Materialien zum Workshop von Dr. Bocka im - SINUS

Mathematik und Kunst
in Zahlenfolgen und Zahlenmustern
Dr. Doris Bocka
Universität Bayreuth
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Vertiefende Bildbetrachtung in der Ausstellung „Alles ist Zahl“
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Hardy’s Taxi
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ANNA und OTTO
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Magisches Quadrat, Centennium
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Codes
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Drei Ecken
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Pisa, Cambridge, Bern
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Mathematische, historische und künstlerische Hintergründe
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Workshop Materialien für den Unterricht
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Magische Quadrate
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Punktmuster und Figurierte Zahlen
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Codes
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Palindrome (ANNA- und AHA-Zahlen)
Literatur
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Alles ist Zahl von Peter Baptist (Hrsg.), Köln 2008
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1 (eins) von Eugen Jost, Zürich 2004
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Auf zum MATHEhorn von Thomas Schweingruber, Berlin 2003
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Der Zahlenteufel von Hans Magnus Enzensberger, München 1999
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Diverse Schulbücher
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Gute Aufgaben Mathematik: Heterogenität nutzen - 30 gute Aufgaben - Für die Klassen 1
bis 4 von Volker Ulm (Hrsg.), Berlin 2008
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Wollen wir Mathe spielen? Von Kristin Dahl und Mati Lepp, Hamburg 2000
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Zahlen, Spiralen und magische Quadrate von Kristin Dahl und Sven Nordqvist, Hamburg
1996
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Gemeinsame Reflexion und Feedback
Magische Quadrate
Kopiervorlagen:
Vorbereitung
1. Stelle ein Zahlenquadrat her:
Trage die Zahlen 1 bis 9 der Reihe nach in das Quadrat ein. Beginne oben links mit der 1.
Lege mit Ziffernkärtchen nach (siehe Kopiervorlage Goethes Hexeneinmaleins).
Addiere die Zahlen von 1 bis 9. ________________________________________________________
Addiere die Zahlen in jeder Zeile, in jeder Spalte und in den beiden Diagonalen.
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__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
Was fällt dir auf? ____________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
Addiere nun alle Ergebnisse der Zeilensummen und Spaltensummen.
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
Was bemerkst Du? __________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
Welche Zahlen hast Du jeweils addiert? __________________________________________________
__________________________________________________________________________________
1
2. Betrachte nun die Zahlen in dem Quadrat genauer.
Welche Zahlen stehen in den Ecken? ____________________________________________________
Wie nennt man solche Zahlen? _________________________________________________________
Welche Zahlen stehen in den Seitenmitten? _______________________________________________
Wie heißen sie? _____________________________________________________________________
Welche Zahl steht in der Mitte? ________________________________________________________
3. Verändere das Zahlenquadrat:
Lösche alle ungeraden Zahlen in den Ecken. Lass die 5 in der Mitte stehen.
Schiebe nun alle geraden Zahlen im Uhrzeigersinn um eine Stelle weiter in die Ecken. (2 nach rechts,
6 nach unten, 8 nach links, 4 nach oben).
Welches Muster entsteht? _____________________________________________________________
Addiere nun die Zahlen der beiden Diagonalen.
Was fällt Dir auf? ___________________________________________________________________
Verteile nun die ungeraden Zahlen (1, 3, 5, 7) so im Quadrat, damit auch in jeder Zeile und in jeder
Spalte dieselbe Summe wie in den Diagonalen heraus kommt.
2
Lass die geraden Zahlen aus dem ursprünglichen Quadrat um 3, 5 oder 7 Stellen im Uhrzeigersinn
wandern. Wie musst du die ungeraden Zahlen nun einfügen?
Was fällt Dir auf? ______________________________________________________________
Diese Art von Zahlenquadraten heißt „magisches Quadrat“. Dort sind die Zahlen so verteilt, dass der
Wert der Summe in jeder
Zeile
Spalte
und Diagonale
gleich ist.
Diese Summe heißt auch „magische Zahl“.
3
Goethes Hexeneinmaleins
1. In dem Drama „Faust“ von Johann Wolfgang von Goethe steht die Anleitung für ein magisches
Quadrat. Diese Textstelle ist auch als „Hexeneinmaleins“ bekannt, weil eine Hexe eine Art
„Gebrauchsanweisung“ aus einem Buch vorträgt.
Lies Dir erst den Text links ganz durch. Lies dann die Anleitungen und Erklärungen und fülle dazu das
magische Quadrat aus.
Das Hexeneinmaleins
Anleitung
Du musst verstehn!
