2
D . C 1 / . .1 C i / / . .1
2 R;
i/ / ;
mit den Nullstellen 1 D 1; 2 D 1 C i und 3 D 1
Es bilden also die Funktionen
y1 .x/ D e
x
y2 .x/ D e x cos x;
;
i.
y3 .x/ D e x sin x;
x 2 R;
ein reelles Fundamentalsystem der betrachteten Differenzialgleichung (64.7), und
y.x/ D c1 e
x
C c2 e x cos x C c3 e x sin x;
x 2 R;
mit Koeffizienten c1 ; c2 ; c3 2 R ist die allgemeine reelle
Lösung.
M
In Vorbereitung auf das nachfolgende Beispiel befassen wir uns erneut mit kreisförmigen Bewegungen von
Punktmassen in der Ebene.
Bemerkung 64.10. Wir betrachten erneut die Rotation
eines Massenpunktes mit der zeitabhängigen Position
xE .t/ D xE0 C r
cos !.t/
sin !.t/
xE 0 .t/ D r! 0 .t/
sin !.t/
cos !.t/
sin !.t/
cos !.t/
xE 00 .t/ D r! 00 .t/
für t 2 I;
für t 2 I;
r! 0 .t/2
cos !.t/
sin !.t/
00
00
WD xEtan
.t/ C xErad
.t/ für t 2 I;
wobei der Beschleunigungsvektor in einen tangentialen
Anteil entgegen dem Uhrzeigersinn und einen radialen
Anteil antiparallel zum Positionsvektor zerlegt ist. Der
Koeffizient des tangentialen Anteils ist dabei der Wert
r! 00 .t/.
Für x
E0 D E0 und !.t/ D 4 ist die Situation in Abbildung 108 dargestellt.
M
00
...
....
.....tan
.
...
..........................................................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...........
....
..........
....
.......
.......
......
....
.....
.....
.....
..
.....
...
.
.
.
.... ....
.
.... .....
..
...
.
.
.
..........
.
.
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
....
...
00 ......
....
...
....
...
...
..
.
......
.
rad
.
.
.
...
... ....
.
..
.
.....
....
.
...
..
.
... ......
..
...
....
...
.... .....
.
.
.
.
.
.
.
.............................................................................................................................................................................
.
...
..
...
....
...
.
...
.
.
.
...
....
...
...
...
...
...
..
...
...
..
.
.
...
...
..
...
...
...
...
...
...
....
...
....
...
...
.
.....
.
.
.
.
.
......
..
....
.......
......
......
........
..
........
...........
..............................................
....
..
...
r
ist eine homogene lineare Differenzialgleichung dritter
Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Sie besitzt das
charakteristische Polynom
3
wobei ! W I ! R und xE0 2 R2 gilt, mit einem Intervall
I R. Ist die Winkelfunktion ! zweimal differenzierbar, so gilt dies auch für die zeitabhängige Position x .
Mit Hilfe von Ketten- und Produktregel erhält man
xE
.t/
xE .t/
xE
.t/
!.t/
r
r
r
Abb. 108: Zerlegung der Beschleunigung in tangentialen und normalen Anteil
Beispiel 64.11. Gegenstand dieses Beispiels ist die Beschreibung der Bewegung eines mathematische Pendels, das im Rahmen der Fehlerrechnung bereits betrachtet wurde (siehe Beispiel 25.9 auf Seite 56 und
Beispiel 55.4 auf Seite 133).
Wir betrachten die zeitabhängige seitlichen Auslenkung des Pendels aus der Ruhelage. Diese wird durch
den vorzeichenbehafteten Winkel '.t/ 2 Œ ;  im Bogenmaß angegeben, mit positiven und negativen Werten bei Ausschlag nach links beziehungsweise rechts.
Der tangentiale Anteil der Beschleunigung entgegen
dem Uhrzeigersinn ist gemäß Bemerkung 64.10 (hier
) gleich
angewendet mit r D ` und !.t/ D '.t/
2
00
`' .t/. Das stimmt mit dem Anteil g sin '.t/ der Erdbeschleunigung g in die gleiche Richtung überein. Die
Situation ist für einen Wert von t mit der Notation
© R. Plato
Kapitel 65 Inhomogene lineare Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
' D
'.t/ in Abbildung 109 dargestellt. Man beachte dabei, dass wegen des betrachteten Ausschlags nach
links '.t/ < 0 gilt.
...
......
... ...
.... ....
.. ...
... ...
... ....
..
...
.
...
...
..
...
......................
.
...
..
.
.....
....
...
..
..
...
.
..
....
.
..
...
.
..
...
.
...
..
.
...
..
.
...
..
...........
.
...........
........
.
.
.....
.
.......
.......
.......
........ ....
...
.......
