2–loop

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2–loop

M ASSIVE PARTICLE P RODUCTION
Project B1:
Precision calculations
of massive particle production processes
Johannes Blümlein, Fred Jegerlehner, Tord Riemann (DESY)
Status Report B1
F. J EGERLEHNER
DESY Zeuthen and Humboldt University Berlin
F. Jegerlehner
Report, SFB/TR 09, Karlsruhe
– Oct 4, 2004 –
B1 the actors:
Project leaders: J. Blümlein, F. Jegerlehner, T. Riemann
Project positions: O. Tarasov, M. Kalmykov (6mt), A. Lorca (6mt)
Associated: M. Awramik, J. Gluza, H. Kawamura
Guests: M. Czakon, V. Gerdt, J. Fleischer, K. Kołodziej
11 Original Publications
20 Conference Proceedings
F. Jegerlehner
– Oct 4, 2004 –
Phenomenology: Mostly ILC (International Linear Collider) physics
Precise test of the limitations of the SM require a LC like the ECFA/DESY TESLA
machine
Technologically such accelerators can be built now !
ICFA recommendation: world wide effort to built ILC based on cold technology
• Physics:
– Higgs and gauge boson properties, Higgs couplings
– SUSY spectrum, SUSY Higgs, scenarios
– exploring the extra dimensions
– many other possibilities
• Theory: SM as “background” in first place
Extraordinary challenge: must learn to handle precise and efficient computations of
10000’s of diagrams. Very complicated mass structure.
F. Jegerlehner
– Oct 4, 2004 –
• computer algebra; automatization of calculations
• numerical methods; multi precision calculations
• computing resources; massive parallel computing
up to real γ radiation + background
virtual
particles
e+ e− →
|
F. Jegerlehner
{z
incl. QCD
GB production
}
→ Z, W W, γZ, ZH →
|
{z
}
unstable
particles
???
– Oct 4, 2004 –
virtual
particles
|
{z
incl. QCD
GB decay
→
}
2f , 2f γ, 4f , 4f γ, · · ·
|
{z
}
leptons, neutrinos
quarks, gluons → jets of hadron
Monte Carlo event generator
Examples: tree unitary gauge, loops linear Rξ gauge
process
# diagrams
e+ e− → 4f [4fγ ]
e+ e− → µ− ν̄µ ud¯ [e+ e− dd¯]
e+ e− → e+ e− e+ e−
V → V (V = W, Z )
W →W
Z→Z
⇒ 6 to 144 [14 to 1008]
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
loop level
tree
•
1907 [8522]
1–loop
21444
1–loop
∼ 50
1–loop
4084 (792 1pi)
2–loop
2348 (616 1pi
2–loop
}
(1)
(2)
proliferation in number of final state channels: 81 essentially different channels in
e+ e− → 4f a
¯ − ν̄µ , udτ
¯ − ν̄τ , cs̄µ− ν̄µ , cs̄τ − ν̄τ , tb̄µ− ν̄µ , tb̄τ − ν̄τ , cs̄dū, tb̄dū, tb̄sc̄, ντ τ + µ− ν̄µ , uddū
¯ , cs̄sc̄, tb̄bt̄,
e+ e− → udµ
¯ − ν̄e , cs̄e− ν̄e , tb̄e− ν̄e , νµ µ+ e− ν̄e , ντ τ + e− ν̄e , µ+ µ− τ + τ − , µ+ µ− ν̄τ ντ ,
νµ µ+ µ− ν̄µ , ντ τ + τ − ν̄τ , νe e+ e− ν̄e , ude
τ + τ − ν̄µ νµ , ν̄τ ντ ν̄µ νµ , µ+ µ− e+ e− , τ + τ − e+ e− , µ+ µ− ν̄e νe , τ + τ − ν̄e νe , ν̄µ νµ ν̄e νe , ν̄µ νµ e+ e− , µ+ µ− µ+ µ− ,
τ + τ − τ + τ − , ν̄µ νµ ν̄µ νµ , e+ e− e+ e− , ν̄e νe ν̄e νe , ūuµ+ µ− , ūuτ + τ − , ūuν̄µ νµ , c̄cµ+ µ− , c̄cτ + τ − , c̄cν̄µ νµ , t̄tµ+ µ− ,
¯ + µ− , ddτ
¯ + τ − , ddν̄
¯ µ νµ , s̄sµ+ µ− , s̄sτ + τ − , s̄sν̄µ νµ , b̄bµ+ µ− , b̄bτ + τ − , b̄bν̄µ νµ , ūue+ e− , c̄ce+ e− ,
t̄tτ + τ − , t̄tν̄µ νµ , ddµ
¯ + e− , s̄se+ e− , b̄be+ e− , ūuν̄e νe , c̄cν̄e νe , t̄tν̄e νe , ddν̄
¯ e νe , s̄sν̄e νe , b̄bν̄e νe , ūus̄s, ūub̄b, c̄cdd
¯ , c̄cb̄b, t̄tdd
¯ , t̄ts̄s,
t̄te+ e− , dde
¯ , dd
¯ b̄b, ūuc̄c, ūut̄t, ūuūu, c̄cc̄c, dd
¯ dd
¯ , s̄ss̄s, b̄bb̄b.
dds̄s
a
(1) F.J, K. Kołodziej
F. Jegerlehner
– Oct 4, 2004 –
(2) F.J, M. Kalmykov, O. Veretin
✙ State of the art in electroweak 2 → 2 processes
Complete 2 → 2 at 1–loop calculations have been performed long time ago.
