Chapitre 3 AL

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Chapitre 3 AL
Lyc´
ee Descartes
PC 2014-15
M. Besbes
Alg`
ebre lin´
eaire 1.
Exercice 1.
Soit E un espace vectoriel r´eel de dimension finie n ≥ 1. Soient A et B deux sous-espaces de E de
mˆeme dimension k ≥ 1.
1) Dans cette question seulement, on suppose que A et B sont en somme directe et on note
(a1 , . . . , ak ) une base de A et (b1 , . . . , bk ) une base de B. On note C le sous-espace vectoriel
engendr´e par (a1 + b1 , . . . , ak + bk ).
Montrer que A ⊕ C = B ⊕ C = A ⊕ B.
2) Montrer que les deux sous-espaces A et B poss`edent au moins un suppl´ementaire commun dans
E.
Exercice 2.
Soit E un espace vectoriel r´eel.
S
1) Soient F1 et F2 deux sous-espaces vectoriels de E. Montrer que F1 F2 est un sous-espace
vectoriel de E si et seulement si F1 ⊂ F2 ou F2 ⊂ F1 .
2) Soient F1 , F2 , . . . , Fk k sous-espaces vectoriels stricts de E ; (ceci signifie que tous les Fi sont
diff´erents de E). On se propose de montrer, par r´ecurrence sur k, que leur r´eunion n’est pas ´egale
a E.
`
a) Montrer le r´esultat pour k = 1 et k = 2.
On se donne maintenant k +1 sous-espaces vectoriels stricts F1 , F2 , . . . , Fk+1 , on note Ak la r´eunion
des k sous-espaces vectoriels F1 , F2 , . . . , Fk et on suppose qu’il existe x ∈ Fk+1 \Ak et y ∈ Ak \Fk+1 .
On note enfin f : R → E l’application : α 7→ αx + y.
T
b) Montrer que f (R) Fk+1 = ∅.
T
c) Montrer que pour tout i ∈ {1, . . . , k}, f (R) Fi contient au plus un ´el´ement.
d) Conclure.
Exercice 3.
Soient E un espace vectoriel r´eel de dimension finie n > 0 et u ∈ L(E) un endomorphisme.
On d´efinit pour tout x ∈ E, u0 (x) = x et pour p ∈ N, up+1 (x) = u up (x) . On dira que
l’endomorphisme u est cyclique s’il existe x0 ∈ E tel que la famille {ui (x0 ), i = 0, . . . , n − 1} est
une base de E.
1) On suppose que u est cyclique et on note C(u) = {v ∈ L(E), u ◦ v = v ◦ u}.
Montrer que la famille {ui , i = 0, . . . , n − 1} est une base de C(u). (on pourra consid´erer
l’application Φ : C(u) → E telle que Φ(v) = v(x0 )).
2) On suppose que E = Rn−1 [X] l’espace vectoriel des polynˆomes `a coefficients r´eels de degr´e
inf´erieur ou ´egal `
a n−1 et on d´efinit l’endomorphisme ∆ : E → E par ∆(P )(X) = P (X +1)−P (X).
1
a) Montrer que ∆ est cyclique.
b) En d´eduire qu’il existe un unique (λ0 , . . . , λn−1 ) ∈ Rn tel que
0
∀ P ∈ E, P =
n−1
X
λi ∆i (P ).
i=0
Exercice 4.
Soit E un espace vectoriel r´eel. Soit u ∈ L(E) un endomorphisme de E. Pour tout k ∈ N∗ , on
pose uk = u o u ◦ . . . ◦ u k-fois u , Nk = ker uk et Rk = Im uk .
1-a) Montrer que pour tout k ≥ 1, Nk ⊂ Nk+1 et que s’il existe k0 tel que Nk0 = Nk0 +1 , alors
∀ p ≥ k0 , Np = Nk0 .
1-b) Montrer que pour tout k ≥ 1, Rk+1 ⊂ Rk et que s’il existe k0 tel que Rk0 = Rk0 +1 , alors
∀ p ≥ k0 , Rp = Rk0 .
2-a) Montrer Nk = Nk+1 si et seulement si Rk ∩ N1 = {0}.
2-b) Montrer que Rk = Rk+1 si et seulement si R1 + Nk = E.
Exercice 5.
Soit E un espace vectoriel r´eel. Soit u ∈ L(E) un endomorphisme de E. Pour tout k ∈ N∗ , on
pose uk = u o u ◦ . . . ◦ u k-fois u et Nk = ker uk .
1-a) Montrer que ∀ k ≥ 1, Nk ⊂ Nk+1 et que si il existe k0 tel que Nk0 = Nk0 +1 , alors ∀ p ≥
k0 , Np = Nk0 .
1-b) On suppose que pour tout k ≥ 1, la dimension de Nk est finie et on note αk = dim Nk et
βk = αk − αk−1 avec la convention α0 = 0. Montrer que la suite (βk )k≥1 est d´ecroissante.
2) On note E = R[X] l’ensemble des polynˆomes `a coefficients r´eels. Soit ϕ ∈ L(E) d´efini par :
pour tout P ∈ E, ϕ(P ) = P 0 (polynˆ
ome d´eriv´e).
Existe-t-il u ∈ L(E) tel que u o u = ϕ ?
Exercice 6.
Soit f ∈ L(R20 ). On suppose que f 20 = 0 et f 19 6= 0. Que vaut rg (f 11 ) ?
Exercice 7.
Soit E un espace vectoriel r´eel. On note A = L(E) l’ensemble des endomorphismes de E. On
consid`ere l’´equation :
(∗) Y ◦ Z − Z ◦ Y = I
o`
u I est l’identit´e de E et Y, Z deux ´el´ements de A.
