Finanzmathematik

Transcription

Finanzmathematik

Grundlagen: Folgen u. endliche Reihen
Zinsrechnung
Renten-/Investitionsrechnung
Tilgungsrechnung
Abschreibungen
Finanzmathematik
Fakultät Grundlagen
September 2011
Finanzmathematik
Zinsrechnung
Tilgungsrechnung
Abschreibungen
Grundlagen: Folgen und endliche Reihen
Zinsrechnung
Rentenrechnung
Tilgungsrechnung
Abschreibungen
Finanzmathematik
Folie: 2
Zinsrechnung
Tilgungsrechnung
Abschreibungen
Folgen
Reihen
Übersicht
Grundlagen: Folgen und endliche Reihen
I Folgen
I
I
Artithmetische Folgen
Geometrische Folgen
I Reihen
I
I
I
Artithmetische Reihen
Geometrische Reihen
Summenformeln für Reihen
Finanzmathematik
Folie: 3
Zinsrechnung
Tilgungsrechnung
Abschreibungen
Folgen
Reihen
Folgen
I Grundlage vieler Zins-, Renten- und Investitionsrechnungen
sind Folgen und Reihen.
I Zahlenfolge: Folge von Zahlen mit mathematischer
Gesetzmäÿigkeit, genauer:
I Eine Funktion, durch die den natürlichen Zahlen eine reelle
Zahl zugeordnet wird, heiÿt
schreibt
I Die
an
{a1 , a2 , a3 , a4 , . . . }.
heiÿen
Zahlenfolge oder kurz Folge. Man
Glieder der Folge.
I Aufgabe: Schreiben Sie jeweils die ersten 4 Glieder der Folge:
1.
2.
3.
4.
n
n
an
an
a
a
= 2n + 3
=4
= n2
= 20/n
Finanzmathematik
Folie: 4
Zinsrechnung
Tilgungsrechnung
Abschreibungen
Folgen
Reihen
Arithmetische Folgen
I Eine Folge, bei der die Dierenz aufeinanderfolgender Glieder
(d = const.) nennt man
an +1 − an = d
arithmetische Folge (rekursive Darstellung).
Dies ist äquivalent zu: an+1 = an + d bzw.
an = a1 + (n − 1)d (explizite Darstellung).
konstant ist
I
I Aufgabe: Schreiben Sie jeweils die ersten 3 Glieder sowie das
10. und das 100. Glied der arithmetischen Folge:
1.
2.
3.
4.
a1
a1
a1
a5
= 2; d = 2
= 0; d = −10
= 13; d = 0
= 7 , a7 = 3 a1 =?;
d
=?
Finanzmathematik
Folie: 5
Zinsrechnung
Tilgungsrechnung
Abschreibungen
Folgen
Reihen
Arithmetische Folgen
Aufgabe:
Bei einer Abwärtsauktion wird ein Anfangspreis von
100 e alle 7 Sekunden um 80 Cent verringert. Nach welcher Zeit ist
die Auktion wieder für Sie interessant, wenn Sie höchstens 60 e
ausgeben möchten?
I Preis nach
n
Zeitschritten: 100
I Wann ist 100
− n · 0, 8
− n · 0, 8 < 60?
I Auösen nach
n: n > (100 − 60)/0, 8 = 40/0, 8 = 50
I Nach 50 Zeitschritten bzw. nach 50 mal 7 Sekunden = 350
Sek. = 5 Minuten und 50 Sek. sollten Sie wieder zur Auktion
zurückkehren.
I Bemerkung: Die Auktion dauert 100/0,8 = 125 Zeitschritte,
also 125
· 7 = 875
Sek. bzw. 14 Min. und 35 Sek.
Finanzmathematik
Folie: 6
Zinsrechnung
Tilgungsrechnung
Abschreibungen
Folgen
Reihen
Geometrische Folgen
I Eine Folge, bei der der Quotient aufeinanderfolgender Glieder
konstant ist:
I
an+1 /an = q (q = const) bzw. an+1 = an · q nennt man
geometrische Folge (rekursive Darstellung).
2
3
n −1
Somit {an } = {a1 , a1 q , a1 q , a1 q , . . . } bzw. an = a1 q
(explizite Darstellung).
I In dieser Formel stehen vier Gröÿen:
a1 , an , q , n − 1.
I Aufgabe: Schreiben Sie jeweils die ersten 3 Glieder sowie das
8. und das 15. Glied der geometrischen Folge:
1.
2.
3.
4.
a1
a1
a1
a3
= 1; q = 2
= −32; q = 0, 5
= 0, 7; q = 1
= 9 , a5 = 81 a1 =?;
q
=?
Finanzmathematik
Folie: 7
Zinsrechnung
Tilgungsrechnung
Abschreibungen
Folgen
Reihen
Geometrische Folgen
I Aufgabe:
Bei einer Lebensversicherung mit Dynamisierung steigen
Beiträge und Leistung jährlich um 5%. Zu Beginn ist ein
Monatsbeitrag von 50 e zu zahlen. Wie hoch ist der Beitrag
(ohne evtl. Steueränderungen) nach 20 Jahren?
I Lösung:
a1 =
q =
a20 =
50
e
1, 05
50
· 1, 0519 = 50 · 2, 537 = 126, 35 e
Finanzmathematik
Folie: 8
Zinsrechnung
Tilgungsrechnung
Abschreibungen
Folgen
Reihen
Reihen
I Eine
Reihe entsteht aus einer Folge durch die Summierung der
Glieder.
I Man unterscheidet endliche und unendliche Reihen.
I
endliche Reihe: Summe von endlich vielen Gliedern einer
Zahlenfolge.
a1 + a2 + a3 + a4 + · · · + an =
n
X
k =1
Finanzmathematik
ak = sn
Folie: 9
Zinsrechnung
Tilgungsrechnung
Abschreibungen
Folgen
Reihen
Summer aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen
I Wie viele Begegnungen gibt es in der Bundesliga (18
Mannschaften) in der Hinrunde der Spielzeit?
I
1
+ 2 + 3 + · · · + 16 + 17 =
P17
k =1 k = 153
Finanzmathematik
Folie: 10
Zinsrechnung
Tilgungsrechnung
Abschreibungen
Folgen
Reihen
Arithmetische Reihe
I Eine Reihe, die aus Gliedern einer arithmetischen Folge
gebildet wird, heiÿt
arithmetische Reihe.
I Wie groÿ ist der Wert einer unendlichen arithmetischen Reihe?
I Wie lautet die Summe der ersten 50 natürlichen Zahlen?
Tipp:
Folge in umgekehrter Reihenfolge drunter schreiben ...
