Ondes dans un milieu dispersif et/ou absorbant I

Ondes dans un milieu dispersif et/ou absorbant
Sommaire
I)
Câble coaxial résistif ........................................................2
A. Etude du nouveau modèle mésoscopique....................................2
B. Etablissement de l’équation de propagation................................3
C. Exemple de résolution..................................................................5
II)
Solutions de l’équation de propagation...........................6
A. Relation de dispersion..................................................................6
B. Vecteur d’onde complexe.............................................................7
→ Généralités................................................................................................7
→ Etude de la partie réelle de ...................................................................8
→ Etude de la partie imaginaire de ...........................................................8
C. Vitesse de groupe.......................................................................10
III)
Ondes électromagnétiques en milieu conducteur...........11
A. Ondes électromagnétique dans un conducteur ohmique..........11
→ Modèle de Drüde.....................................................................................11
→ Mise en équation du problème...............................................................11
→ Lois dans le conducteur...........................................................................13
→ Basses fréquences et effet de peau........................................................15
→ Hautes fréquences et réflexion / transparence......................................17
B. Ondes électromagnétiques dans un plasma...............................18
→ Modèle.....................................................................................................18
→ Mise en équation.....................................................................................19
→ Analogie avec le conducteur hors ARQS..................................................20
Mélanie Culard
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Cours de physique
I)
Câble coaxial résistif :
A. Etude du nouveau modèle mésoscopique
Nouveau modèle :
Reprenons le câble coaxial mais en tenant compte cette fois des pertes énergétiques.
Les phénomènes dissipatifs sont pris en compte avec l’existence :
→ d’une résistance linéique r.
→ d’une conductance linéique g.
Equations de couplage :
Les équations de couplage obtenues dans ce contexte sont :
( , )=− ( , )−
( , )
( , )=−
( , )
( , )−
 Preuve :
• Loi des mailles :
A l’échelle mésoscopique, nous pouvons me placer dans l’ARQS et appliquer la loi des mailles
dans la maille représentée ci-dessous :
Cela nous donne :
( +
, )+
( , )+
( , )− ( , ) =0
Donc, en effectuant un développement limité au premier ordre pour ( +
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, ):
Cours de physique
( , )+
( , )
− ( , )=−
( , )
=−
( , )−
( , )
Puis :
( , )−
( , )
Ce qui nous mène bien, en simplifiant par dx, au résultat attendu :
( , )=− ( , )−
( , )
• Loi des nœuds :
En s’appuyant sur le schéma précédent, la loi des nœuds s’écrit :
( , )=
( +
, )+
( +
, )+ ( +
, )
On effectue les développements limités des grandeurs se situant en +
( , )=
( , )+
( , ) +
( , )+
:
( , ) + ( , )
( , )
+
En simplifiant par les termes d’ordre 2 :
( , )=
( , )+
( , )+ ( , )+
( , )
Alors, en simplifiant par ( , ), nous arrivons à l’équation recherché :
( , )=−
( , )−
( , )
B. Etablissement de l’équation de propagation
Equation de propagation en tension :1
La nouvelle équation de propagation en tension s’écrit :
( , )=
( , )+(
+
)
( , )+
( , )
 Preuve :
On dérive la première équation de couplage par rapport à x et la seconde par rapport à t,
dans le but de faire disparaitre ( , ).
Nous avons alors, tout d’abord :
²
²
( , )=−
( , )−
( , )
²
Et :
²
²
( , )=−
( , )−
( , )
²
D’après le théorème de Schwarz, nous avons :
1
: Cette équation n’est pas d’Alembertienne… ce n’est pas forcément une équation de propagation !
Mélanie Culard
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Cours de physique
²
( , )=
²
( , )
Ainsi :
²
( , )=−
( , )+
( , )+
( , )
²
Nous remplaçons alors la dérivée de i par la seconde équation de couplage, ce qui nous
donne :
²
( , )=
( , )−
( , )
( , )+
( , )
²
Finalement, nous obtenons bien l’équation recherchée :
( , )=
( , )+(
+
)
( , )+
( , )
Equation de propagation en intensité :2
La nouvelle équation de propagation en intensité s’écrit :
( , )=
( , )+(
+
)
( , )+
( , )
 Preuve :
On dérive la première équation de couplage par rapport à t et la seconde par rapport à x,
dans le but de faire disparaitre ( , ).