Kommentar
Es folgt die Anleitung für ein
magisches 3x3 Quadrat.
Aus Eins mach’ Zehn
Setze an die erste Stelle eines statt der 1 eine 10.
Und Zwei lass geh’n,
Setze an die zweite Stelle die 2.
Und Drei mach gleich.
Setze an die dritte Stelle die 3.
So bist Du reich.
Addiere die Zahlen in der ersten Zeile: Jetzt weißt Du
Die magische Zahl ist 15.
die magische Zahl.
Verlier die Vier!
Setze an die vierte Stelle eine 0.
Aus Fünf und Sechs,
Setzte an die fünfte Stelle die 7 und an die sechste
Lies erst noch die nächsten beiden
Stelle die 8.
Zeilen des Gedichts.
Setze an die siebte Stelle die 5 und an die achte Stelle
Die 5 und 6 werden mit der 7 und
die 6.
8 getauscht.
Setze die noch fehlende Zahl an die neunte Stelle. Die
Das magische Quadrat ist fast
magische Zahl hilft Dir dabei.
vollständig.
Das magische 3x3 Quadrat stellt eine Einheit dar, da
Hier erfährst Du außerdem welche
alle Zeilen- und Spaltensummen dieselbe Zahl ergeben.
Zahlen im 3x3 Quadrat fehlen.
So sagt die Hex’,
Mach Sieben und Acht,
So ist’s vollbracht:
Und Neun ist eins,
Und Zehn ist keins.
Ein magisches Quadrat aus zehn
Zellen gibt es nicht.
Das ist das Hexeneinmaleins.
So heißt das magische Quadrat.
4
Tipp: Du kannst auch ein magisches Quadrat zum Start nehmen, in dem die Zahlen 1 bis 9 der Reihe
nach ausgefüllt sind.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2. Untersuche das magische Quadrat vom Hexeneinmaleins genauer.
Betrachte Dir den Zahlenvorrat im Hexeneinmaleins. Welche Zahlen fehlen in der Zahlenreihe?
__________________________________________________________________________________
Kannst Du Dir denken warum das so ist? _________________________________________________
__________________________________________________________________________________
Vergleiche das magische Quadrat vom Zauberlehrling mit dem folgenden:
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1
6
3
5
7
4
9
2
Was fällt Dir auf? ___________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
Betrachte Dir jeweils auch die Diagonalensummen genauer.
5
Dürers Melancolia
1. Namen von magischen Quadraten
Magische Quadrate können auch aus mehr Zeilen und Spalten bestehen. Das kleinste magische
Quadrat, in das man unterschiedliche Zahlen einfügen kann, hat 3 Zeilen und 3 Spalten. Man sagt auch
3x3 magisches Quadrat dazu (sprich drei mal drei magisches Quadrat) oder auch magisches Quadrat
der dritten Ordnung. Es besteht aus 3 mal 3 = 9 Kästchen. Ein magisches Quadrat mit 4 Zeilen und 4
Spalten heißt 4x4 magisches Quadrat oder magisches Quadrat der vierten Ordnung. Es besteht aus 4
mal 4 = 16 Kästchen.
2. Das magische Quadrat von Albrecht Dürer
Betrachten wir ein besonderes magisches Quadrat der vierten Ordnung:
Dürers Bild Melancolia
Damit Du die Zahlen besser lesen kannst, ist neben dem Bildausschnitt ein Quadrat mit heutiger
Schrift abgedruckt:
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Ausschnitt (oben rechts)
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6
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4
15
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1
Albrecht Dürer hat von 1471 bis 1528 gelebt. Im magischen Quadrat hat er die Jahreszahl versteckt in
der das Bild entstanden ist. Sie steht in zwei nebeneinander liegenden Stellen.
Wann ist das Entstehungsjahr? _________________________________________________________
Wie alt war Albrecht Dürer damals? ____________________________________________________
3.3 Untersuchungen zur magischen Zahl
Kannst Du die magische Zahl herausfinden? ______________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
Dieses magische Quadrat ist ganz besonders. Betrachte nun die kleinen 2x2 Quadrate und addiere die
Zahlen darin.
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3
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5
10
11
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6
7
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4
15
14
1
Was fällt Dir auf? ___________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
Findest Du noch ein 2x2 Quadrat mit der magischen Zahl? Markiere es farbig.
7
Josts Centennium
Betrachte nun ein besonders schönes magisches Quadrat des Schweizer Künstlers und Lehrers Eugen
Jost. Um welche Art von magischem Quadrat handelt es sich?
