Blatt 9

Lineare Algebra II
28.04.2015
Übungsblatt 9
Am 5. Mai 2015 in der Vorlesung oder bis 12.00 Uhr im Departement Mathematik
und Informatik.
Abgabe:
Sei V = M(n × n, R) der R-Vektorraum der reellen n × n-Matrizen. Zeigen Sie, dass
die Abbildung s : V × V → R, (A, B) 7→ Spur(tA · B) ein Skalarprodukt auf V ist.
Aufgabe 1.
S Aufgabe 2.
Wir betrachten V = R4 mit dem kanonischen Skalarprodukt.
     
−1
−5
4
−1 −5 −2
    
(a) Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis des Unterraums W := span(
 1  ,  7  ,  0 ).
1
7
6
(b) Ergänzen Sie diese Basis zu einer Orthonormalbasis von V .
S Aufgabe 3.
Wir betrachten R4 als euklidischen Vektorraum mit dem Standardskalarprodukt.
Sei W = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 | x1 + 2x2 + x4 = 0 und x2 − x3 = 0}.
(a) Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis von W .
(b) Sei prW : V → W die senkrechte Projektion auf W . Bestimmen Sie das Bild prW (x) von
einem beliebigen Punkt x = (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 unter prW .
Sei ϕ : R2 × R2 → R deniert durch ϕ(x, y) = 2x1 y1 + x1 y2 + x2 y1 + 2x2 y2 für alle
x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) ∈ R2 .
Aufgabe 4.
(a) Zeigen Sie, dass die Abbildung ϕ ein Skalarprodukt auf R2 ist.
(b) Finden Sie eine Orthonormalbasis bezüglich dieses Skalarproduktes.
Eine symmetrische Matrix A ∈ M(n×n, R) heisst positiv denit, wenn t X ·A·X > 0
für alle Spaltenvektoren X ∈ Rn , X 6= 0, gilt.
Aufgabe 5.
(a) Zeigen Sie, dass eine symmetrische Matrix A ∈ M(n × n, R) genau dann positiv denit ist,
wenn ϕ(X, Y ) := t X · A · Y ein Skalarprodukt auf Rn deniert.
(b) Zeigen Sie, dass eine symmetrische Matrix A ∈ M(n × n, R) genau dann positiv denit ist,
wenn es eine invertierbare Matrix T ∈ GLn (R) gibt, so dass A = t T · T ist.
2 1
(c) Zeigen Sie, dass die Matrix A =
denit positiv ist. Finden Sie weiter eine T ∈ GL2 (R)
1 2
mit A = t T · T .
Lineare Algebra II
28.04.2015
E Aufgabe 6 (Rieszscher Darstellungssatz).
Sei h·, ·i ein Skalarprodukt auf einem endlichdimensionalen euklidischen (bzw. unitären) Vektorraum V . Sei ϕ : V → K eine lineare Abbildung mit ϕ 6≡ 0, wobei K = R (bzw. K = C)
ist.
(a) Zeigen Sie, dass es einen Vektor η ∈ V mit ϕ(η) = 1 gibt, so dass (Ker(ϕ))⊥ = K · η ist.
(b) Zeigen Sie, dass ϕ = h·, yi für y =
1
· η gilt.
kηk2
(c) Zeigen Sie, dass der obige Vektor y der einzige Vektor aus V mit der Eigenschaft ϕ = h·, yi
ist.