loiexpo - Lycée Vauban : Math

LA LOI EXPONENTIELLE
1 Introduction
On s'intéresse à des composants dont la durée de vie est très longue, par exemple certains composants
électroniques.
On peut alors considérer que, pour ce composant, la probabilité de tomber en panne le 10 jour en
sachant qu'il fonctionnait bien jusqu'au 9 est la même que la probabilité de tomber en panne le 11
jour en sachant qu'il fonctionnait bien jusqu'au 10 .
C'est à dire que si on note X la variable aléatoire correspondant à la durée de vie de notre composant :
P (X > t + x / X > t) est indépendant de t.
Donc quels que soient t et t , P (X > t + x / X > t ) = P (X > t + x / X > t )
En prenant t = 0 on obtient : P (X > t + x / X > t) = P (X > x / X > 0)
Mais X > 0 est toujours vrai (X est une durée de vie) donc :
Pour tout t > 0, P (X > t + x / X > t) = P (X > x).
On dit alors que X suit une loi sans vieillissement ou loi sans mémoire.
ème
ème
ème
ème
1
2
1
1
2
2
2
Recherche de la fonction de densité de X :
Notons ϕ(x) = P (X > x)
Soit F la fonction de répartition de X , on a F (x) = P (X 6 x) = 1 − ϕ(x)
La fonction de densité de X est donc : f = F = −ϕ
P [(X > x + t) ∩ (X > t)]
] On sait que P (X > x + t / X > t) =
, on en tire
P (X > t)
]
0
0
P (X > t + x / X > t) = P (X > x) ⇐⇒ P [(X > x + t) ∩ (X > t)] = P (X > x)P (X > t)
(X > x + t) ∩ (X > t) = (X > x + t)
P (X > x + t) = P (X > x) × P (X > t)
ϕ(x + t) = ϕ(x) ϕ(t) (I)
Mais
, d'où :
C'est à dire
] En dérivant la relation (I) par rapport à t on obtient : ϕ (x + t) = ϕ(x)ϕ (t)
Ce qui nous donne pour t = 0 : ϕ (x) = ϕ(x)ϕ (0) (II)
] F étant une fonction de répartition, elle est croissante donc F (0) = −ϕ (0) > 0
donc ϕ (0) 6 0.
On peut supposer ϕ (0) 6= 0 car sinon pour tout x, ϕ (x) = 0 et ϕ serait constante ce qui impliquerait
que P (X > x) est constante égale à 1 car P (X > 0) = 1, ce qui est absurde.
] Posons donc ϕ (0) = −λ avec λ > 0, (II) s'écrit alors ϕ (x) + λ ϕ(x) = 0
Nous savons que les solutions de cette équation diérentielle sont les fonctions dénies par ϕ(x) =
ke
, k ∈ R.
ϕ(0) = k = P (X > 0) = 1 donc ϕ(x) = e
La fonction de densité de X est donc dénie par f (x) = λe ; on dit que X suit une loi exponentielle.
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
−λx
−λx
−λx
2 La loi exponentielle
2.1 Dénition
Dénition 1.
La loi exponentielle de paramètre λ > 0 est la loi à densité dont la fonction de densité
est est dénie sur [0; +∞[ par :
f (t) = λe−λt
1
A.B Vauban
y
λ
y = f (x)
F (t)
x
t
O
2.2 Calculs de probabilités
Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre λ.
Z
λe
dt
+ Pour tout 0 < a < b, P (X ∈ [a, b]) =
Z
+ Pour tout x > 0, P (X 6 x) =
λe
dt
b
−λt
a
x
−λt
0
Soit X une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre 0, 05.
1) Déterminer les probabilités suivantes :
Exercice 1
P (X ∈ [25, 35])
P (X 6 20)
P (X > 40)
2) Déterminer le nombre réel x tel que P (X 6 x) = 0, 5.
