les exercices de la Khôlle publique

MP 2014/2015
Programme de colle
Semaine du lundi 23 au 27 mars 2015
Exercice A1 : Estimation de l’âge de la Terre par Lord Kelvin TH 334 :
On néglige la sphéricité et les sources radioactives de la planète, mais on ne se place pas en régime permanent. On
admet que la température dépend de t et de la profondeur z comptée positivement. Elle vérifie l’équation de
diffusion :
∂T
∂ 2T
ρ.c p .
= λ. 2
∂t
∂z
où ρ est la masse volumique, cp la capacité thermique massique à pression constante et λ la conductivité
thermique.
1. Démontrer l’équation différentielle vérifiée par q (puissance surfacique) :
∂q
∂ 2q
= D. 2
∂t
∂z
dans la quelle on notera D la diffusivité thermique. Déduire l’expression de D.
Au milieu du XIXème siècle, Sir William Thomson (Lord Kelvin) a imaginé que la Terre avait été formée à une
température élevée T1 uniforme à la date t = 0. Il a proposé d’autre part qu’à cette même date, sa surface avait
été soumise instantanément à une température TS. Depuis ce temps-là, la planète se refroidirait. Lord Kelvin a
modélisé le refroidissement pour en déduire l’âge de la Terre. La densité de flux thermique est donc une fonction
de la profondeur et du temps q(z,t).
2.
3.
Dans l’hypothèse de Lord Kelvin, quelle doit être la valeur de la densité de flux thermique en z = 0 lorsque t
tend vers zéro et lorsqu’il tend vers l’infini ? Quelle doit être la valeur de la densité de flux thermique à une
profondeur z non nulle lorsque t tend vers zéro et lorsqu’il tend vers l’infini ?
Vérifier que la solution proposée par Lord Kelvin :
A
q (z , t ) = −
Dt
 z2 
.exp  −

 4Dt 
où t est le temps écoulé depuis la formation de la Terre est bien la bonne. Dessiner schématiquement la valeur
absolue de la densité de flux thermique en fonction de la profondeur pour deux époques différentes.
Les paramètres du problème sont T1-TS, λ, ρ et cp. On suppose que A s’exprime par :
1
A=
4.
5.
π
Au centre du Soleil, la température est estimée à Ts = 1,5 x 107 K. En admettant que l'énergie de la particule
quantique incidente est liée à l'agitation thermique au centre du soleil, son ordre de grandeur est donné par kB.Ts,
où kB = 1,38 x 10-23 J .K-1 est la constante de Boltzmann.
1) Donner l'ordre de grandeur numérique de E et le comparer à la hauteur maximale de la barrière de potentiel.
Commenter.
2) Donner une estimation de la probabilité de fusion de ces deux noyaux.; Combien de collisions faut-il en moyenne
pour réaliser la fusion des deux noyaux ? Pourquoi dit-on que la température au centre du Soleil est suffisamment
importante pour amorcer des réactions de fusion nucléaire en son coeur ?
Exercice D1 : : : expérience d'Ingen Housz TH304
Cette expérience permet de comparer les conductivités thermiques de divers solides.
Considérons deux ailettes cylindriques de même rayon r, l'une en cuivre et l'autre en aluminium. Elles sont
soudées à leur extrémité inférieure à un récipient contenant de l'eau en ébullition (T0=373 K). L'atmosphère
environnante est à la température Ta=293 K. Le coefficient d'échange convectif entre la tige et l'air est h
(enW.m-2.K-1). Chacune des ailettes est enduite d'une couche mince de paraffine, dont la température de
fusion est Tf=333 K.
On constate que sur la tige de cuivre, la paraffine est fondue jusqu'à l'abscisse x1=14,4 cm alors que sur la
tige d'aluminium, elle n'est fondue que jusqu'à l'abscisse x2=11,2 cm.
a) Montrer que, si l'ailette est assez longue, la température y décroît exponentiellement.
b) Sachant que la conductivité thermique du cuivre est λ1=390 W.m-1.K-1, déterminer celle de l'aluminium.
Exercice E1 ::
Particule dans une boîte unidimensionnelle MQ 8 :
Une particule, de masse m, d'énergie E, est confinée dans l'intervalle 0 < x < L où son énergie potentielle est
choisie nulle : V (x) = 0.
1. On adopte dans cette question seulement un traitement classique. On admet que la densité de probabilité de
présence classique de la particule entre x et x + dx est proportionnelle à la durée de passage dt entre ces deux
abscisses.
a. En exploitant la conservation de l'énergie, exprimer la vitesse classique v(x) de la particule à l'abscisse x.
dPcl
1
b. Montrer qu'après normalisation, la densité de probabilité de présence classique s'exprime ainsi :
=
dx
L
c. Calculer la probabilité de présence de la particule entre les abscisses 0 et L/4.
