DS 5 BB 1 Spé

BACCALAUREAT GENERAL
SESSION 2015
MATHEMATIQUES
-SERIE S-
DUREE DE L’EPREUVE : 4 heures
Matériel autorisé :
Calculatrice graphique programmable
Les candidats doivent traiter les quatre exercices.
La qualité de la rédaction et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation
des copies.
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- Ce sujet comporte 6 pages –
La page 6 est à rendre avec votre copie.
1/6
Exercice 1 (6 points )
Les parties A, B et C sont indépendantes.
Une usine fabrique un certain type de composants électroniques.
Partie A
Dans cette partie, les résultats seront arrondis à 10−3 près.
On désigne par X la capacité de sortie des composants produits, exprimée en picofarads (abréviation : pF).
La variable aléatoire X suit la loi normale N (0,65 ; σ 2 ) .
On dit qu’un composant est « aux normes » si sa capacité de sortie est comprise entre 0,64 et 0,66 pF.
1°. Dans cette question, σ = 0, 005 . Quelle est la probabilité qu’un composant pris au hasard soit aux normes ?
2°. Une amélioration dans le processus de fabrication permet de faire baisser la valeur de l’écart type σ .
Quelle valeur de σ faudrait-il atteindre pour que 99 % des composants produits soient aux normes ?
Partie B
Dans cette partie :
• les résultats seront arrondis à 10−4 près ;
• on considère que 95 % des composants fabriqués sont aux normes.
Un contrôle de qualité automatique est effectué sur chaque composant produit. 98 % des composants aux normes
sont acceptés lors du contrôle, alors que 97 % des composants « hors normes » sont refusés.
Un composant est tiré au hasard dans la production. Les événements suivants seront notés ainsi :
•
•
•
•
N : « le composant est aux normes »
N : « le composant n’est pas aux normes »
A : « le composant est accepté lors du contrôle »
A : « le composant est refusé lors du contrôle ».
1°. Construire un arbre de probabilité traduisant les données ci-dessus.
2°. a) Déterminer la probabilité qu’un composant tiré au hasard soit aux normes et refusé lors du contrôle.
b) Déterminer la probabilité qu’un composant tiré au hasard soit refusé lors du contrôle.
c) Un composant tiré au hasard est refusé lors du contrôle. Quelle est alors la probabilité qu’il soit aux normes ?
3°. On tire au hasard 20 composants dans la production. Celle-ci étant très nombreuse, ce tirage est assimilé à un
tirage avec remise.
a) On note Y la variable aléatoire égale au nombre de composants aux normes parmi les 20 composants tirés.
Quelle est la loi de probabilité suivie par Y ? Justifier la réponse et donner les paramètres de cette loi.
b) Déterminer la probabilité qu’il y ait au plus 17 composants aux normes parmi les 20 composants tirés.
Partie C
La durée de vie T, exprimée en années, d’un composant produit dans cette usine suit une loi exponentielle de
paramètre λ.
1°. La probabilité que cette durée de vie dépasse 30 ans est égale à 0,135.
Calculer la valeur de λ (arrondir à 10−4 près).
Dans toute la suite, on considèrera que λ =
1
.
15
2°. Quelle est la durée de vie moyenne des composants produits ?
3°. Le fabriquant décide de garantir 2 ans les composants. On suppose que chaque fois qu’un composant grille avant
2 ans, le client fait jouer la garantie et que cela occasionne 20 € de frais pour le fabriquant.
a) La production est très nombreuse.
Quelle somme, par composant, dépensera en moyenne le fabriquant, au titre de la garantie ?
b) Le fabriquant veux limiter cette dépense à 2 €. Quelle durée, en mois, doit-il alors fixer pour cette garantie ?
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Exercice 2 (4 points)
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Aucune justification n’est demandée.
Une bonne réponse rapporte 0,75 point pour les questions 1 à 4 et 1 point pour la 5e question.
Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l’absence de réponse à une question ne rapportent ni n’enlèvent de
point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.
1° Soit f une fonction définie sur ℝ . Alors :
a. Si f est continue sur ℝ alors f est dérivable sur ℝ .
b. Si f n’est pas dérivable sur ℝ alors f n’est pas continue sur ℝ .
c. Si f n’est pas continue sur ℝ alors f n’est pas dérivable sur ℝ .
d. Les trois affirmations ci-dessus sont fausses
2° On note α l’unique solution dans ℝ de l’équation x + e x = 0 .
Soit g la fonction définie sur ℝ par g( x ) = x + e − x . Alors :
a. g( α ) = 2α
b. g( α ) =
α2 −1
α
c. g( α ) =
n
1
3° On pose, pour tout entier naturel n, un = 2n + 3   et Sn =
 2
a. La suite (u n ) n ≥ 0 est convergente
α2 + 1
α
d. g( α ) = 0
n
∑u
n
= u0 + u1 + ⋯ + un . Alors
k =0
b. La suite ( S n ) n ≥ 0 est convergente
 1
Pour tout entier naturel n, S n = n 2 + n + 3  1 −  
 2

