Versuch 03 Das Trägheitsmoment

¨ngerpraktikum der Fakulta
¨t fu
¨r Physik
Anfa
Versuch 03
Das Tr¨
agheitsmoment
http://files.zygentoma.de/pp03.pdf
Praktikanten: Janjenka Szillat
Robert Czechowski
E-Mail: [email protected]
[email protected]
Betreuer: Patrick Schwager
Testat:
03 - Das Tr¨agheitsmoment
Janjenka Szillat & Robert Czechowski
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
3
2 Theorie
2.1 Tr¨agheitsmoment . . . . . . . . .
2.2 Tr¨agheitsmomente einiger K¨orper
2.3 Satz von Steiner . . . . . . . . . .
2.4 Drehimpuls . . . . . . . . . . . .
2.5 Tr¨agheitsellipsoid . . . . . . . . .
2.6 Drehmoment . . . . . . . . . . .
2.7 Drehschwingung . . . . . . . . . .
2.8 Physikalisches Pendel . . . . . . .
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3
3
3
5
5
6
6
7
8
3 Durchf¨
uhrung
3.1 Teil A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Teil B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
8
9
4 Auswertung
4.1 Teil A: Winkelrichtgr¨oße . . . .
4.2 Teil A: Tr¨agheitsmomente durch
4.3 Teil A: Tr¨agheitsmomente durch
4.4 Teil A: Tr¨agheitsellipsoid . . . .
4.5 Teil B: Drehbeschleunigung . .
4.6 Teil B: Physikalisches Pendel . .
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Geometrie errechnet .
Schwingung bestimmt
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9
9
10
12
12
13
14
5 Diskussion
15
5.1 Teil A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5.2 Teil B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
6 Literatur
15
7 Anhang
15
2
03 - Das Tr¨agheitsmoment
Janjenka Szillat & Robert Czechowski
1 Einleitung
Das Tr¨agheitsmoment eines Objektes ist bei Drehbewegungen eine so elementare Eigenschaft, wie die Masse. Es gibt an, wie tr¨age“ das Objekt auf eine wirkende Kraft, bzw.
”
ein wirkendes Drehmoment mit einer Drehbeschleunigung reagiert.
Damit spielt es eine Rolle bei der Berechnung jeder Art von beschleunigter Drehbewegung. Und diese kommen im allt¨aglichen Leben u
¨berall vor, sei es bei der R¨adern von
Fahrzeugen (Autos, Fahrr¨ader, Eisenbahnen), bei ihren Antrieben (Motoren, Getriebe),
bei der Energieerzeugung (Windr¨ader, Turbinen) oder in der Informationstechnologie
(CDs, DVDs, Festplatten).
Bei diesen Bewegungen ist es sehr wichtig etwas u
¨ber das Verhalten der drehenden
K¨orper zu wissen. Daher ist es sehr interessant, die Tr¨agheitsmomente verschiedener
K¨orper zu bestimmen.
2 Theorie
2.1 Tr¨
agheitsmoment
¨
Das Tr¨agheitsmoment gibt den Wiederstand eines starren K¨orpers gegen¨
uber der Anderung
seiner Rotationsbewegung einer ausgezeichneten Achse an.
Es ist definiert als
Z
ΘA :=
rA dm
V
wobei rA den Abstand eines Punktes zur Drehachse A angibt. Das infinitesimal kleine
Massenelement dm l¨asst sich mit der Massendichte ρ(r) auch als ρ(r)dV schreiben.
Dies l¨asst sich bei homogenen Dichteverteilungen (ρ(r) = ρ0 ∀r) ausnutzen, um das
Tr¨agheitsmoment als
Z
ΘA = ρ0
rA dV
V
zu vereinfachen.