(Veltman, Passarino ’79, Sirlin, Marciano, ’79, ....)
Today largely automatized, standard procedures
(Böhm et al. [Feynarts/Feyncalc,
FF/Looptools], Tanaka et al.
[GRACE/BASES], Bardin et al. [SANC], Passarino et al.· · ·). At the 2–loop level a
substantial set of leading corrections have been calculated (heavy top, heavy Higgs,
QCD–corrections, QED-corrections). For no channel of 2f
→ 2f a complete 2–loop
calculation exists! This, in spite of the fact, that such a calculation would have been
very important for the interpretation of the Higgs mass bound from LEP/SLC.
Most SM calculations concern ∆ρ, ∆r , Γ(Z
→ bb̄), etc. Typically: leading effects, more
recently complete for µ- decay rate (static limit)
F. Jegerlehner
– Oct 4, 2004 –
❏ B1 goals
• Full 2-loop corrections to e+ e− → f f¯; High precision calculation near Z resonance
(GigaZ option of ILC) Awramik, Czakon, F.J., Kalmykov
• 2-loop calculation of the Bhabha cross section; monitoring process for luminosity
measurements at the ILC Czakon, Gluza, Riemann, Tarasov, Fleischer
• Precision extraction of the fine structure constant α as input for precision
calculations F.J.
• Calculation of basic processes like Higgs and gauge boson production in
e+ e− –annihilation at high energies with multi-particle final states at 1–loop
Aspects:
−− automatization of 2 → 2 as a first step Riemann, Fleischer, Lorca DIANA and
aITALC
−− extension of FF numerical package to 5-,6-,...-point functions
Tarasov, F.J., Kołoziej, Fleischer
−− bremsstrahlung complement of 1–loop virtual corrections Kołoziej, F.J. ee4fγ
F. Jegerlehner
– Oct 4, 2004 –
• For the reduction of Feynman integrals to a set of independent basic integrals (MIs)
large systems of IBP (integration by parts) or LI (Lorentz invariance) identities are
used, which may be incomplete or overcomplete. A systematic determination is
possible with the help of a decomposition in terms of a Gröbner basis. The use of
this technique is relatively unexplored, but becomes more and more important as
problems become more and more complex. Program libraries of Gröbner basis
representations of MIs are developed. Tarasov, Gerdt
• Calculation of QED corrections to polarized lepton scattering (like DIS) Blümlein
F. Jegerlehner
– Oct 4, 2004 –
■ Steps towards full two-loop SM calculations
Aim: so far little feeling for size of corrections from bosonic sector.
Very complex: electroweak SM: 57 vertices, 11 types of lines (fermions as one fermion
doublet) ⇒ “multiple factorial” growth of complexity; very different mass scales !
• QED and QCD on electroweak processes: limited number of diagrams
• relatively small number of diagrams involving top or physical Higgs
• full gauge boson sector (incl. Higgs- and Fadeev-Popov ghosts) large number of
diagrams
Steps of technical complications: self–energies
→ form–factors → boxes → · · ·
Complete calculations of observables available so far only for µ–decay
Awramik&Czakon, Onishchenko&Veretin
Full two–loop renormalization program: need full set of counter terms. e.g., on-shell
renormalization scheme α, MZ and MW as basic parameters (QED–like scheme) →
calculate gauge boson mass counter-terms (equiv.
F. Jegerlehner
– Oct 4, 2004 –
MS vs. pole mass relation)
Main results:
❏ Full set of SM 2–loop counterterms: α, masses, wave function renormalization CT’s
2
)
❏ MW prediction in terms of α, Gµ and MZ complete 2–loop up to O(m2µ /MW
lept
❏ sin2 Θeff prediction in terms of α, Gµ and MZ full 2–loop fermionic corrections
Still waiting for complete 2–loop 2f
→ 2f (e+ e− -annihilation or scattering)
Status of projects:
❏ 2–Loop QED BHABHA Project: Cakon, Gluza, Riemann
• Factorizable 2–loop corrections
• 2–loop Master Integrals (MIs):
- Last four missing 2–loop 3–point MIs calculated
- 33 2–loop 4–point MIs:



 5
1


 27
published (semi-) analytical
additional calculated
remain to be done
DiaGen/IdSolver C++ libraries (see Czakon’s presentation)
plus Fermat, FORM, Maple and Mathematica
Tools:
F. Jegerlehner
– Oct 4, 2004 –
1
❏ Gröbner Basis project: general tool for systematic reduction to master integrals:
2–loop 2–point functions, 2–loop 3–point functions (see Tarasov’s presentation)
Tool:
Maple (Polynom Division) in conjunction with Qgraph, DIANA, FORM
❏ Complete 2–loop counterterm calculations
Bosonic contribution
Number of diagrams
one-loop
:
two-loop
:
linearRξ
gauge nonlinearRξ gauge
1P I
T otal
Z
616
W
792
∼ 50
1P I
T otal
2348
410
1837
4084
537
2942
With one massive fermion family
1P I
T otal
1P I
T otal
Z
802
4410
550
3631
W
990
7780
669
5604
two-loop
F. Jegerlehner
:
– Oct 4, 2004 –
1
Approach:
QGRAPH → DIANA → FORM → MAPLE high precision numerics required !
To get numerically stable results it is necessary to work on MAPLE with sufficiently high
accuracy (our experience: we get an accuracy of 40 decimals) (when calculating with
100 decimals).