..........
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
....
....
.... .........................................................................................
........
...
.....
..
.
...
..
.
...
...
....
...
...
...
..
...
.
............. ....
... ...
... ...
... ...
... ...
......
..
65
159
Inhomogene lineare Differenzialgleichungen mit konstanten
Koeffizienten
Gegenstand der folgenden Betrachtungen ist die inhomogene lineare Differenzialgleichung n-ter Ordnung
mit konstanten Koeffizienten
'
`
g si
Ly WD an y .n/ C an
D r.x/;
n'
g
'
Abb. 109: Darstellung des mathematischen Pendels
Damit erfüllt der betrachtete Winkel die folgende
nichtlineare gewöhnliche Differenzialgleichung zweiter
Ordnung:
' 00 .t/ C
g
sin '.t/
`
q
g
t
`
C b sin
(65.1)
mit reellen Koeffizienten a0 ; a1 ; : : : ; an und einer gegebenen Funktion r W I ! C, die in den Anwendungen
reellwertig ist und üblicherweise eine äußere Kraft repräsentiert. Hier bezeichnet I R ein Intervall. Im
Fall n D 1 ist hier bereits die Methode der Variation
der Konstanten vorgestellt worden. Im allgemeinen Fall
n 1 betrachten wir für spezielle rechte Seiten r spezielle Lösungsansätze.
65.1 Superposition partikulärer Lösungen
(64.8)
m
X
˛s rs .x/;
x 2 I;
(65.2)
sD1
mit komplexen Koeffizienten ˛s und gegebenen Funktionen rs W I ! C für s D 1; 2; : : : ; m kann man partikuläre Lösungen der Differenzialgleichungen
Lys D rs .x/;
für t 0:
x2I
.s D 1; 2; : : : ; m/
(64.9)
bestimmen. Die Superposition
2
Sie besitzt das charakteristische Polynom p./ D
p C
g
für 2 R mit den beiden Nullstellen 1=2 D ˙i g=`.
`
Die allgemeine Lösung der linearisierten Differenzialgleichung (64.9) ist also von der Form
'.t/ D a cos
C C a1 y 0 C a0 y
Im Fall
für t 0:
Hierfür lässt sich jedoch nicht so ohne Weiteres eine
Lösung angeben. Für betragsmäßig kleine Werte ˛ 2 R
gilt jedoch sin ˛ ˛ . Im Fall kleiner Auslenkungen betrachten wir daher anstelle (64.8) ersatzweise die linearisierte gewöhnliche Differenzialgleichung
g
'.t/
`
.n 1/
x 2 I;
r.x/ D
' 00 .t/ C
1y
q
g
t
`
für t 0: (64.10)
Die beiden Koeffizienten a; b 2 R werden z. B. durch
Vorgaben an Anfangsauslenkung '.0/ und -winkelgeschwindigkeit ' 0 .0/ festgelegt.
Der Darstellung (64.10) entnimmt p
man noch unmittelbar die Schwingungsdauer T D 2 `=g , die bereits
Gegenstand der Betrachtungen in den Beispielen 25.9
und 55.4 war.
M
y.x/ D
m
X
˛s ys .x/;
x 2 I;
sD1
liefert dann eine partikuläre Lösung der inhomogenen
Differenzialgleichung (65.1) mit der rechten Seite r aus
(65.2).
65.2 Spezielle rechte Seiten
Wir betrachten hier die inhomogene Ly D r mit den
folgenden Spezialfällen für die Inhomogenität:
r.x/ D e x cos.!x/.bm x m C C b1 x C b0 /;
r.x/ D e
x
sin.!x/.bm x
m
C C b1 x C b0 /
(65.3)
(65.4)
160
© R. Plato
Teil VI Gewöhnliche Differenzialgleichungen
mit x 2 R. Dabei sind ; ! 2 R und m 2 N0 Konstanten
und b0 ; b1 ; : : : ; bm gegebene reelle Koeffizienten.
Zur Bestimmung einer partikulären Lösung ypar D y
machen wir in den beiden Fällen den Lösungsansatz
s x
y.x/ D x e
.A cos !x C B sin !x/q.x/; x 2 R;
mit q.x/ D Bm x m C C B1 x C B0 : (65.5)
a) Wir betrachten zunächst den Fall ! ¤ !0 . Dann
führt man den betrachteten Ansatz mit s D 0 durch.
