Etude d`un microscope à effet tunnel - MP*1

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MP*1-2014/2015
DS8
Etude d’un microscope à effet tunnel
Le microscope à effet tunnel (STM : scanning tunneling microscope) a été inventé dans les
années 80 par Binnig et Rohrer qui reçurent le prix Nobel de physique en 1986 pour cette
réalisation. Cette technique d’imagerie a pu aboutir suite au progrès réalisé d’une part dans
l’électronique de contrôle (déplacement de la pointe par effet piézoélectrique) et d’autre part
dans la mesure des courants très faibles (intensité de l’ordre du nanoampère). Ce problème
propose d’étudier le principe de fonctionnement du microscope et d’étudier une expérience
réalisé grâce à celui-ci.
Données numériques :
Charge d’un électron : −𝑒 = −1,6. 10−19 𝐶
Masse d’un électron : 𝑚 = 9,1. 10−31 𝑘𝑔
Constante de Planck réduite : ℏ = 1,05. 10−34 𝐽. 𝑠
Le principe du STM est le suivant : une fine pointe métallique (terminée par un atome unique)
est placée au-dessus de l’échantillon à une distance très faible (de l’ordre du 𝑛𝑚). En
imposant une différence de potentiel entre la pointe et l’échantillon, on permet à des électrons
de transiter de l’un à l’autre par effet tunnel. L’intensité du courant étant très sensible vis-àvis de la distance à traverser, la mesure de cette intensité permet d’obtenir une image de la
surface de l’échantillon grâce à un balayage de la pointe. La résolution d’un STM peut
atteindre 0,1 𝑛𝑚 et sa résolution en profondeur peut descendre à moins de 0,01 𝑛𝑚. Il existe
deux modes de balayage possibles de la surface :
Le mode à hauteur constante où l’on mesure le courant tunnel en fonction de la
position en fixant la hauteur de la pointe.
Le mode à courant constant, dans lequel un système d’asservissement fait varier la
hauteur de la pointe lors du balayage afin de maintenir constant le courant tunnel.
Partie 1. Etude du comportement d’un électron sur une marche de potentiel
On se propose d’étudier le comportement d’un électron en incidence sur une marche
de potentiel de hauteur 𝑉𝑜 . On se place dans un problème unidimensionnel dans lequel les
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grandeurs ne dépendent que de l’abscisse 𝑥. Le potentiel 𝑉(𝑥) vaut 0 pour 𝑥 < 0 et 𝑉𝑜 pour
𝑥 > 0.
L’électron, de masse 𝑚 et de charge – 𝑒, possède une énergie 𝐸 comprise entre 0 et
𝑉𝑜 et arrive depuis le demi-espace 𝑥 < 0 en incidence normale sur la marche de potentiel.
ℏ2 𝜕 2
𝜕
On donne l’équation de Schrödinger : − 2𝑚 𝜕𝑥 2 𝜓(𝑥, 𝑡) + 𝑉(𝑥)𝜓(𝑥, 𝑡) = 𝑖ℏ 𝜕𝑡 𝜓(𝑥, 𝑡)
1) Rappeler la définition d’un état stationnaire. En déduire pour un état 𝜓(𝑥, 𝑡) =
𝜑(𝑥)exp(−𝑖𝜔𝑡) l’expression de l’équation de Schrödinger indépendante du temps. On posera
𝐸 = ℏ𝜔.
2) La partie spatiale de la fonction d’onde de l’onde incidente décrivant l’électron est de la
forme : 𝜑𝑖 (𝑥) = 𝐴𝑖 exp(+𝑖𝑘𝑥). Déterminer l’expression de 𝑘 en fonction de ℏ, 𝑚 et 𝐸, puis
en fonction de ℏ, 𝑚 et 𝜔. Vérifier la cohérence avec la relation de de Broglie en supposant
que l’énergie de la particule est uniquement cinétique.
3) De même donner l’expression de 𝜑𝑟 (𝑥) la partie spatiale de la fonction d’onde de l’onde
réfléchie.
4) Indiquer l’expression de 𝜑𝑡 (𝑥) , la partie spatiale de la fonction d’onde de l’onde
transmise. On posera 𝐾 =
√2𝑚(𝑉𝑜 −𝐸)
ℏ
. Comment s’appelle ce type d’onde ?
