Corrigé DS8

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Etude d’un microscope à effet tunnel
Partie 1. Etude du comportement d’un électron sur une marche de potentiel
1) Un état stationnaire est un état de la particule tel que la fonction d’onde soit du type :
𝝍(𝒙, 𝒕) = 𝝋(𝒙)𝐟(𝐭)
La fonction d’onde vérifie l’équation de Schrödinger :
ℏ2 𝜕 2
𝜕
− 2𝑚 𝜕𝑥 2 𝜓(𝑥, 𝑡) + 𝑉(𝑥)𝜓(𝑥, 𝑡) = 𝑖ℏ 𝜕𝑡 𝜓(𝑥, 𝑡). On pose (𝑥, 𝑡) = 𝜑(𝑥)exp⁡(−iωt) , ce qui
donne en remplaçant dans l’expression de Schrödinger :
−
ℏ2
2𝑚
𝜑′′(𝑥)exp⁡(−iωt) + 𝑉(𝑥)𝜑(𝑥)exp⁡(−iωt) = ℏ𝜔𝜑(𝑥)exp⁡(−iωt).
ℏ2
Soit : − 2𝑚 𝜑 ′′ (𝑥) + 𝑉(𝑥)𝜑(𝑥) = ℏ𝜔𝜑(𝑥). E posant 𝐸 = ℏ𝜔, on obtient l’équation de
ℏ𝟐
Schrödinger indépendante du temps : − 𝟐𝒎 𝝋′′ (𝒙) + 𝑽(𝒙)𝝋(𝒙) = 𝑬𝝋(𝒙)
2) Pour 𝑥 < 0, le potentiel 𝑉(𝑥) = 0. L’équation de Schrödinger s’écrit :
ℏ2 ′′
−
𝜑 (𝑥) = 𝐸𝜑(𝑥)
2𝑚
La partie spatiale de la fonction d’onde de l’onde incidente décrivant l’électron est de la
forme : 𝜑𝑖 (𝑥) = 𝐴𝑖 exp⁡(+𝑖𝑘𝑥) ce qui donne en remplaçant dans l’équation de Schrödinger :
𝒌𝟐 =
𝟐𝒎𝑬 𝟐𝒎𝝎
=
ℏ𝟐
ℏ
𝑝2
L’énergie d’une particule en absence de potentiel s’écrit 𝐸 = 2𝑚, ce qui donne avec
2𝜋
𝒉
l’expression de 𝑘 : 𝑝 = ⁡ℏ𝑘. Or 𝑘 = 𝜆 . On obtient bien la relation de de Broglie : 𝒑 = 𝝀 .
𝑑𝐵
𝒅𝑩
3) La partie spatiale de la fonction d’onde de l’onde réfléchie décrivant l’électron est de la
forme : 𝝋𝒓 (𝒙) = 𝑨𝒓 𝐞𝐱𝐩⁡(−𝒊𝒌𝒙)
ℏ2
4) Pour 𝑥 > 0, l’équation de Schrödinger s’écrit : − 2𝑚 𝜑 ′′ (𝑥) + 𝑉𝑜 𝜑(𝑥) = 𝐸𝜑(𝑥) ce qui
donne : 𝜑 ′′ (𝑥) −
On pose⁡𝐾 =
2𝑚
(𝑉𝑜
ℏ2
√2𝑚(𝑉𝑜 −𝐸)
ℏ
− 𝐸)𝜑(𝑥) = 0.
ce qui donne 𝜑 ′′ (𝑥) − K 2 𝜑(𝑥) = 0. La solution de cette équation est
𝜑𝑡 (𝑥) = 𝐴𝑡 exp(−𝐾𝑥) + 𝐵𝑒𝑥𝑝(𝐾𝑥).
La fonction d’onde étant bornée, 𝐵 = 0. La partie spatiale de la fonction d’onde de l’onde
transmise est : 𝝋𝒕 (𝒙) = 𝑨𝒕 𝐞𝐱𝐩(−𝑲𝒙). Il s’agit d’une onde évanescente.
5) On définit l’expression du courant de probabilité associé à l’onde incidente par :
𝑗⃗𝑖 = |𝜓𝑖 (𝑥, 𝑡)|2 𝑣⃗𝑔𝑖 ce qui donne : 𝑗⃗𝑖 = |𝜑𝑖 (𝑥)|2 𝑣⃗𝑔𝑖 avec 𝑣𝑔 =
ℏ𝒌
⃗⃗𝒙
On obtient l’expression : 𝒋⃗𝒊 = |𝑨𝒊 |𝟐 𝒎 𝒖
ℏ𝒌
⃗⃗𝒙 .
