Géométrie élémentaire du plan

C HAPITRE XII:
G ÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE DU PLAN
I) Mode de repérage dans le plan
Définition : Repère cartésien du plan
• Un repère cartésien du plan est un triplet (O; #»
ı , #»
 ) où :
- O est un point du plan qu’on appelle l’origine du repère ;
- ( #»
ı , #»
 ) est un couple de vecteurs du plan non colinéaires qu’on appelle une base du plan.
• Si (O; #»
ı , #»
 ) est un repère du plan, on dit que le repère est orthogonal si les vecteurs #»
ı et #»
 sont orthogonaux
• Si (O; #»
ı , #»
 ) est un repère du plan, on dit que le repère est orthonormal ou orthonormé
si les vecteurs #»
ı et #»
 sont orthogonaux et de même norme k #»
ı k = k #»
 k (= 1 qui devient l’unité de mesure)
• Si (O; #»
ı , #»
 ) est un repère orthonormal du plan et si le plan est muni d’une orientation,
- on dira que le repère est orthonormal direct si le sens de #»
ı vers #»
 est le sens positif (ou direct).
- on dira que le repère est orthonormal indirect si le sens de #»
ı vers #»
 est le sens négatif (ou indirect).
Figures géométriques élémentaires et repère du plan :
−→ −→
Un triangle ABC (un parallélogramme ABCD) non aplati fournit un repère (A; AB, AC) du plan.
−→ −→
Un triangle ABC rectangle en A (ou un rectangle ABCD) non aplati fournit un repère (A; AB, AC) orthogonal du plan.
−→ −→
Un triangle isocèle rectangle ABC en A (ou un carré ABCD) non aplati fournit un repère (A; AB, AC) orthonormé du plan.
→
− −
→
Dans un triangle équilatéral ABC non aplati, on peut construire un repère orthogonal (I; IB, IC) du plan où I est le
milieu de [AB]
Théorème : Coordonnées cartésiennes dans un repère cartésien
(Admis)
¡
¢
• Si O; #»
ı , #»
 est un repère du plan et si #»
u est un vecteur du plan, alors il existe un unique couple (x, y) de réels
tels que #»
u = x #»
ı + y #»
 : (x, y) sont les coordonnées cartésiennes de #»
u dans la base ( #»
ı , #»
 ) et on note #»
u
à !
x
¯
¯ x
ou #»
u ¯¯
y
y
¡
¢
• Si O; #»
ı , #»
 est un repère du plan et si M est un point du plan, alors il existe un unique couple (x, y) de réels
−−→
tels que OM = x #»
ı + y #»
 : (x, y) sont les coordonnées cartésiennes de M dans le repère (O; #»
ı , #»
 ) et on note M (x; y)
~
j
M
y
Le réel x est alors l’abscisse
et le réel y est l’ordonnée du vecteur #»
u (resp. du point M)
~
u
O
~
i
x
Attention ! Il faut bien différentier le vecteur #»
u de ses coordonnées (x; y) :
si on change de repère, les coordonnées changent mais le vecteurs lui n’a pas changé !
Même s’il arrive que dans d’autres disciplines, on écrive un symbole = entre le vecteur et ses coordonnées, nous
réserverons en mathématiques l’usage du symbole = à des objets de même nature : des vecteurs peuvent être égaux,
des couples de coordonnées peuvent être égaux mais un vecteur "n’est pas égal" à ses coordonnées.
1/8
LEROY - PTSI Paul Constans
Méthode : Comment justifier des coordonnées ?
¡
¢
Lorsqu’on doit justifier les coordonnées d’un point M (resp. d’un vecteur #»
u ) dans un repère O; #»
ı , #»
 ,
¯
¯ x
−−→
#»
#»
#»
#»
#»
#»
on établit une relation vectorielle OM = x ı + y  (resp : u = x ı + y  ) qui donne, par définition, M(x; y) (resp. u ¯¯
)
y
E XEMPLE N O 1 ABCD est un carré direct du plan de centre O.
1
On appelle I le milieu de [AB] et J l’image de C par l’homothétie de centre I et de rapport .
4
−→ −→
−
→ −→
Donner (en le justifiant) les coordonnées de tous les points dans : 1) le repère (A, AB, AD)
2) le repère (A, AI, AO)
Rappelons brièvement les règles de calculs vues sur les coordonnées dans les classes antérieures :
• Le plan étant munit d’un repère quelconque (O; #»
ı , #»
 ).
