Chapitre 3 AL
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Chapitre 3 AL
Lyc´ ee Descartes PC 2014-15 M. Besbes Alg` ebre lin´ eaire 1. Exercice 1. Soit E un espace vectoriel r´eel de dimension finie n ≥ 1. Soient A et B deux sous-espaces de E de mˆeme dimension k ≥ 1. 1) Dans cette question seulement, on suppose que A et B sont en somme directe et on note (a1 , . . . , ak ) une base de A et (b1 , . . . , bk ) une base de B. On note C le sous-espace vectoriel engendr´e par (a1 + b1 , . . . , ak + bk ). Montrer que A ⊕ C = B ⊕ C = A ⊕ B. 2) Montrer que les deux sous-espaces A et B poss`edent au moins un suppl´ementaire commun dans E. Exercice 2. Soit E un espace vectoriel r´eel. S 1) Soient F1 et F2 deux sous-espaces vectoriels de E. Montrer que F1 F2 est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si F1 ⊂ F2 ou F2 ⊂ F1 . 2) Soient F1 , F2 , . . . , Fk k sous-espaces vectoriels stricts de E ; (ceci signifie que tous les Fi sont diff´erents de E). On se propose de montrer, par r´ecurrence sur k, que leur r´eunion n’est pas ´egale a E. ` a) Montrer le r´esultat pour k = 1 et k = 2. On se donne maintenant k +1 sous-espaces vectoriels stricts F1 , F2 , . . . , Fk+1 , on note Ak la r´eunion des k sous-espaces vectoriels F1 , F2 , . . . , Fk et on suppose qu’il existe x ∈ Fk+1 \Ak et y ∈ Ak \Fk+1 . On note enfin f : R → E l’application : α 7→ αx + y. T b) Montrer que f (R) Fk+1 = ∅. T c) Montrer que pour tout i ∈ {1, . . . , k}, f (R) Fi contient au plus un ´el´ement. d) Conclure. Exercice 3. Soient E un espace vectoriel r´eel de dimension finie n > 0 et u ∈ L(E) un endomorphisme. On d´efinit pour tout x ∈ E, u0 (x) = x et pour p ∈ N, up+1 (x) = u up (x) . On dira que l’endomorphisme u est cyclique s’il existe x0 ∈ E tel que la famille {ui (x0 ), i = 0, . . . , n − 1} est une base de E. 1) On suppose que u est cyclique et on note C(u) = {v ∈ L(E), u ◦ v = v ◦ u}. Montrer que la famille {ui , i = 0, . . . , n − 1} est une base de C(u). (on pourra consid´erer l’application Φ : C(u) → E telle que Φ(v) = v(x0 )). 2) On suppose que E = Rn−1 [X] l’espace vectoriel des polynˆomes `a coefficients r´eels de degr´e inf´erieur ou ´egal ` a n−1 et on d´efinit l’endomorphisme ∆ : E → E par ∆(P )(X) = P (X +1)−P (X). 1 a) Montrer que ∆ est cyclique. b) En d´eduire qu’il existe un unique (λ0 , . . . , λn−1 ) ∈ Rn tel que 0 ∀ P ∈ E, P = n−1 X λi ∆i (P ). i=0 Exercice 4. Soit E un espace vectoriel r´eel. Soit u ∈ L(E) un endomorphisme de E. Pour tout k ∈ N∗ , on pose uk = u o u ◦ . . . ◦ u k-fois u , Nk = ker uk et Rk = Im uk . 1-a) Montrer que pour tout k ≥ 1, Nk ⊂ Nk+1 et que s’il existe k0 tel que Nk0 = Nk0 +1 , alors ∀ p ≥ k0 , Np = Nk0 . 1-b) Montrer que pour tout k ≥ 1, Rk+1 ⊂ Rk et que s’il existe k0 tel que Rk0 = Rk0 +1 , alors ∀ p ≥ k0 , Rp = Rk0 . 2-a) Montrer Nk = Nk+1 si et seulement si Rk ∩ N1 = {0}. 2-b) Montrer que Rk = Rk+1 si et seulement si R1 + Nk = E. Exercice 5. Soit E un espace vectoriel r´eel. Soit u ∈ L(E) un endomorphisme de E. Pour tout k ∈ N∗ , on pose uk = u o u ◦ . . . ◦ u k-fois u et Nk = ker uk . 