5) Définir et donner l’expression du courant de probabilité associé à l’onde incidente, puis à
l’onde réfléchie.
6) En admettant que la fonction d’onde totale, ainsi que sa dérivée, doit être une fonction
continue de 𝑥, montrer que
𝜑𝑟 (0)
𝜑𝑖 (0)
𝑘−𝑖𝐾
= 𝑘+𝑖𝐾.
7) Définir, puis calculer le coefficient R de probabilité de réflexion de l’électron sur la marche
de potentiel. Que vaut le coefficient de transmission ? Quelle est la différence entre la
mécanique classique et la mécanique quantique dans cette situation ?
Partie 2. Etude du comportement d’un électron sur une barrière de
potentiel
On étudie maintenant la possibilité de franchissement de l’électron d’une barrière de potentiel
de hauteur 𝑉𝑜 > 𝐸 et de largeur 𝑑, représentée sur la figure 1
𝑉(𝑥)
𝑉𝑜
0
𝑑
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑒 1
𝑥
3
Si 𝐾𝑑 >> 1, on montre qu’il est possible de calculer le coefficient de transmission 𝑇𝑏 de
l’électron à travers la barrière en négligeant les réflexions multiples à l’intérieur de celle-ci.
8) Montrer, sans calcul, que la dépendance du coefficient de transmission par rapport à la
largeur de la barrière est de la forme 𝑇𝑏 = 𝐶𝑒𝑥𝑝(−2𝐾𝑑). On ne cherchera pas à établir
l’expression de la constante 𝐶.
9) Comment peut-on justifier de manière qualitative que 𝑇𝑏 ≠ 0 malgré le résultat de la
question 6 ?
Partie 3. Microscope à effet tunnel
On suppose que l’échantillon et la pointe sont de même nature : à l’intérieur de ces métaux,
les électrons étant des fermions, doivent tous être dans des états quantiques différents d’après
le principe d’exclusion de Pauli. A température ambiante, on montre que les électrons vont
approximativement remplir tous les états d’énergie par ordre croissant d’énergie. La
différence d’énergie entre l’état de plus basse énergie (premier niveau) et le dernier état
occupé (appelé le niveau de Fermi) s’appelle l’énergie de Fermi, notée 𝐸𝐹 . On introduit la
densité d’états notée 𝜌(𝐸), définie telle que le nombre d’électrons par unité de volume dont
l’énergie est comprise entre 𝐸 et 𝐸 + 𝑑𝐸 vaut 𝑑𝑛 = 𝜌(𝐸)𝑑𝐸. La figure 2 donne l’allure de
𝜌(𝐸) pour un conducteur en prenant pour origine de l’énergie celle du premier niveau.
𝜌(𝐸)
𝑏𝑎𝑛𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑑𝑖𝑡𝑒
0
𝑛𝑖𝑣𝑒𝑎𝑢𝑥 𝑣𝑖𝑑𝑒𝑠
𝐸𝐹
𝐸
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑒 2
Enfin on appelle « travail de sortie », noté 𝑊𝑠 , l’énergie qu’il faut fournir pour arracher un
électron du niveau de Fermi en dehors du conducteur (échantillon ou pointe).
Dans le cas du STM, la barrière de potentiel a l’allure suivante (figure 3), compte-tenu de la
tension U appliquée entre la pointe et l’échantillon, ces derniers étant séparés d’une distance
𝑑. Les zones grisées sont les énergies des états occupés par les électrons.
𝑉(𝑥)
é𝑐ℎ𝑎𝑛𝑡𝑖𝑙𝑙𝑜𝑛
0
𝑑
𝑣𝑖𝑑𝑒
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑒3
𝑥
𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡𝑒
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10) Compléter la figure en faisant apparaître l’énergie de Fermi 𝐸𝐹 , le travail de sortie 𝑊𝑠
ainsi que la quantité 𝑒𝑈.
11) Indiquer l’intervalle d’énergie des électrons susceptibles de passer de l’échantillon à la
pointe par effet tunnel. On rappelle que d’après le principe de Pauli, il n’est pas possible que
deux électrons soient dans le même état, donc aient la même énergie.
