DS 5 BB 1 Obli

BACCALAUREAT GENERAL
SESSION 2015
MATHEMATIQUES
-SERIE S-
DUREE DE L’EPREUVE : 4 heures
Matériel autorisé :
Calculatrice graphique programmable
Les candidats doivent traiter les quatre exercices.
La qualité de la rédaction et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation
des copies.
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- Ce sujet comporte 6 pages –
La page 6 est à rendre avec votre copie.
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Exercice 1 (6 points)
Les parties A, B et C sont indépendantes.
Une usine fabrique un certain type de composants électroniques.
Partie A
Dans cette partie, les résultats seront arrondis à 10−3 près.
On désigne par X la capacité de sortie des composants produits, exprimée en picofarads (abréviation : pF).
La variable aléatoire X suit la loi normale N (0,65 ; σ 2 ) .
On dit qu’un composant est « aux normes » si sa capacité de sortie est comprise entre 0,64 et 0,66 pF.
1°. Dans cette question, σ = 0,005 . Quelle est la probabilité qu’un composant pris au hasard soit aux normes ?
2°. Une amélioration dans le processus de fabrication permet de faire baisser la valeur de l’écart type σ .
Quelle valeur de σ faudrait-il atteindre pour que 99 % des composants produits soient aux normes ?
Partie B
Dans cette partie :
• les résultats seront arrondis à 10−4 près ;
• on considère que 95 % des composants fabriqués sont aux normes.
Un contrôle de qualité automatique est effectué sur chaque composant produit. 98 % des composants aux normes
sont acceptés lors du contrôle, alors que 97 % des composants « hors normes » sont refusés.
Un composant est tiré au hasard dans la production. Les événements suivants seront notés ainsi :
• N : « le composant est aux normes »
• N : « le composant n’est pas aux normes »
• A : « le composant est accepté lors du contrôle »
• A : « le composant est refusé lors du contrôle ».
1°. Construire un arbre de probabilité traduisant les données ci-dessus.
2°. a) Déterminer la probabilité qu’un composant tiré au hasard soit aux normes et refusé lors du contrôle.
b) Déterminer la probabilité qu’un composant tiré au hasard soit refusé lors du contrôle.
c) Un composant tiré au hasard est refusé lors du contrôle. Quelle est alors la probabilité qu’il soit aux normes ?
3°. On tire au hasard 20 composants dans la production. Celle-ci étant très nombreuse, ce tirage est assimilé à un
tirage avec remise.
a) On note Y la variable aléatoire égale au nombre de composants aux normes parmi les 20 composants tirés.
Quelle est la loi de probabilité suivie par Y ? Justifier la réponse et donner les paramètres de cette loi.
b) Déterminer la probabilité qu’il y ait au plus 17 composants aux normes parmi les 20 composants tirés.
Partie C
La durée de vie T, exprimée en années, d’un composant produit dans cette usine suit une loi exponentielle de
paramètre λ.
1°. La probabilité que cette durée de vie dépasse 30 ans est égale à 0,135.
Calculer la valeur de λ (arrondir à 10−4 près).
1
Dans toute la suite, on considèrera que λ =
.
15
2°. Quelle est la durée de vie moyenne des composants produits ?
3°. Le fabriquant décide de garantir 2 ans les composants. On suppose que chaque fois qu’un composant grille avant
2 ans, le client fait jouer la garantie et que cela occasionne 20 € de frais pour le fabriquant.
a) La production est très nombreuse.
Quelle somme, par composant, dépensera en moyenne le fabriquant, au titre de la garantie ?
b) Le fabriquant veux limiter cette dépense à 2 €. Quelle durée, en mois, doit-il alors fixer pour cette garantie ?
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Exercice 2 (4 points)
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Aucune justification n’est demandée.
Une bonne réponse rapporte 0,75 point pour les questions 1 à 4 et 1 point pour la 5e question.
Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l’absence de réponse à une question ne rapportent ni n’enlèvent de
point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.
1° Soit f une fonction définie sur ℝ . Alors :
a. Si f est continue sur ℝ alors f est dérivable sur ℝ .
b. Si f n’est pas dérivable sur ℝ alors f n’est pas continue sur ℝ .
c. Si f n’est pas continue sur ℝ alors f n’est pas dérivable sur ℝ .
d. Les trois affirmations ci-dessus sont fausses
2° On note α l’unique solution dans ℝ de l’équation x + e x = 0 .
Soit g la fonction définie sur ℝ par g( x ) = x + e− x . Alors :
a. g( α ) = 2α
b. g( α ) =
α2 −1
α
c. g( α ) =
n
1
3° On pose, pour tout entier naturel n, un = 2n + 3   et Sn =
2
a.
α2 + 1
α
d. g( α ) = 0
n
∑u
n
= u0 + u1 + ⋯ + un . Alors
k =0
La suite (u n ) n ≥ 0 est convergente
b. La suite ( S n ) n ≥ 0 est convergente
 1
Pour tout entier naturel n, Sn = n 2 + n + 3 1 −  
 2