Das Tr¨agheitsmoment l¨asst sich auch als Summe u
¨ber Massenpunkte schreiben:
X
Θ=
mi~ri2
i
2.2 Tr¨
agheitsmomente einiger K¨
orper
Quader mit Kantenl¨angen a, b, c durch die z-Achse
Θ = ρ0
Z
V
rA dV = ρ0
Z
c
2
− 2c
3
Z
c
2
− 2c
Z
a
2
− a2
(x2 + y 2 )dxdydz
03 - Das Tr¨agheitsmoment
Janjenka Szillat & Robert Czechowski
a2
Z b Z a
Z b 2
2
2
1 3
2
2
2
= ρ0 c
x + xy
dy
(x + y )dxdy = ρ0 c
− 2b − a2
− 2b 3
− a2
a
Z b 2
1 3
1 3
1 3 2
2
= ρ0 c
a + ay dy = ρ0 c y a + a y
12
12
3
− 2b
− a2
1 3
1 2
1
= ρ0 c
a b + ab3 =
a + b2 ρ0 abc
12
12
12
1 2
1 2
=
a + b 2 ρ0 V =
a + b2 m
12
12
W¨
urfel ist ein Quader mit Kantenl¨angen a = b = c
Z
1 2
a + b2 m
Θ = ρ0
rA dV =
12
V
1 2
1
=
a + a2 m = a2 m
12
6
W¨
urfel diagonal mit Kantenl¨ange a
Der Abstand eines Punktes (x, y, z) von der Achse R · (1, 1, 1) betr¨agt 23 (x2 + y 2 + z 2 −
yz − xz − xy)
a
a
a
2 2
rA dV = ρ0
(x + y 2 + z 2 − yz − xz − xy)dxdydz
3
a
ZV a Z a 0 0 0
1 2 3
2
2
2
2
= ρ0
x + 2xy + 2xz − 2xyz − x z − x y
dydz
3 3
0
0
0
Z aZ a 1 2 3
2
2
2
2
a + 2ay + 2az − 2ayz − a z − a y dydz
= ρ0
3
0
0 3
a
Z a 1 2 3
2 3
1 2 2
2
2
2
= ρ0
a y + ay + 2ayz − ay z − a yz − a y
dz
3 3
3
2
0
0
Z a 1 4
1 2 4 2 4
2 2
3
3
a + a + 2a z − a z − a z − a dz
= ρ0
3
3
2
0 3
a
1 2 4
2 4
2 2 3 1 3 2 1 3 2 1 4
= ρ0
a z+ a z+ a z − a z − a z − a z
3 3
3
3
2
2
2
0
1 2 5 2 5 2 5 1 5 1 5 1 5
= ρ0
a + a + a − a − a − a
3 3
3
3
2
2
2
1
1
1
3
2 5 1 5
1
a − a = ρ0 a5 = a2 ρ0 V = a2 m
2a5 − a5 = ρ0
= ρ0
3
2
3
2
6
6
6
Θ = ρ0
Z
Z
Z
Z
4
03 - Das Tr¨agheitsmoment
Janjenka Szillat & Robert Czechowski
Hohlzylinder mit Innenradius R1 , Außenradius R2
Z
Z R2 Z 2π Z h
Θ = ρ0
rA dV = ρ0
r2 dzrdϕdr
V
0
R1
0
R
1 4 2
= ρ0 2πh
r dr = ρ0 2πh r
4 R1
R1
1
1
= ρ0 2πh (R14 − R24 ) = (R12 + R22 )ρ0 πh(R12 − R22 )
4
2
1
1 2
= (R1 + R22 )ρ0 V = (R12 + R22 )m
2
2
Z
R2
3
Kugel mit Radius R
Z
Z R Z π Z 2π
(rx2 + ry2 )r sin(θ)dϕrdθdr
Θ = ρ0
rA dV = ρ0
0
0
V
0
Z R Z π Z 2π
= ρ0
r4 (cos2 (ϕ) sin2 (θ) + sin2 (ϕ) sin2 (θ)) sin(θ)dϕdθdr
0
Z0 π Z0 2π
1
= ρ0 R 5
(cos2 (ϕ) sin2 (θ) + sin2 (ϕ) sin2 (θ)) sin(θ)dϕdθ
5
Z0 Z0
1 5 π 2π 3
sin (θ)dϕdθ
= ρ0 R
5
0
0
π
Z
2 5 π 3
2 5 1
(cos(θ) − 9 cos(theta))
= ρ0 πR
sin (θ)dθ = ρ0 πR
5
5
12
0
0
2 51 − 9
2 2 3 3 2 2
2 2
= ρ0 πR
= R ρ0 πR = R ρ0 V = R m
5
12
5
4
5
5
2.3 Satz von Steiner
Der Satz von Steiner lautet
ΘA = ΘS + m · d2
Dabei ist ΘA zu errechnende Tr¨agheitsmoment um eine beliebige Achse A. ΘS ist das
Tr¨agheitsmoment um die Achse S, die parralel zu A liegt und durch den Schwerpunkt
des K¨orpers verl¨auft. m bezeichnet die Gesamtmasse des K¨orpers und d den Abstand
der Achse A zum Schwerpunkt des K¨orper.