Das bedeutet
y.x/ D A cos !x C B sin !x;
y 0 .x/ D ! . A sin !x C B cos !x / ;
y 00 .x/ D ! 2 . A cos !x C B sin !x / D ! 2 y.x/
Dabei gilt Folgendes:
für x 2 R. Einsetzen in die Differenzialgleichung
(65.12) ergibt
Die Parameter und ! sind durch (65.3) beziehungsweise (65.4) festgelegt.
y 00 C !02 y D A . !02
Falls die Zahl D C i! eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms p ist, d. h. gilt p./ D 0, so
wählt man in dem Ansatz (65.5) den Exponenten s 2 N
entsprechend der Vielfachheit dieser Nullstelle. Im Fall
p./ ¤ 0 wählt man s D 0.
Die reellen Koeffizienten A; B und B0 ; B1 ; : : : ; Bm ,
werden durch Einsetzen des Ansatzes y in die Differenzialgleichung Ly D r und anschließenden Koeffizientenvergleich bestimmt.
Bemerkung. a) Die Funktion r in (65.3) ist im Spezialfall D ! D 0 ein Polynom vom Höchstgrad m.
b) Der spezielle Lösungsansatz (65.4) ist demnach
von der Form der rechten Seite r , wobei im Fall p./ D
0 noch der zusätzliche Faktor x s hinzukommt. Dieser
zusätzliche Faktor in (65.4) bewirkt für x ! 1 eine
Verstärkung gegenüber r.x/. Man spricht dann von Resonanz.
M
Beispiel 65.1. Wir betrachten hier die inhomogene Differenzialgleichung zweiter Ordnung
y 00 C !02 y D b cos !x;
x 2 R;
x 2 R:
Š
D b cos !x;
! 2 / sin !x
x 2 R:
Dies wird durch die Wahl A D b=.!02 ! 2 / und B D 0
erreicht. Die gesuchte partikuläre Lösung der Differenzialgleichung (65.12) ist damit von der Form
y.x/ D
b
!02
!2
x 2 R:
cos !x;
Die Amplitude A D b=.!02 ! 2 / fällt dabei umso größer
aus, je näher der Wert ! bei !0 liegt.
b) Wir betrachten nun den Fall ! D !0 , die Erregerschwingung besitzt also die gleiche Frequenz wie
die Eigenschwingungen (65.7). In dieser Situation führt
man den betrachteten Ansatz mit s D 1 durch. Das
bedeutet
y.x/ D x.A cos !0 x C B sin !0 x/;
y 0 .x/ D A cos !0 x C B sin !0 x
C !0 x . A sin !0 x C B cos !0 x / ;
00
y .x/ D 2!0 . A sin !0 x C B cos !0 x /
!02 x . A cos !0 x C B sin !0 x / :
Einsetzen in die Differenzialgleichung (65.12) ergibt
(65.6)
mit gegebenen Parametern !0 > 0; ! > 0 und b 2 R.
Die Inhomogenität ist hier von der Form (65.3) mit D
0 und ohne polynomialen Anteil, d. h. m D 0.
Das zugehörige charakteristische Polynom ist
p./ D 2 C !02 D . C i!0 /. i!0 /, die allgemeine
reelle Lösung der dazugehörigen homogenen Differenzialgleichung y 00 C !02 y D 0 ist daher
yhom .x/ D c1 cos !0 x C c2 sin !0 x;
! 2 / cos !x C B . !02
(65.7)
Zur Bestimmung einer partikulären Lösung machen wir
gemäß (65.5) den Lösungsansatz y.x/ D x s .A cos !x C
B sin !x/ mit zu bestimmenden reellen Koeffizienten
A und B . Für die Wahl des Exponenten s 2 N0 nehmen
wir eine Fallunterscheidung vor:
y 00 C !02 y D 2!0 .
Š
A sin !0 x C B cos !0 x /
D b cos !0 x;
x 2 R;
b
Dies wird durch die Wahl A D 0 und B D 2!
erreicht.
0
Die gesuchte partikuläre Lösung der Differenzialgleichung (65.12) ist damit von der Form
y.x/ D
b
2!0
x sin !0 x;
x 2 R:
Hier liegt also Resonanz vor. Für die Werte !0 D 5 und
b D 5 ist die Situation in Abbildung 110 dargestellt. M
Beispiel 65.2. Wir betrachten hier die folgende inhomogene Differenzialgleichung zweiter Ordnung:
y 00
y 0 C y D x2 ;
x 2 R:
(65.8)
Kapitel 65 Inhomogene lineare Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
....
.......
2
0
...
.........
.........
.........
.........
.............. .....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.........
... ....
.........
...
...
.........
..
...
..............
..
......... .... .....
.
.
...
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
......
.
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
...
......
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
...
.
.
......... ....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
..
...
.
.
....... ...
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
...
...
.
.
.
.......
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
...
...
.
.
.
...
...............
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
............................
.........
...
.
.
..
.
.
..
......... ......
.
.
.
...
...
..
.
.
.
......... ...
.
.
.
.
.
..
.
.
.
...
........... ....
...
.
.
..
.
