TS. Contrôle 5 -Correction 1 ( 6 points ) L`espace est rapporté au

♣
TS. Contrôle 5 -Correction
−−→ −−→ −−→´
1 ( 6 points ) L’espace est rapporté au repère orthonormal A ; AB , AD , AE .
On considère le cube ABCDEFGH représenté sur l’annexe, à rendre avec la copie.
On désigne par I, J et K les milieux respectifs des segments [BC], [BF] et [HF].
³
1. Déterminer les coordonnées des points I, J et K.
µ
¶
1
On a B(1 ; 0 ; 0) et C(1 ; 1 ; 0), donc I 1 ; ; 0
2
µ
¶
1
B(1 ; 0 ; 0), F(1 ; 0 ; 1), donc J 1 ; 0 ;
2
¶
µ
1 1
; ;1
H(0 ; 1 ; 1), F(1 ; 0 ; 1), donc K
2 2


2
−→
→
−
→
−
1  est orthogonal à IK et à IJ .
2. Démontrer que le vecteur n
1
En déduire qu’une équation du plan (IJK) est : 4x + 2y + 2z − 5 = 0.
 1 
− /2
−→ 
→
− −→
0  ; donc n · IK = −1 + 0 + 1 = 0 : les vecteurs sont orthogonaux ;
IK
1


0
1 1
→
− →
−
→
− 1 
IJ − /2 ; donc n · IJ = 0 − + = 0 : les vecteurs sont orthogonaux.
2 2
1
/2
−→ →
−
Les vecteurs IK et IJ ne sont manifestement pas colinéaires ; ils définissent donc le plan (IJK).
→
−
Le vecteur n orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (IJK) est donc normal à ce plan.
Une équation du plan (IJK) est donc :
M(x ; y ; z) ∈ (IJK) ⇐⇒ 2x + 1y + 1z + d = 0.
µ
¶
1
1
5
Comme I appartient à ce plan, on a I 1 ; ; 0 ∈ (IJK) ⇐⇒ 2 + + d = 0 ⇐⇒ d = − .
2
2
2
M(x ; y ; z) ∈ (IJK) ⇐⇒ 2x + y + z −
5
= 0 ⇐⇒ 4x + 2y + 2z − 5 = 0
2
3. a. Déterminer un système d’équations paramétriques de la droite (CD).


1
−−→
On calcule DC  0 
0


 x −0 = t ×1
 x
−−→
−−→
y − 1 = t × 0 ⇐⇒ (CD) :
y
M(x ; y ; z) ∈ (CD) ⇐⇒ DM = t DC ⇐⇒


z −0 = t ×0
z
= t
= 1
= 0
t∈
R
¶
3
; 1; 0 .
4
Les coordonnées de R vérifient l’équation de (IJK) et les équations paramétriques de (CD), donc le système :








x
= t
x
= t
x = t
x = 3/4








 y



= 1
y
= 1
y = 1
y = 1
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒



 z = 0
z
= 0
z
= 0
z = 0








 4x + 2y + 2z − 5 = 0
 4t + 2 − 5 = 0
 t = 3/4
 t = 3/4
µ
¶
3
R
; 1; 0
4
µ
b. En déduire que le point d’intersection R du plan (IJK) et de la droite (CD) est le point de coordonnées
c. Placer le point R sur la figure.
4. Tracer sur la figure la section du cube par le plan (IJK).On peut répondre à cette question sans avoir traité les précédentes.
— Section avec la face BCGF : [IJ]
— Section avec la face ABCD : [IR]
— Pour la section avec EFGH : on utilise la propriété : « si deux plans sont parallèles tout plan sécant à l’un est
sécant à l’autre et les droites d’intersection sont parallèles ».
On trace donc la parallèle à la droite (IR) contenant K qui coupe [FE] et [GH] en deux points que l’on joint à J
et à R. Le contour de l’intersection est colorée en rouge.
5. a. Déterminer un système d’équations paramétriques de la droite (∆) passant par G et perpendiculaire au plan (IJK)


0
0
 x −1 = t ×2
 x = 1 + 2t
→
−
−−→
y − 1 = t 0 × 1 ⇐⇒ (∆) :
y = 1+ t0
M(x ; y ; z) ∈ (∆) ⇐⇒ GM = t 0 n ⇐⇒
t0 ∈


