Probeklausur_1

Prof. Dr. Bernhard Steffen
Dawid Kopetzki
Repetitorium zur Vorlesung
Mathematik fu¨r Informatiker 1
Sommersemester 2015
Probeklausur Nr. 1
Information
Diese Aufgaben dienen als Grundlage zur Wiederholung und Vertiefung der
Themen der Vorlesung ”Mathematik f¨
ur Informatiker 1”. Dies ist die erste von
zwei Probeklausuren. Um die Studienleistung zu erlangen, muss zu jedem Themengebiet eine Abgabe erfolgen. Die Aufgaben verteilen sich folgendermaßen
auf die Themengebiete:
• Aufgaben 1-3: Teil 1 (Abgabe am 06.05.2015)
• Aufgaben 4-6: Teil 2 (Abgabe am 03.06.2015)
• Aufgaben 7-9: Teil 3 (Abgabe am 01.07.2015)
• Aufgabe 10: Bonus
¨
Die Abgabe erfolgt in den Ubungen
zu den oben genannten Terminen.
Aufgabe 1 (Aussagen und Mengen)
[4+3+3 = 10 Punkte]
Die folgende Gesetzm¨
aßigkeit kann als Variante eines Widerspruchsbeweises gesehen werden:
(A ⇒ B) ∧ (A ⇒ ¬B) ⇒ ¬A
(WB)
Die Implikation A ⇒ B ist hierbei wie u
¨blich u
¨ber die Standardoperatoren definiert:
A ⇒ B =df
¬A ∨ B
1. Beweisen Sie die G¨
ultigkeit von (WB), indem Sie zeigen, dass (WB) semantisch ¨aquivalent zu T ist.
Verwenden Sie hierzu die in der Vorlesung eingef¨
uhrten Gesetze der Aussagenlogik (Kommutativit¨
at,
Assoziativit¨
at, Absorption, Distributivit¨at, Negation, Idempotenz, Doppelnegation, De Morgan, Neutralit¨
at). Machen Sie bei jeder Umformung die verwendeten Regeln kenntlich.
2. Zeigen Sie die G¨
ultigkeit von (WB) mit Hilfe einer Wahrheitstafel.
3. Geben Sie die folgenden Mengen explizit an.
(a) P({1, 2, 3}) ∆ P({2, 3, 4})
(b) P(∅)
(c) P({∅, {∅}})
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Aufgabe 2 (Relationen und Funktionen)
[4+2+4 = 10 Punkte]
1. Gegeben sei die Menge A = {1, 2, 3, 4, 5} und die Relation R ⊆ A × A mit
R = {(1, 4), (2, 5), (5, 3)}
¨
(a) Geben Sie die kleinste Aquivalenzrelation
R∼ mit R ⊆ R∼ an. Erl¨autern Sie ihr Vorgehen bei
der Konstruktion von R∼ .
¨
(b) Geben Sie die zur Partition P = {{1, 4}, {2, 3, 5}} zugeh¨orige Aquivalenzrelation
an.
2. Sei v folgende Relation auf N × N:
(n, m) v (n0 , m0 ) ⇔df n ≤ n0 ∨ m ≤ m0 .
Handelt es sich bei v um eine Quasiordnung? Beweisen oder widerlegen Sie.
3. Sind folgende Funktionen injektiv und/oder surjektiv, bijektiv? Begr¨
unden Sie ihre Antwort.
(a) f : N → Z mit f (x) = (−1)x · x
(b) g : Z → N mit g(x) = |x|
(c) g ◦ f : N → N mit f, g wie in Teil a) und b) definiert.
(d) f ◦ g : Z → Z mit f, g wie in Teil a) und b) definiert.
Aufgabe 3 (Induktion)
[5+5 = 10 Punkte]
1. Zeigen Sie durch vollst¨
andige Induktion, dass f¨
ur alle nat¨
urlichen Zahlen n ∈ N gilt:
n
X
i · i! = (n + 1)! − 1.
i=0
2. Zeigen Sie durch verallgemeinerte Induktion, dass f¨
ur alle nat¨
urlichen Zahlen n ∈ N mit n ≥ 12 gilt:
∃ k, l ∈ N. n = 4 · k + 5 · l.
Hinweis: F¨
uhren Sie den eigentlichen Induktionsschluss f¨
ur den Fall n ≥ 16.
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Aufgabe 4 (Verb¨
ande)
[5+5 = 10 Punkte]
1. Im Folgenden sind drei partielle Ordnungen in Form ihrer zugeh¨origen Hasse-Diagramme angegeben.
Welche dieser partiellen Ordnungen ist ein Verband bzw. ein distributiver Verband? Falls die partielle
Ordnung kein Verband oder kein distributiver Verband ist, zeigen Sie dieses durch den Nachweis, dass
eine entsprechende Eigenschaft eines Verbandes bzw. eines distributiven Verbandes verletzt wird.
a)
c)
b)
h
g
f
e
d
e
d
c
b
f
f
c
b
a
e
d
c
b
a
a
h
g
2. Sei (V1 , 1 ) =df (N, |) der Verband der nat¨
urlichen Zahlen mit Teilbarkeitsbeziehung und sei
(V2 , 2 ) =df (P(N), ⊆) der bekannte Potenzmengenverband nat¨
urlicher Zahlen. Wir betrachten die
Abbildung:
h : V1 → V2
h(n) = {m ∈ N | m|n}
Also wird eine nat¨
urliche Zahl n auf die Menge ihrer Teiler abgebildet.
Zeigen oder widerlegen Sie:
(a) h ist ein Ordnungshomomorphismus.
(b) h ist ein f-Homomorphismus.
(c) h ist ein g-Homomorphismus.
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Aufgabe 5 (Algebraische Strukturen)
[3+(5+2) = 10 Punkte]
1. Auf der Menge R der reellen Zahlen sei die zweistellige Operation ◦ definiert durch
a ◦ b =df 2a+b
f¨
ur alle a, b ∈ R.
Zeigen Sie: hR, ◦i ist keine Halbgruppe.
2. Das Zentrum Z(G) einer Gruppe hG, ◦i ist definiert als:
Z(G) =df {g ∈ G | x ◦ g = g ◦ x f¨
ur alle x ∈ G} ⊆ G
(a) Zeigen Sie: hZ(G), ◦i ist abelsche Untergruppe von hG, ◦i
(b) Bestimmen Sie Z(S3 ) f¨
ur die bekannte symmetrische Gruppe S3 .
Aufgabe 6 (Gruppen und Matrizen)
[8 Punkte]
Sei M ⊆ R4×4 die Menge der Matrizen

