Vorlesung Algorithmen für planare Graphen

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Vorlesung Algorithmen für planare Graphen
¨
Graphen-Farben
Vorlesung am 29.04.2015
¨ T HEORETISCHE I NFORMATIK · P ROF. D R . D OROTHEA WAGNER
I NSTITUT F UR
¨ des Landes Baden-Wurttemberg
KIT – Universitat
und
¨
nationales Forschungszentrum
Helmholtz-Gemeinschaft
Algorithmen
fur
Sommersemester
2015
¨ Planare Graphenin– der
Institut fur
Informatik
¨ Theoretische
www.kit.edu
Prof. Dr. Dorothea Wagner
Gesehen:
¨
Planare Graphen sind 5-farbbar.
Jetzt:
¨
Planare Graphen sind 5-listen-farbbar.
¨
Instanz von Listenfarbung:
Graph G = (V , E)
Liste Sv von Farben fur
¨ jedes v ∈ V
¨
Lasst
sich jedem Knoten v eine Farbe aus Sv zuordnen, sodass G korrekt
¨
gefarbt
ist?
¨
Ein Graph ist k -listen-farbbar,
wenn das obige Probleme fur
¨ jede Familie
¨
(Sv )v ∈V mit |Sv | = k fur
ist.
¨ all v ∈ V losbar
Algorithmen fur
¨ Planare Graphen – Sommersemester 2015
Institut fur
¨ Theoretische Informatik
Prof. Dr. Dorothea Wagner
Satz
¨
Jeder planare Graph ist 5-listen-farbbar.
Beweis: Beweise Induktionsinvariante fur
¨ alle Graphen mit mindestens drei
Knoten.
G planarer Graph
innere Facetten Dreiecke
¨
Außere
Facette durch Kreis C = v1 · · · vk v1 begrenzt
¨
v1 mit Farbe 1 gefarbt
¨
v2 mit Farbe 2 gefarbt
Jeder Knoten auf C ist mit Liste assoziiert, die mindestens drei Farben
¨
enthalt.
¨
Knoten aus G − C haben mindestens funf
Farben.
¨ mogliche
¨
¨
¨
Dann lasst
sich die Farbung
von v1 und v2 zu einer Farbung
von G aus den
gegebenen Listen erweitern.
Algorithmen fur
¨ Planare Graphen – Sommersemester 2015
Institut fur
¨ Theoretische Informatik
Prof. Dr. Dorothea Wagner
Es gibt eine Sehne:
v1
v2
Es gibt keine Sehne:
vk −1
vk
v1
v2
¨
¨
Farbe
erst den Teil der v1 v2 enthalt.
Reserviere zwei Farben von vk aus den
Listen seiner Inneren Nachbarn.
¨
Farbe
dann den anderen Teil, gib
dabei Farben der Sehnenknoten vor.
¨
Farbe
Rest induktiv, vk −1 kann nicht
beide reservierten Farben verbrauchen.
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¨ Planare Graphen – Sommersemester 2015
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¨ Theoretische Informatik
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Satz
¨
Es gibt planare Graphen, die nicht 4-listen-farbbar
sind.
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¨ Planare Graphen – Sommersemester 2015
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Satz
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Es gibt planare Graphen, die nicht 4-listen-farbbar
sind.
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123
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5,6,7,8
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234
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69 Knoten, lasst
sich verbessern zu 63
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