Des Satz von Steiner l¨asst sich damit begr¨
unden, dass sich eine Drehbewegung um eine
beliebige Achse A als zusammengesetze Bewegung aus der Drehung des Schwerpunktes
um A und aus der Drehung des K¨orpers selbst um seinen Schwerpunkt beschreiben l¨asst.
2.4 Drehimpuls
Der Drehimpuls beschreibt, wie sich ein Massenpunkt um einen Mittelpunkt bewegt.
5
03 - Das Tr¨agheitsmoment
Janjenka Szillat & Robert Czechowski
Er ist definiert als
~ := ~r × p~
L
wobei ~r den Ortsvektor des Massenpunktes bez¨
uglich des Mittepunktes und p~ den Impuls
des Massenpunktes beschreibt. Der Drehimpuls mehrerer Massenpunkte um den gleichen
Mittelpunkt ergibt sich einfach als Summe:
X
~ =
L
~ri × p~i
i
Es l¨asst sich zeigen, dass sich der Drehimpuls mit dem Tr¨agheitsmoment durch die
Drehachse schreiben l¨asst:
~ =
L
X
~ri × p~i =
i
=
X
X
mi~ri × ~vi =
i
X
mi~ri × (~ω × r~i )
i
mi ((~ri · r~i )~ω − (~
ri · ω
~ )~
ri )
(~
ri · ω
~ = 0 bei Drehung)
i
=
X
mi~ri2 ω
~ = Θ~ω
i
2.5 Tr¨
agheitsellipsoid
Bez¨
uglich den Hauptachsen nimmt der Drehimpuls die folgende Form an:
LA = ΘA ωA
LB = ΘB ωB
LC = ΘC ωC
Wenn der K¨orper nun so rotiert, das die Drehachse senkrecht zur Hauptr¨agheitsachse
steht, gilt ωC = 0. Man kann nun schreiben
~ ·ω
L
~ = Θω 2 = ΘA ωA2 + ΘB ωB2
Dies l¨asst sich mit ωA = ω cos α und ωB = ω cos β als Ellipsenform schreiben:
ξ 2 η2
+
−1=0
a2 b 2
Dabei ist ΘA =
1
, ΘB b12 , ξ
a2
=
cos
√ α, η
Θ
=
cos
√ β
Θ
2.6 Drehmoment
¨
Das Drehmoment bewirkt eine Anderung
einer Drehbewegung.
Es ist definiert als
~
~˙
~ := dL = L
M
dt
6
03 - Das Tr¨agheitsmoment
Janjenka Szillat & Robert Czechowski
also der Ableitung des Drehimpulses nach der Zeit.
Man erh¨alt durch Ausrechnen folgenden Ausdruck, der von der wirkenden Kraft
abh¨angt:
~
~ = dL = d(~r × p~) = d~r × p~ + ~r × d~p
M
dt
dt
dt
dt
= ~r˙ × p~ + ~r × p~˙ = ~r˙ × m~r˙ + ~r × F~
= ~r × F~
(~r˙ × ~r˙ = 0)
Desweiteren verursacht ein wirkendes Drehmoment eine Winkelbeschleunigung:
~
~ = dL = d(Θ~ω )
M
dt
dt
˙
= Θω
~ = Θ~
α
2.7 Drehschwingung
Eine Drehschwingung tritt auf, wenn eine Auslenkung ein r¨
ucktreibendes Drehmoment
hervorruft, das das System wieder zur Ruhelage beschleunigt. Bei einer harmonischen
Schwingung ist das r¨
ucktreibende Drehmoment M proportional zur Auslenkung ϕ:
M ∝ ϕ ⇒ M = −Dϕ
Den Propotionalit¨atskoeffizienten D nennt man dabei Winkelrichtgr¨oße.
Das Drehmoment verursacht nun nach M = Θα = Θϕ¨ eine Winkelbeschleunigung.
