Énoncé

ECT 2 lyc´ee Condorcet 2014-2015
CB1 (ESC) - Math´ematiques
´matiques
Concours Blanc n◦1 - Mathe
Mardi 24 mars 2015, de 8h `a 12h.
Sujet ESC.
Le sujet comporte 4 pages.
La pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.
Les candidats sont invit´es `a encadrer dans la mesure du possible les r´esultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d’aucun document : l’utilisation de toute calculatrice et de tout mat´
eriel
´
electronique est interdite. Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.
Si au cours de l’´epreuve, un candidat rep`ere ce qui lui semble ˆetre une erreur d’´enonc´e, il la signalera
sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il sera amen´e `a
prendre.
Exercice 1. ESC 2009.
On consid`
carr´ees A, 
I, O

 ere les matrices
1
3 2 2



0
1 3 0 ,
I=
A=
0
−1 0 3
et
0
1
0
B d´
efinies par :



0 0 0
0
0 ,
O= 0 0 0 
0 0 0
1
et
B = A − 3I.
1. (a) Calculer B, B 2 et B 3 .
(b) En d´eduire B k pour tout entier k sup´erieur ou ´egal `a 3.
` l’aide de la formule du binˆ
2. A
ome de Newton, montrer que pour tout entier n > 2 :
n
n(n − 1) 2
n
n
A =3 I+ B+
B
3
18
Est-ce encore vrai pour n ∈ {0, 1} ?
3. On consid`ere les suites r´eelles (un )n∈N , (vn )n∈N et (wn )n∈N d´efinies par leurs premiers termes u0 = 2,
v0 = 1, w0 = 0 et, pour tout entier naturel n, par les relations :
un+1 = 3un + 2vn + 2wn , vn+1 = un + 3vn et
 wn+1= −un + 3wn .
un

