Terminale S / Annales sur les nombres complexes

Terminale S / Annales sur les nombres complexe
1. Algèbre :
1
3. Si z+ = 0, alors z = i ou z = −i.
z
Exercice 3190
4. Si |z| = 1 et si |z+z ′ | = 1, alors z ′ = 0.
Partie A. Restitution organisée de connaissances
Prérequis : On rappelle les deux résultats suivants :
Si z est un nombre complexe non nul, on a l’équivalence
suivante :
{
{
(
)
|z| = r
z = r cos θ + i sin θ
⇐⇒
arg z = θ à 2π près
r > 0
Exercice 3122
(
)
Le plan (P ) est muni du repère orthonormal direct O ; I ; J
(unité graphique : 2 cm). A tout point M du plan (P ) est associé le nombre complexe z, affixe du point M .
1.
Pour tous nombres réels a et b :
{
(
)
cos a+b = cos a cos b − sin a sin b
(
)
sin a+b = sin a cos b + sin b cos a
b. Déterminer le module et un argument de chacun des
cubes z1 3 , z2 3 , z3 3 des nombres complexes ci-dessus,
puis la partie réelle et la partie imaginaire de z1 3 , de
z2 3 , de z3 3 .
Soient z1 et z2 deux nombres complexes non nuls.
Démontrer les relations :
|z1 z2 | = |z1 | · |z2 | ; arg(z1 z2 ) = arg(z1 )+arg(z2 ) à 2π près.
Partie B
Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et
proposer une démonstration pour la réponse indiquée. Dans
le cas d’une proposition fausse, la démonstration consistera à
fournir un contre-exemple. Une réponse sans démonstration
ne rapporte pas de point.
On rappelle que si z est un nombre complexe, z désigne le
conjugué de z et z désigne le module de z :
1 1
1. Si z = − + i, alors z 4 est un nombre réel.
2 2
a. Déterminer le module et un argument de chacun des
nombres complexes :
√
√
1−i 3
z1 = −1 ; z2 =
; z3 = −1 − i 3.
2
a. Si z = x+iy = ρ·eiθ est un nombre complexe (avec y
et θ réels et ρ réels supérieur à zéro), déterminer la
partie réelle et la partie imaginaire de z 3 en fonction
de x et de y, puis le module et un argument de z 3 en
fonction de ρ et θ.
2.
b. Déterminer l’ensemble (E) des points M d’affixe z caractérisé par : z 3 est un nombre réel.
c. Déterminer et tracer l’ensemble (E ′ ) des points M
d’affixe z, caractérisé par : z 3 est un nombre réel et
1 ⩽ z 3 ⩽ 8.
2. Si z+z = 0, alors z = 0.
2. Géométrie sans les propriétés de l’argument
Exercice 5430
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct
(
−
→ −
→)
O; u ; v .
Le but de l’exercice est de montrer que pour tout point M
n’appartient pas à (OA), la médiane (OI) du triangle OAM
est aussi une hauteur du triangle OBM ′ (propriété 1) et que
BM ′ = 2·OI (propriété 2).
1. Dans cette question et uniquement dans cette question,
On note i le nombre complexe tel que i2 = −1.
π
On considère le point A d’affixe zA = 1 et le point B d’affixe
zB = i.
A tout point M d’affixe zM = x+iy, avec x et y deux réels
tels que y ̸= 0, on associe le point M ′ d’affixe :
zM ′ = −i·zM
On désigne par I le milieu du segment [AM ].
:
on prend zM = 2·e−i 3 .
a. Déterminer la forme algébrique de zM .
√
b. Montrer que zM ′ = − 3−i. Déterminer le module et
un argument de zM ′ .
c. Placer les points A, B, M , M ′ et I dans le repère
(
→
− −
→)
O ; u ; v en prenant 2 cm pour unité graphique.
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Tracer la droite (OI) et vérifier rapidement les propriétés 1 et 2 à l’aide du graphique.
2. On revient au cas général en prenant zM = x+iy avec
y ̸= 0.
a. Déterminer l’affixe du point I en fonction de x et y.
b. Déterminer l’affixe du point M ′ en fonction de x et y.
c. Ecrire les coordonnées des points I, B et M ′ .
d. Montrer que la droite (OI) est une hauteur du triangle
OBM ′ .
e. Montrer que :
BM ′ = 2·OI.
Exercice 6262
On note C l’ensemble des nombres complexes.
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé
(
−
→ −
→)
O ; u ; v . On prendra comme unité 2 cm sur chaque axe.
Le graphique sera fait sur une feuille de papier millimétré et
complété au fur et à mesure des questions.
On considère la fonction f qui à tout nombre complexe z associe :
f (z) = z 2 + 2·z + 9
√
1. Calculer l’image de −1+i· 3.
2. Résoudre dans C l’équation f (z) = 5.
Ecrire sous forme exponentielle les solutions de cette
équation
Construire alors sur le graphique, à la règle et au compas,
les points A et B dont l’affixe est solution de l’équation
(A étant le point dont l’affixe a une partie imaginaire
positive).