Nous avons alors, tout d’abord :
²
²
( , )=−
( , )−
( , )
²
Et :
²
²
( , )=−
( , )−
( , )
²
D’après le théorème de Schwarz, nous avons :
²
²
( , )=
( , )
Ainsi :
²
( , )=−
( , )+
( , )+
( , )
²
Nous remplaçons alors la dérivée de u par la première équation de couplage, ce qui nous
donne :
²
( , )=
( , )+
( , ) +
( , )+
( , )
²
Finalement, nous obtenons bien l’équation recherchée :
( , )=
2
( , )+(
+
)
( , )+
( , )
: Cette équation n’est pas non plus d’Alembertienne.
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Cours de physique
C. Exemple de résolution
Méthode :
→ L’idée consiste, puisque l’équation aux dérivées partielles est linéaire, à n’étudier qu’une
seule des composantes de Fourier en ω pour pouvoir après, par superposition, étudier ou
obtenir une solution complète.
( , ) où ( , ) = ( , )
→ Nous cherchons donc ( , ) =
Exemple de résolution :
L’onde en tension du câble coaxial s’écrit :
(
)
( , )=
 Preuve :
Passons l’équation aux dérivées partielles vérifiée par la tension en complexes :
( , )=
( , )+(
)
+
( , )+
( , )
Ce qui nous donne :
( )=−
( )+
(
+
) ( )+
( )
Qui est équivalent à :
( )+
−
(
)−
+
( )=0
Nous obtenons alors une équation différentielle d’ordre 2 à coefficients constants. Cherchons
la solution sous la forme :
( , )=
La solution recherchée est bien :
( , )=
(
)
Bilan :
Lorsque nous seront confrontés à une équation aux dérivées partielles linéaire qui n’est pas
une équation de d’Alembert nous pourrons tout de suite chercher des solutions sous la
forme vue précédemment, où est un vecteur d’onde complexe.
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Cours de physique
II)
Solutions de l’équation de propagation :
A. Relation de dispersion
Qu’est-ce qu’une relation de dispersion ?
Classiquement, on appelle relation de dispersion une relation liant les aspects spatiaux et
temporels, i.e. une relation liant et .
Cas du câble coaxial résistif :
Pour le câble coaxial résistif, la relation de dispersion est :
=
−
(
+Г )−
où :
→ est une inductance linéique en .
→Г est une capacité linéique en .
→ r est une résistance linéique en Ω.
→ g est une conductance linéique en Ω .
 Preuve :
On reprend l’équation aux dérivées partielles vérifiée par
( , )=
( , )+(
+
)
:
( , )+
( , )
Les dérivées partielles par rapport à t et x donnent :
→
→ −
On obtient ainsi :
−
( , )=−
( , )+
(
+Г )+
( , )
En simplifiant par ( , ) (car la fonction u ne s’annule pas) :
=
−
(
+Г )−
Relation de dispersion pour une équation de d’Alembert :3
Pour une équation de d’Alembert, la relation de dispersion s’écrit :
²= ² ²
où :
→ est la pulsation de l’onde en
→ k est le vecteur d’onde de l’onde
→ c est la célérité de l’onde en .
.
3
: Cette équation est toujours valide dans un milieu associé à l’équation de d’Alembert. On peut donc la
donner directement si l’on ne nous demande pas de retrouver son expression exacte.
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Page 6
Cours de physique
 Preuve (méthode à connaitre) :
Partons de l’équation de d’Alembert :
( , )=
1
( , )
Avec ( , ) = cos ( −
+ ).
En dérivant deux fois, nous obtenons :
( , ) = − ² cos(
−
+ )
( , ) = − ² cos (
−
+ )
Et :
En remplaçant dans l’équation de d’Alembert, nous avons :
1
− ² cos( −
+ ) = × (−
cos(
−
+ ))
On simplifie, et on obtient la relation recherchée :
²= ² ²
B. Vecteur d’onde complexe
●Généralités :
Ecriture de vecteur d’onde complexe :
Sans résoudre explicitement la relation de dispersion en , nous pouvons écrire que :
( ) = ( ) + ′′( )
Avec k’ la partie réelle de et k’’ la partie imaginaire de .