v n .
On note pour tout entier naturel n : Xn =
wn
(a) V´erifier que pour tout entier naturel n, Xn+1 = AXn .
(b) Montrer par r´ecurrence que, pour tout entier naturel n, Xn = An X0 .
(c) D´eduire des questions pr´ec´edentes l’expression, pour tout entier naturel n, de un , vn , wn en fonction
de n, puis les limites de (un )n∈N , (vn )n∈N et (wn )n∈N .
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CB1 (ESC) - Math´ematiques
Exercice 2. ESC 2009.
On consid`ere la fonction f d´efinie sur R par : f (x) = (x2 + 1)e−x .
´
1. (a) Etudier
les limites de la fonction f en +∞ et −∞.
(b) D´eterminer la nature de la branche infinie de la courbe de f au voisinage de −∞.
(c) Pour tout r´eel x, montrer que f ′ (x) = −(1 − x)2 e−x .
Dresser le tableau des variations de f .
(d) Calculer f ′ (0), f ′ (1) puis utiliser ces valeurs pour tracer dans un rep`ere orthonorm´e d’unit´e 5 cm
la courbe repr´esentative de f . Faire figurer aussi la droite d’´equation
y = x.
1
On utilisera ´egalement les valeurs approch´ees : f (1) ≈ 0, 7 et f
≈ 0, 8.
2
On consid`ere maintenant la fonction h d´efinie sur R par : h(x) = f (x) − x.
2. (a) Montrer que h est strictement d´ecroissante sur R.
´
(b) Etablir
que l’´equation f (x) = x d’inconnue
x∈ R admet une unique solution, not´ee α.
1
;1 .
Montrer que α appartient `
a l’intervalle
2
1
1
; 1 , f (x) appartient `a
;1 .
3. (a) Montrer que pour tout r´eel x de
2
2
1
1
(b) Montrer que pour tout r´eel x de
; 1 , |f ′ (x)| 6 .
2
4
1
1
; 1 , |f (x) − α| 6 |x − α|.
En d´eduire que pour tout r´eel x de
2
4
On consid`ere la suite (un )n∈N d´efinie par son premier terme u0 = 1 et la relation valable pour tout entier
naturel n : un+1 = f (un ).
1
4. (a) Montrer grˆ
ace `
a la question 3.(a) que pour tout entier naturel n, un ∈
;1 .
2
(b) Montrer par r´e
currence et grˆ
ace `
a la question 3.(b) que pour tout entier naturel n,
1 n
|un − α| 6
|u0 − α|. En d´eduire que (un )n∈N converge et pr´eciser sa limite.
4
(c) Construire sur le graphique ´etabli en 1.(d) les abscisses u0 , u1 et u2 .
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CB1 (ESC) - Math´ematiques
Exercice 3. ESC 2013.
Une entreprise fabrique en s´erie des balles de ping-pong `a l’aide de deux machines A et B. La machine A
produit un tiers des ´el´ements, les autres ´etant produites par la machine B.
Certaines balles fabriqu´ees pr´esentent un d´efaut. C’est le cas pour 12% des balles fabriqu´ees par la machine
A, et pour 9% de celles fabriqu´ees par la machine B.
` la sortie des machines les balles arrivent dans le d´esordre sur un tapis roulant. Ce qui fait que si l’on
A
prend une balle au hasard `
a la sortie du processus de fabrication, la probabilit´e qu’elle provienne de A est
1
et
celle
qu’elle
provienne
de B est 23 .
3
Partie I.
1. (a) On pr´el`eve sur le tapis roulant une balle au hasard. On d´efinit les ´ev´enements :
− A : la boule provient de la machine A ;
− B : la boule provient de la machine B ;
− D : la balle pr´elev´ee pr´esente un d´efaut.
1
.
Montrer en utilisant la formule des probabilit´es totales que P(D) = 10
(b) On constate que la balle pr´elev´ee pr´esente un d´efaut. Quelle est la probabilit´e qu’elle ait ´et´e fabriqu´ee
par la machine A ?
2. On se donne un entier naturel n non nul et on suppose maintenant que l’on pr´el`eve n balles au hasard
`a la sortie du tapis roulant. Les pr´el`evements successifs sont suppos´es ind´ependants les uns des autres.
Soit X la variable al´eatoire ´egale au nombre de balles d´efectueuses pr´elev´ees.
(a) Justifier que X suit une loi binomiale et pr´eciser ses param`etres. Donner les valeurs prises par X et
pour chacune de ces valeurs k la valeur de P(X = k).
(b) D´eterminer en fonction de n, les valeurs de E(X) et de V (X).
Partie II.
1. On suppose dans cette question que n = 30. On admet que dans ce cas, on peut approcher la variable
al´eatoire X par une variable al´eatoire Y suivant une loi de Poisson de param`etre λ.
(a) Quelle doit ˆetre la valeur du param`etre λ ?
(b) Pr´eciser les valeurs prises par Y et pour chacune de ces valeurs k, la valeur de P(Y = k).
(c) On donne dans le tableau suivant les valeurs de P(Y = k) lorsque Y suit une loi de Poisson pour
certains param`etres λ.
D´eterminer une valeur approch´ee de la probabilit´e d’avoir au moins une balle pr´esentant un d´efaut
parmi les 30 balles pr´elev´ees.
H
HH
λ
1
2
3
k
HH
H
0
1
2
3
4
5
6
7
0, 3679 0, 3679 0, 1839 0, 0613 0, 0153 0, 0031 0, 0005 0, 0001
0, 1353 0, 2707 0, 2707 0, 1804 0, 0902 0, 0361 0, 0120 0, 0034
0, 0498 0, 1494 0, 2240 0, 2240 0, 1680 0, 1008 0, 0504 0, 0216
2. On suppose dans cette question que n = 3600. On admet que l’on peut alors approcher la variable
al´eatoire X par une variable al´eatoire Z suivant une normale N (m, σ 2 ).
(a) D´eterminer les param`etres m et σ de la loi Z pour que X et Z aient la mˆeme esp´erance et la mˆeme
variance. On donne 324 = 182 .