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
Jost hat die Zahlen von 1 bis 100 für sein Bild verwendet – viele aber verschlüsselt. Dieses magische
Quadrat hat also 10x10 = 100 Kästchen.
Hast Du eine Vermutung, wie die magische Zahl heißen muss? _______________________________
__________________________________________________________________________________
Die magische Zahl entsteht immer nach einer bestimmten Regel:
Die Summe aller verwendeten Zahlen wird durch die Anzahl der Zeilen geteilt.
Berechne die magische Zahl.
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__________________________________________________________________________________
Das Bild heißt Centennium. Die Zahlen von 1 bis 100 zum Teil als Rätsel dargestellt. Wenn Du die
magische Zahl kennst, kannst Du auch schwierige Zahlen oder Lücken ausfüllen bzw. berechnen.
8
Josts Bild Centennium
9
In dieser Abbildung sind die unverschlüsselten Zahlen schon eingetragen.
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23
17
86
93
94
82
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77
96
95
89
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43
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50
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92
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73
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88
22
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62
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55
74
26
75
69
63
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33
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70
58
66
65
34
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40
38
46
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Hier einige Beispiele zur Lösung:
Römische Zahlen
C (3. Zeile, 1. Spalte) entspricht 100
Chemische Elemente
Rh (9. Zeile, 3. Spalte) steht als Abkürzung für das chemische
Element Rhodium. Es steht an der 45. Stelle im Periodensystem.
Somit ist die Zahl 45 verschlüsselt.
Figurierte Zahlen
1. Zeile, 1. Spalte. Addiere die Punkte im Muster. Die Summe ist 11.
Zahlenrätsel
1. Zeile, 8. Spalte. N, E, S, W stehen als englische Abkürzung für die
vier Himmelsrichtungen North (Norden), East (Osten), South (Süden),
West (Westen), also ist die 4 verschlüsselt.
Tipp: Teilt euch in Gruppen ein und entschlüsselt jeweils eine Art von Zahlen oder arbeitet zeilenbzw. spaltenweise.
10
Magische Quadrate für jüngere Schülerinnen und Schüler
1. Magische Quadrate haben in vielen Hochkulturen eine große Rolle gespielt. Im alten China spielte
ein bestimmtes magisches Quadrat, das Lo Shu (= Zahlendokument aus dem Fluss Lo) ein große
Rolle. Eine Legende sagt, dass das Lo Shu dem Kaiser Yü durch eine Schildkröte überbracht wurde.
Auf ihrem Rückenpanzer waren die Zahlen 1 bis 9 in Dreierreihen so angeordnet, dass die Summe in
jeder Zeile, Spalte und Diagonalen 15 ergibt. Solche Zahlenquadrate heißen „magische Quadrate“.
4
9
2
3
5
7
8
1
6
2. Fülle die folgenden magischen Quadrate so aus, dass die Summe 15 in jeder
Zeile
Spalte
und Diagonalen
entsteht. Verwende die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 immer nur einmal.
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5
8
2
1
3
6
3
5
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1
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3
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7
4
1
9
9
Was fällt Dir auf? ___________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
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3. Untersuche die magischen Quadrate genauer.
Welche Zahl steht immer an derselben Stelle? _____________________________________________
Wo steht sie? _______________________________________________________________________
Betrachte nun die oberen Zahlenquadrate. Schreibe die Zahlen in den Ecken auf.
Was fällt Dir auf? ___________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
Wie heißen diese Zahlen? _____________________________________________________________
Schau Dir die restlichen Zahlen an (jeweils in den Seitenmitten). Notiere sie.
Was fällt Dir auf? ___________________________________________________________________
Wie heißen diese Zahlen? _____________________________________________________________
Schreibe nun die Reihenfolge der Zahlen außen auf. Beginne immer oben links und wandere im
Uhrzeigersinn weiter.
Was fällt Dir auf? ___________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
Wie viele Möglichkeiten gibt es für 3x3 magische Quadrate mit den Zahlen 1 bis 9?
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
Tipp. Trage eine Lösung als Punktmuster auf eine Folie und vergleiche mit anderen Lösungen.
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Kopiervorlagen für Folien:
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Punktmuster und Figurierte Zahlen
Kopiervorlagen:
Punktmuster am Spielwürfel
1. Nimm einen Spielwürfel und betrachte Dir die Punktmuster darauf.
Zeichne die Punktmuster in die folgenden Gitter ab und schreibe die Anzahl der Punkte dazu.
Anzahl der Punkte: _____
Anzahl der Punkte: _____
Anzahl der Punkte: _____
Anzahl der Punkte: _____
Anzahl der Punkte: _____
Anzahl der Punkte: _____
Bei ausgeschriebenen Zahlen kannst Du die 6 und die 9 leicht verwechseln, wenn sie auf dem Kopf
stehen.