0
0
z −1 = t ×1
z = 1+t
p
6
b. En déduire que la distance du point G au plan (IJK) est
.
4
La distance du point G au plan (IJK) est la distance GL où L est le projeté orthogonal du point G sur le plan (IJK).
R
Les coordonnées de L vérifient l’équation de (IJK) et les équations paramétriques de (∆), donc le système :






x = 1 + 2t 0
x
= 1 + 2t 0
x
= 1 + 2t 0






 y


= 1+ t0
y = 1+ t0
y
= 1+ t0
⇐⇒
⇐⇒
0
0
0



= 1+t
= 1+t
 z = 1+t
 z
 z



 t 0 = − 1/4
 4(1 + 2t 0 ) + 2(1 + t 0 ) + 2(1 + t 0 ) − 5 = 0
 4x + 2y + 2z − 5 = 0


x = 1/2


 y = 3/4
L(x ; y ; z) ∈ (∆) ∩ (IJK) ⇐⇒
 z = 3/4


 t 0 = −1/4
 1 
s
p
µ
¶
µ ¶2 µ ¶2 µ ¶2 r
− /2
1 3 3
1
1
6
6
1
−−→  1 
donc GL − /4 ⇐⇒ GL =
; ;
+ −
+ −
=
=
−
L
2 4 4
2
4
4
16
4
−1/4
c. Soit S la sphère de centre G passant par F. Justifier que la sphère S et le plan (IJK) sont sécants. Déterminer le
rayon de leur intersection. La sphère
p S et le plan (IJK) sont sécants si la distance de G au plan (IJK) est inférieure
p
6
au rayon GF = 1 de la sphère. Or
< 1 (car 6 < 42 ⇒ 6 < 4).
4
Donc la sphère et le plan sont sécants en un cercle de centre L, projeté orthogonal de G sur (IJK), et de rayon
r = LM où M un point du plan (IJK) appartenant à la sphère S .
Dans le triangle GLM rectangle en L, d’après le théorème de Pythagore :
à p !2
à p !2
p
6
6
6
10
10
2
2
2
2
2
2
2
GM = GL + LM ⇐⇒ 1 =
+ r ⇐⇒ r = 1 −
⇐⇒ r = 1 −
=
=⇒ r =
4
4
16 16
4
Annexe 1 - Ex 1. Si vous visualisez ce document à l’aide d’Acrobat
Reader, vous pouvez activer la figure et la bouger avec la souris.
2 ( 4 points )
1. Pour chacune des figures suivantes, PRST est-il une section du tétraèdre ABCD par un plan ? Justifier.
• Figure ¬
Non, c’est impossible sur cette figure ¬ les points P, R et S sont tous les trois coplanaires dans le plan (ACD) et T ∉ (ACD).
Les points P, R, S et T n’étant pas coplanaires : PRST n’est pas une section du tétraèdre ABCD
Remarque : Comme (PR) (AC) d’après le théorème du toit, il faudrait (PR) (TS)
• Figure ­
Oui, une construction hors solide permet de vérifier que les droites (PR), (TS) et (BC) sont bien concourantes en un
point I = (BC) ∩ (PRS). PRST est une section du tétraèdre ABCD
• Figure ®
Non, une construction hors solide permet de vérifier que les droites (PR), (TS) et (BC) ne sont pas concourantes en un
point I = (BC) ∩ (PRS). PRST n’est pas une section du tétraèdre ABCD
2. Construire la section du cube par le plan (MNP) avec N milieu du segment [FC].
3 ( 5 points )
Les parties A B et C peuvent être traitées indépendamment les unes des autres
Une boulangerie industrielle utilise une machine pour fabriquer des pains de campagne pesant en moyenne 400 grammes.
Pour être vendus aux clients, ces pains doivent peser au moins 385 grammes. Un pain dont la masse est strictement inférieure à 385 grammes est un pain non-commercialisable, un pain dont la masse est supérieure ou égale à 385 grammes est
commercialisable.
La masse d’un pain fabriqué par la machine peut être modélisée par une variable aléatoire X suivant la loi normale d’espérance µ = 400 et d’écart-type σ = 11.
Les probabilités seront arrondies au millième le plus proche
Partie A
On pourra utiliser le tableau suivant dans lequel les valeurs sont arrondies au millième le plus proche.
x
P(X 6 x)
380
0,035
385
0,086
390
0,182
395
0,325
400
0,5
405
0,675
410
0,818
415
0,914
420
0,965
1. Calculer P(390 6 X 6 410).
P(390 6 X 6 410) = P(X 6 410) − P(X < 390) = 0, 818 − 0, 182 = 0, 636
2. Calculer la probabilité p qu’un pain choisi au hasard dans la production soit commercialisable.
Un pain choisi au hasard dans la production est commercialisable si et seulement si « X > 385 ».
