Devoir surveillé: no 11

TS2 – Le 18 mai 2015
Devoir surveillé: no 11
Exercice 1
Les parties A B et C peuvent être traitées indépendamment les unes des autres
Une boulangerie industrielle utilise une machine pour fabriquer des pains de campagne pesant en
moyenne 400 grammes. Pour être vendus aux clients, ces pains doivent peser au moins 385 grammes.
Un pain dont la masse est strictement inférieure à 385 grammes est un pain non-commercialisable, un
pain dont la masse est supérieure ou égale à 385 grammes est commercialisable.
La masse d’un pain fabriqué par la machine peut être modélisée par une variable aléatoire X suivant la
loi normale d’espérance µ = 400 et d’écart-type σ = 11.
Les probabilités seront arrondies au millième le plus proche
Partie A
On pourra utiliser le tableau suivant dans lequel les valeurs sont arrondies au millième le plus proche ou utiliser
une calculatrice.
x
P (X 6 x)
380
0,035
385
0,086
390
0,182
395
0,325
400
0,5
405
0,675
410
0,818
415
0,914
420
0,965
1 Calculer P (390 6 X 6 410).
2 Calculer la probabilité p qu’un pain choisi au hasard dans la production soit commercialisable.
3 Le fabricant trouve cette probabilité p trop faible. Il décide de modifier ses méthodes de production
afin de faire varier la valeur de σ sans modifier celle de µ.
Pour quelle valeur de σ la probabilité qu’un pain soit commercialisable est-elle égale à 96 % ? On
arrondira le résultat au dixième.
On pourra utiliser le résultat suivant : lorsque Z est une variable aléatoire qui suit la loi normale
d’espérance 0 et d’écart-type 1, on a
P (Z 6 −1, 751) ≈ 0, 040.
Partie B
Les méthodes de production ont été modifiées et maintenant 96 % de pains sont commercialisables. On
effectue un prélèvement de 300 pains fabriqués. La production étant très grande on peut assimiler ce
prélèvement à un tirage avec remise.
On désigne par X la variable aléatoire qui donne le nombre de pains non-commercialisables de cet
échantillon.
1 Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
Calculer l’espérance mathématique µ et l’écart type σ de la variable aléatoire X.
X −µ
2 On admet que l’on peut approcher la loi de la variable aléatoire
σ
par la loi normale centré réduite c’est-à -dire de paramètres 0 et 1.
Calculer, au moyen de l’approximation proposée , une valeur approchée à 10−2 près de la probabilité de l’évènement : « le nombre de pains non-commercialisables dans l’échantillon est supérieur
ou égal à 17 ».
Partie C
Le boulanger utilise une balance électronique. Le temps de fonctionnement sans dérèglement, en jours,
de cette balance électronique est une variable aléatoire T qui suit une loi exponentielle de paramètre λ.
1 On sait que la probabilité que la balance électronique ne se dérègle pas avant 30 jours est de 0, 913.
En déduire la valeur de λ arrondie au millième.
Dans toute la suite on prendra λ = 0, 003.
2 Quelle est la probabilité que la balance électronique fonctionne encore sans dérèglement après
90 jours, sachant qu’elle a fonctionné sans dérèglement 60 jours ?
3 Le vendeur de cette balance électronique a assuré au boulanger qu’il y avait une chance sur deux
pour que la balance ne se dérègle pas avant un an. A-t-il raison ? Si non, pour combien de jours
est-ce vrai ?
Exercice 2
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère les points :
A(1 ; 2 ; 7),
B(2 ; 0 ; 2),
C(3 ; 1 ; 3),
D(3 ; −6 ; 1) et E(4 ; −8 ; −4).
1 Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
2 Soit u
~ (1 ; b ; c) un vecteur de l’espace, où b et c désignent deux nombres réels.
a. Déterminer les valeurs de b et c telles que u
~ soit un vecteur normal au plan (ABC).
b. En déduire qu’une équation cartésienne du plan (ABC) est :
x − 2y + z − 4 = 0.
c. Le point D appartient-il au plan (ABC) ?
3 On considère la droite D de l’espace dont une représentation paramétrique est :


x =
2t + 3



y = −4t + 5 où t est un nombre réel.



 z =
2t − 1
a. La droite D est-elle orthogonale au plan (ABC) ?
b. Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite D et du plan (ABC).
4 Etudier la position de la droite (DE) par rapport au plan (ABC).
Exercice 3
On considère un cube ABCDEFGH d’arête
de longueur 1. −−→ −−→ −−→
On se place dans le repère orthonormal A ; AB ; AD ; AE .
3
1
1
2
On considère les points I 1 ; ; 0 , J 0 ; ; 1 , K ; 0 ; 1 et L
; 1; 0
3
3
4
4
1 Déterminer une représentation paramétrique de la droite (IJ).

3


x = + t0



4
, t0 ∈ R
2 Démontrer que (KL) a pour représentation paramétrique 
0

 y = −2t

 z = 1 + 2t 0
3 Démontrer que les droites (IJ) et (KL) sont sécantes .
4 Démontrer IKJL est un parallélogramme.
Exercice 4
1 Une usine fabrique des puces électroniques et affirme que 4% des pièces fabriquées sont défectueuses. On prélève 700 pièces. La fabrication est assez importante pour que ce prélèvement soit
assimilé à un tirage avec remise. On trouve 22 pièces défectueuses.
2 Doit-on remettre en cause l’affirmation de l’usine ?