Gleichsetzen der Drehmomente liefert dann die Schwinungsgleichung
ϕ¨ = −
D
ϕ
Θ
die durch den Ansatz ϕ(t) = ϕ0 cos(ωt + Φ) gel¨ost wird. Man erh¨alt dann:
ω2 =
Dies f¨
uhrt mit ω =
2π
T
D
Θ
zu
DT 2
4π 2
4π 2
D=Θ 2
T
r
Θ
T = 2π
D
Θ=
7
03 - Das Tr¨agheitsmoment
Janjenka Szillat & Robert Czechowski
2.8 Physikalisches Pendel
Das Physikalische Pendel wird durch eine Auslenkung zum Schwingen gebracht. Diese
verursacht ein r¨
uckwirkendes Drehmoment M = r × F = −mgd sin ϕ ≈ −mgdϕ (f¨
ur
kleine Auslenkungen). Dieses Drehmoment bewirkt eine Beschleunigung in Richtung
Ruhelage: M = Θϕ.
¨ Wir erhalten Also die Differentialgleichung
ϕ¨ = −
mgd
ϕ
Θ
Diese wird durch eine Kosinusfunktion mit Winkelgeschwindigkeit ω =
r
q
mgd
Θ
gel¨ost:
mgd
· t)
Θ r
mgd
mgd
A cos(
· t)
ϕ¨ = −
Θ
Θ
ϕ = A cos(
Es ergibt sich dadurch der Zusammenhang zwischen Tr¨agheitsmoment und Periodendauer der Schwingung:
s
2π
Θ
TS =
= 2π
ω
mgd
Θ=
T2
gmd
4π 2
In unserem Versuch ergibt sich das Gesamttr¨agheitsmoment aus dem Tr¨agheitsmoment
des Rades ΘR , das zu bestimmen ist, und dem des zus¨atzlichem Gewichtes ΘZ , das sich
durch ΘG = mZ · z 2 berechnet. Außerdem berechnet sich die Schwerpunktsverschiebung
Z
d des Pendels mit dem Schwerpunktsatz durch d = z·m
(mit m = mZ + mR ). Wir
m
k¨onnen nun durch folgende Formel das Tr¨agheitsmoment des Rades bestimmen:
T2
g · m · d − mZ · z 2
4π 2
T2
= ( 2 g − z) · z · mZ
4π
ΘR =
3 Durchfu
¨hrung
3.1 Teil A
Zun¨achst wird die Winkelrichtgr¨oße einer Torsionsfeder durch das Anh¨angen von 6 Massen von 10g bis 60g an ein Rad und das Ablesen der Auslenkung des Rades gemessen.
8
03 - Das Tr¨agheitsmoment
Janjenka Szillat & Robert Czechowski
Danach werden verschiedene Gegegenst¨ande auf der Feder befestigt. Die Gegest¨ande
werden durch Drehung von der Ruhelage ausgelenkt und damit in Schwingung versetzt.
Die Schwingungsdauer wird mit einer Stoppuhr u
¨ber 10 Perioden gemessen.
Schließlich wird noch ein Tischchen“ bei dem das Tr¨agheitsmoment u
¨ber eine Win”
kelregelung verstellbar mithilfe der Torsionsfeder vermessen: F¨
ur Winkel von 0◦ bis 180◦
wird das Tr¨agheitsmoment in Schritten von 15◦ verstellt und dann wie oben die Periode
der Schwingung gemessen.
3.2 Teil B
Hier wird bei einem fahrrad¨ahnlichem Rad zun¨achst an einer Speiche ein zus¨atzliches
Gewicht angebracht. Das Rad wird ausgelenkt und damit in die Schwingung eines Physikalischen Pendels versetzt. Auch hier wird wieder die Schwingunsdauer u
¨ber 10 Perioden
gemessen.
Dann wird die gleiche Messung diametral gegen¨
uber wiederholt.
Nun wird ein Papierstreifen auf dem Rad aufgebracht. Ein Stift zeichnet an der gleichen Stelle alle 0.1s einen Strich auf diesen Papierstreifen. Das Rad wird nun beschleunigt indem auf einem innerem Rad an einem Faden ein Gewicht an einer Seite des Rades
geh¨angt wird, so dass, das Gewicht das Rad fortw¨ahrend andreht. Dies wird mit drei
weiteren Gewichten wiederholt.