ON-SHELL2 package (QED/QCD type) now extended to full SM (general type) PRO2 (
F.J. M. Kalmykov) for automated calculation of generic 2–loop 2–point functions
– expansion techniques, analytic representations, 1–dim integral representations
(Bauberger et al. package)
Universal Higher Order QED Corrections to Polarized Lepton Scattering
Blümlein, Kawamura
• Resummation of the O(α ln(Q2 /m2e )k ) terms up to k = 5 in analytic form in the
complete z -region for the singlet and the non-singlet contributions.
• Resummation of the O((α ln2 (z))k ln(Q2 /m2e )) terms to all orders [Leading high
energy resummation] important for HERA
F. Jegerlehner
– Oct 4, 2004 –
1
Final
Indirect
Higgs boson mass “measurement”
GeV
0.23098 ± 0.00026
Al(Pτ)
0.23159 ± 0.00041
had
Direct lower bound:
mH > 114 GeV at 95% CL
0.2324 ± 0.0012
Preliminary
0,b
Afb
0,c
Afb
0.23210 ± 0.00030
0.23223 ± 0.00081
0.23147
± 0.00017
2
Average
Indirect upper bound:
mH < 260 GeV at 95% CL
W, Z
Al(SLD)
Qfb
e+ e− → τ : ⇒ δmH ∼ −19 GeV
H
0.23099 ± 0.00053
H
W, Z
W, Z
W, Z
10
mH [GeV]
mH =
114+69
−45
0,l
Afb
10
χ /d.o.f.: 9.7 / 5
3
2
0.23
• mt = 174 ± 5.1 → 178 ± 4.3 GeV ⇔ δMH = +20 GeV
∆α(5)
had= 0.02761 ± 0.00036
mt= 178.0 ± 4.3 GeV
0.232
2 lept
sin θeff
0.234
• new: full 2-loop electroweak fermion contribution to sin2 Θlept
eff ⇔ δMH = +19 GeV
M. Awramik et al. 2004
F. Jegerlehner
(LEP Electroweak Working Group: D. Abbaneo et al. 04)
– Oct 4, 2004 –
1
❏ Outlook
❏ Full 2–loop 2 → 2 proceses as required for future LC physics still some way to go !
❏ Full 1–loop 2 → 4 processes still no channel done
However: Progress in 2 → 3 processes KEK group, Denner et al., F.J., Tarasov (analytic
part only)
Double pole resonance approximations:
e+ e− → W W → 4f Jadach et al., Denner et al.
e+ e− → HZ → 4f Kołodziej, Westwanski, F.J. (new)
Still a big challenge:
• Full automatisation (join efforts !)
• Improving on efficiency
– alalytical part
– numerics
– appropriate mixing of different approaches (analytic vs. numerical)
• numerical stability
F. Jegerlehner
not to talk about event generators!
– Oct 4, 2004 –
1
Papers:
1. SFB/CPP-03-02 J. Fleischer, A. Leike, T. Riemann, A. Werthenbach
Elektroweak one-loop corrections for e+ e− annihilation into tt̄ including hard bremsstrahlung
Eur. Phys. J. C 31 (2003) 37
2. SFB/CPP-03-06 J. Fleischer, F. Jegerlehner, O. Tarasov
A new hypergeometric representation of one-loop scalar integrals in d dimensions
Nucl. Phys. B 672 (2003) 303
3. SFB/CPP-03-13 A. Lorca, T. Riemann, A. Werthenbach, T. Hahn, W. Hollik
O(alpha) electroweak corrections to the processes e+ e−
ECFA/DESY LCWS Amsterdam 03
→ τ − τ + , cc̄, bb̄, tt̄ - a comparison
4. SFB/CPP-03-16 K. Kołodziej, F. Jegerlehner
ee4f γ : a program for computing e+ e− → 4f, 4f γ with nonzero fermion masses
Comput. Phys. Commun. to appear
5. SFB/CPP-03-17 F. Jegerlehner
Hadronic vacuum polarization effects in αem (MZ )
in *Zeuthen 2003, Electroweak precision data and the Higgs mass* 97-112
6. SFB/CPP-03-19 F. Jegerlehner and M.Yu. Kalmykov
The O(ααs ) correction to the pole mass of the t-quark within the Standard Model
Nucl. Phys. B 676 (2004) 365
F. Jegerlehner
– Oct 4, 2004 –
1
7. SFB/CPP-03-29 J. Blümlein and H. Kawamura
NLL QED Corrections to Deep Inelastic Scattering
DIS 2003
8. SFB/CPP-03-43 A.I.Davydychev and M.Yu.Kalmykov
Massive Feynman diagrams and inverse binomial sums
hep-th/0303162 unpublished
9. SFB/CPP-03-47 S. Ghozzi, F. Jegerlehner
Isospin Violating Effects in e+ e− versus τ Measurements of the Pion Form-Factor |Fπ |2 (s)
Phys. Lett. B 583 (2004) 222
10. SFB/CPP-03-50 F. Jegerlehner, M.Y. Kalmykov
O(ααs ) Relation Between Pole- and MS-Bar Mass of the T Quark
Acta Phys. Polon. B 34 (2003) 5335 (Ustron 03)
11. SFB-CPP-03-51 J. Blümlein
Algebraic Relations Between Harmonic Sums and Associated Quantities
Comput. Phys. Commun. 159 (2004) 19
12. SFB-CPP-03-53 A. Biernacik, K. Kołodziej, A. Lorca, T. Riemann
Towards High Precision Predictions for Top Quark Pair Production and Decay at a Linear Collider