1) Dans cette question, on suppose que E est de dimension finie.
a) Comparer tr (Y ◦ Z) et tr (Z ◦ Y ) pour Y et Z deux ´el´ements de A o`
u tr d´esigne la trace d’un
endomorphisme de E.
2
b) En d´eduire l’ensemble des solutions de l’´equation (∗) avec Y, Z dans A.
2) On suppose maintenant que E = R[X], l’ensemble des polynˆomes `a coefficients r´eels.
a) D´eterminer tous les ´el´ements Φ de A tels que pour tout n ∈ N, on ait :
Φ(X n+1 ) − XΦ(X n ) = X n .
b) Montrer que l’ensemble des solutions de l’´equation (∗) est non vide.
Exercice 8.
Soit E un espace vectoriel r´eel de dimension finie n. On suppose qu’il existe un endomorphisme
f ∈ L(E) tel que f ◦ f = − id. Le but de cet exercice est de montrer que n est pair.
1) Montrer que pour tout x ∈ E \ {0}, la famille (x, f (x)) est libre.
2) On suppose qu’il existe (x1 , . . . , xp , xp+1 ) ∈ E p+1 tels que la famille
(x1 , . . . , xp , xp+1 , f (x1 ), . . . , f (xp )) est libre. Montrer alors que la famille
(x1 , . . . , xp , xp+1 , f (x1 ), . . . , f (xp+1 )) est libre aussi.
3) Conclure.
Exercice 9.
Soit E un espace vectoriel r´eel de dimension finie n. On consid`ere un endomorphisme f ∈ L(E)
tel que f ◦ f = 0.
1) On suppose que n = 3 et que f 6= 0. Montrer que rg (f ) = 1.
n
2) Dans le cas g´en´eral, montrer que rg (f ) ≤ .
2
Exercice 10.
Soit E un espace vectoriel r´eel de dimension 3. On consid`ere un endomorphisme f ∈ L(E) tel que
f ◦ f ◦ f = 0 et f ◦ f 6= 0. Montrer que rg (f ) = 2.
Exercice 11.
Soient E, F, G trois espaces vectoriels r´eels de dimensions respectives n, p, q et u : E → F, w : E →
G deux applications lin´eaires.
a) Montrer qu’il existe v ∈ L(F, G) telle que v ◦ u = w ssi ker u ⊂ ker w.
b) On note V = {v ∈ L(F, G); v ◦ u = 0}. Montrer que V est un s.e.v. de L(F, G) et pr´eciser sa
dimension.
3
Exercice 12.
Dans cet exercice K d´esigne le corps des r´eels ou celui des complexes. Soient E un espace vectoriel
sur K et u, v deux endomorphismes de E. On rappelle qu’un endomorphisme w est dit nilpotent
s’il existe k ∈ N∗ tel que wk = 0.
1) On suppose, dans cette question seulement, que u ◦ v est nilpotent. Montrer qu’il en est de
mˆeme pour v ◦ u et exprimer l’inverse de v ◦ u− id en fonction de celui de u ◦ v− id, de u et v.
2) Montrer que pour tout λ ∈ K \ {0}, (u ◦ v − λ id) est bijectif ssi (v ◦ u − λ id) est bijectif. On
pourra utiliser le r´esultat pr´ec´edent.
3) Montrer `
a l’aide d’un exemple que le r´esultat de la question 2) est faux pour λ = 0.
4) Que peut-on dire dans le cas o`
u E est de dimension finie ?
Exercice 13.
Soient f1 , . . . , fp , g, p + 1 formes lin´eaires d’un espace vectoriel E. Montrer que si
p
\
ker fi ⊂ ker g, alors g est une combinaison lin´eaire des fi . (on pourra consid´erer l’application
i=1
Φ : E → Rp+1 d´efinie par Φ(x) = (f1 (x), . . . , fp (x), g(x)) et remarquer que l’image de Φ est incluse
dans un hyperplan de Rp+1 qui ne contient pas (0, . . . , 0, 1)).
Exercice 14.
Soient E un K-espace vectoriel et f un endomorphisme de E.
1) On suppose que pour tout x ∈ E, les vecteurs x et f (x) sont colin´eaires. Montrer qu’il existe
λ ∈ K tel que pour tout x ∈ E, f (x) = λx.
2) On suppose maintenant que E a une dimension finie n ∈ N∗ et qu’il existe k ∈ 1, n − 1 tel
que tous les sous-espaces vectoriels de E de dimension k, soient stables par f . Montrer qu’il existe
λ ∈ K tel que pour tout x ∈ E, f (x) = λx.
Exercice 15.
Soit A ∈ Mn,p (R) une matrice de rang r. Montrer
qu’il existe deux matrices U ∈ GLn (R) et
Ir 0
V ∈ GLp (R) telles que U AV = Jr , o`
u Jr =
.
0 0
Exercice 16.
Soient A et B deux matrices carr´ees de Mn (C). Montrer que s’il existe x0 ∈ ker A\ ker B, alors,
il existe C ∈ Mn (C) telle que B + C soit inversible et A + C ne soit pas inversible.
Exercice 17.
Soient A, B, C ∈ Mn (K). Montrer que :
rg (AB)+ rg (BC) ≤ rg (ABC)+ rg (B).
Exercice 18.