I Herleitung der Summe über die ersten
c
+c
2c
=⇒
=1
+2
=n
+ n−1
= n+1 + n+1
n (n + 1)
c =
2
I Merke: 1
+
+
+
+ 2 + 3 + ··· + n =
···
···
···
n
P
k =1
n
natürlichen Zahlen:
+n
+1
+ n+1
= n(n + 1)
k = n(n2+1)
Finanzmathematik
Folie: 11
Zinsrechnung
Tilgungsrechnung
Abschreibungen
Folgen
Reihen
Arithmetische Reihe: Summenformel
I Allgemein gilt für eine arithmetische Reihe:
n
X
k =1
ak = a1 + · · · + an
= a1 + (a1 + d ) + (a1 + 2d ) + · · · + (a1 + (n − 1)d )
= na1 + d (1 + 2 + · · · + n − 1)
|
{z
}
mit
c=
n
P
k =1
(n−1)n
2
=:c
. Also:
ak = na1 + d (n−21)n = n2 · [a1 + an ]
Finanzmathematik
Folie: 12
Zinsrechnung
Tilgungsrechnung
Abschreibungen
Folgen
Reihen
Geometrische Reihe
I Eine Reihe, die aus Gliedern einer geometrischen Folge gebildet
wird, heiÿt
geometrische Reihe.
I Gesucht: Summenformel der geometrischen Reihe
sn =
n
P
k =1
ak = a1 + a1 q + a1 q 2 + · · · + a1 q n −1
I Trick:
sn
−
qsn
sn (1 − q )
I
n
a1 q + · · · + a1 q n −1
=
a1 q + · · · + a1 q n −1
n
n
= a1 − a1 q = a1 (1 − q )
=
a1
+
+
a1 q n
n
sn = a1 11−−qq = a1 qq−−11
I Merke: 1
+ q + q 2 + · · · + q n −1 =
1−q n
1−q
n
= qq−−11
Finanzmathematik
Folie: 13
Zinsrechnung
Tilgungsrechnung
Abschreibungen
Folgen
Reihen
Geometrische Reihe; Beispiel
Aufgabe:
I Es sollen 20.000 Einheiten eines Produktes hergestellt werden.
Die Kapazität beträgt zu Beginn 50 Einheiten pro Tag (5
Tage/Woche). Im Laufe der Produktion kann die Kapazität
pro Woche um etwa 10% erhöht werden. Nach wie vielen
Wochen ist der Auftrag erfüllt?
I Geometrische Reihe
I
I
a1 = 250
q = 1, 1
I Summe = 20.000
I Gesucht:
n
I Hinweis: ln(q n )
= n · ln q
I Ergebnis: 23 Wochen
Finanzmathematik
Folie: 14
Zinsrechnung
Tilgungsrechnung
Abschreibungen
Folgen
Reihen
Zusammenfassung
Folge: Funktion, die nur für natürliche Zahlen deniert ist
Reihe: Summe von Folgengliedern
arithmetische
sn = a1 + a2 + · · · + an
Spezial-
an = an −1 + d
an = a1 + (n − 1)d
sn = a1 + (a1 + d )
+ · · · + (a1 + (n − 1)d )
= na1 + d (n−21)n
= n2 (a1 + an )
sn = 1 + 2 + · · · + n
fall
=
Folge
Reihe
n(n+1)
2
geometrische
an = an−1 q
an = a1 q n−1
sn = a1 + a1 q + a1 q 2
+ · · · + a1 q n −1
n
n
= a1 11−−qq = a1 qq−−11
sn = 1 + q + q 2 + · · · + q n−1
=
1−q n
1− q
n
= qq−−11
Finanzmathematik
Folie: 15
Zinsrechnung
Tilgungsrechnung
Abschreibungen
Folgen
Reihen
Übungen
1. Berechne die Summe aller dreistelligen natürlichen Zahlen, die durch 13
teilbar sind.
2. In einem Kino hat die erste Sitzreihe 10 Plätze, die zweite 12, die dritte
14 usw., d. h. jede nachfolgende Reihe hat zwei Plätze mehr als die
vorangegangene.
2.1 Wie viele Sitzplätze hat das Kino, falls 15 Sitzreihen aufgebaut sind?
2.2 Wie viele Reihen muss das Kino haben, wenn mindestens 250
Besucher Platz nden sollen?
3. Ination: Wie lange dauert es, bis sich der Preis für eine Ware bei einer
angenommenen Inationsrate von 2% p.a. verdoppelt hat? Wie lange bei
1% bzw. 3%?
4. Preissteigerung: ein Liter Benzin kostet heute 1,30 e, vor 20 Jahren
kostete er 50 Pfennig (umgerechnet 0, 5/1, 95583 = 26 Cent). Wie hoch
war die jährliche Preissteigerung beim Benzin in diesem Zeitraum?
Finanzmathematik
Folie: 16
Zinsrechnung
Tilgungsrechnung
Abschreibungen
Jährliche Verzinsung
Bewertung von Zahlungsströmen
Unterjährige Verzinsung/Eektiver Jahreszins
Stetige Verzinsung
Monatliche Abrechnung
Zinsrechnung
Überblick:
I Einperiodige Verzinsung (jährliche Verzinsung)
I Unterjährige Verzinsung
I Stetige Verzinsung
I Monatliche Einzahlungen
Finanzmathematik
Folie: 17
Zinsrechnung
Tilgungsrechnung
Abschreibungen
Stetige Verzinsung
Zinsrechnung
I Zinsen sind das Entgelt für leihweise überlassenes Kapital.
I Vorschüssige Zinsen sind Zinsen, die zu Beginn, nachschüssige
Zinsen sind Zinsen, die am Ende einer Periode fällig werden.
I Bezeichnungen:
: Zinssatz (z. B. p=0,04 oder p=4%)
: Zinsfaktor (q = 1 + p )
K0 : Kapital zu Beginn der Laufzeit
Kn : Kapital am Ende der n -ten Periode
I p
I q
I
I
Finanzmathematik
Folie: 18
Zinsrechnung
Tilgungsrechnung
Abschreibungen
Stetige Verzinsung
I Statt zunächst Zinsen zu berechnen und diese dann dem
Kapital zuzuschlagen, lässt sich mit Hilfe des
Zinsfaktors q
das
Endkapital in einem Rechenschritt aus dem Anfangskapital und
dem Zinssatz berechnen.
K0 = 4.300, p = 10%; q =?; K1 =?
Nachschüssige Verzinsung eines Kapitals K mit Zinseszins:
Zu Beginn:
K0
Nach 1 Jahr:
K0 + K0 p = K0 (1 + p )
= K0 q = K1
Nach 2 Jahren:
K0 q + K0 qp = K0 q (1 + p ) = K0 q 2 = K2
I Beispiel (einperiodig):
I
.
.
.
nach
n
Jahren:
Kn = K0 q n
Finanzmathematik
Folie: 19
Zinsrechnung
Tilgungsrechnung
Abschreibungen
Stetige Verzinsung
