Corrige fr5 proba loi de densite
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Probabilités, loi de densité Exercice 1 : Albert est un marin participant à une course à la voile en solitaire. Son bateau est très rapide, mais fragile en cas de tempête. Les prévisions météo permettent d’estimer que, durant la course, la probabilité qu’une tempête survienne est égale à 0,05. En cas de tempête, on estime que la probabilité qu’Albert soit vainqueur de la course est de 0,02. En revanche, si aucune tempête ne survient, la probabilité de victoire d’Albert est de 0,8. On considère les évènements : T : « une tempête survient pendant la course » V : « Albert est vainqueur de la course » T et V les évènements contraires respectifs des évènements T et V. 1. Traduire la situation par un arbre probabiliste On a : . 3. Montrer que la probabilité qu’Albert remporte la course est égale à 0,761. Les évènements T et T forment une partition de l’univers donc, d’après la formule des probabilités totales, on a p(V ) p(T V ) p(T V ) 0,001 0,95 0,8 0,761 Donc la probabilité qu’Albert remporte la course est égale bien à 0,761. 4. Calculer la probabilité qu’une tempête soit survenue sachant qu’Albert a gagné la course. On donnera le résultat arrondi à 104 . On a p(T V ) p(V ) 0,001 0,0013 0,761 pV T Donc la probabilité qu’une tempête soit survenue sachant qu’Albert a gagné la course est de 0,0013. Exercice 2 : Une entreprise fabricant des alarmes pour voiture possède trois usines de fabrication située à Bordeaux, Grenoble et Lille. Un contrôle de qualité est fait chaque mois sur les trois sites pour déterminer le nombre d’alarmes défectueuses ou non. Le mois dernier, on a obtenu les résultats suivants : 2. Quelle est la probabilité de l’évènement : « Une tempête survient et Albert est vainqueur de la course » ? On a p(T V ) 0,05 0,02 0,001 Donc la probabilité de l’évènement : « Une tempête survient et Albert est vainqueur de la course » est 0,001. Site de Bordeaux Site de Grenoble Site de Lille Total Défectueuses 160 66 154 380 En bon état 3200 1200 3500 7900 Total 3360 1266 3654 8280 1. Compléter le tableau précédent. 2. On choisit une alarme au hasard produite le mois dernier. On considère les évènements B « l’alarme provient du site de Bordeaux », G « l’alarme provient du site de Grenoble », L « l’alarme provient du site de Lille » et D « l’alarme est défectueuse ». On arrondira les résultats à 103 . a) Calculer p( B) et p( D) . 3360 380 0, 406 et p( D) 0,046 . Donc la probabilité que 8280 8280 l’alarme provienne du site de Bordeaux est 0,406 et celle que l’alarme soit défectueuse est 0,046. b) Traduire par une phrase l’évènement B D puis calculer sa probabilité. B D : « l’alarme est défectueuse et fabriquée à Bordeaux »et , 160 p ( B D) 0,019 . Donc la probabilité que l’alarme soit défectueuse et 8280 qu’elle provienne de Bordeaux est 0,019. c) Calculer pB ( D) . On a p( B) 160 0,048 . Donc la probabilité que l’alarme soit défectueuse 3360 sachant qu’elle provient du site de Bordeaux est 0,048. 3. Lequel des trois sites semble être le plus efficace en terme de qualité de production ? Justifier. On a pG ( D) 0,052 et pL ( D) 0,042 On a pB ( D) 2. Quelle est la valeur prise par X lorsque M = O ? lorsque M = A ? Lorsque M = O, X prend la valeur 0 et lorsque M = A, X prend la valeur 8 car c’est la moitié de l’aire du carré. 3. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X ? Justifier. Le point M se plaçant de façon aléatoire sur le segment [ AO ], X prend donc un valeur aléatoire entre 0 et 8 donc elle suit la loi uniforme sur [ 0 ; 8 ]. 