Si pour tout point M du plan et tout vecteur #»
u du plan, on convient de noter :
¯
¯ x #»
u
#»
les coordonnées de #»
u
M(x M ; y M ) les coordonnées de M
et
u ¯¯ #»
yu
¯
¯ αx #»
v
u + x #»
Pour tous vecteurs #»
u et #»
v et pour tout réel α alors α #»
u + #»
v ¯¯
#»
αy #»
+
y
u
v
¯
³x +x y + y ´
−→ ¯¯ x B − x A
A
B
A
B
Pour tout point A et B : AB ¯
Le milieu I de [AB] vérifie I
;
yB − y A
2
2
• Le plan étant munit d’un repère orthonormé (O; #»
ı , #»
 ).
q
−→
#»
#»
Pour tout vecteur u = AB : k u k = x 2#»
+ y 2#»
u
u
et
p
−→
kABk = (x B − x A )2 + (y B − y A )2
Définition : Coordonnées polaires dans un repère orthonormé
Si le plan est rapporté à un repère orthonormé direct (O; #»
ı , #»
 ), on définit, pour tout réel θ :
#»
#»

v
(θ)
¡
¢
#»
#»
#»
#»
#»
#»
#»
π
#»
u (θ) = cos θ ı + sin θ  et v (θ) = u θ + 2 = − sin θ ı + cos θ 
u (θ)
Le couple de réels (ρ; θ) est un couple de coordonnées polaires
O
−−→
du point M si on a l’égalité vectorielle : OM = ρ #»
u θ.
θ
M
#»
ı
Attention, les coordonnées polaires du point M existent toujours mais ne sont pas uniques !
En effet, en identifiant le repère (O, #»
ı , #»
 ) au plan complexe où le point M a pour affixe z, on peut choisir
- pour ρ = |z| et pour θ toutes valeurs de l’argument de z soit θ ≡ arg(z) [2π]
- pour ρ = −|z| et pour θ les valeurs θ ≡ π + arg(z) [2π]
−→ −→
S UITE EXEMPLE N O 1 Dans le repère (A; AB, AD), donner deux couples de coordonnées polaires de B, D et O
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II) Produit scalaire et produit mixte (ou déterminant)
Le plan est muni d’une orientation ce qui permet de définir la notion d’angle orienté de vecteurs.
Définitions : Produit scalaire et produit mixte (ou déterminant) dans le plan
−
−
−
−
• Le produit scalaire de deux vecteurs →
u et →
v du plan est le réel noté →
u .→
v qui vaut :
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
−
−
−
u . v = 0 si u ou v est nul
et
u . v = k u k k→
v k cos(→
u ,→
v ) sinon.
→
−
→
−
−
−
• Le produit mixte (ou déterminant) de deux vecteurs u et v du plan est le réel noté [→
u ,→
v ] qui vaut :
−
−
−
−
[→
u ,→
v ] = 0 si →
u ou →
v est nul
−
−
−
−
−
−
[→
u ,→
v ] = k→
u k k→
v k sin(→
u ,→
v ) sinon.
et
Propositions : Interprétations géométriques du produit scalaire et du produit mixte (ou déterminant)
−→ − −→
−
Si →
u = AB et →
v = AC, et si on appelle H le projeté orthogonal de C sur la droite (AB) alors
¯→
¯
−→ −→
−→ −→
→
−
→
−
−
¯[ −
u . v = AB.AH = ±AB × AH
u ;→
v ]¯ est l’aire du parallélogramme contruit sur AB et AC
C1
v~1
θ2
H2
θ1
A
v~2
C2
D1
B
~
u
H1
D2
Proposition : Caractérisation de l’orthogonalité et de la colinéarité des vecteurs
−
−
−
−
• Les vecteurs →
u et →
v sont orthogonaux si et seulement si →
u .→
v = 0.
−
−
−
−
• Les vecteurs →
u et →
v sont colinéaires si et seulement si [→
u ,→
v ] = 0.
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
• En particulier,
u . u = k u k2
et
[u , u ]=0
Proposition : Symétrie, antisymétrie et bilinéarité
−
−
• Si →
u et →
v sont deux vecteurs du plan,
−
−
∗ →
v .→
u=
→
−
−
∗ [ v ,→
u]=
on dit que le produit scalaire est symétrique ;
on dit que le produit mixte (ou déterminant) est antisymétrique.
• Le produit scalaire et le produit mixte (ou déterminant) sont des formes bilinéaires car :
−
−
−
−
−
−
∗ les applications →
v →
7 →
u .→
v et →
u 7→ →
u .→
v sont toutes deux linéaires ;
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
−
∗ les applications v 7→ [ u , v ] et u 7→ [ u , →
v ] sont toutes deux linéaires.