 
a1
b1
.
.
Soient A =  ..  , B =  ..  deux matrices colonnes de Mn,1 (R). On note M = At B et
an
bn
X
s=
ai bi .
4
1) Que peut-on dire du rang de M ?
2) Montrer que :
a) si s = 0, alors M 2 = 0.
b) si s 6= 0, alors M est semblable `
a la matrice sE11 o`
u E11 d´esigne la premi`ere matrice de la base
canonique de Mn (R).
Exercice 19.
Soit A ∈ Mn,p (R) une matrice de rang r.
1) On suppose qu’il existe deux matrices B ∈ Mn,k (R) et C ∈ Mk,p (R) telles que : A = BC.
Montrer que k ≥ r.
2) Montrer qu’il existe B ∈ Mn,r (R) et C ∈ Mr,p (R) telles que : A = BC.
3) Soit k ∈ N∗ tel que k ≤ min (n, p). Soit Φ : Mn,k (R) × Mk,p (R) → Mn,p (R) d´efinie par :
Φ(B, C) = BC. D´eterminer Φ Mn,k (R) × Mk,p (R) .
Exercice 20.
1. Soit A ∈ Mp,q (R).
a. D´eterminer Ker (t AA) et Rg (t AA) en fonction des ´el´ements correspondants de A.
b. Trouver une CNS portant sur Rg A pour que la matrice t AA soit inversible.
2. Montrer que la CNS obtenue en 1.b. n’est plus valide si l’on consid`ere une matrice A ∈ Mp,q (C)
avec p 6= q , mais qu’elle le demeure si p = q.
3. On revient au cas A ∈ Mp,q (R). Lorsque la condition du 1. est v´erifi´ee, on d´efinit la matrice
B = A(t AA)−1 t A. Que repr´esente cette matrice ?
Exercice 21.
Soit M ∈ Mn (R) une matrice carr´ee d´efinie par M = (mij )1≤i,j≤n .
a) On suppose que :
X
∀ i = 1, . . . , n,
|mij | < |mii |.
j6=i
Montrer que la matrice M est inversible.
b) On suppose que :
X
∃ i ∈ 1, n ,
|mij | = |mii | =
6 0
j6=i
et
X
∀ k ∈ 1, n \ {i},
|mkj | < |mkk |.
j6=k
Montrer que la matrice M est encore inversible.
Exercice 22.
1) On d´efinit la trace d’une matrice carr´ee C = (cij ), de taille m, par tr (C) =
m
X
i=1
A ∈ Mn,p (R) et B ∈ Mp,n (R) deux matrices. Montrer que tr (AB) = tr (BA).
5
cii . Soient
2) Soit A ∈ Mn (R) une matrice carr´ee `a coeficients r´eels. On suppose qu’il existe B ∈ Mn (R) telle
que A = BA − AB.
a) Montrer que la matrice A n’est pas inversible dans Mn (R).
b) Montrer que pour tout k ∈ N, kAk = BAk − Ak B.
c) Montrer que pour tout k ∈ N∗ , tr (Ak ) = 0.
Exercice 23.
Soit V un sous-espace vectoriel de Cn de dimension r. On note F = {A ∈ Mn (C); ∀ x ∈ V, Ax = 0}
et G = {A ∈ Mn (C); ∀ x ∈ Cn , Ax ∈ V }. Calculer dim F et dim G.
Exercice 24.