Z −m
(b) On admet qu’alors
suit une loi normale N (0, 1). Calculer en utilisant la table ci-dessous la
σ
probabilit´e qu’il y ait auZmoins 396
balles
d´efectueuses parmi les 3600 balles pr´elev´ees.
x
t2
1
exp −
dt pour certaines valeurs de x.
Valeurs de Φ(x) = √
2
2π −∞
x
1, 5
1, 6
1, 7
1, 8
1, 9
2
2, 1
2, 2
2, 3
Φ(x) 0, 9332 0, 9452 0, 9554 0, 9641 0, 9713 0, 9772 0, 9821 0, 9861 9, 9893
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CB1 (ESC) - Math´ematiques
Exercice 4. ESC 2014.
Soit n un entier naturel sup´erieur ou ´egal `
a 1. On consid`ere la fonction fn d´efinie sur R par :
fn (t) = (n + 1)(n + 2)tn (1 − t) si t ∈ [0, 1] et fn (t) = 0 sinon.
1. (a) V´erifier que fn est continue sur R.
Z 1
tn (1 − t) dt.
(b) Calculer
0
(c) En d´eduire que fn est une densit´e de probabilit´e.
Dans la suite de l’exercice on utilisera les fonctions fn pour n = 1, n = 2 et n = 3.
2. Madame A doit se rendre de Paris `
a Londres en train. Le haut-parleur de la gare annonce pour son train
un retard de moins d’une heure. On admet que la variable al´eatoire X ´egale `a la dur´ee (en heures) du
retard admet pour densit´e de probabilit´e la fonction f1 , c’est-`a-dire :
f1 (t) = 6t(1 − t) si t ∈ [0; 1] et f1 (t) = 0 sinon.
Soit F1 la fonction de r´epartition de X.
(a) D´eterminer l’expression de F1 (x) lorsque x < 0 puis lorsque x > 1. Justifier que pour tout x ∈ [0; 1],
F1 (x) = 3x2 − 2x3 .
(b) Quelle est la probabilit´e que le train ait un retard compris entre un quart d’heure et une demi-heure ?
(c) Le haut-parleur annonce que l’on sait que le retard sera inf´erieur `a une demi-heure. Quelle est la
probabilit´e qu’il soit sup´erieur `
a un quart d’heure ?
1
3. (a) V´erifier que tf1 (t) = f2 (t) pour tout r´eel t. En d´eduire l’esp´erance de X.
2
(b) Exprimer t2 f1 (t) en fonction de f3 (t) pour tout r´eel t. En d´eduire E(X 2 ) puis V (X).
4. Une fois que le train arrive `
a Paris, il continue `a prendre du retard sur le chemin entre Paris et Londres.
On nomme Y la variable al´eatoire ´egale au retard en heures pris par le train durant ce trajet. On suppose
que Y admet pour densit´e la fonction g d´efinie sur R par :
3 3
g(t) = e− 4 t si t ∈ [0; +∞[ et g(t) = 0 sinon.
4
(a) De quelle loi usuelle reconnaissez-vous une densit´e ? Calculer E(Y ).
(b) Soit Z le retard total que cumule le train en arrivant `a Londres. Exprimer Z en fonction de X et
Y . En d´eduire la dur´ee moyenne en heures du retard de Mme A lors de son arriv´ee `a Londres.
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ECT 2 lyc´ee Condorcet 2014-2015
CB2 (ESCP) - Math´ematiques
´matiques
Concours Blanc n◦1 - Mathe
Mardi 24 mars 2015, de 8h `a 12h.
Sujet ESCP.
Le sujet comporte 4 pages.
La pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision des raisonnements
entreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.
Les candidats sont invit´es `a encadrer dans la mesure du possible les r´esultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d’aucun document : l’utilisation de toute calculatrice et de tout mat´
eriel ´
electronique
est interdite. Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.
Si au cours de l’´epreuve, un candidat rep`ere ce qui lui semble ˆetre une erreur d’´enonc´e, il la signalera sur sa
copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il sera amen´e `a prendre.
Exercice 1. ESCP 2014.
Soit a un r´eel strictement positif et f la fonction d´efinie sur R `a valeurs r´eelles telles que :
−2(t−a)
2e
si t > a
.
f (t) =
0
sinon
1. (a) Soit B un r´eel sup´erieur ou ´egal `
a a. Calculer l’int´egrale
(b) En d´eduire la valeur de l’int´egrale
Z
Z
B
2e−2(t−a) dt.
a
+∞
2e−2(t−a) dt.
a
2. Montrer que f peut ˆetre consid´er´ee comme une densit´e de probabilit´e.
Dans la suite, on note X une variable al´eatoire admettant f comme densit´e.
1 − e−2(t−a) si x > a
.
3. Montrer que la fonction de r´epartition FX de X est donn´ee par : FX (x) =
0
sinon
4. On note Y la variable al´eatoire d´efinie par : Y = X − a.
(a) D´eterminer la fonction de r´epartition FY de Y .
(b) En d´eduire que Y suit une loi exponentielle dont on pr´ecisera le param`etre.
(c) Donner la valeur de l’esp´erance de Y .
(d) En d´eduire que X admet une esp´erance et donner sa valeur.
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ECT 2 lyc´ee Condorcet 2014-2015
CB2 (ESCP) - Math´ematiques
Exercice 2. ESCP 2014.
On consid`ere la suite (un )n∈N d´efinie par : u0 = 1, et pour tout n de
1. On note g la fonction d´efinie sur
R+
N∗ ,
un =
Z
1
(ln(1 + t))n dt.
0
a valeurs r´eelles telle que : pour tout t > 0, g(t) = (1+t) ln(1+t)−t.
`
(a) On note g ′ la fonction d´eriv´ee de g. Calculer g ′ (t) pour tout r´eel t > 0.
(b) En d´eduire la valeur de u1 .
2. Soit f la fonction d´efinie sur l’intervalle [0; 1] `a valeurs r´eelles telles que : f (t) = ln(1 + t).
(a) On note f ′ et f ′′ respectivement, les d´eriv´ees premi`ere et seconde de f .
