APPLICATIONS DE LA DYNAMIQUE DANS LES NON

APPLICATIONS DE LA DYNAMIQUE DANS LES NON-GALILEENS
I - REFERENTIEL RELATIF EN TRANSLATION DANS LE REFERENTIEL ABSOLU
A- Le référentiel barycentrique
a. Définition du centre de masse et du référentiel barycentrique
b. Grandeurs cinétiques dans le référentiel barycentrique
c. Théorèmes de König
d. Dynamique dans le référentiel barycentrique
B- Le référentiel géocentrique
a. Définition
b. Théorie statique des marées
II- REFERENTIEL RELATIF EN ROTATION AUTOUR D’UN AXE FIXE DANS LE REFERENTIEL ABSOLU
A- Le référentiel terrestre.
a. Définition
b. Le poids
c. La déviation vers l’est
B- Etude sommaire des points de Lagrange.
I - REFERENTIEL RELATIF EN TRANSLATION DANS LE REFERENTIEL ABSOLU
A- Le référentiel barycentrique
a. Définition du centre de masse et du référentiel barycentrique
Le centre de masse d'un système de points matériels est un point géométrique qui ne dépend que des masses
considérées et des positions relatives des PM considérés. Noté traditionnellement G, il est défini par la relation
intrinsèque:
⃗
∑ 𝒎𝒊 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑮𝑴𝒊 = 𝟎
𝒊
ou encore par la relation‚ équivalente, où O est un point quelconque et M la masse totale du système.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
∑ 𝒎𝒊 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑶𝑴𝒊 = 𝑴𝑶𝑮
𝒊
La projection de cette relation sur Ox permet le calcul de l'abscisse de G :
∑ 𝑚𝑖 𝑋𝑖 = 𝑀𝑥𝐺
𝑖
Les propriétés de l'ordonnée et de la cote sont évidemment analogues.
Un repère d'étude R étant choisi, le repère barycentrique R* est en translation dans R à la vitesse de G.
Les lois de compositions des vitesses et des accélérations permettant de relier R et R* s’expriment très
⃗ R*/Rest nul
simplement car le vecteur rotation instantané de R* dans R , ⃗𝛀
⃗⃗⃗⃗ M/R) = 𝑉
⃗ (G/R) + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑉(
𝑣 ∗(M)
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑎(M/R) = 𝑎(G/R) +⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑎 ∗(M)
Dans le cas de systèmes décrits par une représentation continue de masse, la somme discrète est remplacée par
une intégrale dans laquelle l’élément différentiel est la masse élémentaire dm
.
Ainsi, dans le cas courant d’une distribution volumique, la définition du centre de masse devient
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑚 = 𝑀𝑂𝐺
⃗⃗⃗⃗⃗
∭ 𝑂𝑀
dont la projection sur l’axe des x s’écrit
∭ 𝑋𝑑𝑚 = 𝑀𝑋𝐺
Conformément au programme, nous ne ferons pas de détermination pratique de G. Nous envisageons des
situations où sa position est évidente du fait des symétries ou donnée.
b- Grandeurs cinétiques dans le référentiel barycentrique
Résultante cinétique d'un système de points matériels.
1 - Définition
Cette notion étend, par simple sommation, à un système matériel la notion de quantité de mouvement
introduite pour un point matériel.
Définition : Pour un système discret: 𝑝 = ∑𝑖 𝑚𝑖 ⃗𝑣⃗𝑖
Pour un système continu, 𝑝 = ∭ ⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑝 = ∭ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣(𝑀)𝑑𝑚
On note donc que la résultante cinétique est, comme les vitesses, dépendante du référentiel dans lequel on se
place.
Propriété: Dérivons temporellement la relation suivante dans R :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
∑ 𝒎𝒊 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑶𝑴𝒊 = 𝑴𝑶𝑮
𝒊
⃗⃗⃗⃗⃗𝑮
∑ 𝒎𝒊 𝒗
⃗⃗⃗𝒊 = 𝑴𝑽
𝒊
La résultante cinétique d’un système matériel dans le référentiel R est donc le simple produit de sa masse totale
par la vitesse de son centre de masse dans le référentiel R
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑝(𝑆/𝑅) = 𝑀𝑉
𝐺/𝑅
Dans le référentiel barycentrique, G est au repos. Il en résulte immédiatement que la résultante cinétique