A(a1 , a2 , a3 ) =df
1
a1

a2
a3

0 0 0
1 0 0

0 1 0
0 0 1
mit a1 , a2 , a3 ∈ R.
Zeigen Sie, dass M mit der Matrixmultiplikation eine kommutative Gruppe ist.
Hinweis: Die Assoziativit¨
at der Matrixmultiplikation quadratischer Matrizen kann als bekannt vorrausgesetzt werden.
Aufgabe 7 (Basis eines Vektorraums)
[3+7= 10 Punkte]
Gegeben sind die Untervektorr¨
aume U = {(x1 , x2 , x3 , x4 )t ∈ R4 | x1 + 2x2 = x3 + 2x4 } und V =
t
4
{(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R | x1 = x2 + x3 + x4 } des Vektorraums R4 .
1. Geben Sie jeweils eine Basis f¨
ur U und V an. Der Nachweis der Basiseigenschaft ist nicht erforderlich.
2. Geben Sie eine Basis f¨
ur U ∩ V an. Beweisen Sie die Basiseigenschaft!
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Aufgabe 8 (Lineare Abbildungen und Rang)
[3+5+2 = 10 Punkte]
Sei die lineare Abbildung ϕ : R4 → R5 gegeben durch:


 
0
x1


x2 − x3


x2 




−2 x2 + 2 x3
ϕ( ) = 

x3
 2 x1 + x2 + x3 + x4 
x4
−x1 − x3 + 2 x4
1. Geben Sie die darstellende Matrix A ∈ R5×4 zu ϕ an, also diejenige mit
ϕ(~x) = A · ~x
f¨
ur alle ~x ∈ R4 .
2. Bestimmen Sie den Rang von ϕ, indem Sie den Rang von A berechnen.
3. Ist ϕ injektiv? Ist ϕ surjektiv? Begr¨
unden Sie Ihr Urteil.
Aufgabe 9 (Inverse einer Matrix)
Bestimmen Sie die Inverse (sofern existent) f¨
ur die Matrix

4 2
A =df 3 0
4 1
[5+5 = 10 Punkte]

1
3
2
1. u
orper R und
¨ber dem K¨
2. u
orper Z5
¨ber dem K¨
durch Gauß-Elimination. Geben Sie dabei die verwendeten elementaren Zeilentransformationen an.
Aufgabe 10 (Wissensfragen)
[12 Punkte]
Hinweis: Pro richtiger Antwort (Ja/Nein) gibt es einen Punkt. Begr¨
unden Sie eine Ihrer Ja“-Antworten (2
”
Zusatzpunkte) und eine Ihrer Nein“-Antworten (2 Zusatzpunkte) ausf¨
uhrlich. Machen Sie kenntlich, welche
”
Antwort Sie begr¨
undet haben. Sofern es mehrere Begr¨
undungen gibt, wird die erste Begr¨
undung bewertet.
1. Seien A und B endliche Mengen. Dann gilt |A∆B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
¨
2. Jede Aquivalenzrelation
R ⊆ M × M ist auch eine Quasiordnung.
3. Es gibt einen Booleschen Verband, der nicht auch vollst¨andiger Verband ist.
4. In einem kommutativen Ring ist jeder Unterring bereits ein Ideal.
5. Das kartesische Produkt zweier K¨
orper ist wieder ein K¨orper.1
6. In einem K¨
orper K gilt f¨
ur jedes Ideal I in K, das das Einselement enth¨alt, I = K.
7. Die Menge der Basen des Vektorraums R3 ist unendlich.
8. Ein Vektorraum kann h¨
ochstens endlich viele Untervektorr¨aume besitzen.
1
Wobei die additive und multiplikative Verkn¨
upfung durch komponentenweise Anwendung der beteiligten
K¨
orperoperationen festgelegt ist.
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