Solution réelle de l’équation en tension du câble coaxial :
Pour le câble coaxial, l’équation en tension est telle que :
( , )=
( −
+ )
 Preuve :
On a vu que :
( , )=
=
Alors, en notant =
:
( , )=
Il ne reste plus qu’à passer à la partie réelle afin d’obtenir le résultat recherché :
( , )=
(
−
Remarques :
→ Le signal obtenu ne peut pas se me re sous la forme (
d’une « vraie » onde.
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Page 7
+ )
−
), donc il ne s’agit pas
Cours de physique
→ Le signal obtenu est une pseudo-onde progressive de vecteur d’onde ′ ⃗ dont
l’amplitude varie avec x.
→ Ici, le milieu dissipe de l’énergie, donc l’onde s’a énue au fur et à mesure de sa
propagation : le milieu est dit passif.
●Etude de la partie réelle de
:
Vitesse de phase :
On appelle vitesse de phase la célérité associée au terme de phase, i.e. au terme en
cosinus dans l’expression de la pseudo-onde étudiée. Dans le cas d’une pseudo-onde en
avec = + ′′, nous avons :
=
=
où :
→ est la vitesse de phase en .
→ est la pulsation de l’onde en
.
→ est le vecteur d’onde complexe
Milieu dispersif :
On appelle milieu dispersif un milieu dans lequel la vitesse de phase de l’onde étudiée
dépend de sa pulsation .4
Cas du milieu d’Alembertien :
Il n’y a pas de dispersion dans un milieu d’Alembertien (i.e. dans un milieu obéissant à
l’équation de d’Alembert).
 Preuve :
Dans un milieu obéissant à l’équation de d’Alembert, on a vu que :
=
Donc :
=
= =
( )
Donc la célérité de l’onde dans un milieu de d’Alembert est constante.
●Etude de la partie imaginaire de
:
On se place dans le cadre d’une propagation selon + ⃗, donc ′ > 0 et on étudie l’influence
de la partie imaginaire du vecteur d’onde complexe .
4
: Cela signifie alors qu’une onde poly fréquentielle (i.e. qui peut se décomposer en plusieurs raies par la
théorie de Fourier) va se déformer au cours de la propagation car toutes les fréquences ne se propageront pas
à la même vitesse.
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Cours de physique
< 0 :5
Cas où
< 0, l’amplitude de l’onde s’atténue lors de sa propagation : il y a
atténuation de l’onde.
Cette atténuation de l’onde se fait sur une distance caractéristique :
Lorsque
=
|
|
On parle d’absorption lorsque l’onde cède de l’énergie au milieu dans lequel elle se
propage.
 Attention, si absorption implique atténuation, la réciproque est fausse : il existe des
cas dans lesquels il y a atténuation sans absorption.
On parle d’onde évanescente lorsque l’on étudie une onde plane dont l’amplitude
décroit exponentiellement avec la distance à la source.
Cas où
> 0 :6
Lorsque
Cas où
Lorsque
( ) > 0, le milieu est dit amplificateur pour la pulsation .
= 0:
= 0, le milieu conserve l’amplitude de l’onde sinusoïdale de pulsation
temporelle , il est alors dit transparent pour cette pulsation.
Milieu actif ou passif :
Un milieu est dit :
→passif s’il ne peut que absorber de l’énergie à l’onde.
→actif s’il a été conçu pour augmenter l’énergie d’une onde.7
Caractérisation des milieux actifs et passifs :8
→ Avec les conventions adoptées, la passivité et donc l’atténuation du milieu se traduit
par :
<0
→ Au contraire, un milieu ac f serait tel que :
>0
5
: Ce cas est très fréquent.
: Cas très rare.
7
: Les milieux actifs sont très rares, la plupart d’entre eux étant passifs. Cependant, le LASER est un milieu actif.
8
: Ne pas retenir ce résultat, il dépend des conventions choisies et de la manière dont les ondes sont écrites.
6
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Cours de physique
C. Vitesse de groupe
Hypothèses :
Nous allons regarder ce qui se passe lorsque plusieurs ondes se superposent, pour cela, nous
considérerons que le milieu est linéaire et que ce qui se propage sont des OPPM, i.e. que le
milieu est non atténuatif ou suffisamment peu pour pouvoir négliger l’atténuation.
Paquet d’onde :
Un paquet d’onde est une enveloppe ou un paquet contenant un nombre arbitraire de
formes d’ondes.