1-a) Montrer que ∀ k ≥ 1, Nk ⊂ Nk+1 et que si il existe k0 tel que Nk0 = Nk0 +1 , alors ∀ p ≥ k0 , Np = Nk0 . 1-b) On suppose que pour tout k ≥ 1, la dimension de Nk est finie et on note αk = dim Nk et βk = αk − αk−1 avec la convention α0 = 0. Montrer que la suite (βk )k≥1 est d´ecroissante. 2) On note E = R[X] l’ensemble des polynˆomes `a coefficients r´eels. Soit ϕ ∈ L(E) d´efini par : pour tout P ∈ E, ϕ(P ) = P 0 (polynˆ ome d´eriv´e). Existe-t-il u ∈ L(E) tel que u o u = ϕ ? Exercice 6. Soit f ∈ L(R20 ). On suppose que f 20 = 0 et f 19 6= 0. Que vaut rg (f 11 ) ? Exercice 7. Soit E un espace vectoriel r´eel. On note A = L(E) l’ensemble des endomorphismes de E. On consid`ere l’´equation : (∗) Y ◦ Z − Z ◦ Y = I o` u I est l’identit´e de E et Y, Z deux ´el´ements de A. 1) Dans cette question, on suppose que E est de dimension finie. a) Comparer tr (Y ◦ Z) et tr (Z ◦ Y ) pour Y et Z deux ´el´ements de A o` u tr d´esigne la trace d’un endomorphisme de E. 2 b) En d´eduire l’ensemble des solutions de l’´equation (∗) avec Y, Z dans A. 2) On suppose maintenant que E = R[X], l’ensemble des polynˆomes `a coefficients r´eels. a) D´eterminer tous les ´el´ements Φ de A tels que pour tout n ∈ N, on ait : Φ(X n+1 ) − XΦ(X n ) = X n . b) Montrer que l’ensemble des solutions de l’´equation (∗) est non vide. Exercice 8. Soit E un espace vectoriel r´eel de dimension finie n. On suppose qu’il existe un endomorphisme f ∈ L(E) tel que f ◦ f = − id. Le but de cet exercice est de montrer que n est pair. 1) Montrer que pour tout x ∈ E \ {0}, la famille (x, f (x)) est libre. 2) On suppose qu’il existe (x1 , . . . , xp , xp+1 ) ∈ E p+1 tels que la famille (x1 , . . . , xp , xp+1 , f (x1 ), . . . , f (xp )) est libre. Montrer alors que la famille (x1 , . . . , xp , xp+1 , f (x1 ), . . . , f (xp+1 )) est libre aussi. 3) Conclure. Exercice 9. Soit E un espace vectoriel r´eel de dimension finie n. On consid`ere un endomorphisme f ∈ L(E) tel que f ◦ f = 0. 1) On suppose que n = 3 et que f 6= 0. Montrer que rg (f ) = 1. n 2) Dans le cas g´en´eral, montrer que rg (f ) ≤ . 2 Exercice 10. Soit E un espace vectoriel r´eel de dimension 3. On consid`ere un endomorphisme f ∈ L(E) tel que f ◦ f ◦ f = 0 et f ◦ f 6= 0. Montrer que rg (f ) = 2. Exercice 11. Soient E, F, G trois espaces vectoriels r´eels de dimensions respectives n, p, q et u : E → F, w : E → G deux applications lin´eaires. a) Montrer qu’il existe v ∈ L(F, G) telle que v ◦ u = w ssi ker u ⊂ ker w. b) On note V = {v ∈ L(F, G); v ◦ u = 0}. Montrer que V est un s.e.v. de L(F, G) et pr´eciser sa dimension. 3 Exercice 12. Dans cet exercice K d´esigne le corps des r´eels ou celui des complexes. Soient E un espace vectoriel sur K et u, v deux endomorphismes de E. On rappelle qu’un endomorphisme w est dit nilpotent s’il existe k ∈ N∗ tel que wk = 0. 1) On suppose, dans cette question seulement, que u ◦ v est nilpotent. Montrer qu’il en est de mˆeme pour v ◦ u et exprimer l’inverse de v ◦ u− id en fonction de celui de u ◦ v− id, de u et v. 2) Montrer que pour tout λ ∈ K \ {0}, (u ◦ v − λ id) est bijectif ssi (v ◦ u − λ id) est bijectif. On pourra utiliser le r´esultat pr´ec´edent. 