Pour l’onde réfléchie, on obtient : 𝒋⃗𝒓 = −|𝑨𝒓 |𝟐 𝒎 𝒖
𝑑𝜔
𝑑𝑘
=
ℏ𝑘
𝑚
.
2
6) La fonction d’onde totale, ainsi que sa dérivée, est une fonction continue de 𝑥, ce qui donne
en 𝑥 = 0 : 𝜑𝑖 (𝑥 = 0) + 𝜑𝑟 (𝑥 = 0) = 𝜑𝑡 (𝑥 = 0) et 𝜑𝑖 ′(𝑥 = 0) + 𝜑𝑟 ′(𝑥 = 0) = 𝜑𝑡 ′(𝑥 = 0),
soit :
𝐴𝑖 + 𝐴𝑟 = 𝐴𝑡 et 𝑖𝑘𝐴𝑖 − 𝑖𝑘𝐴𝑟 = −𝐾𝐴𝑡 .
On résout ce système de deux équations à deux inconnues pour obtenir :
𝑨𝒓
𝑨𝒊
𝒌−𝒊𝑲
= 𝒌+𝒊𝑲 ce qui
correspond à la relation demandée.
7) le coefficient R de probabilité de réflexion de l’électron sur la marche de potentiel est
défini par : 𝑅 =
|𝑗⃗𝑟 |2
|𝑗⃗𝑖 |2
=
|𝐴𝑟 |2
|𝐴𝑖 |2
𝑘−𝑖𝐾 2
= |𝑘+𝑖𝐾| . On en déduit : 𝑹 = 𝟏
Comme 𝑅 + 𝑇 = 1, on a 𝑻 = 𝟎
En mécanique classique, comme en mécanique quantique, la particule ne peut pas être
transmise. Mais en mécanique classique, la particule rebrousse chemin en 𝑥 = 0, alors qu’en
mécanique quantique, il existe une distance 𝑥 > 0 où la probabilité de trouver la particule
n’est pas nulle. La particule quantique rebrousse chemin après avoir parcourue une certaine
distance dans la zone 𝑥 > 0.
Partie 2. Etude du comportement d’un électron sur une barrière de
potentiel
8) L’énoncé nous dit de négliger les réflexions sur la barrière. On a donc dans le domaine
0 < 𝑥 < 𝑑 : 𝜑𝑡 (𝑥) = 𝐴𝑡 exp(−𝐾𝑥) ; l’onde transmise après la barrière aura son amplitude
proportionnelle à la valeur de l’onde en 𝑥 = 𝑑 ce qui donne pour 𝑥 > 𝑑: 𝜑𝑏 (𝑥) =
𝐴 exp(−𝐾𝑑) exp⁡(𝑖𝑘𝑥). On a un courant de probabilité 𝑗⃗𝑏 proportionnel à |𝜑𝑏 (𝑥)|2 donc
proportionnel à exp(−2𝐾𝑑).
On a donc le coefficient de transmission du type : 𝑻𝒃 =C 𝐞𝐱𝐩(−𝟐𝑲𝒅)
9) Dans la question 6 la densité de probabilité de présence de la particule n’est pas nulle sur
1
une distance d’environ 𝐾. La particule va rebondir en 𝑥 = 𝑑 et créer une onde en 𝑒𝑥𝑝(𝐾𝑑). La
combinaison de ces deux ondes va créer un courant de probabilité non nul de franchir la
barrière ce qui est impossible pour une particule classique.
Partie 3. Microscope à effet tunnel
10) L’énergie de Fermi 𝐸𝐹 est l’énergie maximale des électrons. On la lit sur la figure comme
étant la hauteur maximale de la zone grisée. Le travail de sortie 𝑊𝑠 est l’énergie qu’il faut
donner à l’électron pour l’extraire. Il correspond à la différence entre 𝑉(𝑥 = 0) et 𝐸𝐹 .
La différence de potentiel crée un champ électrique entre l’échantillon et la pointe. Les
électrons subissent une force électrique 𝐹⃗ = −𝑒𝐸⃗⃗ et ont une différence d’énergie potentielle :
𝐸𝑝 (𝑥 = 0+ ) − 𝐸𝑝 (𝑥 = 𝑑 − ) = 𝑒𝑈
La grandeur 𝑒𝑈⁡se lit sur le graphique entre 𝑉(𝑥 = 0+ ) − 𝑉(𝑥 = 𝑑 − ), entre le niveau
fondamental de l’échantillon et celui de la pointe et entre l’énergie de Fermi de l’échantillon
et celle de la pointe.
