Géométrie dans l`espace - Didactique
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Géométrie dans l`espace - Didactique
Cours Géométrie 2b-2 dans l’espace - Didactique Sommaire 1 La géométrie dans l’espace dans les programmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1 À l’école maternelle 2 1.2 Au CP et au CE1 2 1.3 Au CE2, CM1 et CM2 2 2 Des précisions sur les solides du programmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.1 Les solides 3 2.2 Les polyèdres 3 2.3 Le pavé droit ou parallélépipède rectangle 4 2.4 Le prisme 4 2.5 La pyramide 4 2.6 La boule 5 2.7 Le cylindre droit 5 2.8 Le cône de révolution 5 3 Les représentations dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3.1 Définir l’espace 6 3.2 L’évolution des représentations de l’espace 6 3.3 Les différents types de tâches 6 3.4 Le matériel pédagogique 7 4 Les erreurs et difficultés des élèves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4.1 Représentation dans le plan 8 4.2 Patron 8 4.3 Définitions et propriétés 8 CM2b-2 Géométrie dans l’espace - Didactique M1-MEEF-PE 1 La géométrie dans l’espace dans les programmes 1.1 À l’école maternelle Dans les programmes p.15 Se repérer dans l’espace : tout au long de l’école maternelle, les enfants apprennent à se déplacer dans l’espace de l’école et dans son environnement immédiat. Ils parviennent à se situer par rapport à des objets ou à d’autres personnes, à situer des objets ou des personnes les uns par rapport aux autres ou par rapport à d’autres repères, ce qui suppose une décentration pour adopter un autre point de vue que le sien propre. Connaissances et compétences p.16 À la fin de l’école maternelle, l’enfant est capable de : - se situer dans l’espace et situer les objets par rapport à soi ; - comprendre et utiliser à bon escient le vocabulaire du repérage [. . . ] dans l’espace. 1.2 Au CP et au CE1 Dans les programmes p.18 2 - Géométrie : les élèves enrichissent leurs connaissances en matière d’orientation et de repérage. Ils apprennent à reconnaître et à décrire [. . . ] des solides. Dans les progressions p.33 CP CE1 Géométrie - Situer un objet et utiliser le vocabulaire permettant - Reconnaître, décrire, nommer quelques solides de définir des positions (devant, derrière, à gauche de, droits : cube, pavé. . . à droite de. . .) - Reconnaître et nommer le cube et le pavé droit. Compétences attendues à la fin du CE1 p.20 Compétence 3 - L’élève est capable de : - situer un objet par rapport à soi ou à un autre objet, donner sa position et décrire son déplacement ; - reconnaître, nommer et décrire les [. . . ] solides usuels. 1.3 Au CE2, CM1 et CM2 Dans les programmes p.22/23 2 - Géométrie Les solides usuels : cube, pavé droit, cylindre, prismes droits, pyramide. - reconnaissance de ces solides et étude de quelques patrons ; - vocabulaire spécifique relatif à ces solides : sommet, arête, face. Dans les progressions CE2 Géométrie Dans l’espace - Reconnaître, décrire et nommer : un cube, un pavé droit. - Utiliser en situation le vocabulaire : face, arête, sommet. p.38 CM1 Dans l’espace - Reconnaître, décrire et nommer les solides droits : cube, pavé, prisme. - Reconnaître ou compléter un patron de cube ou de pavé. Compétences attendues à la fin du CM2 CM2 Dans l’espace - Reconnaître, décrire et nommer les solides droits : cube, pavé, cylindre, prisme. - Reconnaître ou compléter un patron de solide droit. p.28 Compétence 3 - L’élève est capable de : - reconnaître, décrire et nommer les [. . . ] solides usuels. N@thalie DAVAL - Luc TIENNOT 2/8 ESPE de la Réunion Géométrie dans l’espace - Didactique CM2b-2 M1-MEEF-PE 2 Des précisions sur les solides du programmes Nous précisons ici certaines définitions, utiles pour le professeur à l’école élémentaire. Certains ne sont pas explicitement au programme, mais font partie de la vie « courante » des élèves (pyramide, cône, sphère). 2.1 Les solides Les solides sont des objets géométriques tridimensionnels. Les solides convexes sont des solides tels que tout segment d’extrémités deux points de ce solide est inclus dans le solide. Tous les solides pleins cités dans le programme sont des solides convexes, mais on montrera aussi aux élèves des solides qui ne le sont pas. Les solides de la géométrie élémentaire sont-ils des solides pleins ou des solides creux ? On peut se poser la question car si les solides occupent une portion non nulle de l’espace, ils ne peuvent être creux, mais si on calcule leur capacité, c’est qu’on peut les remplir, donc ils doivent être creux. Le patron d’un solide donne, après assemblage, un solide creux. La reproduction d’un solide en pâte à modeler est bien un solide plein. On pourra donc utiliser les deux dénominations. 