On laissera les traits de construction apparents.
3. Soit λ un nombre réel. On considère l’équation f (z) = λ
d’inconnue z.
Déterminer l’ensemble des valeurs de λ pour lesquelles
l’équation f (z) = λ admet deux solutions complexes
conjuguées.
4. Soit (F ) l’ensemble des points du plan complexe dont
l’affixe z vérifie :
|f (z) − 8| = 3
(
)
Prouver que (F ) est le cercle de centre Ω −1 ; 0 et de
√
rayon 3.
Tracer (F ) sur le graphique.
5. Soit z un nombre complexe, tel que z = x+i·y où x et y
sont des nombres réels.
a. Montrer que la forme
( algébrique) de f (z) est :
x2 − y 2 + 2·x + i· 2·x·y + 2·y .
b. On note (E) l’ensemble des points du plan complexe
dont l’affixe z est telle que f (z) soit un nombre réel.
Montrer que (E) est la réunion de deux droites D1 et
D2 dont on précisera les équations.
Compléter le graphique de l’annexe en traçant ces
droites.
6. Déterminer les coordonnées des points d’intersection des
ensembles (E) et (F ).
3. Géométrie avec argument :
a. n = 3
Exercice 3852
Pour chaque question, une seule des trois propositions est
exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la
question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
Une réponse exacte rapporte 0,5 point ; une réponse inexacte
enlève 0,25 point ; l’absence de réponse est comptée 0 point.
Sit le total est négatif, la note est ramenée à zéro.
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé dorect
d’origine O.
b. i
c. 3 + i
2. Soit z un nombre complexe ; |z+i| est égal à :
a. |z| + 1
b. |z − 1|
c. n = 6k avec k relatif
5. Soit A et B deux points d’affixe respective i et −1. L’ensemble des points M d’affixe z vérifiant |z−i| = |z+1| est :
a. La droite (AB)
b. Le cercle de diamètre [AB]
c. La droite perpendiculaire à (AB) passant par O.
6. Soit Ω le point d’affixe 1−i. L’ensemble des points M
d’affixe z = x+i·y vérifiant |z−1+i| = |3−4·i| a pour équation :
1. Une solution de l’équation 2·z+z = 9+i est :
a. 3
b. n = 6·k + 3, avec k relatif
a. y = −x + 1
c. |i·z + 1|
3. Soit z un nombre complexe
non nul d’argument θ. Un
√
−1+i· 3
est :
argument de
z
π
2π
2π
+θ
−θ
a. − + θ
b.
c.
3
3
3
(√
)n
4. Soit n un entier naturel. Le complexe
3+i est un
imaginaire pur si, et seulement si :
b. (x − 1)2 + y 2 =
√
5
c. z = 1 − i + 5·ei·θ
7. Soient A et B les points d’affixes respectives 4 et 3·i.
L’affixe du point C tel que le triangle ABC soit isocèle
(−−→ −→) π
avec AB ; AC = est :
2
a. 1 − 4·i
b. −3·i
c. 7 + 4·i
z−2
8. L’ensemble des solutions dans C de l’équation
=z
z−1
est :
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a.
{
}
1−i
b. L’ensemble vide.
c.
{
}
1−i ; 1+i
Exercice 3857
5. On désigne par M ′ l’image du nombre complexe z ′ vérifiant′ la relation :
z − zB
= −i
zM − zB
Le plan complexe
est rapporté à un repère orthonormal direct
(
−
→ −
→)
O ; u ; v d’unité graphique : 4 cm.
a. Déterminer l’écriture algébrique du nombre complexe
z′.
b. Quelle est la nature du triangle M M ′ B ?
On considère le point√A d’affixe zA = 2+i et le cercle (Γ) de
centre A et de rayon 2.
c. Montrer que le point M ′ appartient au cercle (Γ′ ).
1. Faire une figure qui sera complétée tout au long de l’exercice.
2.
a. Déterminer les
Å affixes
ã des points d’intersection de
−
→
(Γ) et de l’axe O ; u .
b. On désigne par B et C les points d’affixes respectives
zB = 1 et zC = 3. Déterminer l’affixe zD du point D
diamétrialement opposé au point B sur le cercle (Γ).
Exercice 6085
(
−
→ −
→)
Le( plan)est rapporté
(
)au repère orthonormal O ; i ; j . Soit
A 1 ; 0 et B −1 ; 0 .
A tout point M d’affixe z̸=0, on associe le point M ′ d’affixe
z ′ défini par :
z×z ′ = 1
1.
3 6
3. Soit M le point d’affixe + ·i
5 5
a. Calculer le nombre complexe
a. Construire M ′ quand z = 2(1 + i)
b. Dans le cas général,Å monter queãla droite (AB) est bis−−→ −−−→
sectrice de l’angle OM ; OM ′ et que :
zD − zM
.
zB − zM
OM ×OM ′ = OA2 .
b. Interpréter géométriquement l’argument du nombre
zD − zM
; en déduire que le point M appartient au
zB − zM
cercle (Γ).