Acta Phys. Polon. B 34 (2003) 5487 (Ustron 03)
F. Jegerlehner
– Oct 4, 2004 –
1
13. SFB/CPP-04-?? J. Fleischer, T. Riemann, O.V. Tarasov
Analytic Epsilon Expansion of the Scalar One-Loop BHABHA Box Function
Acta Phys. Polon.B 34 (2003) 5345 (Ustron 03)
14. SFB/CPP-03-57 J. Fleischer, O.V. Tarasov, V.O. Tarasov
Analytical Result for the Two Loop QCD Correction to the Decay H
Phys. Lett. B 584 (2004) 294
→ 2γ
15. SFB/CPP-03-?? M. Awramik, M. Czakon, A. Freitas, G. Weiglein
Precise Prediction for the W Boson Mass in the Standard Model
Phys. Rev. D 69 (2004) 053006
16. SFB/CPP-04-01 J. Blümlein
Reduction of Multiple Harmonic Sums and Harmonic Polylogarithms
(ACAT 03)
17. SFB/CPP-04-03 J. Gluza, A. Lorca, T. Riemann
Automated use of DIANA for two-fermion production at colliders
(ACAT 03)
18. SFB/CPP-04-04 J. Fleischer, A. Lorca, M. Tentyukov
DIANA and applications to fermion production in electron positron annihilation
(ACAT 03)
F. Jegerlehner
– Oct 4, 2004 –
1
19. SFB/CPP-04-10 O.V. Tarasov
Computation of Gröbner Bases for Two-Loop Propagator Type Integrals
(ACAT 03)
20. SFB/CPP-04-11 J. Blümlein and H. Kawamura
Universal Higher Order QED Corrections to Polarized Lepton Scattering to be published
21. SFB/CPP-04-13 F. Jegerlehner, M.Yu. Kalmykov
Steps towards full two-loop calculations for 2 fermion to 2 fermion processes: running versus pole masses
schemes.
(ACAT 03)
22. SFB/CPP-04-20 M.Yu. Kalmykov
Series and epsilon-expansion of the hypergeometric functions
(Loops and Legs 04)
23. SFB/CPP-04-21 M. Czakon, J. Gluza, T. Riemann
A complete set of scalar master integrals for massive 2-loop Bhabha scattering: where we are
(Loops and Legs 04)
24. SFB/CPP-04-22 A. Lorca, T. Riemann
Automated claculations for massive fermion production with aITALC
(Loops and Legs 04)
F. Jegerlehner
– Oct 4, 2004 –
1
25. SFB/CPP-04-24 J. Blümlein and V. Ravindran
NNLO coefficient functions of Higgs and Drell–Yan cross sections in Mellin space
(Loops and Legs 04)
26. SFB/CPP-04-25 F. Jegerlehner, K. Kołodziej and T. Westwanski
Towards precise predictions for the Higgsstrahlung at a linear collider
(Loops and Legs 04)
27. SFB/CPP-04-38 J. Fleischer, A. Lorca, T. Riemann
Automatized Calculation of 2-Fermion Production With DIANA And aITALC
(LCWS 04)
28. SFB/CPP-04-39 M. Czakon, J. Gluza, T. Riemann
On Master Integrals for Two Loop BHABHA Scattering
(LCWS 04)
29. SFB/CPP-04-44 M. Awramik, M. Czakon, A. Freitas, G. Weiglein
2
Complete Two-Loop Electroweak Fermionic Correction to sin
Θeff and Indirect Determination of the Higgs
Boson Mass
Phys. Rev. Lett. submitted
Two-Loop Fermionic Electroweak Correction to the Effective Leptonic Weak Mixing Angle in the Standard
Model
F. Jegerlehner
– Oct 4, 2004 –
1
(Loops and Legs 04)
Towards Better Constraints on the Higgs Boson Mass: Two-Loop Fermionic Contribution to sin
2
Θeff
(LCWS 04)
F. Jegerlehner
– Oct 4, 2004 –
2
I : Berechnung des Streuquerschnitts f”ur die Bhabha–Streuung, des Monitor–Prozesses f”ur die
Luminosit”atsmessung an zuk”unftigen Linearbeschleunigern, auf dem 2–Loop–Niveau. Dies kann nur langfristig
in verschiedenen Stufen geschehen:
Ia Zuerst wird man den einfacheren Prozess e+ e−
→ µ+ µ− untersuchen und die 2–Loop–QED–Rechnung
der Leiden-Gruppe vervollst”andigen und ”uberpr”ufen. An diesem relativ einfachen Beispiel wollen wir auch
→ 4(5)–Prozessen) anwenden und testen. Im Hinblick
auf die 2–Loop–Bhabha–Rechnung m”ussen die O(ǫ)–Terme in der ǫ–Entwicklung des 1–Loop–Resultats
ermittelt werden. Ebenso muss die 1–Loop–Korrektur zum radiativen Prozess e+ e− → e+ e− γ berechnet
eine neue Integrations–Methode (siehe unten bei 2
werden. Die dabei n”otigen Erweiterungen der FF–Bibliothek sollen dort implementiert werden (siehe IIa).
Ib Komplette 2–Loop–QED–Beitr”age zum Bhabha–Prozess (e+ e−
→ e+ e− ). W”ahrend der masselose Fall
mehr oder weniger gel”ost ist (Dixon et al.), gilt es Masseneffekte soweit wie m”oglich (mindestens die
kollinearen Logarithmen) und reelle Photon–Strahlung mit einzubeziehen.