3
𝑉(𝑥)
𝑒𝑈
𝑊𝑠
𝑒𝑈
𝐸𝐹
é𝑐ℎ𝑎𝑛𝑡𝑖𝑙𝑙𝑜𝑛
0
𝑒𝑈
𝑑
𝑥
𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡𝑒
𝑣𝑖𝑑𝑒
11) Les électrons de l’échantillon qui vont passer par effet tunnel ne peuvent pas avoir une
énergie d’un électron de la pointe d’après le principe d’exclusion de Pauli. Il faut donc que
leur énergie soit comprise entre 𝑬𝑭 − 𝒆𝑼 et 𝑬𝑭 puisqu’aucun électron de la pointe ne possède
cette gamme d’énergie.
12) Le nombre d’électrons par unité de volume pouvant franchir la barrière correspond au
nombre d’électrons par unité de volume dont l’énergie est comprise entre 𝐸 et 𝐸 + 𝑑𝐸 vaut
𝑑𝑛 = 𝜌(𝐸)𝑑𝐸 donc le nombre d’électrons d’énergie entre 𝐸𝐹 − 𝑒𝑈 et 𝐸𝐹 est :
𝐸
𝑛 = ∫𝐸 𝐹−𝑒𝑈⁡ 𝜌(𝐸)𝑑𝐸 . Mais comme 𝐸𝐹 − 𝑒𝑈~𝐸𝐹 ⁡on peut faire l’hypothèse que pour ces
𝐹
𝐸
électrons 𝜌(𝐸)~𝜌(𝐸𝐹 ),ce qui donne 𝑛~𝜌(𝐸𝐹 ) ∫𝐸 𝐹−𝑒𝑈⁡ 𝑑𝐸 soit 𝒏~𝝆(𝑬𝑭 )𝒆𝑼
𝐹
Comme 𝑒𝑈~0,1⁡𝑒𝑉 < 𝑊𝑠 = 5,1⁡𝑒𝑉 on peut faire l’hypothèse que le potentiel est une barrière
rectangulaire avec 𝑉𝑜 − 𝐸~𝑊𝑠 avec 𝑇𝑏 = 𝐶 exp(−2𝐾𝑑) = 𝐶𝑒𝑥𝑝(−2𝑑
√2𝑚𝑊𝑠
ℏ
).
Le nombre d’électrons traversant la barrière est donc proportionnelle à 𝑛𝑇𝑏 .
L’intensité du courant est proportionnelle au nombre d’électrons traversant la barrière donc
𝑰 = 𝑪′𝝆(𝑬𝑭 )𝒆𝑼𝒆𝒙𝒑(−𝟐𝒅
√𝟐𝒎𝑾𝒔
ℏ
)
13) On a 𝐼 = 𝐶′𝜌(𝐸𝐹 )𝑒𝑈𝑒𝑥𝑝(−2𝑑
donne 𝜹(𝒅) = 𝟎, 𝟏
ℏ
𝟐√𝟐𝒎𝑾𝒔
√2𝑚𝑊𝑠
= 𝟏, 𝟑. 𝟏𝟎
ℏ
−𝟏𝟐
) ce qui donne
𝛿𝐼
𝐼
= 2𝛿(𝑑)
√2𝑚𝑊𝑠
ℏ
= 0,1 ce qui
⁡𝒎 ce qui correspond à l’ordre de grandeur de
l’énoncé.
14) La sensibilité verticale du microscope est limitée par la pointe. La dimension de la pointe
est de 0,1⁡𝑛𝑚 ; mesurer une distance plus faible semble délicat.
Partie 4. Une application, le corail quantique
15) L’intérêt de se placer à très basses températures est de négliger tout effet thermique, qui
peuplerait des niveaux excités de l’électron.
16) La fonction d’onde 𝜓(𝑥, 𝑡) est lié à la probabilité de trouver l’électron entre 𝑥 et 𝑥 + 𝑑𝑥 :
𝑑𝑃 = |𝜓(𝑥, 𝑡)|2 𝑑𝑥.⁡ La pointe du STM capte une intensité proportionnelle à la densité
moyenne en électrons, donc |𝝍(𝒙, 𝒕)|𝟐.