« X > 385 » est l’événement contraire de « X < 385 ». On a donc p(X > 385) = 1 − p(X < 385) = 1 − 0, 086 = 0, 914
3. Le fabricant trouve cette probabilité p trop faible. Il décide de modifier ses méthodes de production afin de faire
varier la valeur de σ sans modifier celle de µ.
Pour quelle valeur de σ la probabilité qu’un pain soit commercialisable est-elle égale à 96 % ?
On arrondira le résultat au dixième.
On pourra utiliser le résultat suivant : lorsque Z est une variable aléatoire qui suit la loi normale d’espérance 0 et
d’écart-type 1, on a P(Z 6 −1, 751) ≈ 0, 040.
Soit Y la variable aléatoire de paramètres µ = 400 et σ, on a :
p(X > 385) = 0, 96 ⇐⇒ 1 − p(Y < 385) = 0, 96 ⇐⇒ p(Y < 385) = 0, 04
X − 400
Si Y suit une loi normale de paramètres µ = 400 et σ, on sait que Z =
suit une loi normale centrée réduite
σ
µ
¶
385 − 400
et p(Y < 385) = 0, 04 ⇐⇒ P Z 6
= 0, 04.
σ
−15
15
Or P(Z 6 −1, 751) ≈ 0, 040. On a donc :
= −1, 751 ⇐⇒ σ =
= 8, 6
σ
1, 751
Pour σ = 8, 6, au dixième près ; la probabilité qu’un pain soit commercialisable est de 96%.
Partie B
Les méthodes de production ont été modifiées dans le but d’obtenir 96 % de pains commercialisables.
Afin d’évaluer l’efficacité de ces modifications, on effectue un contrôle qualité sur un échantillon de 300 pains fabriqués.
1. Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion de pains commercialisables
dans un échantillon de taille 300.
L’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion de pains commercialisables dans un
échantillon de taille 300 est de la forme :
"
I300 = p − 1, 96
p
p(1 − p)
; p + 1, 96
p
n
p
p(1 − p)
p
n
#
avec p = 0, 96 et n = 300. On a donc : I300 = [0, 93 ; 0, 99]
2. Parmi les 300 pains de l’échantillon, 283 sont commercialisables.
Au regard de l’intervalle de fluctuation obtenu à la question 1., peut-on décider que l’objectif a été atteint ?
Parmi les 300 pains de l’échantillon, 283 sont commercialisables. Ce qui représente 94 % de la production.
Au regard de l’intervalle de fluctuation obtenu à la question 1., comme 0, 94 ∈ I300 on accepte l’hypothèse que
« l’objectif a été atteint » .
Partie C
Le boulanger utilise une balance électronique. Le temps de fonctionnement sans dérèglement, en jours, de cette balance
électronique est une variable aléatoire T qui suit une loi exponentielle de paramètre λ.
1. On sait que la probabilité que la balance électronique ne se dérègle pas avant 30 jours est de 0, 913. En déduire la
valeur de λ arrondie au millième.
h
i30
R 30
p(T 6 30) = 0 λe−λx dx = − e −λx
= 1 − e−30λ .
0
On en déduit : p(T > 30) = 1 − p(T 6 30) = e−30λ et finalement :
e−30λ = 0, 913 ⇐⇒ −30λ = ln(0, 913) ⇐⇒ λ = 0, 003
Dans toute la suite on prendra λ = 0, 003.
2. Quelle est la probabilité que la balance électronique fonctionne encore sans dérèglement après 90 jours, sachant
qu’elle a fonctionné sans dérèglement 60 jours ?
Calculons p T>60 (T > 90).
p((T > 60) ∩ (T > 90)) p(T > 90) 1 − p(T 6 90) e−90λ
=
=
=
= e−30λ .
p(T > 60)
p(T > 60) 1 − p(T 6 60) e−60λ
Avec λ = 0, 003, on a donc p T>60 (T > 90) = p(T > 30) = 0, 913
On a p T>60 (T > 90) =
La probabilité que la balance électronique fonctionne encore sans dérèglement après 90 jours, sachant qu’elle a
fonctionné sans dérèglement 60 jours est 0, 913 (loi à durée de vie sans vieillissement !).
3. Le vendeur de cette balance électronique a assuré au boulanger qu’il y avait une chance sur deux pour que la balance
ne se dérègle pas avant un an. A-t-il raison ? Si non, pour combien de jours est-ce vrai ?
