Trägheitsmoment des Speichenrades - Fachbereich 13

2
Grundlagen
2.1
Physikalisches Grundlagenlabor
Fachbegriffe
• Frequenz / Periodendauer / Zeit
• Pendel / Schwingungen / Klein-Winkel-N¨
aherung
Versuch 1.3 Bestimmung des Tr¨
agheitsmomentes
eines Speichenrades
1
• Winkel / Winkelgeschwindigkeit / Winkelbeschleunigung
• s-t-Diagramm / v-t-Diagramm / a-t-Diagramm
• Kraft / Tr¨age Masse / Newton-Axiome / Energieerhaltung
Ger¨
ate
• Drehmoment / Drehimpuls / Tr¨
agheitsmoment
• Speichenrad
2.2
• Kugellagerachse
Theorie
Das Massentr¨agheitsmoment J eines Speichenrades bez¨
uglich der Radachse soll
nach drei verschiedenen Methoden bestimmt werden.
• Maßstab mit Stativ
Verfahren 1: Ab- und Auflaufmethode
• Meßschieber
Aus Messungen von h1 , h2 , t1 , m und r kann das Massentr¨
agheitsmoment
J berechnet werden. Das Gewicht hat in der Ausgangslage (Marke s1 )
gegen¨
uber seiner tiefsten Lage (Marke s0 ) die Lageenergie E1 = m · g · h1 .
Die Bewegungsenergie der Anordnung ist Null. Durchl¨
auft das Gewicht die
Strecke h1 , so wird die Lageenergie in Bewegungsenergie des Gewichts,
Rotationsenergie des Rades und Reibungsenergie umgewandelt:
• Gewichtsteller mit Gewichtssatz
• Stoppuhr
• Zusatzgewicht mit Befestigungsschraube
v 2 1
1
·J ·
+ · m · v 2 + FR · h1 = m · g · h1
2
r
2
• Befestigungst¨
uck f¨
ur Gleitlager mit Kerbe
1
(2)
Das Speichenrad wird so auf die Kugellagerachse gesteckt, daß es um seine Radachse drehbar gelagert
ist. Das Rad wird durch ein Gewicht der Masse m,
das an einem auf der Radachse (Radius r) einlagig aufgewickelten Faden h¨
angt, in eine gleichm¨aßig
beschleunigte Drehbewegung versetzt. Das Gewicht
durchl¨
auft aus der Ruhelage (Marke s1 ) in der Zeit
t1 die Strecke h1 bis zur Marke s0 , bei der der Faden vollst¨
andig abgewickelt ist. Seine Geschwindigkeit ist hier:
2·h
v=
(1)
t1
Der Faden wickelt sich wieder auf, das Massenst¨
uck
kommt nach Durchlaufen der Strecke h2 an der Marke s2 zur Ruhe.
erh¨alt man
v 2
1
h1 − h2
1
·J ·
= m · g · h1 · 1 −
− · m · v2
2
r
h1 + h2
2
Aufl¨osen nach J ergibt:
s1
s2
s0
Zu Verfahren 1
FR ist die Reibungskraft. Nach dem Auflaufen des Gewichts um h2 (Marke
s2 ) ist die Bewegungsenergie der Anordnung wieder Null und f¨
ur die
Energiebilanz gilt:
FR · (h1 + h2 ) + m · g · h2 = m · g · h1
(3)
Hieraus folgt:
FR = m · g ·
h1 − h2
h1 + h2
(5)
(4)
Setzt man die Beziehungen f¨
ur v und FR in die Energiegleichung ein, so
2
J = m · g · r 2 · t2 ·
h2
− m · r2
h1 · (h1 + h2 )
(6)
Verfahren 2:
Korrekturen:
Bestimmung des Tr¨
agheitsmomentes aus der
Schwingungsdauer des um die Radachse D drehbar
gelagerten und durch ein am Radkranz angebrachtes Zusatzgewicht m zu einem physikalischen
Pendel gemachten Rades. Das Speichenrad mit
Zusatzgewicht wird wie bei dem Verfahren 1 auf
die Kugellagerachse gesteckt. Wird das Pendel um
den Winkel ϕ0 ausgelenkt und danach losgelassen,
so ergibt sich f¨
ur kleine Auslenkungswinkel die
Schwingungsgleichung f¨
ur ϕ (t):
1. Ber¨
ucksichtigung der D¨
ampfung: F¨
ur die gemessene Schwingungsdauer Td gilt
2 !
