Blatt 3 - Lehrstuhl Informatik 1

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Ubungen
zur Vorlesung Grundbegriffe der Theoretischen Informatik
Thomas Schwentick
Jan Eric Lenssen, Axel Plinge,
Martin Schuster, Nils Vortmeier
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Ubungsblatt
3
SoSe 2015
21.04.2015
Abgabe bis sp¨
atestens am 28.04.2015,
• (vor der Vorlesung) im HG II, HS 3, oder
• in den Briefk¨
asten im Durchgangsflur, der die 1. Etage der OH 12 mit
dem Erdgeschoss der OH 14 verbindet.
Beachten Sie die Schließzeiten der Geb¨
aude!
Es gelten die Hinweise von Blatt 1.
Quizfragen:
Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche sind falsch? Und warum?
keine Punkte
1. Es gibt endliche Automaten mit mehreren akzeptierenden Zust¨anden, f¨
ur die jeder ¨aquivalente ǫ-NFA
notwendig auch mehr als einen akzeptierenden Zustand hat.
2. Der minimale DFA zu einem DFA oder NFA ist eindeutig bestimmt, der minimale DFA zu einem
regul¨aren Ausdruck jedoch nicht.
3. Der Markierungsalgorithmus markiert Paare von ¨aquivalenten Zust¨anden. Diese werden dann zur
Minimierung des Automaten zusammengefasst.
¯ einer regul¨
¨
4. Das Komplement L
aren Sprache L hat die gleichen Nerode-Aquivalenzklassen
wie die
Sprache L.
Aufgabe 3.1 [Minimierung endlicher Automaten]
5 Punkte
Bestimmen Sie zu nachfolgend angegebenem DFA einen ¨aquivalenten minimalen DFA unter Verwendung des
in der Vorlesung vorgestellten Minimierungsalgorithmus. Geben Sie dabei f¨
ur jedes markierte Zustandspaar
an, in welchem Durchlauf es markiert wurde und zeichnen Sie den resultierenden Minimalautomaten.
a,b
a,b
J
c
c
a,b c
C
a,b
B
c
a
a
D
G
b
A
a,b
c
a
I
H
c
b
b
c
F
a
b
c
a,c
a,b,c
E
b
K
c
¨
Ubungsblatt
3
¨
Ubungen
zur GTI
Aufgabe 3.2 [Umwandlungen]
Seite 2
3 Punkte
a) Konstruieren Sie zu dem regul¨
aren Ausdruck α “ pp1 ` 2q˚ ` 0p2 ` ǫqq˚ u
¨ber dem Alphabet t0, 1, 2u
¨
einen nichtdeterministischen endlichen Automaten A mit ǫ-Uberg¨
angen, sodass LpAq “ Lpαq gilt.
Gehen Sie dabei so vor, wie im Beweis von Proposition 4.2 beschrieben, und lassen Sie keine ǫ¨
Uberg¨
ange aus. Statt jede ǫ-Kante mit ǫ zu beschriften, gen¨
ugt es die ǫ-Kanten unbeschriftet zu
lassen. Beschreiben Sie die Korrespondenz zwischen den Teilausdr¨
ucken von α und Teilen des von
Ihnen angegebenen Automaten.
(3 Punkte)
b) Geben Sie einen regul¨
aren Ausdruck an, der die Sprache beschreibt, die vom folgenden endlichen
Automaten entschieden wird:
a
b
b
1
2
a
Konstruieren Sie den regul¨
aren Ausdruck nach dem Verfahren, das im Beweis von Proposition 4.3
angegeben ist. Wie in der Vorlesung k¨onnen Sie die in einer Teilberechnung gewonnenen regul¨aren
Ausdr¨
ucke vereinfachen. Weiterhin brauchen Sie nur die Ausdr¨
ucke αki,j bestimmen, die f¨
ur den Gesamtausdruck ben¨
otigt werden.
