Teorema de Muestreo

PRACTICA 2
TEOREMA DE MUESTREO
Objetivos:

Estudiar el periodo de muestreo

Analizar los efectos de muestrear por debajo de la frecuencia de Nyquist

Utilizar el Matlab para el análisis de señales muestreadas
1. Fundamento Teórico
Teorema del muestreo o de Nyquist-Shannon
Este teorema dice: “Si una señal no contiene componentes en frecuencia mayores
a la frecuencia de muestreo ωm (rad/s)”, puede caracterizarse por completo con
los valores de sus muestras tomadas en instantes dados por Tm= π/ ωmáx , es
decir, que la frecuencia a la cual se debe muestrear una señal f(t) para
reconstruirla por completo es ωm ≥ 2ωmáx, donde ωmáx es la frecuencia máxima
contenida en f(t).
El muestrear una señal a una frecuencia menor a la mínima determinada por el
teorema del muestreo, tiene efectos degradatorios sobre la estabilidad de un
sistema de control en lazo cerrado y no se podrá reconstruir en el dominio del
tiempo de manera adecuada la señal digitalizada, por este motivo a menudo se
escoge una frecuencia mucho mayor que la calculada según el teorema de
Nyquist.
Efecto aliasing
El efecto de traslape se conoce como efecto aliasing (efecto de solapamiento) y
ocurre cuando hay un traslapo en el desplazamiento, es decir, copias periódicas
en nuestra señal f(t) que se observan como un espectro.
En el dominio de frecuencia, notaremos que parte de la señal se trasladará con la
señal siguiente a él, en este solapamiento los valores de la frecuencia serán
sumados juntos y la forma del espectro de la señal será indeseablemente alterada.
Este solapamiento o aliasing hace posible determinar correctamente la fuerza de
la frecuencia. La figura 1 nos da un ejemplo visual de este fenómeno:
Figura 1: El espectro de una señal S(t), S*(t) a wm ≤ 2*wmax ,S*(t) a wm ≥ 2*wmax
Filtros antialiasing
En la mayoría de los casos, el antialiasing consiste en la eliminación de la
información de frecuencia demasiado elevada para poder ser representada. En el
contexto del procesamiento digital de señales, un procedimiento de antialiasing
podría ser, por ejemplo, el filtrado de las frecuencias que exceden el criterio de
Nyquist, limitando así el ancho de banda en la señal.
Para eliminar el aliasing, los sistemas de digitalización incluyen filtros pasa bajo,
que eliminan todas las frecuencias que sobrepasan la frecuencia crítica
(corresponde a la mitad de la frecuencia de muestreo elegida ωm) en la señal de
entrada. Es decir, todas las frecuencias que queden por encima de la frecuencia
de muestreo seleccionada son eliminadas. El filtro paso bajo para este uso
concreto recibe el nombre de filtro antialiasing. Se debe resaltar que el abuso de
los filtros antialiasing, puede producir el mismo efecto que se quiere evitar, por
ejemplo al conectar varios filtros en cascada (en el muestreo, en la conversión
digital-analógica, etc.), un filtrado excesivo de una onda que ya cumplía con el
requisito para su correcta transformación A/D puede degenerar y provocar que la
onda final presente una pendiente marcada.
2. Trabajo Preparatorio
2.1.
2.2.
Consultar la teoría acerca del periodo de muestreo, escribir 2 ejemplos
reales de su aplicación.
Consultar todos los parámetros y funcionamiento de los bloques de
Simulink que se encuentran en los ejercicios a implementar en la parte
experimental.
2.3.
A partir de la función de transferencia
( )
( )
del circuito de la figura.
2.3.1. Determine el periodo de muestreo mínimo utilizando el teorema de
Shannon (teorema de muestreo)
2.3.2. A partir del literal (a) escoja un período de muestreo adecuado.
( )
(
). ¿Es el período de
2.3.3. Si la señal de entrada es
muestreo encontrado en el literal 2.32 válido.
2.3.4. De no serlo especifique el periodo de muestreo que debió escogerse.
Justifique su respuesta.
3. Trabajo experimental
3.1 Considere un periodo de muestreo de 1seg. y las siguientes señales
(
)y
( )
(
( )
)
3.1.1 Dibuje las señales en una sola ventana para valores de 0<t<4 seg.
3.1.2 Muestre las señales usando el periodo de muestreo indicado en el
enunciado
3.1.3 Dibuje las señales muestreadas en una sola ventana
3.1.4 Concluya, cuál es el efecto que se observa en este proceso?, qué medidas
se deben tomar?.
3.2 Analice los efectos del periodo de muestreo en una señal sinusoidal de
frecuencia de 120 Hz, para ello se debe implementar el diagrama de bloques
de la figura 2 en Simulink.
Figura 2. Esquema para el análisis de una señal sinusoidal muestreada
Obtener las respuestas en el tiempo y el espectro de frecuencias para las
siguientes frecuencias de muestreo:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Fm= 60 Hz
Fm = 120 Hz
Fm= 360 Hz
Fm = 600 Hz
Fm = 1200 Hz
Fm = 2400 Hz
3.3 Compruebe el literal 2.3 del trabajo preparatorio utilizando el simulink
4. Informe
El informe queda a criterio del instructor
BIBLIOGRAFÍA
KUO, B. “Sistemas de Control Digital”