t - ANT, Uni Bremen - Universität Bremen

Grundlagen der Nachrichtentechnik
I. Kontinuierliche Signale u. Systeme
II. Analoge Übertragung
1. Fouriertransformation
1. Analoge Modulationsverfahren
2. Tiefpass-Darstellung v. Bandpass-Signalen 2. Empfängerstrukturen
3. Eigenschaften v. Übertragungskanälen
3. Einfluss von Rauschen
III. Diskretisierung v. Quellensignalen
IV. Digitale Übertragung
1. Abtasttheorem
1. Struktur e. Datenübertragungssystems
2. Pulsamplitudenmodulation
2. Erste u. Zweite Nyquist-Bedingung
3. Pulsdauer- und Pulsphasenmodulation
3. Rauschangepasstes Empfangsfilter
4. Pulscodemodulation
4. Bitfehlerwahrscheinlichkeit
5. Prinzip des Zeitmultiplex
5. Digitale Modulationsverfahren
komplett auf Folien teilweise mit Folienunterstützung
Grundlagen der Nachrichtentechnik: Inhalt
2.
Äquivalente
Tiefpass-Darstellung
Bandpass-Signalen
von
2.1 BP-TP-Transformation
2.2 Hilberttransformation
2.3 Analytische Signale
Inhalt Kapitel 2
Seite 1
Arbeitsbereich Nachrichtentechnik ● Prof. Dr.-Ing. K.D.Kammeyer
2. Äquivalente Tiefpass-Darstellung von Bandpass-Signalen
XBP (j(ω + ω0 ))
XBP (jω)
konj.
komplex
∆
= X̃TP (jω)
XTP (jω)
Tiefpass
−ω0 ω
ω0
xBP (t)
√
x̃TP (t) = xBP (t) · e−jω
e−jω
2
t
hTP (t)
Leistung: E{xBP (t) } = 2·
2
Universität
Bremen
0 ω
−2ω0
2
t
−2ω0
0 ω
xTP (t) = x̃TP (t) ∗ hTP (t)
xTP (t) = xTP (t) + j xTP (t)
√ 2
E{xTP (t) } = 2 ·
2. Äquivalente Tiefpass-Darstellung
2
2
1
Arbeitsbereich Nachrichtentechnik ● Prof. Dr.-Ing. K.D.Kammeyer
Alternative Struktur (Quadraturfilter)
+
XBP
(jω)
XBP (jω)
ω0
−ω0 ω
ω0 ω
---------------------------------1
=
−ω0
1
+
−ω0
Universität
Bremen
H + (jω)
ω0
−ω0
Konstruktion des Filters H + (jω)
2
−ω0
2
XTP (jω) =
√1 X + (j(ω
2
+ ω0 ))
0 ω
ω
H + (jω) = Hg (jω) + Hu (jω)
Hu (jω) = j −jHu (jω)
√1
2
ω0 ω
xBP (t)
ω0 ω
Quadratur-Netzwerk
reelle
Impulsantwort
e−jω
hBP (t)
ĥBP (t)
2. Äquivalente Tiefpass-Darstellung
t
xTP (t)
j
2
Arbeitsbereich Nachrichtentechnik ● Prof. Dr.-Ing. K.D.Kammeyer
Impulsantwort eines einseitigen Bandpasses
HTP (jω)
2
+
HBP
(jω)
ω0 ω
ω0 ω
h+ (t) = 2 hTP (t) ·ejω
reell
t
= 2 hTP (t) · cos(ω0 t) + j [2 hTP (t) · sin(ω0 t)]
∆
hBP (t) = 2 hTP (t) · cos(ω0 t)
∆
ĥBP (t) = 2 hTP (t) · sin(ω0 t)
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Bandpass-Impulsantwort
hilberttransformierender Bandpass
(90°-Phasendrehung)
2. Äquivalente Tiefpass-Darstellung
3
Arbeitsbereich Nachrichtentechnik ● Prof. Dr.-Ing. K.D.Kammeyer
Tiefpass-Bandpass-Umsetzung
e+jω
xTP (t)
XTP (jω)
hTP (t)
t
x+
BP (t)
Re{·}
√
2
xBP (t)
√
+
XBP
(jω)
ω0
0 ω
Re{x(t)} =
F {Re{x(t)}} =
∆
1
2
ω
Re{x+
BP (t)}
[x(t) + x∗ (t)]
1
2
−ω0
2 XBP (jω)
ω0
ω
[X(jω) + X ∗ (−jω)]
= Ra{X(jω)}
Universität
Bremen
2. Äquivalente Tiefpass-Darstellung
4
2.2 Hilberttransformation
reelles Zeitsignal:
x(t) •−◦ X(jω)
mit Re{X(jω)} = Re{X(−jω)}, Im{X(jω)} = −Im{X(−jω)}
Phasendrehung um 90◦ (genauer: -90◦ für ω > 0, 90◦ für ω < 0, da Phase ungerade)
Hilberttransformation:



 −jX(jω) für ω > 0
x̂(t) = H{x(t)} •−◦ X̂(jω) = sgn(ω) · e−jπ/2 · X(jω) = 0
für ω = 0


 jX(jω) für ω < 0
Interpretation als lineares System (Hilberttransformator) mit der Übertragungsfunktion
HH (jω) = −jsgn(ω) Bandbegrenzung: HHB (jω)
HH(jw)
j
HHB(jw)
j
wg
w
-j
-wg
w
-j
2.2 Hilberttransformation
Seite 2
Impulsantwort des bandbegrenzten Hilberttransformators:
Zωg
Zωg
1
1
jωt
j sgn(ω) e dω = −
j sgn(ω) [cos(ωt) +j sin(ωt)]dω
hHB (t) = −
|
{z
}
2π
2π
−ωg
−ωg
ungerade→0
ωg
Zωg
− cos(ωt)
1 − cos(ωg t)
1 − cos(ωg t)
2
= 2 fg ·
sin(ωt) dω =
=
= +
2π
πt
πt
ωg t
ω=0
0
Impulsantwort des idealen Hilberttransformators:
1
1 − lim cos(ωg t)
hH (t) =
ω →∞
πt
|g
{z
}
→
hH (t) =
(
1/πt für t 6= 0
0
für t = 0
→0
Hilberttransformation im Zeitbereich:


∞
t−
∞
Z
Z
Z
Cauchy1
x(τ )
x(τ
)
x(τ )

dτ
dτ +
dτ 
H{x(t)} = x(t)∗hH (t) =
lim
π
t−τ
t−τ
t−τ
Hauptwert: →0
−∞
−∞
2.2 Hilberttransformation
t+
Seite 3
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
Impulsantwort eines bandbegrenzenden Hilberttransformators
Grenzwert bei t → 0:
1 − cos(ωg t)
∂(1 − cos(ωg t))/∂t 1
= lim
= lim(ωg sin(ωg t)) = 0
lim
t→0
t→0
πt
∂πt/∂t
π t→0
2.2 Hilberttransformation
Seite 4
Beispiel: Hilberttransformation eines Rechteckimpulses
T /2
∞
Z
Z
T
1
1
r(τ )
1
≤
t
≤
1 für −T
2
2
dτ =
dτ
→ H{r(t)} =
r(t) =
π
t
−
τ
π
t
−
τ
0 sonst.
−∞
−T /2
ZT /2
T
t + T /2 1
T /2
dτ = − {ln|t − τ |}−T /2 = ln f
ür
|t|
>
t−τ
t − T /2 2
−T /2