Die Punktmuster stehen für eine Zahl. Sie sind von allen Seiten gut lesbar – auch dann noch, wenn Sie
auf dem Kopf stehen. Probiere das mit dem Spielwürfel einmal aus.
2. Welche Zahlen sind als Punktmuster auf Deinem Spielwürfel?
Schreibe sie auf und addiere sie:
__________________________________________________________________________________
Welche Zahlen liegen sich gegenüber?
Schreibe immer die beiden gegenüberliegen Zahlen ab und addiere sie:
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
Was fällt Dir auf?
__________________________________________________________________________________
15
3. Erfinde neue Punktmuster für die Zahlen 7, 8 und 9. Trage sie in die 3x3Quadrate (sprich drei mal
drei Quadrate) ein. Sie heißen so, weil sie aus 3 Zeilen (von links nach rechts) und 3 Spalten (von
oben nach unten) mit quadratischen Kästchen bestehen.
7
8
9
4. Punktmuster kann man verscheiden anordnen. Probiere neue Lösungen aus im
3x3 Quadrat
4x4 Quadrat
5x5 Quadrat
1
2
3
16
3x3 Quadrat
4x4 Quadrat
5x5 Quadrat
4
5
6
7
8
9
17
5. Würfelnetze vom Spielwürfel untersuchen:
Wenn man die Flächen eines Würfels aufklappt, erhält man ein Würfelnetz. In Eugen Josts Bild
„Magische Quadrate“ ist ein Würfelnetz eines Spielwürfels abgebildet. Findest Du es?
Trage die Zahlen zu den Punktmustern in das Würfelnetz ein:
Wenn Du die Zahlen addierst, erfährst Du, welche Zahl Eugen Jost damit in seinem Bild versteckt hat:
__________________________________________________________________________________
Bei einem Spielwürfel ergeben die Punktmuster zweier gegenüberliegender Zahlen immer dieselbe
Summe. Wie heißt sie? _______________________________________________________________
Wenn Du das weißt, kannst Du die fehlenden Zahlen in den folgenden Würfelnetzen ergänzen.
6
3
6
2
1
5
2
3
3
4
1
5
2
4
4
1
2
3
1
6
4
5
2
6
Es gibt auch noch andere Würfelnetze.
Notiere die möglichen Zahlen für einen Spielwürfel.
18
Dreieckszahlen untersuchen
Lege die Muster mit Wendeplättchen nach.
Zähle die schwarzen Punkte.
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●●●●
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●●●●
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Anzahl der schwarzen
Punkte: ____
Anzahl der schwarzen
Punkte: ____
Anzahl der schwarzen
Punkte: ____
Anzahl der schwarzen
Punkte: ____
Schreibe die Zahlen nacheinander in eine Zahlenfolge: ______________________________________
Wieviele Punkte müssen in die nächste Zeile? _____________________________________________
Wie könnte die nächste Zahl heißen? ____________________________________________________
●
●●
●●●
●●●●
________________
________________
Wie geht es weiter? __________________________________________________________________
Was fällt Dir auf? ___________________________________________________________________
Welche Regel erkennst Du? ___________________________________________________________
____________________________________________________________________________
Die Punkte ergeben die Form eines Dreiecks. Deswegen heißen die Zahlen in dieser Folge
Dreieckszahlen.
19
Bei dieser Zahlenfolge fehlen Zahlen. Schreibe sie auf: _____________________________________
Markiere im Punktmuster die fehlenden Zahlen:
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●●●●
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●●●
●●●●
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●●●
●●●●
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●●●
●●●●
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●●
●●●
●●●●
Anzahl der
markierten Punkte:
____
Anzahl der
markierten Punkte:
____
Anzahl der
markierten Punkte:
____
Anzahl der
markierten Punkte:
____
Anzahl der
markierten Punkte:
____
Was fällt Dir auf? ___________________________________________________________________
Du kannst die Punktmuster der Dreieckszahlen auch anders anordnen:
So kannst Du besser sehen, wie viele Punkt in jeder Zeile dazu kommen.
Wie geht es weiter?
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_________________________
_________________________
_________________________
Verbinde die äußeren Punkte zu Dreiecken.
20
Mit Dreieckszahlen rechnen
Wenn man Dreieckszahlen addiert, kann man interessante Beobachtungen machen.
1. Zwei unterschiedliche Dreieckszahlen addieren.
Trage in die Kästchen zwei aufeinander folgende Dreieckszahlen ein.