Jährliche Verzinsung: Barwert
In diesem Zusammenhang treten weitere Fragen auf:
Barwert
(Jetztwert) einer künftigen Zahlung
I z. B. abgezinste Rentenpapiere, Zero-Bonds
I Beispiel Sparkassenbrief:
I
I
I
I
Laufzeit: 5 Jahre
Zinssatz: 7%
Nach 5 Jahren werden 10.000 e zurückgezahlt.
Was kostet der Sparkassenbrief heute?
= K0 (1, 07)5
.000
=⇒ K0 = (10
1,07)5 = 7.129, 86 e
n
1
1
n
Allgemein: K0 = Kn ·
q = Kn v mit q = v
Wert in 5 Jahren: 10.000
Finanzmathematik
Folie: 20
Zinsrechnung
Tilgungsrechnung
Abschreibungen
Stetige Verzinsung
Aufgabe:
I Sie möchten für eine Weltreise Geld aus einem Lottogewinn
zurücklegen. Die Reise soll erst in fünf Jahren angetreten
werden und wird etwa 6.000 e kosten. Wie viel Geld müssen
Sie in einen
Sparbrief, der mit 4% p. a. verzinst wird, heute
einzahlen, um in 5 Jahren genug Geld für die Reise übrig zu
haben?
I Wert in 5 Jahren:
I Barwert:
K0 (1, 04)5 = 6.000
1
K0 = 6.000 (1,04
= 4.931, 56 e.
)5
Finanzmathematik
Folie: 21
Zinsrechnung
Tilgungsrechnung
Abschreibungen
Stetige Verzinsung
Jährliche Verzinsung: Zinssatz
Berechnung des
p=
aus Laufzeit, Anfangs- und Endkapital
n
⇐⇒ q n = K
K0
Kn = K0 q n
=⇒
Zinssatzes
r
n
q
n
⇐⇒ q = (1 + p ) = n K
K0
Kn − 1
K0
n = 6, K0 = 6.000 e, K6 = 9.000 e
q = 1, 5 = 1, 0699 =⇒ p = 0, 0699 ' 6, 99%.
I Beispiel:
I
√
6
Finanzmathematik
Folie: 22
Zinsrechnung
Tilgungsrechnung
Abschreibungen
Stetige Verzinsung
Aufgabe:
Bei einem Zinssatz von 16% kauft ein Spekulant Wertpapiere mit
zehnjähriger Laufzeit zum abgezinsten Kurs. Nach 3 Jahren ist der
Zinssatz auf 12% gefallen.
Welche Jahresverzinsung seines eingesetzten Kapitals erzielt er
beim Verkauf seiner Wertpapiere nach 3 Jahren zum Marktwert?
Finanzmathematik
Folie: 23
Zinsrechnung
Tilgungsrechnung
Abschreibungen
Stetige Verzinsung
Kaufpreis bzw. Marktwert sind Barwerte der Zahlung
K , die am
Ende der Laufzeit fällig wird bezogen auf den entsprechenden
Zeitpunkt und abgezinst mit dem dann gültigen Zins.
Kaufpreis:
KP =
K
1,1610 (Wert zum Zeitpunkt
KV =
Verkaufspreis:
K
1,127 (Wert zum Zeitpunkt
Rendite in diesen drei Jahren: (Vergleiche
KP · q 3 = KV
K
1,1610
· q3 =
t = 0)
KP
und
t = 3)
KV )
bzw.
K
1,127
q =
q
3
1,1610
1,127
=
1, 2590 oder 25,9%
Finanzmathematik
Folie: 24
Zinsrechnung
Tilgungsrechnung
Abschreibungen
Stetige Verzinsung
Jährliche Verzinsung: Laufzeit
Berechnung der
Laufzeit
n
⇐⇒ q n = K
K0
Kn = K0 q n
⇐⇒
=⇒
n=
ln
n ln q =
ln
Kn =
K0
ln
Kn − log K0
Kn − ln K0
ln q
Beispiel: Wann tritt bei einem Zinssatz von 7% eine Verdopplung
des Kapitals ein?
2
= 1 · 1.07n
n=
ln 2
ln 1.07
= 10.2447 . . .
d. h. im 11. Jahr
Finanzmathematik
Folie: 25
Zinsrechnung
Tilgungsrechnung
Abschreibungen
Stetige Verzinsung
Mehrere Zahlungen
Welchen Wert haben mehrere Zahlungen, die zu verschiedenen
Zeitpunkten fällig werden (Zahlungsstrom)?
I Jede Zahlung kann für sich betrachtet und bewertet werden
I Die Ergebnisse werden addiert
I Ein-/Auszahlungen werden mit unterschiedlichen Vorzeichen
belegt (kommt auf den Betrachter an)
I Wichtig: alle Zahlungen auf den gleichen
Zeitpunkt
beziehen
(Barwert/Endwert/etc.)
Finanzmathematik
Folie: 26
Zinsrechnung
Tilgungsrechnung
Abschreibungen
Stetige Verzinsung
Mehrere Zahlungen: Aufgabe (I)
Ein Freund möchten mit Ihnen tauschen. Sie geben ihm heute
Geld und bekommen in einem Jahr 1.000 e und in zwei Jahren
2.000 e.
1. Wie viel sind diese Zahlungen heute Wert (wie viel würden Sie
Ihrem Freund heute dafür geben)?
2. Sie bekommen die Zahlungen (in einem Jahr 1.000 e, in zwei
Jahren 2.000 e), müssen Ihrem Freund jedoch die
Gegenleistung erst in drei Jahren bezahlen. Wie viel sind diese
Zahlungen in drei Jahren Wert?
Der Zinssatz sei 10%.
Finanzmathematik
Folie: 27
Zinsrechnung
Tilgungsrechnung
Abschreibungen
Stetige Verzinsung
Mehrere Zahlungen: Aufgabe (II)
t = 1 und 2.000 e zu t = 2 zum Zeitpunkt
t = 0 (heute) und zu t = 3?
Wert von 1.000 e zu
1. Barwert der Zahlungen:
B =
=
1.000
·
909, 09
1
1, 1
+ 2.000 ·
1.000
1, 12
+ 1.652, 89 = 2.561, 98
2. Endwert der Zahlungen zum Zeitpunkt
E =
1
t = 3:
· 1, 12 + 2.000 · 1, 1 = 1.210 + 2.200 = 3.410
Wir sagen, die Zahlungen
B
heute,
E
in drei Jahren und der
Zahlungsstrom 1.000 e in einem Jahr und 2.000 e in zwei Jahren
sind
äquivalent
(gleichwertig).
Finanzmathematik
Folie: 28
Zinsrechnung
Tilgungsrechnung
Abschreibungen
Stetige Verzinsung
Unterjährige Verzinsung
I Hierbei werden die Zinsen nicht jährlich berechnet, sondern in
vorher festgelegten Zeitabständen (z. B. Quartale, Monate).
Die (nominellen) jährlichen Zinsen werden auf die einzelnen
Zinsperioden aufgeteilt.
