Correction du DS n°6

TS
CORRECTION DU DS 6 Mathématiques
Mercredi 08/04/15
Restitution organisée de connaissances (2 points)
Or,
D'autre part,
et
Ainsi,
ne dépend pas de t.
Exercice 2: (8 points) Nouvelle Calédonie Sept 2011 A 2+1+1+1+0,5 B 1+1+0,5
Une grande entreprise dispose d’un vaste réseau informatique. On observe le temps de fonctionnement normal
séparant deux pannes informatiques. Ce temps sera appelé « temps de fonctionnement ».
Partie A
Soit X la variable aléatoire égale au temps de fonctionnement du réseau, exprimé en heures.
On admet que X suit une loi exponentielle de paramètre λ. Le paramètre λ est un réel strictement positif.
0 X t 
On rappelle que, pour tout réel t  0 ,
1) On sait que P(X≤7) = 0,6 or p(X≤7) =
D’où 1  e
7 
= 0,6 ⟺ e
7 

7
0
t
 e x dx .
0
7
e xdx   e x   e 7   e0  1  e 7 

0
= 0,4⟺ -7λ= ln 0,4⟺ λ = - ln(0,4)/7≈ 0,131
Une valeur approchée de λ à 10−3 près est 0,131.
Dans les questions suivantes, on prendra 0,131 pour valeur approchée de λ et les résultats seront donnés à 10−2
près.
2) Montrer qu’une valeur approchée de la probabilité que le temps de fonctionnement soit supérieur à 5
heures est égale à 0,52.
p(X≥5) = 1 – P(X≤5) = 1 -

5
0
5
e xdx  1   e x   1  e 5  1  e 5  0,52

0
3) Calculer la probabilité que le temps de fonctionnement soit supérieur à 9 heures sachant qu’il n’y a pas eu
de panne au cours des quatre premières heures.
PX≥4 (X≥9) = PX≥4 (X≥4+5) = P(X≥5)  e5  0, 52 car on a une loi de durée de vie sans vieillissement.
4) p(6≤X≤10) =

10
6
10
e xdx   e x   e 10  e 6  0,19

6
La probabilité que le temps de fonctionnement soit compris entre 6 et 10 heures est d’environ 0,19.
5) Quelle est le temps de fonctionnement moyen du réseau ?
E(X) = 1/λ = 1/0,131≈7,63 On a un temps de fonctionnement moyen du réseau d’environ 7,63 heures (7heures
37min 48 s)
Partie B
On relève aléatoirement huit temps de fonctionnement, qu’on suppose indépendants.
Soit Y la variable aléatoire égale au nombre de relevés correspondant à des temps de fonctionnement
supérieurs ou égaux à 5 heures.
1) Quelle est la loi suivie par Y ?
On a ici une épreuve de Bernoulli avec comme succès : « temps de fonctionnement supérieur ou égal à 5
heures» avec une probabilité de 0,52. On répète 8 fois cette expérience de manière indépendante. Y, la
variable aléatoire qui compte le nombre de succès suit une loi binomiale de paramètre n = 8 et p = 0,52.
8
On a p(Y=k) =   0,52k  0, 488k
k 
2) Calculer la probabilité que trois temps parmi ces huit soient supérieurs ou égaux à 5 heures.
8
p(Y=3) =   0,523  0, 485 ≈ 0,20
3
3) E(Y)=np = 8×0,52 = 4,16.
Exercice 2 : (10 points) Nouvelle Calédonie 2014
Partie A 3,5 points 0.5+1+1+1
Soit f la fonction dérivable, définie sur l’intervalle  0 ;    par f(x) =xln(x).
1) a) Déterminer la limite de f en  .
lim ln x   et lim x   par produit lim f(x)  
x 
x 
x 
b) Déterminer la limite de f en 0 en posant X = lnx.
Lorsque x tend vers 0, X tend vers -∞
x= eX d’où xln(x) =Xex or
lim Xe X  0 d’où lim f(x)  0
x 0
X 
2) On appelle f’ la fonction dérivée de f sur  0 ;    . Déterminer f’(x).
f est le produit de deux fonctions dérivables sur  0 ;    donc dérivable sur  0 ;    .
1
 ln x  1
x
3) Déterminer les variations de f sur  0 ;    .
f’(x) = ln x  x 
lnx + 1 > 0 ⟺ lnx > -1 ⟺ x > e-1
d’où
x
0
f’(x)
Var de f
e-1
-
+∞
+
0
+∞
- e-1
Partie B 5 points 0.5 + 2 + 0.5 + 0.5 + 0.5 + (0.5+0.5)
1) a) Que représentent U et V sur le graphique précédent ?
Sur la figure ci-dessus, le nombre U représente la somme des aires des rectangles inférieurs (quadrillés);
cette somme minore l’aire sous la courbe. Le nombre V représente la somme des aires des rectangles
supérieurs (hachurés); cette somme majore l’aire sous la courbe
b) Faire fonctionner l’algorithme en recopiant et complétant le tableau suivant avec autant de lignes
que nécessaire.
Variables
k
U
V
n
0
0
4
0
0
0,0698
1
0,0697
0,2218
2
0,2217
0,4667
3
0,4666
0,8132
0,4666
0,8132
Initialisation
Traitement
Affichage
c) 0,4666 < A < 0,8132.
2)
a)
 1




2
n 1 
1
  f  1    ...  f  1 
  f 2     f 1   f 1 
n
n
n
n








1
1
2ln2
vn  un   f(2)  f(1)    2ln2  2ln1  
n
n
n
vn  un 
1 
1
 f 1 
n 
n
b) Vn - Un < 0,1 
2ln2
2ln2
< 0,1 ⟺ 2ln2 < 0,1n 
<n
0,1
n
or


2
  f 1 
n




n 1  
  ...  f  1 

n 


2ln2
 13,86 d’où le plus petit entier n tel
0,1
que Vn - Un < 0,1 est 14
c) D’après le b), il suffit de rentrer n = 14 pour un encadrement de A d’amplitude inférieure à 0,1.
2ln2
2ln2
2ln2
 138,6
Vn - Un < 0,01 
< 0,01 ⟺ 2ln2 < 0,01n 
< n or
0, 01
0, 01
n
Il suffit de rentrer n =139 pour un encadrement de A d’amplitude inférieure à 0,01.
Partie C 1,5 points 0,5+(0,5+0,5)
Soit F la fonction dérivable, définie sur  0 ;    par F(x) =
x²
x²
ln(x) 
.
2
4
1) Montrer que F est une primitive de f sur  0 ;    .
F est la somme de deux fonctions dérivables sur  0 ;    donc dérivable sur  0 ;    .
F’(x) = xln(x) +
x² 1 2
  x = xln(x)
2 x 4
2) Calculer la valeur exacte de A.
La fonction f est croissante sur [1 ;2] et f(1) =0 donc f est positive sur [1 ;2]. Elle est de plus continue car
dérivable sur [1 ;2] donc l’aire cherchée est égale à :
A=

2
1
2
f(x)dx  F(x)   F(2)  F(1)  2ln2  1 
1
1
3
 2ln2 
4
4