c.
n +1



  1  n +1 
d. Pour tout entier naturel n, S n = n + n + 6  1 −    .
 2 


2
4° La valeur moyenne sur [ −1;1] de la fonction g définie par : g(x) = e− x est :
a.
e − e−1
2
b.
2e + e 2
2
c. 0
d.
e
2
5° Soit f une fonction continue et croissante sur [a ; b]. Alors on a forcément :
a.
c.
∫
∫
b
f (x)dx ≥ 0
b.
a
b
a
f (x)dx ≥ b − a
d.
∫
b
f (x)dx ≥ f (a)
a
∫
b
a
f (x)dx ≥ ( b − a ) f (a)
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Exercice 3 (5 points)
On considère la fonction f définie sur l’intervalle ] 0 ; + ∞ [ par : f ( x) = 1 + x − ln x .
On a tracé en annexe 1 dans un repère orthonormé la courbe C représentative de f ainsi que la droite ∆
d’équation y = x .
1°. a) Résoudre l’équation f ( x) = x dans l’intervalle ] 0 ; + ∞ [ .
b) Étudier les variations de la fonction f dans] 0 ; + ∞ [. (On ne demande pas de déterminer les limites.)
En déduire le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [e ; 5].
On considère la suite (u n ) n ≥ 0 définie par u0 = 5 et, pour tout entier naturel n, un +1 = f (un ) = 1 + un − ln un .
2°. a) Sur la figure de l’annexe 1, placer sur l’axe des abscisses, en utilisant C et ∆, les cinq premiers termes de la
suite (u n ) n ≥ 0 . On laissera apparents les traits de construction.
b) Quelles conjectures peut-on faire concernant :
i) le sens de variation de la suite (u n ) n ≥ 0 ?
ii) la convergence ou la divergence de cette suite ?
iii) la valeur de la limite de cette suite ?
3°. a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, e ≤ un +1 ≤ un ≤ 5 .
b) En déduire une démonstration des conjectures faites aux questions i) et ii) du 2° b).
c)
l
désignant la limite de la suite (u n ) n ≥ 0 , expliquer pourquoi on a : f
 