barycentrique ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑷 ∗ est nulle.
Moment cinétique en un point O d'un système matériel.
1 - Définition
Cette notion étend par sommation à un système la notion de moment cinétique d'un PM.
Pour un système de point : 𝜎
⃗⃗⃗⃗𝑜 = ∑𝑖 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀𝑖 ∧ 𝑚𝑖 ⃗𝑣⃗𝑖
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝑣𝑑𝑚
Pour un système continu : 𝜎
⃗⃗⃗⃗𝑜 = ∭ 𝑂𝑀
Conformément au programme nous n’en feront pas de calculs systématiques, nous bornant à rappeler ici le cas
d’un solide en rotation autour d’un axe fixe vu en MPSI.
Soit O un point de l‘axe de rotation. Le moment cinétique en O est compliqué dans le cas général mais sa
projection sur l’axe de rotation vaut 𝜎𝑍 = 𝐽Ω où J est le moment d’inertie du solide par rapport à l’axe de rotation
et Ω la vitesse angulaire de rotation.
2 - Formule de changement de point.
Exprimons le moment cinétique d'un système de points dans le repère R en un point O' distinct de O.
On obtient
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝑚 ⃗𝑣⃗
𝜎𝑜′ = ∑𝑂′𝑀
𝑖
𝑖 𝑖
′ 𝑂 ∧ 𝑚 ⃗𝑣⃗ + ∑𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑖 ∧ 𝑚𝑖 ⃗𝑣⃗𝑖
𝜎𝑜′ = ∑𝑂
𝑖 𝑖
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑖 ∧ 𝑚𝑖 ⃗𝑣⃗𝑖
𝜎𝑜′ = ∑𝑚𝑖 ⃗𝑣⃗𝑖 ∧ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑂′ + ∑𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝜎𝑜′ = 𝜎
⃗⃗⃗⃗𝑜 + 𝑃⃗ ∧ 𝑂𝑂′
Cette relation est la relation de changement de point pour le moment cinétique.
⃗⃗⃗⃗⃗∗ est nulle et donc le moment cinétique est
Dans le référentiel barycentrique R*, la résultante cinétique 𝑃
⃗⃗⃗⃗⃗∗.
indépendant du point choisi pour le calculer d’où la notation 𝝈
Energie cinétique d'un système de points.
Cette notion étend à un système matériel la notion d'énergie cinétique d'un point matériel.
1
Pour un système discret : 𝐸𝑐 = ∑𝑖 𝑚𝑖 𝑣𝑖2
2
1
Pour un système continu: 𝐸𝑐 = ∭ 𝑣 2 𝑑𝑚
2
Conformément au programme nous n’en feront pas de calculs systématiques, nous bornant à rappeler ici le cas
d’un solide en rotation autour d’un axe fixe vu en MPSI.
1
Ec = 𝐽Ω2
2
Théorèmes de König.
Ils permettent d'accéder aux grandeurs cinétiques dans R à partir de la connaissance des mêmes grandeurs dans
R*. Leur démonstration s'appuie sur la loi de composition des vitesses permettant de passer de R dans R*.
Décomposant ainsi le calcul d’une grandeur « compliquée » en somme de deux grandeurs plus simples, ils
joueront un rôle important dans l’étude de la mécanique du solide où ils permettent d’appliquer la méthode des
petits pas.
Th de König pour le moment cinétique:
Rappel d’une propriété vue plus haut: Dans R* le moment cinétique est indépendant du point choisi pour le
calculer. On le note *. Le plus souvent, on choisit de le calculer en G.
Th de König: Le moment cinétique d’un système matériel en O est la somme de son moment cinétique
barycentrique et du moment cinétique en O d’un point matériel unique, confondu avec G, et affecté de la masse
totale du système. Il se traduit par la formule suivante :
⃗⃗⃗⃗𝐺
𝜎
⃗⃗⃗⃗𝑜 = ⃗⃗⃗⃗
𝜎 ∗ + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐺 ∧ 𝑀𝑉
Noter que le moment cinétique en G dans R et le moment cinétique barycentrique sont identiques
Th de König pour l'énergie cinétique
Th de König: L’énergie cinétique d’un système matériel est la somme de son énergie cinétique barycentrique et
de l’énergie cinétique d’un point matériel unique, confondu avec G, et affecté de la masse totale du système.
Il se traduit par la formule suivante :
𝐸𝑐 = 𝐸𝑐∗ +
1
𝑀𝑉 2
2 𝐺
c- Théorème généraux dans le référentiel barycentrique
Il est clair qu’en général le mouvement de G dans R galiléen n’est pas rectiligne et uniforme. R* n’est
pas systématiquement galiléen. Cependant, il est toujours, par définition, en translation dans R donc
les résultats généraux se simplifient et