Zähle alle Punkte. Schreibe eine Rechnung dazu auf.
●
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1. Dreieckszahl
Anzahl der Punkte:___
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2. Dreieckszahl
Anzahl der Punkte:___
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3. Dreieckszahl
Anzahl der Punkte:___
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4. Dreieckszahl
Anzahl der Punkte:___
●
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Anzahl der Punkte: ________________ Rechnung: ________________________________
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●
●
Anzahl der Punkte: ________________ Rechnung: ________________________________
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●
●
Anzahl der Punkte: ________________ Rechnung: ________________________________
21
Wie kann das nächste Muster aussehen?
Anzahl der Punkte: ________________ Rechnung: ________________________________
Betrachte die Form Deiner Punktmuster noch einmal. Welchen Namen könntest Du den neuen Zahlen
geben? ____________________________________________________________________________
Schaue Dir die Ergebnisse der Rechnungen an. Vielleicht kennst Du schon den Namen für diese
Zahlen: ___________________________________________________________________________
Kannst Du die Ergebnisse Deiner Rechnungen auch als Multiplikation darstellen?
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
Wie heißen die nächsten Zahlen in dieser Folge? ___________________________________________
Schreibe Sie als Addition zwei aufeinander folgender Dreieckszahlen und als Produkt aus zwei
gleichen Zahlen auf:
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
Kannst Du eine allgemeine Beschreibung finden, was passiert, wenn man zwei aufeinander folgende
Dreieckszahlen addiert?
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
22
2. Zwei gleiche Dreieckszahlen addieren.
Trage in die Kästchen zwei gleiche Dreieckszahlen ein.
Zähle alle Punkte. Schreibe eine Rechnung dazu auf.
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Anzahl der Punkte: ________________ Rechnung: ________________________________
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Anzahl der Punkte: ________________ Rechnung: ________________________________
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●
Anzahl der Punkte: ________________ Rechnung: ________________________________
Wie kann das nächste Muster aussehen?
Anzahl der Punkte: ________________ Rechnung: ________________________________
Findest Du einen Namen für diese Muster? _______________________________________________
Findest Du eine Regel für diese Zahlen? _________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
23
Codes
Kommentar:
1. Thema und Intention
Sie begegnen uns überall beim Einkauf: Geheimnisvolle Ziffern auf Büchern, Lebensmitteln und
Spielsachen. Auch auf dieser Buchrückseite sind sie zu finden – und dann gleich noch zwei
unterschiedliche Ziffernfolgen.
ISBN-13: 978 – 3 – 589 – 05129 – 8
ISBN-10:
3 – 589 – 05129 – 9
Doch wer hat sich schon jemals genauer mit den so genannten ISBN-Codes oder EAN-Codes befasst?
Warum sind sie auf Waren abgedruckt und was verbirgt sich eigentlich dahinter?
Auf fast allen verpackten Waren ist eine 13-stellige Artikelnummer abgedruckt, die so genannte EAN
(Europäische Artikel Nummer). Diese steht in der Regel unter dem Strichcode, der von der
Scannerkasse zur Preisbestimmung eingelesen wird. Zudem dient der Code auch zur Lagerverwaltung
und Warenbestellung. Die EAN besteht aus vier Zifferngruppen, wie beispielsweise 40 – 06298 –
00660 – 7. Die ersten beiden Ziffern informieren über das Herstellungsland (40 bis 44 für
Deutschland), dann folgen fünf Ziffern zur Bezeichnung des Herstellers, die weiteren fünf stellen eine
firmeninterne Produktnummer dar und die letzte Ziffer ist die Prüfziffer.
Zur Überprüfung, ob die EAN richtig erfasst ist, wird die Prüfsumme wie folgt berechnet: Die Ziffern
an ungeraden Stellen der EAN werden mit 1 und an geraden Stellen mit 3 multipliziert, alle so
entstandenen Zahlen werden dann addiert, also: Erste Ziffer · 1 + zweite Ziffer · 3 + dritte Ziffer · 1 +
vierte Ziffer · 3 + ... + zwölfte Ziffer · 3 + dreizehnte Ziffer · 1. Die letzte Ziffer, die Prüfziffer, wird in
der EAN stets so gewählt, dass die Prüfsumme ein Vielfaches von 10 ist.
Bei Büchern wird ein so genannter ISBN-Code vergeben (Internationale Standard Buch Nummer).