0
Soient A ∈ M32 (R) et B ∈ M23 (R) telles que AB =  0
0

0
0 . Calculer BA.
18
0
18
0
Exercice 25.
Soient A, B ∈ Mm (C) telles que rg (A) = r et rg (B) = s. On d´efinit les endomorphismes
LA , LB , RA et RB de Cm par ; LA (M ) = AM, LB (M ) = BM, RA (M ) = M A et RB (M ) = M B.
(a) Calculer rg LA et rg RA .
(b) Calculer rg (LA ◦ RB ).
Exercice 26.
Soient A, B ∈ Mn (K) telles que ABAB = 0.
(a) Montrer que si n = 2 alors BABA = 0.
(b) Montrer `
a l’aide d’un exemple que pour n = 3, la matrice BABA n’est pas toujours nulle.
Exercice 27.
Soient a1 , . . . , an n nombres r´eels. On note B = (e1 , . . . , en , en+1 ) la base canonique de Rn+1 et
u ∈ L(Rn+1 ) l’endomorphisme dont la matrice dans la base B est :

0

 a1
 .
A=
 ..
 .
 ..
a1
On pose ε0 =
n+1
X
i=1
a1
..
.
a2
..
.
a2
ei et pour j = 1, . . . , n, εj =
...
...
a2
..
.
..
.
...
...
..
.
..
.

an
.. 
. 
.. 

. 

a 
an
0
j
X
i=1
n
ei et sj =
j
X
ai . On notera enfin s = sn .
i=1
a) Calculer u(ε0 ) et exprimer u(εj ) en fonction de ε0 , εj , sj et aj .
b) En d´eduire la matrice de u dans la base (ε0 , ε1 , . . . , εn ).
c) Pour quelles valeurs de λ ∈ R, la matrice A − λIn+1 est-elle inversible ?
6
Exercice 28.
2iπ
Soit n un entier naturel sup´erieur ou ´egal `a 2. On pose ω = e n . Pour tout k appartenant `a
{0, 1, . . . , n − 1}, on d´esigne par Ek l’ensemble des fonctions f de de C dans C v´erifiant :
∀ x ∈ C, f (ωx) = ω k f (x).
1. D´eterminer toutes les fonctions polynomiales complexes appartenant `a Ek .
2i(l−1)(m−1)π
n
. Calculer la matrice
2. On consid`ere la matrice A ∈ Mn (R), de terme g´en´eral alm = e
AA. (A ´etant la matrice de terme g´en´eral alm , le conjugu´e de alm ).
3. Dans le cas g´en´eral, si l’on d´esigne par E l’ensemble des fonctions de C dans C, montrer que :
E = ⊕n−1
k=0 Ek .
Exercice 29.
Soient p ∈ N∗ et z1 , . . . , zp , p nombres complexes deux `a deux distincts. On note A = (ai,j ) la
matrice de Mp (C) d´efinie par ai,j = zji−1 .
1) Montrer que la matrice A est de rang p.
2) On suppose que min |zi | ≥ 1 et qu’il existe a1 , . . . , ap ∈ C tels que un = a1 z1n + . . . + ap zpn → 0
i=1,...,p
quand n → +∞.


a1 z1n


a) Montrer qu’il existe B ∈ Mp (C) telle que : ∀ n ∈ N,  ...  = B 

un
..
.