Il n’y a pas à considérer de force de Coriolis dans R*
L’accélération d’entraînement est la même pour tous les points matériels du système
étudiée. Elle vaut 𝑎𝐺⁄

La force d’inertie d’entrainement vaut visiblement 𝑀 𝑜 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑎𝐺⁄


Le moment en G de la force d’inertie d’entrainement est nul.
La puissance de la force d’inertie d’entrainement dans le référentiel barycentrique est nulle
Finalement :
Le théorème du centre d’inertie n’est guère intéressant dans R* car le mouvement de G y est
connu : il est au repos.
Le théorème du moment cinétique et le théorème de l’énergie cinétique s’appliquent dans
R* comme s’il était galiléen car les forces d’inertie y apportent des contributions nulles.
𝑅


𝑅
Application à un pendule composé.
B- Le référentiel géocentrique
a. Définition
En première approximation la terre décrit une orbite elliptique autour du centre de masse du
système solaire, quasi confondu avec le centre du soleil.
L’excentricité de cette ellipse étant très faible, on confond le plus souvent cette ellipse avec un
cercle.
Considérons le repère de Copernic associé à un système d’axe dont le centre est confondu avec le
centre de masse du système solaire et les axes pointent vers trois étoiles dites fixes. C’est la
meilleure approximation de référentiel galiléen connue.
Le référentiel géocentrique est un référentiel en translation dans le référentiel de Copernic avec une
vitesse égale à celle du centre de la terre. Cette translation est donc circulaire et même circulaire et
uniforme compte tenu des propriétés des mouvements dans les champs de force centrale.
Il est donc clair qu’un point matériel de masse m étudié dans le référentiel géocentrique ne subit pas
de force de Coriolis et qu’il subit une force d’inertie d’entraînement 𝑚𝑎
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⁄ où T est le centre de la
𝑅
terre et R le référentiel de Copernic.
b. Théorie statique des marées
Etudions le mouvement d’un point matériel situé près de la surface terrestre dans le référentiel
géocentrique.
Le bilan des forces comprend

L’attraction gravitationnelle de la terre : 𝑚𝐺 (𝑀)

L’attraction gravitationnelle de tous les autres astres: 𝑚𝐺 (𝑀)

Les autres forces dites occasionnelles dans lesquelles on peut ranger les forces de pression
pour une particule fluide
La force d’inertie d’entraînement détaillée au paragraphe précédent 𝑚𝑎
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⁄

𝑅
La relation fondamentale de la dynamique pour ce point matériel dans le géocentrique s’écrit :

𝑚𝑎
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
= 𝑚𝐺 (𝑀) + 𝑚𝐺 (𝑀) +
⁄
𝑅𝐺
𝑚𝑎
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⁄
𝑅
Admettons maintenant que la relation fondamentale de la dynamique pour le système terre dans R
galiléen peut s’approximer par