4 Auswertung
4.1 Teil A: Winkelrichtgr¨
oße
Die Messung liefert folgende Daten der angeh¨angten Gewichte bei einem Radius von
(8.15 ± 0.05)cm (siehe auch Tabelle 1, Metallscheibe“):
”
Nr. i
angeh¨angte
Drehmoment Winkelausschlag ϕi [◦ ]
ϕi [1]
2 −2
Masse mi [g] Mi [kg m s ]
1
10 ± 1 0.0080 ± 0.0009
26 ± 20 0.5 ± 0.4
20 ± 1 0.0160 ± 0.0009
53 ± 20 0.9 ± 0.4
2
3
30 ± 1 0.0240 ± 0.0009
99 ± 20 1.7 ± 0.4
4
40 ± 1 0.0320 ± 0.0009
155 ± 20 2.7 ± 0.4
5
50 ± 1 0.0400 ± 0.0009
176 ± 20 3.1 ± 0.4
6
60 ± 1 0.0480 ± 0.0009
165 ± 20 2.9 ± 0.4
In Abbildung 1 ist der Winkelausschlag gegen das wirkende Drehmoment aufgetragen.
Man erh¨alt durch die lineare Regression einen Wert f¨
ur die Winkelrichtgr¨oße von D−1 =
−1 −2 2
(70 ± 11)kg m s ⇒ D = (0.0143 ± 0.0023)kg m−2 s−2 .
9
03 - Das Tr¨agheitsmoment
Janjenka Szillat & Robert Czechowski
4
Messdaten
Lineare Regression
3.5
Winkelausschlag ϕ [1]
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
2 -2
Drehmoment T [kg m s ]
Abbildung 1: Winkelausschlag bei angreifendem Drehmoment
4.2 Teil A: Tr¨
agheitsmomente durch Geometrie errechnet
In Tabelle 1 sind die Massen und die geometrischen Eigenschaften der verschiedenen
K¨orper aufgef¨
uhrt. Zusammen mit den in Teil 2.2 bestimmten Formeln lassen sich daraus
die folgenden Tr¨agheitsmomente errechnen:
Rechnung Θi [kg m2 ] Tr¨agheitsmoment
Nr. i
Θi [10−4 kg m2 ]
2 2
2
1
5.45 ± 0.04
R m = 5 (0.05332 ± 0.00016)2 (0.479 ± 0.001)
5
1 2
1
2
2a
4.16 ± 0.11
a
m
=
(0.080
±
0.001)
(0.390
±
0.002)
6
6
1 2
1
2
2b
4.16 ± 0.11
a m = 6 (0.080 ± 0.001) (0.390 ± 0.002)
6
1 2
1
2
3
2.15 ± 0.12
R m = 2 (0.039 ± 0.001) (0.283 ± 0.002)
2
1
1
2
2
2
4a
21.5 ± 0.5
(a + b )m = 12 ((0.500 ± 0.001)
12
+(0.014 ± 0.001)2 )(0.103 ± 0.002)
4b
Θ4a + d2 m
—
1
1
2
2
2
5
4.40 ± 0.08
(R1 + R2 )m = 2 ((0.0444 ± 0.0005)
2
+(0.0509 ± 0.0004)2 )(0.193 ± 0.002)
1 2
R m = 21 (0.0815 ± 0.0005)2 (0.407 ± 0.002)
6
13.52 ± 0.18
2
2
2
2
7
d1 m1 + d2 m2 = ((0.175 ± 0.001)
35.8 ± 0.9
+(0.199 ± 0.002)2 )(0.051 ± 0.001)
10
03 - Das Tr¨agheitsmoment
Janjenka Szillat & Robert Czechowski
Nr. i K¨orper
Masse mi [g] Eigentschaften
Wert
1
Kugel
479 ± 1 Umfang
2a
W¨
urfel
390 ± 2 Kantenl¨ange
(8.0 ± 0.1) cm
2b
durch Ecke
3
Zylinder
283 ± 2 H¨ohe
Durchmesser
(8.0 ± 0.1) cm
(7.8 ± 0.2) cm
4a
Stab
103 ± 2 L¨ange
Breite
Dicke
4b
versetzt
5
Hohlzylinder
6
Metallscheibe
7
Hantel
193 ± 2 Umfang
Dicke
H¨ohe
407 ± 2 Durchmesser
Dicke
102 ± 1 Abstand #1
Abstand #2
(33.5 ± 0.1) cm
(50.1 ± 0.1) cm
(1.4 ± 0.1) cm
(0.5 ± 0.1) cm
(32.5 ± 0.2)
(0.65 ± 0.05)
(3.4 ± 0.1)
(16.3 ± 0.1)
(0.55 ± 0.05)
(17.5 ± 0.1) cm
(19.9 ± 0.2) cm
Tabelle 1: Messdaten der K¨orper
11
cm
cm
cm
cm
cm
Schwingungsdauer 10 · Ti [s]
11.0 ± 1
11.0 ± 1
11.0 ± 1
9.7 ± 1
9.7 ± 1
9.8 ± 1
9.5 ± 1
9.5 ± 1
9.3 ± 1
7.1 ± 1
7.0 ± 1
7.1 ± 1
23.4 ± 1
23.7 ± 1
23.3 ± 1
27.2 ± 1
27.1 ± 1
26.5 ± 1
10.9 ± 1
10.5 ± 1
10.7 ± 1
17.2 ± 1
17.2 ± 1
17.2 ± 1
31.6 ± 1
32.3 ± 1
32.2 ± 1
03 - Das Tr¨agheitsmoment
Janjenka Szillat & Robert Czechowski
4.3 Teil A: Tr¨
agheitsmomente durch Schwingung bestimmt
Diese Werte ergeben sich einfach durch Nutzen der Formel zur Bestimmung des Tr¨agheitsmoments
aus Schwingunsdauer und Winkelrichtgr¨oße.