2. On adopte maintenant un traitement quantique. L'énergie E de la particule correspond à un état
stationnaire représenté par la fonction d'onde :
.(T1 − TS ).λ
Exprimer la valeur du gradient thermique en surface de la Terre dT/dz. Lord Kelvin a admis que T1-TS était
de l’ordre de 1000 à 2000K et que D est proche de 10-6 m2 s-1. Sachant que l’augmentation de température
mesurée dans les mines indiquait un gradient proche de 30 K km-1, quel âge de la Terre Lord Kelvin a-t-il
déduit de son modèle ?
Que pensez-vous de l’estimation précédente ? Quel est le ou les ingrédients que Lord Kelvin n’aurait pas dû
négliger ?
où n est un entier strictement positif.
a. Déterminer la constante An en normalisant correctement cette fonction d'onde.
b. Calculer la probabilité de présence de la particule entre les abscisses 0 et L/4.
c. Que devient ce dernier résultat dans la limite où n >> 1. Comment ce résultat se compare-t-il au résultat de la
théorie classique ?
Exercice F1 : : : température dans un conducteur TH308
Exercice B1 :
Exercice C1 ::Fusion thermonucléaire au coeur du Soleil MQ 19
On envisage la fusion thermonucléaire de deux noyaux d'hydrogène. Le noyau incident, d'énergie E, doit traverser
par effet tunnel une barrière de potentiel lié à la répulsion électrostatique avec l'autre noyau d'hydrogène.
On admet que le problème doit être traité en considérant une seule particule quantique, de masse mp/2 , où mp =
1,7 x 10-27 kg est la masse d'un proton, soumise à la même interaction électrostatique Vm que celle qu'un noyau
exerce sur l'autre à la distance r0 ≈ 10-15 m
Pour obtenir un ordre de grandeur de la probabilité de traversée de la barrière de potentiel par effet tunnel, on
donne l’expression de la probabilité de transmission T :
lnT = −
π RVm
mp
E
+ r0
2Vm .mp
Un conducteur, parcouru par un courant d'intensité I, est entouré
d'une gaine isolante cylindrique. La température de la surface
extérieure de la gaine est T0 ; le conducteur a une conductivité
électrique σ et une conductivité thermique λ ; la gaine, elle, a une
conductivitéthermique k. Le régime est permanent ; on néglige les effets
de bord aux extrémités et on suppose le contact thermique parfait entre
le conducteur et la gaine isolante.
a) Déterminer les lois T(r) dans la gaine et le conducteur.
b) Quelle est la température maximale atteinte ?
gaine
conducte
a
r1
T
I
Exercice A2 ::Niveaux d'énergie du puits de potentiel infiniment profond MQ 16
Exercice D2 : :Paroi calorifugée TH323
1. Représenter l'allure de la fonction d'onde propre pour les 3 premiers niveaux d'énergie d'une particule
quantique dans un puits de potentiel infiniment profond, de largeur a.
On suppose que la cuve d’un réacteur forme une paroi plane de
dimensions grandes par rapport à son épaisseur l et que les
transferts thermiques s’effectuent uniquement selon l’axe Ox.
Le matériau est en acier homogène de conductivité thermique λ.
On définit le coefficient de transfert de chaleur τ d’une paroi par
la relation j = τ (T1 – T2), j étant le flux thermique surfacique à
travers la paroi en régime stationnaire, T1 est la température du
milieu réactionnel et T2 celle du milieu extérieur.
1) Calculer τ en fonction de λ et de l.
A.N. Calculer j et τ : T1 = 650 K, T2 = 550 K, l = 20 cm, λ=20W.m-1 .K-1
2. En déduire dans chaque cas l'expression de la longueur d'onde de de Broglie en fonction de a, et de la
masse de la particule quantique m, puis la valeur de l'énergie E de chaque niveau.
3. En généralisant, retrouver l'expression de l'énergie En du nième niveau en fonction de n, m, et a.
4. Un électron est confiné dans un puits quantique formé d'une couche de GaAs (matériau semi-conducteur) prise
en « sandwich » entre deux couches de GaAlAs. Pour déterminer les états stationnaires de l'électron, on
considère une particule quantique de masse me* = 0,067me (où me = 9, 1 x 10-31 kg est la masse de l'électron)
évoluant dans un puits de potentiel infini, de largeur a = 3,0 nm.
On considère la transition du niveau d'énergie n = 2 au niveau d'énergie fondamental n = 1. Déterminer la
longueur d'onde de la radiation émise lors de cette transition. La situer dans le spectre électromagnétique.