( )
𝑀𝑎
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⁄ = 𝑀𝐺
𝑅
Il vient donc

𝑚𝑎
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
= 𝑚𝐺 (𝑀) +
⁄
𝑅𝐺
+ 𝑚( 𝐺 (𝑀)
𝐺 ( ))
Le dernier terme est le plus souvent négligé dans les problèmes de mécanique ordinaire. Dans le
référentiel géocentrique on approxime donc fréquemment la rfd par

𝑚𝑎
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
= 𝑚𝐺 (𝑀) +
⁄
𝑅𝐺
Néanmoins le terme négligé joue un rôle important pour les masses d’eau qui entourent la terre
pour lesquelles l’attraction de la terre est quasi-compensée par la réaction du fond. Il est responsable
des effets de marées d’où son nom : Terme des marées.
Considérons le cas d’un seul astre et limitons nous à observer le plan équatorial.
Le terme indépendant de M est en bleu. Le terme dépendant de M en rouge. La somme s’en déduit
et on peut comprendre l’existence du bourrelet océanique et de deux marées par jour.
Un développement limité simple permet d’évaluer le terme des marées en A et B.
Pour comprendre les phénomènes de vives eaux et de mortes eaux, il faut au moins deux astres (le
soleil et la lune pour nous). S’ils conjuguent leurs effets le phénomène est accentué (vives eaux) mais
si les effets se contrarient on a les mortes eaux.
Il existe de nombreux aspects des marées qui ne sont pas décrits par cette théorie très simple : le
décalage progressif des heures de haute mer où les variations locales des hauteurs des marées. Une
théorie ondulatoire est nécessaire pour le premier aspect. Elle conduit parfois à des résonances qui
expliquent le second.
II- REFERENTIEL RELATIF EN ROTATION AUTOUR D’UN AXE FIXE DANS LE REFERENTIEL ABSOLU
A- Le référentiel terrestre.
a. Définition
Le référentiel terrestre est lié au « solide » terre.
Si on tente de dessiner un système d’axe au centre de la terre, il est immédiat de constater que ce
référentiel est en rotation autour de l’axe des pôles par rapport au référentiel géocentrique. La
période de rotation étant environ T = 1 jour=24h=24*3600s, on en déduit Ω =
2
Si on dessine un système d’axe en un point M de la surface terrestre, ce système d’axe est fixe par
rapport au précédent et donc le vecteur rotation par rapport au géocentrique est inchangé.
Comme le géocentrique est en translation dans Copernic, qui est la meilleure approximation de
galiléen disponible, on connait donc le vecteur rotation instantanée du référentiel terrestre dans
tous les galiléens.
b. Le poids
Le poids est la force compensée par la tension du fil à plomb pour un point matériel en équilibre dans
le référentiel terrestre. C’est donc la somme de l’attraction gravitationnelle exercée par la terre et de
la force d’inertie d’entraînement (on néglige ici le terme des marées qui en toute rigueur est
présent)
Quand on implique le poids dans le référentiel terrestre en le considérant galiléen, on prend en
compte sans le dire la force d’inertie d’entraînement associée à la rotation de la terre autour de l’axe
des pôles. Cette façon de procéder améliore grandement la qualité de l’approximation.
Pour approcher la dépendance du poids vis-à-vis de l’altitude, on considère que la dépendance est la
même que celle de son terme prépondérant : l’attraction gravitationnelle. Le poids décroit, en
première approximation, comme le carré de la distance au centre de la terre.
Pour approcher la dépendance du poids vis-à-vis de la latitude, on considère la terre comme