−
→ et −
→ sont trois vecteurs du plan, et si α et β sont deux réels,
autrement dit :
si →
u,−
v
v
1
2
→
−
−
→
−
→
−
→ + β−
→] =
u .(αv 1 + βv 2 ) =
et
[→
u , α−
v
v
1
2
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
et par symétrie/antisymétrie, on a aussi u 7→ u . v (resp. u 7→ [ u , v ]) est aussi linéaire.
3/8
LEROY - PTSI Paul Constans
Proposition : Produit scalaire et produit mixte(ou déterminant) dans une base orthonormée directe
¯
¯ 0
¯ x
¯ x
→
−
→
−
#»
#»
¯
Si le plan est rapporté à une base orthonormée directe ( ı ;  ), et si u ¯
et v ¯¯ 0 ,
y
y
¯
¯
0 ¯
¯
x
x
→
−
−
−
−
¯ = x y 0 − y x0
alors
u .→
v = xx 0 + y y 0
et
[→
u ,→
v ] = ¯¯
y y0 ¯
(vraie seulement si la base est orthonormée)
¯
¯ x
−
−
Lorsque la base est quelconque, on a [→
u ,→
v ] = ¯¯
y
¯
x 0 ¯¯ #» #»
[ı, ]
y 0 ¯ | {z }
6=0
E XEMPLE N O 2
Calculer une aire, déterminer des angles orientés
Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (O; #»
ı , #»
 ). On donne A(1, 2), B(2, 3), C(6, 1), D(3, 0).
1. Déterminer M tel que OADM est un parallélogramme et donner alors son aire. Quelle est l’aire du triangle ABC ?
2. Justifier que le triangle ABD est rectangle en A.
−→ −→
−→ −→
3. Déterminer la mesure principale en radian dans ] − π, π[ de l’angle (BD, BC) puis de (AC, BD).
III) Les droites dans le plan
III-1) Représentations paramétriques et cartésiennes d’une droite dans le plan
Définition et méthode : Représentation paramétrique d’une droite dans le plan
¡
¢
Lorsque le plan est rapporté à un repère O; #»
ı , #»
 quelconque,
¯
¯ α
→
−
• on peut repérer la droite D par un point A(x A ; y A ) et un vecteur directeur u ¯¯
β
−→
• on peut repérer la droite D par deux points A et B mais alors D est issue de A et elle est dirigée par #»
u = AB
On note alors
D = A + Vect( #»
u)
D est issue de A et que #»
u est un vecteur directeur de D
et on dit que
On obtient une représentation paramétrique à partir de la description géométrique par :
M(x; y) ∈ D
⇔
Réciproquement, une représentation de la forme D :
½
x = x 0 + at
, t ∈ R où (x 0 , y 0 , a, b) ∈ R4 sont connus
y = y 0 + bt
permet d’identifier géométriquement
½
2x = 3a + 2
O
E XEMPLE N 3 Si ∆ :
, a ∈ R alors
3y = −6a
car
4/8
LEROY - PTSI Paul Constans
Définition et méthode : Représentation cartésienne d’une droite
¡
¢
Lorsque le plan est rapporté à un repère O; #»
ı , #»
 quelconque,
si D = A + #»
u on obtient une équation cartésienne de D par
M(x; y) ∈ D ⇔
Réciproquement,
¯
¯ −b
→
−
une équation du type ax + b y + c = 0 avec (a; b) 6= (0; 0) représente une droite dirigée par le vecteur u ¯¯
a
Attention ! Il y a une infinité d’équations cartésiennes pour une droite donnée qui sont toutes proportionnelle
entre elles. On parle parfois de l’équation réduite d’une droite : il s’agit de l’équation cartésienne
∗ x = α pour les droites verticales
∗ y = mx + p pour les autres droites
¯
¯ 1
Le réel p est l’ordonnée à l’origine et le réel m est la pente de la droite de sorte que #»
u ¯¯
m
dirige la droite.
Définition et méthode : Représentation cartésienne à l’aide d’un vecteur normal dans un repère orthonormé
Lorsque le plan est rapporté à un repère (O, #»
ı , #»
 ) est orthonormé direct,
On
obtient
à !
a
→
−
on peut repérer une droite par un point A(x A ; y A ) et un vecteur normal n
b
alors
une
équation
cartésienne
de
D
par
:
M(x; y) ∈
D
⇔
Réciproquement, dans un repère orthonormé direct,
à !
a
→
−
une équation du type ax + b y + c = 0 avec (a, b) 6= (0, 0) représente une droite de vecteur normal n
b
S UITE EXEMPLE N O 2
Passer d’une représentation à une autre, changement de repère
4. Donner une représentation paramétrique de la droite (AB).
Proposer trois méthodes pour trouver une équation cartésienne de (AB) dans (O; #»
ı , #»
 ).