Exercice B2 :. conduction de la chaleur dans une plaque TH310
On considère une plaque métallique de largeur 2d qui est plongée dans
un fluide dont la température est maintenue à Tf. On appelle θ =T-Tf
l'écart de température, ρ la masse volumique de la plaque, c sa chaleur
massique et λ sa conductivité thermique. On posera a=λ/(ρc) la
diffusivité thermique et on notera jQ le vecteur densité de courant de
chaleur.
a) Donner les variables dont dépend θ et déterminer l'équation
différentielle qu'il vérifie.
b) On suppose que θ peut se mettre sous la forme : θ(x,t)=f(x).g(t).
Quelles sont les équations vérifiées par f et g ? Trouver l'allure
générale de g(t), puis de f(x). Si à t=0, θ(x,0)=θ1cos(πx/(2d)),
déterminer complètement θ(x, t) .
y
Tf
Tf
-d
O
2) Afin d’éviter les pertes de chaleur et de protéger les installations
extérieures, on dépose à l’intérieur de la cuve un écran thermique
homogène d’épaisseur l1 et de faible conductivité thermique λ1.
a) Calculer en régime stationnaire le coefficient de transfert τ’ pour
l’ensemble revêtement et paroi en fonction de λ1, λ, l1 et l.
b) La présence du revêtement intérieur provoque un abaissement de la
température
externe
de
la cuve en
x
=
l
+
l1.
A.N. Calculer τ’ et le nouveau flux surfacique j’ pour T1 = 650 K, T2 =
470 K, l1 = 20 cm, λ1 = 4 W.m-1 .K-1
c) Le réacteur est un réacteur nucléaire qui libère une puissance
thermique P = 2700 MW. On peut assimiler sa surface à celle d’une
paroi de surface S = 200 m2 . En utilisant les valeurs précédentes,
calculer le pourcentage α de puissance perdue à travers la paroi pour la
cuve simple et la cuve munie du revêtement intérieur. Conclusion.
d
Exercice E2 : : : : Fil électrique TH320
Exercice C2 :::Évolution d'une particule quantique dans un potentiel inconnu MQ 19
Un faisceau de particules quantiques incidentes, de masse m et d'énergie E, provient de x → −∞ . Chaque
particule est astreinte à se déplacer le long de l'axe (x'Ox). Elle est soumise à un champ de force qui dérive de
l'énergie potentielle V(x). On admet que cette énergie s'annule quand x tend vers ± ∞ .
Sur le graphe suivant est représentée la densité de probabilité de présence P(x) d'une particule quantique. Les
oscillations qui apparaissent sont sinusoïdales.
On considère un conducteur cylindrique (électrique et thermique) d’axe Ox, de longueur L, de section droite
d’aire S, de surface latérale d’aire Σ. Le conducteur est supposé homogène et isotrope. µ, c et λ désignant
respectivement la masse volumique, la chaleur massique et la conductivité thermique supposées constantes ;
η est la résistivité électrique.
Les extrémités du conducteur sont maintenues aux températures T1 et T2 constantes. Le conducteur est
traversé par un courant d’intensité I constante (dans le sens des x croissants).
Le conducteur n’est pas calorifugé sur sa paroi latérale mais on calorifuge les extrémités (en x = 0 et x = L).
Les transports conducto-convectifs sont caractérisés par le coefficient h, le milieu ambiant étant à la
température uniforme et constante Ta.
1) Montrer que le bilan énergétique local se traduit par l’équation :
µcS
∂T
∂ 2T
I2
Σ
= λS 2 + η − h(T − Ta )
∂t
S
L
∂x
2) Calculer l’expression de T(x) en régime permanent.
Exercice F2 :Courant tunnel: MQ 18
1. L'état de chaque particule quantique est-il un état « lié » ou un état de « diffusion » ?
Un faisceau d'électrons, correspondant à une intensité I = 0,1 mA, est envoyé sur une barrière de potentiel de
largeur d = 1,0 nm et de hauteur V0 = 2 eV. L'énergie cinétique d'un électron incident est E = 1,0 eV.
2. Quelle interprétation peut-on donner aux oscillations de la densité de probabilité de présence pour x < 0 ? Le
même comportement est-il observable en mécanique classique ?
1. Peut-on se placer dans l'approximation d'une barrière épaisse ?
3. L'énergie potentielle V(x) de la particule est constante par morceaux. Déterminer son allure possible en
fonction de x.
−i
E .t
4. La fonction d'onde associée à cet état stationnaire est notée Ψ(x,t) = ϕ(x). e
. Dans la mesure du possible,
proposer une expression de ϕ(x) pour chacune des trois régions x ≤ -a/2, |x| < a/2 et x ≥ a/2. Donner les
conditions de raccordement qui doivent être vérifiées en ±a/2.
2. Estimer l'intensité du courant tunnel qui émerge de l'autre côté de la barrière.
3. Toutes choses égales par ailleurs, on remplace les électrons par des protons. Déterminer la nouvelle valeur de
l'intensité du courant tunnel qui émerge de l'autre côté de la barrière.