Calculer pour tout r´eel t de [0, 1], f ′ (t) et f ′′ (t).
´
(b) Etudier
les variations de f sur l’intervalle [0, 1] et tracer la courbe repr´esentative de f dans le plan
rapport´e `
a un rep`ere orthonorm´e (on donne : ln(2) ≈ 0, 7).
(c) Montrer que la fonction f est concave sur [0, 1].
3. (a) Justifier pour tout r´eel t de [0, 1], l’encadrement suivant : 0 6 ln(1 + t) 6 ln 2.
(b) Montrer que pour tout n de N∗ , on a : 0 6 un 6 (ln 2)n .
(c) En d´eduire que la suite (un )n∈N est convergente et a pour limite 0.
` l’aide d’une int´egration par parties, ´etablir pour tout entier naturel n, la relation suivante :
4. (a) A
un+1 = 2(ln 2)n+1 − (n + 1)un .
(On pourra remarquer qu’une primitive de la fonction t 7→ 1 est t 7→ 1 + t.)
(b) En d´eduire que pour tout entier naturel n, on a : (n + 1)un 6 2(ln 2)n+1 .
(c) Montrer que la suite (un )n∈N est d´ecroissante.
(d) En utilisant la monotonie de la suite (un )n∈N , montrer que pour tout n de N, on a : (n + 2)un > 2(ln 2)n+1 .
nun
(e) D´eterminer lim
.
n→+∞ 2(ln 2)n+1
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CB2 (ESCP) - Math´ematiques
Exercice 3. ESCP 2013.
• On note E(X) et V (X) respectivement, l’esp´erance et la variance d’une variable al´eatoire X, et
Cov(X, Y ), la covariance de deux variables al´eatoires X et Y .
• On donnera les r´esultats sous forme fractionnaire.
On dispose de deux urnes U1 et U2 . L’urne U1 contient 3 boules rouges et 2 boules vertes, tandis que l’urne
U2 contient 1 boule rouge et 4 boules vertes.
On choisit une des deux urnes au hasard (c’est-`a-dire que chacune des deux urnes a la mˆeme probabilit´e
d’ˆetre choisie), puis on tire dans l’urne choisie une boule que l’on remet ensuite dans la mˆeme urne.
• si la boule tir´ee est rouge, on effectue un second tirage d’une boule dans l’urne U1 ;
• si la boule tir´ee est verte, on effectue un second tirage d’une boule dans l’urne U2 .
Soit X1 et X2 les variables al´eatoires d´efinies par :
1 si la premi`ere boule tir´ee est rouge
et
X1 =
0 si la premi`ere boule tir´ee est verte
X2 =
1 si la deuxi`eme boule tir´ee est rouge
.
0 si la deuxi`eme boule tir´ee est verte
On pose Z = X1 + X2 .
2
1. (a) Montrer que P([X1 = 1]) = . Quelle est la loi de la variable al´eatoire X1 ?
5
(b) Donner les valeurs de E(X1 ) et V (X1 ).
12
.
25
(b) Donner sous forme de tableau, la loi du couple (X2 , Z).
2. (a) Montrer que P([X2 = 0] ∩ [Z = 0]) =
3. (a) D´eterminer la loi de X2 ainsi que E(X2 ) et V (X2 ).
(b) Les variables al´eatoires X1 et X2 sont-elles ind´ependantes ?
(c) D´eterminer la loi de Z.
414
.
625
4. On consid`ere l’´ev´enement : ≪ la premi`ere boule tir´ee est verte ≫. Calculer la probabilit´e que cette boule
verte provienne d’un tirage dans l’urne U1 .
(d) Calculer E(Z). Montrer que V (Z) =
5. On se propose dans cette question de calculer V (Z) par une autre m´ethode.
(a) Calculer E(X2 Z).
204
.
625
(c) En d´eduire la valeur de Cov(X1 , X2 ).
(b) Montrer que Cov(X2 , Z) =
(d) Utiliser le r´esultat pr´ec´edent pour calculer V (Z).
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ECT 2 lyc´ee Condorcet 2014-2015
CB2 (ESCP) - Math´ematiques
Exercice 4. ESCP 2014.
Une puce se d´eplace `
a chaque unit´e de temps sur les quatre sommets, num´erot´es 1, 2, 3 et 4, d’un carr´e
selon le protocole suivant :
` l’instant 0, la puce se trouve sur le sommet 1.
• A
• Si `a l’instant n (n > 0) la puce se trouve sur le sommet 1, elle sera `a l’instant n + 1 sur le sommet 1 avec
la probabilit´e 32 et sur le sommet 3 avec la probabilit´e 13 .
• Si `a l’instant n (n > 1) la puce se trouve sur le sommet 2, elle sera `a l’instant n + 1 sur le sommet 1 avec
la probabilit´e 21 et sur le sommet 3 avec la probabilit´e 12 .
• Si `a l’instant n (n > 1) la puce se trouve sur le sommet 3, elle sera `a l’instant n + 1 sur le sommet 2 avec
la probabilit´e 21 et sur le sommet 4 avec la probabilit´e 12 .
• Si `a l’instant n (n > 1) la puce se trouve sur le sommet 4, elle sera `a l’instant n + 1 sur le sommet 2 avec
la probabilit´e 31 et sur le sommet 4 avec la probabilit´e 23 .
Pour tout entier naturel n, on note Xn la variable al´eatoire ´egale au num´ero du sommet occup´e par la puce
`a l’instant n et on a donc P([X0 = 1]) = 1.
1. (a) D´eterminer la loi de X1 .
(b) Calculer l’esp´erance et la variance de X1 .
2. D´eterminer la loi de X2 .
3. (a) En utilisant la formule des probabilit´es totales, montrer que pour tout entier n sup´erieur ou ´egal `
a
2, on a :
1
2
P([Xn+1 = 1]) = P([Xn = 1]) + P([Xn = 2]).
3
2
(b) Exprimer de mˆeme, pour tout entier n sup´erieur ou ´egal `a 2, P([Xn+1 = 2]), P([Xn+1 = 3]),
P([Xn+1 = 4]) en fonction de P([Xn = 1]), P([Xn = 2]), P([Xn = 3]), et P([Xn = 4]).
(c) V´erifier que les relations pr´ec´edentes sont encore valables pour n = 1 et n = 0.
(d) Que vaut pour tout n de N, la somme : P([Xn = 1]) + P([Xn = 2]) + P([Xn = 3]) + P([Xn = 4]) ?
 