4
17) L’électron se trouve dans un puits de potentiel de profondeur infinie, situé entre 𝑥 = 0 et
𝑥 = 2𝑅. La fonction d’onde se met sous la forme 𝜓(𝑥, 𝑡) = 𝜑(𝑥)exp⁡(−iωt) en supposant
que 𝐸 = ℏ𝜔. L’équation de Schrödinger indépendante du temps dans le puits de potentiel
ℏ2
s’écrit : − 2𝑚 𝜑 ′′ (𝑥) = 𝐸𝜑(𝑥) . On pose 𝑘 2 =
2𝑚𝐸
ℏ2
Les solutions sont 𝜑(𝑥) = 𝐴𝑒𝑥𝑝(+𝑖𝑘𝑥) + 𝐵𝑒𝑥𝑝(−𝑖𝑘𝑥)
La fonction d’onde est nulle en 𝑥 = 0 ce qui donne 𝐴 + 𝐵 = 0 soit 𝜑(𝑥) = 𝐴′𝑠𝑖𝑛(𝑘𝑥)
𝑛𝜋
La fonction d’onde est nulle en 𝑥 = 2𝑅 ce qui donne : 𝑠𝑖𝑛(2𝑘𝑅) = 0 soit 𝑘𝑛 = 2𝑅 . On en
déduit les expressions de l’énergie : 𝑬𝒏 =
𝒏𝟐 𝝅 𝟐 ℏ 𝟐
𝟖𝒎𝑹𝟐
avec 𝒏 ∈ ℕ∗
18) La densité de probabilité correspondant à une énergie 𝐸𝑛 est |𝜓(𝑥, 𝑡)|2 =
𝑛𝜋𝑥
|𝜑𝑜 |2 𝑠𝑖𝑛2 (
2𝑅
). Cette fonction présente 𝑛 oscillations sur la distance 0. . 2𝑅. Sur la photo on
compte 9 oscillations ce qui donne 𝑛 = 9 soit 𝑬𝟗 =
𝟖𝟏𝝅𝟐 ℏ𝟐
𝟖𝒎𝑹𝟐
= 𝟐, 𝟒. 𝟏𝟎−𝟐𝟎 𝑱 = 𝟎, 𝟏𝟓⁡𝒆𝑽
20) On utilise l’équation de Schrödinger à trois dimensions dans un potentiel nul :
ℏ2
𝜕
− 2𝑚 Δ𝜓(𝑀, 𝑡) = 𝑖ℏ 𝜕𝑡 𝜓(𝑀, 𝑡) ce qui donne en supposant 𝜓(𝑀, 𝑡) = 𝜑(𝑟)exp⁡(−𝑖𝜔𝑡) et
ℏ2 1 𝑑
𝐸 = ℏ𝜔 : − 2𝑚 𝑟 𝑑𝑟 (𝑟
𝑑2 𝜑(𝑟)
𝑑𝑟 2
1 𝑑𝜑(𝑟)
+𝑟
2𝑚𝐸
ℏ2
√2𝑚𝐸
𝑟 ℏ et
𝑑𝑟
On pose 𝑢 =
=
𝑑𝜑(𝑟)
𝑑𝑟
ℏ2 𝑑2 𝜑(𝑟)
) = 𝐸𝜑(𝑟) soit − 2𝑚
𝑑𝑟 2
ℏ2 1 𝑑𝜑(𝑟)
− 2𝑚 𝑟
𝑑𝑟
= 𝐸𝜑(𝑟) soit :
𝜑(𝑟)
𝜑(𝑟) = 𝐹(𝑢). La fonction F(u) satisfait l’équation
𝑑2 𝐹(𝑢)
𝑑𝑢2
𝐹(𝑢) = 0 dont la solution est donnée sur le document. La solution est donc
𝐴𝐽𝑜 (
1 𝑑𝐹(𝑢)
+𝑢
𝑑𝑢
+
𝜑(𝑟) =
√2𝑚𝐸
).
ℏ
En partant du centre de la photo on compte 4 oscillations ce qui correspond d’après le
document à 𝑢~15 pour 𝑟 = 𝑅 soit 15 = 𝑅
√2𝑚𝐸
ℏ
dimension donne un très bon ordre de grandeur.
donc 𝑬 =
𝟐𝟐𝟓ℏ𝟐
𝟐𝒎𝑹𝟐
= 𝟎, 𝟏𝟕⁡𝒆𝑽. Le travail à une