Ic In einem n”achsten Schritt k”onnen die wichtigsten elektroschwachen Effekte untersucht werden; die
M”oglichkeit einer kompletten Rechnung h”angt wesentlich von der L”osung der mit heutigen Methoden noch
nicht bew”altigbaren Probleme der Komplexit”at der auftretenden algebraischen Ausdr”ucke ab.
Id Zugeh”orige Bremsstrahlungsprozesse sind bekannt, jedoch muss alles zu einem effizienten
Monte–Carlo–Eventgenerator zusammengebaut werden (Zusammenarbeit: Kleiss, Jadach). F”ur ein exaktes
tuning der Monte–Carlo–Programme werden auch semi–analytische Programme ben”otigt, insbesondere f”ur
die Weit–Winkel–Bhabha–Streuung.
F. Jegerlehner
– Oct 4, 2004 –
2
II: Berechnung grundlegender Streuprozesse in der e+ e− –Vernichtung bei hohen Energien mit multiplen
Endzust”anden auf dem 1–Loop–Niveau. Die Top–Quark–Physik im Teilprojekt C4 (Bernreuther) f”allt in diese
Kategorie, wird jedoch ausschlie”slich dort behandelt. Methodisch werden die Projekte wesentlich voneinander
profitieren k”onnen.
IIa Hier sollen voll automatisierte Programmpakete zusammengestellt werden; wobei vieles schon vorhanden ist
(Kollaboration Tarasov). Bestehende Pakete wie FF (van Oldenborgh) m”ussen erweitert werden. Zum
Beispiel ergeben sich bei der Reduktion von F”unf-, Sechs- oder Mehrpunkt-Funktionen auf
Box-Typ–Integrale (was immer m”oglich ist) neue kinematische Gebiete, welche in FF und LoopTools nicht
implementiert sind. Hier soll eine neue Methode der Berechnung der Basisintegrale zur Anwendung kommen:
Aus Differenzengleichungen bez”uglich der Raum-Zeit-Dimension lassen sich geschlossene L”osungen f”ur
beliebige kinematische Grundgebiete berechnen (Tarasov). Daraus l”a”st sich eine wesentliche Erweiterung
des FF–Pakets bewerkstelligen. Dieser Schritt ist auch entscheidend f”ur eine korrekte Behandlung instabiler
Teilchen, welche Berechnungen mit komplexen Massen n”otig macht. Neue Integraltypen ergeben sich durch
die ben”otigten Terme h”oherer Ordnung in der sogenannten ǫ–Entwicklung. Au”serdem treten bei
zunehmender Komplexit”at der Berechnungen gr”o”sere Weghebungen f”uhrender Terme auf (typisch f”ur
Weghebungen auf Grund der Eichinvarianz), so dass die Pr”azision des Pakets wesentlich erweitert werden
muss, um noch signifikante Resultate zu erhalten. Solche Erweiterungen k”onnen auf analytischen oder
numerischen Optionen basieren.
→ 3–Prozess untersucht werden. Von der Physik her besonders interessant ist
die Higgsproduktion in e+ e− → ν ν̄H . Diese Rechnung bedingt eine systematische Erweiterung bekannter
IIb Konkret soll zun”achst ein 2
F. Jegerlehner
– Oct 4, 2004 –
2
Techniken auf die Behandlung der 5–Punkt–Funktionen. Probleme dieses Typs k”onnen weitgehend
analytisch kanonisch durchgef”uhrt werden.
→ 4–Prozess e+ e− → µ+ µ− bb̄ zu 1–Loop gerechnet werden.
Dieser Kanal schlie”st den Higgs–Z –Produktions–Prozess f”ur ein “leichtes” Higgs (mH ≤ 2MW ) ein und
IIc Als n”achster Schritt soll als typischer 2
ist daher von h”ochstem Interesse. Nach erfolgreichem Abschlu”s dieses Kanals sollen weitere Kan”ale wie z.
B. e+ e−
→ µ− νµ ud¯ (W –Paar–Produktion) bearbeitet werden (Zusammenarbeit: Denner, Dittmaier,
Beenakker, Vicini).
IId F”ur 2
→ 4(5)–Prozesse werden sich herk”ommliche Verfahren kaum effizient erweitern lassen. Zur
Berechnung der virtuellen Korrekturen sollen hier daher neue Verfahren erprobt werden, indem man
Beziehungen von Integralen in verschiedenen Raum–Zeit–Dimensionen geschickt ausnutzt (Glover et al.,
Passarino u.a.). Zum Beispiel lassen sich die ”ublicherweise benutzten skalaren Basis–Integrale vom Typ
Z
1
dx 1/P (x)
0
nur sehr schwer direkt numerisch integrieren, weil das quadratische Polynom im Nenner im
Integrationsbereich in der Regel nicht positiv ist. Man kann solche Integrale jedoch durch andere
Basis–Integrale ausdr”ucken, welche einer direkten numerischen Integration besser zug”anglich sind:
n”amlich durch Integrale vom Typ
Z
F. Jegerlehner
1
dx P (x) ln(P (x)) .
0
– Oct 4, 2004 –
2
Dabei ist das schlechtere Ultraviolett–Verhalten kein wesentliches Problem, da man alles im Rahmen der
dimensionellen Regularisierung verstehen kann. Das Verfahren produziert Ausdr”ucke mit
Gram–Determinanten als Koeffizienten, welche zu numerischen Stabilit”atsproblemen f”uhren k”onnen.
