TD 21 - Maths en PCSI

M.Bousquet - Lycée Camille Vernet
PCSI - 2014-2015
TD 21 : Probabilité
Exercice 1 : On considère des évènements A, B, C d’un univers Ω. Décrire à l’aide d’opérations sur les ensembles
les évènements suivants :
1. Les évènements B et C sont réalisés mais pas A.
2. L’un des évènements A, B est réalisé.
3. Aucun des trois ne se réalisent.
4. Un et un seul des évènements A, B, C est réalisé.
5. L’un au plus des évènements A, B, C se réalisent.
Exercice 2 : Soit A, B des évènements d’un espace probabilisé (Ω, P).
1. Soit C l’évènement "Soit A, soit B se réalise (mais pas les deux ensembles)". Traduire ensemblistment C.
2. Montrer que P(C) = P(A) + P(B) − 2P(A ∩ B)
Exercice 3 : Déterminer une probabilité sur Ω = J1, nK telle que l’évènement {k} soit proportionnelle à k 2 .
Exerice 4 : Soit (Ω, P) un espace probabilisé et A un évènement. On suppose que A est indépendant avec
lui-même. Que vaut P(A) ?
Exercice 5 : On jette un dé deux fois. On suppose qu’il n’est pas pipé. On considère les trois évènements
suivants.
A : Obtenir au deuxième jet un 1, un 2 ou un 5.
B : Obtenir au deuxième jet un 4, un 5 ou un 6.
C : Obtenir un total de 9 en faisant la somme des deux jets.
Ces évènements sont-ils indépendants ?
Exercice 6 : On compose un numéro de téléphone à 10 chiffres.
1. Quelle est la probabilité que tous les chiffres soient distincts ?
2. Quelle est la probabilité qu’il commence par 01 ?
3. Quelle est la probabilité que ses chiffres forment une suite strictement croissante ?
Exercice 7 : On tire 8 cartes simultanément et au hasard dans un jeu de 32 cartes. Quelle est la probabilité pour
que figurent (exactement) 2 as parmi ces 8 cartes ? 3 piques ? 2 as et 3 piques ? 2 as ou 3 piques ?
Exercice 8 : Une urne contient 10 boules numérotées de 1 à 10. On tire trois fois de suite une boule avec
remise. Quelle est la probabilité d’obtenir trois nombres
1. dans un ordre strictement croissant ?
2. dans un ordre croissant ?
Exercice 9 : Une urne contient 15 boules : une noire, 5 blanches et 9 rouges.
1. On tire simultanément et au hasard trois boules de cette urne. Calculer la probabilité des évènements
suivants :
(a) A : "le tirage est tricolore"
(b) B : "parmi les boules tirées figurent exactement une noire et au moins une rouge"
(c) C : "les trois boules tirées sont de la même couleur"
2. On suppose que le tirage s’effectue successivement avec remise. Déterminer les probabilités des évènements
A, B et C définis ci-dessus.
Exercice 10 : Une boite contenant deux boules : une noire et une rouge.
On tire n fois une boule dans cette boite en la remettant après avoir noté sa couleur. On note An l’évènement
"on obtient des boules des deux couleurs au cours des n tirages". et Bn l’évènement "on obtient au plus une boule
noire".
1
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1. Calculer P(An ) et P(Bn ).
2. Pour quelle valeur de n, An et Bn sont-ils indépendants ?
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Exercice 11 : Soit n ∈ N∗ un entier naturel non nul. On effectue n lancers indépendants d’une pièce pour laquelle
la probabilité d’obtenir pile est p, avec p ∈]0, 1[. On pose q = 1 − p.
1. Quelle est la probabilité d’obtenir au moins une fois pile ?
2. Quelle est la probabilité qu’au cours de ces n lancers face ne soit jamais suivi de pile.
Exercice 12 : Un fumeur a, dans chacune de ses poches, une boite comprenant N allumettes. Chaque fois qu’il
désire fumer une cigarette, il choisit une poche au hasard et tire une allumette au hasard parmi celles présentes
dans la poche sans la remettre.