Par la suite on raisonnera avec les valeurs suivantes (cas de l’or) : 𝐸𝐹 = 5,5 𝑒𝑉 ; 𝑊𝑠 =
5,1 𝑒𝑉 ; 𝑈 = 100 𝑚𝑉.
12) Compte-tenu de ces valeurs et à l’aide de d’une approximation que l’on justifiera, calculer
le nombre d’électrons par unité de volume susceptibles de passer de l’échantillon à la pointe.
Puis avec une autre approximation à justifier, montrer que l’intensité 𝐼 du courant tunnel est
proportionnelle à la quantité 𝜌(𝐸𝐹 )𝑒𝑥𝑝 (−2
√2𝑚𝑊𝑠
ℏ
𝑑)
13) En admettant que l’intensité puisse être mesurée avec une précision de 10%, calculer la
sensibilité verticale du microscope. Commenter.
14) Qu’est-ce qui limite la résolution latérale du microscope ?
Partie 4. Une application, le corail quantique
En 1993, une équipe de l’entreprise IBM a réussi à déposer sur une surface métallique de
cuivre 48 atomes de fer formant un cercle de rayon 𝑅 = 7,1 𝑛𝑚 en les manipulant à l’aide
d’une pointe de STM. La manipulation a été effectuée à une température très basse de 4𝐾.
Les atomes de fer forment alors une barrière quasi-infranchissable pour les électrons libres du
cuivre situés à l’intérieur du cercle (à la manière d’une barrière de corail qui coupe les vagues
de l’océan d’où le nom de la structure). La photo ci-dessous représente la répartition de
densité électronique en fonction de la position, mesurée à l’aide d’un STM.
On considère un électron unique confiné à l’intérieur du cercle formé par les atomes de fer.
15) Quel est l’intérêt de se placer à très basses températures ?
On se ramène dans un premier temps à une dimension selon 𝑂𝑥 et on s’intéresse aux états
stationnaires de l’électron. L’électron se trouve dans un puits de potentiel de profondeur
infinie, situé entre 𝑥 = 0 et 𝑥 = 2𝑅.
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16) Expliquer le lien entre la fonction d’onde 𝜓(𝑥, 𝑡) et ce que l’énoncé appelle « densité
électronique ».
17) Etablir les expressions des énergies des états stationnaires de l’électron, en supposant que
le potentiel est nul dans le puits. On posera 𝜓(𝑥, 𝑡) = 𝜑(𝑥)exp(−iωt) et 𝐸 = ℏ𝜔.
18) En exploitant la photo, estimer l’énergie en eV des électrons piégés par le corail.
Se ramener à un problème à une dimension peut paraître assez critiquable. Il est possible
d’affiner le modèle en cherchant les solutions stationnaires de l’équation de Schrödinger en
coordonnées cylindriques (𝑟, 𝜃) ne dépendant pas de 𝜃. On suppose que le corail quantique
peut être modélisé par un puits circulaire, de rayon R et de profondeur infinie.
19) En s’aidant du document, calculer l’énergie des électrons piégés par le corail. Le modèle
unidimensionnel est-il satisfaisant ?
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Document :
L’équation de Schrödinger a trois dimensions s’écrit :
ℏ2
𝜕
−
Δ𝜓(𝑀, 𝑡) + 𝑉(𝑀)𝜓(𝑀, 𝑡) = 𝑖ℏ 𝜓(𝑀, 𝑡)
2𝑚
𝜕𝑡
L’opérateur laplacien dans le repère cylindrique pour une fonction ne dépendant que
1 𝑑
𝑑𝜓(𝑟)
de r est : Δ𝜓(𝑟) = 𝑟 𝑑𝑟 (𝑟 𝑑𝑟 )
𝑑2 𝐹(𝑢)
1 𝑑𝐹(𝑢)
Les solutions de l’équation 𝑑𝑢2 + 𝑢 𝑑𝑢 + 𝐹(𝑢) = 0 qui ne divergent pas quand
𝑢 → 0 sont de la forme 𝐹(𝑢) = 𝐴𝐽𝑜 (𝑢) où 𝐽𝑜 (𝑢) est une fonction de Bessel.
Ci-dessous le graphe de 𝐽𝑜2 (𝑢)
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