I nominell
I
p % Zins, m
Zinsperioden pro Jahr
⇒
Verzinsung
p /m% pro Periode
Bsp.: p = 12%, mtl. Verzinsung ⇒ m = 12; Zins: 1%/Monat.
I Nominalzins ist der für einen Kredit oder ein Guthaben
vereinbarte oder bezahlte Zinssatz.
Finanzmathematik
Folie: 29
Zinsrechnung
Tilgungsrechnung
Abschreibungen
Stetige Verzinsung
Unterjährige Verzinsung
Rechnen mit unterjähriger Verzinsung:
K1 = K0 1 + mp m
n Jahre Laufzeit: Kn = K0 1 + mp mn
I 1 Jahr Laufzeit:
I
I
I
p
m
, wobei
= Zinssatz im kurzen Intervall,
mn
= Anzahl kurze Intervalle (Verzinsungsperioden)
I Beispiel: Was sind 100 e nach einem, zwei bzw. drei Jahren
bei mtl. Verzinsung und einem nominellen Zinssatz von 6%
wert? Was bei jährlicher Verzinsung?
I Monatlicher Zins: 0,5% = 0,005
+ 0, 005)12 = 100 · 1, 00512 =
106,17 e (gegenüber 106,00 e bei jährlicher Verzinsung).
24 = 112,72 e (112,36 e)
Nach zwei Jahren: 100 · 1, 005
36 = 119,67 e (119,10 e)
Nach drei Jahren: 100 · 1, 005
I Nach einem Jahr: 100(1
I
I
Finanzmathematik
Folie: 30
Zinsrechnung
Tilgungsrechnung
Abschreibungen
Stetige Verzinsung
Eektiver Jahreszins
I Um unterjährige Verzinsungen sinnvoll vergleichen zu können,
rechnet man aus, wie hoch der Zinssatz bei jährlicher
Verzinsung sein müsste, um zum gleichen Endkapital zu
p∗
eektive Jahreszins.
∗
Wie hoch müsste der Jahreszins p sein, damit dasselbe
führen. Dieser Zinssatz
I
ist der
Endkapital erreicht wird, wie bei unterjähriger Verzinsung?
K0
+
1
p mn
+
m
p m
= K0 (1 + p ∗ )n
= 1 + p∗
p m
⇐⇒ p ∗ = 1 +
−1
⇐⇒
1
m
m
Finanzmathematik
Folie: 31
Zinsrechnung
Tilgungsrechnung
Abschreibungen
Stetige Verzinsung
Eektiver Jahreszins
Eektivzins
p∗ =
1
p m − 1 ( p :
+m
nomineller Zinssatz)
Beispiele:
I p = 9% monatlich ⇒ m = 12; p /m = 0, 75% pro Monat,
p ∗ = 1, 007512 − 1 = 1, 093806 . . . ' 9, 38% Eektivzins
I
I
p = 12% quartalsweise ⇒ m = 4; p /m = 3% pro Quartal,
p ∗ = 1, 034 − 1 = 1, 125508 . . . ' 12, 55% Eektivzins
p = 12% monatlich ⇒ m = 12; p /m = 1% pro Monat,
p ∗ = 1, 0112 − 1 = 1, 126825 . . . ' 12, 68% Eektivzins
Finanzmathematik
Folie: 32
Zinsrechnung
Tilgungsrechnung
Abschreibungen
Stetige Verzinsung
Stetige Verzinsung
I Unterjährige Verzinsung ist günstiger der unterm Jahr
gezahlte Zins bringt wieder Zinsen (Zinseszinseekt).
I Frage: wächst durch weitere Unterteilung der
Verzinsungsräume der Gesamtzins unbeschränkt oder strebt er
einem Grenzwert zu?
Die Zinsintervalle werden dabei unendlich klein .
I
K1 =
I Für
n
lim
m→∞
K0
1
p m = K · ep
+m
0
Jahre erhält man:
Kn =
lim
m→∞
K0
1
+
p nm = K0 · ep·n
m
Finanzmathematik
Folie: 33
Zinsrechnung
Tilgungsrechnung
Abschreibungen
Stetige Verzinsung
Monatliche Abrechnung bei jährlicher Zinsgutschrift
I Zurück zu jährlicher Verzinsung: Kapital
Jahr zu
K (1 + p ) mit Zinssatz p .
K
wird nach einem
I Was ist, wenn das Kapital kein ganzes Jahr angelegt wird,
sondern vorher abgehoben wird?
I Der Zins wird nur zu einem Bruchteil gutgeschrieben.
Anlage von
K
für:
1 ganzes Jahr
1/2 Jahr = 6 Monate
1 Monat
2 Monate
m
Monate
Zins:
Kp
1
2 Kp
1
12 Kp
2
12 Kp
m Kp
12
Finanzmathematik
Folie: 34
Zinsrechnung
Tilgungsrechnung
Abschreibungen
Stetige Verzinsung
Monatliche Einzahlung mit jährlicher Zinsgutschrift
Es werden
n
Jahre lang monatliche Zahlungen der Höhe
M
geleistet. Welchen Wert hat dieses Sparbuch am Ende, wenn der
Zins
jährlich gutgeschrieben wird?
Zinsen im 1. Jahr:
1. Zahlung 12 wird Monate verzinst, 2. Zahlung 11 Monate,
. . .,
letzte Zahlung 1 Monat
12
11
10
1
Z = Mp + Mp + Mp + · · · + Mp
12
12
12
12
p
= M (1 + 2 + · · · + 12) (arithmetische Reihe)
12
p 12 · 13
= M·
·
= M · 6, 5p
12
2
Finanzmathematik
Folie: 35
Zinsrechnung
Tilgungsrechnung
Abschreibungen
Stetige Verzinsung
Monatliche Einzahlung mit jährlicher Zinsgutschrift
Mit
q =1+p
1. Jahr:
2. Jahr:
gilt dann für das Kapital am Ende des
K1 = Einzahlung + Zinsen = 12M + 6, 5Mp = M (12 + 6, 5p )
K2 = |{z}
K1 + K1 q = K1 (1 + q )
(∗)
3. Jahr:
.
.
.
n-ten Jahres:
|{z}
(∗∗)
K3 = K1 + K2 q = K1 (1 + q + q 2 )
n
n. Jahr: Kn = K1 (1 + q + · · · + q n−1 ) = K1 qq−−11
(*) Einzahlungen und Zinsen im 2. Jahr (genauso wie im 1. J.)
(**) Verzinsung des Kapitals aus dem 1. Jahr
=⇒
K
n
q −1
n = M (12 + 6, 5p ) q − 1
(K1 ersetzt durch
Finanzmathematik
M
(12 + 6, 5p ))
Folie: 36
Zinsrechnung
Tilgungsrechnung
Abschreibungen
Stetige Verzinsung
Zusammenfassung
I Jährliche Verzinsung:
I
Zinsatz:
I
Laufzeit:
I Barwert:
Kn = K0 · q n = K0 · (1 + p )n
r
=
p
n
n Kn
K0
−1
= ln Kn − ln K0
ln q
K0 = Kn · q1n = Kn · v n = Kn · (1 +1 p )n
I Unterjährige Verzinsung:
I eektiver Jahreszins:
1
Kn = K0
p nm
+m
p m = (1 + p ∗ )