Nr. i Schwingungsperiode T [s] Tr¨agheitsmoment
Θi [10−4 kg m2 ]
1
1.10 ± 0.03
4.4 ± 0.8
2a
0.97 ± 0.03
3.4 ± 0.8
2b
0.94 ± 0.03
3.2 ± 0.6
0.71 ± 0.03
1.8 ± 0.4
3
4a
2.35 ± 0.03
20 ± 3
4b
2.69 ± 0.03
26 ± 5
5
1.07 ± 0.03
4.1 ± 0.8
6
1.72 ± 0.03
10.7 ± 2.0
3.20 ± 0.03
37 ± 8
7
4.4 Teil A: Tr¨
agheitsellipsoid
Durch die Messdaten ergeben sich mit der Winkelrichtgr¨oße von D = (0.0143±0.0023)kg m−2 s−2
folgende Werte f¨
ur die Tr¨agheitsmomente:
Winkel ϕ Schwingungsperiode T [s] Tr¨agheitsmoment Θi [kg m2 ]
0,0000
0,8600
0,0002679
0,8333
0,0002515
0,2618
0,5236
0,8267
0,0002475
0,7854
0,8700
0,0002742
1,0472
0,9333
0,0003155
1,3090
0,9850
0,0003514
1,0267
0,0003818
1,5708
1,8326
1,0500
0,0003994
2,0944
1,0400
0,0003918
2,3562
1,0100
0,0003695
2,6180
0,9533
0,0003292
0,9033
0,0002956
2,8798
Die Tr¨agheitsmomente sind in Abbildung 2 in Polarkoordinaten aufgef¨
uhrt und mit
einer Ellipse gen¨ahert. Man erh¨alt dabei als Tr¨agheitsmomente der Halbachsen Θa =
(0.000409 ± 0.000007)kg m2 Θb = (0.000262 ± 0.000005)kg m2 und f¨
ur die den Winkel
◦
◦
der Drehung der Ellipse ϕ = 1.90 ± 0.03(≈ 108.9 ± 1.8 )
12
03 - Das Tr¨agheitsmoment
Janjenka Szillat & Robert Czechowski
0.0004
Messwerte
Fit einer Ellipse
2 -2
Drehmoment Ty [kg m s ]
0.0003
0.0002
0.0001
0
0.0001
0.0002
0.0003
0.0004
0.0003
0.0002
0.0001
0
0.0001
2 -2
Drehmoment Tx [kg m s ]
0.0002
0.0003
Abbildung 2: Tr¨agheitsellipsoid
4.5 Teil B: Drehbeschleunigung
Mit einem Lineal werden die Abst¨ande der Punkte von dem Papierstreifen abgelesen.