1
4. On pose U0 = 0 et pour tout n de N, on note Un la matrice `a trois lignes et une colonne d´efinie par :
0


P([Xn = 1])
Un = P([Xn = 2]) .
P([Xn = 3])


 
4
3 0
0
1
1
De plus, on pose : A = −2 −2 1 et B = 1.
6
3
2
3 0
0
En utilisant les relations trouv´ees pr´ec´edemment, ´etablir pour tout n de N, la relation Un+1 = AUn + B.
5. (a) D´eterminer une matrice L `
a trois lignes et une colonne v´erifiant : L = AL + B.
´
(b) Etablir
pour tout entier naturel n, la relation suivante : Un = An (U0 − L) + L.
6. On pose C = 6A. Soit R, D et Q

1
1
R = −1 −2
−1 2
les matrices d’ordre 3


3
1 0
−1 , D = 0 −2
1
0 0
d´efinies par :



0 −5 −5
0
0 et Q = −2 −4 2  .
4
3
1
3
(a) Calculer RQ. En d´eduire que R est inversible et donner R−1 , o`
u R−1 d´esigne la matrice inverse de
la matrice R.
(b) Calculer CR − RD.
(c) En d´eduire pour tout entier naturel n, la relation suivante : An =
1 n
RDn R−1 .
6
7. On admet que la limite de la matrice Un lorsque n tend vers +∞ est une matrice U dont les coefficients
sont obtenus en prenant la limite des coefficients de Un lorsque n tend vers +∞.
D´eterminer U et pr´eciser lim P([Xn = 4]).
n→+∞
4/4