5. On donne la droite D : y = 2x − 3. Donner une représentation paramétrique de D.
−→ −→
6. Donner une équation cartésienne de l’axe des abscisses (O, #»
ı ) dans le repère orthogonal (A, AB, AD) ?
Méthode : Comment réaliser un changement de repère ?
¢
#» #»
#» ¯ x 1
#» ¯ x 2
Pour passer d’un repère R = O; #»
ı , #»
 à un autre repère R 0 = (Ω; I , J ) avec Ω(a, b), I ¯¯
et J ¯¯
,
¯
¡
¯
y1
y2
on cherche des relations entre les coordonnées M(x, y) dans R et les coordonnées M(X, Y) dans R 0
avec les définitions :
5/8
LEROY - PTSI Paul Constans
III-2) Positions relatives de droites dans le plan
Définitions : Droites parallèles, droites perpendiculaires, droites sécantes, droites concourantes
Si D = A + Vect( #»
u ) et D 0 = A0 + Vect( #»
u 0 ) sont des droites du plan,
- on dit que les deux droites sont parallèles lorsque #»
u et #»
u 0 sont colinéaires
- on dit que les deux droites sont perpendiculaires lorsque #»
u et #»
u 0 sont orthogonaux
- on dit que les deux droites sont sécantes lorsqu’elles ont un point commun
Si (Dm )m∈I est une famille de droites du plan (I ensemble quelconque), on dit
\ que ces droites sont concourantes
lorsqu’il y a un unique point M commun à toutes les droites autrement dit
Dm = {M}
m∈I
Définition : Régionnement du plan
Une droite d’équation cartésienne D : ax + b y + c = 0 où (a, b) 6= (0, 0) sépare le plan en deux demi-plan.
Celui caractérisé par l’inéquation ax + b y + c Ê 0 et l’autre caractérisé par l’inéquation ax + b y + c É 0
½
¡
¢
x = 3−λ
E XEMPLE N O 4 On considère la droite D :
, λ ∈ R dans un repère orthonormé O; #»
ı , #»

y = −1 + 2λ
1. Donner une équation cartésienne de D et de la parallèle D 0 à D issue de B(1, 1)
2. Étant donné la famille de droite (∆m )m∈R où ∆m : mx + (m − 1)y + 2 = 0, déterminer m pour que
a) ∆m et D soient perpendiculaires
b) ∆m et D soient parallèles
3. Préciser les inéquations définissant le domaine A
compris entre les 3 dernières droites définies ci-dessus et l’axe des abscisses.
Définition : Projeté orthogonal d’un point sur une droite
Si D = A + Vect( #»
u ) est une droite du plan et M un point du plan,
on appelle projeté orthogonal de M sur D
le point d’intersection H de D avec la perpendiculaire à D issue de M.
A
~
u
M
D
H
ª
C’est le point de D tel que : MH = min MP | P ∈ D ,
on dit que MH est la distance de M à la droite D.
©
P
E XEMPLE N O 5
Déterminer un projeté orthogonal, calculer la distance d’un point à une droite
Calculer la distance du point M(1, −1) à la droite D : 2x + y − 3 = 0
E XEMPLE N O 6
Des formules qu’il vaut mieux savoir redémontrer...
¡
¢
Si M est un point du plan et D = A + Vect( #»
u ) de vecteur normal #»
n dans un repère orthonormal O; #»
ı , #»
 ,
−−→
−−→
n|
|[AM, #»
u ]| |AM. #»
1. démontrer les formules : d (M, D) =
=
#»
#»
ku k
kn k
|ax M + b y M + c|
2. Si D : ax +b y +c = 0 et M(x M , y M ), montrer que : d (M, D) =
. Retrouver le résultat de l’exemple 4.
p
a2 + b2
6/8
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IV) Les cercles dans le plan
Définitions et méthodes : Représentation des cercles dans le plan
Lorsque le plan est rapporté à un repère (O, #»
ı , #»
 ) orthonormé direct,
• on peut repérer C par son centre Ω(a; b) et son rayon R
∗ une représentation paramétrique de C est alors donnée par :
M(x, y) ∈ C ⇔
∗ une équation cartésienne de C est alors donnée par :
M(x; y) ∈ C ⇔
Réciproquement, on peut identifier géométriquement un cercle à l’aide de sa représentation.