Remarque :
Plus il y a d’ondes qui se superposent, plus l’enveloppe centrale s’affine.
Vitesse de groupe :
Pour un paquet d’onde, la vitesse de groupe est la vitesse de l’enveloppe et s’écrit :
=
′
 En pratique, nous calculerons ′ avec la relation de dispersion, puis nous en déduirons
la vitesse de groupe en calculant d’abord :

=
 La vitesse de phase est alors la vitesse des ondes bleues.
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Cours de physique
III)
Cas des ondes électromagnétiques :
A. Onde électromagnétique dans un conducteur ohmique
● Modèle de Drüde:
Modèle étudié :
Le modèle de Drüde est un modèle permettant de décrire l'évolution des électrons libres
dans un conducteur.
Interprétation :
→ Dans un conducteur, il y a trois types de charges :
- Les noyaux atomiques, chargés positivement, immobiles.
- Les électrons de valence et de cœur, chargés négativement et également
immobiles.
- Les électrons libres, chargés négativement et mobiles.
→ Quand un courant circule dans le conducteur, l'expérience montre que le conducteur
s'échauffe via effet Joule. Cela montre que les électrons, responsables du courant électrique,
perdent une partie de leur énergie au profit du réseau cristallin. Cette perte énergétique
sera modélisée par une force de frottement fluide que nous noterons :
⃗=− ⃗
⃗=− ⃗
⎯⎯⎯⎯⎯
→ s'interprète comme la durée entre deux interactions successives de l'électron libre
avec le réseau cristallin. Pour un bon conducteur, cette durée est de l'ordre de 10
s.9
→ Le modèle sera modélisé comme suit :
● Mise en équation :
Mise en équation du mouvement d'un électron :
Le mouvement d'un électron libre non relativiste dans un conducteur modélisé par le
modèle de Drüde vérifie l'équation différentielle suivante :
⃗
⃗( )
( ) + ⃗( ) = −
où :
→ m est la masse de l'électron en kg
9
: Très faible car un bon conducteur possède un réseau cristallin très organisé, donc un électron libre peut se
déplacer en ligne droite en ne rencontrant quasiment jamais d'obstacle.
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Cours de physique
→ ⃗ est la vitesse de l'électron en .
→ est la durée caractéristique entre deux chocs en s
→ e est la charge de l'électron en C
→ ⃗ est le champ électrique en .
 Preuve :
On considère un électron libre non relativiste et on écrit le PFD :
⃗
⃗ + ⃗ʌ ⃗ −
( ) = ⃗ + (− )
⃗
Or, puisqu'il s'agit d'un électron libre, nous pouvons négliger le poids face à la force
électrique. De plus, comme l'électron est non relativiste, nous avons, pour une onde
électromagnétique :
~
⃗ ≫
→
⃗ʌ
⃗
Nous arrivons ainsi à l'expression recherchée :
⃗
( )+
⃗( )
⃗( ) = −
Expression de la conductivité complexe :
La conductivité complexe est donnée par :
=
=
+
où :
→ est la pulsation des ondes (électrique et de vitesse)
→ n est la densité particulaire d'électrons libres
 Preuve :
On rappelle tout d'abord que la conductivité est définie par :
⃗= ⃗
La densité de courant électrique s'écrit :
⃗=
⃗=− ⃗
Nous allons rechercher cette densité de courant sous sa forme complexe :
⃗( ) =
Le PFD en notation complexe donne :
⃗
1
( ) = ⃗( ) = − ⃗ ( )
On utilise les notations usuelles :
⃗( ) = ⃗
On arrive donc à l'expression suivante :
1
+
⃗
⃗( ) = ⃗
⃗
=−
Cela nous conduit d'abord à :
⃗=
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−
⃗
+
Page 12
Cours de physique
Alors, comme :
⃗=−
⃗
Nous avons :
²
⃗
⃗=
+
Interprétation de la conductivité complexe :
→ Dans le cadre de faibles fréquences, on a :
≪1
Donc on retrouve la loi d'Ohm locale :
⃗
⃗=
→ En revanche, dans le cadre de hautes fréquences, nous avons :
≫1
Alors :
=
La puissance moyenne dissipée s'écrit alors :
1
1
= ⃗. ⃗ → < >=
⃗. ⃗ ∗ =
2
2
Il n'y a pas d'effet Joule dans le conducteur.10
−
=0
● Lois dans le conducteur :
Densité volumique de charge dans un conducteur :
Dans un conducteur soumis à une onde électromagnétique, la densité volumique de
charges est nulle.