Diese sind in Abbildung 3 gegen den Zeitpunkt aufgetragen. Man erh¨alt dann folgende
Werte f¨
ur die Steigung der Geraden und die dazugeh¨origen Fehler, aus denen man direkt
a
bestimmen kann.
die Winkelbeschleunigung u
¨ber α = Ra = (0.213±0.001)m
Nr. i angeh¨angte Masse Beschleunigung Winkelbeschleunigung
mi [g]
ai [cm s−1 ]
αi [s−1 ]
1
100 ± 1
1.077 ± 0.023
5.06 ± 0.11
2
200 ± 1
2.707 ± 0.025
12.71 ± 0.12
3
500 ± 1
7.66 ± 0.08
36.0 ± 0.4
1000 ± 1
15.81 ± 0.17
74.2 ± 0.8
4
Dabei l¨asst sich das Drehmoment jeweils u
ber
¨
M =F ·r =m·g·r
berechnen, der dazugeh¨orige Fehler betr¨agt
s 2
2
p
∂M
∂M
2
2
2 · g 2 · r 2 + σ 2 · m2 · g 2
σM = σm
+ σr
= σm
r
∂m
∂r
13
03 - Das Tr¨agheitsmoment
Janjenka Szillat & Robert Czechowski
16
100g
200g
500g
1000g
100g
200g
500g
1000g
14
Wegaenderung ∆s [cm]
12
10
8
6
4
2
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Zeit t [s] (+Konstante)
Abbildung 3: Messdaten der Radbeschleunigung
Man erh¨alt so bei dem Radius von r = (0.0621 ± 0.0016)m folgende Drehmomente, aus
direkt Werte f¨
ur das Tr¨agheitsmoment folgen:
denen dann mit Θ = M
α
Nr. i
Drehmoment Tr¨agheitsmoment
Mi [kg m2 s− 2]
Θi [kg m2 ]
1
0.609 ± 0.016
0.120 ± 0.005
2
1.22 ± 0.04
0.096 ± 0.003
3.05 ± 0.08
0.0847 ± 0.0025
3
4
6.09 ± 0.16
0.0821 ± 0.0023
4.6 Teil B: Physikalisches Pendel
Man erh¨alt als Mittelwert der Schwingungsdauer einen Wert von T = (2.66 ± 0.04)s.
Zusammen nach mit dem Abstand des Zusatzgewichtes z = (0.155 ± 0.005)m und seiner
Masse mZ = 0.260 ± 0.001 erh¨alt man nach der Formel ein Drehmoment von
ΘR = (
T2
g − z) · z · mZ = (0.0646 ± 0.0026)kg m2
2
4π
14
03 - Das Tr¨agheitsmoment
Janjenka Szillat & Robert Czechowski
5 Diskussion
5.1 Teil A
Zun¨achst ist anzumerken, dass die Winkelrichtgr¨oße in diesem Versuch nur sehr schwer
zu bestimmten war, da die Position des Rades nicht feststellbar gewesen ist. Daher wurde
das Rad bei der Messung immer wieder verschoben und so augenscheinlich falsche Winkel
abgelesen.
Trotz dieser ungenauen Messung der Winkelrichtgr¨oße f¨allt jedoch auf, dass die die
u
¨ber die Schwingung und mit Winkelrichtgr¨oße gemessenen Werte ziemlich gut mit den
durch die Geometrie der Objekte errechneten Werte u
¨bereinstimmen: Die Abweichungen betragen zwar zwischen 5% und 20%, sind aber trotzt der stark unterschiedlichen
Geometrien und Werte in keinem Fall gr¨oßer als 20%.
Man sieht auch, dass die Messdaten des Tr¨agheitsellipsoides des Tischchen“ die Form
”
einer Ellipse annehmen.
5.2 Teil B
Bei den in diesem Versuchsteil ermitteltelten Werten sieht man, das das errechnete
Tr¨agheitsmoment umso kleiner geworden ist, je gr¨oßer man die angeh¨angte Masse gew¨ahlt
hat, und dass sich die Werte immer mehr dem Tr¨agheitsmoment angen¨ahert haben, das
man u
¨ber das Physikalische Pendel bestimmt hat.
Dies k¨onnte darauf zur¨
uckzuf¨
uhren sein, dass die Reibung des Rades (die bei dem
Physikalischen Pendel erstaunlich stark ausgefallen ist) umso weniger ins Gewicht f¨allt,
je st¨arker das Rad beschleunigt wird, da die Reibung ja meistens proportional zur Geschwindigkeit ist und damit bei kleinen Geschwindigkeiten aber starken Beschleunigungen am geringsten auff¨allt.
6 Literatur
Zur Herleitung der Formeln wurde auf folgende Werke zur¨
uckgegriffen:
• Hans J. Paus: Physik in Experimenten und Beispielen. Carl Hanser Verlag, M¨
unchen
2007. ISBN 978-3-446-41142-5
7 Anhang
Der Anhang enth¨alt zwei Seiten Messdaten.
15