.
ap zpn
un+p−1
b) En d´eduire que a1 = . . . = ap = 0.
3) On suppose toujours que min |zi | ≥ 1. Donner une condition n´ecessaire et suffisante portant
i=1,...,p
sur a1 , . . . , ap ∈ C et z1 , . . . , zp pour que la suite (un = a1 z1n + . . . + ap zpn ) converge.
Exercice 30.
Soient a0 , a1 , · · · , an−1 ∈ R et

0
... ... 0
..
..
.
.
.
.. ..
.
. ..
.. ..
.
. 0
··· 0 1

1

C=
0
.
 ..
0
a0
..
.
..
.







an−2 
an−1
une matrice compagnon de Mn (R).
1) On consid`ere p2 , . . . , pn ∈ R et on note
0
 ...
P =
0
···
.
..
.
..
1
p2

0
.
..
.
..
.
..
1

p2. 
.
.. 
pn
a) Montrer qu’il existe p2 , . . . , pn ∈ R tels que P C soit une matrice sym´etrique.
7
b) Montrer qu’il existe deux matrices sym´etriques R et S ∈ Mn (R) telles que R soit inversible et
C = RS.
2) Soit M une matrice semblable `
a la matrice C.
a) Montrer qu’il existe deux matrices sym´etriques R et S ∈ Mn (R) telles que R soit inversible et
M = RS.
b) En d´eduire que les matrices M et t M sont semblables.
Exercice 31.
Soient E un espace vectoriel de dimension finie n, non r´eduit `a {0} et f un endomorphisme de E.
1) Montrer, en utilisant les r´esultats de l’exercice 4, qu’il existe p ∈ 1, n tel que :
E = ker (f p )⊕ Im (f p ).
2) En d´eduire qu’il existe une base de E dans la quelle la matrice de f soit de la forme
N 0
0 C
o`
u N est une matrice nilpotente et C est une matrice inversible (l’une des matrices N ou C peut
naturellement ˆetre de dimension 0).
Exercice 32.
Soient E un espace vectoriel de dimension finie n, non r´eduit `a {0} et u1 , . . . , un , n endomorphismes
nilpotents de E, qui commutent deux `a deux. On rappelle qu’un endomorphisme u est dit nilpotent
s’il existe k ∈ N∗ tel que uk = 0.
1) On se place dans cette question seulement, dans le cas particulier o`
u u1 = . . . = un . Montrer
que u1 ◦ . . . ◦ un = un1 = 0.
2) Pour tout k ∈ 0, n − 1 , on pose Fk+1 = Im (uk+1 ◦ . . . ◦ un ). Montrer que si k ∈ 1, n − 1 et
Fk+1 6= {0}, alors uk (Fk+1 ) est un sous-espace vectoriel strict de Fk+1 .
3) En d´eduire que u1 ◦ . . . ◦ un = 0.
Exercice 33.
Dans cet exercice K d´esigne le corps des r´eels ou celui des complexes, n un entier sup´erieur ou ´egal
a 1, Mn (K) et GLn (K) respectivement l’ensemble des matrices carr´ees de
`
dimension n `
a coefficients dans K et l’ensemble des matrices inversibles de dimension n `a coefficients
dans K.
Pour tout A ∈ Mn (K), on note fA : Mn (K) → K l’application d´efinie par :
fA (X) = Tr (AX)
O`
u Tr (M ) d´esigne la trace de M , ´egale `a la somme de ses ´el´ements diagonaux.
1) Montrer que l’application f : A 7→ fA est un isomorphisme entre Mn (K) et son dual (l’ensemble
des formes lin´eaires d´efinies sur Mn (K)).
2) On suppose que n ≥ 2.
2-a) On consid`ere la matrice M = (mij ) d´efinie par mij = 0 sauf si (j ∈ 1, n − 1 et i = j + 1)
ou (j = n et i = 1) auxquels cas mij = 1. Calculer Tr M .
8
2-b) Soit A une matrice de Mn (K) de rang r. Montrer qu’il existe une matrice
M ∈ GLn (K) telle que Tr (AM ) = 0. On pourra commencer par consid´erer une matrice simple
´equivalente `
a A et s’inspirer de la question pr´ec´edente.
2-c) En d´eduire que pour n ≥ 2, tout hyperplan de Mn (K) rencontre GLn (K). On rappelle qu’un
hyperplan de Mn (K) est un sous-espace vectoriel de dimension n2 − 1.
9

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