 Preuve :
La relation de conservation de la charge s'écrit :
+
(⃗) = 0
+
⃗ =0
Avec la notation complexe, cela donne :
On introduit la conductivité complexe, ce qui nous donne :
⃗ =0
+
Comme le milieu est uniforme, nous pouvons sortir de la divergence :
⃗ =0
+
Puis, d'après l'équation de Maxwell Gauss, on a :
+
=0
10
: Cela se comprend par le fait que si le change varie trop rapidement, l'électron n'a plus le temps de se
déplacer entre deux noyaux. Il ne peut alors plus interagir avec le réseau et ne perd plus d'énergie.
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Cours de physique
Alors :
+
=0
Donc, comme le terme entre parenthèses n'est pas identiquement nul, nous avons :
=
Réécriture des équations de Maxwell dans un conducteur :
En posant ∇⃗= − ⃗ , nous pouvons réécrire les équations de Maxwell de la manière suivante :
⃗. ⃗ =
Maxwell Gauss
⃗⋀ ⃗ =
Maxwell Faraday
⃗
⃗. ⃗ =
Maxwell Thomson
Maxwell Ampère
⃗⋀ ⃗ =
⃗
+
 Preuves :
• Maxwell Gauss :
div ⃗ = 0 → ∇⃗. ⃗ = 0 → − ⃗ . ⃗ = 0 → ⃗ . ⃗ = 0
• Maxwell Faraday :
⃗
⃗⃗=−
→ ∇⃗⋀ ⃗ = − ⃗ → − ⃗ ⋀ ⃗ = − ⃗ → ⃗ ⋀ ⃗ =
• Maxwell Thomson :
div ⃗ = 0 → ∇⃗. ⃗ = 0 → − ⃗ . ⃗ = 0 → ⃗ . ⃗ = 0
• Maxwell Ampère :
⃗
⃗+
⃗ → − ⃗⋀ ⃗ =
⃗⃗=
⃗+
→ ∇⃗⋀ ⃗ =
→ ⃗⋀ ⃗ =
⃗
⃗+
⃗
⃗
+
Relation de dispersion :
La relation de dispersion du champ électrique dans un conducteur est telle que :
²=
−
×
+
 Preuve :
De manière générale, pour trouver l'équation de propagation d'un champ, nous partons du
⃗
⃗(… ) et nous appliquons le fait que ce terme vaut −
(… ) −
calcul de ⃗
∆⃗(… ). Or, ici, le rotationnel est équivalent à un produit vectoriel avec ⃗ . Calculons donc :
⃗˄ ⃗˄ ⃗ = ⃗. ⃗ × ⃗ − ⃗. ⃗ × ⃗
A l'aide de Maxwell-Gauss :
⃗ ˄ ⃗˄ ⃗ = − ² × ⃗
On reprend le double produit vectoriel et on injecte l'équation de Maxwell Faraday :
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Page 14
Cours de physique
⃗˄ ⃗˄ ⃗ = ⃗˄ ˄ ⃗ = × ⃗˄ ⃗
Ensuite, en utilisant l'équation de Maxwell Ampère, nous obtenons :
⃗˄ ⃗˄ ⃗ =
⃗
+
Alors, en égalant les deux termes déterminés ci dessus, nous obtenons :
⃗
− ²× ⃗ =
+
Comme cette relation est valide quelle que soit l'onde électrique envisagée, nous avons :
²=−
+
Or, on sait que :
²=1
Et que :
=
=
1+
Donc nous arrivons bien au résultat recherché :
²=
−
×
+
● Basses fréquences et effet de peau :
Simplification de la relation de dispersion :
Dans le cadre de basses fréquences, i.e. telles que
≪ 1, nous pouvons simplifier la
relation de dispersion en :
=−
 Preuve :
En basses fréquences, nous avons :
≪1
La relation de dispersion se simplifie donc de la manière suivante :
²=
−
Comparons les termes :
=
Or, numériquement, nous avons :
≈ 10
Donc :
.
≈ 10
≈
.
10
Or, en basses fréquences, nous avons :
≪
1
≈ 10
.
