Examen EVNCD - Université de Rennes 1

Université de Rennes 1
2013-2014
L3-EVNCD
Examen EVNCD
Durée : 2h
Exercice 1. Minimum de la distance à la sphère unité.
Soit g : (x, y, z) ∈ R3 → x2 + y 2 + z 2 = k(x, y, z)k2 . On note S 2 la sphère unité donnée
par S 2 = {(x, y, z) ∈ R3 , g(x, y, z) = 1}. Enfin, on se donne un point (x0 , y0 , z0 ) ∈ R3 \ S 2 et
on considère la fonction f : (x, y, z) ∈ R3 7→ (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 .
1. Montrer que S 2 est compacte.
2. Prouver que f admet un minimum et un maximum sur S 2 .
3. Montrer que f et g sont de classe C 1 sur R3 et calculer leurs gradients ∇f et ∇g.
4. Quel est l’ensemble des points de S 2 où ∇g s’annule ?
5. Montrer que si (x, y, z) est un extremum relatif de f sur S 2 , alors il existe un réel non nul
λ tel que
∇f (x, y, z) = λ∇g(x, y, z)
6. Montrer qu’alors λ = 1 ± k(x0 , y0 , z0 )k.
7. En déduire les valeurs possibles de (x, y, z).
8. Quel point réalise le minimum de f sur S 2 , et que vaut celui-ci ?
9. (Question bonus) Que penser de ce résultat ?
Exercice 2. Une équation aux dérivées partielles.
On veut trouver toutes les fonctions f : R2 → R de classe C 2 vérifiant l’équation aux dérivées partielles :
∂2f
∂2f
∂2f
9 2 −6
+ 2 = 0.
(1)
∂x
∂x∂y
∂y
Étant donnés λ, µ ∈ R, on pose
ϕ : R2 → R2 ,
(x, y) 7→ (x + λy, x + µy).
1. Donner une condition nécessaire et suffisante sur λ et µ pour que ϕ réalise un C 1 -difféomorphisme
de R2 dans R2 . Dans la suite, on supposera cette condition vérifiée.
2. Soit f une fonction de classe C 2 ; on pose pour (u, v) ∈ R2 , g(u, v) = (f ◦ ϕ−1 )(u, v), de
sorte que f = g ◦ ϕ. Justifier que g est de classe C 2 et exprimer les dérivées partielles
∂2f
,
∂x2
en fonction de
λ,
µ,
∂2f
,
∂x∂y
∂2g
,
∂u2
1
∂2f
∂y 2
∂2g
,
∂u∂v
∂2g
.
∂v 2
3. En déduire que si f est solution de l’équation (1), alors g est solution de l’équation
(9 − 6λ + λ2 )
2
∂2g
∂2g
2 ∂ g
+
(18
−
6(λ
+
µ)
+
2λµ)
+
(9
−
6µ
+
µ
)
= 0.
∂u2
∂u∂v
∂v 2
(2)
4. Montrer que l’équation 9 − 6µ + µ2 = 0 admet une unique solution µ0 et calculer celle-ci.
Que vaut 18 − 6(λ + µ0 ) + 2λµ0 pour λ ∈ R ?
5. En déduire que l’équation (2) se réduit, pour µ = µ0 , à l’équation
∂2g
= 0.
∂u2
Résoudre celle-ci.
6. Montrer que les solutions de (1) sont les fonctions de la forme xF (x + µ0 y) + yG(x + µ0 y)
avec F, G ∈ C 2 (R, R).
Exercice 3. Un résultat d’inversion globale.
Soit (E, k · k) un espace de Banach, et soit f : E → E de classe C 1 . On pose g = IdE − f .
On note L(E) l’espace des endomorphismes continus de E.
1. Montrer que g est de classe C 1 et calculer sa différentielle, notée Dg(x), en tout point x
de E.
On suppose que pour tout x dans E, kDg(x)kL(E) < 1.
2. Soient x ∈ E, T = Df (x) et U = Dg(x). Montrer que la série
L(E) ; on note S sa limite.
P
n≥0 U
n
converge dans
3. Montrer soigneusement que ST = T S = IdE .
4. En déduire que f réalise un C 1 -difféomorphisme local d’un voisinage de x dans un voisinage
de f (x).
On suppose maintenant qu’il existe une constante 0 ≤ k < 1 telle que pour tout x ∈ E,
kDg(x)kL(E) ≤ k.
5. Montrer que g est k-lipschitzienne.
6. En déduire que f réalise un C 1 -difféomorphisme global de E dans E. On pourra poser,
pour y ∈ E, Fy : x ∈ E 7→ y + x − f (x).
2