+m
I Monatliche Einzahlungen der Höhe
Verzinsung:
1
M
bei jährlicher
qn − 1
Kn = M (12 + 6, 5p ) q − 1
Finanzmathematik
Folie: 37
Zinsrechnung
Tilgungsrechnung
Abschreibungen
Regelmäÿige Zahlungen
Rentenrechnung
Investitionsrechnung
Konstante Einzahlungen: Sparbuch
n
Einzahlungen in gleicher Höhe
E0
E1
E
0
Jahr
1
2
3
.
.
.
n
E2
E
-
nE
−1 n
E
-
3
E
Einzahlung
JB
E
E
E
JE
E
E
E
E
E
.
.
.
.
.
.
JB )
Einzahlung am Jahresende (JE )
Einzahlung am Jahresbeginn (
Anzahl Jahre,
mit Verzinsung
Wert der Rate
nach
n
n−1
n−2
n−1
n−2
n−3
Eq n
Eq n−1
Eq n−2
1
0
Eq
n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Finanzmathematik
Jahren
Eq n−1
Eq n−2
Eq n−3
.
.
.
E
Folie: 38
Zinsrechnung
Tilgungsrechnung
Abschreibungen
Rentenrechnung
Konstante Einzahlungen: Sparbuch (Forts.)
Kontostand nach
n
Jahren: (geometrische Reihen)
I vorschüssige Zahlungen:
Kn = Eq + Eq 2 + · · · + Eq n = E · q · (1 + q + · · · + q n−1 )
qn − 1
=⇒ Kn = E · q · q − 1
I nachschüssige Zahlungen:
K̂n = E + Eq + Eq 2 + · · · + Eq n−1 = E · (1 + q + · · · + q n−1 )
qn − 1
=⇒ K̂n = E · q − 1
Finanzmathematik
Folie: 39
Zinsrechnung
Tilgungsrechnung
Abschreibungen
Rentenrechnung
Sie möchten für eine Anschaung von
Kn e regelmäÿig E e jährlich
zurücklegen. Wie lange müssen Sie sparen? (Frage nach der
n)
qn − 1
Es gilt: Kn = E · q ·
q−1
Laufzeit
(vorschüssige Einzahlungen)
Kn
Kn
(q − 1) = (q n − 1) ⇐⇒ q n = 1 + (q − 1)
Eq
Eq
⇐⇒ n log q = log
1
+ ( q − 1)
Kn
Eq
=⇒ n =
Finanzmathematik
log
1
n
+ (q − 1) K
Eq
log
q
Folie: 40
Zinsrechnung
Tilgungsrechnung
Abschreibungen
Rentenrechnung
Sie möchten für eine Anschaung von
Kn e n
Jahre sparen. Für
Ihre Spareinlage erhalten Sie einen konstanten Zins von p%. Wie
viel müssen Sie jedes Jahr zurücklegen, wenn Sie regelmäÿig
sparen? (Frage nach der Einzahlung
qn − 1
Es gilt: Kn = E · q ·
q−1
(vorschüssige Einzahlungen)
=⇒ E =
mit
E)
Kn (q − 1)
q (q n − 1)
q = 1 + p.
Finanzmathematik
Folie: 41
Zinsrechnung
Tilgungsrechnung
Abschreibungen
Rentenrechnung
Aufgabe
Aufgabe:
Wie viel Euro muss man 30 Jahre lang jeweils am Jahresanfang
einzahlen, damit bei einem Zinssatz von 6% am Ende des 30.
Jahres 100.000 e als Gesamtbetrag zur Verfügung stehen?
I
100.000
= R ·q·
R =
qn − 1
q−1
100.000
·
1
1, 06
·
30
−1
= 1.193, 29
1, 06 − 1
1, 06
Finanzmathematik
Folie: 42
Zinsrechnung
Tilgungsrechnung
Abschreibungen
Rentenrechnung
Rentenrechnung
I Unter einer
Rente versteht man in der Finanzmathematik
gleich bleibende Zahlungen, die regelmäÿig geleistet werden.
I Man unterscheidet
vorschüssige und nachschüssige Renten.
I Eine Rente kann als Sparvertrag mit vertauschten Rollen
interpretiert werden.
I Wie viel eine Rente wert ist, ermittelt man mit Hilfe des
Rentenendwertes (auf das Ende aufgezinster rechnerischer
Rentenbarwertes (auf den
Wert der Zahlungen) oder des
Beginn abgezinster rechnerischer Wert der Zahlungen).
Finanzmathematik
Folie: 43
Zinsrechnung
Tilgungsrechnung
Abschreibungen
Rentenrechnung
Rentenendwert/Rentenbarwert
Rentenendwert einer Rente der Höhe
vorschüssig
nachschüssig
E , die n
Jahre gezahlt wird:
n
Kn = Eq n + Eq n−1 + · · · + Eq 2 + Eq = E · q · 11−−qq
n
K̃n = Eq n−1 + Eq n−2 + · · · + Eq + E = E · 11−−qq
Der Rentenbarwert errechnet sich aus dem Rentenendwert durch
Division mit dem Abzinsungsfaktor
vorschüssig
nachschüssig
qn .
n
n
K0 = q1n · E · q · 11−−qq = E · n−11− q
q (1 n− q )
n
1−q
1−q
1
K̃0 = q n · E · 1 − q
= E· n
q (1 − q )
Die Umstellungen obiger Formeln nach
n, E , etc. gelten analog!
Finanzmathematik
Folie: 44
Zinsrechnung
Tilgungsrechnung
Abschreibungen
Rentenrechnung
Zusammenfassung: Rentenrechnung
regelmäÿig und in konstanter
Höhe gezahlt werden, heiÿt in der Finanzmathematik Rente.
I Jede Folge von Zahlungen, die
I Dies können sowohl Einzahlungen (Sparen) als auch
Auszahlungen sein (z. B. Zinsen eines Rentenpapiers).
I Den Wert einer Rente berechnet man, indem man die
Zahlungen auf einen Zeitpunkt aufzinst (Endwert) oder abzinst
(Barwert) je nachdem, zu welchem Zeitpunkt man den Wert
bestimmen möchte.
I Dabei wird jede Zahlung einzeln betrachtet und über die Endbzw. Barwerte der einzelnen Zahlungen summiert (ergibt
geometrische Reihe).
Finanzmathematik
Folie: 45
Zinsrechnung
Tilgungsrechnung
Abschreibungen
Rentenrechnung
(Die Investitionsrechnung ist ein Spezialfall der Rentenrechnung)
Investitionen sind dadurch gekennzeichnet, dass zu Beginn ein
Betrag investiert wird, der in der Folge zu Gewinnen (oder
Verlusten) führt.
I
I
I
J : vorhandene Summe zum Investieren
Rk : Rückuss (Gewinn) durch die Investition im k -ten Jahr