1
1
ϕi
Td ≈ T · 1 + ·
· ln
2
2·π
ϕi+1
D
l
ϕi
ϕi+1
ist das Verh¨
altnis zweier in gleicher Richtung aufeinander folgender Amplituden.
M
2. Bei gr¨oßeren Ausschl¨
agen gilt f¨
ur die gemessene Schwingungsdauer
Tϕ0 :
ϕ 1
0
Tϕ0 ≈ T · 1 + · sin2
4
2
Zu Verfahren 2
d2 ϕ
+ mges · g · s · ϕ = 0
(7)
dt2
Hierbei bedeuten Jges = J + m · l2 , mges = mRad + m und s der Abstand
des Pendelschwerpunktes von der Drehachse D. Der Abstand s errechnet
sich aus dem Momentensatz:
Jges ·
mges · g · s = m · g · l + mRad · g · 0 ⇐⇒ s =
m
·l
mges
Aus der Schwingungsgleichung ergibt sich die Schwingungsdauer
s
Jges
T =2·π·
mges · g · s
(8)
(9)
F¨
ur das Tr¨
agheitsmoment des Speichenrades folgt hieraus
J=
T2
· m · g · l − m · l2
4 · π2
(10)
3
3
Verfahren 3:
Bestimmung des Tr¨
agheitsmomentes aus der
Schwingungsdauer des am Radkranz drehbar aufgeh¨
angten Rades. F¨
ur kleine Anfangsauslenkung
gilt die Schwingungsgleichung:
d2 ϕ
JP · 2 + mRad · g · s · ϕ = 0
dt
1. Nach Verfahren 1 werden nach Auswahl eines geeigneten Gewichts bei
fester Ablaufh¨
ohe h1 in beiderlei Drehsinn je 2 Messungen der Ablaufzeit
t1 und der Auflaufh¨
ohe h2 durchgef¨
uhrt.
P
s 2. Bei dem Verfahren 2 werden zun¨achst die Zusatzmasse M und ihr Abstand l zum Aufh¨
angepunkt gemessen. Zur Ermittlung der Schwingungsdauer T werden bei fester Anfangsauslenkung 10 Messungen u
¨ber je 5
Schwingungsperioden durchgef¨
uhrt. Es ist abzusch¨
atzen, ob die angegebenen Korrekturen f¨
ur die Schwingungsdauer ber¨
ucksichtigt werden m¨
ussen.
(11)
JP ist das Tr¨
agheitsmoment der Anordnung
bez¨
uglich der Drehachse P.
Zu Verfahren 3
3. Beim Verfahren 3 wird die Strecke s gemessen und die Schwingungsdauer
T bei fester Anfangsauslenkung aus 10 Messungen u
¨ber je 10 Schwingungsperioden ermittelt. Korrekturen f¨
ur die Schwingungsdauer sind wie
bei Verfahren 2 zu ber¨
ucksichtigen.
Nach dem Satz von Steiner ist
JP = J + mRad · s2
(12)
4. F¨
ur alle drei Verfahren sind die a(t)−, v(t)− und s(t)− bzw. α(t)−, ω(t)−
und ϕ(t)−Diagramme basierend auf den Messwerten zu zeichnen. Es sind
f¨
ur alle drei Verfahren Fehlerrechnungen durchzuf¨
uhren und die erhaltenen
Ergebnisse miteinander zu vergleichen.
Man erh¨
alt aus der Schwingungsgleichung die Schwingungsdauer
s
T =2·π·
JP
mRad · g · s
(13)
und f¨
ur das Tr¨
agheitsmoment
J=
Versuch
T2
· g − s · mRad · s
4 · π2
(14)
4