Nous pouvons donc en conclure que :
≫1
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Page 15
Cours de physique
Alors, cela justifie la relation de dispersion simplifiée :
=−
Vecteur d'onde complexe :
≪ 1, le vecteur d'onde complexe est
Dans le cadre de basses fréquences, i.e. telles que
tel que :
=
( − )
=±
 Preuve :
La méthode classique pour trouver le vecteur d'onde complexe consiste à écrire − sous sa
forme exponentielle, à savoir − =
. On peut donc écrire, à partir de la relation de
dispersion simplifiée dans le cadre de basses fréquences :
=
Alors :
=±
Alors, en repassant en notation algébrique, nous avons :
1−
=±
√2
On obtient bien le résultat recherché :
( − )
=±
Effet de peau :
Lorsque l'on écrit ⃗ =
⃗, nous pouvons écrire le champ électrique sous la forme :
(
) )
⃗= ⃗
= ⃗ (
Alors, en séparant les parties réelles et imaginaires du vecteur d'onde complexe :
(
) )
(
)
⃗ (
= ⃗
On trouve alors l'expression de l'épaisseur de peau :
=
=
Vitesses de phase et de groupe :
→ Par définition, nous avons :
=
ici, la vitesse de phase est alors :
=
→ Concernant la vitesse de groupe, nous avons :
=
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=
Page 16
Cours de physique
Alors, après calculs, on obtient que :
=
×
=
×
● Hautes fréquences et réflexion / transparence :
Simplification de la relation de dispersion :
Dans le cadre de hautes fréquences, la relation de dispersion se simplifie de la manière
suivante :
−
²=
=
où :
→
est appelée pulsation plasma en
.
(environ 10
.
)
 Preuve :
On avait la relation de dispersion suivante :
²=
−
×
1+
On se place dans le cadre de hautes fréquences, i.e. telles que :
≫1
On a alors :
²=
−
×
=
On utilise l'expression déterminée précédemment pour
=
→
²=
−
:
−−
On obtient donc bien le résultat recherché :
− ²
²=
Cas où >
≫ :
Dans ces conditions, nous avons :
²=
−
>0
Le vecteur d'onde est donc réel et nous avons :
=
−
Nous voyons alors que :
- Il n'y a pas d'atténuation (car le vecteur d'onde est réel).
- Il va y avoir de la dispersion (car k dépend de ).
Dans ces conditions, l'onde électromagnétique traverse le conducteur sans s'atténuer : le
milieu est transparent.
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Page 17
Cours de physique
Deuxième cas :
> ≫ :
→ Dans ce cas, la relation de dispersion s'écrit :
−
²=
<0
Le vecteur d'onde est donc imaginaire pur et nous avons :
− ²
=±
=
Le vecteur d'onde n'a pas de partie réelle, donc il n'y a pas de propagation. En revanche, il y
a une partie imaginaire, donc il y a atténuation.
→ Pour une OPPM polarisée rectilignement sur ⃗, cela donne :
)
⃗= ⃗ (
⃗
Alors, en notation réelle, nous avons :
⃗= ⃗
cos ( ) ⃗
Nous constatons que le résultat n'est pas une onde progressive car elle ne s'écrit pas sous la
forme
−
. La pseudo onde obtenue est appelée onde évanescente.
→ Le vecteur de Poynting vaut, en moyenne :
⃗ ˄ ⃗∗
1
< ⃗ >=
2
Or, avec la relation de structure d'une OPPM, nous avons :
⃗∗˄ ⃗∗
⃗ ˄ ⃗∗ = ⃗ ˄
En développant le double produit vectoriel et en utilisant la relation de structure, nous
obtenons :
⃗ ˄ ⃗∗ =
⃗∗
Ainsi, on obtient :
1
⃗∗
2
Le vecteur d'onde étant imaginaire pur, on obtient finalement que :
< ⃗ >= 0
11
Alors, il y a atténuation sans absorption . Etant donné que l'énergie n'est pas absorbée par
le milieu, elle "repart" : nous avons donc montré que les métaux reflètent les ondes
électromagnétiques.
< ⃗ >=
B. Ondes électromagnétiques dans un plasma
● Modèle :
Modèle physique :
→ Nous étudierons un milieu globalement neutre possédant une densité ∗ de cations et
d'une densité ∗ d'électrons.