Für J gibt es zwei Möglichkeiten:
I
I
lege J für n Jahre (auf einem Sparbuch) an oder
investiere J in das Projekt. Der Wert des Projekts ist die
Summe der Rücküsse Ri , einschlieÿlich Verzinsung (nicht
benötigtes Geld wird auf einem Sparbuch angelegt).
I Investitionsentscheidung: Was ist günstiger?
Finanzmathematik
Folie: 46
Zinsrechnung
Tilgungsrechnung
Abschreibungen
Rentenrechnung
Investitionsrechnung II
I Annahme: konstanter Zinssatz. Dann gilt für die beiden
Alternativen bezogen auf das
I K
I R̂
= Jq n
Ende des Zeitraums:
= R1 q n−1 + R2 q n−2 + · · · + Rn−1 q + Rn
I Fazit: Die Investition ist lohnend, falls die Anlage auf einem
Sparbuch weniger bringt als die Investition in das Projekt,
also
K < R̂
I Falls die Rücküsse konstant sind, kann man diese wie eine
Rente behandeln und
R̂
berechnen.
R̂ = Rq n−1 + Rq n−2 + · · · + Rq + R
= R (1 + q + q 2 + · · · + q n −1 ) = R
Finanzmathematik
qn − 1
q−1
Folie: 47
Zinsrechnung
Tilgungsrechnung
Abschreibungen
Rentenrechnung
Investitionsrechnung: Aufgabe
Eine Investition
J
in Höhe von 1 Mio. e erbringe in den ersten 5
Jahren nach der Investition einen Überschuss von jährlich
150.000 e jeweils zum Jahresende.
Wie hoch muss in den nächsten 5 Jahren der konstante jährliche
Überschuss
E
mindestens sein, damit die Investition bei einem
Zinssatz von 8% lohnend ist?
Vergleiche die Endwerte:
Endwert bei einer Anlage des Geldes auf einem Sparkonto:
1.000.000 · 1, 0810 = 2.158.925 e
Finanzmathematik
Folie: 48
Zinsrechnung
Tilgungsrechnung
Abschreibungen
Rentenrechnung
Investitionsrechnung: Lösung
Beitrag der ersten fünf Jahre bezogen auf das Ende des
Investitionszeitraums (nach 10 Jahren):
R1
= 150.000 ·
1, 085 − 1
· 1, 085 = 1.292.994, 23 e.
1, 08 − 1
Für die zweite Hälfte muss jährlich R erwirtschaftet werden. Endwert der
Zahlungen der Jahre 6 bis 10 der Höhe R :
R2
=
R
1.085 − 1
1.08 − 1
1.000.000 · 1, 0810
Vergleich der Endwerte:
2.158.925 − R1
=⇒ R
=
=
=
R1
R
+ R2
1.085 −1
1.08−1
147.603, 49 e.
Finanzmathematik
Folie: 49
Zinsrechnung
Tilgungsrechnung
Abschreibungen
Ratentilgung
Annuitätentilgung
Tilgungsrechnung
I Die Tilgungsrechnung ist ein Sonderfall der Rentenrechnung,
bei der ein Kredit aufgenommen und dieser später in einem
oder (meistens) mehreren Teilbeträgen zurückgezahlt wird,
wobei zusätzlich Zinszahlungen zu leisten sind.
I Man unterscheidet
Ratentilgung und Annuitätentilgung.
Finanzmathematik
Folie: 50
Zinsrechnung
Tilgungsrechnung
Abschreibungen
Ratentilgung
Annuitätentilgung
Ratentilgung
I Bei der Ratentilgung wird die Kreditsumme in gleichen Raten
(konstante Tilgung)
zusätzlich an.
getilgt; die
Zinskosten fallen
I Beispiel: Ein Kredit über 400 T e wird innerhalb von 8 Jahren
zurückgezahlt. Am Ende jedes Jahres sind 10% Zinsen fällig.
I Stellen Sie den Tilgungsplan auf.
Jahr
Tilgung
Zins
Gesamtzahlung
Restschuld
1
...
Finanzmathematik
Folie: 51
Zinsrechnung
Tilgungsrechnung
Abschreibungen
Ratentilgung
Annuitätentilgung
Ratentilgung
Tilgung: konstant 400 T e/8 Jahre = 50 T e pro Jahr.
Jahr
Tilgung
Zins
Gesamtzahlung
Restschuld
400 T e
0
1
50 T e
40 T e
90 T e
50 T e
30 T e
80 T e
2
3
4
5
6
7
8
50 T e
50 T e
50 T e
50 T e
50 T e
50 T e
35 T e
25 T e
20 T e
15 T e
10 T e
5 Te
85 T e
75 T e
70 T e
65 T e
60 T e
55 T e
Finanzmathematik
350 T e
300 T e
250 T e
200 T e
150 T e
100 T e
50 T e
0e
Folie: 52
Zinsrechnung
Tilgungsrechnung
Abschreibungen
Ratentilgung
Annuitätentilgung
Ratentilgung (allgemein)
Allgemein gilt mit
I Darlehenshöhe:
=⇒
S e; Zinssatz: p ; Laufzeit: N
feste Tilgungsrate:
Jahre
S
N e
Tilgungsplan:
Jahr
Tilgung
Zins
0
1
2
.
.
.
N
Restschuld
S
S
N
S
N
(S − NS )p
S − NS
S − 2 NS
S
N
(S − (N − 1) NS )p
S − N NS = 0
.
.
.
Sp
.
.
.
.
.
.
Finanzmathematik
Folie: 53
Zinsrechnung
Tilgungsrechnung
Abschreibungen
Ratentilgung
Annuitätentilgung
Ratentilgung (allgemein)
Berechnung der insgesamt gezahlten Zinsen:
Zinsfolge:
a1 = Sp ; d = − NS p
(arithm. Folge)
S
S
Z = Sp + S −
p + · · · + S − (N − 1)
p
N
N
|
N
{z
Summanden
S (N − 1)N
(N 2 − N
= N Sp − p
= Sp N −
N
2
2N
2
2
N +1
2N − N + N
= Sp
= Sp
2N
2
Erinnerung: Arithmetische Reihe
}
Sn = n a1 + d (n−21)n
Finanzmathematik
Folie: 54
Zinsrechnung
Tilgungsrechnung
Abschreibungen
Ratentilgung
Annuitätentilgung
Annuitätentilgung
I Bei der Annuitätentilgung sind die (Gesamt-)Zahlungen pro
Periode (Annuitäten) gleich.
Dabei ändert sich der
Tilgungsbetrag; zu Beginn ist er (oft wesentlich) niedriger als
gegen Ende.
I Annuität = Tilgung + Zins
I Die Annuitäten lassen sich als eine Rente auassen, deren
Wert dem Kreditbetrag entspricht.
Finanzmathematik
Folie: 55