1. Quelle est la probabilité pour que lorsqu’il prend la dernière allumette d’une boîte, l’autre boite contienne x
allumettes ?
2. Quelle est la probabilité pour que le fumeur se rendant compte pour la première fois qu’une boite est vide,
l’autre boîte contienne encore x allumettes ?
Exerice 13 : Une compagnie d’assurance automobile a classé ses assurés en trois catégories d’âge : moins de 25
ans, de 25 ans à 50 ans, plus de 50 ans. Le tableau ci-dessous fournit deux informations la proportion d’assurés
appartenant à chaque classe et la probabilité qu’un assuré, d’une classe donnée déclare au moins un accident au
cours de l’année.
Classe
proportion probabilité
moins de 25 ans
0.25
0.12
de 25 à 50 ans
0.53
0.06
plus de 50 ans
0.22
0.09
1. Un assuré est tiré au hasard dans le fichier de la compagnie. Quelle est la probabilité qu’il at au moins déclaré
un accident au cours de l’année ?
2. Quelle est la probabilité qu’un assuré ayant déclaré un accident au cours de l’année soit âgé d’au plus 25
ans.
3. Quelle est la probabilité pour qu’un assuré âgé de 25 ans ou plus ait eu au moins un accident au cours de
l’année.
4. Quelle est la probabilité qu’un assuré n’ayant déclaré aucun accident soit âgé de 25 à 50 ans.
Exercice 14 : Dans une usine, on fabrique des composants électroniques sur trois machines. Les machines M1 ,
M2 et M3 produisent respectivement 50%, 30% et 20% des composants.
Le qualiticien de l’usine estime que :
– 2% des composants fabriqués par la machine M1 sont défectueux.
– 3% des composants fabriqués par la machine M2 sont défectueux.
– 5% des composants fabriqués par la machine M3 sont défectueux.
1. Calculer la probabilité qu’un composant pris au hasard à la sortie de l’usine soit défectueux ?
2. Quelle est la probabilité d’obtenir une pièce défectueuse provenant de M1 ? Les évènements "la pièce est
défectueuse" et "la pièce provient de M1 " sont-ils indépendants ?
3. Un composant est défectueux. Quelle est la probabilité pour qu’il provienne de M1 ?
Exercice 15 : On étudie au cours du tems le fonctionnement d’un appareil obéissant aux règles suivantes :
1
– Si l’appareil fonctionne à l’instant n − 1 (n ∈ N∗ ), il a la probabilité d’être en panne à l’instant n.
6
2
– Si l’appareil est en panne à l’instant n − 1, il a la probabilité d’être en panne à l’instant n.
3
On note pn la probabilité que l’appareil soit en état de marche à l’instant n.
1. Etablir pour tout n ∈ N une relation entre pn et pn−1 .
2. Exprimer pn en fonction de p0 .
3. Etudier la convergence de la suite (pn ).
Exercice 16 : On dispose de deux dés A et B. Le dé A a quatre faces rouges et deux faces blanches. Le dé B a
deux faces rouges et quatre faces blanches. On lance une pièce de monnaie telle que la probabilité d’obtenir pile
soit de 1/3.
2
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– Si on obtient pile, on décide de jouer uniquement avec le dé A.
– Si on obtient face, on décide de jouer uniquement avec le dé B.
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1. Calculer la probabilité d’obtenir rouge au premier coup.
2. On a obtenu rouge aux deux premiers coups. Calculer la probabilité d’obtenir rouge au troisième coup.
3. On a obtenu rouge aux n premiers coups (n ∈ N∗ ). Calculer la probabilité pn d’avoir utilisé le dé A.
1
1
Exercice 17 : d’une population a été vacciné. Parmi les vaccinés, on compte
de malades. Parmi les malades,
4
12
il y a 4 non vaccinés pour un vacciné. Quelle est la probabilité pour un non vacciné de tomber malade ?