2.2 Les polyèdres Une première classification des solides est faite entre les polyèdres et les non-polyèdres. Un polyèdre est un solide dont la surface extérieure est entièrement constituée de plans. Les séparations entre ces portions de plans sont des segments et la surface extérieure est constituée de polygones. Le mot polyèdre ne figure pas expressément au programme. Pourtant il paraît difficile de ne pas l’utiliser en classe, au moins au cycle 3, pour pouvoir faire une première classification des solides. Sur la figure suivante, on peut voir une face en jaune, une arête en rouge et un sommet entouré de bleu d’un polyèdre. E C D A B On pourra donner une pseudo-définition de ces termes de type expérimental : si on encre une face d’un polyèdre sur un tampon, l’estampage sur une feuille de papier donne une surface, si on encre une arête d’un polyèdre sur un tampon, l’estampage sur une feuille de papier donne un segment, si on encre un sommet d’un polyèdre sur un tampon, l’estampage sur une feuille de papier donne un point. Comme pour les polygones, les polyèdres reçoivent des noms différents suivant le nombre de leurs faces. Le tableau suivant donne les préfixes permettant de nommer les différents objets. n –èdre 4 tétra– 5 penta– N@thalie DAVAL - Luc TIENNOT 6 hexa– 7 hepta– 3/8 8 octa– 9 ennéa– 10 déca– 12 dodéca– 20 icosa– ESPE de la Réunion Géométrie dans l’espace - Didactique CM2b-2 M1-MEEF-PE 2.3 Le pavé droit ou parallélépipède rectangle Un pavé, ou parallélépipède est un hexaèdre dont les faces opposées sont des parallélogrammes deux à deux superposables : — si les parallélogrammes sont des rectangles, le pavé est droit, et le parallélépipède est rectangle ; — si les parallélogrammes sont des carrés, ils sont tous les six superposables et l’hexaèdre est un cube. Le mot parallélépipède vient du grec parallelos qui veut dire parallèle et de epidon, surface. || x x x x || || o o x Pavé droit Cube o || x x || o o x || 2.4 Le prisme Vient du grec prismatos qui veut dire scier. Un prisme est un polyèdre construit à partir de deux faces polygonales identiques superposées, appelées base, que l’on éloigne en laissant les arêtes correspondantes parallèles. Les faces latérales sont alors des parallélogrammes. Si, de plus, les faces latérales soient des rectangles, le prisme est dit droit. Enfin, on parlera de prisme droit régulier si les bases sont des polygones réguliers. x o o x o o o o oo x o o x 2.5 La pyramide Une pyramide est un polyèdre construit à partir d’une face polygonale, appelée base, dont on relie les sommets à un point extérieur au plan de la base, appelé sommet. Les faces latérales sont des triangles. Si, de plus, ces triangles sont isocèles, la pyramide est droite. Enfin, on parlera de pyramide droite régulière si la base est un polygone régulier. o o o x x x x o N@thalie DAVAL - Luc TIENNOT 4/8 o o o o ESPE de la Réunion CM2b-2 Géométrie dans l’espace - Didactique M1-MEEF-PE 2.6 La boule La boule est un solide non polyédrique. Il est très courant, les élèves connaissent les boules de pétanque et les balles par exemple et il est curieux. Cependant, ce mot est absent des programmes. La sphère est la surface extérieure de la boule. Il s’agit d’une surface assimilable à une boule creuse. Le mot sphère vient du grec sphaîra qui signifie corps rond. 2.7 Le cylindre droit C’est encore un solide non polyédrique. On l’appelle aussi cylindre de révolution car on peut l’imaginer engendré par un rectangle dans l’espace tournant autour d’un de ses côtés. Sa surface extérieure est constituée de trois parties : deux bases circulaires superposables et une surface latérale. Cylindre vient du grec kulindros qui veut dire rouleau. x x 2.8 Le cône de révolution C’est aussi un solide non polyédrique. On peut l’imaginer engendré par un triangle rectangle tournant dans l’espace autour d’un de ses côtés perpendiculaires. Sa surface extérieure est constituée de deux parties : une base circulaire et une surface latérale. Le point du cône opposé à sa base est appelé sommet. Son nom vient du grec kônos signifiant pomme de pin. N@thalie DAVAL - Luc TIENNOT 5/8 ESPE de la Réunion Géométrie dans l’espace - Didactique CM2b-2 M1-MEEF-PE 3 Les représentations dans l’espace 3.1 Définir l’espace D’après des travaux faits en didactiques, l’espace peut être divisé en trois catégories : Micro-espace Méso-espace Macro-espace Vision Espace proche Espace accessible à une vision globale Espace non totalement visible Position de l’enfant Il est à l’extérieur Il est à l’intérieur Il est à l’intérieur Les objets On peut les voir, les toucher, les déplacer Ils sont fixes ou semi-fixes Ils sont fixes et pas tous visibles Exemple La table La classe Le quartier 3.2 L’évolution des représentations de l’espace • Stade 1 : incapacité synthétique (3-4 ans). Volonté réelle de représenter un objet bien déterminé, mais les difficultés motrices empêchent l’enfant de prendre en compte l’alignement, les proportions : seules les propriétés topologiques de voisinage sont respectées approximativement. • Stade 2 : le réalisme intellectuel (5-7 ans). Le sujet dessine non pas ce qu’il voit de l’objet mais ce qu’il sait. • Stade 3 : le réalisme visuel (8-9 ans). L’enfant cherche à tracer ce qu’il voit, il a le souci du rapport simultané des perspectives, des proportions, des mesures et des distances. 