.
.
.........
.
.
.
.
..
...
...
.........
..
..
...
...
...
...
.........
..
..
..
.........
...
..
...
...
......... .... ....
..
..
...
..............
...
..
..
.
.
.
.........
.
.
.
...
...
.........
. ..
...
.........
...
......... .... ....
...
...
........... ...
..
...
..........
..
.........
.
.
.
... ..
.........
.........
......... .... ....
...........
.........
.
0
2
© R. Plato
161
Für die Ableitungen gilt
y 0 .x/ D 3ax 2 C 2bx; y 00 .x/ D 6ax C 2b; y 000 .x/ D 6a:
Einsetzen in die Differenzialgleichung (65.8) ergibt
x
5
y 000
y 00 D 6ax C 6a
Š
2b D 6x;
Ein Koeffizientenvergleich liefert a D 1 und b D 3.
Die gesuchte partikuläre Lösung y der Differenzialgleichung (65.9) ist damit von der Form
Abb. 110: Darstellung von 21 x sin 5x
y.x/ D x 3
Die Inhomogenität ist ein Polynom. Exponentialfunktion und trigonometrische Funktionen sind nicht vertreten, es liegt daher der Fall (65.3) mit D ! D 0 vor.
Das zugehörige charakteristische Polynom ist p./ D
2 C 1. Damit gilt insbesondere p.0/ ¤ 0, es liegt also keine Resonanz vor. Wir machen daher hier gemäß
(65.5) den Lösungsansatz y.x/ D a2 x C bx C c . Das
bedeutet
65.3 Komplexwertiger Ansatz
y 0 .x/ D 2ax C b;
y 00 .x/ D 2a:
Einsetzen in die Differenzialgleichung (65.8) ergibt
y 00
y 0 C y D 2a
D ax 2 C .b
2ax
b C ax 2 C bx C c
2a/x C 2a
Š
b C c D x2;
x 2 R:
Das wird durch die Wahl a D 1; b D 2 und c D 0
erreicht. Die gesuchte partikuläre Lösung der Differenzialgleichung (65.8) ist damit von der Form
y.x/ D x 2 C 2x;
x 2 R:
M
Beispiel. Wir betrachten hier die inhomogene Differenzialgleichung dritter Ordnung
y 000 C y 00 D 6x;
x 2 R:
(65.9)
Die Inhomogenität ist hier wie schon bei Beispiel 65.2
ein Polynom. Exponentialfunktion und trigonometrische Funktionen sind nicht vertreten, es liegt daher der
Fall (65.3) mit D ! D 0 vor. Das zugehörige charakteristische Polynom ist p./ D 3 C 2 D 2 . C 1/.
Damit ist D 0 doppelte Nullstelle, es liegt also Resonanz vor. Wir machen daher hier gemäß (65.5) den
Lösungsansatz
y.x/ D x 2 .ax C b/ D ax 3 C bx 2 ;
x 2 R:
x 2 R:
2x;
x 2 R:
M
Zur Lösung der inhomogenen Differenzialgleichung
Ly D r mit r wie in (65.3) oder (65.4) auf Seite 159 kann eine partikuläre Lösung alternativ mit einem komplexen Exponentialansatz berechnet werden.
Das hat den Vorteil, dass anstelle mit den beiden trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus lediglich mit der komplexen Exponentialfunktion gerechnet
werden muss. Dabei sind die folgenden drei Punkte von
Bedeutung:
a) Hat man im Fall einer komplexwertigen rechte Seite r W I ! C eine komplexwertige partikuläre Lösung
y W I ! C der inhomogenen Differenzialgleichung
.Ly/.x/ D r.x/; x 2 I; bestimmt, so gilt
L.Re y/.x/ D Re r.x/;
x 2 I;
L.Im r/.x/ D Im r.x/;
......
;
wie man leicht nachrechnet. Dabei geht wieder ein,
dass die in dem Differenzialoperator auftretenden Koeffizienten a0 ; a1 ; : : : ; an alle reell sind.
b) Im Fall Ly D r mit
r.x/ D e x .bm x m C C b1 x C b0 /;
x 2 R; (65.10)
mit m 2 N0 ; 2 C und reellen oder komplexen Koeffizienten b0 ; b1 ; : : : ; bm macht man den Lösungsansatz
y.x/ D x s e x .Bm x m C C B1 x C B0 /; x 2 R; (65.11)
mit komplexen Koeffizienten B0 ; B1 ; : : : ; Bm in (65.3).
Falls die Zahl eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms p ist, d. h. gilt p./ D 0, so wählt
man in (65.11) wie schon im reellen Fall den Exponenten s gleich der Vielfachheit dieser Nullstelle, und im
Fall p./ ¤ 0 wählt man s D 0.