Exercice 18 : Un laboratoire a mis au point un alcooltest dont les propriétés sont décrites ci-dessous :
- Il se révèle positif pour quelqu’un qui n’est pas en état d’ébriété dans 2% des cas.
- Il se révèle positif pour quelqu’un en état d’ébriété dans 96%
Dans un département, on sait que 3% des automobilistes sont en état d’ébriété. Si le controle se révèle positif
quelle est la probabilité que ce conducteur ne soit pas malgré tout en état d’ébriété ?
Exercice 19 : Une urne contient n boules blanches et n boules noires. On effectue des tirages successifs d’une
boule.
1. On suppose que les tirages sont avec remise.
(a) Déterminer la probabilité que la k ieme boule tirée soit blanche sachant que les (k-1) premières boules
obtenues sont blanches.
(b) Quelle est la probabilité que les k premières boules tirées soient blanches ?
2. Même question dans le cas où les tirages sont sans remise.
Exercice 20 : On dispose de trois pièces, la première fait pile avec la probabilité 0.1, la seconde avec la probabilité
0.4 et la troisième avec la probabilité 0.6. On choisit au hasard l’une des pièces et on la lance trois fois.
Déterminer la probabilité qu’on ait lancé la première pièce sachant qu’on a obtenu 2 fois pile et une fois face.
Exercice 21 : Au moment où chacun possède un tiers du marché de la téléphonie mobile, trois opérateurs
A, B et C décident de mettre sur le marché un nouveau type de forfait annuel. A la fin de l’année, l’évolution des
parts de marché se fait de la façon suivante :
– Les clients de la compagnie A se répartissent indifféremment entre A, B et C l’année suivante.
– Les clients de la compagnie B restent toujours fidèles à cette compagnie.
– Les clients de la compagnie C seront l’année suivante clients de A avec une probabilité 1/12, de B avec une
probabilité 7/12 et de C avec une probabilité 1/3.
On note pour n ∈ N, an , bn et cn les probabilités qu’à l’issue de la nieme année, un consommateur décide de
s’abonner chez A, B ou C pour l’année suivante.
1. Déterminer une relation de récurrence entre an , bn , cn et an+1 , bn+1 et cn+1 .
2. En déduire a1 , b1 , c1 .
3. Déterminer une relation entre an+2 , an+1 et an . Faire de même avec cn+2 , cn+1 , cn .
4. En déduire l’expression de an , bn et cn en fonction de n et déterminer la limite de ces suites.
Exercice 22 : Une particule se déplace à chaque seconde d’un sommet à l’autre du triangle (ABC) selon le
protocole suivant :
– Lorsqu’à un instant donné, elle se situe en A, elle se fixe à l’instant suivant en B avec la probabilité 0.75 et
en C avec la probabilité 0.25.
– Lorsqu’à un instant donné, elle se situe en B, elle se fixe à l’instant suivant en A avec la probabilité 0.75 et
en C avec la probabilité 0.25.
– Lorsqu’à un instant donné, elle se situe en C, elle ira systématiquement en B à l’instant suivant.
On désigne par an , bn et cn les probabilités qu’à l’instant n, la particule se situe en A, B ou C.
1. Déterminer les relations de récurrence entre an+1 , bn+1 , cn+1 et an , bn , cn .
2. En déduire l’existence d’une matrice carrée d’ordre 3, notée M telle que :




an+1
an
 bn+1  = M  bn 
cn+1
cn
3
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



an
a0
Puis que  bn  = M n  b0 .
cn
c0


12 3
1
3. Soit P la matirce  16 −1 −1 . Montrer que P est inversible et calculer P −1 M P .
7 −2 0
4. En déduire l’expression en fonction de n, de M n puis de an , bn et cn .
5. Calculer les limites quand n tend vers +∞ de an , bn et cn .
4