Neuerdings umfasst er 13 Ziffern, die zu fünf Gruppen zusammengefasst sind, wie beispielsweise 978
– 3 – 589 – 05129 – 8. Die ersten drei Ziffern (978 oder 979) bezeichnen den Gegenstand Buch, dann
folgt eine Ziffer zum Sprachgebiet (3 für deutsch), die folgenden drei Ziffern dienen zur Bezeichnung
des Verlages, die weiteren fünf stellen die firmeninterne Produktnummer dar und die letzte Ziffer ist
die Prüfziffer. Sie wird so gewählt, dass die wie bei der EAN berechnete Prüfsumme ein Vielfaches
von 10 ist.
Bei den älteren 10-stelligen ISBN-Codes ist die Prüfsumme allerdings anders festgelegt: Erste Ziffer ·
10 + zweite Ziffer · 9 + dritte Ziffer · 8 + vierte Ziffer · 7 + ... + neunte Ziffer · 2 + zehnte Ziffer · 1.
Die letzte Ziffer ist wiederum Prüfziffer und wird so hinzugefügt, dass die Prüfsumme ein Vielfaches
von 11 ist. (Sollte hierfür eine 10 notwendig sein, wählt man das Zahlzeichen X, die römische 10.)
24
Der besondere Reiz in der Behandlung dieser Codes liegt in der Allgegenwärtigkeit des Themas. Die
Kinder können sich in vielfältiger und anspruchsvoller Art und Weise als „Zifferndetektive“ betätigen.
Durch die Berechnung der Prüfsumme bzw. der Prüfziffer üben sich die Kinder in der Multiplikation
und Addition mehrerer Zahlen. Komplexe Aufgabenbildungen und -berechnungen sind möglich, die
sich von üblichen „Päckchen“ zur Multiplikation durch ihren Alltagsbezug abheben.
Bezug zu den Bildungsstandards
Zahlen und Operationen
Darstellen
Kommunizieren
2. Durchführung
Die Lehrkraft nimmt verschiedene Gegenstände aus einem Einkaufskorb und weist auf die Ziffern des
EAN-Codes bzw. den Strichcode hin. Gemeinsam wird vom Einkaufen und speziell von Erfahrungen
an der Kasse (Signalton, wenn der richtige Strichcode über die Scannerkasse gezogen wird) berichtet.
Wenn kein akustisches Signal ertönt, zieht die Kassiererin die Ware wiederholt über die Scannerkasse
bzw. gibt den EAN-Code per Hand ein. Wie also funktioniert dieser Code bzw. wie weiß die Kasse,
ob die Ziffern richtig sind? Die Lehrkraft erläutert das Prüfverfahren – auf dem Arbeitsblatt ist dies
schriftlich festgehalten. Die Kinder berechnen die Prüfsumme von verschiedenen – möglichst realen –
Gegenständen. Dabei sollen sie erkennen, dass die Prüfsumme immer ein Vielfaches von 10 ist. Dann
können die Kinder das Arbeitsblatt weiter bearbeiten und sich partnerweise Aufgaben zu fehlenden
Prüfziffern stellen. Beispielsweise können die Kinder von Gegenständen aus ihrem Schulranzen alle
Ziffern bis auf die Prüfziffer dem Partner diktieren, der dann die Prüfziffer berechnet. Anhand des
Gegenstandes kann eine Überprüfung der Berechnung erfolgen.
Will man die Thematik vertiefen, bietet es sich an, auf Fehlerquellen beim Lesen des Codes
einzugehen. Auf dem Arbeitsblatt wird beispielhaft eine Vertauschung zweier benachbarter Ziffern
behandelt. Eine solche Verwechslung wird mit Hilfe der Prüfsumme erkannt, wenn diese dann keine
Zehnerzahl mehr ist. Allerdings wird im Beispiel 978 – 3 – 589 – 05129 – 8 eine Verwechslung der 8.
und der 9. Stelle mit der Prüfsumme nicht entdeckt. (Sie bleibt eine Zehnerzahl.) Dies wirft dies die
Frage auf, welche Vertauschungen benachbarter Ziffern mit der Prüfsumme unerkannt bleiben. Dazu
können systematisch für je zwei benachbarte Ziffern a und b die Ausdrücke a·1 + b·3 = ... und b·1 +
a·3 = ... in Gruppenarbeit berechnet werden. Ist die Differenz der beiden Ziffern 5, so verändert ein
Vertauschen der Ziffern die Prüfsumme um 10, sie bleibt also eine Zehnerzahl. Im Code können
solche Vertauschungen nicht erkannt werden.
