Tragkonstruktionen BI - II geneigter und geknickter Träger

Geneigte und geknickte Träger
Vorlesung und Übungen
2. Semester BA Architektur
KIT – Universität des Landes Baden-Württemberg und
nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft
www.kit.edu
Tragkonstruktionen BI - II
Inhalt
Sparrendach
Treppen und Treppenwangen
2
21.04.2015
Dipl.-Ing. Michael Karwath
Prof. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
Tragkonstruktionen BI - II
Wiederholung
Dachsparren im Pfettendach
Sparrenabstand a
s
g
Winddruck wD
Cli
AH
AV
3
21.04.2015
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Prof. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
Tragkonstruktionen BI - II
Sparrendach
Dachsparren
Zugband
4
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Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
Tragkonstruktionen BI - II
Sparrendach
4 Unbekannte:
AV, AH, BV, BH
3 Gleichgewichtsbedingungen
H  0
V  0
M  0
Eine Unbekannte zu viel ?
AH
AV
5
21.04.2015
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BH
BV
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
Tragkonstruktionen BI - II
Sparrendach, Sparren, Statisches System
Gegeben:
R
q
Konstante Gleichlast q
Länge L, Höhe h
[kN/m]
[m]
B
h
Gesucht:
Auflagerkräfte in A und B
[kN]
AH
Berechnung:
Resultierende Last R = q ∙ L
 H  0  AH  B  0
AV
V  0
L
MB  0  A V  L  R  2  AH  h  0
L
 AV  q  L  0
AV  q  L
L
q  L2
q  L  L  q  L   AH  h  0  AH 
B
2
2h
6
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Fachgebiet Bautechnologie
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Tragkonstruktionen BI - II
Sparrendach, Sparren, Schnittgrößen
Gleichgewicht am Auflager A
MA = 0
Zerlegung einer Kraft in 2 Komponenten
VA  A V  cos   AH  sin 
NA  A V  sin   AH  cos 
VA
NA
AV

AH
VA
AV
dx ~ 0
AH
Gleichgewicht am Auflager B
Zerlegung einer Kraft in 2 Komponenten
VB  B  sin 
NB  B  cos 
7
21.04.2015
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MB = 0
NB

B
NA
B
VB
NB
VB
dx ~ 0
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
Tragkonstruktionen BI - II
Sparrendach, Sparren, Schnittgrößen
VB  B  sin 
NB  B  cos 
L
NA  A V  sin   AH  cos 
N-Verlauf [kN]
8
21.04.2015
Dipl.-Ing. Michael Karwath
Prof. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
L
VA  A V  cos   AH  sin 
V-Verlauf [kN]
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Sparrendach, Sparren, Schnittgrößen
Momentenverlauf M [kNm]
ML/2 = q∙L2/8
ML/2 = q∙L2/8
L/2
9
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L/2
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L/2
L/2
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geneigter und geknickter Träger
B
H
B
AH
AH
AV
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L1
L2
L1
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Lk
AV
L
Lk
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R = q ∙ (L + 2·LK)
geneigter und geknickter Träger
Gegeben:
q
 System mit Abmessungen
 Äußere Last q
B
H
 Steigung
tan  = H/L

sin  = H/(L² + H²)
AH
cos  = L/(L² + H²)
Lk
Gesucht:
 Auflagerreaktionen
 Schnittgrößenverläufe
 Bemessung
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AV
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L
Lk
L
=0
2
q  (L  2  Lk )
AV =
2
q  (L  2  Lk )
 AV
 V  0  B  R  AV 
2
M
B
 0  A V  L-R 
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geneigter und geknickter Träger
Schnitt 1 – 1 links
q
2
V1,li
N1,li
M1,li
H
q
B
Lk
1
H  0  N
1,li
V  0  V
1,li
0
Lk
L
Lk
AV
+ q  L k  V1,li  q  L k
2
2
M

0

M

q

L
/2
=
0

M


q

L

1,li
k
1,li
k /2
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geneigter und geknickter Träger
AV,re
q
Schnitt 1 – 1 rechts
Lk
 V  0  A V,re + q  L k - A V = 0
A V,re = A V - q  Lk
AV
M1,re
V1,re
q
 N1,re = -A V,re  sin 
 V1,re = A V,re  cos 
M
A
 0  M1,re  q  L2k /2 = 0
M1,re = -q  L /2 = M1,li
N1,re
Lk
AV,re
AV
V1,re

2
k
N1,re
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geneigter und geknickter Träger
Schnitt 2 – 2 links
V  0  B + q  L
li
k
q
V2,li
-B=0
M2,li
Bli = B - q  Lk
 N2,li = Bli  sin 
Lk
N2,li
B
 V2,li = -B li  cos 
M
B
 0  M2,li  q  L2k /2 = 0
M2,li = -q  L2k /2 = M2,li
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21.04.2015
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V2,li
Bli