3) Montrer ` a l’aide d’un exemple que le r´esultat de la question 2) est faux pour λ = 0. 4) Que peut-on dire dans le cas o` u E est de dimension finie ? Exercice 13. Soient f1 , . . . , fp , g, p + 1 formes lin´eaires d’un espace vectoriel E. Montrer que si p \ ker fi ⊂ ker g, alors g est une combinaison lin´eaire des fi . (on pourra consid´erer l’application i=1 Φ : E → Rp+1 d´efinie par Φ(x) = (f1 (x), . . . , fp (x), g(x)) et remarquer que l’image de Φ est incluse dans un hyperplan de Rp+1 qui ne contient pas (0, . . . , 0, 1)). Exercice 14. Soient E un K-espace vectoriel et f un endomorphisme de E. 1) On suppose que pour tout x ∈ E, les vecteurs x et f (x) sont colin´eaires. Montrer qu’il existe λ ∈ K tel que pour tout x ∈ E, f (x) = λx. 2) On suppose maintenant que E a une dimension finie n ∈ N∗ et qu’il existe k ∈ 1, n − 1 tel que tous les sous-espaces vectoriels de E de dimension k, soient stables par f . Montrer qu’il existe λ ∈ K tel que pour tout x ∈ E, f (x) = λx. Exercice 15. Soit A ∈ Mn,p (R) une matrice de rang r. Montrer qu’il existe deux matrices U ∈ GLn (R) et Ir 0 V ∈ GLp (R) telles que U AV = Jr , o` u Jr = . 0 0 Exercice 16. Soient A et B deux matrices carr´ees de Mn (C). Montrer que s’il existe x0 ∈ ker A\ ker B, alors, il existe C ∈ Mn (C) telle que B + C soit inversible et A + C ne soit pas inversible. Exercice 17. Soient A, B, C ∈ Mn (K). Montrer que : rg (AB)+ rg (BC) ≤ rg (ABC)+ rg (B). Exercice 18. a1 b1 . . Soient A = .. , B = .. deux matrices colonnes de Mn,1 (R). On note M = At B et an bn X s= ai bi . 4 1) Que peut-on dire du rang de M ? 2) Montrer que : a) si s = 0, alors M 2 = 0. b) si s 6= 0, alors M est semblable ` a la matrice sE11 o` u E11 d´esigne la premi`ere matrice de la base canonique de Mn (R). Exercice 19. Soit A ∈ Mn,p (R) une matrice de rang r. 1) On suppose qu’il existe deux matrices B ∈ Mn,k (R) et C ∈ Mk,p (R) telles que : A = BC. Montrer que k ≥ r. 2) Montrer qu’il existe B ∈ Mn,r (R) et C ∈ Mr,p (R) telles que : A = BC. 3) Soit k ∈ N∗ tel que k ≤ min (n, p). Soit Φ : Mn,k (R) × Mk,p (R) → Mn,p (R) d´efinie par : Φ(B, C) = BC. D´eterminer Φ Mn,k (R) × Mk,p (R) . Exercice 20. 1. Soit A ∈ Mp,q (R). a. D´eterminer Ker (t AA) et Rg (t AA) en fonction des ´el´ements correspondants de A. b. Trouver une CNS portant sur Rg A pour que la matrice t AA soit inversible. 2. Montrer que la CNS obtenue en 1.b. n’est plus valide si l’on consid`ere une matrice A ∈ Mp,q (C) avec p 6= q , mais qu’elle le demeure si p = q. 3. On revient au cas A ∈ Mp,q (R). Lorsque la condition du 1. est v´erifi´ee, on d´efinit la matrice B = A(t AA)−1 t A. Que repr´esente cette matrice ? Exercice 21. Soit M ∈ Mn (R) une matrice carr´ee d´efinie par M = (mij )1≤i,j≤n . a) On suppose que : X ∀ i = 1, . . . , n, |mij | < |mii |. j6=i Montrer que la matrice M est inversible. b) On suppose que : X ∃ i ∈ 1, n , |mij | = |mii | = 6 0 j6=i et X ∀ k ∈ 1, n \ {i}, |mkj | < |mkk |. j6=k Montrer que la matrice M est encore inversible. Exercice 22. 