25
Innerhalb des Stunden- bzw. Sequenzablaufes kann variiert werden. Als alternativen Einstieg in die
Thematik lesen die Kinder von verschiedenen mitgebrachten Gegenständen die Ziffern bis auf die
letzte (Prüf-)Ziffer vor. Die Lehrkraft errechnet die „Zauberzahl“. Die Kinder stellen Vermutungen an,
wie diese gefunden werden kann.
Schnelle Rechner können weitere Gegenstände mit einem EAN-Code in ihrem Schulranzen suchen
und die Prüfsumme berechnen. Für alle ist eine Weiterführung des Themas mit Gegenständen aus dem
Klassenzimmer oder als Hausaufgabe mit dem Lieblingsbuch, dem Lieblingsspiel, der (verpackten)
Lieblingsspeise etc. denkbar.
3. Material und mögliche Anschlussaufgaben
Das Arbeitsblatt fasst das Thema für die Schüler kompakt zusammen. Ergänzend dazu sollte immer
mit EAN-Codes verschiedener realer Gegenstände gearbeitet werden – sie lassen sich im
Klassenzimmer, im Schulranzen oder zuhause leicht finden. So kann das Interesse der Kinder schnell
und nachhaltig geweckt werden.
Das Thema Codes ist ein weites Feld, zu dem nur ein paar ausgewählte weiterführende Anregungen
gegeben werden sollen.
Recherche, welche Informationen sich hinter den Länder-, Sprachgebiet- und Herstellercodes
verbergen. Tipp: Anhand der EAN-Codes kann man den Herstellern von Handelsmarken für
Discounter auf die Spur kommen.
Untersuchung von verkürzten 8-stelligen EAN-Codes. Die Kinder haben eventuell schon
Gegenstände mit solchen bei ihrer Suche nach EAN-Codes gefunden. Diese sollten aber gesondert
behandelt werden.
Tipp: 8-stellige EAN-Codes werden in der Regel an Hersteller mit geringem Warensortiment
vergeben, so dass die Hersteller- und Artikelnummer entsprechend verkürzt dargestellt werden
können. Die Verschlüsselung findet auch nach einem alternieirenden Prinzip statt: Bei den
geraden Stellen wird mit drei, bei den ungeraden mit eins multipliziert und daraus eine Summe
gebildet. Diese ist ein Vielfaches von 10.
Aufgabe: Wandle die 13-stelligen EAN-Codes von Büchern in 10-stellige ISBN-Codes um.
Beispiel dieses Buches:
EAN (ISBN-13)
978 – 3 – 589 – 05129 – 8
ISBN (ISBN-10)
3 – 589 – 05129 – 9
Tipp: Die ersten drei Ziffern fallen weg und die Prüfziffer muss geändert werden.
Aufgabe: Was passiert bei Verwechslung von zwei Ziffern?
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Die Weiterführung des Themenkomplexes „geheime Ziffern“ bietet Anlass, selbst einen
„Geheimcode“ zu erfinden. Man könnte Geburtsdaten als 8-stelligen Code darstellen, Tag und
Monat jeweils 2-stellig, Jahr 4-stellig, beispielsweise 25022001. Tipp: Fächerübergreifend bietet
sich auch die Behandlung von Hieroglyphen oder Morse-Codes an.
Ausblick: Bei Zifferncodes ist nur eine bedingte Fehlererkennung möglich
(Einzelfehler bei EAN-Codes oder Vertauschung bei ISBN-Codes). Optische
Codes wie der QR-Code (Quick Response) können Fehler erkennen und diese
bei bis zu 30 Prozent Fehlerquote selbst korrigieren. Zudem können sie Informationen in sich
tragen. Beispiele für QR-Codes finden sich in der Printwerbung, auf Tickets und im Briefverkehr,
sowie beim Bild „Geheimnisvolle Codes“ von Eugen Jost auf dem Kalender „Alles ist Zahl 2008“
bzw. in der Ausstellung „Alles ist Zahl“ im Deutschen Technikmuseum Berlin 2009-2010.
4. Quellen:
•
Baptist, Peter (Hrsg. 2008): Alles ist Zahl, Köln
•
Beutelspacher, Albrecht (2001): Pasta all`infinito, München
•
Ulm, Volker (Hrsg. 2008): Gute Aufgaben Mathematik: Heterogenität nutzen - 30 gute Aufgaben
- Für die Klassen 1 bis 4, Berlin
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Kopiervorlage:
Geheime Ziffern?
Wenn du Einkaufen gehst, findest du auf vielen Gegenständen eine 13-stellige Warennummer. Diese
Ziffern bilden den EAN-Code. Das ist die Abkürzung für Europäische Artikel Nummer. Dieser Code
steht in der Regel unter dem Strichcode, mit dem die Scannerkassen im Supermarkt den Preis erfassen.