Fragen der Durchf”uhrbarkeit und die Frage, wieweit ein solches Verfahren zu wesentlich effizienteren und
stabileren Programmen f”uhrt, sind Gegenstand entsprechender Studien.
IIe Reelle Abstrahlung von Photonen durch die geladenen Teilchen sowie Hintergrundprozesse auf dem
Born–Niveau m”ussen hier einbezogen werden. Entsprechende Rechnungen einschlie”slich aller
Masseneffekte wurden f”ur 2
→ 4–Prozesse schon abgeschlossen. Auch hier sollen die berechneten
Matrixelemente in einen Monte–Carlo–Eventgenerator einbezogen werden. Da die Matrixelemente sehr lang
und deren Auswertung sehr rechenzeitaufw”andig sein werden, ist die Frage ungekl”art, wie man solche
Ergebnisse am Ende in einen Eventgenerator einbezieht. Hier wird eine Zusammenarbeit mit externen
Experten n”otig sein (Zusammenarbeit: Kleiss, Jadach, Kołodziej). Komplement”ar wird auch die Entwicklung
semi–analytischer Programme wichtig sein.
III : 2–Loop–Korrekturen zur Fermion-Paar-Produktion an der Z –Resonanz; Pr”azisionsrechnungen f”ur die
Giga-Z –Option von TESLA.
IIIa Zun”achst soll die Datenbank der 2–Loop–Standardintegrale (bisher gibt es nur ein entsprechendes Paket
f”ur Zwei–Punkt–Funktionen von Bauberger et al., welches 8 signifikante Stellen der Genauigkeit erreicht)
erweitert werden auf wesentlich mehr Integrale und auf h”ohere Pr”azision (Zusammenarbeit: Hollik). Ein
wesentlicher Teil kann analytisch erweitert werden, bei schwierigeren F”allen muss man sich mit
Reihenentwicklungen begn”ugen, wobei konforme Abbildungen und Padé–Approximanten zur Verbesserung
F. Jegerlehner
– Oct 4, 2004 –
2
der Konvergenz herangezogen werden (Fleischer, Tarasov).
Auf dem Niveau von vollst”andigen 2–Loop–Rechnungen zu 2
→ 2–Prozessen ist eine vollst”andige
Automatisierung der Rechnungen zur Zeit ungekl”art. F”ur Diagramme vom Propagator-Typ
(Zweipunkt–Funktionen) gibt es Algorithmen mit deren Hilfe man alles systematisch auf einen Satz von
Standardintegralen zur”uckf”uhren kann. Mit QGRAPH (Nogueira) werden alle Diagramme erzeugt und codiert,
DIANA ”ubersetzt dies automatisch in FORM–Code, mit dessen Hilfe die entsprechenden Amplituden berechnet
und m”oglichst vereinfacht werden. Hier bietet FORM nur sehr beschr”ankte M”oglichkeiten und es erweist sich
als weit effizienter, die FORM Ergebnisse in MAPLE–Code zu ”ubersetzen, welcher sich dann mit MAPLE
effizient auf eine kanonische Form bringen l”a”st (Faktorisierung, Zerlegung in Standardformen). Es muss betont
werden, dass wesentlich vereinfachte, m”oglichst kompakte Ausdr”ucke zu erzeugen unabdingbar f”ur die
sp”atere numerische Auswertung ist (Stabilit”at, Effizienz). Gleichzeitig ist dies eine Kunst, welche sich nicht
immer mit bekannten Algorithmen erledigen l”a”st. F”ur Diagramme vom Vertex-Typ (Dreipunkt–Funktionen) l”a”st
sich bisher nur der masselose Fall bei beliebigen off-shell Impulsen systematisch behandeln. F”ur Diagramme
vom Box-Typ (Vierpunkt–Funktionen) ist bisher nur der masselose Fall mit bis zu einem off-shell Impuls analytisch
gel”ost. Im on-shell Fall gibt es ein erstes Resultat f”ur massive Doppel–Boxen (Smirnov).
IIIb Vollst”andige 2–Loop–SM–Berechnung des µ–Zerfalls (∆r bzw. Berechnung von MW aus α, Gµ und
MZ ). Diese Rechnung ist mit bekannten Techniken durchf”uhrbar, obwohl sehr aufw”andig. Die f”uhrenden
Korrekturen sind bekannt.
IIIc Vollst”andige 2–Loop–SM–Berechnung von e+ e−
(Zusammenarbeit: Hollik, van der Bij).
F. Jegerlehner
→ f f¯ zun”achst f”ur µ–Paare (ρ–Parameter, sin2 Θℓeff )
– Oct 4, 2004 –
2
IV : Updates der Berechnung der effektiven Feinstrukturkonstanten als Funktion der Energie (als wesentlichem
Input–Parameter f”ur Pr”azisionsrechnungen bei h”oheren Energien) sollen jeweils durchgef”uhrt werden, wenn
neue experimentelle Daten vorliegen oder Fortschritte auf der Theorieseite (z.B. neue diesbez”ugliche Resultate
aus Teilprojekt A1) m”oglich erscheinen (”Uberschneidet sich partiell mit Beteiligung am EU–Netzwerk EURIDICE
s.u.) (Zusammenarbeit: Eidelman, Kluge).