T
/2
T
/2
Z
Zt−ε
Z
t + T /2 ε 1
1
1


dτ = lim 
dτ +
dτ  = lim ln
·
ε→0
ε→0
t−τ
t−τ
t−τ
ε
t − T /2 t+ε
−T /2
−T /2 t + T /2 T
= ln für |t| ≤
t − T /2 2
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
t+T
/2
H{r(t)} = π1 ·ln t−T /2 −1
−1.5
−2
−1
−0.5
0
0.5
1
2.2 Hilberttransformation
Seite 5
Einige Sätze der Hilberttransformation
• Linearität:
H{a1 x1(t) + a2 x2(t)} = a1 H{x1(t)} + a2 H{x2(t)}
• Zeitinvarianz:
x̂(t) = H{x(t)} → x̂(t − ϑ) = H{x(t − ϑ)}
• Umkehrung:
x(t) = −H{x̂(t)} = −H{H{x(t)}}
• Orthogonalität:
• Filterung
R∞
−∞
x(t) · H{x(t)} dt = 0
y(t) = x(t) ∗ h(t), ŷ(t) = H{x(t)} ∗ h(t) → ŷ(t) = H{y(t)}
→ H{x(t) ∗ h(t)} = H{x(t)} ∗ h(t) = x(t) ∗ H{h(t)}
• gerade Zeitfunktion:
x(t) = x(−t) → H{x(t)} = −H{x(−t)}
• ungerade Zeitfunktion: x(t) = −x(−t) → H{x(t)} = H{x(−t)}
2.2 Hilberttransformation
Seite 6
Korrespondenzen der Hilberttransfomation
x(t)
cos(ω0t)
sin(ω0t)
δ0(t)
sin(ωg t)
ωg t
(
1 für |t| <
T
2
0 sonst
s(t) · cos(ω0t)
H{x(t)}
Voraussetzungen
sin(ω0t)
ω0 > 0
− cos(ω0t)
ω0 > 0
1/(πt)
1 − cos(ωg t)
ωg t
t+T
/2
1
·
ln
π
t−T /2 –
–
–
s(t) · sin(ω0t) S(jω) = 0 für |ω| ≥ ω0
Weitere Korrespondenzen siehe Anhang 1 in
K.D. Kammeyer, Nachrichtenübertragung, Teubner 1996
2.2 Hilberttransformation
Seite 7
Hilberttransformierte der Rechteck- und Dreieckschwingung
a) Rechteckschwingung
Hilberttransformierte
4
1
2
0.5
0
0
−0.5
−2
−1
−1
−0.5
0
t/T →
0.5
1
−4
−1
b) Dreieckschwingung
1
0.5
0.5
0
0
−0.5
−0.5
−1
−0.5
0
t/T →
0.5
0
t/T →
0.5
1
Hilberttransformierte
1
−1
−0.5
1
−1
−1
−0.5
2.2 Hilberttransformation
0
t/T →
0.5
1
Seite 8
2.3 Analytische Signale
Zusammenfassung Quadraturnetzwerk-Ausgangssignale zu einem komplexen Signal:
z(t) = x1(t) + jH{x1(t)} = x1(t) + j x̂1(t)
Spektrum eines komplexen Signals mit der Eigenschaft Im{·} = H{Re{·}}
Mit F{x1(t)} = X1(jω)
und
F{x̂1(t)} = −j sgn(ω) · X1(jω) folgt
F{z(t)} = X1(jω) + j [−j sgn(ω)X1(jω)] = X1(jω)
=
[1 + sgn(ω)]
| {z }