Der EAN-Code des Buches „Gute Aufgaben Mathematik“ lautet:
978
–
3
–
589
–
05129
↑
↑
↑
↑
Buch
Sprach-
Verlag
Artikel
–
8
↑
Prüfziffer
gebiet
Mit der Prüfsumme kann man errechnen, ob der Computer der Kasse die EAN richtig gelesen hat.
Die Prüfsumme berechnet man, indem man die Ziffern an ungeraden Stellen der EAN mit 1 und an
geraden Stellen mit 3 multipliziert. Dann addiert man alle so entstandenen Zahlen.
1. Berechne die Prüfsumme folgender Artikel:
a) Buch „Gute Aufgaben Mathematik“ 978 – 3 – 589 – 05129 – 8
9·1 +7·3 +8·1 +3·3 +5·1 +8·3 +9·1 +0·3 +5·1 +1·3 +2·1 +9·3 +8·1=
Tipp: Rechne die Aufgaben zum 1er- und 3er-Einmaleins extra und addiere dann die Ergebnisse.
b) „Powerslide Inliner Protektoren-Set“ 40 – 40333 – 21903 – 4
c) „Selters Apfelschorle“ 40 – 53400 – 25729 – 7
Untersuche auch viele eigene Beispiele. Was fällt dir auf? ___________________________________
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2. Die letzte Ziffer ist die so genannte Prüfziffer. Sie wird so gewählt, dass die besondere Eigenschaft
der Prüfsumme entsteht. Berechne die fehlenden Prüfziffern folgender Bücher:
a) „Gute Aufgaben Deutsch“ 978 – 3 – 589 – 05131 – ?
b) „Bildungsstandards für die Grundschule“ 978 – 3 – 589 – 05130 – ?
3. Nun bauen wir einen Fehler ein. Vertausche immer zwei benachbarte Ziffern im EAN-Code 978 –
3 – 589 – 05129 – 8 und berechne die Prüfsumme.
Wird dieses Vertauschen mit der Prüfziffer bemerkt? _______________________________________
Welche Erklärung hast du dafür? _______________________________________________________
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Palindrome
Kopiervorlagen:
ANNA-Zahlen
1. Berechne:
2112
- 1221
3223
- 2332
4334
- 3443
3113
- 1331
6464
- 4646
7557
- 5775
9779
- 7997
Was ist das Besondere an diesen Zahlen und den Rechenaufgaben?
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Was beobachtest du bei den Ergebnissen? Kannst du dies erklären?
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Veranschauliche die Rechnungen auch in der Stellenwerttafel. Lege beispielsweise 2112.
Verschiebe Plättchen so, dass 1221 entsteht.
Tausender
Hunderter
Zehner
Einer
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2. Berechne:
3113
- 1331
5225
- 5225
8558
- 5885
7337
- 3773
9339
- 3993
9559
- 5995
8228
- 2882
Was ist hier das Besondere an den Zahlen und den Rechenaufgaben?
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__________________________________________________________________________________
Was beobachtest du bei den Ergebnissen? Kannst du dies erklären?
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Veranschauliche die Rechnungen wieder an der Stellenwerttafel.
3. Multipliziere 891 mit 1, 2, 3, ..., 9. Was fällt dir auf?
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4. Zahlen der Form „ANNA“, bei denen die Tausenderziffer gleich der Einerziffer und die
Hunderterziffer gleich der Zehnerziffer ist, heißen ANNA-Zahlen.
Erfinde Aufgaben mit ANNA-Zahlen.
Suche Aufgaben mit den Ergebnissen 891, 1782, 2673, 3564, 4455, ...
5. Wie viele ANNA-Zahlen gibt es?
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AHA-Zahlen
1. Berechne und vergleiche.
212
323
- 121
- 232
434
- 343
545
- 454
665
- 566
535
- 353
646
- 464
Was fällt dir auf?
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Veranschauliche die Rechnungen auch in der Stellenwerttafel.
Hunderter
Zehner
Einer
2. Berechne und setze die Reihe fort.
767
757
747
- 676
- 575
- 474
3. Erfinde selbst solche Aufgaben.
4. Schau dir alle Rechnungen und Ergebnisse noch einmal an. Was haben die Ziffern und die
Ergebnisse miteinander zu tun?
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Tipp: Du kannst die Stellenwerttafel zu Hilfe nehmen.
5. Was haben diese Zahlen mit „AHA“ zu tun?
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Wie viele AHA-Zahlen gibt es?
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