Zinsrechnung
Tilgungsrechnung
Abschreibungen
Ratentilgung
Annuitätentilgung
Berechnung der Annuitäten
I Bezeichnungen:
Kreditbetrag/Schuld: S
Zinsfaktor: q (= 1 + p )
I Zahlungsperioden: N (Kreditdauer)
I Annuität: A
I Endwerte: Sq N = Aq N −1 + Aq N −2 + · · · + A
I
I
I Formel nach
A auösen (geometrische Reihe!):
Sq N = A(1 + 2 + · · · q N −1 )
N
1−q
= A
1−q
1−q
A = Sq N
1 − qN
Finanzmathematik
Folie: 56
Zinsrechnung
Tilgungsrechnung
Abschreibungen
Ratentilgung
Annuitätentilgung
Berechnung der Restschuld
n
Nach n
S
angewachsen auf
Sq n .
I Nach
Jahren ist die Schuld
I
Jahren sind die Annuitätszahlungen angewachsen auf
A + Aq + · + Aq n−1 = A
=⇒
qn − 1
q−1
Restschuld = aufgelaufene Schuld abzüglich Wert der
Annuitäten:
n
Rn = Sq n − A qq−−11
Finanzmathematik
Folie: 57
Zinsrechnung
Tilgungsrechnung
Abschreibungen
Ratentilgung
Annuitätentilgung
Annuitätenkredit (Beispiel)
I Ein Kredit über 400 T e wird innerhalb von 8 Jahren
zurückgezahlt. Am Ende jedes Jahres sind 10% Zinsen fällig.
Die Annuitäten sollen gleich sein!
I Stellen Sie einen Tilgungsplan auf.
Jahr
Zins
Annuität
Tilgung
Restschuld
1
...
Finanzmathematik
Folie: 58
Zinsrechnung
Tilgungsrechnung
Abschreibungen
Ratentilgung
Annuitätentilgung
Annuitätenkredit (Beispiel)
K = 400 Te.
Zins: 10% ⇒ q = 1, 1
N q −1 = 400 · 1, 18 · 1,1−1 = 74.978 e.
Annuität: A = K · q · N
1,18 −1
q −1
I Kreditsumme
I
I
Jahr
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Zins
40,0 T e
36,5 T e
32,6 T e
28,4 T e
23,8 T e
18,6 T e
13,0 T e
6,8 T e
Annuität
75 T e
75 T e
75 T e
75 T e
75 T e
75 T e
75 T e
75 T e
Tilgung
35,0 T e
38,5 T e
42,4 T e
46,6 T e
51,2 T e
56,4 T e
62,0 T e
68,2 T e
Restschuld
400 T e
365 T e
326 T e
284 T e
238 T e
186 T e
130 T e
68 T e
0e
Finanzmathematik
Folie: 59
Zinsrechnung
Tilgungsrechnung
Abschreibungen
Ratentilgung
Annuitätentilgung
Annuitätenkredit (allgemein)
Tilgungsplan
mit Darlehenshöhe
S , Jahresrate A, Restschuld Rn :
Jahr
Zins
0
1
Annuität
(konst.)
Tilgung
(=AZins)
Sp
A
A − Sp
2
R1 p
A
A − R1 p
3
R2 p
A
A − R2 p
..
.
n
Rn−1 p
A
A − Rn−1 p
Restschuld
(=Restschuld Vorjahr Tilgung)
S
R1 = S − A + Sp
= Sq − A
R2 = R1 − (A − R1 p)
= R1 q − A
= Sq 2 − A(1 + q )
R3 = R2 − A + R2 p
= R2 q − A
= Sq 3 − A(1 + q + q 2 )
..
.
Rn = Sq n − A(1 + q + · · · + q n−1 )
Finanzmathematik
Folie: 60
Zinsrechnung
Tilgungsrechnung
Abschreibungen
Ratentilgung
Annuitätentilgung
Damit gilt:
I Restschuld nach
I Zins im
n
Jahren:
n
Rn = Sq n − A 11−−qq
n−1 n-ten Jahr: Zn = Rn−1 p = Sq n−1 − A 1−1q−q
Finanzmathematik
p
Folie: 61
Zinsrechnung
Tilgungsrechnung
Abschreibungen
Ratentilgung
Annuitätentilgung
Berechnung der
Z
=
=
=
n
X
k =1
Gesamtzinsen
nach
n
Jahren:
Zk = Sp + R1 p + · · · + Rn−1 p
q 2 − 1 + · · · + Sq n−1 − A q n−1 − 1 −1
+ Sq 2 − A
p S + Sq − A qq −
1
q−1
q−1
p(S + Sq + · · · + Sq n−1 )
1
2
n − 1 1 − 1 − · · · − 1)
−p
|
{z
}
q − 1 A (q + q + · · · + q −
=
qn − 1
pS q − 1
−
=
S (q n − 1)
−
p q −1 1 A
n−1 Summanden
1 + q + q 2 + · · · + q n−1 − 1 − (n − 1)
n
A qq −−11 − n
(da
q − 1 = p)
Finanzmathematik
Folie: 62
Zinsrechnung
Tilgungsrechnung
Abschreibungen
Ratentilgung
Annuitätentilgung
N : Löse die Gleichung
(Vergleich der Endwerte) nach N auf.
Tilgungsdauer
Berechnung der
N
Sq N = A qq−−11
N
N = Aq − 1
q −1
N −1
q
1
S (q − 1)
=
=1− N
N
A
q
q
Sq
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
S (q − 1)
1
N =1−
A
S (q − 1)
−N log q = log 1 −
= log
q
A
N
A
− S (q − 1)
A
log A−SA(q−1)
=−
log q
Finanzmathematik
Folie: 63
Zinsrechnung
Tilgungsrechnung
Abschreibungen
Ratentilgung
Annuitätentilgung
Zusammenfassung: Tilgungsarten
n-te Jahr gilt bei einem anfänglichen Kreditbetrag K :
N : Kreditdauer, p : Zinssatz, q = 1 + p )
Für das
(
Ratentilgung
Annuitätentilgung
Zins
3.
2.
Tilgung
1.
3.
Gesamtzahlung
Restschuld
Zn = Rn−1 p
T = K /N (konst.)
4. Zn + T
2. Rn = K − nT
Zn = Rn−1 p
Tn = A − Zn
N 1−q (konst.)
1. A = K q
1−q N
4. Rn = Rn−1 − Tn
Die Nummern geben die Reihenfolge der Berechnung an.
Wiederhole 2.-4. bis zum Ende der Laufzeit.
Finanzmathematik
Folie: 64
Zinsrechnung
Tilgungsrechnung
Abschreibungen
Lineare Abschreibung
arithm.-degr. Abschreibung
geom.-degr. Abschreibung
Zusammenfassung
Abschreibungen
I Die Abschreibung ist eine Methode, die Wertminderung
langlebiger Güter des Anlagevermögens in der Bilanz zu
berücksichtigen.
I betrachtete Abschreibungsarten:
I
I
I
linear
arithmetisch-degressiv
geometrisch-degressiv
I Bezeichnungen:
: Anschaungswert/Kaufpreis
: Nutzungsdauer in Jahren
R : Restwert am Ende der Nutzungsdauer (häug:
I K
I N
I
Finanzmathematik
R
= 0)
Folie: 65