c.
n +1



  1 n +1 
d. Pour tout entier naturel n, Sn = n + n + 6 1 −    .
 2 


2
4° La valeur moyenne sur [ −1;1] de la fonction g définie par : g(x) = e − x est :
a.
e − e−1
2
b.
2e + e 2
2
c. 0
d.
e
2
5° Soit f une fonction continue et croissante sur [a ; b]. Alors on a forcément :
a.
c.
∫
∫
b
f (x)dx ≥ 0
b.
a
b
a
f (x)dx ≥ b − a
d.
∫
b
f (x)dx ≥ f (a)
a
∫
b
a
f (x)dx ≥ ( b − a ) f (a)
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Exercice 3 (5 points)
On considère la fonction f définie sur l’intervalle ] 0 ; + ∞ [ par : f ( x) = 1 + x − ln x .
On a tracé en annexe 1 dans un repère orthonormé la courbe C représentative de f ainsi que la droite ∆
d’équation y = x .
1°. a) Résoudre l’équation f ( x) = x dans l’intervalle ] 0 ; + ∞ [ .
b) Étudier les variations de la fonction f dans] 0 ; + ∞ [. (On ne demande pas de déterminer les limites.)
En déduire le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [e ; 5].
On considère la suite (u n ) n ≥ 0 définie par u0 = 5 et, pour tout entier naturel n, un +1 = f (un ) = 1 + u n − ln un .
2°. a) Sur la figure de l’annexe 1, placer sur l’axe des abscisses, en utilisant C et ∆, les cinq premiers termes de la
suite (u n ) n ≥ 0 . On laissera apparents les traits de construction.
b) Quelles conjectures peut-on faire concernant :
i) le sens de variation de la suite (u n ) n ≥ 0 ?
ii) la convergence ou la divergence de cette suite ?
iii) la valeur de la limite de cette suite ?
3°. a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, e ≤ un +1 ≤ un ≤ 5 .
b) En déduire une démonstration des conjectures faites aux questions i) et ii) du 2° b).
c)
l
désignant la limite de la suite (u n ) n ≥ 0 , expliquer pourquoi on a : f  l  = l .
 
En déduire une confirmation de la conjecture faite à la question iii) du 2° b).
4°. Pour tout entier naturel n, on définit les suites (vn ) n ≥ 0 et
( S n ) n ≥ 0 par
n
vn = ln un
et
Sn =
∑v
k
= v0 + v1 + ⋯ + vn .
k =0
a) Compléter l’algorithme ci-contre pour qu’il affiche la
somme S n pour l’entier n choisi par l’utilisateur.
(Ecrire les 6 lignes complétées du traitement sur votre
copie)
b) Démontrer que la suite ( S n ) n ≥ 0 diverge vers + ∞.
Variables
n, k : entiers naturels
u, v, S : nombres réels
Initialisation des variables
u prend la valeur 5
v prend la valeur ln u
S prend la valeur v
k prend la valeur 0
Saisir la valeur de n
Traitement
Tant que ………………
k prend la valeur
u prend la valeur
v prend la valeur
S prend la valeur
Fin Tant que
Sortie
Afficher S
k+1
………………….
………………….
………………….
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Exercice 4 (5 points)
Soit f la fonction définie sur ℝ par : f ( x) = (2 − x) e x .
On note C la représentation graphique de f dans un repère orthonormé.
Partie A
1°. Déterminer les limites de la fonction f en – ∞ et en + ∞.
Quelle conséquence graphique tire-t-on de la limite en – ∞ ?
2°. Déterminer la dérivée de la fonction f et dresser son tableau de variation.
Partie B
On définit une nouvelle fonction A sur l’intervalle ] – ∞ ; 0 ] ainsi :
Pout tout nombre réel t de ] – ∞ ; 0 ] , A(t) est l’aire, en unités d’aire, du domaine délimité par l’axe des abscisses, la
courbe C et les droites d’équations x = t et x = 0 .
1°. Exprimer A(t) au moyen d’une intégrale (ne pas calculer cette intégrale pour l’instant).
2°. On note g la fonction définie sur ] – ∞ ; 0 ] par : g ( x) = x e x .
a) Démontrer que, pour tout nombre réel x de ] – ∞ ; 0 ] : g ( x) = g ′( x) − e x .
b) En déduire une primitive G de g sur ] – ∞ ; 0 ]. (On pourra remarquer que g ′ admet une primitive évidente.)
c) En déduire une primitive F de f sur ] – ∞ ; 0 ], puis que, pour tout nombre réel t de ] – ∞ ; 0 ] :
A(t ) = 3 − (3 − t ) et .
3°. On admet que lim A(t ) = 3 .
t →− ∞
a) Déterminer le tableau de variation de la fonction A sur ] – ∞ ; 0 ].
b) Prouver que l’équation A(t ) = 1 , d’inconnue t, admet une solution unique α dans ] – ∞ ; 0 ].
Sur la figure de l’annexe 2, on a tracé la courbe C ainsi que la représentation graphique Γ de la fonction A.
c) En laissant apparents les traits de construction, placer sur l’axe des abscisses le point d’abscisse α, puis hachurer
le domaine correspondant à A(α ) .
Déterminer graphiquement un encadrement de α d’amplitude 0,25.
d) Au moyen de la calculatrice, déterminer une valeur approchée de α à 10−2 près.
5/6
NOM :
ANNEXE 1
∆
ANNEXE 2
6/6