½
x = 1 + 2 sin t
O
S UITE EXEMPLE N 3 : Identifier C1 :
, t ∈ R et C2 : x 2 + 8x + y 2 − 6x = 0
y = 2 cos t
• on peut repérer C par son diamètre [AB] où A(x A ; y A ) et B(x B ; y B )
M(x; y) ∈ C ⇔
une équation x 2 + y 2 + 2ax + 2b y + c = 0 où (a, b, c) ∈ R3 représente soit un cercle, soit un point soit ;.
Définitions : Intérieur et extérieur d’un cercle, tangente à un cercle
Un cercle sépare le plan en deux parties :l’intérieur du cercle et l’extérieur du cercle.
Un point M est à l’intérieur (resp. à l’extérieur) du cercle de centre Ω de rayon R si ΩM < R (resp. si ΩM > R)
−−→
En un point M d’un cercle, la tangente en M est la droite issue de M est normale à ΩM où Ω est le centre du cercle.
Le point de tangence est alors le projeté orthogonal de Ω sur la tangente.
Méthode : Comment étudier l’intersection d’une droite et d’un cercle ?
Pour étudier l’intersection d’une droite D et d’un cercle C de centre Ω et de rayon R, on compare d (Ω, D) à R.
- Si d (Ω, D) > R, alors la droite et le cercle ne se rencontre pas : D ∩ C = ;.
- Si d (Ω, D) < R, alors la droite rencontre le cercle selon deux points : D ∩ C = {A, B}.
En partant d’une représentation paramétrique de D qu’on injecte dans l’équation de C, on trouve les paramètres
des deux points comme solution d’une équation du second degré.
- Si d (Ω, D) = R, alors la droite est tangente au cercle et l’intersection est réduite au point de contact P : D ∩ C = {P}.
E XEMPLE N O 7 Le plan est rapporté à un repère orthonormal.
|ax M + b y M + c|
On rappelle la formule d (M, D) =
donnant la distance de M(x M , y M ) à la droite D : ax+b y +c = 0.
p
a2 + b2
1. Déterminer la tangente au point A(1, 2) du cercle d’équation x 2 + y 2 − 4x − 1 = 0.
2. Soit C le cercle d’équation x 2 + 6x + y 2 − 4y − 3 = 0 et A le point de coordonnées (1, 3),
justifier que A est un point extérieur à C et donner une équation des tangentes à C issues de A.
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Méthode : Comment étudier l’intersection de deux cercles ?
Étant donné deux cercles C1 : x 2 +y 2 +2a 1 x+2b 1 y +c 1 = 0 et C2 : x 2 +y 2 +2a 2 x+2b 2 y +c 2 = 0, on étudie l’intersection
C1 ∩ C2 en se ramenant
de l’étude de l’intersection
d’une droite et d’un cercle de la façon suivante :
½ 2au problème
½ 2
x + y 2 + 2a 1 x + 2b 1 y + c 1 = 0
x + y 2 + 2a 1 x + 2b 1 y + c 1 = 0
M(x, y) ∈ C1 ∩ C2 ⇔
⇔
x 2 + y 2 + 2a 2 x + 2b 2 y + c 2 = 0
2(a 2 − a 1 )x + 2(b 2 − b 1 )y + (c 2 − c 1 ) = 0 (L2 ← L2 − L1 )
⇔ M(x, y) ∈ C1 ∩ D où D est la droite
D : 2(a 2 − a 1 )x + 2(b 2 − b 1 )y + (c 2 − c 1 ) = 0
On peut donc rencontrer trois situations :
- C1 ∩ C2 = ; et les cercles ne se rencontrent pas avec deux situations possibles : les deux cercles sont extérieurs l’un
par rapport à l’autre ou bien l’un des cercles est à l’intérieur de l’autre.
- C1 ∩ C2 = {A, B} et les deux cercles sont sécants.
- C1 ∩ C2 = {P} et les deux cercles sont tangents avec deux situations possibles : il sont tangents extérieurement ou
bien tangent intérieurement (l’un des cercles est à l’intérieur de l’autre)
E XEMPLE N O 8 Le plan est rapporté à un repère orthonormal. On donne C1 , C2 et C3 trois cercles du plan avec :
C1 : x 2 + y 2 + 6x − 4y − 3 = 0, C2 : x 2 + y 2 + 6x + 5 = 0 et C3 : x 2 + y 2 + 16x + 6y − 33 = 0
Étudier la position relative de ses trois cercles. En cas de situation de tangence, préciser la tangente commune et la
position des cercles par rapport à cette tangente. Si les cercles sont sécants, préciser les points d’intersection. Sinon,
préciser si l’un des cercles est à l’intérieur de l’autre.
8/8
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