l 
 
=l .
En déduire une confirmation de la conjecture faite à la question iii) du 2° b).
4°. Pour tout entier naturel n, on définit les suites (vn ) n ≥ 0 et
( S n ) n ≥ 0 par
n
vn = ln un
et
Sn =
∑v
k
= v0 + v1 + ⋯ + vn .
k =0
a) Compléter l’algorithme ci-contre pour qu’il affiche la
somme Sn pour l’entier n choisi par l’utilisateur.
(Ecrire les 6 lignes complétées du traitement sur votre
copie)
b) Démontrer que la suite ( S n ) n ≥ 0 diverge vers + ∞.
Variables
n, k : entiers naturels
u, v, S : nombres réels
Initialisation des variables
u prend la valeur 5
v prend la valeur ln u
S prend la valeur v
k prend la valeur 0
Saisir la valeur de n
Traitement
Tant que ………………
k prend la valeur
u prend la valeur
v prend la valeur
S prend la valeur
Fin Tant que
Sortie
Afficher S
k+1
………………….
………………….
………………….
Exercice 4 (5 points)
Cet exercice est à traiter sur une feuille séparée
Tous les calculs matriciels pourront être faits à la calculatrice et ne sont donc pas à justifier.
On note ( Me ) l’ensemble des matrices carrées de dimensions 2 × 2 dont les quatre coefficients sont des entiers
a b 
 , M ∈ ( Me ) ⇔ a ∈ ℤ et b ∈ ℤ et c ∈ ℤ et d ∈ ℤ .
c d
On notera I 2 la matrice identité de dimension 2. On peut remarquer que I 2 ∈ ( Me ) .
relatifs. Ainsi si M = 
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a b 
 a' b' 
 et M ' = 
 de ( Me ) sont dites congrues modulo 10 et l’on note
c d
 c' d ' 
a ≡ a' [10] b ≡ b' [10]
M ≡ M ' [10] si on a les quatre relations : 
.
c ≡ c' [10] d ≡ d ' [10]
Définition : Deux matrices M = 
 M ≡ M ' [10]
alors M × N ≡ M ' × N ' [10] .
 N ≡ N ' [10]
Propriété admise : M ,M ',N et N ' quatre matrices de ( Me ) , Si 
Partie A : Etude de quelques éléments et quelques propriétés de l’ensemble ( Me ) .
 12 −5 
 . Déterminer la matrice A1 de ( Me ) , telle que A1 ≡ A [10] et dont tous les coefficients sont
 −9 20 
des entiers de 0; 9 , c’est-à-dire des chiffres entre 0 et 9 compris. (On peut remarquer, et on admettra par la suite,
1° Soit A = 
que ce procédé définit ainsi une seule matrice A1 )
 1 5
2n
 . Démontrer que pour tout entier naturel n, M ≡ I 2 [10]
 0 1
5 1
3° Soit la matrice T = 
.
3 2
2° Soit la matrice M = 
Déterminer la matrice T −1 . La matrice T −1 est-elle un élément de l’ensemble ( Me ) ?
6 7
 . Calculer T × T ' . A-t-on T × T ' ≡ I 2 [10] ?
1 5
 2 6
4° Soit la matrice B = 
 . Démontrer qu’il n’existe pas de matrice B' de l’ensemble ( Me ) vérifiant la
1 4
On note T ' = 
relation : B' × B ≡ I 2 [10] .
Partie B : Système de chiffrement des codes à quatre chiffres. (Comme les codes de cartes bancaires ou codes PIN)
Description du système de chiffrement sur un exemple:
Soit un code formé de quatre chiffres comme par exemple 6 8 5 2
6 8
 . On pose C' = C × T où T est la matrice
5 2
On écrit ce code sous forme d’une matrice C = 
5 1

 définie
3 2
 54 22 
'
 . On considère alors la matrice C1 formé de quatre chiffres (soit des
 31 9 
 4 2
éléments de 0; 9 ) telle que C1 ' ≡ C' [10] . Ici C1 ' = 
 et on dit que le code chiffré est : 4 2 1 9
1 9
en A. 2°. On obtient alors C' = 
1° Chiffrer par cette méthode le code 7 2 4 4
2° Après avoir utilisé cette méthode pour son code PIN, M. Leprudent a obtenu le code chiffré : 4 8 6 6. Déterminer
quel était son code PIN initial. (On pourra utiliser un résultat de la partie A)
 2 6

1 4
3° Dans cette question, on reprend le procédé précédent en remplaçant la matrice T par la matrice B = 
(Matrice B qui est définie en Partie A. 4°) . On a donc maintenant le produit : C' = C × B .
a b 
a +5 b
 ainsi que pour une matrice C = 

d
c d 
 c
a. Calculer C' pour une matrice C = 
b. En déduire deux codes à quatre chiffres ayant le même chiffrage en utilisant cette méthode de chiffrement.
c. Que peut-on en conclure pour ce système de chiffrement lorsque l’on utilise cette matrice B ?
5/6
NOM :
ANNEXE 1
∆
6/6