sphérique et un simple dessin montre que le poids d’un même objet est plus grand au pôle qu’à
l’équateur. La comparaison de
𝐺
𝑅
et de Ω2 𝑅 s’impose
La verticale est la direction du poids. La radiale pointe vers le centre de la terre. Les deux directions
diffèrent un peu (sauf au pôle ou à l’équateur).
c. La déviation vers l’est
Ce paragraphe sera l’occasion de donner un exemple d’application simple d’une méthode
variationnelle.
Le paramétrage est celui du schéma ci-dessus
On étudie la chute libre d’un point libéré sans vitesse initiale en 𝑀𝑜 {
en négligeant la force de
Coriolis. La chute s’exécute selon la verticale
𝑥̈ =
{ ̈=
̈=
{
𝑥̇ =
̇=
̇=
𝑥=
=
{
=
1
2
2
On reprend en tenant compte de la force de Coriolis mais en approximant cette dernière par
l’expression obtenue à partir de la vitesse relative du cas précédent. On exhibe ainsi une déviation
vers l’est dans les deux hémisphères.
2⃗⃗⃗⃗⃗⃗Ω ∧ 𝑣 =
2𝑚Ω {
∧{
2𝑚Ω
= {
𝑥̈ = 2Ω
̈=
{
̈=
𝑥̇ = Ω 2
{
̇=
̇=
𝑥=
Ω
=
{
=
1
2
En résolvant z=0, on obtient la durée de la chute : = √
2
2
En reportant dans x, on obtient la déviation vers l’est : 𝑑 =
2
( )
⁄2
Pour une chute de l’ordre de 100m, la déviation est de l’ordre du centimètre.
L’étude est complétée par la lecture du document suivant dans lequel on notera une expression
erronée à la première question mais pas dans le corrigé :
Exercice corrigé sur la déviation vers l'est
L’influence de la force de Coriolis sur un mouvement horizontal peut être évoquée.
Comme le montre le calcul de la force de Coriolis dans ce cas, l’évolution de la vitesse est régie par la
⃗⃗
composante verticale de Ω
2⃗⃗⃗⃗⃗⃗Ω ∧ 𝑣 =
𝑑𝑣
=
𝑑
2𝑚Ω {
𝑥̇
∧{ ̇
⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝑣
2Ω
⃗⃗⃗⃗ est en
Comme Ω
, la force de Coriolis dévie la particule sur sa droite dans l’hémisphère nord et
sur sa gauche dans l’hémisphère sud.
On reconnait de plus une équation analogue à celle régissant le mouvement d’un point matériel
chargé dans un champ magnétique uniforme. Le produit scalaire par 𝑣 montre que le module de la
vitesse n’est pas affecté. Le mouvement est circulaire uniforme :
𝑅=
2
𝑖
𝑅
= 2Ω 𝑣𝑚. Le rayon est
L’expérience du pendule de Foucault est une expérience historique mettant en évidence le caractère
non galiléen du référentiel terrestre.
B- Une étude sommaire des points de Lagrange.
Soit, pour faire simple, un astre massif A1 autour duquel tourne un astre moins massif A2
sur une orbite circulaire. D’après la loi des aires le mouvement de A2 est uniforme.
⃗⃗ et un
Introduisons alors un repère tournant, d’origine A1, dont l’un des axes porte Ω
autre est confondu avec ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
1 2,
Un point de Lagrange est un point de ce repère pour lequel une petite masse m peut être
en équilibre sous l’action des champs gravitationnels de A1 et A2 et de la force d’inertie
d’entraînement.
Il est facile de voir qu’il y a trois tels points sur l’axe A 1A2. On en trouve deux autres en
dehors de l’axe. Ils définissent des triangle équilatéraux avec les astres.
L’étude de l’énergie potentielle gravitationnelle et associée à la force d’inertie
d’entraînement ne suffit pas pour étudier leur stabilité car la force de Coriolis intervient
dès qu’il y a mouvement.
Les points stables sont parfois occupés par des objets célestes. Les points instables
peuvent être utilisés par des satellites.
Suivre ce lien pour des compléments
C- Une étude en électromagnétisme