4. Calculer la probabilité de l’évènement X < 4. En déduire la position du point M tel que X = 4 et vérifier en calculant l’aire du triangle dans ce cas. On a P( X 4) 40 1 80 2 La probabilité de l’évènement X < 4 est donc de M est au milieu de [ AO ]. Donc c’est le site de Lille qui semble être le plus efficace en terme de qualité de production car c’est pour celui-ci que la probabilité d’avoir une alarme défectueuse est la plus faible. La longueur diagonale d’un carré de côté a est égale à a 2 donc, ici, on a OB 4 2 2 2 et, 2 MM ' OA 2 2 Exercice 3 : ABCD est un carré de centre O et de côté 4 cm. On place de façon aléatoire un point M sur le segment [OA] puis, on construit son symétrique M’ par rapport au point O, qui appartient au segment [OC]. On appelle X la variable aléatoire égale à l’aire du triangle BMM’, éventuellement aplati. 1. Faire une figure. 1 ce qui signifie que X = 4 lorsque 2 D’où, X OA OB 2 2 2 2 4 2 2 5. Quelle est l’espérance de X. On a E ( X ) 08 4 . Donc l’espérance de X est égale à 4 cm². 2 Exercice 4 : Le prix moyen d’un ustensile de cuisine est égal à 6,80€. On appelle X la variable aléatoire égale à l’écart entre ce prix moyen et les prix constatés dans l’ensemble des magasins en France. La variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite N ( 0 ; 1) 1. Calculer P( X 1,2) et interpréter ce résultat. On a P( X 1,2) 0,115 Exercice 5 : Une étude effectuée sur un groupe de jeunes enfants a montré que l’âge de l’apparition des premiers mots suit la loi normale d’espérance 12,1 mois et d’écarttype 3,4 mois. 1. Déterminer la probabilité qu’un enfant pris au hasard dans ce groupe ait prononcé ses premiers mots : a) avant 10 mois. On a P( X 10) 0,268 . Donc la probabilité qu’il prononce ses premiers mots avant 10 mois est de 0,268. b) après 18 mois. On a P( X 18) 0,041 . Donc la probabilité qu’il prononce ses premiers mots après 18 mois est 0,041. c) entre 8 et 16 mois. On a P(8 X 16) 0,76 . Donc la probabilité qu’il prononce ses premiers La probabilité que le prix constaté de l’article soit supérieur à 8€ est 0,115. 2. Calculer P( X 0,7) et interpréter ce résultat. On a P( X 0,7) 0,242 mots entre 8 mois et 16 mois est 0,76. 2. Sachant qu’un enfant n’a toujours pas prononcé ses premiers mots à l’âge de 10 mois, quelle est la probabilité qu’il les prononce avant l’âge de 15 mois ? P X 10 X 15 P(10 X 15) On a P X 10 ( X 15) P( X 10) P( X 10) Or, P(10 X 15) 0,53475 et P( X 10) 0,7316 D’où, P X 10 ( X 15) 0,53475 0,731 0,7316 Donc la probabilité qu’il prononce ses premiers mots avant 15 mois sachant qu’il ne les a pas prononcés avant ses 10 mois est de 0,731. La probabilité que le prix constaté de l’article soit inférieur à 6,10€ est 0,242. 3. A quelle fourchette de prix constatés correspond l’intervalle I tel que P( X I ) 0,95 ? Comme X suit la loi normale centrée réduite, on sait que P(1,96 X 1,96) 0,95 donc pour que P( X I ) 0,95 , il faut que le prix constaté appartienne à l’intervalle 4,84 ; 8,76 . Exercice 6 : La masse de pistaches mises en sac par une machine est normalement distribuée, avec une espérance de 265g et un écart-type de 7g. Quelle masse devrait être inscrite sur le paquet de telle sorte qu’environ 3 paquets sur 1000 pèsent moins que cette valeur ? On cherche la masse M telle que P(M X ) 0,003 . A l’aide de la calculatrice, on a Donc il faut afficher 246g sur le paquet.