Calculons la durée maximale t max pour laquelle la probabilité que la balance dérègle est inférieure à 0, 5.
h
itmax
Rt
p(T 6 t max ) 6 0, 5 ⇐⇒ = 0 max λe−λx dx 6 0, 5 ⇐⇒ − e−λx
6 0, 5 ⇐⇒ 1 − e−λtmax 6 0, 5 ⇐⇒ e−λtmax > 0, 5
p(T 6 t max ) 6 0, 5 ⇐⇒ −λt max > ln 0.5
Avec λ = 0, 003, on trouve
4 ( 5 points )
0
t max = 231 Le vendeur avait donc tort.
Les parties A et B sont indépendantes - Les résultats seront arrondis à 10−4 près
Partie A
Un ostréiculteur élève deux espèces d’huîtres : « la plate » et « la japonaise ».
Chaque année, les huîtres plates représentent 15 % de sa production.
Les huîtres sont dites de calibre no 3 lorsque leur masse est comprise entre 66 g et 85 g.
Seulement 10 % des huîtres plates sont de calibre no 3, alors que 80 % des huîtres japonaises le sont.
1. Le service sanitaire prélève une huître au hasard dans la production de l’ostréiculteur. On suppose que toutes les
huitres ont la même chance d’être choisies.
On considère les évènements suivants :
• J : « l’huître prélevée est une huître japonaise »,
• C : « l’huître prélevée est de calibre no 3 ».
a. Construire un arbre pondéré complet traduisant la situation.
0, 85
0, 80
C
0, 20
C
0, 10
C
0, 90
C
J
•
0, 15
J
b. Calculer la probabilité que l’huître prélevée soit une huître plate de calibre no 3.
´
³
p J ∩ C = 0,15 × 0,10 = 0,015
c. Justifier que la probabilité d’obtenir une huître de calibre no 3 est 0, 695.
J et J formant une partition de l’univers, la formule des probabilités totales donne :
³
´
p(C) = p J ∩ C + p(J ∩ C) = 0,015 + 0,85 × 0,80 = 0,695
d. Le service sanitaire a prélevé une huître de calibre no 3. Quelle est la probabilité que ce soit une huître plate ?
³
´
p J∩C
0,015
Il s’agit de calculer une probabilité conditionnelle :
p C (J) =
=
≈ 0,021 6
p(C)
0,695
2. La masse d’une huître peut être modélisée par une variable aléatoire X suivant la loi normale de moyenne µ = 90 et
d’écart-type σ = 2.
a. Donner la probabilité que l’huître prélevée dans la production de l’ostréiculteur ait une masse comprise entre
87 g et 89 g.
À l’aide de la calculatrice :
p(87 6 X 6 89) ≈ 0,241 7
b. Donner P(X > 91).
De même
p(X > 91) ≈ 0,308 5
Partie B
Cet ostréiculteur affirme que 60 % de ses huîtres ont une masse supérieure à 91 g.
Un restaurateur souhaiterait lui acheter une grande quantité d’huîtres mais il voudrait, auparavant, vérifier l’affirmation
de l’ostréiculteur.
Le restaurateur achète auprès de cet ostréiculteur 10 douzaines d’huîtres qu’on considèrera comme un échantillon de
120 huîtres tirées au hasard. Sa production est suffisamment importante pour qu’on l’assimile à un tirage avec remise.
Il constate que 65 de ces huîtres ont une masse supérieure à 91 g.
1. Soit F la variable aléatoire qui à tout échantillon de 120 huîtres associe la fréquence de celles qui ont une masse
supérieure à 91 g.
Après en avoir vérifié les conditions d’application, donner un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %
de la variable aléatoire F.
L’échantillon est de taille n = 120. L’hypothèse formulée est que la probabilité p qu’une huître possède une masse
supérieure à 91 g est p = 0,60. On a alors :
• n > 30 ;
• np = 72 > 5 ;
• n(1 − p) = 48 > 5.
Les trois conditions pour utiliser l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % sont réalisées, et cet
intervalle I est donné par :
"
#
p
p
h
i
p(1 − p)
p(1 − p)
I = p − 1,96
; p + 1,96
= 0,512 3 ; 0,687 7
p
p
n
n
2. Que peut penser le restaurateur de l’affirmation de l’ostréiculteur ?
65
La fréquence observée d’huîtres pesant plus de 91 g est F =
≈ 0,541 7.
120
On a F ∈ I, l’hypothèse selon laquelle p = 0,60 ne peut être rejetée.