2.3 Espérance, variance, écart type
Par dénition,
si la variable aléatoire XZ suit une loi de densité f alors :
Z
E(X) =
tf (t) dt et V (X) =
t f (t) dt − [E(X)]
Dans le cas
aurons donc :
Z d'une loi exponentielle nous Z
E(X) =
λte
dt et V (X) =
λt e
dt − [E(X)]
+∞
+∞
2
2
−∞
+∞
−∞
+∞
−λt
0
2
2 −λt
0
Calcul de E(X)
Z
1. À l'aide d'une intégration par parties calculer
Z
2. En déduire E(X) = lim x → +∞ λte dt
Exercice 2
x
λte−λt dt
0
x
−λt
0
La variable aléatoire X suivant une loi exponentielle de paramètre λ.
E(X) =
1
λ
V (X) =
1
λ2
σ(X) =
1
λ
3 Notions de abilité
Expérimentalement pour étudier la durée de vie de la majorité des équipements on considère trois
périodes :
La période des pannes précoces : pièces défectueuses, mauvais montage, ...
Puis vient la durée de vie utile, où le taux d'avarie est considéré constant.
La période des pannes d'usure.
2
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La loi exponentielle intervient dans la deuxième période, la période de vie utile.
Soit T la variable aléatoire mesurant la duré de vie d'un appareil.
] En abilité, la fonction de répartition F : t 7→ P (T 6 t) est appelée fonction de défaillance car
elle mesure la probabilité que l'appareil tombe en panne avant l'instant t.
F pour Failure en anglais.
] On appelle fonction de abilité la fonction R : t 7→ P (T > t), c'est à dire R = 1 − F .
R mesure la probabilité que l'appareil ne tombe pas en panne avant l'instant t.
R pour Reliability.
] L'espérance E(T ) est appelée MTBF, moyenne des temps de bon fonctionnement, traduction
approximative de l'anglais Mean Time Between Failures (temps moyen entre deux défaillances).
Exercice 3 la durée de vie d'un dispositif suit la loi exponentielle de paramètre 0, 025, la durée
étant donnée en jours.
1. Calculer la durée de vie moyenne de ce système.
2. Déterminer la probabilité que ce dispositif fonctionne au moins 200 jours avant la première panne.
Exercice 4 La variable aléatoire T qui associe, à un composant tiré au hasard, sa durée de vie
exprimée en heures suit une loi exponentielle.
1. Calculer le paramètre de cette loi exponentielle sachant que P (T > 450) = 0, 80.
2. Calculer la MTBF de ce composant.
3. Calculer la valeur t pour laquelle P (t 6 t ) = 0, 5.
0
0
Exercice 5 La durée de vie d'un atome radioactif d'iode 131 avant sa désintégration se modélise
par une variable aléatoire X suivant une loi exponentielle de paramètre λ.
On sait que la probabilité que cette durée de vie soit inférieure à trois jours est égale à 0,230 à 10
près.
1. Déterminer λ à 10 près.
2. La période, ou demi-vie, d'un atome radioactif est le temps T au bout duquel la moitié des
atomes initiaux sont désintégrés. Calculer la période de l'iode 131.
3. Calculer : P (X > 5) et P (6 6 X 6 8)
−3
−3
Soit T la variable aléatoire qui, à tout composant électronique d'un certain type, prélevé
au hasard dans un stock, associe sa duré de fonctionnement (en heures) avant une défaillance.
On suppose que T suit une loi exponentielle de paramètre λ. On note R sa fonction de abilité et F
sa fonction de défaillance.
1. Exprimer R(t) et F (t) en fonction de λ et t.
2. À partir d'observations statistiques, on évalue que R(2000) = 0, 8.
Déterminer λ, arrondi à 10 .
3. On prend λ = 0, 000 11
a) Déterminer la MTBF, arrondie à l'heure.
b) Déterminer P (T > 3000), à 10 près.
4. On admet que les fonctionnements de deux composants sont indépendants.
a) Un montage de deux composants en série fonctionne si les deux composants fonctionnent.
Calculer, à 10 près, la probabilité qu'un montage de deux composants en série fonctionne
plus de 3000 heure.
b) Un montage de deux composants en parallèle fonctionne si au moins un des deux composants
fonctionne.
Calculer, à 10 près, la probabilité qu'un montage de deux composants en parallèle fonctionne
plus de 3000 heure.
Exercice 6
−6
−3
−3
−3
3
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