Hinweis: Diese Teilaufgabe geh¨
ort nicht zu den Punkteaufgaben!
Aufgabe 3.3 [Nerode-Klassen, Minimalautomaten und Regularit¨
at]
Gegeben sei die Sprache
L “ tw P ta, b, cu˚ | w enth¨alt das Teilwort aaau.
7 Punkte
¨
Eine Aquivalenzklasse
der Nerode-Relation „L bez¨
uglich L ist
K0 “ rǫs„L “ tw P ta, b, cu˚ | w enth¨alt kein aaa und endet nicht mit au.
¨
a) Geben Sie alle weiteren Aquivalenzklassen
der Nerode-Relation „L bez¨
uglich der Sprache L und
¨
zu jeder Aquivalenzklasse
einen Repr¨asentanten an. Weisen Sie nach, dass die von Ihnen angegebenen
¨
Klassen genau die Aquivalenzklassen
der Nerode-Relation sind. Gehen Sie daf¨
ur folgendermaßen vor:
1. Begr¨
unden Sie, dass jedes w P ta, b, cu˚ in einer Klasse vorkommt.
2. Berechnen Sie die Mengen L{v (siehe Kapitel 5) und begr¨
unden Sie, dass
• f¨
ur alle Strings v einer Klasse die Menge L{v gleich ist und
• f¨
ur verschiedene Klassen die Mengen L{v verschieden sind.
(3 Punkte)
¨
b) Beschreiben Sie, wie sich ausgehend von den Aquivalenzklassen
ein Minimalautomat zur Sprache L
konstruieren l¨
asst. Erl¨
autern Sie hierzu kurz, wie sich die Zustandsmenge – insbesondere Startzustand
und akzeptierende Zust¨
ande – und Transitionen ergeben (beschreiben sie exemplarisch zwei Transitionen). Geben Sie schließlich den so erzeugten Automaten an.
(2 Punkte)
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Ubungsblatt
3
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Ubungen
zur GTI
Seite 3
c) Sind die Teilmengen
K´ “ tw P Σ˚ | #0 pwq ă #1 pwqu,
K“ “ tw P Σ˚ | #0 pwq “ #1 pwqu und
K` “ tw P Σ˚ | #0 pwq ą #1 pwqu
von W¨
ortern u
ur die Sprache L‰ “
¨ber dem Alphabet Σ “ t0, 1u die Klassen der Nerode-Relation f¨
tw P Σ˚ | #0 pwq ‰ #1 pwqu? Falls es sich nicht um die Klassen der Nerode-Relation handelt, wie sehen
diese Klassen aus? Welche Aussage k¨onnen Sie anhand der Klassen u
¨ber die Regularit¨at der Sprache
treffen?
(2 Punkte)
Aufgabe 3.4 [Von Automaten zu Nerode-Klassen]
Gegeben sei folgender DFA A u
¨ber dem Alphabet Σ “ ta, b, cu:
0 Punkte
a, c
2
a
a, b, c
1
c
b
b
3
a, c
5
b, c
0
b
4
a
a
b, c
¨
a) Geben Sie formal alle Aquivalenzklassen
der Relation „A (siehe Kapitel 5: Beweis des Satzes von
Myhill und Nerode) und zu jeder Klasse einen Repr¨asentanten an. Beschreiben sie die Sprache LpAq
¨
formal mit Hilfe der gefundenen Aquivalenzklassen.
b) Der Automat A ist außerdem ein Minimalautomat. Was l¨asst sich daraus und aus den Ergebnissen
von a) f¨
ur die Nerode-Relation von LpAq schließen?
Zusatzaufgabe [Regul¨
ar oder nicht?]
Ist die folgende Sprache regul¨
ar?
L “ tα P tǫ, 0, 1, `,˚ , ˝, H, p, qu˚ | α ist ein Regul¨arer Ausdruck u
¨ber dem Alphabet Σ “ t0, 1uu
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