V : Zur Reduktion von Loop–Integralen auf eine Basis von Standard–Integralen liegen in der Regel
”uberbestimmte Systeme von Rekursionsgleichungen vor. Das Eliminieren redundanter Beziehungen kann
systematisch mit Hilfe einer Zerlegung bez”uglich einer Gr”obner–Basis durchgef”uhrt werden. Die Anwendung
dieser Technik zur Bestimmung eines minimalen Satzes von Basis–Integralen ist relativ unerforscht, wird aber bei
komplexen Problemen zunehmend wichtiger. Entsprechende FORM–Programmbibliotheken sollen entwickelt
werden. Der Zweck des Verfahrens besteht darin, Standardformen f”ur komplexe polynomiale Ausdr”ucke in
mehreren Variablen zu finden. Das Verfahren bietet einen systematischen Zugang bei der Vereinfachung von
gro”sen Systemen von Differentialgleichungen und Rekursionsgleichungen. Alternative Techniken, welche von
Differentialgleichungen (Ableitungen bez”uglich der Massen) ausgehen (Tarasov), sind meist sehr kompliziert,
weil man dann vom allgemeinsten Fall ausgehen muss (d.h. zun”achst alle Massen verschieden w”ahlen), bevor
man die prozessspezifischen Massen benutzen kann, wodurch sich erst die wesentlichen Vereinfachungen
ergeben. Bei der Verwendung von rekursiven Gleichungssystemen in Kombination mit der Zerlegung nach einer
Gr”obner–Basis lassen sich prozessspezifische Vereinfachungen von Anfang an ausnutzen. Hier gibt es
gemeinsame Interessen mit dem Teilprojekt A2. Eine Zusammenarbeit bei der Implementierung in
Programm–Paketen bietet sich an.
F. Jegerlehner
– Oct 4, 2004 –
2
Va Die Methode soll zun”achst an einem konkreten Beispiel entwickelt werden. Vorgesehen ist die Entwicklung
eines Tools f”ur die 2–Loop–QED–Bhabha–Rechnung.
Vb Entwicklung eine Pakets f”ur allgemeine Zwecke.
F. Jegerlehner
– Oct 4, 2004 –
2
”Ubersicht Zeitplan
J1
IIb
Ia
J2
IIIa
Ib
J3
Id
J4
Va
IIIb
IIa
J5
IIc
J6
IIe
J7
Id
IIIc
IV
Vb
IId
J8
J9
J10
J11
J12
F. Jegerlehner
– Oct 4, 2004 –
2
✏ First complete two–loop calculation of 1
→ 3:
Fermi constant Gµ in terms of α MZ and MW (low energy expansion excellent approximation):
(Awramik&Czakon 02, Onishchenko&Veretin 02)
(Awramik, Czakon, Freitas & Weiglein 03)
2
(α2 )
(α2 )
2
4
3
6
mH (GeV)
∆r(α)
∆r(ααs )
∆r(ααs )
∆rferm
∆rbos
∆r(GF αs mt )
∆r(GF mt )
100
283.41
35.89
7.23
28.56
0.64
200
307.35
35.89
7.23
30.02
0.35
−1.27
−0.16
300
323.27
35.89
7.23
31.10
0.23
600
353.01
35.89
7.23
32.68
0.05
−2.77
−0.03
1000
376.27
35.89
7.23
32.36
−0.41
Table 1: The numerical values (×104 ) of the different contributions to
different values of mH and MW
−2.11
−4.10
−5.04
−0.09
−0.09
−1.04
∆r specified in the table are given for
= 80.426 GeV (the W and Z masses have been transformed so as to correspond
to the real part of the complex pole).
F. Jegerlehner
– Oct 4, 2004 –
2
✏ First full two–loop fermionic calculation of sin
2
Effective weak mixing parameter sin
2
lept
:
θeff
lept
in terms of α MZ and MW :
θeff
(Awramik, Czakon, Freitas & Weiglein 04)
Table 2: Difference to previous approximate result including terms of O(α2 m2t ) from (Degrassi et al. ’97).
MH
2
∆ sin
lept
θeff
ZFITTER
2 lept
∆ sin θeff
[?]
GeV
×10−4
×10−4
100
-0.45
-0.40
200
-0.69
-0.72
300
-0.85
-0.83
600
-1.17
-0.94
1000
-1.60
-1.28
Implemented in the most recent version of ZFITTER, version 6.40.
F. Jegerlehner
– Oct 4, 2004 –
3
Most accurate electroweak precision predictions
Calculate sin2 Θi from α, Gµ and MZ :
√
2 Gµ MZ2 sin2 Θi cos2 Θi = πα
1
1−∆ri
Sirlin 1980
Various definitions of sin2 Θi , which coincide at tree level: From weak gauge boson
masses, from electroweak gauge couplings and from the neutral current coupling of the
charged fermions:
sin2 ΘW
sin2 Θg
sin2 Θf
2
MW
= 1− 2
MZ
= e2 /g 2
1
vf
=
1−
, f 6= ν
4|Qf |
af
∆ri = ∆ri (α, Gµ , MZ , mH , mf 6=t , mt ) = ∆α − fi (sin2 Θi ) ∆ρ + ∆ri rem
↑
universal
→ predictions for MW , ALR , AfF B , Γf , · · ·
F. Jegerlehner
δ∆α → δMW , δ sin2 Θi , · · ·
– Oct 4, 2004 –
3
❹ The role of αem (s) in precision physics
Uncertainties of hadronic contributions to effective α are a problem for electroweak precision physics:
α , Gµ , MZ most precise input parameters
partially
non-perturbative
relationship
m
precision predictions
sin2 Θf , vf , af , MW , ΓZ , ΓW , · · ·
α(MZ ), Gµ , MZ best effective input parameters for VB physics (Z,W) etc.