 2 für ω > 0


0 für ω < 0
allgemein: analytisches Signal zum reellen Signal x(t):
(
2X(jω) für ω > 0
+
F{x(t) + j x̂(t)} =: F{x (t)} =
0
für ω < 0
Spektrum bei negativen Frequenzen wird ausgelöscht.
2.3 Analytische Signale
Seite 9
Auch die komplex zusammengefasste Impulsantwort eines Quadraturnetzwerks ist ein
analytisches Signal:
h+(t) = h1(t) + j ĥ1(t) = h0(t) · cos(ω0t) + j h0(t) · sin(ω0t) = h0(t) · ejω0t
→ H +(jω) = H0(j(ω − ω0)) = 0 für ω < 0,
(falls ωg < ω0)
Graphische Veranschaulichung des Spektrums eines analytischen Signals:
konjugiert
a)
-w0
X^1(jw)/j
X1(jw)
w0
w
b)
w0
-w0
jX^1(jw)
c)
w
X1(jw)+jX^1(jw)
-w0
w0
w
d)
-w0
2.3 Analytische Signale
w0
w
Seite 10
2.4 Äquivalente Tiefpassdarstellung reeller Bandpass-Signale
∗
reelles Bandpass-Sig.: XBP (jω) = XBP
(−jω)
analytisches Signal:
x+
BP (t)
= xBP (t) + j x̂BP (t) ◦−•
+
XBP
(jω)
=
(
2XBP (jω), ω > 0
0,
ω<0
Verschiebung des Spektrums um ω0 nach links, d.h. zur Frequenz ω = 0
Definition der komplexen Einhüllenden:
√
√
+
−jω0 t
XT P (jω) = 1/ 2 · XBP (j(ω + ω0)) → Zeitbereich: xT P (t) = 1/ 2 · x+
BP (t) · e
replacements
Bildung der PSfrag
komplexen
Einhüllenden im Spektralbereich: Graphische Veranschaulichung
+
(jω)
XBP
XBP (jω)
2
1
a)
b)
−ω0
ω0
B
ω
ω0
−ω0
ω
XT P (jω)
√
2
c)
−ω0
ω0
2.4 Äquivalente Tiefpassdarstellung
ω
Seite 11
Schaltungstechnische Realisierung der komplexen Einhüllenden
zwei äquivalente Strukturen von Quadraturmischern:
g replacements
Tiefpass-Struktur:
Quadraturstruktur:
PSfrag replacements
√1 .e−jω0 t
2
hBP (t)
xBP (t)
e−jω0 t
xT P (t) , s(t)
√
2
hT P (t)
xT P (t) , s(t)
xBP (t)
x+
BP (t)
x̃(t)
hT P (t)
ĥBP (t)
j
Herleitung der Tiefpass-Struktur:
Es sei h+(t) = hBP (t) + j ĥBP (t) = hT P (t) · ejω0t
Z∞
−jω t
+
−jω0 t
jω0 τ
xT P (t) = [xBP (t) ∗ h (t)] · e
=
hT P (τ ) e xBP (t − τ ) dτ · e 0
xT P (t) =
Z∞
−∞
−∞
hT P (τ ) e−jω0(t−τ )xBP (t − τ ) dτ
{z
}
|
=:x̃(t−τ )
→ xT P (t) = hT P (t) ∗ x̃(t)
2.4 Äquivalente Tiefpassdarstellung
Seite 12
Bedingung für reelle komplexe Einhüllende“:
”
Für reelle Zeitsignale gilt die konjugiert gerade Symmetrie des Spektrums,
!
also XT P (jω) = XT∗ P (−jω),
d.h.
!
∗
XBP (j(ω0 + ω)) = XBP
(j(ω0 − ω))
• Ist das Spektrum eines Bandpass-Signals bezüglich der Mittenfrequenz ω0 konjugiert
gerade, d.h. weist es einen geraden Betrag und eine ungerade Phase bezüglich ω0 auf,
so ist das zugehörige Tiefpass-Signal im Zeitbereich reell, d.h. es liegt der Spezialfall
einer reellen komplexen Einhüllenden“ vor.
”
Spektrum eines symmetrischen Bandpass-Signals:
|XBP(jw)|
arg{XBP(jw)}
np
-w0
w0
w
-w0
w0
w
-np
2.4 Äquivalente Tiefpassdarstellung
Seite 13