→ SI les ions n'ont qu'une charge positive, alors ∗ = ∗ , ce que nous supposerons pas la
suite.
11
: Car aucune puissance n'est transportée par le vecteur de Poynting.
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Page 18
Cours de physique
→ De plus, comme les ions sont beaucoup plus massifs que les électrons, nous supposerons
que seuls les électrons ont une inertie suffisamment faible pour réagir au passage d'une
onde électromagnétique.
→ On négligera les forces de frottements12.
→ On supposera que les électrons sont non relativistes.
Exemple de l'ionosphère :
L'ionosphère est la dernière couche de l'atmosphère. Située à plus de 100 km d'altitude, la
pression qui y règne est de 2 Pa. Dans ces conditions, les molécules de diazote et de
dioxygène sont facilement dissociées par le rayonnement solaire, puis les atomes se
séparent d'un de leurs électrons. Il existe alors dans ce milieu (globalement neutre) une
population non négligeable de cations et d'électrons. L'ionosphère est donc un plasma.
● Mise en équation :
Comportement du milieu :
La vitesse d'un électron dans un plasma soumis à un champ électromagnétique est donnée
par :
⃗
⃗=
où :
→ e est la charge élémentaire de l'électron en
→ m est la masse de l'électron en kg
→ est la pulsation de l'onde électromagnétique en
.
⃗
→
est le champ électrique extérieur dont la norme s'exprime en .
 Preuve :
Ecrivons le PFD pour l'électron en négligeant le poids de celui ci :
⃗
⃗( )13
( )=− ×
En passant en notation complexe, nous avons :
⃗=−
Alors, on obtient bien le résultat recherché :
⃗
⃗
⃗=
Réécriture de l'équation de Maxwell-Ampère :
Dans un plasma, l'équation de Maxwell-Ampère se réécrit :
∗
⃗ ⃗=
12
13
−
+
⃗
: Le milieu est peu dense : les électrons ne perdent pas d'énergie lors de chocs avec les ions.
: Car l'électron est non relativiste et le champ extérieur est une onde électromagnétique pour laquelle
~
.
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 Preuve :
Nous avons, parce que seuls les électrons bougent :
⃗∗ = ∗ (− ) ⃗
Donc :
∗
⃗
⃗=−
On remplace ensuite cette expression dans l'équation de Maxwell-Ampère.
● Analogie avec le conducteur hors ARQS :
Relation de dispersion :
La relation de dispersion dans un plasma est donnée par :
²
²=
−
où
→
est la pulsation plasma définie précédemment
 Preuve :
On utilise la notation complexe et on écrit :
⃗˄ ⃗˄ ⃗ = ⃗. ⃗ × ⃗ − ⃗. ⃗ × ⃗
Le plasma étant globalement neutre, cela nous donne, à l'aide de l'équation de MaxwellGauss :
⃗. ⃗ = 0 → ⃗˄ ⃗˄ ⃗ = 0 − ⃗² ⃗
On reprend le double produit vectoriel et on injecte l'équation de Maxwell Faraday :
⃗˄ ⃗˄ ⃗ = ⃗˄ ˄ ⃗ =
⃗˄ ⃗
On passe l'équation de Maxwell Ampère trouvée précédemment en complexes :
∗
⃗˄ ⃗ = −
−
⃗14
+
Ce qui nous donne :
∗
⃗˄ ⃗ ˄ ⃗ = −
+1 ⃗
² −
Or, comme cette relation est vérifiée quelle que soit l'onde électrique envisagée, nous avons
:15
∗
⃗² =
² −
+1
On introduit la pulsation plasma :
∗
=
On se sert du fait que
² = 1 et on réécrit cette relation sous la forme demandée :
²=
14
15
−
²
: A savoir impérativement retrouver.
: En rapprochant les deux résultats trouvés précédemment.
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Analogie avec le conducteur hors ARQS :
→ On retrouve en fait la relation de dispersion trouvée précédemment, nous allons donc
avoir le même type de comportement.
→ Pour < , le vecteur d'onde est imaginaire pur, il n'y a pas de propagation : on
observe une onde évanescente et toute l'énergie est réfléchie sur le plasma.
→ Pour > , le vecteur d'onde est réel : il y a propagation sans atténuation mais avec
dispersion.
→ Physiquement, il se déroule la même chose dans un conducteur hors ARQS que dans un
plasma, d'où cette analogie.
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