1) On d´efinit la trace d’une matrice carr´ee C = (cij ), de taille m, par tr (C) = m X i=1 A ∈ Mn,p (R) et B ∈ Mp,n (R) deux matrices. Montrer que tr (AB) = tr (BA). 5 cii . Soient 2) Soit A ∈ Mn (R) une matrice carr´ee `a coeficients r´eels. On suppose qu’il existe B ∈ Mn (R) telle que A = BA − AB. a) Montrer que la matrice A n’est pas inversible dans Mn (R). b) Montrer que pour tout k ∈ N, kAk = BAk − Ak B. c) Montrer que pour tout k ∈ N∗ , tr (Ak ) = 0. Exercice 23. Soit V un sous-espace vectoriel de Cn de dimension r. On note F = {A ∈ Mn (C); ∀ x ∈ V, Ax = 0} et G = {A ∈ Mn (C); ∀ x ∈ Cn , Ax ∈ V }. Calculer dim F et dim G. Exercice 24. 0 Soient A ∈ M32 (R) et B ∈ M23 (R) telles que AB = 0 0 0 0 . Calculer BA. 18 0 18 0 Exercice 25. Soient A, B ∈ Mm (C) telles que rg (A) = r et rg (B) = s. On d´efinit les endomorphismes LA , LB , RA et RB de Cm par ; LA (M ) = AM, LB (M ) = BM, RA (M ) = M A et RB (M ) = M B. (a) Calculer rg LA et rg RA . (b) Calculer rg (LA ◦ RB ). Exercice 26. Soient A, B ∈ Mn (K) telles que ABAB = 0. (a) Montrer que si n = 2 alors BABA = 0. (b) Montrer ` a l’aide d’un exemple que pour n = 3, la matrice BABA n’est pas toujours nulle. Exercice 27. Soient a1 , . . . , an n nombres r´eels. On note B = (e1 , . . . , en , en+1 ) la base canonique de Rn+1 et u ∈ L(Rn+1 ) l’endomorphisme dont la matrice dans la base B est : 0 a1 . A= .. . .. a1 On pose ε0 = n+1 X i=1 a1 .. . a2 .. . a2 ei et pour j = 1, . . . , n, εj = ... ... a2 .. . .. . ... ... .. . .. . an .. . .. . a an 0 j X i=1 n ei et sj = j X ai . On notera enfin s = sn . i=1 a) Calculer u(ε0 ) et exprimer u(εj ) en fonction de ε0 , εj , sj et aj . b) En d´eduire la matrice de u dans la base (ε0 , ε1 , . . . , εn ). c) Pour quelles valeurs de λ ∈ R, la matrice A − λIn+1 est-elle inversible ? 6 Exercice 28. 2iπ Soit n un entier naturel sup´erieur ou ´egal `a 2. On pose ω = e n . Pour tout k appartenant `a {0, 1, . . . , n − 1}, on d´esigne par Ek l’ensemble des fonctions f de de C dans C v´erifiant : ∀ x ∈ C, f (ωx) = ω k f (x). 1. D´eterminer toutes les fonctions polynomiales complexes appartenant `a Ek . 2i(l−1)(m−1)π n . Calculer la matrice 2. On consid`ere la matrice A ∈ Mn (R), de terme g´en´eral alm = e AA. (A ´etant la matrice de terme g´en´eral alm , le conjugu´e de alm ). 3. Dans le cas g´en´eral, si l’on d´esigne par E l’ensemble des fonctions de C dans C, montrer que : E = ⊕n−1 k=0 Ek . Exercice 29. Soient p ∈ N∗ et z1 , . . . , zp , p nombres complexes deux `a deux distincts. On note A = (ai,j ) la matrice de Mp (C) d´efinie par ai,j = zji−1 . 1) Montrer que la matrice A est de rang p. 2) On suppose que min |zi | ≥ 1 et qu’il existe a1 , . . . , ap ∈ C tels que un = a1 z1n + . . . + ap zpn → 0 i=1,...,p quand n → +∞. a1 z1n a) Montrer qu’il existe B ∈ Mp (C) telle que : ∀ n ∈ N, ... = B un .. . . ap zpn un+p−1 b) En d´eduire que a1 = . . . = ap = 0. 