2.5 Komplexwertige Systeme
Anwendung der Betrachtungen zur komplexen Einhüllenden auf die Impulsantwort eines
Bandpassfilters:
1 +
1
−jω0 t
= [hBP (t) + j ĥBP (t)] e−jω0t
hT P (t) := hBP (t) · e
2
2
→ hT P (t) = h0(t) + j h00(t)
i.a.komplex
h0(t) = Re{hT P (t)}, h00(t) = Im{hT P (t)}
• Im Gegensatz zur Signal-Definition wird bei Systemen der Faktor
1
2
eingeführt, um
im Tiefpass- wie im Bandpass-Bereich die gleiche spektrale Bewertung zu erreichen.
(Andernfalls würde bei der Kaskadierung von Systemen der Verstärkungsfaktor akkumulieren!)
äquivalente Basisband- Darstellung
eines Bandpass-Systems:
xBP(t)
hBP(t)
yBP(t)
Bandpaßsystem
2.5 Komplexwertige Systeme
xTP(t)
hTP(t)
yTP(t)
komplexes Basisbandsystem
Seite 14
Komplexe Faltung
0
00
komplexes Eingangssignal: xT P = x (t) + jx (t)
komplexe Impulsantwort:
0
00
hT P (t) = h (t) + jh (t)
)
jeweils zwei reelle Signale
yT P (t) = xT P (t) ∗ hT P (t) = [x0(t) + jx00(t)] ∗ [h0(t) + jh00(t)]
= x0(t) ∗ h0(t) − x00(t) ∗ h00(t) + j[x0(t) ∗ h00(t) + x00(t) ∗ h0(t)]
Schaltungsstruktur: Vier paarweise gleiche reelle Faltungen
x '(t)
+
h ' (t)
y ' (t)
+
h "(t)
h "(t)
x"(t)
h ' (t)
+
2.5 Komplexwertige Systeme
+
+
y"(t)
Seite 15
Übertragungsfunktion eines komplexwertigen Filters: (analog: F{·} diskret: Z{·})
• hT P (t) = h0(t) + jh00(t) ◦−• H(jω) = F{h0(t)} + jF{h00(t)},
H(−jω) 6≡ H ∗(jω)
• hT P (k) = h0(k) + jh00(k) ◦−• H(z) = Z{h0(k)} +j Z{h00(k)} komplexwertig
| {z }
| {z }
reellw. Syst.
reellw. Syst.
analyt.Fkt. von z
}| ∗ ∗{ z
0
∗
1
1
Z{h (k)} = Z{Re{h(k)}} = Z{ 2 h(k) + h (k) } = 2 H(z) + H (z )
00
∗
∗ ∗
1
1
Z{h (k)} = Z{Im{h(k)}} = Z{ 2j h(k) − h (k) } = 2j H(z) − H (z )
{z
}
|
analyt.Fkt. von z
z ∗ ∗
z
z
∗
∗
Beispiel: H(z) =
→ H (z ) = ∗
=
z−a
z −a
z − a∗
1
∗ ∗
Z{Re{h(k)}} = Ra{H(z)} = H(z)+H (z )
2
1
∗ ∗
H(z)−H (z )
Z{Im{h(k)}} = Ia{H(z)} =
2j
2.5 Komplexwertige Systeme
Seite 16
Entsprechende Beziehung für die Fourier-Übertragungsfunktion: (analog/diskret)
1
jΩ
jΩ
∗
−jΩ
F{Re{h(t/k)}} = Ra{H(jω/e )} = H(jω/e ) + H (−jω/e )
2
1
jΩ
jΩ
∗
−jΩ
H(jω/e ) − H (−jω/e )
F{Im{h(t/k)}} = Ia{H(jω/e )} =
2j
Anwendungen komplexwertiger Systeme in der Nachrichtentechnik:
• Systemtheorie der Bandpass-Signale und -Systeme
• Mathematische Beschreibung (Simulation) von Bandpasskanälen in der äquivalenten
Tiefpass- (Basisband-) Ebene
• Realisierung digitaler Modulationsverfahren in der komplexen Signalraumebene
• Günstige schaltungstechnische Realisierung von Sendern u. Empfängern im Tiefpassbereich (moderne digitale Strukturen)
• Korrektur nichtidealer Bandpasskanäle durch komplexwertige Basisbandentzerrer usw.
2.5 Komplexwertige Systeme
Seite 17