δα
α
δGµ
Gµ
δMZ
MZ
δα(MZ )
α(MZ )
δα(MZ )
α(MZ )
∼
3.6
∼
2.4
∼
5.3
∼
8.6
× 10−9
× 10−6
× 10−5
∼ 1.6 ÷ 6.8 × 10−4
LEP/SLD: sin
2
× 10−5
(present)
(ILC requirement)
Θeff = (1 − gV l /gAl )/4 = 0.23148± 0.00017
δ∆α(MZ ) = 0.00036
⇒
δ sin2 Θeff = 0.00013
affects Higgs mass bounds !!!
For perturbative QCD contributions very crucial: precise QCD parameters αs ,
F. Jegerlehner
mc , mb , mt ⇒ Lattice-QCD
– Oct 4, 2004 –
3
α(MZ )
❏ Evaluation of
Non-perturbative hadronic contributions
(5)
∆αhad (s) can be evaluated in terms of
σ(e+ e− → hadrons) data via dispersion integral:
2
Ecut
Z
Rdata (s′ )
αs
(5)
′ γ
∆αhad (s) = −
P ds ′ ′
3π
s (s − s)
where
pQCD
ω
4m2π
1.0 GeV
0.0 GeV, 1
Z∞
pQCD ′ R
(s )
γ
′
+ P ds ′ ′
s (s − s)
Φ
ψ2S
J/ψ1S
+ –
e e → hadrons
5
ψ3770
QCD
4
3
2
2
Ecut
1
exclusive data
12.GeV
Rγ (s) ≡
Davier, Eidelman et al. 02
Groshny et al. 91,
Chetyrkin et al. 97
6
R
3.6 GeV
Compilation:
Theory = pQCD:
BES
Crystal B.
γγ2
PLUTO
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
√s (GeV)
σ (0) (e+ e− →γ ∗ →hadrons)
6
4πα2
3s
5
ϒ1S
ϒ2S
3S 4S
ϒ10860
4
γ
had
γ
⇔
2
γ
F. Jegerlehner
3
2
had
Π′γ (q 2 )
R
ϒ11020
had 2
∼ σtot
(q )
– Oct 4, 2004 –
+ –
e e → hadrons
QCD
1
PLUTO
MD1
LENA
JADE
Crystal B.
MARK J
0
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
√s (GeV)
3
at MZ
Evaluation FJ 2003 update:
= 91.19 GeV
√
• R(s) data up to s = Ecut = 5 GeV
and for Υ resonances region between 9.6 and 13 GeV
• perturbative QCD from 5.0 to 9.6 GeV
and for the high energy tail above 13 GeV
(5)
∆αhadrons (MZ2 )
=
0.027773 ± 0.000354
0.027664 ± 0.000173
α−1 (MZ2 )
=
0.027680 ± 0.000360
BP 03
128.937 ± 0.024
Adler
128.922 ± 0.049
128.935 ± 0.049
F. Jegerlehner
Adler
BP 03
– Oct 4, 2004 –
3
Connection with RG functions of unbroken phase
In the SM it is interesting to compare the RG equations calculated in broken phase with the ones obtained in the
unbroken phase. Let us remind that at the tree-level the vacuum expectation value v 2 is given by v 2
where m2 and λ are the parameters of the symmetric scalar potential V
= −m2 φ+ φ + λ (φ+ φ)
≡
2
m2
λ ,
βλ
βg
= γm2 −
,
g
λ
′
βλ
β
β
g
g
γZ − γm2 +
= 2 cos2 θW
+ sin2 θW ′ ,
λ
g
g
γW − 2
where the 2-loop RG functions βg , βg ′ , βλ , γm2 have been calculated in the unbroken phase
(Jones ’82, Machacek & Vaughn ’83, Ford, Jack & Jones ’92.) We have verified in the M S scheme, that these
relations are valid up to 2-loop order in the broken phase with the same RG functions. Thus the RG equations for
the M S masses in the broken theory can be written
1 g 2 (µ2 ) 2 2
=
m (µ ) ,
4 λ(µ2 )
1 g 2 (µ2 ) + g ′ (µ2 ) 2 2
2
2
m (µ ) ,
mZ (µ ) =
4
λ(µ2 )
m2W (µ2 )
m2H (µ2 ) = 2m2 (µ2 ) ,
1 yt2 (µ2 ) 2 2
2 2
m (µ ) .
mt (µ ) =
2 λ(µ2 )
F. Jegerlehner
– Oct 4, 2004 –
3
Together with
Charge renormalization:
δe
= Ze−1
e
0
sW 1
1/2
= (Zγγ ) + 0 ZZγ .
cW 2
⇒ Only Πγγ (0) and ΠZγ (0) needed (bubble diagrams)
Degrassi& Vicini 03
Note: in on-shell scheme
all renormalization counter terms involve self-energy diagrams only!
(this also applies to non-physical sector)
[not needed for S-matrix elements]
ingredients for two–loop renormalization available
except for two-loop higher point functions need also O(ε) of one loop higher point
functions
generic d-dimensional solution for one-loop integrals known
(J. Fleischer, F.J., O. Tarasov 03)
F. Jegerlehner
– Oct 4, 2004 –
3

2–loop

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