3.3 Les différents types de tâches • Reproduire : on peut faire reproduire un solide avec de la pâte à modeler, de la pâte à papier, des patrons (polyèdres) ou des développements (cylindre, cône). • Décrire : on peut faire décrire un solide en commençant par le classer dans les polyèdres ou non, puis en utilisant le vocabulaire spécifique, en particulier face, arête, et sommet. • Construire : on peut utiliser les polydrons ou des patrons. • Représenter : ce nouveau type de problème est introduit car le passage de la géométrie dans l’espace à la géométrie plane nécessite de faire des choix pour avoir l’impression que ce qu’on voit sur la feuille est bien une représentation de l’objet initial. La représentation la plus courante est la perspective cavalière, son étude débutera au collège, mais certains enfants commenceront à en utiliser des mises en œuvre plus ou moins naïves, en particulier pour représenter des cubes ou des pavés droits dès l’école élémentaire. N@thalie DAVAL - Luc TIENNOT 6/8 ESPE de la Réunion CM2b-2 Géométrie dans l’espace - Didactique M1-MEEF-PE 3.4 Le matériel pédagogique Il existe un matériel pédagogique bien adapté à la géométrie dans l’espace. Citons les trois principaux. • Les polydrons : ce sont des polygones en plastique, variés, qui peuvent être assemblés par leur arête pour construire des polyèdres. Il en existe également des courbes afin de construire sphères, cylindres et cônes. • Les cubes a link : ce sont des petits cubes de plastique qui peuvent être assemblés par face, à l’aide de clips, pour construire des polyèdres. • Les solides en bois ou en plastique : c’est un assortiment de blocs de bois, de différentes formes, polyédriques ou non, qui permettent de décrire ces solides en les manipulant. Il en existe également en plastique transparent pouvant également contenir les patrons. N@thalie DAVAL - Luc TIENNOT 7/8 ESPE de la Réunion CM2b-2 Géométrie dans l’espace - Didactique M1-MEEF-PE 4 Les erreurs et difficultés des élèves 4.1 Représentation dans le plan Deux sortes de tâches peuvent être proposées à l’élève : — représenter un objet de l’espace qu’il connaît ou qu’il a sous les yeux ; — reconnaître un objet à partir d’une représentation donnée. Principales erreurs et difficultés : • ne représenter que la face avant d’un polyèdre ; • pour la perspective cavalière, chercher à conserver l’orthogonalité partout ; • chercher à conserver les distances pour des arêtes placées sur les fuyantes ; • ne pas percevoir la tridimensionnalité dans le dessin ; • ne pas imaginer certaines caractéristiques de l’objet (angle droit, parallélisme. . .) 4.2 Patron Deux types de tâches peuvent être proposés à l’élève : — reconnaître si un dessin donné est le patron ou non d’un solide ; — construire le patron du solide. Principales erreurs et difficultés : • toutes les faces du solide doivent être représentées ; • les côtés des différents polygones qui représentent les faces et qui se correspondent après pliage doivent être de même dimension ; • deux faces ne doivent pas se superposer ; • si l’élève n’a pas le droit de manipuler l’objet, il devra construire le patron en étalant mentalement les différentes faces de l’objet ; • si l’objet est absent du regard de l’élève, il ne pourra s’agir que d’un objet familier : cube ou pavé droit par exemple. Beaucoup d’élèves s’imaginent qu’un solide n’a qu’un seul patron. 4.3 Définitions et propriétés Il s’agit pour l’élève de reconnaître des propriétés d’un solide : nombre de faces, d’arêtes, de sommets, nature des faces. Plusieurs cas peuvent se produire : • l’élève a le solide à sa disposition : il suffit de lire directement ses propriétés. Le risque est de compter deux fois des objets identiques (faces, arêtes, sommets) ; • l’élève voit le solide mais ne peut le manipuler ni tourner autour : il doit imaginer ce qu’il ne voit pas, ce qui suppose qu’il a déjà eu l’occasion de manipuler ce solide ; • l’élève ne dispose que du tracé en perspective de ce solide : il faut qu’il connaisse et se soit approprié les conventions de la perspective cavalière. N@thalie DAVAL - Luc TIENNOT 8/8 ESPE de la Réunion