2.
a. Vérifier que :
( z + z′
)( z + z ′
) ( z − z ′ )2
∀z∈C∗ ,
−1
+1 =
2
2
2
b. Soit I le milieu de [M M ′ ]. En utilisant a. montrer
que :
IA×IB = IM 2
′
et que pour M ̸= AÅet M ̸= B
ã la droite (M M ) est bis−
→ −→
sectrice de l’angle IA ; IB
4. On note (Γ′ ) le cercle de diamètre [AB]. La droite (BM )
recoupe le cercle (Γ′ ) en un point N .
a. Montrer que les droites (DM ) et (AN ) sont parallèles.
b. Déterminer l’affixe du point N .
4. Suites de complexes :
Variables : n entier naturel
R réel
P réel strictement positif
Entrée : Demander la valeur de P
Traitement : R prend la valeur 1
n prend la valeur 0
Tant que R>P
n prend la valeur n+1
√
3
R
R prend la valeur
2
Fin tant que
Sortie : Afficher n
Exercice 6045
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé
(
−
→ −
→)
O ; u ; v . Pour tout entier naturel n, on note An le point
d’affixe zn défini par :
( 3 √3 )
z0 = 1 ; zn+1 =
+
·i ·zn pour tout n ∈ N
4
4
( )
On définit la suite rn par :
rn =|zn | pour tout entier naturel n.
1. Donner√la forme exponentielle du nombre complexe :
3
3
+
·i.
4
4
√
( )
3
2. a. Montrer que rn est géométrique de raison
.
2
a. Quelle est la valeur affichée par l’algorithme pour
P = 0,5 ?
b. Pour P = 0,01, on obtient n = 33. Quel est le rôle de
cet algorithme ?
b. En déduire l’expression de rn en fonction de n.
c. Que dire de la longueur OAn lorsque n tend vers +∞ ?
3. On considère l’algorithme suivant :
4.
a. Démontrer que le triangle OAn An+1 est rectangle
en An+1 .
nπ
b. On admet que : zn = rn ·ei· 6
Déterminer les valeurs de n pour lesquelles An est un
point de l’axe des ordonnées.
c. Compléter la figure donnée en annexe, à rendre avec
la copie, en représentant les points A6 , A7 , A8 et A9 .
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√
2
.
2
( )
La suite rn est-elle convergente ?
Interpréter géométriquement le résultat précédent.
Les traits de construction seront apparents.
A3
A2
A4
On note In la longueur de la ligne brisée qui relie le point A0
au point An en passant successivement par les points A1 , A2 ,
A3 . . .
A1
A5
A0
Ainsi : Ln =
O
On définit, pour tout entier naturel n, les nombres complexes
z par:
z0 = 16

 zn+1 = 1 + i ·zn pour tout entier naturel n.
2
On note rn le module du nombre complexe zn : rn = |zn |.
Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct d’origine O,
on considère les points An d’affixes zn .
a. Calculer z1 , z2 et z3 .
b. Placer les points A1 et A2 sur le graphique donné cidessous.
Exercice 6349
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct.
On considère l’équation
:
√
(E) : z 2 − 2·z· 3 + 4 = 0
1. Résoudre l’équation (E) dans l’ensemble C des nombres
complexes.
(
)
2. On considère la suite Mn des points d’affixes définie
pour n⩾1 par :
zn = 2n ·ei·(−1)
n
π
·6
.
a. Vérifier que z1 est une solution de (E).
b. Ecrire z2 et z3 sous forme algébrique.
8
c. Placer les points M1 , M2 , M3 et M4 sur la figure donnée en annexe et tracer, sur la figure donnée en annexe,
les segments [M1 M2 ], [M2 M3 ] et [M3 M4 ].
6
4
2
A4
-4 -2 0
2
A5
A6
-2
a. Démontrer que pour tout entier naturel n :
An An+1 = rn+1
b. Donner une expression de Ln en fonction de n.
( )
c. Déterminer la limite éventuelle de la suite Ln .
Exercice 6255
A3
Ai Ai+1 = A0 A1 + A1 A2 + · · · + An−1 An
i=0
3.
1.
n−1
∑
A0
4
6
8
10
12
14
16
1+i
c. Ecrire le nombre complexe
sous forme trigonomé2
trique.
d. Démontrer que le triangle OA0 A1 est isocèle rectangle
en A1 .
( )
2. Démontrer que la suite rn est géométrique de raison
3. Montrer que,√pour tout entier n ⩾ 1 :
( 3 (−1)n ·i )
zn = 2n ·
+
.
2
2
4. Calculer les longueurs M1 M2 et M2 M3 .
Pour la suite de l’exercice,
√ on admet que, pour tout entier
n⩾1 :
Mn Mn+1 = 2n · 3.
5. On note ℓn = M1 M2 + M2 M3 + · · · + Mn Mn+1 .
a. Montrer √
que, pour tout entier naturel n ⩾ 1 :
(
)
ℓn = 2 3· 2n − 1 .
b. Déterminer la plus petit entier n tel que ℓn ⩾ 1000.
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