Zinsrechnung
Tilgungsrechnung
Abschreibungen
Zusammenfassung
I Die jährlichen Abschreibungsbeträge sind konstant.
I
Aufgabe: Eine Maschine (K
= 200 Te) soll über 6 Jahre
linear abgeschrieben werden (
R
= 20 Te). Stellen Sie den
Abschreibungsplan auf !
Jahr
Abschreibung
1
...
Restbuchwert
Finanzmathematik
Folie: 66
Zinsrechnung
Tilgungsrechnung
Abschreibungen
Zusammenfassung
I
K
= 200 Te;
R
= 20 Te;
N
I konstante Abschreibungsrate:
I Bilanzwert
Jahr
Bk
nach
k
Jahren:
= 6 Jahre
(K − R )/N = 180/6 = 30
Bk = K − k KN
Abschreibung
Restbuchwert
0
1
30 Te
200 Te
2
3
4
5
6
30 Te
30 Te
30 Te
30 Te
30 Te
Te
170 Te
140 Te
110 Te
80 Te
50 Te
20 Te
Die Buchwerte bilden eine arithmetische Folge
(a1 = K , d = −(K − R )/N )
Finanzmathematik
Folie: 67
Zinsrechnung
Tilgungsrechnung
Abschreibungen
Zusammenfassung
Arithmetisch-degressive Abschreibung
I Bei der arithmetisch-degressiven Abschreibung nehmen die
jährlichen Abschreibungsbeträge von Jahr zu Jahr um
denselben Betrag ab (arithmetische Folge).
I Sonderfall: Digitale Abschreibung der letzte
Abschreibungsbetrag stimmt mit der Dierenz der jährlichen
Abschreibungsbeträge überein (bzw. die Abschreibungsbeträge
sind Vielfache der letzten Abschreibung)
I Schreiben Sie eine Maschine (K = 100
e)
Zeitraum von 10 Jahren vollständig (
= 1
R
über einen
e)
digital ab!
I Hinweis: Summieren Sie die 10 Abschreibungsbeträge formal
auf und beginnen Sie dabei mit dem letzten Betrag!
Finanzmathematik
Folie: 68
Zinsrechnung
Tilgungsrechnung
Abschreibungen
Zusammenfassung
Arithmetisch-degressive Abschreibung
ak bilden arithmetische Folge.
a10 = d , a9 = 2d , a8 = 3d , . . . , a1 = 10d
I Abschreibungsbeträge
I Es muss gelten: Summe der Abschreibungsbeträge gleich
(Anschaungswert Restwert):
d = (K − R )/
PN
j =1 j = 99/55 = 1, 8
I Abschreibungsplan (mit
Jahr
0
1
2
3
4
5
Abschr.
0e
18 e
16,2 e
14,4 e
12,6 e
10,8 e
d (|1 + 2 +{z· · · + 10}) = 99
10·11 =55
2
a1 = Nd ):
Restbuchwert
100 e
82 e
65,8 e
51,4 e
38,8 e
28 e
Jahr
6
7
8
9
10
P
Abschr.
9,0 e
7,2 e
5,4 e
3,6 e
1,8 e
99 e
Finanzmathematik
Restbuchwert
19 e
11,8 e
6,4 e
2,8 e
1e
Folie: 69
Zinsrechnung
Tilgungsrechnung
Abschreibungen
Zusammenfassung
Geometrisch-degressive Abschreibung
I Die einzelnen Abschreibungsbeträge ergeben sich bei der
geometrisch-degressiven Abschreibung aus einem
konstanten
Prozentsatz des Restbuchwertes.
I
Aufgabe: Schreiben Sie eine Maschine mit K = 8 T e auf 5
Jahre mit p = 20% ab. Wie groÿ ist der Restwert R ?
I Wie lange dauert es, bis die Maschine vollständig
abgeschrieben ist?
Finanzmathematik
Folie: 70
Zinsrechnung
Tilgungsrechnung
Abschreibungen
Zusammenfassung
I Sowohl die Abschreibungsbeträge als auch die Restbuchwerte
bilden eine geometrische Folge.
I Restwerte:
Restwert nach einem Jahr:
R1 = K − Kp = K (1 − p ) = Kq
Restwert nach k Jahren:
Rk = Rk −1 − Rk −1 p = Rk −1 (1 − p ) = K (1 − p )k = Kq k
| {z }
=q
I Abschreibungsbeträge:
Abschreibungsbetrag im 1. Jahr:
Kp
k . Jahr: Rk −1 p = Kq k −1 p = K p q k −1
Achtung: Hier gilt q = 1 − p
Abschreibungsbetrag im
I
Finanzmathematik
Folie: 71
Zinsrechnung
Tilgungsrechnung
Abschreibungen
Zusammenfassung
Abschreibungsplan:
Jahr
Abschreibung
0
1
1.600
2
1.280
3
1.024
4
819
5
655
Restbuchwert
8.000
e
e
e
e
e
6.400
5.120
4.096
3.277
2.621
e
e
e
e
e
e
Finanzmathematik
Folie: 72
Zinsrechnung
Tilgungsrechnung
Abschreibungen
Zusammenfassung
I Beispiel: Wie hoch ist der Abschreibungsprozentsatz, wenn
K = 18.000 e und R3 = 9.600 e?
I Aus der Formel für den Restwert im 3. Jahr ergibt sich:
R3
⇐⇒
R3
= (1 − p )3
= Kq 3 = K (1 − p )3 ⇐⇒
K
r
3
R3
=1−p
K r
⇐⇒ p = 1 −
9.600
3
18.000
= 18, 904%
Finanzmathematik
Folie: 73
Zinsrechnung
Tilgungsrechnung
Abschreibungen
Zusammenfassung
Zusammenfassung: Abschreibung
linear
arithm.-degr.
geom.-degr.
Abschreibungs-
Rest-
betrag
buchwert
konstant
arithm. Folge
(K − R )/N
K − n · (K − R )/N
arithm. Folge
an = N d − (n − 1)d mit
P
d = (K − R )/ Nk=1 k
Rn = Rn−1 − an
geom. Folge
geom. Folge
K p q n −1
K : Anschaungskosten
N : Abschreibungsdauer/Nutzungsdauer
p : Abschreibungs-Prozentsatz, q = 1 − p
R : Restwert nach N Jahren
Finanzmathematik
K qn
Folie: 74

Finanzmathematik

Transcription

Similar documents

Formelsammlung zur Finanzmathematik

Finanzmathematik - Fakultät für Mathematik und Informatik

und zum Dritten!

HTML Seiten Design mit Microsoft FrontPage

akf bank Geschäftsbericht 2015 Annual Report 2015 akf bank

rentenzahlung abschreibung

ISB - Bayern

Zinsen, Zinseszins, Rentenrechnung und Tilgung

Einfach mehr erleben. Basisprogramm 2/2006

Library 1672: Finanzmathematik