N2,li
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Tragkonstruktionen
Tragkonstruktionen
BI - II
Q = 6 kN
1,li
geneigter und geknickter Träger
N2,li
Normalkraft – N [kN]
L/2
N1,re
V2,re
V2,li
L/2
Querkraft – V [kN]
V1,re
V1,li
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geneigter und geknickter Träger
M2 = -q  L2k /2
 ML/2  0
 Mmax  q 
(L  2  Lk ) (L  2  Lk )
L

- AV  = 0
2
4
2
q  (L  2  Lk ) L q  (L  2  Lk )2
Mmax =
 2
2
8
Mmax = q 
2
2
k
L
L
 q
8
2
L2k
L2
Mmax = q   q 
8
2
M1 = -q  L2k /2
Biegemoment – M [kNm]
Bemessung
Bemessungswert der Biegefestigkeit fR,d
Nachweis der Tragfähigkeit E,d  fR,d
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E,d =
Mmax,d
Wy
 fR,d  Wy 
Mmax,d
fR,d
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
Tragkonstruktionen BI - II
Zusammenfassung
Pfettendach
VB  B  cos 
VA  A V  cos 
Cli
NB  B  sin 
AH
AV
NA  A V  sin 
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Tragkonstruktionen
Tragkonstruktionen BI - II
Zusammenfassung
VB  B  sin 
Sparrendach
Cli
VA  A V  cos   AH  sin 
NB  B  cos 
AH
AV
NA  A V  sin   AH  cos 
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21.04.2015
Dipl.-Ing. Michael Karwath
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Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
Tragkonstruktionen BI - II
Zusammenfassung geknickter Träger

Vre
Nre
Vli
Mli
Mre
Nli
H  0
 -Nli  cos   Vli  sin   Nre  0
V  0
 -Nli  sin   Vli  cos   Vre  0
M
1
19
 0  Mli  Mre  0
21.04.2015
Dipl.-Ing. Michael Karwath
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Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
Tragkonstruktionen BI - II
Zusammenfassung
Sparrendach
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Dipl.-Ing. Michael Karwath
Prof. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Pfettendach
Kehlbalkendach
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
Tragkonstruktionen BI - II
Sparrendach
Anwendungsbereich
 Dachneigung > 40°
 Hausbreite:
bis L< 10 m → Vollholz Mögl.
bei L> 10 m → Sonderkonstruktion
Hinweise
H
H
 Decke muss Zugbandfunktion übernehmen
 Keine großen Öffnungen in Dach oder Decke
L
Bemessung Sparren
 Sparrenhöhe h ~ s/24 + 2cm
 Sparrenbreite b ~ e/10 ≥ 8cm (e = Sparrenabstand)
 Horizontalschub H = (q*L²)/(8*f)
q = Gesamtlast aus Eigenlast, Schnee und Wind
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L
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Pfettendach
Anwendungsbereich
 geringe Dachneigung
 Große Öffnungen in Dach oder Decke
smax
 Große Dachüberstände
Bemessung Sparren
 Sparrenhöhe h = smax/24
 Sparrenbreite b ~ e/10 ≥ 8 cm (e = Sparrenabstand)
Bemessung Pfetten (Lasten nur aus Dach)
22
 Pfettenhöhe
Dachneigung
h = L/24 + e/(30 bis 50)
α ~ 45° → 30
α ~ 15° → 50
 Pfettenbreite
b ~ 0,5*h bis 0,7*h
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Fachgebiet Bautechnologie
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Kehlbalkendach
Anwendungsbereich
 Dachneigung > 40°
bis L< 14 m → Vollholz mögl.
bei L> 14 m → Sonderkonstruktion
 Hausbreite:
Hinweise
 Decke muss Zugbandfunktion übernehmen
 Keine großen Öffnungen in Dach oder Decke
smax
 Hu:H ~ 0,6 bis 0,8
Lk
Hu
Bemessung Sparren
 Sparrenhöhe
d ~ smax/24 + 4 cm
 Sparrenbreite
b ~ e/8 ≥ 8cm (e = Sparrenabstand)
L
 Kehlbalkenhöhe hk= lk/20
 Kehlbalkenbreite
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bk= e/8 (einteilig)
bk= 2·e/8 (zweiteilig)
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Tragkonstruktionen
H
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Beispiel Sparrendach
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Beispiele geneigter und geknickter Träger
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geneigter und geknickter Träger
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geneigter und geknickter Träger
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geneigter und geknickter Träger
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Tragkonstruktionen BI - II
geneigter und geknickter Träger
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Tragkonstruktionen BI - II
geneigter und geknickter Träger
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Tragkonstruktionen BI - II
Literatur
Gottfried Leicher
Tragwerkslehre in Beispielen und Zeichnungen
3. Auflage Werner Verlag, 2010, S. 394
Hanfried Heller
Padia 1 Tragwerkslehre
Ernst und Sohn, 1998, S. 132, 133,147
Hans H. Hugi
Einführung in die Statik der Tragkonstruktionen
Vorlesungstexte an der ETH Zürich
Verlag der Fachvereine Zürich, 1992, S. 81, 85
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Prof. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
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