3) On suppose toujours que min |zi | ≥ 1. Donner une condition n´ecessaire et suffisante portant i=1,...,p sur a1 , . . . , ap ∈ C et z1 , . . . , zp pour que la suite (un = a1 z1n + . . . + ap zpn ) converge. Exercice 30. Soient a0 , a1 , · · · , an−1 ∈ R et 0 ... ... 0 .. .. . . . .. .. . . .. .. .. . . 0 ··· 0 1 1 C= 0 . .. 0 a0 .. . .. . an−2 an−1 une matrice compagnon de Mn (R). 1) On consid`ere p2 , . . . , pn ∈ R et on note 0 ... P = 0 ··· . .. . .. 1 p2 0 . .. . .. . .. 1 p2. . .. pn a) Montrer qu’il existe p2 , . . . , pn ∈ R tels que P C soit une matrice sym´etrique. 7 b) Montrer qu’il existe deux matrices sym´etriques R et S ∈ Mn (R) telles que R soit inversible et C = RS. 2) Soit M une matrice semblable ` a la matrice C. a) Montrer qu’il existe deux matrices sym´etriques R et S ∈ Mn (R) telles que R soit inversible et M = RS. b) En d´eduire que les matrices M et t M sont semblables. Exercice 31. Soient E un espace vectoriel de dimension finie n, non r´eduit `a {0} et f un endomorphisme de E. 1) Montrer, en utilisant les r´esultats de l’exercice 4, qu’il existe p ∈ 1, n tel que : E = ker (f p )⊕ Im (f p ). 2) En d´eduire qu’il existe une base de E dans la quelle la matrice de f soit de la forme N 0 0 C o` u N est une matrice nilpotente et C est une matrice inversible (l’une des matrices N ou C peut naturellement ˆetre de dimension 0). Exercice 32. Soient E un espace vectoriel de dimension finie n, non r´eduit `a {0} et u1 , . . . , un , n endomorphismes nilpotents de E, qui commutent deux `a deux. On rappelle qu’un endomorphisme u est dit nilpotent s’il existe k ∈ N∗ tel que uk = 0. 1) On se place dans cette question seulement, dans le cas particulier o` u u1 = . . . = un . Montrer que u1 ◦ . . . ◦ un = un1 = 0. 2) Pour tout k ∈ 0, n − 1 , on pose Fk+1 = Im (uk+1 ◦ . . . ◦ un ). Montrer que si k ∈ 1, n − 1 et Fk+1 6= {0}, alors uk (Fk+1 ) est un sous-espace vectoriel strict de Fk+1 . 3) En d´eduire que u1 ◦ . . . ◦ un = 0. Exercice 33. Dans cet exercice K d´esigne le corps des r´eels ou celui des complexes, n un entier sup´erieur ou ´egal a 1, Mn (K) et GLn (K) respectivement l’ensemble des matrices carr´ees de ` dimension n ` a coefficients dans K et l’ensemble des matrices inversibles de dimension n `a coefficients dans K. Pour tout A ∈ Mn (K), on note fA : Mn (K) → K l’application d´efinie par : fA (X) = Tr (AX) O` u Tr (M ) d´esigne la trace de M , ´egale `a la somme de ses ´el´ements diagonaux. 1) Montrer que l’application f : A 7→ fA est un isomorphisme entre Mn (K) et son dual (l’ensemble des formes lin´eaires d´efinies sur Mn (K)). 2) On suppose que n ≥ 2. 2-a) On consid`ere la matrice M = (mij ) d´efinie par mij = 0 sauf si (j ∈ 1, n − 1 et i = j + 1) ou (j = n et i = 1) auxquels cas mij = 1. Calculer Tr M . 8 2-b) Soit A une matrice de Mn (K) de rang r. Montrer qu’il existe une matrice M ∈ GLn (K) telle que Tr (AM ) = 0. On pourra commencer par consid´erer une matrice simple ´equivalente ` a A et s’inspirer de la question pr´ec´edente. 2-c) En d´eduire que pour n ≥ 2, tout hyperplan de Mn (K) rencontre GLn (K). On rappelle qu’un hyperplan de Mn (K) est un sous-espace vectoriel de dimension n2 − 1. 9